Μαζί με ένα σημείο και ένα αεροπλάνο. Αυτή είναι μια άπειρη φιγούρα που μπορεί να συνδέσει οποιαδήποτε δύο σημεία στο χώρο. Μια γραμμή ανήκει πάντα σε κάποιο επίπεδο. Με βάση τη θέση δύο ευθειών γραμμών, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν διαφορετικές μέθοδοι για να βρεθεί η απόσταση μεταξύ τους.

Υπάρχουν τρεις επιλογές για τη θέση δύο γραμμών στο χώρο μεταξύ τους: είναι παράλληλες, τέμνονται ή. Η δεύτερη επιλογή είναι δυνατή μόνο εάν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, δεν αποκλείει να ανήκουν σε δύο παράλληλα επίπεδα. Η τρίτη κατάσταση λέει ότι οι ευθείες βρίσκονται σε διαφορετικά παράλληλα επίπεδα.

Για να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων γραμμών, πρέπει να προσδιορίσετε το μήκος του κάθετου τμήματος που τις συνδέει σε οποιαδήποτε δύο σημεία. Δεδομένου ότι οι ευθείες έχουν δύο ίδιες συντεταγμένες, κάτι που προκύπτει από τον ορισμό της παραλληλότητάς τους, οι εξισώσεις των γραμμών στον δισδιάστατο χώρο συντεταγμένων μπορούν να γραφτούν ως εξής:
L1: a x + b y + c = 0;
L2: a x + b y + d = 0.
Στη συνέχεια, μπορείτε να βρείτε το μήκος του τμήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο:
s = |c - d|/√(a² + b²), και είναι εύκολο να δούμε ότι στο C = D, δηλ. σύμπτωση ευθειών, η απόσταση θα είναι ίση με μηδέν.

Είναι σαφές ότι η απόσταση μεταξύ τεμνόμενων γραμμών σε δισδιάστατες συντεταγμένες δεν έχει νόημα. Αλλά όταν βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα, μπορεί να βρεθεί ως το μήκος ενός τμήματος που βρίσκεται σε ένα επίπεδο κάθετο και στα δύο. Τα άκρα αυτού του τμήματος θα είναι τα σημεία που είναι οι προβολές οποιωνδήποτε δύο σημείων των ευθειών σε αυτό το επίπεδο. Με άλλα λόγια, το μήκος του είναι ίσο με την απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων που περιέχουν αυτές τις ευθείες. Έτσι, αν τα επίπεδα δίνονται από τις γενικές εξισώσεις:
α: A1 x + B1 y + C1 z + E = 0,
β: A2 x + B2 y + C2 z + F = 0,
η απόσταση μεταξύ των γραμμών μπορεί να δοθεί από τον τύπο:
s = |E – F|/√(|А1 А2| + В1 В2 + С1 С2).

Σημείωση

Οι ευθείες γενικά και οι τεμνόμενες γραμμές ειδικότερα δεν ενδιαφέρουν μόνο τους μαθηματικούς. Οι ιδιότητές τους είναι χρήσιμες σε πολλούς άλλους τομείς: στην κατασκευή και την αρχιτεκτονική, στην ιατρική και στην ίδια τη φύση.

Συμβουλή 2: Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

Ο προσδιορισμός της απόστασης μεταξύ δύο αντικειμένων σε ένα ή περισσότερα επίπεδα είναι μια από τις πιο κοινές εργασίες στη γεωμετρία. Οδηγούμενος με οδηγόν συμβατικές μεθόδους, μπορείτε να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων γραμμών.

Εντολή

Οι παράλληλες ευθείες είναι ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και είτε δεν τέμνονται είτε συμπίπτουν. Για να βρείτε την απόσταση μεταξύ παράλληλων γραμμών, θα πρέπει να επιλέξετε ένα αυθαίρετο σημείο σε μία από αυτές και στη συνέχεια να χαμηλώσετε την κάθετο στη δεύτερη γραμμή. Τώρα μένει μόνο να μετρηθεί το μήκος του προκύπτοντος τμήματος. Το μήκος της κάθετης που συνδέει δύο παράλληλες ευθείες θα είναι η μεταξύ τους απόσταση.

Προσέξτε τη σειρά με την οποία σύρεται η κάθετο από τη μια παράλληλη ευθεία στην άλλη, αφού από αυτό εξαρτάται η ακρίβεια της υπολογισμένης απόστασης. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε το εργαλείο σχεδίασης "τρίγωνο" με ορθή γωνία. Επιλέξτε ένα σημείο σε μία από τις γραμμές, προσαρτήστε σε αυτό μία από τις πλευρές του τριγώνου που γειτνιάζουν με ορθή γωνία(πόδι) και ευθυγραμμίστε την άλλη πλευρά με μια άλλη ευθεία γραμμή. Με ένα ακονισμένο μολύβι, τραβήξτε μια γραμμή κατά μήκος του πρώτου ποδιού ώστε να φτάσει στην αντίθετη ευθεία γραμμή.

Στο υλικό αυτού του άρθρου, θα αναλύσουμε το ζήτημα της εύρεσης της απόστασης μεταξύ δύο παράλληλων γραμμών, ειδικότερα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων. Η ανάλυση τυπικών παραδειγμάτων θα βοηθήσει στην εδραίωση της θεωρητικής γνώσης που αποκτήθηκε.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ορισμός 1

Απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειώνείναι η απόσταση από κάποιο αυθαίρετο σημείο μιας από τις παράλληλες ευθείες μέχρι την άλλη ευθεία.

Ακολουθεί μια απεικόνιση για σαφήνεια:

Το σχέδιο δείχνει δύο παράλληλες γραμμές. ένακαι σι. Το σημείο Μ 1 ανήκει στην ευθεία a, μια κάθετη προς την ευθεία πέφτει από αυτήν σι. Το τμήμα M 1 H 1 που προκύπτει είναι η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών ένακαι σι.

Ο καθορισμένος ορισμός της απόστασης μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών ισχύει τόσο στο επίπεδο όσο και για τις ευθείες σε τρισδιάστατο χώρο. Εκτός, αυτόν τον ορισμόσχετίζεται με το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα

Όταν δύο ευθείες είναι παράλληλες, όλα τα σημεία της μίας απέχουν ίση απόσταση από την άλλη ευθεία.

Απόδειξη

Ας μας δοθούν δύο παράλληλες ευθείες ένακαι σι. Σε ευθεία γραμμή ένασημεία M 1 και M 2, ρίχνουμε κάθετες από αυτά στην ευθεία σι, δηλώνοντας τις βάσεις τους, αντίστοιχα, ως H 1 και H 2. M 1 H 1 είναι η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών εξ ορισμού, και πρέπει να αποδείξουμε ότι | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | .

Ας υπάρχει επίσης κάποια τομή που τέμνει δύο δεδομένες παράλληλες ευθείες. Η συνθήκη των παράλληλων ευθειών, που εξετάζεται στο αντίστοιχο άρθρο, μας δίνει το δικαίωμα να ισχυριστούμε ότι σε αυτή η υπόθεσηΟι εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες που σχηματίζονται στην τομή της τομής των δεδομένων ευθειών είναι ίσες: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Η ευθεία M 2 H 2 είναι κάθετη στην ευθεία b κατά κατασκευή και, φυσικά, κάθετη στην ευθεία a. Τα προκύπτοντα τρίγωνα M 1 H 1 H 2 και M 2 M 1 H 2 είναι ορθογώνια και ίσα μεταξύ τους κατά μήκος της υποτείνουσας και αιχμηρή γωνία: M 1 H 2 - κοινή υποτείνουσα, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1. Με βάση την ισότητα των τριγώνων, μπορούμε να μιλήσουμε για την ισότητα των πλευρών τους, δηλαδή: | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | . Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Σημειώστε ότι η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών είναι η μικρότερη από τις αποστάσεις από σημεία της μιας ευθείας σε σημεία της άλλης.

Εύρεση της απόστασης μεταξύ παράλληλων ευθειών

Έχουμε ήδη ανακαλύψει ότι, στην πραγματικότητα, για να βρούμε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών, είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε το μήκος της καθέτου που έπεσε από ένα ορισμένο σημείο στη μια ευθεία σε μια άλλη. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να γίνει αυτό. Σε ορισμένα προβλήματα είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα. άλλα περιλαμβάνουν τη χρήση σημείων ισότητας ή ομοιότητας τριγώνων κ.λπ. Σε περιπτώσεις όπου οι γραμμές δίνονται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, είναι δυνατός ο υπολογισμός της απόστασης μεταξύ δύο παράλληλων γραμμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων. Ας το εξετάσουμε πιο αναλυτικά.

Ας βάλουμε τις προϋποθέσεις. Διορθώθηκε ας πούμε ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες, στις οποίες δίνονται δύο παράλληλες ευθείες α και β. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η απόσταση μεταξύ των δεδομένων γραμμών.

Θα οικοδομήσουμε τη λύση του προβλήματος στον προσδιορισμό της απόστασης μεταξύ παράλληλων γραμμών: για να βρούμε την απόσταση μεταξύ δύο δεδομένων παράλληλων ευθειών, είναι απαραίτητο:

Να βρείτε τις συντεταγμένες κάποιου σημείου M 1 που ανήκει σε μία από τις δοθείσες ευθείες.

Υπολογίστε την απόσταση από το σημείο Μ 1 σε μια δεδομένη ευθεία στην οποία δεν ανήκει αυτό το σημείο.

Με βάση τις δεξιότητες εργασίας με τις εξισώσεις μιας ευθείας σε ένα επίπεδο ή στο χώρο, είναι εύκολο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του σημείου M 1. Κατά την εύρεση της απόστασης από το σημείο M 1 σε μια ευθεία γραμμή, είναι χρήσιμο το υλικό του άρθρου για την εύρεση της απόστασης από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή.

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα. Έστω ότι η ευθεία a περιγράφεται με τη γενική εξίσωση A x + B y + C 1 = 0 , και η ευθεία b περιγράφεται από την εξίσωση A x + B y + C 2 = 0 . Στη συνέχεια, η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων γραμμών μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2

Ας βγάλουμε αυτόν τον τύπο.

Χρησιμοποιούμε κάποιο σημείο М 1 (x 1 , y 1) που ανήκει στην ευθεία a . Στην περίπτωση αυτή, οι συντεταγμένες του σημείου M 1 θα ικανοποιούν την εξίσωση A x 1 + B y 1 + C 1 = 0. Έτσι, η ισότητα είναι δίκαιη: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0; από αυτό παίρνουμε: A x 1 + B y 1 = - C 1 .

Όταν C 2< 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

Με C 2 ≥ 0, η κανονική εξίσωση της ευθείας b θα μοιάζει με αυτό:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0

Και μετά για περιπτώσεις που C 2< 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

Και για C 2 ≥ 0, η επιθυμητή απόσταση καθορίζεται από τον τύπο M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Έτσι, για οποιαδήποτε τιμή του αριθμού C 2, το μήκος του τμήματος | M 1 H 1 | (από το σημείο M 1 έως τη γραμμή β) υπολογίζεται με τον τύπο: M 1 H 1 \u003d A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Παραπάνω πήραμε: A x 1 + B y 1 \u003d - C 1, τότε μπορούμε να μετατρέψουμε τον τύπο: M 1 H 1 \u003d - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 \u003d C 2 - C 1 A 2 +B2. Έτσι, στην πραγματικότητα, λάβαμε τον τύπο που καθορίζεται στον αλγόριθμο της μεθόδου συντεταγμένων.

Ας αναλύσουμε τη θεωρία με παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες y = 2 3 x - 1 και x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ . Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η απόσταση μεταξύ τους.

Λύση

Οι αρχικές παραμετρικές εξισώσεις καθιστούν δυνατό τον καθορισμό των συντεταγμένων του σημείου από το οποίο διέρχεται η ευθεία, που περιγράφονται από τις παραμετρικές εξισώσεις. Έτσι, παίρνουμε το σημείο M 1 (4, - 5) . Η απαιτούμενη απόσταση είναι η απόσταση μεταξύ του σημείου M 1 (4, - 5) μέχρι την ευθεία y = 2 3 x - 1, ας την υπολογίσουμε.

Η δεδομένη εξίσωση μιας ευθείας με κλίση y = 2 3 x - 1 μετατρέπεται σε κανονική εξίσωση ευθείας. Για το σκοπό αυτό, πρώτα κάνουμε τη μετάβαση στη γενική εξίσωση μιας ευθείας:

y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0

Ας υπολογίσουμε τον παράγοντα ομαλοποίησης: 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13 . Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της τελευταίας εξίσωσης με αυτό και, τέλος, έχουμε την ευκαιρία να γράψουμε την κανονική εξίσωση της ευθείας: 1 13 2 x - 3 y - 3 = 1 13 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0.

Για x = 4 και y = - 5, υπολογίζουμε την επιθυμητή απόσταση ως συντελεστή της τιμής της ακραίας ισότητας:

2 13 4 - 3 13 - 5 - 3 13 = 20 13

Απάντηση: 20 13 .

Παράδειγμα 2

Σε ένα σταθερό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y, δίδονται δύο παράλληλες ευθείες, που ορίζονται από τις εξισώσεις x - 3 = 0 και x + 5 0 = y - 1 1 . Είναι απαραίτητο να βρεθεί η απόσταση μεταξύ των δεδομένων παράλληλων ευθειών.

Λύση

Οι συνθήκες του προβλήματος ορίζουν μία γενική εξίσωση, που δίνεται από μία από τις αρχικές γραμμές: x-3=0. Ας μεταμορφώσουμε το πρωτότυπο κανονική εξίσωσηγενικά: x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . Για τη μεταβλητή x, οι συντελεστές και στις δύο εξισώσεις είναι ίσοι (επίσης ίσοι για y - μηδέν), και επομένως έχουμε την ευκαιρία να εφαρμόσουμε τον τύπο για την εύρεση της απόστασης μεταξύ παράλληλων ευθειών:

M 1 H 1 \u003d C 2 - C 1 A 2 + B 2 \u003d 5 - (- 3) 1 2 + 0 2 \u003d 8

Απάντηση: 8 .

Τέλος, εξετάστε το πρόβλημα της εύρεσης της απόστασης μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών στον τρισδιάστατο χώρο.

Παράδειγμα 3

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z, δίδονται δύο παράλληλες ευθείες, που περιγράφονται από τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο διάστημα: x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 και x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 . Βρείτε την απόσταση μεταξύ αυτών των γραμμών.

Λύση

Από την εξίσωση x - 3 1 \u003d y - 1 \u003d z + 2 4, οι συντεταγμένες του σημείου από το οποίο διέρχεται η ευθεία γραμμή, που περιγράφεται από αυτήν την εξίσωση, μπορούν εύκολα να προσδιοριστούν: M 1 (3, 0, - 2 ) . Ας υπολογίσουμε την απόσταση | M 1 H 1 | από το σημείο M 1 έως την ευθεία x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 .

Η ευθεία x + 5 1 \u003d y - 1 - 1 \u003d z - 2 4 διέρχεται από το σημείο M 2 (- 5, 1, 2). Γράφουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 ως b → με συντεταγμένες (1 , - 1 , 4) . Ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 - (- 5 , 0 - 1 , - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , - 1 , - 4

Ας υπολογίσουμε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων:

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 i → + 36 j → + 7 k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( ​​8, 36 , 7)

Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για τον υπολογισμό της απόστασης από ένα σημείο σε μια ευθεία στο διάστημα:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (- 1) 2 + 4 2 = 1409 3 2

Απάντηση: 1409 3 2 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Oh-oh-oh-oh-oh ... καλά, είναι τσίγκινο, σαν να διαβάζεις την πρόταση στον εαυτό σου =) Ωστόσο, τότε η χαλάρωση θα βοηθήσει, ειδικά επειδή αγόρασα κατάλληλα αξεσουάρ σήμερα. Επομένως, ας προχωρήσουμε στην πρώτη ενότητα, ελπίζω, μέχρι το τέλος του άρθρου να κρατήσω μια χαρούμενη διάθεση.

Αμοιβαία διάταξη δύο ευθειών

Η περίπτωση που η αίθουσα τραγουδάει μαζί σε χορωδία. Δύο γραμμές μπορούν:

1) ταίριασμα?

2) να είναι παράλληλη: ;

3) ή τέμνονται σε ένα μόνο σημείο: .

Βοήθεια για ανδρείκελα : παρακαλώ θυμηθείτε μαθηματικό σημάδιδιασταύρωση, θα συμβεί πολύ συχνά. Η καταχώρηση σημαίνει ότι η ευθεία τέμνεται με την ευθεία στο σημείο.

Πώς να προσδιορίσετε τη σχετική θέση δύο γραμμών;

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη περίπτωση:

Δύο γραμμές συμπίπτουν αν και μόνο αν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλαδή υπάρχει τέτοιος αριθμός «λάμδα» που οι ισότητες

Ας εξετάσουμε ευθείες γραμμές και ας συνθέσουμε τρεις εξισώσεις από τους αντίστοιχους συντελεστές: . Από κάθε εξίσωση προκύπτει ότι, επομένως, αυτές οι γραμμές συμπίπτουν.

Πράγματι, αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πολλαπλασιάστε με -1 (σύμβολα αλλαγής), και όλους τους συντελεστές της εξίσωσης μειωθεί κατά 2, παίρνετε την ίδια εξίσωση: .

Η δεύτερη περίπτωση όταν οι ευθείες είναι παράλληλες:

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές τους στις μεταβλητές είναι ανάλογοι: , αλλά.

Για παράδειγμα, θεωρήστε δύο ευθείες γραμμές. Ελέγχουμε την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντελεστών για τις μεταβλητές:

Ωστόσο, είναι σαφές ότι .

Και η τρίτη περίπτωση, όταν τέμνονται οι γραμμές:

Δύο ευθείες τέμνονται αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών ΔΕΝ είναι ανάλογοι, δηλαδή ΔΕΝ υπάρχει τέτοια τιμή του «λάμδα» που να πληρούνται οι ισότητες

Έτσι, για τις ευθείες γραμμές θα συνθέσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , και από τη δεύτερη εξίσωση: , επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι συντελεστές στις μεταβλητές δεν είναι ανάλογοι.

Συμπέρασμα: οι γραμμές τέμνονται

Σε πρακτικά προβλήματα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σχήμα λύσεων που μόλις εξετάστηκε. Παρεμπιπτόντως, είναι πολύ παρόμοιος με τον αλγόριθμο για τον έλεγχο των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα, τον οποίο εξετάσαμε στο μάθημα. Η έννοια της γραμμικής (μη) εξάρτησης διανυσμάτων. Διανυσματική βάση. Αλλά υπάρχει ένα πιο πολιτισμένο πακέτο:

Παράδειγμα 1

Για να μάθετε αμοιβαία διευθέτησηαπευθείας:

Λύσημε βάση τη μελέτη κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:

α) Από τις εξισώσεις βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών: .

, άρα τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά και οι γραμμές τέμνονται.

Για κάθε ενδεχόμενο, θα βάλω μια πέτρα με δείκτες στο σταυροδρόμι:

Οι υπόλοιποι πηδούν πάνω από την πέτρα και συνεχίζουν, κατευθείαν στο Kashchei the Deathless =)

β) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης, που σημαίνει ότι είναι είτε παράλληλες είτε ίδιες. Εδώ η ορίζουσα δεν είναι απαραίτητη.

Προφανώς οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι, ενώ .

Ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα:

Με αυτόν τον τρόπο,

γ) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:
, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά. Οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουν.

Ο παράγοντας αναλογικότητας "λάμδα" είναι εύκολο να φανεί απευθείας από την αναλογία των διανυσμάτων συγγραμμικής κατεύθυνσης. Ωστόσο, μπορεί επίσης να βρεθεί μέσω των συντελεστών των ίδιων των εξισώσεων: .

Τώρα ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα. Και οι δύο ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, οπότε:

Η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί αυτή η εξίσωση(ταιριάζει σε οποιοδήποτε νούμερο γενικά).

Έτσι, οι γραμμές συμπίπτουν.

Απάντηση:

Πολύ σύντομα θα μάθετε (ή θα έχετε ήδη μάθει) να λύνετε το εξεταζόμενο πρόβλημα προφορικά κυριολεκτικά μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Από αυτή την άποψη, δεν βλέπω κανένα λόγο να προσφέρω κάτι ανεξάρτητη απόφαση, είναι καλύτερο να βάλετε ένα άλλο σημαντικό τούβλο στο γεωμετρικό θεμέλιο:

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη;

Για άγνοια αυτού η απλούστερη εργασίατιμωρεί αυστηρά τον Αηδόνι τον Ληστή.

Παράδειγμα 2

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Δηλώστε την άγνωστη γραμμή με το γράμμα . Τι λέει η κατάσταση για αυτό; Η γραμμή διέρχεται από το σημείο. Και αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε είναι προφανές ότι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας «ce» είναι επίσης κατάλληλο για την κατασκευή της ευθείας «τε».

Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης από την εξίσωση:

Απάντηση:

Η γεωμετρία του παραδείγματος φαίνεται απλή:

Η αναλυτική επαλήθευση αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1) Ελέγχουμε ότι οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης (αν η εξίσωση της ευθείας δεν είναι σωστά απλοποιημένη, τότε τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά).

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

Η αναλυτική επαλήθευση στις περισσότερες περιπτώσεις είναι εύκολο να πραγματοποιηθεί προφορικά. Κοιτάξτε τις δύο εξισώσεις και πολλοί από εσάς θα καταλάβετε γρήγορα πώς οι ευθείες είναι παράλληλες χωρίς κανένα σχέδιο.

Τα παραδείγματα για αυτολύσεις σήμερα θα είναι δημιουργικά. Γιατί πρέπει ακόμα να συναγωνιστείς την Μπάμπα Γιάγκα και εκείνη, ξέρεις, είναι λάτρης των κάθε λογής γρίφους.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο στην ευθεία αν

Υπάρχει ένας λογικός και όχι πολύ λογικός τρόπος επίλυσης. Ο συντομότερος δρόμος είναι στο τέλος του μαθήματος.

Κάναμε μια μικρή δουλειά με παράλληλες γραμμές και θα επιστρέψουμε σε αυτές αργότερα. Η περίπτωση των γραμμών που συμπίπτουν είναι λίγο ενδιαφέρον, γι' αυτό σκεφτείτε ένα πρόβλημα που σας είναι πολύ γνωστό σχολικό πρόγραμμα σπουδών:

Πώς να βρείτε το σημείο τομής δύο ευθειών;

Αν ευθεία τέμνονται στο σημείο , τότε οι συντεταγμένες του είναι η λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των γραμμών; Λύστε το σύστημα.

Εδώ είναι για σας γεωμετρική αίσθησησυστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστουςείναι δύο τεμνόμενες (τις περισσότερες φορές) ευθείες σε ένα επίπεδο.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης - γραφικός και αναλυτικός.

Γραφικός τρόποςείναι απλά να σχεδιάσετε τις δεδομένες γραμμές και να βρείτε το σημείο τομής απευθείας από το σχέδιο:

Εδώ είναι το θέμα μας: . Για να ελέγξετε, θα πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του σε κάθε εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, θα πρέπει να ταιριάζουν και εκεί και εκεί. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες ενός σημείου είναι η λύση του συστήματος. Στην πραγματικότητα, εξετάσαμε έναν γραφικό τρόπο επίλυσης συστήματα γραμμικών εξισώσεωνμε δύο εξισώσεις, δύο άγνωστους.

Η γραφική μέθοδος, φυσικά, δεν είναι κακή, αλλά υπάρχουν αισθητά μειονεκτήματα. Όχι, το θέμα δεν είναι ότι οι μαθητές της έβδομης δημοτικού αποφασίζουν έτσι, το θέμα είναι ότι θα χρειαστεί χρόνος για να γίνει μια σωστή και ΑΚΡΙΒΗ ζωγραφική. Επιπλέον, ορισμένες γραμμές δεν είναι τόσο εύκολο να κατασκευαστούν και το ίδιο το σημείο τομής μπορεί να βρίσκεται κάπου στο τριακοστό βασίλειο έξω από το φύλλο του σημειωματάριου.

Επομένως, είναι πιο σκόπιμο να αναζητήσετε το σημείο τομής με την αναλυτική μέθοδο. Ας λύσουμε το σύστημα:

Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της ορολογικής πρόσθεσης εξισώσεων. Για να αναπτύξετε τις σχετικές δεξιότητες, επισκεφθείτε το μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων;

Απάντηση:

Η επαλήθευση είναι ασήμαντη - οι συντεταγμένες του σημείου τομής πρέπει να ικανοποιούν κάθε εξίσωση του συστήματος.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών αν τέμνονται.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Η εργασία μπορεί εύκολα να χωριστεί σε διάφορα στάδια. Η ανάλυση της κατάστασης υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο:
1) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
2) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
3) Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών.
4) Εάν οι ευθείες τέμνονται, τότε βρείτε το σημείο τομής.

Η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου δράσης είναι χαρακτηριστική για πολλούς γεωμετρικά προβλήματα, και θα επικεντρωθώ σε αυτό επανειλημμένα.

Ολοκληρωμένη Λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος:

Ένα ζευγάρι παπούτσια δεν έχει ακόμη φθαρεί, καθώς φτάσαμε στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος:

Κάθετες γραμμές. Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.
Γωνία μεταξύ των γραμμών

Ας ξεκινήσουμε με ένα τυπικό και πολύ σημαντικό έργο. Στο πρώτο μέρος, μάθαμε πώς να χτίζουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη με τη δεδομένη και τώρα η καλύβα στα πόδια κοτόπουλου θα γυρίσει 90 μοίρες:

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία κάθετη σε μια δεδομένη;

Παράδειγμα 6

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια κάθετη ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο.

Λύση: Είναι γνωστό με την υπόθεση ότι . Θα ήταν ωραίο να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Δεδομένου ότι οι γραμμές είναι κάθετες, το κόλπο είναι απλό:

Από την εξίσωση «αφαιρούμε» το κανονικό διάνυσμα: , που θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.

Συνθέτουμε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα:

Απάντηση:

Ας ξεδιπλώσουμε το γεωμετρικό σκίτσο:

Χμμμ... Πορτοκαλί ουρανός, πορτοκαλί θάλασσα, πορτοκαλί καμήλα.

Αναλυτική επαλήθευσηλύσεις:

1) Εξάγετε τα διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις και με τη βοήθεια τελείες γινόμενο των διανυσμάτωνσυμπεραίνουμε ότι οι ευθείες είναι όντως κάθετες: .

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κανονικά διανύσματα, είναι ακόμα πιο εύκολο.

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει .

Η επαλήθευση, πάλι, είναι εύκολο να εκτελεστεί προφορικά.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών, αν η εξίσωση είναι γνωστή και τελεία.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Υπάρχουν πολλές ενέργειες στην εργασία, επομένως είναι βολικό να τακτοποιήσετε τη λύση σημείο προς σημείο.

Μας ένα διασκεδαστικό ταξίδισυνεχίζει:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Μπροστά μας είναι μια ευθεία λωρίδα του ποταμού και καθήκον μας είναι να φτάσουμε σε αυτήν με τον συντομότερο τρόπο. Δεν υπάρχουν εμπόδια και η βέλτιστη διαδρομή θα είναι η κίνηση κατά μήκος της κάθετης. Δηλαδή, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι το μήκος του κάθετου τμήματος.

Η απόσταση στη γεωμετρία υποδηλώνεται παραδοσιακά με το ελληνικό γράμμα "ro", για παράδειγμα: - η απόσταση από το σημείο "em" έως την ευθεία "de".

Απόσταση από σημείο σε γραμμή εκφράζεται με τον τύπο

Παράδειγμα 8

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία

Λύση: το μόνο που χρειάζεται είναι να αντικαταστήσετε προσεκτικά τους αριθμούς στον τύπο και να κάνετε τους υπολογισμούς:

Απάντηση:

Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:

Η απόσταση που βρέθηκε από το σημείο μέχρι τη γραμμή είναι ακριβώς το μήκος του κόκκινου τμήματος. Εάν κάνετε ένα σχέδιο σε καρό χαρτί σε κλίμακα 1 μονάδας. \u003d 1 cm (2 κελιά), τότε η απόσταση μπορεί να μετρηθεί με έναν συνηθισμένο χάρακα.

Εξετάστε μια άλλη εργασία σύμφωνα με το ίδιο σχέδιο:

Η εργασία είναι να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου, το οποίο είναι συμμετρικό στο σημείο ως προς τη γραμμή . Προτείνω να εκτελέσετε τις ενέργειες μόνοι σας, ωστόσο, θα ορίσω τον αλγόριθμο λύσης με ενδιάμεσα αποτελέσματα:

1) Βρείτε μια ευθεία που είναι κάθετη σε μια ευθεία.

2) Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: .

Και τα δύο βήματα συζητούνται λεπτομερώς στο αυτό το μάθημα.

3) Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της μέσης και ενός από τα άκρα. Με τύπους για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματοςεύρημα .

Δεν θα είναι περιττό να ελέγξετε ότι η απόσταση είναι επίσης ίση με 2,2 μονάδες.

Εδώ μπορεί να προκύψουν δυσκολίες στους υπολογισμούς, αλλά στον πύργο ένας μικροϋπολογιστής βοηθάει πολύ, επιτρέποντάς σας να μετράτε κοινά κλάσματα. Το έχω συμβουλέψει πολλές φορές και θα το προτείνω ξανά.

Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών;

Παράδειγμα 9

Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

Αυτό είναι ένα άλλο παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Μια μικρή υπόδειξη: υπάρχουν άπειροι τρόποι επίλυσης. Απολογισμός στο τέλος του μαθήματος, αλλά καλύτερα προσπαθήστε να μαντέψετε μόνοι σας, νομίζω ότι καταφέρατε να διασκορπίσετε καλά την εφευρετικότητά σας.

Γωνία μεταξύ δύο γραμμών

Όποια κι αν είναι η γωνία, τότε το τζάμπ:


Στη γεωμετρία, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών λαμβάνεται ως ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ γωνία, από την οποία αυτόματα προκύπτει ότι δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Στο σχήμα, η γωνία που υποδεικνύεται από το κόκκινο τόξο δεν θεωρείται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Και ο «πράσινος» γείτονάς του ή αντίθετα προσανατολισμένακατακόκκινη γωνία.

Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε οποιαδήποτε από τις 4 γωνίες μπορεί να ληφθεί ως γωνία μεταξύ τους.

Πώς διαφέρουν οι γωνίες; Προσανατολισμός. Πρώτον, η κατεύθυνση της "κύλισης" της γωνίας είναι θεμελιωδώς σημαντική. Δεύτερον, μια αρνητικά προσανατολισμένη γωνία γράφεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα, εάν .

Γιατί το είπα αυτό; Φαίνεται ότι μπορείτε να τα βγάλετε πέρα ​​με τη συνηθισμένη έννοια της γωνίας. Το γεγονός είναι ότι στους τύπους με τους οποίους θα βρούμε τις γωνίες, μπορεί εύκολα να αποδειχθεί αρνητικό αποτέλεσμακαι δεν πρέπει να σας ξαφνιάσει. Μια γωνία με σύμβολο μείον δεν είναι χειρότερη και έχει μια πολύ συγκεκριμένη γεωμετρική σημασία. Στο σχέδιο για αρνητική γωνίαφροντίστε να υποδείξετε τον προσανατολισμό του (δεξιόστροφα) με ένα βέλος.

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο γραμμών;Υπάρχουν δύο τύποι εργασίας:

Παράδειγμα 10

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Λύσηκαι Μέθοδος ένα

Εξετάστε δύο γραμμές δίνονται από εξισώσειςσε γενική εικόνα:

Αν ευθεία όχι κάθετο, έπειτα προσανατολισμένηΗ γωνία μεταξύ τους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Πλέον μεγάλη προσοχήγυρίστε στον παρονομαστή - αυτό ακριβώς είναι κλιμακωτό προϊόνδιανύσματα κατεύθυνσης ευθειών:

Αν , τότε ο παρονομαστής του τύπου εξαφανίζεται και τα διανύσματα θα είναι ορθογώνια και οι ευθείες θα είναι κάθετες. Γι' αυτό διατυπώθηκε επιφύλαξη για τη μη καθετότητα των γραμμών στη διατύπωση.

Με βάση τα παραπάνω, η λύση επισημοποιείται εύκολα σε δύο βήματα:

1) Υπολογίστε κλιμακωτό προϊόνδιανύσματα κατεύθυνσης ευθειών:
οπότε οι ευθείες δεν είναι κάθετες.

2) Βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών με τον τύπο:

Με τη χρήση αντίστροφη συνάρτησηεύκολο να βρεθεί η ίδια η γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την περιττότητα της εφαπτομένης του τόξου (βλ. Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων):

Απάντηση:

Στην απάντηση, υποδεικνύουμε την ακριβή τιμή, καθώς και την κατά προσέγγιση τιμή (κατά προτίμηση και σε μοίρες και σε ακτίνια), που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Λοιπόν, μείον, άρα μείον, δεν πειράζει. Εδώ είναι μια γεωμετρική απεικόνιση:

Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η γωνία αποδείχθηκε αρνητικός προσανατολισμός, επειδή στην κατάσταση του προβλήματος ο πρώτος αριθμός είναι μια ευθεία γραμμή και η "στρέψη" της γωνίας ξεκίνησε ακριβώς από αυτήν.

Εάν θέλετε πραγματικά να έχετε μια θετική γωνία, πρέπει να ανταλλάξετε τις ευθείες γραμμές, δηλαδή να πάρετε τους συντελεστές από τη δεύτερη εξίσωση , και πάρτε τους συντελεστές από την πρώτη εξίσωση . Εν ολίγοις, πρέπει να ξεκινήσετε με ένα άμεσο .

Σε λιγότερο από ένα λεπτό, δημιούργησα ένα νέο αρχείο Verdov και συνέχισα σε ένα τόσο συναρπαστικό θέμα. Πρέπει να πιάσετε τις στιγμές της εργασιακής διάθεσης, οπότε δεν θα υπάρχει στιχουργική εισαγωγή. Θα υπάρξουν πεζό χτύπημα =)

Οι δύο ευθύγραμμοι χώροι μπορούν:

1) διασταύρωση?

2) τέμνονται στο σημείο ?

3) να είναι παράλληλη?

4) ταιριάζουν.

Η περίπτωση #1 είναι θεμελιωδώς διαφορετική από τις άλλες περιπτώσεις. Δύο ευθείες τέμνονται αν δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.. Σηκώστε το ένα χέρι προς τα πάνω και τεντώστε το άλλο χέρι προς τα εμπρός - εδώ είναι ένα παράδειγμα τεμνόμενων γραμμών. Στα σημεία 2-4, οι γραμμές αναγκαστικά βρίσκονται σε ένα αεροπλάνο.

Πώς να μάθετε τη σχετική θέση των γραμμών στο διάστημα;

Εξετάστε δύο ευθύγραμμα κενά:

- ευθεία, σημείοκαι διάνυσμα κατεύθυνσης ;
είναι μια ευθεία που ορίζεται από ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης .

Για καλύτερη κατανόησηΑς κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο:

Το σχέδιο δείχνει λοξές γραμμές ως παράδειγμα.

Πώς να αντιμετωπίσετε αυτές τις γραμμές;

Δεδομένου ότι τα σημεία είναι γνωστά, είναι εύκολο να βρεθεί το διάνυσμα.

Αν ευθεία διασταυρώ γένη, μετά τα διανύσματα όχι ομοεπίπεδη(δείτε μάθημα Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Διανυσματική βάση), που σημαίνει ότι η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες τους είναι μη μηδενική. Ή, που είναι στην πραγματικότητα το ίδιο, θα είναι διαφορετικό από το μηδέν: .

Στις περιπτώσεις Νο 2-4 η κατασκευή μας «πέφτει» σε ένα επίπεδο, ενώ τα διανύσματα ομοεπίπεδη, και το μικτό προϊόν είναι γραμμικό εξαρτημένα διανύσματαισούται με μηδέν: .

Επεκτείνουμε περαιτέρω τον αλγόριθμο. Ας το προσποιηθούμε , επομένως, οι ευθείες είτε τέμνονται είτε είναι παράλληλες είτε συμπίπτουν.

Αν τα διανύσματα κατεύθυνσης συγγραμμική, τότε οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουν. Ως τελικό καρφί, προτείνω την ακόλουθη τεχνική: παίρνουμε οποιοδήποτε σημείο μιας ευθείας γραμμής και αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του στην εξίσωση της δεύτερης ευθείας. εάν οι συντεταγμένες "πλησίασαν", τότε οι γραμμές συμπίπτουν, εάν "δεν πλησίασαν", τότε οι γραμμές είναι παράλληλες.

Η πορεία του αλγορίθμου είναι απλή, αλλά πρακτικά παραδείγματαακόμα δεν θα πονέσει:

Παράδειγμα 11

Βρείτε τη σχετική θέση δύο γραμμών

Λύση: όπως σε πολλά προβλήματα γεωμετρίας, είναι βολικό να τακτοποιήσετε τη λύση σημείο προς σημείο:

1) Εξάγουμε σημεία και διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις:

2) Βρείτε το διάνυσμα:

Έτσι, τα διανύσματα είναι ομοεπίπεδα, που σημαίνει ότι οι ευθείες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και μπορούν να τέμνονται, να είναι παράλληλες ή να συμπίπτουν.

4) Ελέγξτε τα διανύσματα κατεύθυνσης για συγγραμμικότητα.

Ας συνθέσουμε ένα σύστημα από τις αντίστοιχες συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:

Από ΟλοιΗ εξίσωση υπονοεί ότι, επομένως, το σύστημα είναι συνεπές, οι αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων είναι ανάλογες και τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.

Συμπέρασμα: οι γραμμές είναι παράλληλες ή συμπίπτουν.

5) Μάθετε αν οι γραμμές έχουν κοινά σημεία. Ας πάρουμε ένα σημείο που ανήκει στην πρώτη ευθεία και ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του στις εξισώσεις της ευθείας:

Με αυτόν τον τρόπο, κοινά σημείαΟι ευθείες γραμμές δεν το κάνουν, και δεν έχουν άλλη επιλογή από το να είναι παράλληλες.

Απάντηση:

Ενδιαφέρον παράδειγμαγια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 12

Μάθετε τη σχετική θέση των γραμμών

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Σημειώστε ότι η δεύτερη γραμμή έχει το γράμμα ως παράμετρο. Λογικά. ΣΤΟ γενική περίπτωση- πρόκειται για δύο διαφορετικές γραμμές, επομένως κάθε γραμμή έχει τη δική της παράμετρο.

Και πάλι σας προτρέπω να μην παρακάμψετε παραδείγματα, θα πω ότι οι εργασίες που προτείνω δεν είναι καθόλου τυχαίες ;-)

Προβλήματα με ευθεία γραμμή στο διάστημα

Στο τελευταίο μέρος του μαθήματος, θα προσπαθήσω να εξετάσω μέγιστο ποσόδιάφορα προβλήματα με χωρικές γραμμές. Σε αυτήν την περίπτωση, θα τηρηθεί η αρχική σειρά της ιστορίας: πρώτα θα εξετάσουμε προβλήματα με τεμνόμενες γραμμές, μετά με τεμνόμενες γραμμές και στο τέλος θα μιλήσουμε για παράλληλες γραμμές στο διάστημα. Ωστόσο, πρέπει να πω ότι ορισμένες από τις εργασίες αυτού του μαθήματος μπορούν να διατυπωθούν για πολλές περιπτώσεις ευθειών γραμμών ταυτόχρονα, και από αυτή την άποψη, η διαίρεση της ενότητας σε παραγράφους είναι κάπως αυθαίρετη. Υπάρχουν περισσότερα απλά παραδείγματα, υπάρχουν περισσότερα σύνθετα παραδείγματακαι ελπίζω ο καθένας να βρει αυτό που χρειάζεται.

Διασταυρούμενες γραμμές

Σας υπενθυμίζω ότι οι γραμμές τέμνονται αν δεν υπάρχει επίπεδο στο οποίο βρίσκονται και οι δύο. Όταν σκεφτόμουν την εξάσκηση, μου ήρθε στο μυαλό μια εργασία τέρας και τώρα χαίρομαι που παρουσιάζω στην προσοχή σας έναν δράκο με τέσσερα κεφάλια:

Παράδειγμα 13

Δίνονται ευθείες γραμμές. Απαιτείται:

α) να αποδείξετε ότι οι ευθείες τέμνονται.

β) να βρείτε τις εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το σημείο που είναι κάθετο στις δεδομένες ευθείες.

γ) να συνθέσετε τις εξισώσεις μιας ευθείας που περιέχει κοινή κάθετητεμνόμενες γραμμές?

δ) βρείτε την απόσταση μεταξύ των γραμμών.

Λύση: Τον δρόμο θα τον κυριεύσει ο πεζός:

α) Ας αποδείξουμε ότι οι ευθείες τέμνονται. Ας βρούμε τα σημεία και τα διανύσματα κατεύθυνσης αυτών των ευθειών:

Ας βρούμε το διάνυσμα:

Υπολογίζω μικτό γινόμενο διανυσμάτων:

Οι φορείς λοιπόν όχι ομοεπίπεδη, που σημαίνει ότι οι γραμμές τέμνονται, κάτι που έπρεπε να αποδειχτεί.

Πιθανώς, όλοι έχουν από καιρό παρατηρήσει ότι για τις λοξές γραμμές, ο αλγόριθμος επαλήθευσης αποδεικνύεται ο συντομότερος.

β) Ας βρούμε τις εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και είναι κάθετη στις ευθείες. Ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο:

Για ποικιλία, δημοσίευσα ένα direct ΑΝΑευθείες, δείτε πώς διαγράφεται ελαφρώς στα σημεία διέλευσης. Διασταυρώσεις; Ναι, στη γενική περίπτωση, η γραμμή "de" θα τέμνεται με τις αρχικές γραμμές. Παρόλο αυτή τη στιγμήδεν μας ενδιαφέρει ακόμα, απλά πρέπει να φτιάξουμε μια κάθετη γραμμή και τέλος.

Τι είναι γνωστό για το άμεσο «ντε»; Το σημείο που του ανήκει είναι γνωστό. Το διάνυσμα κατεύθυνσης λείπει.

Κατά συνθήκη, η ευθεία πρέπει να είναι κάθετη στις ευθείες, πράγμα που σημαίνει ότι το διάνυσμα κατεύθυνσής της θα είναι ορθογώνιο ως προς τα διανύσματα κατεύθυνσης. Το μοτίβο που είναι ήδη γνωστό από το Παράδειγμα Νο. 9, ας βρούμε το διανυσματικό γινόμενο:

Ας συνθέσουμε τις εξισώσεις της ευθείας "de" κατά το σημείο και το κατευθυντικό διάνυσμα:

Ετοιμος. Κατ' αρχήν, μπορεί κανείς να αλλάξει τα σημάδια στους παρονομαστές και να γράψει την απάντηση στη φόρμα , αλλά δεν χρειάζεται κάτι τέτοιο.

Για να ελέγξετε, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του σημείου στις ληφθείσες εξισώσεις της ευθείας γραμμής, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τελείες γινόμενο των διανυσμάτωνβεβαιωθείτε ότι το διάνυσμα είναι πραγματικά ορθογώνιο στα διανύσματα κατεύθυνσης "pe one" και "pe two".

Πώς να βρείτε τις εξισώσεις μιας ευθείας που περιέχει μια κοινή κάθετο;

γ) Αυτό το πρόβλημα είναι πιο δύσκολο. Τα ανδρείκελα συνιστούν να παραλείψετε αυτό το αντικείμενο, δεν θέλω να ψύχω την ειλικρινή σας συμπάθεια για την αναλυτική γεωμετρία =) Παρεμπιπτόντως, είναι μάλλον καλύτερο να περιμένουν και οι πιο προετοιμασμένοι αναγνώστες, γεγονός είναι ότι το παράδειγμα πρέπει να τεθεί τελευταίο στο άρθρο όσον αφορά την πολυπλοκότητα, αλλά σύμφωνα με τη λογική της παρουσίασης, θα πρέπει να βρίσκεται εδώ.

Άρα, απαιτείται να βρεθούν οι εξισώσεις της ευθείας, που περιέχει την κοινή κάθετο των λοξών ευθειών.

είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τις δεδομένες γραμμές και είναι κάθετο στις δεδομένες ευθείες:

Εδώ είναι ο όμορφος άντρας μας: - κοινή κάθετη τεμνόμενων γραμμών. Είναι ο μόνος. Δεν υπάρχει άλλο σαν αυτό. Πρέπει επίσης να συνθέσουμε τις εξισώσεις μιας ευθείας που περιέχει ένα δεδομένο τμήμα.

Τι είναι γνωστό για το άμεσο «εεε»; Το διάνυσμα κατεύθυνσής του είναι γνωστό, που βρέθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Όμως, δυστυχώς, δεν γνωρίζουμε ούτε ένα σημείο που να ανήκει στην ευθεία «εμ», δεν γνωρίζουμε τα άκρα της κάθετης - σημεία. Πού τέμνει αυτή η κάθετη ευθεία τις δύο αρχικές ευθείες; Αφρική, Ανταρκτική; Από την αρχική ανασκόπηση και ανάλυση της κατάστασης, δεν είναι καθόλου σαφές πώς να λυθεί το πρόβλημα .... Αλλά υπάρχει ένα κόλπο στη χρήση παραμετρικές εξισώσειςευθεία.

Ας πάρουμε μια απόφαση σημείο προς σημείο:

1) Ας ξαναγράψουμε τις εξισώσεις της πρώτης ευθείας σε παραμετρική μορφή:

Ας εξετάσουμε ένα σημείο. Δεν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες. ΑΛΛΑ. Αν ένα σημείο ανήκει σε μια δεδομένη ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του αντιστοιχούν σε , συμβολίστε το με . Τότε οι συντεταγμένες του σημείου θα γραφούν ως:

Η ζωή γίνεται καλύτερη, ένας άγνωστος - τελικά όχι τρεις άγνωστοι.

2) Η ίδια αγανάκτηση πρέπει να γίνει και στο δεύτερο σημείο. Ας ξαναγράψουμε τις εξισώσεις της δεύτερης ευθείας σε παραμετρική μορφή:

Αν ένα σημείο ανήκει σε μια δεδομένη ευθεία, τότε με πολύ συγκεκριμένο νόημαΟι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν τις παραμετρικές εξισώσεις:

Ή:

3) Το διάνυσμα, όπως το διάνυσμα που βρέθηκε προηγουμένως, θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της γραμμής. Το πώς να συνθέσετε ένα διάνυσμα από δύο σημεία θεωρήθηκε από αμνημονεύτων χρόνων στο μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελα. Τώρα η διαφορά είναι ότι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων γράφονται με άγνωστες τιμέςΠαράμετροι. Και λοιπόν? Κανείς δεν απαγορεύει την αφαίρεση των αντίστοιχων συντεταγμένων της αρχής του διανύσματος από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος.

Υπάρχουν δύο σημεία: .

Εύρεση διανύσματος:

4) Εφόσον τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά, τότε το ένα διάνυσμα εκφράζεται γραμμικά μέσω του άλλου με κάποιο συντελεστή αναλογικότητας "λάμδα":

Ή συντονισμένα:

Αποδείχθηκε ότι ήταν το πιο συνηθισμένο σύστημα γραμμικών εξισώσεωνμε τρία άγνωστα, τα οποία είναι τυπικά επιλύσιμα, για παράδειγμα, Η μέθοδος του Cramer. Αλλά εδώ υπάρχει μια ευκαιρία να βγούμε με λίγο αίμα, από την τρίτη εξίσωση θα εκφράσουμε το "λάμδα" και θα το αντικαταστήσουμε στην πρώτη και δεύτερη εξίσωση:

Με αυτόν τον τρόπο: , και «λάμδα» δεν χρειαζόμαστε. Το γεγονός ότι οι τιμές των παραμέτρων αποδείχτηκαν ίδιες είναι καθαρή τύχη.

5) Ο ουρανός καθαρίζει εντελώς, αντικαταστήστε τις τιμές που βρέθηκαν στις τοποθεσίες μας:

Το διάνυσμα κατεύθυνσης δεν χρειάζεται ιδιαίτερα, αφού το αντίστοιχο του έχει ήδη βρεθεί.

Μετά μακρύς δρόμοςΕίναι πάντα διασκεδαστικό να ελέγχεις.

:

Προκύπτουν οι σωστές ισότητες.

Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου στις εξισώσεις :

Προκύπτουν οι σωστές ισότητες.

6) Η τελική χορδή: θα συνθέσουμε τις εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής για ένα σημείο (μπορείτε να πάρετε) και ένα κατευθυντικό διάνυσμα:

Κατ 'αρχήν, μπορείτε να επιλέξετε ένα "καλό" σημείο με ακέραιες συντεταγμένες, αλλά αυτό είναι καλλυντικό.

Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ τεμνόμενων γραμμών;

δ) Κόβουμε το τέταρτο κεφάλι του δράκου.

Μέθοδος ένα. Ούτε καν τρόπος, αλλά μικρός ειδική περίπτωση. Η απόσταση μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών είναι ίση με το μήκος της κοινής τους καθέτου: .

ακραία σημείακοινή κάθετη που βρέθηκε στην προηγούμενη παράγραφο και η εργασία είναι στοιχειώδης:

Μέθοδος δεύτερη. Στην πράξη, τις περισσότερες φορές τα άκρα της κοινής καθέτου είναι άγνωστα, επομένως χρησιμοποιείται διαφορετική προσέγγιση. Μέσα από δύο τεμνόμενες γραμμές, μπορεί κανείς να σχεδιάσει παράλληλα επίπεδα, και η απόσταση μεταξύ των δεδομένων επιπέδων είναι ίση με την απόσταση μεταξύ των δεδομένων γραμμών. Συγκεκριμένα, μια κοινή κάθετη προεξέχει μεταξύ αυτών των επιπέδων.

Κατά τη διάρκεια της αναλυτικής γεωμετρίας, από τις παραπάνω σκέψεις, προέκυψε ένας τύπος για την εύρεση της απόστασης μεταξύ λοξών γραμμών:
(αντί για τα σημεία μας "em ένα, δύο" μπορούμε να πάρουμε αυθαίρετα σημεία ευθειών).

Μικτό γινόμενο διανυσμάτωνβρέθηκε ήδη στην παράγραφο "α": .

Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτωνπου βρίσκεται στην παράγραφο "be": , υπολογίστε το μήκος του:

Με αυτόν τον τρόπο:

Δώστε περήφανα τα τρόπαια σε μια σειρά:

Απάντηση:
ένα) , επομένως, οι ευθείες τέμνονται, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.
σι) ;
σε) ;
ΣΟΛ)

Τι άλλο μπορεί να ειπωθεί για τις τεμνόμενες γραμμές; Μεταξύ τους ορίζεται μια γωνία. Αλλά εξετάστε τον τύπο καθολικής γωνίας στην επόμενη παράγραφο:

Οι τεμνόμενες ευθείες βρίσκονται αναγκαστικά στο ίδιο επίπεδο:

Η πρώτη σκέψη είναι να ακουμπήσετε στο σημείο διασταύρωσης με όλη σας τη δύναμη. Και αμέσως σκέφτηκα, γιατί να αρνηθείς τον εαυτό σου σωστές επιθυμίες;! Ας το πηδήξουμε αμέσως!

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των χωρικών γραμμών;

Παράδειγμα 14

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Ας ξαναγράψουμε τις εξισώσεις των γραμμών σε παραμετρική μορφή:

Αυτή η εργασίασυζητήθηκε λεπτομερώς στο Παράδειγμα Νο. 7 αυτού του μαθήματος (βλ. Εξισώσεις ευθείας στο χώρο). Και οι ίδιες οι ευθείες, παρεμπιπτόντως, πήρα από το Παράδειγμα Νο. 12. Δεν θα πω ψέματα, είμαι πολύ τεμπέλης για να εφεύρω νέες.

Η λύση είναι τυπική και έχει ήδη συναντηθεί όταν επεξεργαστήκαμε τις εξισώσεις της κοινής κάθετου των λοξών γραμμών.

Το σημείο τομής των ευθειών ανήκει στην ευθεία, επομένως οι συντεταγμένες της ικανοποιούν τις παραμετρικές εξισώσεις αυτής της ευθείας και αντιστοιχούν σε μια πολύ συγκεκριμένη τιμή παραμέτρου:

Αλλά το ίδιο σημείο ανήκει στη δεύτερη γραμμή, επομένως:

Εξισώνω τις αντίστοιχες εξισώσειςκαι κάντε απλοποιήσεις:

Ελήφθη σύστημα των τριώνγραμμικές εξισώσεις σε δύο άγνωστους. Εάν οι ευθείες τέμνονται (όπως αποδεικνύεται στο Παράδειγμα 12), τότε το σύστημα είναι απαραίτητα συνεπές και έχει μια μοναδική λύση. Μπορεί να λυθεί Μέθοδος Gauss, αλλά δεν θα αμαρτήσουμε με τέτοιο φετιχισμό νηπιαγωγείου, ας το κάνουμε πιο εύκολα: από την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε το "te zero" και το αντικαθιστούμε στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση:

Οι δύο τελευταίες εξισώσεις αποδείχθηκαν ουσιαστικά ίδιες και από αυτές προκύπτει ότι . Επειτα:

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή που βρέθηκε της παραμέτρου στις εξισώσεις:

Απάντηση:

Για έλεγχο, αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε της παραμέτρου στις εξισώσεις:
Λήφθηκαν οι ίδιες συντεταγμένες όπως απαιτείται να ελεγχθούν. Οι σχολαστικοί αναγνώστες μπορούν να αντικαταστήσουν τις συντεταγμένες του σημείου στις αρχικές κανονικές εξισώσεις των γραμμών.

Παρεμπιπτόντως, ήταν δυνατό να γίνει το αντίθετο: βρείτε το σημείο μέσω του "es zero" και ελέγξτε το μέσω του "te zero".

Ένα γνωστό μαθηματικό σημάδι λέει: όπου συζητείται η τομή των ευθειών, υπάρχει πάντα μια μυρωδιά καθέτων.

Πώς να κατασκευάσετε μια ευθεία χώρου κάθετη σε μια δεδομένη;

(ευθείες τέμνονται)

Παράδειγμα 15

α) Να συνθέσετε τις εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από σημείο κάθετο στην ευθεία (ευθείες τέμνονται).

β) Να βρείτε την απόσταση από το σημείο μέχρι την ευθεία.

Σημείωση : ρήτρα "γραμμές τέμνονται" - σημαντικός. Μέσα από την τελεία
είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε άπειρο αριθμό κάθετων ευθειών που θα τέμνονται με την ευθεία «ελ». Η μόνη λύση είναι στην περίπτωση που δεδομένο σημείοτραβηγμένο ευθύ, κάθετο δύοδίνονται ευθείες γραμμές (βλ. Παράδειγμα αρ. 13, παράγραφος "β").

ένα) Λύση: Συμβολίστε την άγνωστη γραμμή με . Ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο:

Τι είναι γνωστό για τη γραμμή; Κατά συνθήκη, δίνεται ένας βαθμός. Για να συνθέσουμε τις εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής, είναι απαραίτητο να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης. Ως τέτοιο διάνυσμα, το διάνυσμα είναι αρκετά κατάλληλο και θα το αντιμετωπίσουμε. Ακριβέστερα, ας πάρουμε το άγνωστο άκρο του διανύσματος από το scruff.

1) Θα εξαγάγουμε το κατευθυντικό του διάνυσμα από τις εξισώσεις της ευθείας "el" και θα ξαναγράψουμε τις ίδιες τις εξισώσεις σε παραμετρική μορφή:

Πολλοί μάντευαν ότι τώρα για τρίτη φορά κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα πάρει ο μάγος λευκός κύκνοςαπό ένα καπέλο. Θεωρήστε ένα σημείο με άγνωστες συντεταγμένες. Αφού το σημείο , τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας "el" και αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη τιμή παραμέτρου:

Ή σε μία γραμμή:

2) Κατά συνθήκη, οι ευθείες πρέπει να είναι κάθετες, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσής τους είναι ορθογώνια. Και αν τα διανύσματα είναι ορθογώνια, τότε τα δικά τους κλιμακωτό προϊόνισούται με μηδέν:

Τι συνέβη? Η απλούστερη γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο:

3) Η τιμή της παραμέτρου είναι γνωστή, ας βρούμε το σημείο:

Και το διάνυσμα κατεύθυνσης:
.

4) Θα συνθέσουμε τις εξισώσεις της ευθείας κατά το σημείο και το διάνυσμα κατεύθυνσης :

Οι παρονομαστές της αναλογίας αποδείχθηκαν κλασματικοί, και αυτό ακριβώς συμβαίνει όταν είναι σκόπιμο να απαλλαγούμε από τα κλάσματα. Απλώς θα τα πολλαπλασιάσω με -2:

Απάντηση:

Σημείωση : μια πιο αυστηρή κατάληξη της λύσης συντάσσεται ως εξής: συνθέτουμε τις εξισώσεις μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης . Πράγματι, εάν ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής, τότε το διάνυσμα που είναι συγγραμμικό προς αυτό φυσικά θα είναι επίσης ένα κατευθυντικό διάνυσμα αυτής της ευθείας γραμμής.

Η επαλήθευση αποτελείται από δύο στάδια:

1) ελέγξτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των γραμμών για ορθογωνικότητα.

2) αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου στις εξισώσεις κάθε ευθείας, πρέπει να «ταιριάζουν» και εδώ και εκεί.

Έγινε πολύς λόγος για τυπικές ενέργειες, οπότε έκανα έναν έλεγχο σε ένα προσχέδιο.

Παρεμπιπτόντως, ξέχασα μια άλλη μόδα - να χτίσω ένα σημείο "sue" συμμετρικό στο σημείο "en" σε σχέση με την ευθεία γραμμή "el". Ωστόσο, υπάρχει ένα καλό "επίπεδο ανάλογο", το οποίο μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Τα πιο απλά προβλήματα με μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο. Εδώ, όλη η διαφορά θα είναι στην πρόσθετη συντεταγμένη "Z".

Πώς να βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία στο διάστημα;

σι) Λύση: Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία.

Μέθοδος ένα. Δεδομένης απόστασηςακριβώς ίσο με το μήκος της καθέτου: . Η λύση είναι προφανής: αν τα σημεία είναι γνωστά , έπειτα:

Μέθοδος δεύτερη. Σε πρακτικά προβλήματα, η βάση της κάθετης είναι συχνά ένα μυστήριο, επομένως είναι πιο λογικό να χρησιμοποιείται ένας έτοιμος τύπος.

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία εκφράζεται με τον τύπο:
, όπου είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας "el", και - αυθαίρετοςένα σημείο σε μια δεδομένη ευθεία.

1) Από τις εξισώσεις της ευθείας παίρνουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης και το πιο προσιτό σημείο .

2) Το σημείο είναι γνωστό από τη συνθήκη, ακονίστε το διάνυσμα:

3) Ας βρούμε διανυσματικό προϊόνκαι να υπολογίσετε το μήκος του:

4) Υπολογίστε το μήκος του διανύσματος κατεύθυνσης:

5) Έτσι, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία:

Απόδειξη.

Ας πάρουμε ένα σημείο , που βρίσκεται στη γραμμή ένα, τότε οι συντεταγμένες του σημείου Μ1ικανοποιεί την εξίσωση, δηλαδή η ισότητα, από όπου έχουμε .

Αν ένα font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> σιέχει τη μορφήfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> και αν, τότε η κανονική εξίσωση της ευθείας σιέχει τη μορφήfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Στη συνέχεια στο font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">distance from pointσε ευθεία σιυπολογίζεται με τον τύπο, και στο - σύμφωνα με τον τύπο

Δηλαδή για οποιαδήποτε αξία Γ2απόστασηαπό το σημείο σε ευθεία σιμπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο. Και με δεδομένη την ισότητα, που λήφθηκε παραπάνω, τότε ο τελευταίος τύπος θα πάρει τη μορφήfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Το θεώρημα αποδεικνύεται.

2. Επίλυση προβλημάτων εύρεσης της απόστασης μεταξύ παράλληλων ευθειών

Παράδειγμα #1.

Βρείτε την απόσταση μεταξύ παράλληλων ευθειώνκαι Λύση.

Λαμβάνουμε τις γενικές εξισώσεις δεδομένων παράλληλων ευθειών.

Για στρέιτ μέγεθος γραμματοσειράς: 12,0 pt line-height:115%;font-family:Verdana">αντιστοιχεί στη γενική εξίσωση μιας γραμμής. Ας περάσουμε από τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας μορφήςfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">στη γενική εξίσωση αυτής της γραμμής:

μέγεθος γραμματοσειράς: 12,0 pt line-height:115%;font-family:Verdana">Μεταβλητοί συντελεστές Χκαι yστο ληφθέν γενικές εξισώσειςΟι παράλληλες γραμμές είναι ίσες, επομένως μπορούμε να εφαρμόσουμε αμέσως τον τύπο για να υπολογίσουμε την απόσταση μεταξύ των παράλληλων γραμμών στο επίπεδο:.

Απάντηση: μέγεθος γραμματοσειράς: 12,0 pt line-height:115%;font-family:Verdana">Παράδειγμα #2.

Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων εισάγεται στο επίπεδο Oxyκαι δίνονται οι εξισώσεις δύο παράλληλων ευθειώνκαι . Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δεδομένων παράλληλων ευθειών.

Λύση:

Η πρώτη λύση.

Κανονικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο μορφήςμέγεθος γραμματοσειράς: 12,0 pt line-height:115%;font-family:Verdana"> σας επιτρέπει να καταγράψετε αμέσως τις συντεταγμένες του σημείου Μ1που βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή:μέγεθος γραμματοσειράς: 12,0 pt line-height:115%;font-family:Verdana">. Απόσταση από αυτό το σημείο στη γραμμήίση με την επιθυμητή απόσταση μεταξύ παράλληλων γραμμών. Η εξίσωσηείναι κανονική εξίσωσηευθεία γραμμή, επομένως, μπορούμε να υπολογίσουμε αμέσως την απόσταση από το σημείοσε ευθεία font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:.

Η δεύτερη λύση.

Η γενική εξίσωση μιας από τις παράλληλες ευθείες μας έχει ήδη δοθείfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Εδώ είναι η κανονική εξίσωση της γραμμήςστη γενική εξίσωση μιας ευθείας:. Μεταβλητοί συντελεστές Χστις γενικές εξισώσεις, οι δεδομένες παράλληλες ευθείες είναι ίσες (με μια μεταβλητή yοι συντελεστές είναι επίσης ίσοι - είναι ίσοι με μηδέν), επομένως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν τύπο που σας επιτρέπει να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ δεδομένων παράλληλων γραμμών:.

Απάντηση: 8

3. Εργασία για το σπίτι

Εργασίες για αυτοέλεγχο

1. Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Όλοι οι στόχοι και στόχοι που τέθηκαν έχουν επιτευχθεί πλήρως. Δύο μαθήματα έχουν αναπτυχθεί από την ενότητα «Αμοιβαία διάταξη αντικειμένων σε επίπεδο» με θέμα «Απόσταση από σημείο σε ευθεία. Απόσταση μεταξύ παράλληλων γραμμών» χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων. Το υλικό επιλέγεται σε προσιτό επίπεδο για τους μαθητές, το οποίο θα επιτρέψει την επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας με απλούστερες και πιο όμορφες μεθόδους.

5. ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑΣ

1) , Yudina. Βαθμοί 7 - 9: ένα εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα.

2) , Πόζνιακ. Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 του Λυκείου.

3) , Νικόλσκι Μαθηματικά. Τόμος Πρώτος: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας.

4) , Γεωμετρία Πόζνιακ.

6.ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Υλικό αναφοράς

Γενική εξίσωση ευθείας:

Ah + Wu + C = 0 ,

όπου ΑΛΛΑκαι ΣΤΟόχι ίσο με μηδέν ταυτόχρονα.

Πιθανότητα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟείναι συντεταγμένες κανονικό διάνυσμα ευθεία γραμμή (δηλαδή, ένα διάνυσμα κάθετο στην ευθεία). Στο Α = 0 ευθεία παράλληλη προς τον άξονα OH, στο Β = 0 ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Ο Υ .

Στο ΣΤΟ0 παίρνω εξίσωση κλίσης :

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο ( Χ 0 , στο 0) και όχι παράλληλα με τον άξοναOY, μοιάζει με:

στο – στο 0 = Μ (Χ – Χ 0) ,

όπου Μ – κλίση , εφαπτομένοςτη γωνία που σχηματίζει μια δεδομένη ευθεία και τη θετική κατεύθυνση του άξονα OH .

Στο ΑΛΛΑ font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">

όπου ένα = – ντο / ΕΝΑ , σι = – ντο / σι . Αυτή η γραμμή διέρχεται από τα σημεία (ένα, 0) και (0, σι), δηλ. αποκόπτει στους άξονες συντεταγμένων τμήματα μήκουςένακαι σι .

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο διάφορα σημεία (Χ 1, στο 1) και ( Χ 2, στο 2):

Παραμετρική εξίσωση ευθείας γραμμής περνώντας από το σημείο ( Χ 0 , στο 0) και παράλληλα κατεύθυνση διάνυσμα ευθεία (ένα, σι) :

Κατάσταση παράλληλων ευθειών:

1) για ευθείες γραμμές Ax + Vy + C = 0 καιρεx+μιy+φά = 0: ΑΕ – BD = 0 ,

2) για ευθείες γραμμές στο = Μ Χ+ κ και στο= Π Χ+ q : Μ = Π .