Väidete algebra. Boole'i ​​operatsioonid

Plaan

Väited välise eitusega.

konjunktiivsed väited.

disjunktiivsed väited.

Rangelt disjunktiivsed väited.

Väited samaväärsuse kohta.

Kaudsed väited.

Väited välise eitusega.

Välise eitusega väide on väide (otsus), milles kinnitatakse teatud olukorra puudumist. Kõige sagedamini väljendub see lauses, mis algab fraasiga “pole tõsi, et...” või “see on vale, et...”. Väline eitus on tähistatud sümboliga “ù”, mida nimetatakse eitusmärgiks. See märk määratakse järgmise tõesuse tabeli abil:

Välise eitusega väidetes eitatakse olukorda A-s. Näiteks kui A: "Volga suubub Musta merre", siis ùA: "Ei ole tõsi, et Volga suubub Musta merre."

konjunktiivsed väited.

Konjunktiivsed väited on need, milles kinnitatakse kahe olukorra samaaegset olemasolu. Konjunktiivsed väited moodustatakse kahest väitest, kasutades liite "ja", "a", "aga". Konjunktiivi lausungi vorm: (A&B). Iga väide A ja B võib võtta nii väärtuse "true" kui ka väärtuse "false". Need väärtused on lühiduse huvides tähistatud tähtedega mina, l. Konjunktiivsete väidete tõetabel on järgmine:

Konjunktiivsetes väidetes öeldakse, et A-s ja B-s kirjeldatud olukord toimub üheaegselt. Näited konjunktiivsetest väidetest: "Maa on planeet ja Kuu on satelliit"; "Petrov valdas loogikat hästi, aga Sidorov loogikat halvasti"; “Väljas on pime ja auditooriumis põlevad tuled”; "Petrov andis ametnikule altkäemaksu sularahas ja Sidorov pudeli."

disjunktiivsed väited.

Disjunktiivsed väited on väited, mis kinnitavad vähemalt ühe kahest punktis A ja B kirjeldatud olukorrast. Disjunktsiooni tähistatakse sümboliga V ja loomulikus keeles väljendatakse ühendusega "või".

Disjunktsioonimärgi tabelimääratlus on järgmine:

Näide disjunktiivsest väitest: "Roman Sergejevitš Ivanov on õpetaja või Roman Sergejevitš Ivanov on magistrant."

Rangelt disjunktiivsed väited.

Rangelt disjunktiivsed väited on väited, mis kinnitavad täpselt ühe kahest punktides A ja B kirjeldatud olukorrast. Sellised väited esitatakse enamasti lausete abil, mille liit on "või ... või ..." ("kas või ... või ...”). Ranget disjunktsiooni tähistatakse sümboliga V* (loe “kas... või...”).

Range disjunktsioonimärgi tabelimääratlus on järgmine:

Näide rangelt disjunktiivsest väitest: "Kas väljas on päike või sajab vihma."

Tõe väärtus

See artikkel või jaotis on artikli ligikaudne tõlge teises keeles (vt Tõlgete kontrollimine). Selle võis genereerida tõlkeprogramm või keegi, kes algkeelt vähe valdab. ¬( Muster: Mvar∧Muster:Mvar) ⇔ ¬Muster:Mvar ∨ ¬Muster:Mvar ¬( Muster: Mvar∨Muster:Mvar) ⇔ ¬Muster:Mvar ∧ ¬Muster:Mvar Mitmeväärtuslik loogika Mitmeväärtuslik loogika (näiteks häguloogika võimaldab rohkem kui kahte tõeväärtust, mis võivad sisaldada mõningaid sisemisi struktuure. Algebraline semantika Kõik loogilised süsteemid ei ole tõelised väärtussüsteemid selles mõttes, et loogilisi konnektiivisid saab tõlgendada funktsioonide tõena. Näiteks intuitsionistlikul loogikal puudub täielik tõeväärtuste komplekt, kuna selle semantika on määratletud tingimuse tõestatavuse, mitte otseselt valemite kohustusliku kehtivuse järgi. Teistes teooriates Intuitsionistlik tüübiteooria kasutab tõeväärtuste asemel tüüpe. Topose teooria kasutab tõeväärtusi erilises tähenduses: topose tõeväärtus on klassifikaatori globaalne element x alamobjekt. Tõe väärtuse omamine selles mõttes ei oma tõe väärtusloogikat. Vaata ka Lingid Wikimedia sihtasutus. 2010 . Vaadake, mis on "Tõe väärtus" teistes sõnaraamatutes: Sisu, millele viitab üks või teine ​​keeleline väljend sõna, lause, märgi vms. Keeleväljendite Z. küsimust uurivad lingvistika, semiootika ja loogiline semantika. Eristada subjekti, semantilist ja ekspressiivset Z. keelelist ... Filosoofiline entsüklopeedia Tõe väärtus (loogikas), väärtus, mille avaldus (lause, kohtuotsus) võtab, arvestades selles kuvatava sisuga. Tavalises (klassikalises) loogikas on kaks I. z. "õige Vale"; sisse… … Suur Nõukogude entsüklopeedia Tõelisuse tabel on tabel, mis kirjeldab loogikafunktsiooni. "Loogilise funktsiooni" all mõeldakse antud juhul funktsiooni, milles muutujate väärtused (funktsiooni parameetrid) ja funktsiooni enda väärtus väljendavad loogilist tõde. ... ... Wikipedia Tabel, mis määrab liitlause tõeväärtuse, arvestades selle lihtsate väidete väärtusi. Klassikalises matemaatilises loogikas eeldatakse, et iga algarvu (ei sisalda loogilist ... ... Loogikaterminite sõnastik Denotatum (lad. denotatum tähistatud), keeleteaduse ja ekstensiooniloogika termin, mis tähistab 1) laiendit, 2) designatum'i, 3) referenti ja 4) tähenduse semantilist tuuma. Sisu 1 Tähistus laiendusena 2 Tähistus kui tähis ... Wikipedia Väite üks võimalikke omadusi selle vastavuse poolest kirjeldatud tegelikkuse fragmendile. Kui eeldatakse, et iga väide on kas tõene või väär (st et see on kas tõene ... Loogikaterminite sõnastik Mitmetähenduslikkuse printsiibil põhinevate loogiliste süsteemide kogum. Klassikalises kaheväärtuslikus loogikas saavad avaldised tõlgendamise ajal ainult kaks väärtust "tõene" ja "väär", M.l. arvesse võetakse näiteks ka muid väärtusi. "lõpmatuseni" ...... Filosoofiline entsüklopeedia - (lat. factum tehtud, sooritatud) 1) sünonüüm mõistetele "tõde", "sündmus", "tulemus"; midagi tõelist vastandina väljamõeldud; konkreetne, ainsuses erinevalt abstraktsest ja üldisest; 2) eriliigi teadusfilosoofias p ... Filosoofiline entsüklopeedia - (logistikas) - lause (otsuse, väite) tõepärasus, tänu, erinevalt nn. loogiline tõde, selle lause sisu. Teisisõnu, lause on tegelikult tõene, kui selle tõesus sõltub väärtustest... Filosoofiline entsüklopeedia Stereomeetriline semantika- loogika tõlgendamine tõeste eelduste põhjal tõeste tagajärgede saamise teadusena annab üha enam teed laiemale kontseptsioonile, mis on seotud kas järgimise mõiste üldistamisega, mis põhineb traditsioonilisel tõehinnangul ja praktilisel ... Projektiivne filosoofiline sõnaraamat Raamatud Kuidas siiralt uskuda jumalasse ehk ainuke asi, mis usu arenguks loeb, Vrajev V. keskkond koos...

propositsiooniloogika , mida nimetatakse ka propositsiooniloogikaks – matemaatika ja loogika haru, mis uurib loogikatehete abil lihtsatest või elementaarlausetest üles ehitatud keeruliste väidete loogilisi vorme.

Väidete loogika on abstraheeritud väidete tähenduslikust koormast ja uurib nende tõeväärtust ehk seda, kas väide on tõene või väär.

Ülaltoodud joonis on valeliku paradoksina tuntud nähtuse illustratsioon. Samas on projekti autori hinnangul sellised paradoksid võimalikud vaid poliitilistest probleemidest mittevabades keskkondades, kus kedagi a priori valetajaks tembeldada. Looduslikus kihilises maailmas edasi "tõe" või "vale" subjekti hinnatakse ainult eraldi võetud väiteid . Ja hiljem selles õppetükis tutvustatakse teile võimalus hinnata paljusid selleteemalisi väiteid (ja siis vaata õigeid vastuseid). Sealhulgas keerulised väited, milles lihtsamad on omavahel seotud loogikatehete märkide abil. Kuid kõigepealt vaatleme neid tehteid propositsioonide endi kohta.

Propositsiooniloogikat kasutatakse arvutiteaduses ja programmeerimises loogiliste muutujate deklareerimise ja neile loogiliste väärtuste "false" või "true" omistamise vormis, millest sõltub programmi edasise täitmise käik. Väikestes programmides, kus on kaasatud ainult üks tõeväärtusmuutuja, antakse sellele tõeväärtuslikule muutujale sageli nimi, näiteks "lipp" ja "lipp" eeldatakse, kui selle muutuja väärtus on "true" ja "lipp on maas", kui muutuja väärtus on see muutuja on "false". Suurtes programmides, milles on mitu või isegi palju loogilisi muutujaid, peavad spetsialistid leidma loogilistele muutujatele nimed, millel on lausekujuline ja semantiline koormus, mis eristab neid teistest loogilistest muutujatest ja on teistele arusaadav. spetsialistid, kes loevad selle programmi teksti.

Seega saab deklareerida avalduse vormis loogilise muutuja nimega "UserRegistered" (või selle ingliskeelse vastega), millele saab registreerimisandmete saatmise tingimuste täitmisel omistada loogilise väärtuse "true". kasutaja poolt ja programm tunnistab need andmed kehtivaks. Edasistes arvutustes võivad muutujate väärtused muutuda sõltuvalt sellest, milline loogiline väärtus ("true" või "false") on muutujal "UserLogged in". Muudel juhtudel saab muutujale, näiteks nimega "Päevani rohkem kui kolm päeva", omistada väärtuse "True" kuni teatud arvutusplokini ja programmi edasise täitmise ajal saab selle väärtuse salvestada. või muudetud väärtuseks "false" ja edasise täitmise käik sõltub selle muutuja programmide väärtusest.

Kui programm kasutab mitut loogilist muutujat, mille nimed on lausekujulised ja nendest ehitatakse keerulisemad laused, siis on programmi palju lihtsam arendada, kui enne selle väljatöötamist kirjutatakse kõik lausetest tehtavad toimingud valemite kujul. kasutatakse propositsiooniloogikas kui selle õppetüki käigus ja teeme ära.

Loogilised operatsioonid väidetega

Matemaatiliste väidete puhul saab alati valida kahe erineva alternatiivi "tõene" ja "vale" vahel, kuid "verbaalses" keeles tehtud väidete puhul on mõisted "tõene" ja "vale" mõnevõrra ebamäärasemad. Kuid näiteks sellised sõnavormid nagu "Mine koju" ja "Kas sajab?" ei ole lausung. Seetõttu on selge, et lausungid on sõnalised vormid, milles midagi öeldakse . Küsi- või hüüdlaused, pöördumised, samuti soovid või nõudmised ei ole avaldused. Neid ei saa hinnata väärtustega "true" ja "false".

Propositsioone seevastu võib vaadelda kui suurust, mis võib omandada kaks väärtust: "tõene" ja "vale".

Näiteks antakse hinnanguid: "koer on loom", "Pariis on Itaalia pealinn", "3

Esimest neist väidetest saab hinnata sümboliga "tõene", teist - "vale", kolmandat - "tõene" ja neljandat - "vale". Propositsioonide selline tõlgendamine on propositsioonialgebra teema. Tähistame avaldused suurte ladina tähtedega A, B, ... ja nende väärtused, st vastavalt tõesed ja väärad Ja ja L. Tavakõnes kasutatakse seoseid väidete "ja", "või" ja teiste vahel.

Need seosed võimaldavad erinevaid väiteid kombineerides moodustada uusi väiteid - keerulised avaldused . Näiteks hunnik "ja". Olgu öeldud avaldused: π suurem kui 3" ja avaldus " π vähem kui 4. Saate korraldada uue - keeruka avalduse " π rohkem kui 3 ja π vähem kui 4". Väide "kui π irratsionaalne siis π ² on ka irratsionaalne" saadakse kahe lause sidumisel lingiga "kui - siis". Lõpuks saame igast lausest uue - kompleksse väite -, mis eitab algse lause.

Propositsioonide käsitlemine väärtusi omandavate suurustena Ja ja L, määratleme täpsemalt loogilised operatsioonid väidetega , mis võimaldavad saada nendest väidetest uusi – keerulisi väiteid.

Olgu antud kaks suvalist väidet A ja B.

1 . Esimene loogiline operatsioon nende väidetega - konjunktsioon - on uue väite moodustamine, mida me tähistame A ∧ B ja mis on tõsi siis ja ainult siis A ja B tõsi. Tavakõnes vastab see operatsioon väidete ühendamisele "ja" hunnikuga.

Ühenduse tõetabel:

A	B	A ∧ B
Ja	Ja	Ja
Ja	L	L
L	Ja	L
L	L	L

2 . Teine loogiline operatsioon väidetega A ja B- disjunktsioon väljendatuna A ∨ B, on defineeritud järgmiselt: see on tõene siis ja ainult siis, kui vähemalt üks algväidetest on tõene. Tavakõnes vastab sellele toimingule väidete ühendamine hunnikuga "või". Kuid siin on meil mitteeraldav "või", mida mõistetakse "kas-või" tähenduses, kui A ja B kumbki ei saa olla tõsi. Propositsiooniloogika definitsioonis A ∨ B tõene, kui ainult üks väidetest on tõene ja kui mõlemad väited on tõesed A ja B.

Tõdetabel disjunktsiooni jaoks:

A	B	A ∨ B
Ja	Ja	Ja
Ja	L	Ja
L	Ja	Ja
L	L	L

3 . Kolmas loogiline operatsioon väidetega A ja B, väljendatud kujul A → B; saadud väide on vale siis ja ainult siis A tõsi ja B vale. A helistas pakk , B - tagajärg ja avaldus A → B - järgnev , mida nimetatakse ka implikatsiooniks. Tavakõnes vastab see operatsioon lingile "kui - siis": "kui A, siis B". Kuid propositsiooniloogika definitsioonis on see väide alati tõene, olenemata sellest, kas väide on tõene või väär B. Selle asjaolu võib lühidalt sõnastada järgmiselt: "valest tuleneb kõik, mis teile meeldib." Omakorda, kui A tõsi ja B vale, siis kogu väide A → B vale. See on tõsi siis ja ainult siis A, ja B tõsi. Lühidalt võib selle sõnastada järgmiselt: "tõest ei saa tuleneda vale".

Järgitav tõesuse tabel (tähendus):

A	B	A → B
Ja	Ja	Ja
Ja	L	L
L	Ja	Ja
L	L	Ja

4 . Neljandat loogilist operatsiooni väidetega, täpsemalt ühe väitega, nimetatakse väite eitamiseks. A ja tähistatud ~ A(võite leida ka mitte sümboli ~, vaid sümboli ¬ kasutamise, samuti ülejoone A). ~ A on väide, mis on vale, kui A tõsi ja tõsi millal A vale.

Tõe tabel eitamiseks:

A	~ A
L	Ja
Ja	L

5 . Ja lõpuks, viiendat loogilist operatsiooni väidetega nimetatakse ekvivalentsuseks ja see tähistatakse A ↔ B. Sellest tulenev avaldus A ↔ B on tõene väide siis ja ainult siis A ja B mõlemad tõesed või mõlemad valed.

Samaväärsuse tõetabel:

A	B	A → B	B → A	A ↔ B
Ja	Ja	Ja	Ja	Ja
Ja	L	L	Ja	L
L	Ja	Ja	L	L
L	L	Ja	Ja	Ja

Enamikul programmeerimiskeeltel on väidete loogiliste väärtuste jaoks spetsiaalsed sümbolid, peaaegu kõigis keeltes on need kirjutatud tõese (tõene) ja väära (väär).

Teeme ülaltoodu kokkuvõtte. propositsiooniloogika uurib seoseid, mis on täielikult määratud viisiga, kuidas mõned väited on üles ehitatud teistest, mida nimetatakse elementaarseteks. Elementaarlauseid käsitletakse tervikuna, mitte osadeks lagundatavatena.

Süstematiseerime allolevasse tabelisse väidete loogikatehete nimetused, tähistused ja tähendused (näidete lahendamiseks on neid peagi jälle vaja).

Kimp	Määramine	Operatsiooni nimi
mitte		eitus
ja		sidesõna
või		disjunktsioon
kui siis...		implikatsioon
siis ja ainult siis		samaväärsust

Sest loogilised operatsioonid on tõesed loogika algebra seadused, mida saab kasutada tõeväärtuslike avaldiste lihtsustamiseks. Samas tuleb märkida, et propositsiooniloogikas on nad abstraheeritud propositsiooni semantilisest sisust ja piirduvad selle käsitlemisega positsioonist, et see on kas tõene või väär.

Näide 1

1) (2 = 2) JA (7 = 7) ;

2) mitte(15;

3) ("mänd" = "tamm") VÕI ("kirss" = "vaher");

4) Mitte("mänd" = "tamm") ;

5) (ei(15 20) ;

6) ("Silmad on antud näha") ja ("Kolmanda korruse all on teine ​​korrus");

7) (6/2 = 3) VÕI (7*5 = 20) .

1) Esimeste sulgude väite väärtus on "tõene", ka teistes sulgudes oleva avaldise väärtus on tõene. Mõlemat väidet ühendab loogiline tehe "AND" (vt selle toimingu reegleid eespool), seega on kogu selle väite loogiline väärtus "tõene".

2) Sulgudes oleva väite tähendus on "vale". Sellele väitele eelneb loogiline eitustehe, seega on kogu selle väite loogiline väärtus "tõene".

3) Esimeste sulgude väite tähendus on "vale", teises sulgudes oleva väite tähendus on samuti "vale". Väiteid ühendab loogiline tehte "OR" ja ühelgi väitel pole väärtust "true". Seetõttu on kogu selle väite loogiline tähendus "vale".

4) Sulgudes oleva väite tähendus on "vale". Sellele väitele eelneb loogiline eitustehe. Seetõttu on kogu antud väite loogiline tähendus "tõene".

5) Esimestes sulgudes eitatakse sisemistes sulgudes olev väide. See sulgudes olev väide hindab väärtust "false", nii et selle eitus annab loogilise väärtuse "tõene". Teistes sulgudes oleva väite väärtus on "false". Need kaks väidet on ühendatud loogilise operatsiooniga "JA", st saadakse "tõene JA vale". Seetõttu on kogu antud väite loogiline tähendus "vale".

6) Esimeste sulgude väite tähendus on "tõene", teises sulgudes oleva väite tähendus on samuti "tõene". Neid kahte väidet ühendab loogiline tehe "JA", st saadakse "tõene JA tõde". Seetõttu on kogu antud väite loogiline tähendus "tõene".

7) Esimessulgudes oleva väite tähendus on "tõene". Teistes sulgudes oleva väite tähendus on "vale". Need kaks väidet on ühendatud loogilise operatsiooniga "OR", st saadakse "tõene VÕI vale". Seetõttu on kogu antud väite loogiline tähendus "tõene".

Näide 2 Kirjutage loogiliste operatsioonide abil üles järgmised keerulised avaldused:

1) "Kasutaja ei ole registreeritud";

2) "Täna on pühapäev ja osa töötajaid on tööl";

3) "Kasutaja registreeritakse siis ja ainult siis, kui leitakse, et kasutaja saadetud andmed on kehtivad."

1) lk- üksiklause "Kasutaja on registreeritud", loogiline tehe: ;

2) lk- üksik avaldus "Täna on pühapäev", q- "Mõned töötajad on tööl", loogiline tehe: ;

3) lk- üksik avaldus "Kasutaja on registreeritud", q- "Kasutaja saadetud andmed kehtivad", loogiline tehe: .

Lahendage iseseisvalt propositsiooniloogika näiteid ja seejärel vaadake lahendusi

Näide 3 Arvutage järgmiste väidete tõeväärtused:

1) ("Minuutis on 70 sekundit") VÕI ("Jooksev kell näitab aega");

2) (28 > 7) JA (300/5 = 60) ;

3) ("TV - elektriseade") ja ("Klaas - puit");

4) Mitte((300 > 100) VÕI ("Janu saab kustutada veega"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Näide 4 Kirjutage loogiliste operatsioonide abil üles järgmised keerukad laused ja arvutage nende loogilised väärtused:

1) „Kui kell ei näita õigesti kellaaega, siis võid tulla tundi valel ajal“;

2) "Peegelpildis näete oma peegeldust ja Pariisi - USA pealinna";

Näide 5 Määrake Boole'i ​​avaldis

(lk → q) ↔ (r → s) ,

lk = "278 > 5" ,

q= "Õun = apelsin",

lk = "0 = 9" ,

s= "Müts katab pead".

Propositsiooniloogika valemid

Mõiste abil täpsustatakse komplekslause loogilise vormi mõistet propositsiooniloogika valemid .

Näidetes 1 ja 2 õppisime, kuidas loogiliste operatsioonide abil kirjutada keerulisi avaldusi. Tegelikult nimetatakse neid propositsiooniloogika valemiteks.

Lausete tähistamiseks, nagu ülaltoodud näites, jätkame tähtede kasutamist

lk, q, r, ..., lk 1 , q 1 , r 1 , ...

Need tähed mängivad muutujate rolli, mis võtavad väärtustena tõeväärtused "true" ja "false". Neid muutujaid nimetatakse ka propositsioonimuutujateks. Edaspidi kutsume neid elementaarvalemid või aatomid .

Propositsiooniloogika valemite koostamiseks kasutatakse lisaks ülaltoodud tähtedele ka loogikatehete märke

~, ∧, ∨, →, ↔,

samuti sümbolid, mis annavad võimaluse valemite ühemõtteliseks lugemiseks – vasak- ja parempoolsed sulud.

kontseptsioon propositsiooniloogika valemid määratleda järgmiselt:

1) elementaarvalemid (aatomid) on propositsiooniloogika valemid;

2) kui A ja B- propositsiooniloogika valemid, siis ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) on ka propositsiooniloogika valemid;

3) ainult need avaldised on propositsiooniloogika valemid, mille puhul see tuleneb punktidest 1) ja 2).

Propositsiooniloogika valemi definitsioon sisaldab nende valemite moodustamise reeglite loetelu. Definitsiooni järgi on iga propositsiooniloogika valem kas aatom või moodustub aatomitest reegli 2) järjestikuse rakendamise tulemusena.

Näide 6 Las olla lk- üksik väide (aatom) "Kõik ratsionaalarvud on reaalsed", q- "Mõned reaalarvud on ratsionaalarvud", r- "mõned ratsionaalsed arvud on reaalsed". Tõlgi verbaalsete propositsioonidena järgmised propositsiooniloogika valemid:

6) .

1) "ratsionaalseid reaalarve pole olemas";

2) "kui kõik ratsionaalarvud ei ole reaalsed, siis pole reaalseid ratsionaalarvusid";

3) "kui kõik ratsionaalarvud on reaalsed, siis osad reaalarvud on ratsionaalarvud ja osad reaalarvud";

4) "kõik reaalarvud on ratsionaalarvud ja mõned reaalarvud on ratsionaalarvud ja mõned reaalarvud on reaalarvud";

5) "kõik ratsionaalarvud on reaalsed siis ja ainult siis, kui ei ole nii, et kõik ratsionaalarvud pole reaalsed";

6) "ei ole nii, et kõik ratsionaalarvud ei ole reaalsed ja ei ole reaalarvusid, mis oleksid ratsionaalsed, või pole ühtegi ratsionaalarvu, mis oleks reaalne."

Näide 7 Koostage propositsiooniloogika valemi tõesuse tabel , mida tabelis saab tähistada f .

Otsus. Alustame tõesuse tabeli koostamist üksikute väidete (aatomite) väärtused ("tõene" või "väär"). lk , q ja r. Kõik võimalikud väärtused on kirjutatud tabeli kaheksale reale. Lisaks pidage meeles, et implikatsioonitoimingu väärtuste määramisel ja tabelis paremale liikudes pidage meeles, et väärtus on võrdne "false", kui "tõene" tähendab "väär".

lk	q	r					f
Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja
Ja	Ja	L	Ja	Ja	Ja	L	Ja
Ja	L	Ja	Ja	L	L	L	L
Ja	L	L	Ja	L	L	Ja	Ja
L	Ja	Ja	L	Ja	L	Ja	Ja
L	Ja	L	L	Ja	L	Ja	L
L	L	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja
L	L	L	Ja	Ja	Ja	L	Ja

Pange tähele, et ühelgi aatomil ei ole kuju ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) . Need on keerulised valemid.

Propositsiooniloogika valemites olevate sulgude arvu saab vähendada, eeldades, et

1) kompleksvalemis jätame välimise sulgude paari välja;

2) järjesta loogikatete märgid "staaži järgi":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Selles loendis on tähisel ↔ suurim ulatus ja märgil ~ väikseim ulatus. Tehtemärgi ulatuse all mõistetakse propositsiooniloogika valemi neid osi, millele selle märgi vaadeldavat esinemist rakendatakse (tegutsetakse). Seega on võimalik suvalises valemis välja jätta need sulgude paarid, mida saab taastada, võttes arvesse "eelisjärjekorda". Ja sulgude taastamisel pannakse esmalt kõik sulud, mis viitavad kõikidele ~ märgi esinemistele (sel juhul liigume vasakult paremale), siis kõikidele ∧ märgi esinemistele jne.

Näide 8 Taastage propositsiooniloogika valemis sulud B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Otsus. Sulud taastatakse samm-sammult järgmiselt:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Mitte iga propositsiooniloogika valemit ei saa kirjutada ilma sulgudeta. Näiteks valemites AGA → (B → C) ja ~( A → B) nurksulgude edasine kustutamine ei ole võimalik.

Tautoloogiad ja vastuolud

Loogilised tautoloogiad (või lihtsalt tautoloogiad) on sellised lauseloogika valemid, et kui tähed asendatakse meelevaldselt propositsioonidega (tõene või väär), on tulemuseks alati tõene propositsioon.

Kuna keeruliste väidete tõesus või väärus sõltub ainult tähendustest, mitte aga väidete sisust, millest igaüks vastab teatud tähele, siis testi, kas antud väide on tautoloogia, saab asendada järgmiselt. Uuritavas avaldises asendatakse tähed igal võimalikul viisil väärtused 1 ja 0 (vastavalt "tõene" ja "väär") ning loogiliste operatsioonide abil arvutatakse avaldiste loogilised väärtused. Kui kõik need väärtused on võrdsed 1-ga, on uuritav avaldis tautoloogia ja kui vähemalt üks asendus annab 0, pole see tautoloogia.

Seega nimetatakse propositsiooniloogika valemit, mis võtab selles valemis sisalduvate aatomite väärtuste mis tahes jaotuse jaoks väärtuse "tõene". identselt tõene valem või tautoloogia .

Vastupidine tähendus on loogiline vastuolu. Kui kõik propositsiooni väärtused on 0, on avaldis loogiline vastuolu.

Seega nimetatakse propositsiooniloogika valemit, mis võtab selles valemis sisalduvate aatomite väärtuste mis tahes jaotuse korral väärtuse "vale". identselt vale valem või vastuolu .

Lisaks tautoloogiatele ja loogilistele vastuoludele on olemas propositsiooniloogika valemid, mis ei ole tautoloogiad ega vastuolud.

Näide 9 Koostage propositsiooniloogika valemi tõesuse tabel ja määrake, kas see on tautoloogia, vastuolu või mitte kumbki.

Otsus. Koostame tõetabeli:

Ja	Ja	Ja	Ja	Ja
Ja	L	L	L	Ja
L	Ja	L	Ja	Ja
L	L	L	L	Ja

Implikatsiooni tähendustes ei kohta me rida, milles "tõene" viitab "vale". Kõik algse väite väärtused on võrdsed "tõene". Seetõttu on see propositsiooniloogika valem tautoloogia.

Programmi teema: Avaldused ja toimingud nende kohta.

Tunni eesmärgid:

1) Võtke kokku teoreetilised teadmised teemal "Väited ja tehted nende kohta."

2) Kaaluge algoritme ülesannete lahendamiseks teemal "Laused ja toimingud nendega", lahendage ülesandeid.

3) Kujundada oskust oma tegevust ennustada, oma tegevust organiseerida ja seda analüüsida.

Ettevalmistusaeg: 1 tund.

Teoreetiline alus

Matemaatilise loogika põhimõisteks on mõiste "lihtne väide". Väite all mõistetakse tavaliselt mis tahes deklaratiivset lauset, mis väidab millegi kohta midagi ja samas saame öelda, kas see on õige või vale antud aja- ja kohatingimustes. Väidete loogilised väärtused on "tõene" ja "vale".

Väljendi näited.
1) Moskva seisab Neeval.
2) London on Inglismaa pealinn.
3) Pistrik ei ole kala.
4) Arv 6 jagub 2 ja 3-ga.
Väited 2), 3), 4) on tõesed ja väide 1) on väär.
Ilmselgelt on lause "Elagu Venemaa!" ei ole väide.
Avaldusi on kahte tüüpi.
Väidet, mis on üksiklause, nimetatakse tavaliselt lihtsaks või elementaarseks. Elementaarlausete näideteks on propositsioonid 1) ja 2).
Väiteid, mis saadakse elementaarlausetest grammatiliste konnektiivide "mitte", "ja", "või", "kui .... siis ...", "siis ja alles siis" abil, nimetatakse tavaliselt kompleksiks või liitmiks. .
Niisiis, väide 3) saadakse lihtlausest “Pistrik on kala” eituse “mitte” abil, väide 4) moodustatakse elementaarlausetest “Arv 6 jagub 2-ga”, “Arv 6 jagub 3-ga”, mida ühendab liit “ja”.
Samamoodi saab lihtsatest väidetest saada keerulisi väiteid, kasutades grammatilisi konnektiivisid "või", "kui ja ainult siis".
Loogika algebras vaadeldakse kõiki väiteid ainult nende loogilise tähenduse seisukohalt ning abstraheeritakse nende maist sisu. Arvatakse, et iga väide on kas tõene või vale ning ükski väide ei saa olla korraga nii tõene kui vale.
Elementaarsed väited on tähistatud ladina tähestiku väikeste tähtedega: x, y, z, ..., a, b, c, ...; väite tegelik väärtus on number 1 ja vale väärtus on täht number 0.
Kui avaldus a tõsi, me kirjutame a = 1, ja kui a vale siis a = 0.

Loogilised operatsioonid väidetega

Eitus.

Väite x eitus nimetatakse uueks propositsiooniks, mis on tõene, kui väide X vale ja vale, kui propositsioon X tõsi.

Avalduse eitamine X märgitud ja lugeda "mitte X" või "see pole tõsi, et x".

Lause loogilisi tähendusi saab kirjeldada tabeli abil.

Selliseid tabeleid nimetatakse tõetabeliteks.
Las olla X avaldus. Kuna tegemist on ka väitega, siis on võimalik moodustada väite eitus ehk väide, mida nimetatakse väite topelteituseks X. On selge, et väidete loogilised tähendused X ja sobitada.

Näiteks väite "Putin on Venemaa president" puhul oleks negatiivne väide "Putin ei ole Venemaa president" ja kahekordne eitus väide "Ei ole tõsi, et Putin ei ole president Venemaa".

Konjunktsioon.

Kahe väite x ja y konjunktsioon (loogiline korrutis). kutsutakse uus propositsioon, mida peetakse tõeseks, kui mõlemad propositsioonid x ja y tõene ja vale, kui vähemalt üks neist on vale.
propositsioonide konjunktsioon x ja y tähistatud sümboliga x&y ( , xy), loe "x ja y". ütlused x ja y nimetatakse sidendi liikmeteks.
Ühenduse loogilisi väärtusi kirjeldab järgmine tõesuse tabel:

Näiteks väidete "6 jagub 2-ga", "6 jagub 3-ga" puhul on nende konjunktsiooniks väide "6 jagub 2-ga ja 6 jagub 3-ga", mis on ilmselgelt tõsi.

Sidetehte definitsioonist on näha, et ühendust "ja" kasutatakse loogika algebras samas tähenduses nagu igapäevakõnes. Kuid tavakõnes pole kombeks kahte üksteisest sisuliselt kaugel olevat väidet kombineerida ühendusega “ja” ning loogika algebras arvestatakse mis tahes kahe väite konjunktsiooniga.

Disjunktsioon

Kahe väite x ja y disjunktsioon (loogiline liitmine). nimetatakse uut väidet, mida peetakse tõeseks, kui vähemalt üks väidetest x, y tõene ja väär, kui mõlemad on valed. Propositsioonide disjunktsioon x, y tähistatud sümboliga "x V y", loe "x või y". ütlused x, y nimetatakse disjunktsiooni terminiteks.
Disjunktsiooni loogilisi väärtusi kirjeldab järgmine tõesuse tabel:

Igapäevakõnes kasutatakse liitu "või" erinevas tähenduses: eksklusiivne ja mittevälistav. Loogika algebras kasutatakse ühendust "või" alati mittevälistavas tähenduses.

Implikatsioon.

Kahe väite x ja y implikatsioon Kutsutakse uus propositsioon, mis on väär, kui x on tõene ja y on väär, ja tõene kõigil muudel juhtudel.
Väidete mõju x, y tähistatud sümboliga , loe "kui x, siis y" või "x-st järgneb y". avaldus X nimetatakse tingimuseks või eelduseks, väiteks juures- tagajärg või järeldus, väide järgnev või kaudne.

Implikatsioonitehte loogilisi väärtusi kirjeldab järgmine tõesuse tabel:

Sõnade "kui....siis..." kasutamine loogika algebras erineb nende kasutamisest igapäevakõnes, kus kipume arvama, et kui väide X vale, siis väide "Kui x, siis y" pole üldse mõtet. Lisaks vormi lause konstrueerimine "kui x, siis y" igapäevases kõnes peame alati silmas seda lauset juures tuleneb ettepanekust X. Sõnade "kui ... siis ..." kasutamine matemaatilises loogikas seda ei nõua, kuna väidete tähendust selles ei arvestata.
Implikatsioon mängib matemaatilistes tõestustes olulist rolli, kuna paljud teoreemid on sõnastatud tingimuslikul kujul. "Kui x, siis y." Kui aga on teada, et X on tõsi ja implikatsiooni tõesus on tõestatud , siis võime järeldada, et järeldus on tõene juures .

Samaväärsus.

Kahe väite x ja y ekvivalents kutsutakse uus propositsioon, mida peetakse tõeseks, kui mõlemad propositsioonid x, y kas mõlemad tõesed või mõlemad väärad ja väärad kõigil muudel juhtudel.

Väidete samaväärsus x, y tähistatud sümboliga, loe "x jaoks on vajalik ja piisav, et y" või "x siis ja ainult siis, kui y".ütlused x, y nimetatakse samaväärsuse terminiteks.
Samaväärsuse operatsiooni loogilisi väärtusi kirjeldab järgmine tõesuse tabel:

Samaväärsus mängib matemaatilistes tõestustes olulist rolli. Teadaolevalt on märkimisväärne hulk teoreeme sõnastatud vajalike ja piisavate tingimuste ehk ekvivalentsuse vormis. Sel juhul, teades ühe kahest ekvivalentsusterminist tõesust või väärust ja tõestades samaväärsuse enda tõesust, järeldame, et teine ​​samaväärsusliige on tõene või väär.

Praktilised ülesanded

1. Pane paika järgmiste lausete loogiline struktuur ja kirjuta need üles propositsiooniloogika keeles:

• Kui metalli kuumutada, siis see sulab.
• Pole tõsi, et filosoofilised vaidlused on lahendamatud.
• Raha on kaubasuhete spontaanse arengu produkt, mitte kokkuleppe või muu teadliku tegevuse tulemus.

2. Kirjutage järgmised väited loogilisse valemisse:

a) kui väljas sajab vihma, siis tuleb vihmavari kaasa võtta või koju jääda;

B) kui - ristkülikukujuline ja küljed on võrdsed, siis

3. Kontrollige väite õigsust:

ja kui, .

b) kui, .

c) kui, .

4. Kontrollige väite õigsust:

a) Et homme klassi minna, pean vara tõusma. Kui ma täna kinno lähen, lähen hilja magama. Kui lähen hilja magama, ärkan hilja. Seetõttu ma kas ei lähe kinno või ei lähe tundi.

b) Ma lähen kas kinno või basseini. Kui lähen kinno, saan esteetilist naudingut. Kui ma basseinis käin, saan füüsilise naudingu. Seega, kui ma saan füüsilist naudingut, ei saa ma esteetilist naudingut.

5 . Küsimusele: "Kes kolmest õpilasest õppis diskreetset matemaatikat?" saadi õige vastus: "Kui ta õppis esimest, siis ta õppis kolmandat, aga see pole tõsi, et kui ta õppis teist, siis ta õppis kolmandat." Kes õppis diskreetset matemaatikat?

6. Tehke kindlaks, kes neljast õpilasest sooritas eksami, kui see on teada:

kui esimene läbis, siis teine ​​möödus;

kui teine ​​läbis, siis kolmas läbis või esimene ei läbinud;

kui neljas ei läbinud, siis esimene möödus ja kolmas ei läinud läbi;

kui neljas läbis, siis esimene möödus.

testi küsimused

1. Millised elemendid sisalduvad loogika keeles?

2. Milliseid viise loogikavalemi kehtivuse kindlakstegemiseks teate?

Bibliograafia

Harjutus nr 10-11

Programmi teema: Propositsioonialgebra valemid.

Omadused

Mõelge Cartesiuse toote mitmele omadusele:

1. Kui A,B on siis lõplikud hulgad A× B- lõplik. Ja vastupidi, kui üks kordajate hulk on lõpmatu, siis on nende korrutise tulemus lõpmatu hulk.

2. Descartes'i korrutise elementide arv on võrdne kordajahulkade elementide arvu korrutisega (muidugi, kui need on lõplikud): | A× B|=|A|⋅|B| .

3. A np ≠(A n) lk- esimesel juhul on soovitatav käsitleda Descartes'i korrutise tulemust maatriksina mõõtmetega 1× np, teises - suuruste maatriksina n× lk .

4. Kommutatiivseadus ei ole täidetud, sest Descartes'i korrutise tulemuse elementide paarid järjestatakse: A× B≠B× A .

5. Ühistuseadus ei ole täidetud:( A× B)× C≠A×( B× C) .

6. Hulkade põhitoimingud on jaotunud: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}

11. Lause mõiste. Elementaar- ja liitväited.

avaldus on väide või deklaratiivne lause, mille kohta võib öelda, et see on tõene (T-1) või väär (L-0), kuid mitte mõlemat korraga.

Näiteks "Täna sajab", "Ivanov lõpetas füüsika laboritöö nr 2."

Kui meil on mitu alglauset, siis nendest kasutades loogilised ühendused või osakesed saame moodustada uusi väiteid, mille tõeväärtus sõltub ainult esialgsete väidete tõeväärtustest ning konkreetsetest sidesõnadest ja partiklitest, mis osalevad uue väite koostamisel. Sõnad ja väljendid "ja", "või", "mitte", "kui...siis", "seepärast", "kui ja ainult siis" on selliste sidesõnade näited. Algseid väiteid nimetatakse lihtne ja nendest teatud loogiliste ühenduste abil konstrueeritud uued väited - koostisosa . Muidugi pole sõnal "lihtne" midagi pistmist algsete väidete olemuse ega struktuuriga, mis võivad ise olla üsna keerulised. Selles kontekstis on sõna "lihtne" sünonüüm sõnaga "originaal". Oluline on see, et lihtsate väidete tõeväärtused peaksid olema teada või antud; igal juhul ei arutata neid kuidagi.

Kuigi väide nagu "Täna pole neljapäev" ei koosne kahest erinevast lihtsast väitest, käsitletakse seda konstruktsiooni ühtsuse huvides ka liitlausena, kuna selle tõeväärtuse määrab teise väite tõeväärtus "Täna on neljapäev "

Näide 2 Järgmisi väiteid käsitletakse liitlausetena:

Lugesin Moskovski Komsomoletsi ja lugesin Kommersanti.

Kui ta seda ütles, siis on see tõsi.

Päike ei ole täht.

Kui on päikesepaisteline ilm ja temperatuur ületab 25 0, tulen kohale rongi või autoga

Liitlausete hulka kuuluvad lihtlaused võivad ise olla täiesti meelevaldsed. Eelkõige võivad need ise olla komposiitmaterjalid. Allpool kirjeldatud liitlausete põhitüübid on määratletud neid moodustavatest lihtlausetest sõltumatult.

12. Toimingud avaldustega.

1. eitusoperatsioon.

Väite eitus AGA ( loeb "mitte AGA"," see pole tõsi AGA"), mis on tõsi, kui AGA vale ja vale millal AGA- tõsi.

Negatiivsed väited AGA ja helistas vastupidine.

2. sideoperatsioon.

sidesõna avaldused AGA ja AT nimetatakse väiteks A B(loe" AGA ja AT”), mille tegelikud tähendused määratakse siis ja ainult siis, kui mõlemad väited AGA ja AT tõsi.

Propositsioonide konjunktsiooni nimetatakse loogikaproduktiks ja seda sageli tähistatakse AB.

Las avaldus AGA– “märtsis õhutemperatuur alates 0 С kuni + 7 C» ja öeldes AT- "Vitebskis sajab." Siis A B saab olema järgmine: “märtsis õhutemperatuur alates 0 С kuni + 7 C ja Vitebskis sajab vihma." See side on tõene, kui on väiteid AGA ja AT tõsi. Kui selgub, et temperatuur oli madalam 0 С või siis Vitebskis vihma ei sadanud A B saab olema vale.

3 . disjunktsiooni operatsioon.

disjunktsioon avaldused AGA ja AT nimetatakse väiteks A B (AGA või AT), mis on tõene siis ja ainult siis, kui vähemalt üks väidetest on tõene ja väär – kui mõlemad väited on valed.

Propositsioonide disjunktsiooni nimetatakse ka loogiliseks summaks A+B.

avaldus " 4<5 või 4=5 ' on tõsi. Alates avaldusest " 4<5 "on tõsi ja väide" 4=5 ' on siis vale A B on tõene väide 4 5 ».

4 . implikatsioonioperatsioon.

implikatsioon avaldused AGA ja AT nimetatakse väiteks A B("kui AGA, siis AT", "alates AGA peaks AT”), mille väärtus on vale siis ja ainult siis AGA tõsi ja AT vale.

Järelduses A B avaldus AGA helistas vundament, või saatmine ja väljavõte AT – tagajärg, või järeldus.

13. Väidete tõesuse tabelid.

Tõetabel on tabel, mis loob vastavuse kõigi loogilises funktsioonis sisalduvate võimalike loogiliste muutujate komplektide ja funktsiooni väärtuste vahel.

Tõe tabeleid kasutatakse:

Keeruliste väidete tõesuse arvutamine;

Väidete samaväärsuse tuvastamine;

Tautoloogiate definitsioonid.

Keeruliste väidete tõesuse tuvastamine.

Näide 1 Määrake väite C õigsus

Otsus. Komplekslause koostis sisaldab 3 lihtsat väidet: A, B, C. Tabeli veerud on täidetud väärtustega (0, 1). Kõik võimalikud olukorrad on näidatud. Lihtlaused eraldatakse keerukatest lausetest topelt vertikaalse joonega.
Tabeli koostamisel tuleb jälgida, et tegevuste järjekorda ei segataks; veerge täites tuleks liikuda “seest välja”, st. elementaarvalemitest järjest keerulisemateni; viimane täidetav veerg sisaldab algse valemi väärtusi.

AGA	AT	Koos		A+		· KOOS

Tabel näitab, et see väide on tõene ainult siis, kui A=0, B=1, C=1. Kõigil muudel juhtudel on see vale.

14. Samaväärsed valemid.

Kaks valemit AGA ja AT nimetatakse ekvivalentseteks, kui nad võtavad valemis sisalduvate elementaarlausete mis tahes väärtuste komplekti jaoks samad loogilised väärtused.

Samaväärsust tähistab märk "". Valemite ümberkujundamisel ekvivalentseteks on oluline roll põhiekvivalentsidel, mis väljendavad mõnda loogikatehet teiste mõistes, ekvivalentsustel, mis väljendavad loogika algebra põhiseadusi.

Mis tahes valemite jaoks AGA, AT, Koos samaväärsused kehtivad.

I. Põhivõrdsused

idempotentsuse seadus

1 - tõsi

0-vale

Vastuolu seadus

Välistatud keskkoha seadus

absorptsiooniseadus

valemite tükeldamine

sidumise seadus

II. Ekvivalentsid, mis väljendavad mõnda loogikatehet teiste terminites.

de Morgani seadus

III. Ekvivalentsid, mis väljendavad loogika algebra põhiseadusi.

kommutatiivne seadus

assotsiatiivne seadus

jaotusseadus

15. Propositsiooniloogika valemid.

Valemite tüübid klassikalises propositsiooniloogikas- propositsiooniloogikas eristatakse järgmist tüüpi valemeid:

1. Seadused(identselt tõesed valemid) – valemid, mis propositsioonimuutujate mis tahes tõlgendamisel omandavad väärtuse "tõsi";

2. vastuolud(identselt valed valemid) – valemid, mis propositsioonimuutujate mis tahes tõlgendamisel omandavad väärtuse "vale";

3. Rahuldavad valemid- need, mis omandavad tähenduse "tõsi" vähemalt ühe neis sisalduvate lausemuutujate tõeväärtuste kogumi jaoks.

Klassikalise propositsiooniloogika põhiseadused:

1. Identiteediseadus: ;

2. Vastuolu seadus: ;

3. Välistatud keskmise seadus: ;

4. Kommutatiivsuse seadused ja: , ;

5. Jaotuse seadused on suhtelised ja vastupidi: , ;

6. Sidesõna tõelise liikme eemaldamise seadus: ;

7. Disjunktsiooni valeliikme eemaldamise seadus: ;

8. Vastulause seadus: ;

9. Propositsioonikonnektiivide vastastikuse väljendatavuse seadused: , , , , , .

Lahendatavusprotseduur- meetod, mis võimaldab igal valemil kindlaks teha, kas tegemist on seaduse, vastuolu või teostatava valemiga. Kõige tavalisem lahendatavusprotseduur on tõetabeli meetod. Siiski pole ta ainuke. Tõhus lahendatavuse meetod on meetod normaalsed vormid propositsiooniloogika valemite jaoks. normaalne vorm propositsiooniloogika valem on vorm, mis ei sisalda implikatsioonimärki "". On konjunktiivseid ja disjunktiivseid normaalvorme. Konjunktiivivorm sisaldab ainult sidemärke "". Kui konjunktiivseks normaalvormiks taandatud valem sisaldab vormi alamvalemit , siis sel juhul on kogu valem vastuolu. Disjunktiivvorm sisaldab ainult disjunktsioonimärke "". Kui disjunktiivseks normaalvormiks taandatud valem sisaldab vormi alamvalemit , siis sel juhul on kogu valem seadus. Kõigil muudel juhtudel on valem rahuldav valem.

16. Predikaadid ja tehted nendega. Kvantorid.

Kutsutakse lauset, mis sisaldab ühte või mitut muutujat ja mis muutujate konkreetsete väärtuste korral on lause propositsioonivorm või predikaat.

Olenevalt ettepanekus sisalduvate muutujate arvust eristatakse ühe-, kahe-, kolmekordseid jne. predikaadid tähistatud vastavalt: A( X), AT( X, juures), WITH( X, juures, z).

Kui on antud mõni predikaat, seostatakse sellega kaks komplekti:

1. Määratluse X komplekt (domeen)., mis koosneb muutujate kõigist väärtustest, kui asendada need predikaadiga, muutub viimane väiteks. Predikaadi täpsustamisel määratakse tavaliselt selle ulatus.

2. Tõekomplekt T, mis koosneb kõigist nendest muutujate väärtustest, kui asendada need predikaadiga, saadakse tõene väide.

Predikaadi tõehulk on alati tema domeeni alamhulk, st .

Predikaatidega saate teha samu toiminguid, mida saate teha lausetega.

1. Eitamine predikaat A( X) defineeritud hulgal X nimetatakse predikaadiks tõeseks nende väärtuste puhul, mille puhul predikaat A( X) muutub valeks väiteks ja vastupidi.

Sellest definitsioonist järeldub, et predikaadid A( X) ja B( X) ei ole üksteise eitused, kui on vähemalt üks väärtus, mille jaoks predikaadid A( X) ja B( X) muutuvad samade tõeväärtustega propositsioonideks.

Predikaadi tõehulk on täiendus predikaadi A( X). T A-ga tähistame predikaadi A( X) ja T kaudu - predikaadi tõehulk. Siis .

2. sidesõna predikaadid A( X) ja B( XX) AT( X X X, mille all mõlemad predikaadid muutuvad tõeseks väiteks.

Predikaatide konjunktsiooni tõehulk on predikaadi tõehulkade A( X) AT( X). Kui tähistame predikaadi A(x) tõehulka T A-ga ja predikaadi B(x) tõehulka T B-ga ja predikaadi A(x) tõehulka B(x) -ga, siis

3. disjunktsioon predikaadid A( X) ja B( X) defineeritud hulgal X nimetatakse predikaadiks A( X) AT( X), mis muutub tõeseks ettepanekuks nende ja ainult nende väärtuste jaoks X X, mille all vähemalt üks predikaate muutus tõeseks väiteks.

Predikaatide disjunktsiooni tõehulk on seda moodustavate predikaatide tõehulkade liit, s.o. .

4.implikatsioon predikaadid A( X) ja B( X) defineeritud hulgal X nimetatakse predikaadiks A( X) AT( X), mis on väär nende ja ainult nende muutuja väärtuste puhul, mille esimene predikaat muutub tõeseks ja teine ​​vääraks.

Predikaatide implikatsiooni tõehulk on predikaadi B( X) koos predikaadi A( X), st.

5. Samaväärsus predikaadid A( X) ja B( X), mis on määratletud hulgal X, nimetatakse predikaadiks, mis muutub tõeseks väiteks kõigi nende ja ainult nende muutuja väärtuste jaoks, mille puhul mõlemad predikaadid muutuvad kas tõeseks või valeväiteks.

Predikaatide ekvivalendi tõehulk on predikaadi tõehulga ja predikaadi tõehulga ristumiskoht.

Kvantorioperatsioonid predikaatidega

Predikaadi saab lauseks tõlkida asendusmeetodi ja kvantori riputamise meetodi abil.

Numbrite 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 kohta võite öelda: a) kõik antud arvud on algarvud; b) mõned antud arvudest on paaris.

Kuna nende lausete kohta võib öelda, et need on tõesed või väärad, on saadud laused propositsioonid.

Kui eemaldada lausest "a" sõna "kõik" ja lausest "b" sõna "mõned", saame järgmised predikaadid: "need arvud on algarvud", "need arvud on paaritud".

Sõnu "kõik" ja "mõned" nimetatakse kvantoriteks. Sõna “kvantifikaator” on ladina päritolu ja tähendab “kui palju”, st kvantor näitab, mitut (kõiki või mõnda) objekti konkreetses lauses mainitakse.

Kvantoreid on kahte peamist tüüpi: üldine kvantor ja eksistentsiaalne kvantor.

Tingimused "kõik", "kõik", "kõik" kutsutakse – universaalne kvantor. Määratud .

Laske A( X) on teatud hulgale X antud predikaat. Avaldise A( X) mõistame väidet tõeseks, kui A( X) on hulga X iga elemendi puhul tõene ja muidu väär.

Näites 1 jaoks R1 määratluse domeen: , väärtuste kogum - . Sest R2 määratluspiirkond: , väärtuste kogum: .

Paljudel juhtudel on mugav kasutada kahendseose graafilist esitust. Seda tehakse kahel viisil: tasapinnal olevate punktide ja noolte abil.

Esimesel juhul valitakse horisontaal- ja vertikaalteljeks kaks vastastikku risti asetsevat joont. Horisontaalteljel asetage komplekti elemendid A ja tõmmake läbi iga punkti vertikaalne joon. Vertikaalsel teljel asetage komplekti elemendid B tõmmake läbi iga punkti horisontaaljoon. Horisontaalsete ja vertikaalsete joonte lõikepunktid kujutavad otsetoote elemente

18. Meetodid binaarsuhete seadmiseks.

Descartes'i korrutise A × B mis tahes alamhulka nimetatakse binaarrelatsiooniks, mis on määratletud hulga A ja B paaril (ladina keeles tähendab "bis" "kaks korda"). Üldjuhul võib analoogselt binaarseostega n-aarseid seoseid käsitleda ka n elemendi järjestatud jadadena, mis on võetud ühest n hulgast.

Kahendseose tähistamiseks kasutatakse sümbolit R. Kuna R on hulga A×B alamhulk, saame kirjutada R⊆A×. Kui on vaja näidata, et (a, b) ∈ R, st elementide a ∈ A ja b ∈ B vahel on seos R, siis kirjuta aRb.

Binaarsete määramise viisid:

1. See on reegli kasutamine, mille kohaselt näidatakse kõiki selles seoses sisalduvaid elemente. Reegli asemel saab antud seose elemendid loetleda neid otse loetledes;

2. Tabelina, graafikute kujul ja sektsioone kasutades. Tabelimeetodi aluseks on ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, kus ühe hulga elemendid on kantud piki üht telge ja teise hulga elemendid piki teist. Koordinaatide lõikepunktid moodustavad punktid, mis tähistavad Descartes'i korrutise elemente.

Sees (joonis 1.16) kuvatakse hulkade koordinaatide ruudustik. Kolme vertikaalse ja kuue horisontaalse joone lõikepunktid vastavad hulga A×B elementidele. Võrgustikul olevad ringid tähistavad seose aRb elemente, kus a ∈ A ja b ∈ B, R tähistab seost “jagab”.

Binaarsed seosed on antud kahemõõtmeliste koordinaatsüsteemidega. Ilmselgelt saab kolme hulga Descartes'i korrutise kõiki elemente sarnaselt esitada kolmemõõtmelises koordinaatsüsteemis, nelja hulka neljamõõtmelises süsteemis jne;

3. Seoste täpsustamise meetodit sektsioonide abil kasutatakse harvemini, seetõttu me seda ei käsitle.

19. Binaarse seose refleksiivsus. Näide.

Matemaatikas nimetatakse hulga binaarset seost refleksiivseks, kui selle hulga iga element on enda suhtes suhtes.

Maatriksi poolt antud suhete refleksiivsuse omadust iseloomustab asjaolu, et maatriksi kõik diagonaalelemendid on võrdsed 1-ga; graafiku poolt antud seoste puhul on igal elemendil silmus – kaar (x, x).

Kui see tingimus ei ole täidetud ühegi hulga elemendi puhul, nimetatakse seost antirefleksiivseks.

Kui antirefleksiivne seos on antud maatriksiga, siis kõik diagonaalelemendid on nullid. Kui selline seos on antud graafikuga, siis igal tipul silmust ei ole – vormi (x, x) kaared puuduvad.

Formaalselt defineeritakse seose antirefleksiivsust järgmiselt: .

Kui refleksiivsuse tingimus ei ole kõigi hulga elementide puhul täidetud, siis öeldakse, et seos on mitterefleksiivne.

©2015-2019 sait
Kõik õigused kuuluvad nende autoritele. See sait ei pretendeeri autorlusele, kuid pakub tasuta kasutamist.
Lehe loomise kuupäev: 2016-04-12