Mitu asümptooti võib funktsiooni graafikul olla?

Mitte ükski, üks, kaks, kolm... või lõpmatu arv. Näidetega kaugele ei lähe, tuletame meelde elementaarseid funktsioone. Paraboolil, kuupparaboolil, sinusoidil pole üldse asümptoote. Eksponentsiaalse logaritmilise funktsiooni graafikul on üks asümptoot. Arktangensil, arkotangensil, on neid kaks ja puutujal, kotangensil on lõpmatu arv. Pole haruldane, et graafikul on nii horisontaalsed kui ka vertikaalsed asümptoosid. Hüperbool, armastan sind alati.

Mida tähendab funktsiooni graafiku asümptootide leidmine?

See tähendab nende võrrandite väljaselgitamist ja sirgjoonte tõmbamist, kui ülesande seisukord seda nõuab. Protsess hõlmab funktsiooni piiride leidmist.

Funktsiooni graafiku vertikaalsed asümptoodid

Graafi vertikaalne asümptoot asub reeglina funktsiooni lõpmatu katkestuse punktis. See on lihtne: kui mingis punktis funktsioon kannatab lõpmatu katkemise, siis võrrandiga antud sirge on graafiku vertikaalne asümptoot.

Märkus. Pange tähele, et tähistust kasutatakse kahe täiesti erineva mõiste viitamiseks. Punkt on kaudne või sirgjoone võrrand - oleneb kontekstist.

Seega, et teha kindlaks vertikaalse asümptoodi olemasolu punktis, piisab, kui näidata, et vähemalt üks ühekülgsetest piiridest on lõpmatu. Enamasti on see punkt, kus funktsiooni nimetaja on võrdne nulliga. Tegelikult oleme funktsiooni järjepidevust käsitleva õppetunni viimastes näidetes juba leidnud vertikaalsed asümptoosid. Kuid paljudel juhtudel on ainult üks ühekülgne piir ja kui see on lõpmatu, siis jällegi - armastus ja soosing vertikaalset asümptooti. Lihtsaim illustratsioon: ja y-telg.

Eeltoodust tuleneb ka ilmne tõsiasi: kui funktsioon on pidevalt sees, siis vertikaalseid asümptoote ei ole. Millegipärast tuli meelde parabool. Tõepoolest, kuhu saate siin sirgjoone "kleepida"? ... jah ... ma saan aru ... onu Freudi järgijad tunglesid hüsteerias =)

Vastupidine väide ei vasta üldiselt tõele: näiteks funktsioon ei ole defineeritud tervel reaalreal, vaid see on asümptootidest täielikult ilma jäetud.

Funktsiooni graafiku kaldus asümptoodid

Kald (erijuhtumina - horisontaalne) asümptoote saab joonistada, kui funktsiooni argument kipub "pluss lõpmatus" või "miinus lõpmatus". Seetõttu ei saa funktsiooni graafikul olla rohkem kui 2 kaldus asümptooti. Näiteks eksponentsiaalfunktsiooni graafikul on üks horisontaalne asümptoot at ja arktangensi at graafikul on kaks sellist asümptooti ja erinevad.

Definitsioon . Funktsiooni graafiku asümptoot on joon, millel on omadus, et kaugus funktsiooni graafiku punktist selle sirgeni kipub olema null piiramatul kaugusel graafiku punkti alguspunktist.

Nende leidmise meetodite järgi eristatakse kolme tüüpi asümptoote: vertikaalsed, horisontaalsed, kaldus.

Ilmselgelt on horisontaalsed kaldjuhtude erijuhud (for ).

Funktsioonigraafiku asümptootide leidmine põhineb järgmistel väidetel.

1. teoreem . Olgu funktsioon defineeritud vähemalt mõnes punkti poolnaabruses ja vähemalt üks selle ühekülgsetest piiridest olgu selles punktis lõpmatu, s.t. võrdne. Siis on sirgjoon funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot.

Seega tuleks funktsiooni graafiku vertikaalseid asümptoote otsida funktsiooni katkestuspunktidest või selle definitsioonipiirkonna otstest (kui need on lõplikud arvud).

2. teoreem . Olgu funktsioon määratletud argumentide väärtuste jaoks, mis on absoluutväärtuses piisavalt suured ja funktsioonil on lõplik piir . Siis on joon funktsiooni graafiku horisontaalne asümptoot.

Võib juhtuda, et , a , ja on lõplikud arvud, siis on graafikul kaks erinevat horisontaalset asümptooti: vasaku- ja paremakäeline. Kui ainult üks lõplikest piiridest või on olemas, siis on graafikul kas üks vasaku- või üks parempoolne horisontaalne asümptoot.

3. teoreem . Olgu funktsioon määratletud argumendi väärtuste jaoks, mis on absoluutväärtuses piisavalt suured ja millel on lõplikud piirid ja . Siis on sirgjoon funktsiooni graafiku kaldus asümptoot.

Pange tähele, et kui vähemalt üks neist piiridest on lõpmatu, siis pole kaldu asümptooti.

Kaldus asümptoot, nagu ka horisontaalne, võib olla ühepoolne.

Näide. Leia kõik funktsioonigraafiku asümptoodid.

Lahendus.

Funktsioon on määratletud . Leiame selle ühepoolsed piirid punktides.

Sest ja (ülejäänud kahte ühepoolset piiri enam ei leia), siis on jooned funktsiooni graafiku vertikaalsed asümptoodid.

Arvuta

(rakenda L'Hopitali reeglit) = .

Seega on joon horisontaalne asümptoot.

Kuna horisontaalne asümptoot on olemas, ei otsi me enam kaldus asümptoote (neid pole olemas).

Vastus: graafikul on kaks vertikaalset ja üks horisontaalne asümptoot.

Üldfunktsioonide uuringy = f (x ).

Funktsiooni ulatus. Leidke selle domeen D(f) . Kui see pole liiga keeruline, on kasulik leida ka vahemik E(f) . (Kuid paljudel juhtudel on leidmise küsimus E(f) viivitatakse, kuni funktsiooni ekstreem on leitud.)

Funktsiooni eriomadused. Uuri välja funktsiooni üldised omadused: paaris, paaritu, perioodilisus jne. Mitte igal funktsioonil pole selliseid omadusi nagu paaris või paaritu. Funktsioon ei ole kindlasti ei paaris ega paaritu, kui selle määratluspiirkond on asümmeetriline telje punkti 0 suhtes Ox. Samamoodi koosneb mis tahes perioodilise funktsiooni definitsioonipiirkond kas kogu reaalteljest või perioodiliselt korduvate intervallide süsteemide ühendusest.

Vertikaalsed asümptoodid. Uurige, kuidas funktsioon käitub, kui argument läheneb definitsioonipiirkonna piiripunktidele D(f), kui sellised piiripunktid on olemas. Sel juhul võivad ilmneda vertikaalsed asümptoosid. Kui funktsioonil on katkestuspunkte, mille juures see ei ole defineeritud, siis kontrollitakse ka nendes punktides funktsiooni vertikaalsete asümptootide olemasolu.

Kaldus ja horisontaalsed asümptoodid. Kui ulatus D(f). leidke limxf(x). Kaldus asümptoodid : y = kx + b, kus k=limx+xf(x) ja b=limx+(f(x)−x). Horisontaalsed asümptoodid : y = b, kus limxf(x)=b.

Graafiku lõikepunktide leidmine telgedega. Graafiku ja telje lõikepunkti leidmine Oy. Selleks peate arvutama väärtuse f(0). Leia ka graafiku lõikepunktid teljega Ox, milleks leida võrrandi juured f(x) = 0 (või veenduge, et juured puuduvad). Võrrandit saab sageli lahendada vaid ligikaudselt, kuid juurte eraldamine aitab paremini mõista graafiku struktuuri. Järgmisena peate määrama funktsiooni märgi juurte ja murdepunktide vahekaugustel.

Graafiku ja asümptoodi lõikepunktide leidmine. Mõnel juhul võib osutuda vajalikuks leida graafikult iseloomulikud punktid, mida eelmistes lõikudes mainitud ei olnud. Näiteks kui funktsioonil on kaldus asümptoot, siis võite proovida välja selgitada, kas graafikul on selle asümptoodiga ristumispunkte.

Kumeruse ja nõgususe intervallide leidmine. Seda tehakse teise tuletise f(x) märgi uurimisega. Leidke kumerate ja nõgusate intervallide ristmikel olevad käändepunktid. Arvutage funktsiooni väärtus käändepunktides. Kui funktsioonil on muid pidevuspunkte (peale käänupunktide), kus teine ​​tuletis võrdub 0-ga või seda ei eksisteeri, siis on nendes punktides kasulik ka funktsiooni väärtus välja arvutada. Olles leidnud f(x) , lahendame võrratuse f(x)0. Igal lahendusintervallil on funktsioon allapoole kumer. Lahendades pöördvõrdsuse f(x)0, leiame intervallid, millel funktsioon on ülespoole kumer (ehk nõgus). Me defineerime pöördepunkte kui punkte, kus funktsioon muudab kumeruse suunda (ja on pidev).

Nii formuleeritakse tüüpiline ülesanne ja see hõlmab graafiku KÕIGI asümptootide leidmist (vertikaalne, kaldus / horisontaalne). Kuigi küsimuse sõnastuses täpsemalt öeldes räägime asümptootide olemasolu uuringust (lõppude lõpuks ei pruugi neid üldse olla).

Alustame millestki lihtsast:

Näide 1

Lahendus See on mugav jagada kaheks punktiks:

1) Kõigepealt kontrollime, kas on vertikaalseid asümptoote. Nimetaja kaob juures ja on kohe selge, et sellel hetkel funktsioon kannatab lõputu vahe, ja võrrandiga antud sirge on funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot. Kuid enne sellise järelduse tegemist on vaja leida ühekülgsed piirid:

Tuletan teile meelde arvutustehnikat, millel ma samuti artiklis peatusin funktsiooni järjepidevus. murdepunktid. Piirmärgi all olevas avaldises asendame "x" asemel . Lugejas pole midagi huvitavat:
.

Aga nimetajas selgub lõpmata väike negatiivne arv:
, see määrab piiri saatuse.

Vasakpoolne piir on lõpmatu ja põhimõtteliselt on juba võimalik langetada otsus vertikaalse asümptoodi olemasolu kohta. Kuid mitte ainult selleks pole vaja ühekülgseid piire – need AITAVAD MÕISTA KUIDAS funktsiooni graafik asub ja joonista see ÕIGESTI. Seetõttu peame arvutama ka parempoolse piiri:

Järeldus: ühepoolsed piirid on lõpmatud, mis tähendab, et joon on funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot .

Esimene piir lõplik, mis tähendab, et tuleb “vestlust jätkata” ja leida teine ​​piir:

Teine piir ka lõplik.

Nii et meie asümptoot on:

Järeldus: võrrandiga antud sirge on funktsiooni graafiku horisontaalne asümptoot .

Horisontaalse asümptoodi leidmiseks Võite kasutada lihtsustatud valemit:

Kui on piiratud piir, siis on joon funktsiooni graafiku horisontaalne asümptoot.

On lihtne näha, et funktsiooni lugeja ja nimetaja üks kasvujärjekord, mis tähendab, et soovitud piir on piiratud:

Vastus:

Tingimuse järgi pole joonist vaja lõpetada, aga kui täies hoos funktsiooni uurimine, siis teeme mustandil kohe visandi:

Leitud kolme piirangu põhjal proovige iseseisvalt välja mõelda, kuidas funktsiooni graafik võib paikneda. Üsna keeruline? Leia 5-6-7-8 punkti ja märgi need joonisele. Selle funktsiooni graafik on aga koostatud kasutades elementaarfunktsiooni graafiku teisendused, ja lugejad, kes on selle artikli näidet 21 hoolikalt uurinud, arvavad kergesti, mis kõveraga on tegemist.

Näide 2

Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

See on tee-seda-ise näide. Tuletan teile meelde, et protsess on mugavalt jagatud kaheks punktiks - vertikaalsed asümptoodid ja kaldus asümptoodid. Näidislahenduses leitakse horisontaalne asümptoot lihtsustatud skeemi abil.

Praktikas kohtab kõige sagedamini murdosa-ratsionaalfunktsioone ja pärast hüperboolide treenimist muudame ülesande keerulisemaks:

Näide 3

Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

Lahendus: Üks, kaks ja valmis:

1) Leitakse vertikaalsed asümptoodid lõpmatu katkestuse punktides, seega peate kontrollima, kas nimetaja läheb nulli. Meie otsustame ruutvõrrand :

Diskriminant on positiivne, seega on võrrandil kaks reaaljuurt ja töö lisandub oluliselt =)

Ühepoolsete piiride edasiseks leidmiseks on mugav ruudukujulist trinoomi faktoriseerida:
(kompaktse tähistuse jaoks lisati esimesse sulgu "miinus"). Turvavõrgu jaoks teostame kontrolli, kas vaimselt või süvist, avades sulgud.

Kirjutame funktsiooni vormis ümber

Leidke punktis ühepoolsed piirid:

Ja punktis:

Seega on sirged vaadeldava funktsiooni graafiku vertikaalsed asümptoodid.

2) Kui vaatate funktsiooni , siis on täiesti ilmne, et piir on lõplik ja meil on horisontaalne asümptoot. Näitame seda lühidalt:

Seega on sirgjoon (abstsiss) selle funktsiooni graafiku horisontaalne asümptoot.

Vastus:

Leitud piirid ja asümptoodid annavad funktsiooni graafiku kohta palju infot. Proovige joonistust vaimselt ette kujutada, võttes arvesse järgmisi fakte:

Visandage mustandile oma graafiku versioon.

Muidugi ei määra leitud piirid üheselt graafiku tüüpi ja võite teha vea, kuid harjutusest endast on hindamatu abi. täielik funktsiooni uuring. Õige pilt on tunni lõpus.

Näide 4

Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

Näide 5

Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

Need on ülesanded iseseisvaks otsustamiseks. Mõlemal graafikul on jällegi horisontaalsed asümptoodid, mis tuvastatakse kohe järgmiste tunnuste abil: näites 4 kasvu järjekord nimetaja on suurem kui lugeja kasvu järjekord ning näites 5 on lugeja ja nimetaja üks kasvujärjekord. Näidislahenduses uuritakse esimeses funktsioonis kaldus asümptootide olemasolu täielikult ja teist - läbi piirväärtuse.

Horisontaalsed asümptoodid on minu subjektiivse mulje kohaselt märgatavalt tavalisemad kui need, mis on "tõeliselt viltu". Kauaoodatud üldjuhtum:

Näide 6

Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

Lahendus: žanri klassika:

1) Kuna nimetaja on positiivne, siis funktsioon pidev tervel arvureal ja vertikaalseid asümptoote pole. …Kas see on hea? Pole õige sõna – suurepärane! Üksus nr 1 on suletud.

2) Kontrollige kaldu asümptootide olemasolu:

Esimene piir lõplik, nii et lähme edasi. Arvutamisel teise piiri kõrvaldada määramatus "lõpmatus miinus lõpmatus" toome väljendi ühise nimetaja juurde:

Teine piir ka lõplik Seetõttu on vaadeldava funktsiooni graafikul kaldu asümptoot:

Järeldus:

Seega funktsiooni graafiku jaoks lõpmatult lähedal läheneb sirgele:

Pange tähele, et see lõikub oma kaldus asümptooti algpunktis ja sellised lõikepunktid on üsna vastuvõetavad – oluline on, et lõpmatuse juures "kõik oleks normaalne" (tegelikult tuleb just seal asümptootide arutelu).

Näide 7

Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

Lahendus: pole eriti midagi kommenteerida, seega koostan lõpplahenduse umbkaudse näidise:

1) Vertikaalsed asümptoodid. Uurime asja.

Sirge on graafiku vertikaalne asümptoot .

2) Kaldsed asümptoodid:

Sirge on graafiku kaldus asümptoot .

Vastus:

Leitud ühekülgsed piirid ja asümptoodid võimaldavad suure kindlusega eeldada, milline selle funktsiooni graafik välja näeb. Õige joonistus tunni lõpus.

Näide 8

Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

See on näide iseseisva lahenduse jaoks, mõne piiri arvutamise mugavuse huvides saate jagada lugeja nimetajaga termini kaupa. Ja jällegi, analüüsides tulemusi, proovige joonistada selle funktsiooni graafik.

Ilmselt on "tegelike" kaldus asümptootide omanikud nende murd-ratsionaalfunktsioonide graafikud, mille lugeja kõrgeim aste on üks veel nimetaja kõrgeim aste. Kui rohkem, siis kaldus asümptooti ei esine (näiteks ).

Kuid elus juhtub muid imesid:

Näide 9

Lahendus: funktsioon pidev tervel arvureal, mis tähendab, et vertikaalseid asümptoote pole. Kuid võib olla ka nõlvad. Kontrollime:

Mäletan, kuidas ma ülikoolis sarnase funktsiooniga kokku puutusin ja lihtsalt ei suutnud uskuda, et sellel on kaldus asümptoot. Kuni arvutasin teise piiri:

Rangelt võttes on siin kaks ebakindlust: ja , kuid ühel või teisel viisil peate kasutama lahendusmeetodit, mida käsitletakse artikli näidetes 5-6 keerukuse suurenemise piiride kohta. Valemi kasutamiseks korrutage ja jagage konjugaadi avaldisega:

Vastus:

Võib-olla kõige populaarsem kaldus asümptoot.

Siiani on lõpmatust õnnestunud "sama pintsliga lõigata", kuid juhtub, et funktsiooni graafik kaks erinevat kaldus asümptoodid jaoks ja jaoks:

Näide 10

Uurige asümptootide funktsiooni graafikut

Lahendus: juuravaldis on positiivne, mis tähendab domeeni- mis tahes reaalarv ja vertikaalseid pulgakesi ei saa olla.

Kontrollime, kas kaldus asümptoote on olemas.

Kui "x" kipub olema "miinus lõpmatus", siis:
(kui sisestate ruutjuure alla "x", peate lisama "miinusmärgi", et mitte kaotada negatiivset nimetajat)

See tundub ebatavaline, kuid siin on määramatus "lõpmatus miinus lõpmatus". Korrutage lugeja ja nimetaja adjoint-avaldisega:

Seega on sirgjoon graafiku kaldus asümptoot .

"Pluss lõpmatuse" puhul on kõik triviaalsem:

Ja sirgjoon - juures .

Vastus:

Kui a ;
, kui .

Ma ei suuda graafilise pildi vastu panna:


See on üks harudest hüperbool .

See ei ole haruldane, kui asümptootide potentsiaalne esinemine on esialgu piiratud funktsiooni ulatus:

Näide 11

Uurige asümptootide funktsiooni graafikut

Lahendus: see on selge , seetõttu käsitleme ainult parempoolset pooltasapinda, kus on funktsiooni graafik.

1) Funktsioon pidev intervallil , mis tähendab, et kui vertikaalne asümptoot on olemas, saab see olla ainult y-telg. Uurime funktsiooni käitumist punkti lähedal paremal:

Märge, siin EI OLE MITTE kahtlust(sellistele juhtumitele keskenduti artikli alguses Limit lahendusmeetodid).

Seega on sirgjoon (y-telg) funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot .

2) Kaldus asümptoodi uurimist saab läbi viia täieliku skeemi järgi, kuid artiklis Lopitali reeglid leidsime, et logaritmilisest kõrgema kasvuastmega lineaarne funktsioon: (vt sama õppetüki näidet 1).

Järeldus: abstsisstelg on funktsiooni graafiku horisontaalne asümptoot.

Vastus:

Kui a ;
, kui .

Joonis selguse huvides:

Huvitaval kombel pole pealtnäha sarnasel funktsioonil üldse asümptoote (soovija saab seda kontrollida).

Kaks viimast iseõppimise näidet:

Näide 12

Uurige asümptootide funktsiooni graafikut

Vertikaalsete asümptootide testimiseks peame esmalt leidma funktsiooni ulatus ja seejärel arvutage "kahtlastes" punktides paar ühepoolset piiri. Samuti ei ole välistatud kaldus asümptoosid, kuna funktsioon on määratletud lõpmatusega "pluss" ja "miinus".

Näide 13

Uurige asümptootide funktsiooni graafikut

Ja siin saab olla ainult kaldus asümptoote ja suundi tuleks käsitleda eraldi.

Loodan, et leidsite õige asümptoodi =)

Soovin teile edu!

Lahendused ja vastused:

Näide 2:Lahendus :
. Leiame ühepoolsed piirid:

Otse on funktsiooni at graafiku vertikaalne asümptoot .
2) Kaldus asümptoodid.

Otse .
Vastus:

Joonistamine näitele 3:

Näide 4:Lahendus :
1) Vertikaalsed asümptoodid. Funktsioon kannatab ühes punktis lõpmatu katkestuse . Arvutame ühepoolsed piirid:

Märge: lõpmata väike negatiivne arv paarisastmeni on võrdne lõpmata väikese positiivse arvuga: .

Otse on funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot.
2) Kaldus asümptoodid.


Otse (abstsiss) on funktsiooni at graafiku horisontaalne asümptoot .
Vastus:

Paljudel juhtudel on funktsiooni joonistamine lihtsam, kui joonistada esmalt kõvera asümptoodid.

Definitsioon 1. Asümptootideks nimetatakse selliseid jooni, millele funktsiooni graafik läheneb soovitud lähedale, kui muutuja kaldub plusslõpmatuseni või miinuslõpmatusse.

Definitsioon 2. Sirget nimetatakse funktsiooni graafiku asümptoodiks, kui kaugus muutuja punktist M funktsiooni graafik kuni selle jooneni kipub nulli, kuna punkt liigub lõputult eemale M koordinaatide alguspunktist piki funktsiooni graafiku mis tahes haru.

Asümptoote on kolme tüüpi: vertikaalsed, horisontaalsed ja kaldus.

Vertikaalsed asümptoodid

Definitsioon. Otse x = a on funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot kui punkt x = a on teist tüüpi murdepunkt selle funktsiooni jaoks.

Definitsioonist järeldub, et rida x = a on funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot f(x), kui on täidetud vähemalt üks järgmistest tingimustest:

Samal ajal funktsioon f(x) ei pruugi olla üldse määratletud, vastavalt x ≥ a ja x ≤ a .

Kommentaar:

Näide 1 Funktsioonigraafik y=ln x on vertikaalne asümptoot x= 0 (st kattub teljega Oy) määratluspiirkonna piiril, kuna funktsiooni piir, kui x kipub paremal pool nulli, on võrdne miinus lõpmatusega:

(joonis ülal).

iseseisvalt ja seejärel vaadake lahendusi

Näide 2 Leia funktsiooni graafiku asümptoodid.

Näide 3 Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

Horisontaalsed asümptoodid

If (funktsiooni piir, kui argument kaldub pluss või miinus lõpmatusse, on võrdne mingi väärtusega b), siis y = b – horisontaalne asümptoot kõverad y = f(x ) (parem, kui x kaldub plusslõpmatusse, vasak, kui x kaldub miinuslõpmatusse, ja kahepoolne, kui piirid, kui x kaldub pluss- või miinuslõpmatusse, on võrdsed).

Näide 5 Funktsioonigraafik

juures a> 1-l on vasakpoolne horisontaalne asümptoot y= 0 (st kattub teljega Ox), kuna funktsiooni piir, kui "x" kaldub miinus lõpmatusse, on võrdne nulliga:

Kõveral ei ole parempoolset horisontaalset asümptooti, ​​kuna funktsiooni piir, kui x kipub pluss lõpmatus, on võrdne lõpmatusega:

Kaldus asümptoodid

Eespool käsitletud vertikaalsed ja horisontaalsed asümptoodid on paralleelsed koordinaattelgedega, seetõttu vajasime nende koostamiseks ainult teatud arvu - punkti abstsissil või ordinaatteljel, mida asümptoot läbib. Rohkem on vaja kaldu asümptoodi - kalde jaoks k, mis näitab sirge kaldenurka ja lõikepunkti b, mis näitab, kui palju joon on algpunktist kõrgemal või allpool. Need, kellel ei olnud aega unustada analüütilist geomeetriat ja sellest - sirgjoone võrrandeid, märkavad, et kaldus asümptoodi jaoks leiavad nad kalde võrrand. Kaldasümptoodi olemasolu määrab järgnev teoreem, mille alusel leitakse just nimetatud koefitsiendid.

Teoreem. Kurvi tegemiseks y = f(x) oli asümptoot y = kx + b , on vajalik ja piisav, et on olemas lõplikud piirid k ja b vaadeldava funktsiooni kohta, nagu muutuja kaldub x pluss lõpmatuseni ja miinus lõpmatuseni:

(1)

(2)

Nii leitud numbrid k ja b ja on kaldus asümptoodi koefitsiendid.

Esimesel juhul (kui x kaldub pluss lõpmatuseni) saadakse parempoolne kaldus asümptoot, teisel (kui x kaldub miinus lõpmatuseni) jäetakse see vasakule. Parempoolne kaldus asümptoot on näidatud joonisel fig. altpoolt.

Kaldasümptoodi võrrandi leidmisel tuleb arvestada x tendentsiga nii plusslõpmatusse kui ka miinuslõpmatusse. Mõne funktsiooni puhul, näiteks murdratsionaalide puhul, need piirid langevad kokku, kuid paljude funktsioonide puhul on need piirid erinevad ja neist saab eksisteerida ainult üks.

Kui piirid langevad kokku x-iga, mis kaldub pluss lõpmatuseni ja miinus lõpmatuseni, sirgjoon y = kx + b on kõvera kahepoolne asümptoot.

Kui vähemalt üks asümptooti määratlevatest piiridest y = kx + b , ei eksisteeri, siis funktsiooni graafikul ei ole kaldu asümptooti (aga võib olla vertikaalne).

On lihtne näha, et horisontaalne asümptoot y = b on kaldus erijuhtum y = kx + b juures k = 0 .

Seega, kui kõveral on horisontaalne asümptoot mis tahes suunas, siis pole selles suunas kaldu asümptooti ja vastupidi.

Näide 6 Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

Lahendus. Funktsioon on määratletud tervel arvureal, välja arvatud x= 0, st.

Seega murdepunktis x= 0 võib kõveral olla vertikaalne asümptoot. Tõepoolest, funktsiooni piir, kui x kaldub vasakult nulli, on pluss lõpmatus:

Järelikult x= 0 on selle funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot.

Selle funktsiooni graafikul ei ole horisontaalset asümptooti, ​​kuna funktsiooni piir, kui x kaldub pluss lõpmatuseni, on võrdne pluss lõpmatusega:

Uurime välja kaldu asümptoodi olemasolu:

Sul on piiratud piirid k= 2 ja b= 0. Otse y = 2x on selle funktsiooni graafiku kahepoolne kaldus asümptoot (joon. näite sees).

Näide 7 Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

Lahendus. Funktsioonil on üks katkestuspunkt x= −1. Arvutame välja ühepoolsed piirid ja määrame katkestuse tüübi:

Järeldus: x= −1 on teist tüüpi katkestuspunkt, seega joon x= −1 on selle funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot.

Otsitakse kaldus asümptoote. Kuna see funktsioon on murdosaliselt ratsionaalne, langevad piirangud jaoks ja jaoks kokku. Seega leiame koefitsiendid sirge - kaldu asümptoodi asendamiseks võrrandisse:

Asendades leitud koefitsiendid kaldega sirge võrrandiga, saame kaldasümptoodi võrrandi:

y = −3x + 5 .

Joonisel on funktsiooni graafik tähistatud burgundi värviga ja asümptoodid mustaga.

Näide 8 Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

Lahendus. Kuna see funktsioon on pidev, pole selle graafikul vertikaalseid asümptoote. Otsime kaldu asümptoote:

.

Seega on selle funktsiooni graafikul asümptoot y= 0 at ja sellel puudub asümptoot at .

Näide 9 Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

Lahendus. Esiteks otsime vertikaalseid asümptoote. Selleks leiame funktsiooni domeeni. Funktsioon on määratletud, kui ebavõrdsus kehtib ja . muutuv märk x sobib märgiga. Seetõttu kaaluge samaväärset ebavõrdsust. Sellest saame funktsiooni ulatuse: . Vertikaalne asümptoot saab olla ainult funktsiooni domeeni piiril. Aga x= 0 ei saa olla vertikaalne asümptoot, kuna funktsioon on defineeritud jaoks x = 0 .

Võtke arvesse parempoolset piirangut (vasakpoolset piirangut ei eksisteeri):

.

Punkt x= 2 on teist tüüpi katkestuspunkt, seega joon x= 2 - selle funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot.

Otsime kaldu asümptoote:

Niisiis, y = x+ 1 - selle funktsiooni graafiku kaldus asümptoot . Otsime kaldu asümptooti:

Niisiis, y = −x − 1 - kaldus asümptoot juures .

Näide 10 Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

Lahendus. Funktsioonil on ulatus . Kuna selle funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot saab asuda ainult definitsioonipiirkonna piiril, leiame funktsiooni ühepoolsed piirid kohast .

Funktsiooni graafiku asümptoot y \u003d f (x) nimetatakse sirgeks, millel on omadus, et kaugus punktist (x, f (x)) selle sirgeni kipub olema null, kusjuures graafiku punkt on lähtepunktist piiramatult eemaldatud.

Joonis 3.10. on toodud graafilised näited vertikaalne, horisontaalne ja kaldus asümptoot.

Graafi asümptootide leidmine põhineb kolmel järgneval teoreemil.

Vertikaalse asümptoodi teoreem. Olgu funktsioon y \u003d f (x) defineeritud punkti x 0 mõnes naabruses (võimalik, et see punkt ise välja jätta) ja vähemalt üks funktsiooni ühekülgsetest piiridest on võrdne lõpmatusega, s.o. Siis on joon x \u003d x 0 funktsiooni y \u003d f (x) graafiku vertikaalne asümptoot.

Ilmselgelt ei saa joon x \u003d x 0 olla vertikaalne asümptoot, kui funktsioon on pidev punktis x 0, kuna sel juhul . Seetõttu tuleks vertikaalseid asümptoote otsida funktsiooni katkestuspunktidest või selle domeeni otstest.

Teoreem horisontaalse asümptoodi kohta. Olgu funktsioon y \u003d f (x) defineeritud piisavalt suure x jaoks ja funktsioonil on lõplik piir. Siis on sirge y = b funktsiooni graafiku horisontaalne asümptoot.

Kommenteeri. Kui ainult üks piirväärtustest on lõplik, siis on funktsioonil vastavalt vasakpoolne või parempoolne horisontaalne asümptoot.

Juhul, kui funktsioonil võib olla kaldu asümptoot.

Kaldus asümptoodi teoreem. Olgu funktsioon y = f(x) defineeritud piisavalt suure x jaoks ja olemas on lõplikud piirid . Siis on sirge y = kx + b funktsiooni graafiku kaldus asümptoot.

Ilma tõenditeta.

Kaldus asümptoot, nagu ka horisontaalne, võib olla parem- või vasakukäeline, kui vastavate piiride aluseks on teatud märgi lõpmatus.

Funktsioonide uurimine ja nende graafikute koostamine hõlmab tavaliselt järgmisi samme:

1. Leidke funktsiooni domeen.

2. Uurige paaris-paaritu funktsiooni.

3. Leidke vertikaalsed asümptoodid, uurides katkestuspunkte ja funktsiooni käitumist definitsioonipiirkonna piiridel, kui need on lõplikud.

4. Leidke horisontaalsed või kaldus asümptoodid, uurides funktsiooni käitumist lõpmatuses.

5. Leia funktsiooni monotoonsuse äärmused ja intervallid.

6. Leia funktsiooni kumerusvahemikud ja käändepunktid.

7. Leia lõikepunktid koordinaattelgedega ja võimalusel ka mõned lisapunktid, mis graafikut täpsustavad.

Funktsioonide diferentsiaal

Võib tõestada, et kui funktsioonil on teatud aluse puhul piirväärtus, mis on võrdne lõpliku arvuga, siis saab seda esitada selle arvu ja sama aluse lõpmatu väikese väärtuse summana (ja vastupidi): .

Rakendame seda teoreemi diferentseeruvale funktsioonile: .

Seega koosneb funktsiooni Dy juurdekasv kahest liikmest: 1) lineaarne Dx suhtes, s.o. f`(x)Dx; 2) mittelineaarne Dx suhtes, s.o. a(Dx)Dx. Samal ajal, kuna , on see teine ​​liige Dx-st kõrgemat järku lõpmatult väike (kuna Dx kipub nulli jõudma, kipub see nulli jõudma veelgi kiiremini).

Diferentsiaal funktsiooni nimetatakse funktsiooni juurdekasvu põhiosaks, mis on Dx suhtes lineaarne ja võrdub tuletise ja sõltumatu muutuja dy = f `(x)Dx juurdekasvu korrutisega.

Leia funktsiooni y = x diferentsiaal.

Kuna dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx, siis dx = Dx, st. sõltumatu muutuja diferentsiaal on võrdne selle muutuja juurdekasvuga.

Seetõttu saab funktsiooni diferentsiaali valemi kirjutada kujul dy = f `(x)dх. Seetõttu on tuletise üheks sümboliks murdosa dy/dх.

Illustreeritud on diferentsiaali geomeetriline tähendus
joonis 3.11. Võtame funktsiooni y = f(x) graafikul suvalise punkti M(x, y). Anname argumendile x juurdekasvu Dx. Siis saab funktsioon y = f(x) juurdekasvu Dy = f(x + Dх) - f(x). Joonistame punktis M funktsiooni graafikule puutuja, mis moodustab x-telje positiivse suunaga nurga a, s.t. f `(x) = tg a. Täisnurksest kolmnurgast MKN
KN \u003d MN * tg a \u003d Dx * tg a \u003d f `(x) Dx \u003d dy.

Seega on funktsiooni diferentsiaal funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja ordinaadi juurdekasv antud punktis, kui x-i suurendatakse Dx võrra.

Diferentsiaali omadused on põhimõtteliselt samad, mis tuletisel:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .

Funktsiooni diferentsiaalil on aga üks oluline omadus, mida selle tuletis ei oma – see on diferentsiaalvormi muutumatus.

Funktsiooni y = f(x) diferentsiaali definitsioonist on diferentsiaal dy = f`(x)dх. Kui see funktsioon y on keeruline, st. y = f(u), kus u = j(x), siis y = f ja f `(x) = f `(u)*u`. Siis dy = f`(u)*u`dx. Aga funktsiooni pärast
u = j(x) diferentsiaal du = u`dx. Seega dy = f `(u)*du.

Võrreldes võrrandeid dy = f `(x)dх ja dy = f `(u)*du, veendume, et diferentsiaalvalem ei muutu, kui sõltumatu muutuja x funktsiooni asemel käsitleme funktsiooni sõltuv muutuja u. Seda diferentsiaali omadust nimetatakse diferentsiaali kuju (või valemi) muutumatuks (s.o muutumatuks).

Siiski on neil kahel valemil ikkagi erinevus: esimeses neist on sõltumatu muutuja diferentsiaal võrdne selle muutuja juurdekasvuga, s.t. dx = Dx ja teises on funktsiooni du diferentsiaal ainult selle funktsiooni Du juurdekasvu lineaarne osa ja ainult väikese Dх du » Du korral.