Pakub viiteandmeid eksponentsiaalne funktsioon - põhiomadused, graafikud ja valemid. Arvestatud järgmised küsimused: määratluspiirkond, väärtuste kogum, monotoonsus, pöördfunktsioon, tuletis, integraal, laiendus sisse jõuseeria ja esitamine kompleksarvude abil.

Definitsioon

Eksponentfunktsioon on n arvu korrutis, mis võrdub a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
reaalarvude hulka x:
y (x) = ax.
Siin on a fikseeritud tegelik arv mida nimetatakse eksponentsiaalfunktsiooni alusel.
Nimetatakse ka eksponentsiaalfunktsiooni alusega a eksponent alusele a.

Üldistamine toimub järgmiselt.
Loodusliku x = jaoks 1, 2, 3,... , on eksponentsiaalfunktsioon x teguri korrutis:
.
Lisaks on sellel omadused (1,5-8) (), mis tulenevad arvude korrutamise reeglitest. Täisarvude null- ja negatiivsete väärtuste korral määratakse eksponentsiaalne funktsioon valemite (1.9-10) abil. Kell murdarvud x = m/n ratsionaalsed arvud, , see määratakse valemiga (1.11). Reaalarvude puhul on eksponentsiaalfunktsioon defineeritud kui järjestuse piirang:
,
kus on suvaline ratsionaalarvude jada, mis läheneb x-le: .
Selle definitsiooniga on eksponentsiaalfunktsioon defineeritud kõigi jaoks ja vastab omadustele (1,5–8), nagu loomuliku x puhul.

Eksponentfunktsiooni definitsiooni ja selle omaduste tõestuse range matemaatiline sõnastus on toodud lehel “Eksponentfunktsiooni omaduste definitsioon ja tõestus”.

Eksponentfunktsiooni omadused

Eksponentfunktsioonil y = a x on olemas järgmised omadused reaalarvude hulgal () :
(1.1) määratletud ja pidev, kõigile ;
(1.2) jaoks ≠ 1 sellel on palju tähendusi;
(1.3) rangelt suureneb , rangelt väheneb juures ,
on konstantne juures ;
(1.4) kell ;
kell ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Muud kasulikud valemid.
.
Valem erineva eksponendibaasiga eksponentsiaalfunktsiooniks teisendamiseks:

Kui b = e, saame eksponentsiaalfunktsiooni avaldise eksponentsiaali kaudu:

Privaatsed väärtused

, , , , .

Joonisel on eksponentsiaalfunktsiooni graafikud
y (x) = ax
nelja väärtuse jaoks kraadialused: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 ja a = 1/8 . On näha, et > jaoks 1 eksponentsiaalfunktsioon suureneb monotoonselt. Mida suurem on astme a alus, seda tugevam on kasv. Kell 0 < a < 1 eksponentsiaalfunktsioon väheneb monotoonselt. Mida väiksem on eksponent a, seda tugevam on vähenemine.

Tõusev, laskuv

Eksponentfunktsioon on rangelt monotoonne ja seetõttu pole sellel äärmusi. Selle peamised omadused on toodud tabelis.

	y = a x , a > 1	y = kirves, 0 < a < 1
Domeen	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Väärtuste vahemik	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotoonne	monotoonselt suureneb	monotoonselt väheneb
Nullid, y = 0	Ei	Ei
Lõikepunktid ordinaatteljega, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Pöördfunktsioon

Alusega a eksponentsiaalfunktsiooni pöördväärtus on aluse a logaritm.

Kui siis
.
Kui siis
.

Eksponentfunktsiooni diferentseerimine

Eksponentfunktsiooni eristamiseks tuleb selle alus taandada arvuni e, rakendada tuletise tabelit ja diferentseerimisreeglit keeruline funktsioon.

Selleks tuleb kasutada logaritmide omadust
ja tuletiste tabelist saadud valem:
.

Olgu antud eksponentsiaalne funktsioon:
.
Toome selle baasi e:

Rakendame keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglit. Selleks sisestage muutuja

Siis

Tuletiste tabelist saame (asenda muutuja x z-ga):
.
Kuna on konstant, on z tuletis x suhtes võrdne
.
Vastavalt keeruka funktsiooni diferentseerimise reeglile:
.

Eksponentfunktsiooni tuletis

.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>

Näide eksponentsiaalfunktsiooni eristamisest

Leia funktsiooni tuletis
y = 35x

Lahendus

Avaldame eksponentsiaalfunktsiooni baasi arvu e kaudu.
3 = e ln 3
Siis
.
Sisestage muutuja
.
Siis

Tuletisinstrumentide tabelist leiame:
.
Kuna 5ln 3 on konstant, siis z tuletis x suhtes on võrdne:
.
Vastavalt keeruka funktsiooni diferentseerimise reeglile on meil:
.

Vastus

Integraalne

Kompleksarve kasutavad avaldised

Mõelge funktsioonile kompleksarv z:
f (z) = a z
kus z = x + iy; i 2 = - 1 .
Avaldame komplekskonstanti a mooduli r ja argumendi φ kaudu:
a = r e i φ
Siis


.
Argument φ ei ​​ole üheselt määratletud. Üldiselt
φ = φ 0 + 2 πn,
kus n on täisarv. Seetõttu funktsioon f (z) pole ka selge. Sageli peetakse silmas selle peamist tähtsust
.

Sarja laiendus

.

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.

Funktsiooni y=x^2 nimetatakse ruutfunktsiooniks. Ruutfunktsiooni graafik on parabool. Parabooli üldvaade on näidatud alloleval joonisel.

Ruutfunktsioon

Joonis 1. Parabooli üldvaade

Nagu graafikult näha, on see sümmeetriline Oy telje suhtes. Oy-telge nimetatakse parabooli sümmeetriateljeks. See tähendab, et kui joonistada graafikule selle telje kohale paralleelne sirge teljega Ox. Siis lõikub see parabooliga kahes punktis. Kaugus nendest punktidest Oy teljeni on sama.

Sümmeetriatelg jagab parabooli graafiku kaheks osaks. Neid osi nimetatakse parabooli harudeks. Ja parabooli punkti, mis asub sümmeetriateljel, nimetatakse parabooli tipuks. See tähendab, et sümmeetriatelg läbib parabooli tippu. Selle punkti koordinaadid on (0;0).

Ruutfunktsiooni põhiomadused

1. Kui x =0, y=0 ja y>0 juures x0

2. Minimaalne väärtus ruutfunktsioon jõuab haripunkti. Ymin juures x = 0; Samuti tuleb märkida, et maksimaalne väärtus funktsiooni pole olemas.

3. Funktsioon väheneb intervallil (-∞;0] ja suureneb intervallil .

Funktsiooni väärtuste vahemik on ulatus [ 1; 3].

1. Kui x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, on funktsiooni väärtus null.

Argumendi väärtust, mille juures funktsiooni väärtus on null, nimetatakse funktsiooniks null.

//need. selle funktsiooni arvud on -3;-1;1,5; 4,5 on nullid.

2. Intervallidega [ 4,5; 3) ja (1; 1,5) ja (4,5; 5,5] funktsiooni f graafik asub abstsissteljest kõrgemal ning intervallides (-3; -1) ja (1,5; 4,5) abstsissteljest allpool seletatakse nii - intervallidega[ 4,5; 3) ja (1; 1,5) ja (4,5;5,5] funktsioon võtab positiivsed väärtused, ning intervallidel (-3; -1) ja (1,5; 4,5) on negatiivsed.

Iga näidatud intervalli (kus funktsioon võtab sama märgi väärtused) nimetatakse funktsiooni f.//konstantmärgi intervalliks, st. Näiteks kui võtta intervall (0; 3), siis see ei ole selle funktsiooni konstantse märgi intervall.

Matemaatikas on funktsiooni konstantse märgi intervalle otsides tavaks märkida intervalle maksimaalne pikkus. //Need. intervall (2; 3) on märgi püsivuse intervall funktsioon f, kuid vastus peaks sisaldama intervalli [ 4,5; 3) mis sisaldab intervalli (2; 3).

3. Kui liigute piki x-telge 4,5-lt 2-le, märkate, et funktsiooni graafik langeb, see tähendab, et funktsiooni väärtused vähenevad. //Matemaatikas on kombeks öelda, et intervallil [ 4,5; 2] funktsioon väheneb.

Kui x suureneb 2-lt 0-le, siis funktsiooni graafik tõuseb üles, s.t. funktsiooni väärtused suurenevad. //Matemaatikas on kombeks öelda, et intervallil [ 2; 0] funktsioon suureneb.

Funktsioon f kutsutakse välja, kui selle intervalli argumendi x1 ja x2 mis tahes kahe väärtuse korral, nii et x2 > x1, kehtib ebavõrdsus f (x2) > f (x1). // või kutsutakse funktsioon teatud intervalliga suureneb, kui selle intervalli argumendi mis tahes väärtuste puhul kõrgem väärtus argument vastab funktsiooni suuremale väärtusele.//st. mida rohkem x, seda rohkem y.

Funktsiooni f kutsutakse teatud intervalli jooksul väheneb, kui selle intervalli argumendi x1 ja x2 mis tahes kahe väärtuse korral, nii et x2 > x1, väheneb võrratus f(x2) mingil intervallil, kui selle intervalli argumendi mis tahes väärtuse korral on suurem väärtus argumendist vastab funktsiooni väiksemale väärtusele. //need. mida rohkem x, seda vähem y.

Kui funktsioon suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses, nimetatakse seda suureneb.

Kui funktsioon väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses, siis seda kutsutakse väheneb.

Näide 1. vastavalt suurenevate ja kahanevate funktsioonide graafik.

Näide 2.

Defineerige nähtus. Kas lineaarfunktsioon f(x) = 3x + 5 kasvab või väheneb?

Tõestus. Kasutame definitsioone. Olgu x1 ja x2 argumendi suvalised väärtused ja x1< x2., например х1=1, х2=7

Funktsioonid ja nende omadused

Funktsioon on üks olulisemaid matemaatilisi mõisteid.Funktsioon Nad nimetavad sellist muutuja y sõltuvust muutujast x, milles muutuja x iga väärtus vastab muutuja y ühele väärtusele.

Muutuv X helistas sõltumatu muutuja või argument. Muutuv juures helistas sõltuv muutuja. Nad ütlevad ka sedamuutuja y on muutuja x funktsioon. Sõltuva muutuja väärtusi nimetataksefunktsiooni väärtused.

Kui muutuja sõltuvusjuures muutujastX on funktsioon, siis saab selle lühidalt kirjutada järgmiselt:y= f( x ). (Loe:juures võrdubf alatesX .) Sümbolf( x) tähistab funktsiooni väärtust, mis vastab argumendi väärtusele, mis on võrdneX .

Kõik sõltumatu muutuja väärtusedfunktsiooni domeen . Kõik väärtused, mille sõltuv muutuja moodustabfunktsioonide vahemik .

Kui funktsioon on määratletud valemiga ja selle määratluspiirkond on määramata, loetakse funktsiooni määratluspiirkond koosnevaks kõigist argumendi väärtustest, mille jaoks valem on mõttekas.

Funktsiooni määramise meetodid:

1.analüütiline meetod (funktsioon määratakse kasutades matemaatiline valem;

2.tabulaarne meetod (funktsioon määratakse tabeli abil)

3.kirjeldav meetod (funktsioon on määratud sõnaline kirjeldus)

4. graafiline meetod (funktsioon määratakse graafiku abil).

Funktsioonigraafik nimeta koordinaattasandi kõigi punktide hulk, mille abstsissid on võrdsed argumendi väärtustega, ja ordinaadid - vastavad funktsiooni väärtused.

FUNKTSIOONIDE PÕHIOMADUSED

1. Funktsiooni nullid

Funktsiooni null on argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus võrdub nulliga.

2. Funktsiooni konstantse märgi intervallid

Funktsiooni konstantse märgi intervallid on argumentide väärtuste komplektid, mille funktsiooni väärtused on ainult positiivsed või ainult negatiivsed.

3. Suurenev (vähendav) funktsioon.

Kasvav teatud intervallis on funktsioon funktsioon, mille argumendi suurem väärtus sellest intervallist vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

Funktsioon y = f ( x ) helistas suureneb intervallil (A; b ), kui mõne jaoks x 1 Ja x 2 sellest intervallist selline, etx 1 < x 2 , ebavõrdsus on tõsif ( x 1 )< f ( x 2 ).

Langevad teatud intervallis on funktsioon funktsioon, mille argumendi suurem väärtus sellest intervallist vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

Funktsioon juures = f ( x ) helistas väheneb intervallil (A; b ) , kui üldse x 1 Ja x 2 sellest intervallist selline, et x 1 < x 2 , ebavõrdsus on tõsif ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Paaritu (paaritu) funktsioon

Ühtlane funktsioon - funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoksX määratlusvaldkonnast võrdsusf (- x ) = f ( x ) . Paarisfunktsiooni graafik on ordinaadi suhtes sümmeetriline.

Näiteks y = x 2 - ühtlane funktsioon.

Veider funktsioon- funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X definitsiooni valdkonnast on võrdsus tõene f (- x ) = - f (x ). Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.

Näiteks: y = x 3 - paaritu funktsioon .

Funktsioon üldine vaade ei ole paaris ega paaritu (y = x 2 +x ).

Mõnede funktsioonide omadused ja nende graafika

1. Lineaarne funktsioon nimetatakse vormi funktsiooniks , Kus k Ja b - numbrid.

Domeen lineaarne funktsioon- trobikondR reaalarvud.

Lineaarfunktsiooni graafikjuures = kx + b ( k ≠ 0) on sirge, mis läbib punkti (0;b ) ja paralleelselt joonegajuures = kx .

Sirge, mitte teljega paralleelneOU, on lineaarfunktsiooni graafik.

Lineaarfunktsiooni omadused.

1. Millal k > 0 funktsioon juures = kx + b

2. Millal k < 0 funktsioon y = kx + b määratlusvaldkonnas väheneb.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) on terve arvurida, s.o. trobikondR reaalarvud.

Kell k = 0 funktsiooni väärtuste komplekty = kx + b koosneb ühest numbristb .

3. Millal b = 0 ja k = 0 funktsioon ei ole paaris ega paaritu.

Kell k = 0 lineaarfunktsioonil on vormy = b ja kell b ≠ 0 see on ühtlane.

Kell k = 0 ja b = 0 lineaarfunktsioonil on vormy = 0 ja on nii paaris kui paaritu.

Lineaarfunktsiooni graafiky = b on sirge, mis läbib punkti (0; b ) ja paralleelselt teljegaOh. Pange tähele, et millal b = 0 funktsiooni graafiky = b ühtivad teljega Oh .

5. Millal k > 0 meil on see juures> 0, kui ja juures< 0 kui . Kell k < 0 meil on, et y > 0, kui ja kell< 0, если .

2. Funktsioon y = x 2

Rreaalarvud.

Muutuja andmineX funktsiooni domeenist mitu väärtust ja vastavate väärtuste arvutaminejuures valemi järgi y = x 2 , kujutame funktsiooni graafikut.

Funktsiooni graafik y = x 2 helistas parabool.

Funktsiooni y = x omadused 2 .

1. Kui X= 0, siis y = 0, st. paraboolil on koordinaatteljed ühine punkt(0; 0) - päritolu.

2. Kui x ≠ 0 , See juures > 0, st. kõik parabooli punktid, välja arvatud alguspunkt, asuvad x-telje kohal.

3. Funktsiooni väärtuste komplektjuures = X 2 on ulatuse funktsioonjuures = X 2 väheneb.

X

3. Funktsioon

Selle funktsiooni valdkond on ulatusfunktsioony = | x | väheneb.

7. Madalaim väärtus funktsioon võtab punktisX, seda võrdub 0. Suurim väärtus ei eksisteeri.

6. Funktsioon

Funktsiooni ulatus: .

Funktsioonide vahemik: .

Graafik on hüperbool.

1. Funktsiooni nullid.

y ≠ 0, nullid pole.

2. märkide püsivuse intervallid,

Kui k > 0 siis juures> 0 kl X > 0; juures < 0 при X < О.

Kui k < 0, то juures < 0 при X > 0; juures> 0 kl X < 0.

3. Suurenemise ja kahanemise intervallid.

Kui k > 0, siis funktsioon väheneb kui .

Kui k < 0, то функция возрастает при .

4. Paaris (paaritu) funktsioon.

Funktsioon on veider.

Ruudukujuline trinoom

Vormi võrrand kirves 2 + bx + c = 0, kus a , b Ja Koos - mõned numbrid jaa≠ 0, helistas ruut.

Ruutvõrrandiskirves 2 + bx + c = 0 koefitsient A helistas esimene koefitsient b - teine ​​koefitsient, koos - vaba liige.

Juurevalem ruutvõrrand on kujul:

.

Väljendit nimetatakse diskrimineeriv ruutvõrrand ja seda tähistatakseD .

Kui D = 0, siis on ainult üks arv, mis rahuldab võrrandit kirves 2 + bx + c = 0. Siiski leppisime kokku, et sel juhul on ruutvõrrandil kaks võrdset reaaljuurt ja arv ise helistas topeltjuur.

Kui D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on kaks erinevat reaaljuurt.

Olgu antud ruutvõrrandkirves 2 + bx + c = 0. Alates a≠ 0, seejärel jagades mõlemad osad antud võrrand pealA, saame võrrandi . Uskudes Ja , jõuame võrrandini , milles esimene koefitsient on võrdne 1-ga. Seda võrrandit nimetatakseantud.

Ülaltoodud ruutvõrrandi juurte valem on järgmine:

.

Vormi võrrandid

A x 2 + bx = 0, kirves 2 + s = 0, A x 2 = 0

kutsutakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Mittetäielikud ruutvõrrandid lahendatakse võrrandi vasaku külje faktoriseerimisega.

Vieta teoreem .

Ruutvõrrandi juurte summa võrdub teise ja esimese koefitsiendi suhtega, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis on vaba liikme ja esimese koefitsiendi suhe, s.o.

Pöördeteoreem.

Kui mis tahes kahe arvu summaX 1 Ja X 2 võrdne , ja nende korrutis on võrdne, siis on need arvud ruutvõrrandi juuredOh 2 + b x + c = 0.

Vormi funktsioon Oh 2 + b x + c helistas ruudukujuline kolmik. Selle funktsiooni juurteks on vastava ruutvõrrandi juuredOh 2 + b x + c = 0.

Kui diskrimineerija ruuttrinoom Üle nulli, siis saab seda trinoomi esitada järgmiselt:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )

Kus X 1 Ja X 2 - trinoomi juured

Kui ruuttrinoomi diskriminant on null, võib seda trinoomi esitada järgmiselt:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 ) 2

Kus X 1 - trinoomi juur.

Näiteks, 3x 2 - 12x + 12 = 3 (x - 2) 2 .

Vormi võrrand Oh 4 + b X 2 + s= 0 kutsutakse bikvadraatne. Muutujate asendamine valemi abilX 2 = y see taandub ruutvõrrandiksA y 2 + kõrval + c = 0.

Ruutfunktsioon

Ruutfunktsioon on funktsioon, mille saab kirjutada vormi valemigay = kirves 2 + bx + c , Kus x - sõltumatu muutuja,a , b Ja c – mõned numbrid jaa ≠ 0.

Funktsiooni omadused ja selle graafiku tüüp määratakse peamiselt koefitsiendi väärtuste järgia ja diskrimineeriv.

Ruutfunktsiooni omadused

Domeen:R;

Väärtuste vahemik:

juures A > 0 [- D/(4 a); ∞)

juures A < 0 (-∞; - D/(4 a)];

Isegi veider:

juures b = 0 paarisfunktsiooni

juures b ≠ Funktsioon 0 ei ole paaris ega paaritu

juures D> 0 kaks nulli: ,

juures D= 0 üks null:

juures D < 0 нулей нет

Märgi püsivuse intervallid:

kui a > 0, D> 0, siis

kui a > 0, D= 0, siis

e kui a > 0, D < 0, то

kui a< 0, D> 0, siis

kui a< 0, D= 0, siis

kui a< 0, D < 0, то

- Monotoonsuse intervallid

> 0 jaoks

aadressil a< 0

Ruutfunktsiooni graafik onparabool – sirgjoone suhtes sümmeetriline kõver , mis läbib parabooli tippu (parabooli tipp on parabooli ja sümmeetriatelje lõikepunkt).

Ruutfunktsiooni graafiku loomiseks vajate:

1) leiab parabooli tipu koordinaadid ja märgib selle koordinaattasandil;

2) konstrueerida veel mitu parabooli juurde kuuluvat punkti;

3) ühendage märgitud punktid sujuva joonega.

Parabooli tipu koordinaadid määratakse valemitega:

; .

Funktsioonigraafikute teisendamine

1. Venitamine graafikay = x 2 piki telgejuures V|a| korda (kell|a| < 1 on tihendus 1/|a| üks kord).

Kui ja< 0, произвести, кроме того, peegli peegeldus graafika telje kohtaX (parabooli oksad on suunatud allapoole).

Tulemus: funktsiooni graafiky = ah 2 .

2. Paralleelne ülekanne funktsioonigraafikay = ah 2 piki telgeX peal| m | (paremal, millal

m > 0 ja vasakule, kuiT< 0).

Tulemus: funktsioonigraafiky = a(x - t) 2 .

3. Paralleelne ülekanne funktsioonigraafika piki telgejuures peal| n | (üles klp> 0 ja alla kellP< 0).

Tulemus: funktsioonigraafiky = a(x - t) 2 + lk.

Ruutvõrratused

Vormi ebavõrdsusedOh 2 + b x + c > 0 jaOh 2 + bx + c< 0, kusX - muutuv,a , b JaKoos - mõned numbrid jaa≠ 0 nimetatakse teise astme võrratusteks ühe muutujaga.

Ühe muutuja teise astme võrratuse lahendamist võib pidada intervallide leidmiseks, milles vastav ruutfunktsioon võtab positiivsed või negatiivsed väärtused.

Vormi ebavõrdsuse lahendamiseksOh 2 + bx + c > 0 jaOh 2 + bx + c< 0 toimige järgmiselt:

1) leida ruuttrinoomi diskriminant ja teada saada, kas trinoomil on juured;

2) kui trinoomil on juured, siis märgi need teljeleX ja läbi märgitud punktide joonistatakse skemaatiliselt parabool, mille harud on suunatud ülespooleA > 0 või alla, kuiA< 0; kui trinoomil pole juuri, siis kujutage skemaatiliselt parabooli, mis asub ülemisel pooltasandilA > 0 või madalam kellA < 0;

3) leitud teljelX intervallid, mille puhul parabooli punktid asuvad telje kohalX (kui ebavõrdsus on lahendatudOh 2 + bx + c > 0) või telje allX (kui ebavõrdsus on lahendatudOh 2 + bx + c < 0).

Näide:

Lahendame ebavõrdsuse .

Mõelge funktsioonile

Selle graafik on parabool, mille oksad on suunatud allapoole (kuna ).

Uurime, kuidas graafik telje suhtes paiknebX. Lahendame selle võrrandi . Me saame sellest arux = 4. Võrrandil on üks juur. See tähendab, et parabool puudutab telgeX.

Parabooli skemaatilisel kujutamisel leiame, et funktsioon võtab mis tahes jaoks negatiivsed väärtusedX, välja arvatud 4.

Vastuse saab kirjutada nii:X - mis tahes arv, mis ei võrdu 4-ga.

Võrratuste lahendamine intervallmeetodil

lahendusskeem

1. Leia nullid funktsioon ebavõrdsuse vasakul küljel.

2. Märkige arvuteljel nullide asukoht ja määrake nende kordsus (Kuik i on paaris, siis null on paariskordsusega, kuik i paaritu on paaritu).

3. Leia funktsiooni märgid selle nullide vahelistes intervallides, alustades kõige parempoolsemast intervallist: selles intervallis on võrratuse vasakpoolne funktsioon alati positiivne antud ebavõrdsuse vormi jaoks. Kui liigute paremalt vasakule läbi funktsiooni nulli ühest intervallist külgnevasse, tuleks arvestada:

kui null on paaritu paljusus, funktsiooni märk muutub,

kui null on paaris paljusus, funktsiooni märk säilib.

4. Kirjutage vastus üles.

Näide:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Leiti funktsiooni nullid. Need on võrdsed:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Märgime koordinaatjoonele funktsiooni nullidf ( x ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Leiame selle funktsiooni märgid igas intervallis (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) ja

Jooniselt on selgelt näha, et võrratuse lahendite hulk on intervallide (-∞; -6) ja (-1; 4) liit.

Vastus: (-∞ ; -6) ja (-1; 4).

Vaadeldavat meetodit võrratuste lahendamiseks nimetatakseintervalli meetod.

Funktsiooni nullid
Funktsiooni null on väärtus X, mille juures funktsioon muutub 0-ks, st f(x)=0.

Nullid on funktsioonigraafiku ja telje lõikepunktid Oh.

Funktsiooni paarsus
Funktsiooni kutsutakse isegi siis, kui mis tahes jaoks X definitsioonipiirkonnast kehtib võrdus f(-x) = f(x).

Paarisfunktsioon on telje suhtes sümmeetriline OU

Paarsuse funktsioon
Funktsiooni nimetatakse paarituks, kui see on ükskõik milline X definitsioonipiirkonnast kehtib võrdus f(-x) = -f(x).

Paaritu funktsioon on sümmeetriline lähtekoha suhtes.
Funktsiooni, mis pole paaris ega paaritu, nimetatakse üldfunktsiooniks.

Funktsiooni suurendamine
Funktsiooni f(x) nimetatakse kasvavaks, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele, s.t.

Langev funktsioon
Funktsiooni f(x) nimetatakse kahanevaks, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele, s.t.

Kutsutakse intervalle, mille jooksul funktsioon kas ainult väheneb või ainult suureneb monotoonsuse intervallid. Funktsioonil f(x) on 3 monotoonsuse intervalli:

Leia monotoonsuse intervallid, kasutades teenust Kasvamise ja kahanemise intervallid

Kohalik maksimum
Punkt x 0 nimetatakse punktiks kohalik maksimum, kui üldse X punkti lähedusest x 0 ebavõrdsus kehtib: f(x 0) > f(x)

Kohalik miinimum
Punkt x 0 nimetatakse punktiks kohalik miinimum, kui üldse X punkti lähedusest x 0 ebavõrdsus kehtib: f(x 0)< f(x).

Kohalikke maksimumpunkte ja kohalikke miinimumpunkte nimetatakse kohalikeks ekstreemumipunktideks.

kohalikud äärmuspunktid.

Funktsiooni sagedus
Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks, perioodiga T, kui üldse X kehtib võrdus f(x+T) = f(x).

Märgi püsivuse intervallid
Intervalle, mille puhul funktsioon on kas ainult positiivne või ainult negatiivne, nimetatakse konstantse märgi intervallideks.

Funktsiooni järjepidevus
Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis x 0, kui funktsiooni piirväärtus on x → x 0 võrdne väärtusega funktsioonid sel hetkel, st. .

Murdepunktid
Punkte, kus järjepidevuse tingimust rikutakse, nimetatakse funktsiooni katkestuspunktideks.

x 0- murdepunkt.

Funktsioonide joonistamise üldskeem

1. Leia funktsiooni D(y) definitsioonipiirkond.

2. Leia funktsioonide graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega.

3. Kontrollige, kas funktsioon on paaris või paaritu.

4. Kontrollige funktsiooni perioodilisust.

5. Leia funktsiooni monotoonsusintervallid ja äärmuspunktid.

6. Leia funktsiooni kumerusvahemikud ja käändepunktid.

7. Leia funktsiooni asümptoodid.

8. Koostage uurimistulemuste põhjal graafik.

Näide: Uurige funktsiooni ja joonistage see graafikule: y = x 3 – 3x

1) Funktsioon on defineeritud kogu arvteljel, st selle definitsioonipiirkond on D(y) = (-∞; +∞).

2) Leidke koordinaattelgede lõikepunktid:

OX-teljega: lahendage võrrand x 3 – 3x = 0

OY-teljega: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Uurige, kas funktsioon on paaris või paaritu:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Sellest järeldub, et funktsioon on paaritu.

4) Funktsioon on mitteperioodiline.

5) Leiame funktsiooni monotoonsuse intervallid ja ekstreemumipunktid: y’ = 3x 2 - 3.

Kriitilised punktid: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Leia funktsiooni kumerusvahemikud ja käändepunktid: y’’ = 6x

Kriitilised punktid: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Funktsioon on pidev, sellel ei ole asümptoote.

8) Uuringu tulemuste põhjal koostame funktsiooni graafiku.