Teema: Lameda kujundi pindala arvutamine kindla integraali abil

Ülesanded: õppida tundma kõverjoonelise trapetsi pindala leidmise määratlust ja valemeid;

kaaluge erinevaid kõverjoonelise trapetsi pindala leidmise juhtumeid;

Oskab arvutada kõverjoonelise trapetsi pindala.

Plaan:

Kurviline trapets.

Valemid kõverjoonelise trapetsi pindala arvutamiseks.

Kurviline trapets kutsutakse kujund, mis on piiratud pideva, mittenegatiivse funktsiooni f (x) graafikuga intervallil , joonelõikudega x=a ja x=b, samuti punktide a vahelise x-telje lõiguga. ja b.

Kõverajooneliste trapetside pildid:

Liigume nüüd edasi kujundite asukoha võimalike valikute juurde, mille pindala tuleb arvutada koordinaattasandil.

Esiteks seal on kõige lihtsam variant (esimene pilt), tavaline kõverjooneline trapets, nagu definitsioonis. Siin pole vaja midagi välja mõelda, piisab integraalist a enne b funktsioonist f(x). Leiame integraali – saame teada selle trapetsi pindala.


sisse teiseks valiku korral ei piira meie figuuri mitte x-telg, vaid mõni muu funktsioon g(x). Seetõttu piirkonna leidmiseks CEFD, peame esmalt selle piirkonna üles leidma AEFB(kasutades integraali f(x)), seejärel leidke piirkond ACDB(kasutades integraali g(x)). Ja figuuri soovitud ala CEFD, on erinevus kõverjoonelise trapetsi esimese ja teise ala vahel. Kuna lõimimispiirid on siin samad, saab selle kõik kirjutada ühe integraali alla (vt joonise all olevaid valemeid) kõik sõltub funktsioonide keerukusest, sel juhul on integraali leidmine lihtsam.



Kolmandaks väga sarnane esimesega, kuid ainult meie trapets on paigutatud, mitte üle x-telg, ja selle all. Seetõttu peame siin võtma sama integraali, ainult miinusmärgiga, sest integraali väärtus on negatiivne ja pindala väärtus peab olema positiivne. Kui funktsiooni asemel f(x) võta funktsioon -f(x), siis on selle graafik sama, mis kuvatakse lihtsalt sümmeetriliselt x-telje suhtes.


Ja neljas valik, kui osa meie joonisest on x-telje kohal ja osa sellest allpool. Seetõttu peame kõigepealt leidma joonise pindala AEFB, nagu esimeses versioonis, ja seejärel joonise pindala ABCD, nagu kolmandas valikus, ja seejärel lisage need. Selle tulemusena saame joonise pindala DEFC. Kuna lõimimispiirid on siin samad, saab selle kõik kirjutada ühe integraali alla (vt joonise all olevaid valemeid) kõik sõltub funktsioonide keerukusest, sel juhul on integraali leidmine lihtsam.

Küsimused enesekontrolliks:

Millist kuju nimetatakse kõverjooneliseks trapetsiks?

Kuidas leida kõverjoonelise trapetsi pindala?

Kindel integraal. Kuidas arvutada figuuri pindala

Nüüd käsitleme integraalarvutuse rakendusi. Selles õppetükis analüüsime tüüpilist ja levinumat ülesannet. Kuidas kasutada tasapinnalise kujundi pindala arvutamiseks kindlat integraali. Lõpuks, need, kes otsivad tähendust kõrgemas matemaatikas – leidku see. Ei või iial teada. Tegelikus elus peate elementaarsete funktsioonidega suvila ligikaudselt hindama ja leidma selle pindala teatud integraali abil.

Materjali edukaks valdamiseks peate:

1) Mõista määramatut integraali vähemalt kesktasemel. Seega peaksid mannekeenid esmalt õppetunni läbi lugema Mitte.

2) Oskab rakendada Newtoni-Leibnizi valemit ja arvutada kindlat integraali. Lehel teatud integraalidega saate luua soojad sõbralikud suhted Kindel integraal. Lahendusnäited.

Tegelikult pole figuuri pindala leidmiseks vaja nii palju teadmisi määramata ja kindla integraali kohta. Ülesanne "arvuta pindala kindla integraali abil" hõlmab alati joonise koostamist, seega on teie teadmised ja joonistamisoskused palju asjakohasem. Sellega seoses on kasulik värskendada põhiliste elementaarfunktsioonide graafikute mälu ja vähemalt osata koostada sirgjoont, parabooli ja hüperbooli. Seda saab teha (paljudel on seda vaja) metoodilise materjali ja graafikute geomeetrilisi teisendusi käsitleva artikli abil.

Tegelikult on ala leidmise probleem kindla integraali abil kõigile tuttav juba kooliajast ja läheme kooli õppekavast veidi ette. Seda artiklit ei pruugi üldse olemas olla, kuid tõsiasi on see, et probleem esineb 99 juhul 100-st, kui õpilast piinab vihatud torn entusiastlikult kõrgema matemaatika kursust omandades.

Selle töötoa materjalid on esitatud lihtsalt, üksikasjalikult ja minimaalse teooriaga.

Alustame kõverjoonelise trapetsiga.

Kurviline trapets nimetatakse tasapinnaliseks kujundiks, mida piiravad telg , sirged jooned ja funktsiooni graafik, mis on pideval lõigul, mis sellel intervallil märki ei muuda. Olgu see kujund asukoht mitte vähem abstsiss:

Siis kõverjoonelise trapetsi pindala on arvuliselt võrdne teatud integraaliga. Igal kindlal integraalil (mis eksisteerib) on väga hea geomeetriline tähendus. Õppetunnis Kindel integraal. LahendusnäitedÜtlesin, et kindel integraal on arv. Ja nüüd on aeg välja tuua veel üks kasulik fakt. Geomeetria seisukohalt on kindel integraal PIIRKOND.

See on, kindel integraal (kui see on olemas) vastab geomeetriliselt mõne kujundi pindalale. Vaatleme näiteks kindlat integraali . Integrand määratleb kõvera tasapinnal, mis asub telje kohal (soovijad saavad joonist täiendada) ja kindel integraal ise on numbriliselt võrdne vastava kõverjoonelise trapetsi pindalaga.

Näide 1

See on tüüpiline ülesande avaldus. Otsuse esimene ja kõige olulisem hetk on joonise konstrueerimine. Pealegi tuleb joonis ehitada ÕIGE.

Plaani koostamisel soovitan järgmist järjekorda: esiteks parem on konstrueerida kõik read (kui neid on) ja ainult pärast- paraboolid, hüperboolid, muude funktsioonide graafikud. Funktsioonigraafikute koostamine on tulusam punkt punkti haaval, punktkonstruktsiooni tehnikaga võib leida võrdlusmaterjalist Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Sealt leiate ka materjali, mis on meie tunniga seoses väga kasulik - kuidas kiiresti parabooli ehitada.

Selle probleemi puhul võib lahendus välja näha selline.
Teeme joonise (pange tähele, et võrrand määrab telje):

Ma ei hakka kõverjoonelist trapetsi hauduma, on ilmne, millisest piirkonnast me siin räägime. Lahendus jätkub järgmiselt:

Segmendil paikneb funktsiooni graafik üle telje, sellepärast:

Vastus:

Kellel on raskusi kindla integraali arvutamisega ja Newtoni-Leibnizi valemi rakendamisega , viidata loengule Kindel integraal. Lahendusnäited.

Pärast ülesande täitmist on alati kasulik vaadata joonist ja aru saada, kas vastus on tõeline. Sel juhul loendame "silma järgi" joonisel olevate lahtrite arvu - noh, umbes 9 trükitakse, see näib olevat tõsi. On täiesti selge, et kui meil oleks, ütleme, vastus: 20 ruutühikut, siis ilmselgelt tehti kuskil viga - 20 lahtrit ei mahu ilmselgelt kõnealusele joonisele, kõige rohkem kümmekond. Kui vastus osutus eitavaks, siis oli ka ülesanne valesti lahendatud.

Näide 2

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , ja teljega

See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Mida teha, kui kõverjooneline trapets asub telje all?

Näide 3

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joonte ja koordinaattelgedega.

Lahendus: Teeme joonise:

Kui kõverjooneline trapets asub telje all(või vähemalt mitte kõrgem antud telg), siis selle pindala saab leida valemiga:
Sel juhul:

Tähelepanu! Ärge ajage kahte tüüpi ülesandeid segamini:

1) Kui teil palutakse lahendada ainult kindel integraal ilma geomeetrilise tähenduseta, võib see olla negatiivne.

2) Kui teil palutakse leida figuuri pindala kindla integraali abil, siis on pindala alati positiivne! Seetõttu ilmub just vaadeldavas valemis miinus.

Praktikas paikneb joonis enamasti nii ülemisel kui alumisel pooltasandil ja seetõttu liigume lihtsamate kooliülesannete juurest edasi sisukamate näidete juurde.

Näide 4

Leidke tasapinnalise kujundi pindala, mis on piiratud joontega , .

Lahendus: Kõigepealt peate joonise lõpetama. Üldiselt huvitab meid pindalaülesannetes joonise konstrueerimisel enim sirgete lõikepunktid. Leiame parabooli ja sirge lõikepunktid. Seda saab teha kahel viisil. Esimene viis on analüütiline. Lahendame võrrandi:

Seega integratsiooni alumine piir, integratsiooni ülempiir.
Võimaluse korral on parem seda meetodit mitte kasutada..

Palju tulusam ja kiirem on liine punkt-punkti haaval ehitada, samas kui integratsiooni piirid selgitatakse välja justkui “iseenesest”. Erinevate diagrammide punkt-punkti ehitustehnikat käsitletakse üksikasjalikult abis Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Sellegipoolest tuleb piiride leidmise analüütilist meetodit mõnikord siiski kasutada, kui näiteks graafik on piisavalt suur või keermestatud konstruktsioon ei toonud esile integreerimise piire (need võivad olla murdosalised või irratsionaalsed). Ja me kaalume ka sellist näidet.

Pöördume tagasi oma ülesande juurde: ratsionaalsem on kõigepealt konstrueerida sirge ja alles seejärel parabool. Teeme joonise:

Kordan, et punktkonstruktsiooniga selgitatakse integratsiooni piirid kõige sagedamini välja “automaatselt”.

Ja nüüd töövalem: Kui intervallil on pidev funktsioon suurem või võrdne mõne pideva funktsiooni, siis nende funktsioonide graafikute ja sirgjoontega piiratud joonise pindala saab leida valemiga:

Siin pole enam vaja mõelda, kus kujund asub - telje kohal või telje all ja jämedalt öeldes on oluline, milline diagramm on ÜLAL(teise graafiku suhtes), ja milline neist on ALL.

Vaadeldavas näites on ilmne, et lõigul asub parabool sirgest kõrgemal ja seetõttu tuleb sellest lahutada

Lahenduse valmimine võib välja näha järgmine:

Soovitud figuuri piirab ülevalt parabool ja altpoolt sirgjoon.
Segmendil vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Tegelikult on alumise pooltasandi kõverjoonelise trapetsi pindala koolivalem (vt lihtsat näidet nr 3) valemi erijuhtum . Kuna telg on antud võrrandiga , ja funktsiooni graafik asub mitte kõrgem kirved siis

Ja nüüd paar näidet iseseisvaks otsuseks

Näide 5

Näide 6

Leidke joontega ümbritsetud joonise pindala , .

Pindala arvutamise ülesannete lahendamise käigus teatud integraali abil juhtub mõnikord naljakas juhtum. Joonis tehti õigesti, arvutused olid õiged, kuid tähelepanematuse tõttu ... leidis vale kujundi ala, nõnda ajas su kuulekas sulane mitu korda sassi. Siin on tõsielu juhtum:

Näide 7

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , , , .

Lahendus: Teeme kõigepealt joonise:

…Eh, joonis tuli jama, aga kõik tundub olevat loetav.

Joonis, mille ala peame leidma, on varjutatud sinisega.(vaadake hoolikalt seisukorda - kuidas figuur on piiratud!). Kuid praktikas tekib tähelepanematuse tõttu sageli "tõrge", et peate leidma roheliseks varjutatud figuuri ala!

See näide on kasulik ka selle poolest, et selles arvutatakse joonise pindala kahe kindla integraali abil. Tõesti:

1) Lõigul telje kohal on sirge graafik;

2) Telje kohal asuval lõigul on hüperboolgraafik.

On üsna ilmne, et piirkondi saab (ja tuleks) lisada, seega:

Vastus:

Liigume edasi ühe sisukama ülesande juurde.

Näide 8

Arvutage joontega piiratud kujundi pindala,
Esitame võrrandid "kooli" kujul ja teeme punkt-punkti joonise:

Jooniselt on näha, et meie ülempiir on “hea”: .
Aga mis on alumine piir? On selge, et see pole täisarv, aga mis? Võib olla ? Aga kus on garantii, et joonis on tehtud täiusliku täpsusega, see võib ka selguda. Või juur. Mis siis, kui me ei saanud graafikust üldse õiget?

Sellistel juhtudel tuleb kulutada lisaaega ja integreerimise piire analüütiliselt täpsustada.

Leiame sirge ja parabooli lõikepunktid.
Selleks lahendame võrrandi:


,

Tõesti,.

Edasine lahendus on triviaalne, peaasi, et asendustes ja märkides segadusse ei läheks, siin pole arvutused just kõige lihtsamad.

Segmendil , vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Tunni kokkuvõtteks peame kaht ülesannet raskemaks.

Näide 9

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , ,

Lahendus: joonistage see joonis joonisele.

Kurat, ma unustasin graafikule alla kirjutada ja pilti uuesti teha, vabandust, mitte hotz. Mitte joonistus, ühesõnaga täna on päev =)

Punkthaaval ehitamiseks on vaja teada sinusoidi välimust (ja üldiselt on kasulik teada kõigi elementaarfunktsioonide graafikud), samuti mõned siinusväärtused, need leiate trigonomeetriline tabel. Mõnel juhul (nagu antud juhul) on lubatud konstrueerida skemaatiline joonis, millel tuleb põhimõtteliselt õigesti kuvada graafikud ja integreerimispiirid.

Integratsioonipiirangutega siin probleeme pole, need tulenevad otse tingimusest: - "x" muutub nullist "pi"-ks. Teeme järgmise otsuse:

Segmendil asub funktsiooni graafik telje kohal, seega:

Joonist, mis on piiratud pideva mittenegatiivse funktsiooni $f(x)$ graafikuga intervallil $$ ja joontega $y=0, \ x=a$ ja $x=b$, nimetatakse kõverjooneliseks trapetsiks.

Vastava kõverjoonelise trapetsi pindala arvutatakse järgmise valemi abil:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Kõverajoonelise trapetsi pindala leidmise probleemid jagame tinglikult $4$ tüüpideks. Vaatleme iga tüüpi üksikasjalikumalt.

I tüüp: kõverjooneline trapets on selgesõnaliselt antud. Seejärel rakendage kohe valem (*).

Näiteks leidke kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on piiratud funktsiooni $y=4-(x-2)^(2)$ graafikuga ja joontega $y=0, \ x=1$ ja $x = 3 $.

Joonistame selle kõverjoonelise trapetsi.

Rakendades valemit (*), leiame selle kõverjoonelise trapetsi pindala.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\parem|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\parem)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\vasak((1)^(3)-(-1)^(3)\parem) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (ühik$^(2)$).

II tüüp: kõverjooneline trapets on antud kaudselt. Sel juhul sirgeid $x=a, \ x=b$ tavaliselt ei täpsustata või täpsustatakse osaliselt. Sel juhul tuleb leida funktsioonide $y=f(x)$ ja $y=0$ lõikepunktid. Need punktid on punktid $a$ ja $b$.

Näiteks leidke joonise ala, mis on piiratud funktsioonide $y=1-x^(2)$ ja $y=0$ graafikutega.

Leiame ristumispunktid. Selleks võrdsustame funktsioonide õiged osad.

Seega $a=-1$ ja $b=1$. Joonistame selle kõverjoonelise trapetsi.

Leidke selle kõverjoonelise trapetsi pindala.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (ühik$^(2)$).

III tüüp: kujundi pindala, mis on piiratud kahe pideva mittenegatiivse funktsiooni ristumiskohaga. See joonis ei ole kõverjooneline trapets, mis tähendab, et valemi (*) abil ei saa te selle pindala arvutada. Kuidas olla? Selgub, et selle joonise pindala võib leida ülemise funktsiooni ja $y=0$ ($S_(uf)$) ning alumise funktsiooni ja $y= poolt piiratud kõverjooneliste trapetside pindalade erinevusena 0$ ($S_(lf)$), kus $x=a, \ x=b$ rolli mängivad nende funktsioonide lõikepunktide $x$ koordinaadid, s.t.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Selliste pindalade arvutamisel on kõige olulisem mitte ülemise ja alumise funktsiooni valikul „mööda jääda“.

Näiteks leidke joonise ala, mis on piiratud funktsioonidega $y=x^(2)$ ja $y=x+6$.

Leiame nende graafikute lõikepunktid:

Vastavalt Vieta teoreemile

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

See tähendab, $a=-2, \ b=3$. Joonistame kujundi:

Nii et ülemine funktsioon on $y=x+6$ ja alumine $y=x^(2)$. Järgmisena leidke valemi (*) abil $S_(uf)$ ja $S_(lf)$.

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\vasak.\frac(x^(2))(2)\parem|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (ühik $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (ühik$^(2)$).

Asendaja leiti (**) ja saad:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (ühik $^(2)$).

IV tüüp: joonise pindala, mis on piiratud funktsiooni(te)ga, mis ei vasta mittenegatiivsuse tingimusele. Sellise kujundi pindala leidmiseks peate olema sümmeetriline $Ox$ telje suhtes ( teisisõnu, pange funktsioonide ette "miinused") kuvage ala ja leidke I-III tüüpides kirjeldatud meetodite abil kuvatava ala pindala. See piirkond on vajalik ala. Esiteks peate võib-olla leidma funktsioonigraafikute lõikepunktid.

Näiteks leidke joonise ala, mis on piiratud funktsioonide $y=x^(2)-1$ ja $y=0$ graafikutega.

Leiame funktsioonigraafikute lõikepunktid:

need. $a=-1$ ja $b=1$. Joonistame ala.

Kuvame ala sümmeetriliselt:

$y=0 \ \Paremnool \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Paremnool \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Saad kõverjoonelise trapetsi, mis on piiratud funktsiooni $y=1-x^(2)$ ja $y=0$ graafikuga. See on teist tüüpi kõverjoonelise trapetsi leidmise probleem. Oleme selle juba lahendanud. Vastus oli: $S= 1\frac(1)(3)$ (ühikud $^(2)$). Seega on soovitud kõverjoonelise trapetsi pindala võrdne:

$S=1\frac(1)(3)$ (ühik$^(2)$).

Vaatleme kõverjoonelist trapetsi, mida piirab Ox telg, kõver y \u003d f (x) ja kaks sirgjoont: x \u003d a ja x \u003d b (joonis 85). Võtke x suvaline väärtus (ainult mitte a ja mitte b). Anname sellele juurdekasvu h = dx ja vaatleme riba, mida piiravad sirged AB ja CD, Ox telg ning vaadeldavale kõverale kuuluv kaar BD. Seda riba nimetatakse elementaarseks ribaks. Elementaarriba pindala erineb ristküliku ACQB pindalast kõverjoonelise kolmnurga BQD võrra ja viimase pindala on väiksem kui ristküliku BQDM pindala, mille küljed on BQ = =h= dx) QD = Ay ja pindala on võrdne heinaga = Ay dx. Kui külg h väheneb, väheneb ka külg Du ja samaaegselt h-ga kipub olema null. Seetõttu on BQDM-i pindala teist järku lõpmatult väike. Elementaarriba pindala on pindala juurdekasv ja ristküliku ACQB pindala, mis on võrdne AB-AC==/(x) dx>, on pindala erinevus. Seetõttu leiame ala enda, integreerides selle diferentsiaali. Vaadeldava joonise piires muutub sõltumatu muutuja l: a-st b-ks, seega on nõutav pindala 5 võrdne 5= \f (x) dx. (I) Näide 1. Arvutage pindala, mida piiravad parabool y - 1 -x *, sirged X \u003d - Fj-, x \u003d 1 ja telg O * (joonis 86). joonisel fig. 87. Joon. 86. 1 Siin f(x) = 1 - l?, integreerimise piirid a = - ja t = 1, järelikult 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Näide 2. Arvuta sinusoidiga piiratud pindala y = sinXy, Ox-telg ja sirgjoon (joonis 87). Rakendades valemit (I), saame L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf Ox teljega (näiteks lähtepunkti ja abstsiss i-ga punkti vahel). Pange tähele, et geomeetrilistel kaalutlustel on selge, et see pindala on kaks korda suurem kui eelmises näites. Teeme siiski arvutused: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Tõepoolest, meie eeldus osutus õiglaseks. Näide 4. Arvutage pindala, mis on piiratud sinusoidi ja ^-teljega Ox ühel perioodil (joonis 88). Esialgsed ras-figuursed hinnangud näitavad, et pindala osutub neli korda suuremaks kui pr. 2. Kuid pärast arvutuste tegemist saame “i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. See tulemus vajab selgitamist. Asja olemuse selgitamiseks arvutame välja ka ala, mis on piiratud sama sinusoidi y \u003d sin l: ja Ox-teljega vahemikus l kuni 2n. Rakendades valemit (I), saame Seega näeme, et see ala osutus negatiivseks. Võrreldes seda näites 3 arvutatud pindalaga, leiame, et nende absoluutväärtused on samad, kuid märgid erinevad. Kui rakendame vara V (vt XI ptk, § 4), siis saame juhuslikult. Alati x-telje all olev pindala, eeldusel, et sõltumatu muutuja muutub vasakult paremale, saadakse negatiivsete integraalide arvutamisel. Sellel kursusel võtame alati arvesse märgita alasid. Seetõttu on äsja analüüsitud näite vastus järgmine: nõutav pindala on võrdne 2 + |-2| = 4. Näide 5. Arvutame joonisel fig. näidatud BAB pindala. 89. Seda ala piiravad telg Ox, parabool y = - xr ja sirge y - = -x + \. Kõverjoonelise trapetsi pindala Otsitav ala OAB koosneb kahest osast: OAM ja MAB. Kuna punkt A on parabooli ja sirge lõikepunkt, leiame selle koordinaadid võrrandisüsteemi 3 2 Y \u003d mx lahendamisel. (peame leidma ainult punkti A abstsissi). Süsteemi lahendades leiame l; =~. Seetõttu tuleb pindala arvutada osade kaupa, esmalt pl. OAM ja seejärel pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x = [asendamine:

] =

Seega vale integraal läheneb ja selle väärtus on võrdne .