Sissejuhatus

Kõik kirjeldava geomeetria lõigud kasutavad sama meetodit - projektsioonimeetodit, seetõttu nimetatakse jooniseid, mida ei kasutata ainult kirjeldavas geomeetrias. projektsioonijoonised.

Projektsioonimeetod seisneb selles, et mis tahes punktide kogumi punkti ruumis saab projitseerida projitseerivate kiirte abil mis tahes pinnale. Selleks kujutage ette mingit etteantud pinda (joonis 1) ja punkti AGA kosmoses. Tala läbiviimisel S läbi punkti AGA pinna suunas, viimane lõikub sellega punktis AGAüks . punkt AGA helistas prognoositav punkt. Kutsutakse tasapinda α, millel projektsioon saadakse projektsioonitasand. Kiire ja tasapinna lõikepunkti nimetatakse punkti projektsiooniks AGA. Otse AGAAGA 1 (tala), nn väljaulatuv kiir.

Joonis 1.

Tsentraalne (kooniline või polaarne) projektsioonimeetod põhineb asjaolul, et projitseerimisel tasapinnale rida punkte ( AGA, B, C jne) kõik eenduvad kiired läbivad ühte punkti, nn projektsioonikeskus, või poolus.

Kujutage ette kolmnurka ruumis ABC ja etteantud poolust läbivate kiirte projitseerimine S ja läbi punktide ABC kolmnurgad, mis on tõmmatud tasandiga α lõikekohani. Kolmnurk AGA 1 B 1 C 1 on kolmnurga keskprojektsioon ABC(Joonis 2).

Tsentraalse projektsiooni meetod ei rahulda mitmeid tehnilise joonise jaoks vajalikke tingimusi, nimelt: see ei anna ühtlast kujutist, kõigi geomeetriliste kujundite täielikku selgust, ei ole loetav, ei oma kujutise lihtsust.

Paralleelse (kald-) projektsiooni meetod seisneb selles, et kõik kolmnurga punkte läbivad väljaulatuvad kiired ABC, on üksteisega paralleelsed (joonis 3). See meetod tuleneb keskprojektsiooni meetodist, kusjuures poolus tuleb eemaldada lõpmatu kaugusel tasapinnast, millele objekt projitseeritakse.

Ortogonaal- (ristkülikukujuline) projektsioonimeetod - meetod, kui projitseerivad kiired on üksteisega paralleelsed ja projektsioonitasandiga risti (joon. 4). See meetod on paralleelprojektsiooni erijuhtum.

Seega saab projektsioonitasandile projitseerida suvalise ruumipunkti: horisontaalsele P 1 , frontaalsele P 2 ja profiilile P 3 . Märgitakse punkti horisontaalset projektsiooni AGA 1 või AGA", eesmine AGA 2 või AGA″ profiil AGA 3 või AGA"" (joonis 5).

Paralleelprojektsiooni võib pidada keskprojektsiooni erijuhuks.

Kui tsentraalse projektsiooniaparaadi projektsioonide kese nihutatakse lõpmatuseni, võib eenduvaid kiiri lugeda paralleelseks. Seega koosneb paralleelprojektsiooni aparaat projektsioonitasandist P ja suunast R. Keskprojektsiooni korral väljuvad eenduvad kiired ühest punktist ja paralleelprojektsiooni korral on nad üksteisega paralleelsed.

Sõltuvalt projektsioonikiirte suunast võib paralleelprojektsioon olla kaldu, kui projektsioonikiired on projektsioonitasapinna suhtes kaldu, ja ristkülikukujuline (ristkülikukujuline), kui projektsioonikiired on projektsioonitasapinnaga risti.

Vaatleme kald-paralleelprojektsiooni näidet.

Konstrueerime lõigu AB paralleelprojektsiooni A1B1 tasapinnale P1 antud projektsioonisuunale P, mitte P1. Selleks on vaja joonestada projektsioonjooned läbi punktide A ja B paralleelselt projektsiooni suunaga P. Kui eenduvad sirged lõikuvad tasapinnaga P1, saadakse punktide A ja B paralleelprojektsioonid A1 ja B1 Ühendades paralleelprojektsioonid A1 ja B1, saame lõigu AB paralleelprojektsiooni A1B1.

Samamoodi on võimalik konstrueerida nelinurga ABCD paralleelprojektsioon А1В1С1D1 tasapinnale P1, kusjuures projektsiooni suund P ei ole P1-ga risti.

Selleks on vaja tõmmata projektsioonjooned läbi punktide A, B, C, D, paralleelselt projektsiooni suunaga P. Kui eenduvad sirged lõikuvad tasapinnaga P1, on punktide paralleelprojektsioonid A1, B1, C1, D1 Saadakse A, B, C, D. Ühendades paralleelprojektsioonid A1, B1, C1, D1 saame nelinurga ABCD paralleelprojektsiooni A1B1C1D1.

Paralleelprojektsiooni projektsioonide omadused:

Tsentraalse projektsiooni esimesed kuus omadust kehtivad ka paralleelprojektsiooni puhul. Loetleme veel mõned paralleelprojektsioonile omased omadused:

1. Paralleelsete sirgete projektsioonid on paralleelsed.

Jooniselt on näha, et jooned AA 1, BB 1, SS 1 ja DD 1 moodustavad kaks paralleelset tasapinda a ja b. Need kaks tasapinda ristuvad P 1. Seetõttu nende ristumisjooned A 1 B 1 ja C 1 D 1 saab olema paralleelne.

2. Kui punkt jagab lõigu pikkuse suhtes m:n, siis jagab selle punkti projektsioon lõigu projektsiooni pikkuse samas suhtes.

Olgu punkt FROM kuulub segmenti AB, ja |AC| : |CB| = 2:1. Ehitame paralleelprojektsiooni A 1 B 1 segment AB. Punkt Alates 1 A 1 B 1. Kulutame AC' || A 1 C 1 ja CB' || C 1 B 1, saame kaks sarnast kolmnurka ACC' ja CBB'. Nende sarnasusest tuleneb külgede proportsionaalsus: |AC| : |CB| = |AC'| : |CB'|, aga |CB'| = |С1В1|, a |AC'| = |А 1 C 1 |, järelikult |AC| : |CB| = |A 1 C 1 | : |C 1 B 1 |.

3. Projektsioonitasandiga paralleelne tasane kujund projitseeritakse moonutusteta.

Võtame kolmnurga ABC ja projitseerida see kahele paralleelsele projektsioonitasandile P 1' ja P 1. Kuna segmentide pikkused on võrdsed |A 1 A 1 '| = |B 1 B 1 ‘| = |C 1 C 1 ‘| ja lõigud on paralleelsed, siis nelinurgad A 1 A 1 ‘B 1 B 1’, B 1 B 1 ‘ C 1 C 1’, C 1 C 1 ‘A 1 A 1’ on rööpkülikukujulised. Seetõttu on nende vastasküljed võrdse pikkusega. A 1 B 1 | = | A 1 ‘B 1 ‘|, | B 1 C 1 | = |B 1 ‘C 1 ‘|, |A 1 C 1 | = |A 1 ‘C 1 ‘|, seega on kolmnurgad kongruentsed.

Sama saab tõestada ka iga teise lameda kujuga. Paralleelprojektsioon, erinevalt kesksest, on vähem selgusega, kuid tagab ehituse lihtsuse ja parema suhte originaaliga.

Paralleelprojektsioon(joon. 1.6) võib käsitleda tsentraalse projektsiooni erijuhuna, mille puhul projektsiooni keskpunkt eemaldatakse lõpmatuseni ( S∞). Paralleelprojektsiooni korral kasutatakse paralleelseid projektsioonijooni, mis on tõmmatud projektsioonitasandi suhtes etteantud suunas

tsioone. Kui projektsiooni suund on projektsioonitasandiga risti, nimetatakse projektsioone ristkülikuteks või ortogonaalseteks. muudel juhtudel - kaldu (joonisel 1.6 on projektsioonisuund näidatud projektsioonitasandiga nurga all oleva noolega).

Paralleelprojektsioon säilitab kõik keskprojektsiooni omadused ja tutvustab ka järgmisi uusi omadusi.

1. Vastastikku paralleelsete sirgete paralleelprojektsioonid on paralleelsed ja selliste sirgete lõikude pikkuste suhe on võrdne nende projektsioonide pikkuste suhtega.

Kui sirge MN ja KL(joon. 1.7) on paralleelsed, siis eenduvad tasapinnad ja on paralleelsed, kuna nende tasandite lõikejooned on üksteisega paralleelsed: - tingimuse järgi,

Järelikult on projektsioonid ja paralleelsed kui paralleelsete tasandite p ja y lõikejooned tasapinnaga l.

Märkus sirgjoonel MN suvaline segment A B ja sirgjoonel KL suvaline segment CD. Joonista punkti läbiv tasapind p AGA sirge ja y-tasandil läbi punkti C sirge C - . Lõigud kui paralleelsed lõigud paralleelide vahel. Segmendid ja seega . Segmendid, kuna nende kõik küljed on üksteisega paralleelsed. Kolmnurkade sarnasusest järeldub:

Sellest, mida on arvesse võetud, on järgmine:

a) kui sirge lõigu pikkus jagatakse punktiga mis tahes vahekorras, siis jagatakse lõigu projektsiooni pikkus selle punkti projektsiooniga samas suhtes (joonis 1.8):

b) võrdse pikkusega üksteisega paralleelsete sirgete lõikude projektsioonid on üksteisega paralleelsed ja võrdse pikkusega.

See on ilmne, kuna (vt joonis 1.7) kell on . Seetõttu projitseeritakse kaldus projektsiooniga rööpkülik, romb, ristkülik, ruut üldiselt rööpkülikuks.

• 2. Projektsioonide tasapinnaga paralleelne tasapinnaline kujund projitseeritakse paralleelprojektsiooni käigus sellele tasapinnale samasse kujundisse.
• 3. Figuuri paralleelne ülekandmine ruumis või projektsioonide tasapinnal ei muuda kujundi projektsiooni tüüpi ja suurust.

Paralleelprojektsioonid, nagu ka ühe projektsioonikeskmega kesksed projektsioonid, ei anna joonise pööratavust.

Punkti ja sirge paralleelprojektsiooni meetodeid kasutades on võimalik ehitada pinna ja keha paralleelprojektsioone.

Paralleelprojektsioone kasutatakse mitmesuguste tehniliste seadmete ja nende detailide visuaalsete kujutiste konstrueerimiseks.

Ristkülikukujuline (ortogonaalne) projektsioon

Nimetatakse paralleelprojektsiooni erijuhtu, mille puhul projektsiooni suund on projektsioonitasandiga risti ristkülikukujuline või ortogonaalne projektsioon. Punkti ristkülikukujuline (ristkülikukujuline) projektsioon on punktist projektsioonitasandile tõmmatud risti alus. Ristkülikukujuline projektsioon D 0 punkti D näidatud joonisel fig. 1.9.

Koos paralleelsete (kald-) projektsioonide omadustega ortogonaalprojektsioonil on järgmine omadus: kahe vastastikku risti asetseva sirge, millest üks on paralleelne projektsioonitasandiga ja teine ​​ei ole sellega risti, ristprojektsioonid on vastastikku risti.

Joonisel fig. 1.10 Tõestame seda

Väljaulatuv joon on projektsioonide tasapinna, projektsiooni ja sirgega risti VA. Tasapind ) on joonega risti VA, kuna see on risti selle tasandi kahe ristuva sirgega ( - tingimuse, kuid konstruktsiooni järgi). Projektsioon on tasapinnaga risti, kuna . Seetõttu on tasapinna projektsioon tasapinnale sirgjoon KL projektsiooniga risti, kuid sirgjoonega KLühtib projektsiooniga In °C 0, st mida tuli tõestada.

Geomeetria ülesannete puhul ei sõltu edu mitte ainult teooria tundmisest, vaid ka kvaliteetsest joonisest.
Lamedate joonistega on kõik enam-vähem selge. Kuid stereomeetrias on olukord keerulisem. On ju vaja kujutada kolmemõõtmeline keha peal tasane joonistamist ja nii, et nii sina ise kui ka see, kes su joonist vaatab, näeksid sama ruumilist keha.

Kuidas seda teha?
Muidugi on igasugune kolmemõõtmelise keha kujutis tasapinnal tingimuslik. Siiski on teatud reeglid. On olemas üldtunnustatud viis jooniste koostamiseks − paralleelprojektsioon.

Võtame tugeva keha.
Valime projektsioonitasand.
Läbi ruumilise keha iga punkti tõmbame sirgjooned, mis on üksteisega paralleelsed ja lõikuvad projektsioonitasapinnaga mingi nurga all. Kõik need sirged lõikuvad mingil hetkel projektsioonitasapinnaga. Koos need punktid moodustuvad projektsioon mahuline keha tasapinnal, st selle tasane kujutis.

Kuidas ehitada mahuliste kehade projektsioone?
Kujutage ette, et teil on kolmemõõtmelise keha raam - prisma, püramiid või silinder. Valgustades seda paralleelse valgusvihuga, saame pildi – vari seinal või ekraanil. Pange tähele, et eri nurkade alt saadakse erinevaid pilte, kuid mõned mustrid on siiski olemas:

Lõigu projektsioon on segment.

Muidugi, kui segment on projektsioonitasandiga risti, kuvatakse see ühes punktis.

Üldjuhul on ringi projektsioon ellips.

Ristküliku projektsioon on rööpkülik.

Kuubiku projektsioon tasapinnale näeb välja järgmine:

Siin on esi- ja tagakülg projektsioonitasandiga paralleelsed

Saate seda teha erinevalt:

Ükskõik millise nurga me valime, paralleelsete segmentide projektsioonid joonisel on samuti paralleelsed segmendid. See on üks paralleelprojektsiooni põhimõtetest.

Joonistame püramiidi projektsioonid,

silinder:

Veel kord kordame paralleelprojektsiooni põhiprintsiipi. Valime projektsioonitasandi ja tõmbame läbi mahukeha iga punkti üksteisega paralleelsed sirgjooned. Need sirged lõikuvad projektsioonitasapinnaga mingi nurga all. Kui see nurk on 90°, siis on ristkülikukujuline projektsioon. Ristkülikukujulise projektsiooni abil ehitatakse kolmemõõtmeliste osade joonised inseneriteaduses. Sel juhul räägime pealtvaatest, eestvaatest ja külgvaatest.

Keskprojektsiooni erijuhtum, mille projektsioonide keskpunkt asub lõpmatuses (vales punktis O). Seda teostab hunnik etteantud suuna kiiri S(joonis 2).

Paralleelprojektsiooni seade:

  projektsioonitasand;

S- projektsiooni suund;

[O  A][ O  B]  S

A  = [OA]  - punkti A paralleelprojektsioon tasapinnale;

l  = (AA   BB) on sirge paralleelprojektsioon tasapinnale .

Pööratavus puudub. Üks punkti keskprojektsioon ei võimalda hinnata punkti asukohta ruumis. A = D

Geomeetrilised kujundid projitseeritakse projektsioonitasandile üldiselt moonutusega. Moonutuse iseloom sõltub projektsiooniseadmest ja projitseeritud kujundi asendist projektsioonitasandi suhtes.

Eelkõige rikutakse paralleelprojektsiooni ajal geomeetriliste kujundite meetrilisi omadusi (lineaar- ja nurkväärtused on moonutatud). Figuuri projektsioonil säilivad mõned omadused.

Kujundi omadusi, mis projektsioonis säilivad, nimetatakse sõltumatuks ehk INVARIANTseks. Neid muutumatuid omadusi nimetatakse sageli lühidalt invariantideks.

Paralleelprojektsiooni invariandid

Punkti projektsioon on punkt (joon. 1; joon. 2)

Sirge projektsioon on sirgjoon (joon. 1; joon. 2)



3 . Sirgele kuuluva punkti projektsioon kuulub projektsiooni.

see sirgjoon (joonis 1; joonis 2)

Joonte lõikepunkti projektsioon määratakse nende joonte projektsioonide lõikepunkti järgi (joonis 3)

Vastastikku paralleelsete joonte projektsioonid on üksteisega paralleelsed (joonis 4)

Vastastikku paralleelsete joonte lõikude pikkuste suhe on võrdne nende projektsioonide pikkuste suhtega (joonis 4)

TAGAJÄRG: kui sirgjoonelõik jagatakse punktiga mis tahes vahekorras, siis jagatakse lõigu projektsioon selle punkti projektsiooniga samas suhtes (joonis 5)

7 . Projektsioonide tasapinnaga paralleelne lame kujund projitseeritakse sellele tasapinnale kongruentseks kujundiks (joonis 6)

Riis. 3 Joon. neli

Riis. 5 Joon. 6

1. Ristkülikukujuline (ortogonaalne) projektsioon

Paralleelprojektsiooni erijuhtum, kus projektsiooni suund on projektsioonitasandiga risti (joon. 7)

Järgnevalt kasutatakse tingimusteta ortogonaalprojektsiooni.

Ortograafiline projektsioon säilitab kõik paralleelprojektsiooni omadused. Lisaks kehtib ortogonaalprojektsiooni puhul täisnurga projektsiooni teoreem (vt teema nr 6) ja rakendame punktidevahelise kauguse (st lõigu pikkuse, vt teema nr 3) määramise meetodit, mida nimetatakse täisnurkse kolmnurga meetod.

Riis. 7

DETAILIDES...

Objekti asukoha ruumis määravad selle neli punkti, mis ei asu samas tasapinnas. Ruumiobjekti kujutis joonisel taandatakse selle objekti punktide kogumi projektsioonide konstrueerimisele tasapinnal R(nimetatakse projektsioonitasandiks), kasutades sirgjooni (projitseerivaid kiiri), mis läbivad objekti punkte ja on suunatud projektsiooni keskpunkti poole S.

Kuid selleks, et ehitada objekti projektsioon, ei ole vaja ehitada kõiki selle punkte. Piisab, kui leida ainult iseloomulike punktide projektsioonid (tipud, servad jne), mis seejärel ühendatakse vastava sirgega.

Projekteerivad kiired koos moodustuvad väljaulatuv pind. Seega on sirge AB projekteerimisel eenduvaks pinnaks tasapind AB ba(riis.).

Ristmikjoon ab eenduv tasapind tasapinnaga R on sirge projektsioon AB, mis koosneb selle üksikute punktide projektsioonidest.

Projektsioon on nagu lambi või päikese poolt valgustatud objektilt heidetud vari.

Esimesel juhul kõverjoone projitseerimisel moodustavad eenduvad kiired koonilise pinna, mille punktis on tipp S, Selgub juurde kõvera ooniline (perspektiivne) kujutis (joonis 2). Teisel juhul muutub väljaulatuvate kiirte koonus silindriks ja kooniline kujutis silindriliseks (paralleelseks) (joon. 2). Kõverjoone projektsiooni loetakse sel juhul väljaulatuva pinna ja tasapinna lõikejooneks R.

Perspektiivis kujutatakse objekti nii, nagu see vaatleja silmale paistab. Silmalääts on projektsiooni keskpunkt. Igaüks meist on tuttav järgmise nähtusega: kui vaatame mööda raudteed, tundub meile, et rööpad näivad lähenevat üksteisele ja koonduvad silmapiiril ühte punkti (keskmesse) ning rööbaste ääres asuvad toed vähenevad. kui nad eemalduvad.

Paralleelprojektsioon - perspektiivi erijuhtum. Paralleelprojektsiooni olemus on järgmine: kui me tinglikult eemaldame projektsiooni keskpunkti lõpmatuseni, siis võib väljaulatuvaid kiiri lugeda paralleelseteks.

Niisiis, et ehitada kolmnurga paralleelprojektsioon ABC(joonis), peate määrama: R- projektsioonitasand (mitte paralleelne ega ühti väljaulatuvate kiirte suunaga); S- väljaulatuvate kiirte suund (projektsioonisuund).

Edasi lastakse eenduvad kiired läbi objekti iseloomulike punktide Ah,Вb ja ss paralleelselt projektsiooni suunaga ja seejärel leida punktid a,b ja nende ristumiskohast lennukiga R. Need punktid on punktide soovitud paralleelprojektsioonid AGA,AT ja FROM antud kolmnurk.

Projektsioon abc- eenduva prismapinna ja tasapinna lõikejoon R. Objekti paralleelprojektsiooni kuju ja mõõtmed antud projektsioonisuuna jaoks sõltuvad ainult projektsioonitasandi suuna valikust ja ei sõltu selle kaugusest objektist. Tasapinnas asuv kolmnurk R 1 , paralleelne projektsioonitasandiga, projitseeritakse võrdseks antud tasandiga. Sel juhul ab=AB,eKr=eKr,ac=AC.

Sõltuvalt väljaulatuva tala kaldenurgast projektsioonitasapinna suhtes jaguneb paralleelprojektsioon kahte tüüpi: ristkülikukujuline ja kaldus.

RISTKÜLIKUKUJULINE(või ortogonaalset) projektsiooni kutsutakse välja, kui projektsiooni suund on valitud projektsioonitasandiga risti. Vastasel juhul nimetatakse seda KALDU.

Ristkülikukujulise projektsiooni korral (joonis 7) ei tohi moonutusteguri väärtus ületada ühtsust.

Kaldprojektsioonides (joon. 5) on moonutustegur ( To=ab/AB) sellest segmendist AB võib võtta mis tahes arvväärtusi, olenevalt segmendi kaldest ja väljaulatuvatest kiirtest projektsioonitasandile. Eelkõige, kui segmendi suund langeb kokku projektsiooni suunaga, on selle segmendi projektsioon punkt ja moonutuskoefitsient on null.

Paralleelprojektsioon säilib põhiomadused perspektiivid on järgmised:

1) punkti projektsioon on punkt;

2) sirge projektsioon on üldjuhul sirge;

3) igale sirgele kuuluv punkt vastab selle punkti projektsioonile selle sirge projektsioonile.

Lisaks on paralleelprojektsioonil mitmeid (ainult omaseid) omadusi:

4) kui punkt asub sirge lõigul, siis selle punkti projektsioon jagab lõigu projektsiooni samas vahekorras kui

punkt jagab lõigu, st. AC/CB=äss/cb(joonis 5);

5) lõikuvate lõikude projektsioon on ühtlasi ristuvad lõigud ja nende lõikepunktiks nende lõikude ristumispunkti projektsioon (joonis 3);

6) paralleelsete lõikude projektsioonid on paralleelsed, ühesuunalised ja nende suhe on võrdne lõikude pikkuste suhtega, s.o. abcd ja AB/CD=ab/cd(joonis 4);

ristkülikukujulise projektsiooni korral projitseeritakse täisnurk täisnurga all ainult siis, kui selle üks külg on projektsioonitasandiga paralleelne ja teine ​​ei ole väljaulatuv kiir (täisnurga projektsiooni teoreem).