Olgu funktsioon z - f(x, y) defineeritud mingis domeenis D ja olgu Mo(xo, y0) selle domeeni sisepunkt. Definitsioon. Kui on selline arv, et kõigi tingimuste täitmise korral on ebavõrdsus tõene, siis punkti Mo(xo, yo) nimetatakse funktsiooni f(x, y) lokaalse maksimumi punktiks; kui aga kõigi Dx, Du puhul vastab tingimustele | siis punkti Mo(x0, y0) nimetatakse peeneks lokaalseks miinimumiks. Teisisõnu, punkt M0(x0, y0) on funktsiooni f(x, y) maksimumi või miinimumi punkt, kui punktil A/o(xo, y0) on 6-ne naabruskond, nii et üldse selle ümbruse punktid M(x, y), funktsiooni juurdekasv säilitab märgi. Näited. 1. Funktsiooni puhul on punkt miinimumpunkt (joonis 17). 2. Funktsiooni jaoks on punkt 0(0,0) maksimaalne punkt (joonis 18). 3. Funktsiooni jaoks on punkt 0(0,0) kohalik maksimumpunkt. 4 Tõepoolest, on olemas punkti 0(0, 0) naabruskond, näiteks raadiusega j ring (vt joonis 19), mille mis tahes punktis, mis erineb punktist 0(0, 0), on funktsiooni f(x, y) väärtus on väiksem kui 1 = Me võtame arvesse ainult funktsioonide range maksimumi ja miinimumi punkte, kui range ebavõrdsus või range ebavõrdsus kehtib kõigi punktide M(x) y) kohta, mis pärinevad mõnest punkteeritud 6-st naabrusest. punkt Mq. Funktsiooni väärtust maksimumpunktis nimetatakse maksimumiks ja funktsiooni väärtust miinimumpunktis nimetatakse selle funktsiooni miinimumiks. Funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkte nimetatakse funktsiooni äärmuspunktideks ning funktsiooni enda maksimume ja miinimume nimetatakse selle ekstreemumiteks. Teoreem 11 (vajalik tingimus ekstreemumi jaoks). If funktsioon Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumi mõiste. Ekstreemumi vajalikud ja piisavad tingimused Tingimuslik ekstreemum Pidevate funktsioonide suurimal ja väikseimal väärtusel on punktis ekstreemum, siis selles punktis on iga osatuletis ja u kas kaob või ei eksisteeri. Olgu funktsiooni z = f(x) y) ekstreemum punktis M0(x0, y0). Anname muutujale y väärtuse yo. Siis on funktsioon z = /(x, y) ühe muutuja x funktsioon. Kuna x = xo korral on sellel ekstreemum (maksimaalne või miinimum, joonis 20), siis selle tuletis x = “o, | (*o,l>)" on võrdne nulliga või ei eksisteeri. Samamoodi kontrollime, et) või on võrdne nulliga või ei eksisteeri. Punkte, kus = 0 ja u = 0 või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni kriitilised punktid z = Dx, y).Punkte, kus $£ = u = 0, nimetatakse ka funktsiooni statsionaarseteks punktideks. Teoreem 11 väljendab ainult ekstreemumi jaoks vajalikke tingimusi, millest ei piisa. 18 Joon.20 immt tuletised, mis kaovad kell. Kuid see funktsioon on imvat „straumum. Tõepoolest, funktsioon on punktis 0(0, 0) võrdne nulliga ja võtab punktid M(x, y), nii lähedal kui soovid punktile 0(0, 0), kkk positiivsed ja negatiivsed väärtused. Selle jaoks, seega punktides punktides (0, y) suvaliselt väikeste punktide korral, nimetatakse näidatud tüüpi punkti 0(0, 0) mini-max punktiks (joonis 21). Piisavad tingimused kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi jaoks on väljendatud järgmise teoreemiga. Teoreem 12 (piisavad tingimused hägusate muutujate ekstreemumi jaoks). Olgu punkt Mo(xo, y0) funktsiooni f(x, y) statsionaarne punkt ja punkti / mõnes naabruses, kaasa arvatud punkt Mo ise, on funktsioonil f(r, y) pidevad osatuletised üles teise järku (kaasa arvatud). Siis "1) punktis Mq(xq, V0) on funktsioonil f(x, y) maksimum, kui determinant on selles punktis 2) punktis Mo(x0, V0) funktsioon f(x, y) on miinimum, kui punktis Mo(xo, yo) funktsioonil f(x, y) pole ekstreemumit, kui D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) funktsiooni f(x, y) ekstreemum võib olla, aga ei pruugi olla. Sel juhul on vaja täiendavaid uuringuid. Piirdume teoreemi väidete 1) ja 2) tõestamisega. Kirjutame funktsiooni /(i, y) teist järku Taylori valemi: kus. Eeldusel, kust on selge, et juurdekasvu D/ märgi määrab (1) paremal pool oleva trinoomi märk, st teise diferentsiaali d2f märk. Tähistagem lühiduse mõttes. Siis saab võrdsuse (l) kirjutada järgmiselt: Olgu punktis MQ(so, y0) punkti M0(s0,yo) läheduses. Kui tingimus (punktis A/0) on täidetud ja pidevuse tõttu säilitab tuletis /,z(s,y) oma märgi mõnes punkti Af0 läheduses. Piirkonnas, kus A ∆ 0, meil on 0 punkti M0(x0) y0 mõnes naabruses), siis trinoomi AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 märk langeb kokku märgiga A punktis C ei saa olla erinevaid märke). Kuna punktis (s0 + $ Ax, yo + 0 Dy) olev summa AAs2 + 2BAxAy + CAy2 märk määrab erinevuse märgi, jõuame järgmise järelduseni: kui funktsioon f(s, y) statsionaarne punkt (s0, yo) rahuldab tingimuse, siis piisavalt väikese || ebavõrdsus jääb kehtima. Seega on punktis (sq, y0) funktsioonil /(s, y) maksimum. Kui aga tingimus on täidetud statsionaarses punktis (s0, y0), siis kõigi jaoks piisavalt väike |Ar| ja |Tehke| ebavõrdsus on tõene, mis tähendab, et funktsioonil /(s, y) on punktis (so, yo) miinimum. Näited. 1. Uurige funktsiooni ekstreemumi jaoks 4 Kasutades ekstreemumi jaoks vajalikke tingimusi, otsime funktsiooni statsionaarsed punktid. Selleks leiame osatuletised u ja võrdsustame need nulliga. Saame võrrandisüsteemi, kust - statsionaarne punkt. Kasutame nüüd teoreemi 12. Seega on punktis Ml ekstreemum. Sest see on miinimum. Kui teisendame funktsiooni g vormiks, siis on lihtne näha, et parem pool (")" on minimaalne, kui on selle funktsiooni absoluutne miinimum. 2. Uurige ekstreemumi funktsiooni Leiame funktsiooni statsionaarsed punktid, mille jaoks koostame siit võrrandisüsteemi nii, et punkt on statsionaarne. Kuna teoreemi 12 kohaselt pole punktis M ekstreemumit. * 3. Ekstreemumi funktsiooni uurimine Leia funktsiooni statsionaarsed punktid. Võrrandisüsteemist saame selle, nii et punkt on statsionaarne. Lisaks on meil nii, et teoreem 12 ei anna vastust küsimusele ekstreemumi olemasolu või puudumise kohta. Teeme seda nii. Funktsiooni jaoks kõigis punktides peale punkti, nii et definitsiooni järgi on punktis A/o(0,0) funktsioonil r absoluutne miinimum. Analoogse kuivatamise teel tuvastame, et funktsioonil on punktis maksimum, kuid funktsioonil ei ole punktis ekstreemumit. Olgu η sõltumatutest muutujatest koosnev funktsioon punktis diferentseeruv Punkti Mo nimetatakse funktsiooni if ​​statsionaarseks punktiks Teoreem 13 (piisavad tingimused ekstreemumi jaoks). Olgu funktsioon defineeritud ja sellel on peenjoone Mc(xi...) mõnes naabruses pidevad teist järku osatuletised, mis on statsionaarne peenfunktsioon, kui ruutvorm (funktsiooni f teine ​​diferentsiaal peenjoones punkt on positiivne-määratletud (negatiivne-määratletud), funktsiooni f miinimumpunkt (vastavalt peenmaksimum) on hea Kui ruutvorm (4) on märk-vahelduv, siis peenes LG0 ekstreemumit ei ole 15.2 Tingimuslik ekstreemum Seni oleme otsinud funktsiooni lokaalseid äärmusi kogu selle definitsioonipiirkonnast, kui funktsiooni argumendid ei ole seotud ühegi lisatingimusega.Selliseid ekstreemumeid nimetatakse tingimusteta.Küll aga on probleeme nn. sageli esineb tingimuslikke äärmusi. Olgu funktsioon z \u003d / (x, y) defineeritud piirkonnas D. Oletame, et selles piirkonnas on antud kõver L ja selleks on vaja leida ainult funktsiooni f (x> y) ekstreemum nende väärtuste hulgas, mis vastavad kõvera L punktidele. Sama ekstreemumi nimetatakse funktsiooni z = f(x) y) tingimuslikeks ekstreemumiteks kõveral L. Definitsioon Öeldakse, et punktis, mis asub kõveral L on funktsioonil f(x, y) tingimuslik maksimum (miinimum), kui ebavõrdsus on täidetud, vastavalt kõikides punktides M (s, y) kõver L, mis kuuluvad punkti M0(x0, Yo) ja erineb punktist M0 (Kui kõver L on antud võrrandiga, siis funktsiooni r - f(x, y) tingimusliku ekstreemumi leidmise ülesanne kõveral! saab sõnastada järgmiselt: leiame funktsiooni x = /(z, y) äärmused piirkonnast D eeldusel, et Seega ei saa funktsiooni z = y tingimusliku ekstreemumi leidmisel enam arvestada argumentidega zn. sõltumatute muutujatena: need on omavahel seotud seosega y ) = 0, mida nimetatakse piiranguvõrrandiks. Et selgitada erinevust m «* D y kui tingimusteta ja tingimusliku ekstreemumi vahel, vaatame teist näidet, funktsiooni tingimusteta maksimumi (joonis 1). 23) on võrdne ühega ja saavutatakse punktis (0,0). See vastab täpselt M - pvvboloidi tipule. Liidame piiranguvõrrandi y = j. Siis on ilmselgelt võrdne tingimuslik maksimum, mis saavutatakse punktis (o, |) ja see vastab pvvboloidi tipule Afj, mis on pvvboloidi lõikejoon tasapinnaga y = j. Tingimusteta miinimumi s korral on meil pinna kõigi ekspliktide hulgas väikseim rakendus * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv tingimuslik - ainult vllkvt punktide hulgas pvrboloidv, mis vastavad sirge y = j punktile *, mis ei ole xOy tasapinnal. Üks meetoditest funktsiooni tingimusliku ekstreemumi leidmiseks olemasolu ja ühenduse korral on järgmine. Olgu ühendusvõrrand y)-0 defineerinud y argumendi x üheväärtusliku diferentseeruva funktsioonina: Asendades funktsiooni y asemel funktsiooni, saame ühe argumendi funktsiooni, milles ühenduse tingimus on juba arvesse võetud. . Funktsiooni (tingimusteta) ekstreemum on soovitud tingimuslik ekstreemum. Näide. Leia funktsiooni ekstreemum tingimusel Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumi mõiste. Ekstreemumi vajalikud ja piisavad tingimused Tingimuslik ekstreemum Pidevate funktsioonide A suurimad ja väikseimad väärtused Ühendusvõrrandist (2") leiame y \u003d 1-x. Asendades selle y väärtuse väärtuses (V), saame a ühe argumendi x funktsioon: Uurime seda ekstreemumi jaoks: kust x \u003d 1 - kriitiline punkt;, mis annab funktsiooni r tingimusliku miinimumi (joonis 24). Näidakem teist võimalust tingimusliku probleemi lahendamiseks ekstreemum, mida nimetatakse Lagrange'i kordaja meetodiks. Olgu ühenduse olemasolul funktsiooni tingimusliku ekstreemumi punkt. Oletame, et seose võrrand defineerib kordumatu pidevalt diferentseeruva funktsiooni punkti xi mõnes naabruses. Eeldusel, et saame, et funktsiooni /(r, ip(x)) tuletis x-i suhtes punktis xq peab olema võrdne nulliga või, mis on sellega võrdne, f (x, y) diferentsiaaliga punktis Mo "O) Ühendusvõrrandist saame (5) Seejärel saame dx-i meelevaldsuse tõttu võrrandid (6) ja (7) väljendavad vajalikke tingimusi tingimusteta ekstreemumi jaoks funktsiooni punktis, mida nimetatakse Lagrange'i funktsiooniks. Seega on funktsiooni / (x, y) tingimusliku ekstreemumi punkt, kui, tingimata Lagrange'i funktsiooni statsionaarne punkt, kus A on mingi arvkordaja. Siit saame reegli tingimuslike ekstreemumite leidmiseks: et leida punkte, mis võivad olla funktsiooni absoluutse ekstreemumi punktid seose olemasolul, 1) koostame Lagrange'i funktsiooni, 2) võrdsustame selle funktsiooni tuletised ja W nulli ja liites saadud võrranditele ühendusvõrrandi, saame kolmest võrrandist koosneva süsteemi, millest leiame A väärtused ja võimalike äärmuspunktide koordinaadid x, y. Tingimusliku ekstreemumi olemasolu ja olemuse küsimus lahendatakse Lagrange'i funktsiooni teise diferentsiaali märgi uurimise põhjal vaadeldava väärtuste süsteemi x0, Yo, A jaoks, mis on saadud (8) tingimusel. et Kui, siis punktis (x0, Yo) on funktsioonil f(x, y ) tingimuslik maksimum; kui d2F > 0 - siis tingimuslik miinimum. Täpsemalt, kui statsionaarses punktis (xo, J/o) on funktsiooni F(x, y) determinant D positiivne, siis punktis (®o, V0) on funktsiooni /( x, y) kui ja funktsiooni /(x, y) tingimuslik miinimum, kui Näide. Pöördume uuesti eelmise näite tingimuste juurde: leiame funktsiooni ekstreemumi tingimusel, et x + y = 1. Ülesande lahendame Lagrange'i kordaja meetodil. Lagrange'i funktsioon on sel juhul kujul Statsionaarsete punktide leidmiseks koostame süsteemi Süsteemi kahest esimesest võrrandist saame, et x = y. Seejärel leiame süsteemi kolmandast võrrandist (sidestusvõrrandist), et x - y = j - võimaliku ekstreemumi punkti koordinaadid. Sel juhul (on näidatud, et A \u003d -1. Seega on Lagrange'i funktsioon. funktsiooni * \u003d x2 + y2 tingimuslik miinimumpunkt tingimusel, et Lagrange'i funktsioonil pole tingimusteta ekstreemumit. P ( x, y) ei tähenda veel funktsiooni /(x, y) tingimusliku ekstreemumi puudumist ühenduse olemasolul Näide: Leia funktsiooni ekstreemum tingimusel y 4 Koostage Lagrange'i funktsioon ja kirjutage välja süsteem A ja võimalike ekstreempunktide koordinaatide määramiseks: y = A = 0. Seega on vastaval Lagrange'i funktsioonil kuju Punktis (0, 0) ei ole funktsioonil F(x, y; 0) tingimusteta ekstreemum, vaid funktsiooni r = xy tingimuslik ekstreemum. Kui y = x, siis on "Tõepoolest, antud juhul r = x2. Siit on selge, et punktis (0,0) on tingimuslik miinimum . "Lagrange'i kordajate meetod kantakse üle suvalise arvu argumentidega funktsioonide korral / Otsitakse funktsiooni ekstreemumit seosvõrrandite olemasolul Sostaalyaem Lagrange'i funktsioon kus A|, Az,..., A ", - mitte teatud püsivad tegurid. Võrreldes nulliga kõik funktsiooni F esimest järku osatuletised ja liites saadud võrranditele ühendusvõrrandid (9), saame n + m võrrandisüsteemi, millest määrame Ab A3|..., Am ja koordinaadid x\) x2) . » xn tingimusliku ekstreemumi võimalikku punkti. Küsimust, kas Lagrange'i meetodil leitud punktid on tõesti tingimuslikud ekstreemumipunktid, saab sageli lahendada füüsikalist või geomeetrilist laadi kaalutluste põhjal. 15.3. Pidevate funktsioonide maksimum- ja miinimumväärtused Olgu nõutud mingis laiendatud piiratud domeenis D pideva funktsiooni z = /(x, y) maksimaalne (väikseim) väärtus. Teoreemi 3 kohaselt on selles piirkonnas punkt (xo, V0), kus funktsioon võtab suurima (väikseima) väärtuse. Kui punkt (xo, y0) asub domeeni D sees, siis funktsioonil / on selles maksimum (miinimum), nii et antud juhul on meile huvipakkuv punkt funktsiooni /(x) kriitiliste punktide hulgas , y). Funktsioon /(x, y) võib aga saavutada oma maksimaalse (väikseima) väärtuse ka piirkonna piiril. Seetõttu on funktsiooni z = /(x, y) suurima (väikseima) väärtuse leidmiseks piiratud suletud piirkonnas 2 vaja leida kõik selles piirkonnas saavutatud funktsiooni maksimumid (miinimumid) , samuti funktsiooni suurim (väikseim) väärtus selle ala piiril. Kõigist neist arvudest suurim (väikseim) on funktsiooni z = /(x, y) soovitud maksimaalne (väikseim) väärtus piirkonnas 27. Näitame, kuidas seda tehakse diferentseeruva funktsiooni puhul. Prmmr. Leia ala 4 funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused. Leiame ala D seest funktsiooni kriitilised punktid. Selleks koostame võrrandisüsteemi. Siit saame x \u003d y \u003e 0 , nii et punkt 0 (0,0) on funktsiooni x kriitiline punkt. Kuna Leiame nüüd funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused piirkonna D piiril Г. Piiri osas on meil nii, et y \u003d 0 on kriitiline punkt ja kuna \u003d siis sellel kohal punkti funktsiooni z \u003d 1 + y2 miinimum on võrdne ühega. Lõigu G" otstes punktides (, on meil. Kasutades sümmeetriakaalutlusi, saame samad tulemused piiri teiste osade kohta. Lõpuks saame: funktsiooni z \u003d x2 + y2 väikseima väärtuse piirkond "B" on võrdne nulliga ja see saavutatakse sisepunkti 0( 0, 0) piirkonnas ning selle funktsiooni maksimaalne väärtus, mis on võrdne kahega, saavutatakse neljas piiripunktis (joonis 25) Joon.25 Funktsioonide ülesanded: Leia funktsioonide osatuletised ja nende summaarsed diferentsiaalid: Leia kompleksfunktsioonide tuletised: 3 Leia J. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumi mõiste Vajalikud ja piisavad tingimused an ekstreemum Tingimuslik ekstreemum Pidevate funktsioonide suurimad ja väikseimad väärtused 34. Kasutades kompleksfunktsiooni tuletise valemit kaks muutujat, leidke ja funktsioonid: 35. Kasutades kompleksfunktsiooni tuletise valemit kahes muutujas leidke |J ja funktsioonid: Leia jj kaudsed funktsioonid: 40. Leidke puutuja kõvera kalle lõikepunktis sirgega x = 3. 41. Leia punktid, kus x-kõvera puutuja on paralleelne x-teljega. . Järgmistes ülesannetes leidke ja Z: Kirjutage pinna puutujatasandi ja normaalväärtuse võrrandid: 49. Kirjutage tasapinnaga x + paralleelse pinna puutujatasandite võrrandid x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21 4y + 6z \u003d 0. Leidke laienduse kolm kuni neli esimest liiget, kasutades Taylori valemit: 50. y punkti (0, 0) läheduses. Kasutades funktsiooni ekstreemumi definitsiooni, uurige ekstreemumi jaoks järgmisi funktsioone:). Kasutades piisavaid tingimusi kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi jaoks, uurige funktsiooni ekstreemumit: 84. Leia funktsiooni z \u003d x2 - y2 suurim ja väikseim väärtus suletud ringis 85. Leia suurim ja väikseim funktsiooni * \u003d x2y (4-x-y) väärtused kolmnurgas, mis on piiratud joontega x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Määrake väikseima pinnaga ristkülikukujulise avatud basseini mõõtmed eeldusel, et selle ruumala on võrdne V-ga. 87. Leia ristkülikukujulise rööptahuka mõõtmed, mille kogupind on maksimaalselt 5. Vastused 1. ja | Ruut, mis on moodustatud sirglõikudest x koos selle külgedega. 3. Kontsentriliste rõngaste perekond 2= 0,1,2,... .4. Kogu tasapind, välja arvatud sirgete punktid y. Tasapinna osa, mis asub parabooli y \u003d -x? kohal. 8. Ringi punktid x. Kogu tasapind, välja arvatud sirged x Radikaaliavaldis on mittenegatiivne kahel juhul j * ^ või j x ^ ^, mis on vastavalt ekvivalentne lõpmatu võrratuste jadaga Määratluspiirkonnaks on varjutatud ruudud (joonis 26) ; l mis on ekvivalentne lõpmatu jadaga Funktsioon on defineeritud punktides. a) sirgega x paralleelsed sirged b) kontsentrilised ringid, mille keskpunkt on alguspunktis. 10. a) paraboolid y) paraboolid y a) paraboolid b) hüperboolid | .Lennukid xc. 13.Prim - ümber Ozi telje pöörlevad üheõõnsused hüperboloidid; ja on kahelehelised hüperboloidid ümber Oz-telje, mõlemad pindade perekonnad on eraldatud koonusega; Limiiti pole, b) 0. 18. Olgu y = kxt siis z lim z = -2, nii et antud funktsioonil punktis (0,0) pole piire. 19. a) punkt (0,0); b) punkt (0,0). 20. a) Katkestusjoon - ring x2 + y2 = 1; b) katkestusjoon on sirgjoon y \u003d x. 21. a) Murdejooned - koordinaatteljed Ox ja Oy; b) 0 (tühi komplekt). 22. Kõik punktid (m, n), kus ja n on täisarvud

Definitsioon1: funktsioonil on mingis punktis lokaalne maksimum, kui selle punkti naabrus on selline, et mis tahes punktis M koordinaatidega (x, y) ebavõrdsus on täidetud: . Sel juhul, st funktsiooni juurdekasv< 0.

Definitsioon2: öeldakse, et funktsioonil on mingis punktis lokaalne miinimum, kui selle punkti naabrus on selline, et mis tahes punkti jaoks M koordinaatidega (x, y) ebavõrdsus on täidetud: . Sel juhul, st funktsiooni juurdekasv > 0.

3. määratlus: Kutsutakse kohalikke miinimum- ja maksimumpunkte äärmuslikud punktid.

Tingimuslikud äärmused

Paljude muutujate funktsiooni ekstreemide otsimisel tekivad sageli probleemid seoses nn tingimuslik äärmus. Seda kontseptsiooni saab seletada kahe muutuja funktsiooni näitega.

Olgu antud funktsioon ja rida L pinnal 0xy. Ülesanne on joonida L leida selline punkt P(x, y), milles funktsiooni väärtus on suurim või väikseim võrreldes selle funktsiooni väärtustega joone punktides L asub punkti lähedal P. Sellised punktid P helistas tingimuslikud äärmuspunktid liinifunktsioonid L. Erinevalt tavalisest ekstreemumipunktist võrreldakse funktsiooni väärtust tingimusliku äärmuse punktis funktsiooni väärtustega mitte kõigis selle mõne naabruskonna punktides, vaid ainult nendes, mis asuvad joonel. L.

On üsna selge, et tavalise ekstreemumi punkt (nad ütlevad ka tingimusteta äärmus) on ka tingimuslik ekstreemumipunkt igale seda punkti läbivale sirgele. Vastupidine muidugi pole tõsi: tingimuslik ekstreemumipunkt ei pruugi olla tavapärane ekstreemumipunkt. Lubage mul selgitada seda lihtsa näitega. Funktsiooni graafik on ülemine poolkera (lisa 3 (joonis 3)).

Sellel funktsioonil on maksimum lähtepunktis; see vastab tipule M poolkerad. Kui rida L punkte läbib sirge AGA ja AT(tema võrrand x+y-1=0), siis on geomeetriliselt selge, et selle sirge punktide puhul saavutatakse funktsiooni maksimumväärtus punktis, mis asub punktide vahel keskel. AGA ja AT. See on funktsiooni tingimusliku ekstreemumi (maksimumi) punkt antud real; see vastab poolkeral olevale punktile M 1 ja jooniselt on näha, et mingist tavalisest ekstreemumist siin juttugi olla ei saa.

Pange tähele, et suletud piirkonnas oleva funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmise ülesande viimases osas peame leidma funktsiooni äärmuslikud väärtused selle piirkonna piiril, s.o. mingil real ja seeläbi lahendada tingimusliku ekstreemumi probleem.

Jätkame nüüd funktsiooni Z= f(x, y) tingimusliku ekstreemumi punktide praktilise otsinguga eeldusel, et muutujad x ja y on seotud võrrandiga (x, y) = 0. See seos on nimetatakse piiranguvõrrandiks. Kui ühendusvõrrandist saab y-d selgelt väljendada x-iga: y \u003d (x), saame funktsiooni ühe muutujaga Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

Olles leidnud x väärtuse, mille juures see funktsioon jõuab ekstreemumini, ja määranud seejärel ühendusvõrrandist y vastavad väärtused, saame tingimusliku ekstreemumi soovitud punktid.

Seega on ülaltoodud näites side võrrandist x+y-1=0 y=1-x. Siit

Lihtne on kontrollida, kas z saavutab maksimumi, kui x = 0,5; aga siis ühendusvõrrandist y = 0,5 ja saame täpselt punkti P, mis leiti geomeetrilistel kaalutlustel.

Tingimusliku ekstreemumi ülesanne lahendatakse väga lihtsalt ka siis, kui piiranguvõrrandit saab esitada parameetriliste võrranditega x=x(t), y=y(t). Asendades selle funktsiooniga x ja y avaldised, jõuame taas ühe muutuja funktsiooni ekstreemumi leidmise probleemini.

Kui kitsendusvõrrandil on keerulisem vorm ja me ei saa üht muutujat teisega eksplitsiitselt väljendada ega asendada parameetriliste võrranditega, siis muutub tingimusliku ekstreemumi leidmise probleem keerulisemaks. Jätkame eeldusega, et funktsiooni z= f(x, y) avaldises muutuja (x, y) = 0. Funktsiooni z= f(x, y) summaarne tuletis on võrdne:

Kus on tuletis y`, mis leitakse kaudse funktsiooni diferentseerimisreegli järgi. Tingimusliku ekstreemumi punktides peab leitud summaarne tuletis olema võrdne nulliga; see annab ühe võrrandi, mis seob x ja y. Kuna need peavad täitma ka piiranguvõrrandi, saame kahe tundmatuga võrrandisüsteemi

Teisendame selle süsteemi palju mugavamaks, kirjutades esimese võrrandi proportsioonina ja sisestades uue abitundmatu:

(mugavuse huvides on ette pandud miinusmärk). Nendelt võrdsustelt on lihtne üle minna järgmisele süsteemile:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

mis koos piiranguvõrrandiga (x, y) = 0 moodustab kolmest võrrandist koosneva süsteemi tundmatutega x, y ja.

Neid võrrandeid (*) on kõige lihtsam meeles pidada järgmise reegli abil: et leida punkte, mis võivad olla funktsiooni tingimusliku ekstreemumi punktid

Z= f(x, y) piiranguvõrrandiga (x, y) = 0, peate moodustama abifunktsiooni

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Kus on mingi konstant, ja koostage võrrandid, et leida selle funktsiooni äärmuspunktid.

Määratud võrrandisüsteem esitab reeglina ainult vajalikud tingimused, s.o. mitte iga x ja y väärtuste paar, mis seda süsteemi rahuldab, ei ole tingimata tingimuslik äärmuspunkt. Ma ei anna piisavaid tingimusi tingimuslike ekstreemumipunktide jaoks; väga sageli annab probleemi konkreetne sisu ise mõista, mis on leitud punkt. Kirjeldatud tehnikat tingimusliku ekstreemumi ülesannete lahendamiseks nimetatakse Lagrange'i kordajate meetodiks.

Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi piisav tingimus

1. Olgu funktsioon pidevalt diferentseeruv mõnes punkti naabruses ja omab pidevaid teist järku osatuletisi (puhas ja segatud).

2. Tähistage teist järku determinandiga

ekstreemmuutuja loengufunktsioon

Teoreem

Kui koordinaatidega punkt on funktsiooni jaoks statsionaarne punkt, siis:

A) Kui see on kohaliku ekstreemumi punkt ja kohaliku maksimumi korral - kohalik miinimum;

C) kui punkt ei ole kohalik äärmuspunkt;

C) kui, võib-olla mõlemad.

Tõestus

Kirjutame funktsiooni jaoks Taylori valemi, piirdudes kahe liikmega:

Kuna teoreemi tingimuse järgi on punkt statsionaarne, on teist järku osatuletised võrdsed nulliga, s.o. ja. Siis

Tähistage

Siis on funktsiooni juurdekasv järgmine:

Teist järku osatuletiste (puhas ja segatud) pidevuse tõttu võime vastavalt teoreemi tingimusele punktis kirjutada:

Kus või; ,

1. Laske ja, st. või.

2. Korrutame funktsiooni juurdekasvu ja jagame arvuga, saame:

3. Täiendage sulgudes olevat avaldist summa täisruuduni:

4. Sulgudes olev väljend ei ole negatiivne, kuna

5. Seega, kui ja seega, ja, siis ja seega, definitsiooni kohaselt on punkt lokaalse miinimumi punkt.

6. Kui ja tähendab ning, siis definitsiooni järgi on koordinaatidega punkt lokaalne maksimumpunkt.

2. Vaatleme ruudukujulist trinoomi, selle diskriminanti, .

3. Kui, siis on selliseid punkte, et polünoom

4. Funktsiooni summaarne juurdekasv punktis vastavalt I saadud avaldisele, kirjutame kujul:

5. Teist järku osatuletite järjepidevuse tõttu võime punktis oleva teoreemi tingimuse järgi kirjutada, et

seetõttu eksisteerib punkti naabrus, kus iga punkti ruuttrinoom on suurem kui null:

6. Mõelge - punkti naabruskond.

Valime mis tahes väärtuse, nii et see on asja mõte. Eeldusel, et funktsiooni juurdekasvu valemis

Mida me saame:

7. Sellest ajast peale.

8. Sarnaselt juure üle argumenteerides saame, et punkti suvalises -naabruses on punkt, mille jaoks seepärast punkti naabruses märki ei säilitata, mistõttu punktis ekstreemumit pole.

Kahe muutuja funktsiooni tingimuslik ekstreemum

Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi otsimisel tekivad sageli probleemid seoses nn tingimusliku ekstreemumiga. Seda kontseptsiooni saab seletada kahe muutuja funktsiooni näitega.

Olgu tasapinnal 0xy antud funktsioon ja sirge L. Ülesandeks on leida sirgelt L selline punkt P (x, y), kus funktsiooni väärtus on suurim või väikseim võrreldes selle funktsiooni väärtustega sirge L punktides, mis asuvad selle lähedal. punkt P. Selliseid punkte P nimetatakse tingimuslike ekstreemumipunktide funktsioonideks sirgel L. Erinevalt tavalisest ekstreemumipunktist võrreldakse funktsiooni väärtust tingimuslikus ekstreemumipunktis funktsiooni väärtustega, mis ei ole kõigis punktides. mõnest selle naabruskonnast, kuid ainult nendes, mis asuvad liinil L.

On täiesti selge, et tavalise ekstreemumi punkt (nad ütlevad ka tingimusteta ekstreemumi) on ka tingimusliku ekstreemumi punkt iga seda punkti läbiva sirge jaoks. Vastupidine muidugi pole tõsi: tingimuslik ekstreemumipunkt ei pruugi olla tavapärane ekstreemumipunkt. Illustreerime öeldut näitega.

Näide nr 1. Funktsiooni graafik on ülemine poolkera (joonis 2).

Riis. 2.

Sellel funktsioonil on maksimum lähtepunktis; see vastab poolkera tipule M. Kui sirge L on punkte A ja B läbiv sirge (selle võrrand), siis on geomeetriliselt selge, et selle sirge punktide puhul saavutatakse funktsiooni maksimaalne väärtus punktis, mis asub punktide A ja punktide vahel keskel. B. See on tingimusliku äärmuse (maksimaalse) punkti funktsioonid sellel sirgel; see vastab poolkeral olevale punktile M 1 ja jooniselt on näha, et mingist tavalisest ekstreemumist siin juttugi olla ei saa.

Pange tähele, et suletud piirkonnas oleva funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmise ülesande viimases osas tuleb leida funktsiooni äärmuslikud väärtused selle piirkonna piiril, s.o. mingil real ja seeläbi lahendada tingimusliku ekstreemumi probleem.

Definitsioon 1. Nad ütlevad, et kus on tingimuslik või suhteline maksimum (miinimum) punktis, mis rahuldab võrrandit: kui mõne puhul, mis rahuldab võrrandit, siis ebavõrdsus

Definitsioon 2. Vormi võrrandit nimetatakse piiranguvõrrandiks.

Teoreem

Kui funktsioonid ja on punkti läheduses pidevalt diferentseeruvad ning osatuletis ja punkt on funktsiooni tingimusliku ekstreemumi punkt piiranguvõrrandi suhtes, siis on teist järku determinant võrdne nulliga:

Tõestus

1. Kuna vastavalt teoreemi tingimusele osatuletisele ja funktsiooni väärtusele, siis mõnes ristkülikus

määratletud kaudne funktsioon

Kahe muutuja kompleksfunktsioonil ühes punktis on lokaalne ekstreemum, seega või.

2. Tõepoolest, vastavalt esimest järku diferentsiaalvalemi muutumatuse omadusele

3. Seosvõrrandit saab esitada sellisel kujul, mis tähendab

4. Korrutage võrrand (2) ja (3) arvuga ning lisage need

Seetõttu millal

meelevaldne. h.t.d.

Tagajärg

Kahe muutuja funktsiooni tingimuslike ekstreemumipunktide otsimine praktikas toimub võrrandisüsteemi lahendamisega

Niisiis, ülaltoodud näites nr 1 suhtlusvõrrandist, mis meil on. Siit on lihtne kontrollida, mis saavutab maksimumi . Aga siis suhtlemise võrrandist. Saame geomeetriliselt leitud punkti P.

Näide nr 2. Leia funktsiooni tingimuslikud ekstreemumipunktid piiranguvõrrandi suhtes.

Leiame antud funktsiooni ja ühendusvõrrandi osatuletised:

Teeme teist järku determinandi:

Kirjutame üles võrrandisüsteemi tingimuslike ekstreemumipunktide leidmiseks:

seega on koordinaatidega funktsioonil neli tingimuslikku ekstreemumipunkti: .

Näide nr 3. Leia funktsiooni äärmuspunktid.

Võrdstades osatuletised nulliga: , leiame ühe statsionaarse punkti - alguspunkti. Siin,. Seetõttu ei ole ka punkt (0, 0) äärmuspunkt. Võrrand on hüperboolse paraboloidi võrrand (joonis 3), jooniselt on näha, et punkt (0, 0) ei ole äärmuspunkt.

Riis. 3.

Funktsiooni suurim ja väikseim väärtus suletud alal

1. Olgu funktsioon defineeritud ja pidev piiratud suletud domeenis D.

2. Olgu funktsioonil selles piirkonnas lõplikud osatuletised, välja arvatud piirkonna üksikud punktid.

3. Vastavalt Weierstrassi teoreemile on selles piirkonnas punkt, kus funktsioon võtab suurima ja väikseima väärtuse.

4. Kui need punktid on piirkonna D sisepunktid, siis on ilmne, et neil on maksimum või miinimum.

5. Sel juhul on meile huvipakkuvad punktid ekstreemumi kahtlaste punktide hulgas.

6. Funktsioon võib aga võtta maksimaalse või minimaalse väärtuse ka piirkonna D piiril.

7. Funktsiooni suurima (väikseima) väärtuse leidmiseks piirkonnas D tuleb leida kõik ekstreemumi suhtes kahtlased sisemised punktid, arvutada nendes oleva funktsiooni väärtus ja seejärel võrrelda funktsiooni väärtusega ala piiripunktid ja suurim kõigist leitud väärtustest on suurim suletud piirkonnas D.

8. Kohaliku maksimumi või miinimumi leidmise meetodit käsitleti varem punktis 1.2. ja 1.3.

9. Jääb üle kaaluda funktsiooni maksimaalse ja minimaalse väärtuse leidmise meetodit piirkonna piiril.

10. Kahe muutuja funktsiooni korral osutub ala tavaliselt kõvera või mitme kõveraga piiratud.

11. Mööda sellist kõverat (või mitut kõverat) sõltuvad muutujad ja kas üksteisest või mõlemad ühest parameetrist.

12. Seega osutub funktsioon piiril sõltuvaks ühest muutujast.

13. Ühe muutuja funktsiooni suurima väärtuse leidmise meetodit käsitleti varem.

14. Olgu piirkonna D piir antud parameetriliste võrranditega:

Siis on sellel kõveral kahe muutuja funktsioon parameetri kompleksfunktsioon: . Sellise funktsiooni jaoks määratakse suurim ja väikseim väärtus ühe muutuja funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse määramise meetodil.

Mitme muutuja funktsioonide äärmus. Ekstreemumi vajalik tingimus. Ekstreemumi jaoks piisav seisund. Tingimuslik äärmus. Lagrange'i kordajate meetod. Suurimate ja väiksemate väärtuste leidmine.

5. loeng

Definitsioon 5.1. Punkt M 0 (x 0, y 0) helistas maksimaalne punkt funktsioonid z = f(x, y), kui f (x o , y o) > f(x, y) kõigi punktide jaoks (x, y) M 0.

Definitsioon 5.2. Punkt M 0 (x 0, y 0) helistas miinimumpunkt funktsioonid z = f(x, y), kui f (x o , y o) < f(x, y) kõigi punktide jaoks (x, y) mõnest punkti naabrusest M 0.

Märkus 1. Nimetatakse maksimum- ja miinimumpunktid äärmuslikud punktid mitme muutuja funktsioonid.

Märkus 2. Suvalise arvu muutujate funktsiooni äärmuspunkt on defineeritud sarnaselt.

Teoreem 5.1(vajalikud äärmuslikud tingimused). Kui a M 0 (x 0, y 0) on funktsiooni äärmuspunkt z = f(x, y), siis selles punktis on selle funktsiooni esimest järku osatuletised võrdsed nulliga või neid ei eksisteeri.

Tõestus.

Fikseerime muutuja väärtuse juures lugedes y = y 0. Siis funktsioon f(x, y0) on ühe muutuja funktsioon X, milleks x = x 0 on äärmuspunkt. Seetõttu Fermat' teoreemi järgi või ei eksisteeri. Sama väide on tõestatud .

Definitsioon 5.3. Nimetatakse mitme muutuja funktsiooni valdkonda kuuluvaid punkte, kus funktsiooni osatuletised on võrdsed nulliga või neid ei eksisteeri. statsionaarsed punktid seda funktsiooni.

kommenteerida. Seega võib ekstreemumini jõuda ainult statsionaarsetes punktides, kuid seda ei pruugita kõigis neist jälgida.

Teoreem 5.2(piisavad tingimused ekstreemumiks). Laske mõnele punkti naabrusele M 0 (x 0, y 0), mis on funktsiooni statsionaarne punkt z = f(x, y), sellel funktsioonil on pidevad osatuletised kuni 3. järku (kaasa arvatud). Tähistage siis:

1) f(x, y) on punktis M 0 maksimaalselt kui AC-B² > 0, A < 0;

2) f(x, y) on punktis M 0 minimaalne, kui AC-B² > 0, A > 0;

3) kriitilises punktis pole ekstreemumit, kui AC-B² < 0;

4) kui AC-B² = 0, on vaja täiendavaid uuringuid.

Tõestus.

Kirjutame funktsiooni jaoks teist järku Taylori valemi f(x, y), pidades meeles, et statsionaarses punktis on esimest järku osatuletised võrdsed nulliga:

kus Kui segmendi vaheline nurk M 0 M, kus M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ juures) ja O-telg X tähistage φ, siis Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. Sel juhul on Taylori valem järgmine: . Olgu Siis saame sulgudes oleva avaldise jagada ja korrutada arvuga AGA. Saame:

Mõelge nüüd neljale võimalikule juhtumile:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и piisavalt väikese Δρ jaoks. Seetõttu mõnes naabruses M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), st M 0 on maksimumpunkt.

2) Lase AC-B² > 0, A > 0. Siis , ja M 0 on miinimumpunkt.

3) Lase AC-B² < 0, A> 0. Vaatleme argumentide juurdekasvu piki kiirt φ = 0. Siis tuleneb (5.1), et st mööda seda kiirt liikudes funktsioon suureneb. Kui liigume mööda kiirt nii, et tg φ 0 \u003d -A / B, siis , mistõttu seda kiirt mööda liikudes funktsioon väheneb. Nii et point M 0 ei ole äärmuslik punkt.

3`) Millal AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

sarnane eelmisele.

3``) Kui AC-B² < 0, A= 0, siis . Kus . Siis piisavalt väikese φ korral avaldis 2 B cos + C sinφ 2 lähedal AT, see tähendab, et see säilitab konstantse märgi ja sinφ muudab märki punkti läheduses M 0 . See tähendab, et funktsiooni juurdekasv muudab märki statsionaarse punkti läheduses, mis ei ole seega äärmuspunkt.

4) Kui AC-B² = 0 ja , , see tähendab, et juurdekasvu märk määratakse märgiga 2α 0 . Samas on ekstreemumi olemasolu küsimuse selgitamiseks vaja teha täiendavaid uuringuid.

Näide. Leiame funktsiooni äärmuspunktid z=x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Statsionaarsete punktide otsimiseks lahendame süsteemi . Seega on statsionaarne punkt (-2,-1). Kus A = 2, AT = -2, FROM= 4. Siis AC-B² = 4 > 0, seega saavutatakse statsionaarses punktis ekstreemum, nimelt miinimum (kuna A > 0).

Definitsioon 5.4. Kui funktsiooni argumendid f (x 1, x 2,…, x n) vormis lisatingimustega seotud m võrrandid ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

kus funktsioonidel φ i on pidevad osatuletised, siis nimetatakse võrrandeid (5.2) ühendusvõrrandid.

Definitsioon 5.5. Funktsiooni äärmus f (x 1, x 2,…, x n) tingimustel (5.2) nimetatakse tingimuslik ekstreemum.

kommenteerida. Kahe muutuja funktsiooni tingimusliku ekstreemumi kohta saame pakkuda järgmise geomeetrilise tõlgenduse: olgu funktsiooni argumendid f(x,y) on seotud võrrandiga φ (x, y)= 0, mis määratleb mingi kõvera tasandis O hu. Olles taastanud selle kõvera igast punktist risti tasapinnaga O hu enne pinna ületamist z = f (x, y), saame ruumikõvera, mis asub kõverast φ kõrgemal pinnal (x, y)= 0. Ülesanne on leida saadud kõvera ekstreemumipunktid, mis loomulikult ei lange üldjuhul kokku funktsiooni tingimusteta äärmuspunktidega f(x,y).

Määratleme kahe muutuja funktsiooni jaoks vajalikud tingimuslikud ekstreemumitingimused, sisestades eelnevalt järgmise definitsiooni:

Definitsioon 5.6. Funktsioon L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

kus λ i - mõned konstandid, nn Lagrange'i funktsioon ja numbrid λ i– määramata Lagrange'i kordajad.

Teoreem 5.3(vajalikud tingimuslikud äärmuslikud tingimused). Funktsiooni tingimuslik ekstreemum z = f(x, y) piiranguvõrrandi φ ( x, y)= 0 on võimalik saavutada ainult Lagrange'i funktsiooni statsionaarsetes punktides L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Tõestus. Piirangu võrrand määratleb kaudse sõltuvuse juures alates X, seega eeldame seda juures on funktsioon alates X: y = y(x). Siis z on keeruline funktsioon X ja selle kriitilised punktid määratakse tingimusega: . (5.4) Kitsendusvõrrandist järeldub, et . (5.5)

Võrdsuse (5,5) korrutame mõne arvuga λ ja liidame selle arvuga (5,4). Saame:

või .

Viimane võrdsus peab kehtima statsionaarsetes punktides, millest see tuleneb:

(5.6)

Saadakse kolmest võrrandist koosnev süsteem kolme tundmatu jaoks: x, y ja λ, kusjuures kaks esimest võrrandit on Lagrange'i funktsiooni statsionaarse punkti tingimused. Elimineerides süsteemist (5.6) abitundmatu λ, leiame nende punktide koordinaadid, kus algfunktsioonil võib olla tingimuslik ekstreemum.

Märkus 1. Tingimusliku ekstreemumi olemasolu leitud punktis saab kontrollida, uurides Lagrange'i funktsiooni teist järku osatuletisi analoogia põhjal teoreemiga 5.2.

Märkus 2. Punktid, kus on võimalik saavutada funktsiooni tingimuslik ekstreemum f (x 1, x 2,…, x n) tingimustel (5.2), saab määratleda süsteemi lahendustena (5.7)

Näide. Leia funktsiooni tingimuslik ekstreemum z = xy arvestades seda x + y= 1. Koostage Lagrange'i funktsioon L(x, y) = xy + λ (x + y –üks). Süsteem (5.6) näeb siis välja selline:

Kust -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0.5. Kus L (x, y) saab kujutada kui L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, seega leitud statsionaarses punktis L (x, y) on maksimaalne ja z = xy - tingimuslik maksimum.

Vaatleme esmalt kahe muutuja funktsiooni juhtumit. Funktsiooni $z=f(x,y)$ tingimuslik ekstreemum punktis $M_0(x_0;y_0)$ on selle funktsiooni ekstreemum, mis saavutatakse tingimusel, et muutujad $x$ ja $y$ selle punkti lähedus rahuldab piiranguvõrrandit $\ varphi(x,y)=0$.

Nimetus "tingimuslik" ekstreemum tuleneb asjaolust, et muutujatele on peale pandud lisatingimus $\varphi(x,y)=0$. Kui seosvõrrandist on võimalik väljendada üht muutujat teise mõistes, siis tingliku ekstreemumi määramise probleem taandatakse ühe muutuja funktsiooni tavalise ekstreemumi ülesandeks. Näiteks kui piiranguvõrrandist tuleneb $y=\psi(x)$, siis asendades $y=\psi(x)$ väärtusega $z=f(x,y)$, saame funktsiooni ühest muutujast $ z=f\left (x,\psi(x)\right)$. Üldjuhul on sellest meetodist aga vähe kasu, mistõttu on vaja uut algoritmi.

Lagrange'i kordajate meetod kahe muutuja funktsioonide jaoks.

Lagrange'i kordajate meetod seisneb selles, et tingimusliku ekstreemumi leidmiseks koostatakse Lagrange'i funktsioon: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameeter $\lambda $ nimetatakse Lagrange'i kordajaks ). Vajalikud äärmuslikud tingimused on antud võrrandisüsteemiga, millest määratakse statsionaarsed punktid:

$$ \left \( \begin( joondatud) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(joondatud)\paremale.$$

Märk $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Kui statsionaarses punktis $d^2F > 0$, siis funktsioonil $z=f(x,y)$ on selles punktis tingimuslik miinimum, aga kui $d^2F< 0$, то условный максимум.

Ekstreemumi olemuse määramiseks on veel üks viis. Piirangu võrrandist saame: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, nii et igas statsionaarses punktis on meil:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\paremal)$$

Teist tegurit (asub sulgudes) saab esitada järgmisel kujul:

$\left| elemendid \begin(massiivi) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (massiiv) \right|$, mis on Lagrange'i funktsiooni Hesseni koopia. Kui $H > 0$, siis $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 dollarit, st. meil on funktsiooni $z=f(x,y)$ tingimuslik miinimum.

Märkus $H$ determinandi vormi kohta. Näita Peida

$$ H=-\left|\begin(massiivi) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(massiivi) \right| $$

Sellises olukorras muutub ülaltoodud reegel järgmiselt: kui $H > 0$, siis on funktsioonil tingimuslik miinimum ja $H korral< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritm kahe muutuja funktsiooni uurimiseks tingimusliku ekstreemumi jaoks

1. Koostage Lagrange'i funktsioon $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Lahenda süsteem $ \left \( \begin( joondatud) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(joondatud)\right.$
3. Määrake ekstreemumi olemus igas eelmises lõigus leitud statsionaarses punktis. Selleks kasutage ühte järgmistest meetoditest.
   • Koostage determinant $H$ ja leidke selle märk
   • Võttes arvesse piiranguvõrrandit, arvutage $d^2F$ märk

Lagrange'i kordaja meetod n muutuja funktsioonide jaoks

Oletame, et meil on funktsioon $n$ muutujatest $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ja $m$ piiranguvõrranditest ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Tähistades Lagrange'i kordajaid kui $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, koostame Lagrange'i funktsiooni:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Tingimusliku ekstreemumi olemasoluks vajalikud tingimused on antud võrrandisüsteemiga, millest leitakse statsionaarsete punktide koordinaadid ja Lagrange'i kordajate väärtused:

$$\left\(\begin(joondatud) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ ülejoon(1,m)) \end(joondatud) \right.$$

Märgi $d^2F$ abil on võimalik teada saada, kas funktsioonil on leitud punktis tingimuslik miinimum või tingimuslik maksimum, nagu varemgi. Kui leitud punktis $d^2F > 0$, siis on funktsioonil tingimuslik miinimum, aga kui $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Maatriksi determinant $\left| \begin(massiiv) (cccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( massiiv) \right|$, mis on maatriksis $L$ punasega esile tõstetud, on Lagrange'i funktsiooni Hess. Kasutame järgmist reeglit:

• Kui nurga alaealiste märgid on $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ maatriksid $L$ langevad kokku märgiga $(-1)^m$, siis on uuritav statsionaarne punkt funktsiooni $z tingimuslik miinimumpunkt =f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Kui nurga alaealiste märgid on $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ vahelduvad ja molli $H_(2m+1)$ märk langeb kokku arvu $(-1)^(m+1) märgiga )$, siis uuritav statsionaarne punkt on funktsiooni $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ tingimuslik maksimumpunkt.

Näide nr 1

Leidke funktsiooni $z(x,y)=x+3y$ tingimuslik ekstreemum tingimuse $x^2+y^2=10$ all.

Selle ülesande geomeetriline tõlgendus on järgmine: tuleb leida tasandi $z=x+3y$ rakenduse suurim ja väikseim väärtus selle silindriga $x^2+y^2 lõikepunktide jaoks. = 10 $.

Mõnevõrra raske on piiranguvõrrandist üht muutujat teisena väljendada ja asendada see funktsiooniga $z(x,y)=x+3y$, seetõttu kasutame Lagrange'i meetodit.

Tähistades $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, koostame Lagrange'i funktsiooni:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Kirjutame üles võrrandisüsteemi Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktide määramiseks:

$$ \left \( \begin (joondatud) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (joondatud)\paremale.$$

Kui eeldame $\lambda=0$, siis saab esimeseks võrrandiks $1=0$. Saadud vastuolu ütleb, et $\lambda\neq 0$. Tingimuses $\lambda\neq 0$ saame esimesest ja teisest võrrandist: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Asendades saadud väärtused kolmandasse võrrandisse, saame:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(joondatud) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(joondatud) \right.\\ \begin(joondatud) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(joondatud) $$

Seega on süsteemil kaks lahendust: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ ja $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Uurime igas statsionaarses punktis ekstreemumi olemust: $M_1(1;3)$ ja $M_2(-1;-3)$. Selleks arvutame igas punktis determinandi $H$.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(massiiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(massiiv) \right|= \left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(massiivi) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiivi) \right| $$

Punktis $M_1(1;3)$ saame: $H=8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(massiivi) \right|=40 > 0$, seega punktis $M_1(1;3)$ funktsioonil $z(x,y)=x+3y$ on tingimuslik maksimum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Samamoodi leiame punktis $M_2(-1;-3)$: $H=8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(massiivi) \right|=-40 $. Alates $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Märgin, et selle asemel, et arvutada igas punktis determinandi $H$ väärtust, on palju mugavam avada see üldiselt. Et tekst mitte detailidega risustada, peidan selle meetodi märkuse alla.

Determinant $H$ tähistus üldkujul. Näita Peida

$$ H=8\cdot\left|\begin(massiivi)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(massiivi)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Põhimõtteliselt on juba ilmne, milline märk $H$ on. Kuna ükski punktidest $M_1$ ega $M_2$ ei kattu lähtepunktiga, siis $y^2+x^2>0$. Seetõttu on $H$ märk vastupidine märgile $\lambda$. Samuti saate arvutused lõpule viia:

$$ \begin(joondatud) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(joondatud) $$

Küsimuse ekstreemumi olemuse kohta statsionaarsetes punktides $M_1(1;3)$ ja $M_2(-1;-3)$ saab lahendada ilma determinanti $H$ kasutamata. Leidke igas statsionaarses punktis märk $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Märgin, et märge $dx^2$ tähendab täpselt $dx$ tõstetud teise astmeni, st. $\left(dx\right)^2$. Seega on meil: $dx^2+dy^2>0$, nii et $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ jaoks saame $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Vastus: punktis $(-1;-3)$ on funktsioonil tingimuslik miinimum, $z_(\min)=-10$. Punktis $(1;3)$ on funktsioonil tingimuslik maksimum, $z_(\max)=10$

Näide nr 2

Leia funktsiooni $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ tingimuslik ekstreemum tingimuse $x+y=0$ all.

Esimene viis (Lagrange'i kordajate meetod)

Tähistades $\varphi(x,y)=x+y$, koostame Lagrange'i funktsiooni: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin (joondatud) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(joondatud)\right.$$

Süsteemi lahendades saame: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ ja $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Meil on kaks statsionaarset punkti: $M_1(0;0)$ ja $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Uurime igas statsionaarses punktis ekstreemumi olemust determinandi $H$ abil.

$$ H=\left| \begin(massiiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(massiiv) \right|= \left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(massiivi) \right|=-10-18y $$

Punktis $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, seega on sellel hetkel funktsioonil tingimuslik maksimum $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Uurime ekstreemumi olemust igas punktis erineva meetodiga, mis põhineb märgil $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Piirangu võrrandist $x+y=0$ saame: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Kuna $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, siis $M_1(0;0)$ on funktsiooni $z(x,y)=3y^3+ tingimuslik miinimumpunkt 4x^ 2-xy$. Samamoodi $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Teine viis

Piirangu võrrandist $x+y=0$ saame: $y=-x$. Asendades $y=-x$ funktsiooni $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, saame mingi muutuja $x$ funktsiooni. Tähistame seda funktsiooni kui $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Seega taandasime kahe muutuja funktsiooni tingimusliku ekstreemumi leidmise probleemi ühe muutuja funktsiooni ekstreemumi määramise ülesandeks.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Sai punktid $M_1(0;0)$ ja $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Edasised uuringud on teada ühe muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutuse käigust. Uurides $u_(xx)^("")$ märki igas statsionaarses punktis või kontrollides $u_(x)^(")$ märgi muutust leitud punktides, saame samad järeldused, mis esimeses lahenduses . Näiteks märkige märk $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Kuna $u_(xx)^("")(M_1)>0$, siis $M_1$ on funktsiooni $u(x)$ miinimumpunkt, samas kui $u_(\min)=u(0)=0 $ . Alates $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Funktsiooni $u(x)$ väärtused antud ühendustingimusel langevad kokku funktsiooni $z(x,y)$ väärtustega, st. funktsiooni $u(x)$ leitud ekstreemumid on funktsiooni $z(x,y)$ soovitud tingimuslikud ekstreemumid.

Vastus: punktis $(0;0)$ on funktsioonil tingimuslik miinimum $z_(\min)=0$. Punktis $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ on funktsioonil tingimuslik maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Vaatleme veel ühte näidet, milles saame ekstreemumi olemuse teada, määrates $d^2F$ märgi.

Näide nr 3

Leia funktsiooni $z=5xy-4$ maksimaalne ja minimaalne väärtus, kui muutujad $x$ ja $y$ on positiivsed ja vastavad piiranguvõrrandile $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1 = 0 $.

Koostage Lagrange'i funktsioon: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Leidke Lagrange'i funktsiooni statsionaarsed punktid:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin (joondatud) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(joondatud) \right.$$

Kõik edasised teisendused viiakse läbi, võttes arvesse $x > 0; \; y > 0$ (see on probleemi tingimuses sätestatud). Teisest võrrandist väljendame $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ja asendame leitud väärtuse esimese võrrandiga: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Asendades $x=2y$ kolmandas võrrandis, saame: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1$.

Kuna $y=1$, siis $x=2$, $\lambda=-10$. Ekstreemumi olemus punktis $(2;1)$ määratakse $d^2F$ märgi järgi.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Kuna $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, siis:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Põhimõtteliselt saab siin kohe asendada statsionaarse punkti $x=2$, $y=1$ ja parameetri $\lambda=-10$ koordinaadid, saades nii:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \parem)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Teiste tingimusliku ekstreemumi probleemide korral võib aga olla mitu statsionaarset punkti. Sellistel juhtudel on parem esitada $d^2F$ üldkujul ja seejärel asendada saadud avaldisega iga leitud statsionaarse punkti koordinaadid:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Asendades $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, saame:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Kuna $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Vastus: punktis $(2;1)$ on funktsioonil tingimuslik maksimum, $z_(\max)=6$.

Järgmises osas käsitleme Lagrange'i meetodi rakendamist suurema hulga muutujate funktsioonide puhul.