Lihtvõrrandite lahendamise reegel. Minu praktikast

Kui töötame erinevate avaldistega, sealhulgas numbrite, tähtede ja muutujatega, peame tegema suure hulga aritmeetilisi tehteid. Kui teeme teisenduse või arvutame väärtust, on väga oluline järgida nende toimingute õiget järjekorda. Teisisõnu, aritmeetilistel tehtetel on oma spetsiaalne täitmise järjekord.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Selles artiklis räägime teile, milliseid toiminguid tuleks teha kõigepealt ja milliseid pärast. Kõigepealt vaatame mõnda lihtsat avaldist, mis sisaldavad ainult muutujaid või arvväärtusi, aga ka jagamis-, korrutamis-, lahutamis- ja liitmismärke. Seejärel võtame sulgudega näiteid ja kaalume, millises järjekorras neid hinnata. Kolmandas osas anname teisenduste ja arvutuste õige järjekorra nendes näidetes, mis sisaldavad juurte, astmete ja muude funktsioonide märke.

Definitsioon 1

Sulgudeta avaldiste puhul määratakse toimingute järjekord üheselt:

1. Kõik toimingud tehakse vasakult paremale.
2. Esiteks teostame jagamise ja korrutamise ning teiseks lahutamise ja liitmise.

Nende reeglite tähendust on lihtne mõista. Traditsiooniline vasakult paremale kirjutamise järjekord määrab arvutuste põhijärjestuse ning esmalt korrutamise või jagamise vajadus on seletatav nende toimingute olemusega.

Selguse huvides teeme mõned ülesanded. Oleme kasutanud ainult kõige lihtsamaid arvulisi avaldisi, et kõik arvutused saaksid tehtud peast. Nii saate soovitud tellimuse kiiresti meelde jätta ja tulemusi kiiresti kontrollida.

Näide 1

Seisukord: arvuta kui palju 7 − 3 + 6 .

Lahendus

Meie avaldises pole sulgusid, puuduvad ka korrutamine ja jagamine, seega teostame kõik toimingud määratud järjekorras. Esmalt lahutage seitsmest kolm, seejärel lisage ülejäänud osale kuus ja tulemuseks on kümme. Siin on kogu lahenduse kirje:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Vastus: 7 − 3 + 6 = 10 .

Näide 2

Seisukord: millises järjekorras tuleks avaldises arvutusi sooritada 6:2 8:3?

Lahendus

Sellele küsimusele vastamiseks lugesime uuesti üle sulgudeta avaldiste reegli, mille me varem sõnastasime. Meil on siin ainult korrutamine ja jagamine, mis tähendab, et säilitame arvutuste kirjaliku järjekorra ja loendame järjest vasakult paremale.

Vastus: esiteks jagame kuus kahega, korrutame tulemuse kaheksaga ja jagame saadud arvu kolmega.

Näide 3

Seisukord: arvutage, kui palju saab olema 17–5 6: 3–2 + 4: 2.

Lahendus

Esiteks määrame kindlaks tehte õige järjekorra, kuna siin on kõik aritmeetiliste toimingute põhitüübid - liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine. Esimene asi, mida peame tegema, on jagada ja korrutada. Need toimingud ei ole üksteise suhtes prioriteetsed, seega teostame neid kirjalikus järjekorras paremalt vasakule. See tähendab, et 5 tuleb korrutada 6-ga ja saada 30, seejärel 30 jagada 3-ga ja saada 10. Pärast seda jagame 4 2-ga, see on 2. Asendage leitud väärtused algse avaldisega:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

Siin pole jagamist ega korrutamist, seega teeme ülejäänud arvutused järjekorras ja saame vastuse:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Vastus:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

Kuni toimingute sooritamise järjekord on kindlalt selgeks õpitud, võite aritmeetiliste tehtete märkide kohale asetada numbreid, mis näitavad arvutamise järjekorda. Näiteks ülaltoodud probleemi puhul võiksime selle kirjutada järgmiselt:

Kui meil on sõnasõnalised avaldised, siis teeme nendega sama: kõigepealt korrutame ja jagame, siis liidame ja lahutame.

Mis on esimene ja teine ​​samm

Mõnikord on teatmeteostes kõik aritmeetilised toimingud jagatud esimese ja teise etapi tehtedeks. Sõnastame nõutava definitsiooni.

Esimese etapi toimingud hõlmavad lahutamist ja liitmist, teise etapi korrutamist ja jagamist.

Teades neid nimesid, saame varem antud reegli toimingute järjekorra kohta kirjutada järgmiselt:

2. definitsioon

Avaldises, mis ei sisalda sulgusid, soorita esmalt teise sammu toimingud suunaga vasakult paremale, seejärel esimese sammu toimingud (samas suunas).

Hindamise järjekord sulgudega avaldistes

Sulud ise on märk, mis ütleb meile toimingute sooritamise soovitud järjekorras. Sel juhul saab soovitud reegli kirjutada järgmiselt:

3. definitsioon

Kui avaldises on sulud, sooritatakse esmalt nendes olev toiming, mille järel korrutame ja jagame ning seejärel liidame ja lahutame vasakult paremale.

Mis puudutab sulgudes olevat avaldist ennast, siis seda võib pidada põhiavaldise komponendiks. Sulgudes oleva avaldise väärtuse arvutamisel jätame sama protseduuri meile teada. Illustreerime oma ideed näitega.

Näide 4

Seisukord: arvuta kui palju 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2.

Lahendus

Sellel väljendil on sulgud, nii et alustame neist. Kõigepealt arvutame välja, kui palju on 7 − 2 · 3. Siin peame korrutama 2 3-ga ja lahutama tulemuse 7-st:

7 - 2 3 = 7 - 6 = 1

Arvestame tulemust teistes sulgudes. Siin on meil ainult üks toiming: 6 − 4 = 2 .

Nüüd peame asendama saadud väärtused algse avaldisega:

5 + (7 - 2 3) (6 - 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Alustame korrutamise ja jagamisega, seejärel lahutame ja saame:

5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6

See lõpetab arvutused.

Vastus: 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2 = 6.

Ärge kartke, kui tingimus sisaldab väljendit, milles mõned sulud ümbritsevad teisi. Peame ülaltoodud reeglit rakendama järjekindlalt kõikidele sulgudes olevatele avaldistele. Võtame selle ülesande.

Näide 5

Seisukord: arvuta kui palju 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Lahendus

Sulgudes on meil sulud. Alustame 3 + 1 + 4 (2 + 3) , nimelt 2 + 3 . See saab olema 5. Väärtus tuleb avaldisesse asendada ja arvutada, et 3 + 1 + 4 5 . Peame meeles, et kõigepealt peame korrutama ja seejärel lisama: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Asendades leitud väärtused algsesse avaldisesse, arvutame vastuse: 4 + 24 = 28 .

Vastus: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

Teisisõnu, kui hinnata sulgudes olevaid sulgusid sisaldava avaldise väärtust, alustame sisemistest sulgudest ja liigume välimiste sulgudeni.

Oletame, et peame leidma, kui palju on (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Alustame sisemistes sulgudes oleva väljendiga. Kuna 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , saab algse avaldise kirjutada kujul (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Jällegi pöördume sisemiste sulgude poole: 4 + 1 = 5 . Oleme jõudnud väljendini (4 + 5 − 1) − 1 . Meie usume 4 + 5 − 1 = 8 ja selle tulemusena saame vahe 8 - 1, mille tulemuseks on 7.

Arvutamise järjekord astmete, juurte, logaritmide ja muude funktsioonidega avaldistes

Kui meil on tingimuses avaldis astme, juure, logaritmi või trigonomeetrilise funktsiooniga (siinus, koosinus, puutuja ja kotangens) või muude funktsioonidega, siis arvutame kõigepealt funktsiooni väärtuse. Pärast seda tegutseme vastavalt eelmistes lõigetes täpsustatud reeglitele. Teisisõnu, funktsioonid on sulgudes oleva avaldise tähtsusega võrdsed.

Vaatame sellise arvutuse näidet.

Näide 6

Seisukord: leidke, kui palju on (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .

Lahendus

Meil on astmega avaldis, mille väärtus tuleb enne leida. Arvestame: 6 2 \u003d 36. Nüüd asendame tulemuse avaldisega, mille järel see saab kujul (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

Vastus: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 = 13.

Eraldi artiklis, mis on pühendatud avaldiste väärtuste arvutamisele, pakume muid, keerukamaid arvutusnäiteid juurte, astmetega jne avaldiste puhul. Soovitame teil sellega tutvuda.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Selles õppetükis käsitletakse üksikasjalikult aritmeetiliste toimingute sooritamise protseduuri sulgudeta ja sulgudega avaldistes. Õpilastel antakse ülesannete täitmise käigus kindlaks teha, kas avaldiste tähendus sõltub aritmeetiliste toimingute sooritamise järjekorrast, selgitada välja, kas aritmeetiliste tehete järjekord erineb sulgudeta ja sulgudega avaldistes, harjutada õpitud reegli rakendamist, leida ja parandada tegevuste järjekorra määramisel tehtud vigu.

Elus teeme pidevalt mingeid tegevusi: kõnnime, õpime, loeme, kirjutame, loeme, naeratame, tülitseme ja lepime. Teeme need sammud erinevas järjekorras. Mõnikord saab neid vahetada, mõnikord mitte. Näiteks hommikul kooli minnes võid esmalt harjutusi teha, siis voodi korda teha või vastupidi. Kuid te ei saa enne kooli minna ja siis riidesse panna.

Ja kas matemaatikas on vaja sooritada aritmeetilisi tehteid kindlas järjekorras?

Kontrollime

Võrdleme väljendeid:
8-3+4 ja 8-3+4

Näeme, et mõlemad väljendid on täpselt samad.

Teeme toiminguid ühes avaldises vasakult paremale ja teises paremalt vasakule. Numbrid võivad näidata toimingute sooritamise järjekorda (joonis 1).

Riis. 1. Menetlus

Esimeses avaldises sooritame esmalt lahutamistoimingu ja seejärel lisame tulemusele arvu 4.

Teises avaldises leiame esmalt summa väärtuse ja lahutame seejärel 8-st tulemuse 7.

Näeme, et avaldiste väärtused on erinevad.

Teeme järelduse: Aritmeetiliste toimingute sooritamise järjekorda ei saa muuta..

Õppime aritmeetiliste toimingute sooritamise reeglit avaldistes ilma sulgudeta.

Kui sulgudeta avaldis sisaldab ainult liitmist ja lahutamist või ainult korrutamist ja jagamist, siis sooritatakse toimingud nende kirjutamise järjekorras.

Harjutame.

Mõelge väljendile

Sellel avaldisel on ainult liitmise ja lahutamise toimingud. Neid toiminguid nimetatakse esimese sammu toimingud.

Toiminguid teostame järjekorras vasakult paremale (joonis 2).

Riis. 2. Menetlus

Mõelge teisele väljendile

Selles avaldises on ainult korrutamise ja jagamise toimingud - Need on teise sammu toimingud.

Toiminguid teostame järjekorras vasakult paremale (joonis 3).

Riis. 3. Menetlus

Millises järjekorras tehakse aritmeetikatehteid, kui avaldis ei sisalda mitte ainult liitmist ja lahutamist, vaid ka korrutamist ja jagamist?

Kui sulgudeta avaldis ei sisalda mitte ainult liitmist ja lahutamist, vaid ka korrutamist ja jagamist või mõlemat, siis sooritage kõigepealt järjekorras (vasakult paremale) korrutamine ja jagamine ning seejärel liitmine ja lahutamine.

Mõelge väljendile.

Me arutleme nii. See avaldis sisaldab liitmise ja lahutamise, korrutamise ja jagamise tehteid. Tegutseme vastavalt reeglitele. Esiteks sooritame järjekorras (vasakult paremale) korrutamise ja jagamise ning seejärel liitmise ja lahutamise. Paneme paika protseduuri.

Arvutame avaldise väärtuse.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

Millises järjekorras tehakse aritmeetilisi tehteid, kui avaldis sisaldab sulgusid?

Kui avaldis sisaldab sulgusid, siis arvutatakse esmalt sulgudes olevate avaldiste väärtus.

Mõelge väljendile.

30 + 6 * (13 - 9)

Näeme, et selles avaldises on sulgudes toiming, mis tähendab, et teeme selle toimingu kõigepealt, seejärel korrutamise ja liitmise järjekorras. Paneme paika protseduuri.

30 + 6 * (13 - 9)

Arvutame avaldise väärtuse.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Kuidas peaks olema põhjendatud, et aritmeetiliste toimingute järjekorda arvulises avaldises õigesti paika panna?

Enne arvutustega jätkamist on vaja avaldist kaaluda (uurida, kas see sisaldab sulgusid, milliseid toiminguid sellel on) ja alles pärast seda sooritada toimingud järgmises järjekorras:

1. sulgudes kirjutatud toimingud;

2. korrutamine ja jagamine;

3. liitmine ja lahutamine.

Diagramm aitab teil seda lihtsat reeglit meeles pidada (joonis 4).

Riis. 4. Menetlus

Harjutame.

Mõelge avaldistele, määrake toimingute järjekord ja tehke arvutused.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Järgigem reegleid. Avaldis 43 - (20 - 7) +15 sisaldab tehteid sulgudes, samuti liitmise ja lahutamise tehteid. Paneme paika tegevussuuna. Esimene samm on toimingu sooritamine sulgudes ning seejärel järjekorras vasakult paremale lahutamine ja liitmine.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Avaldises 32 + 9 * (19 - 16) on sulgudes tehted, samuti korrutamise ja liitmise tehted. Reegli järgi sooritame esmalt sulgudes oleva tegevuse, seejärel korrutamise (arv 9 korrutatakse lahutamisel saadud tulemusega) ja liitmise.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

Avaldises 2*9-18:3 ei ole sulgusid, küll aga on korrutamise, jagamise ja lahutamise tehted. Tegutseme vastavalt reeglitele. Esmalt teostame korrutamise ja jagamise vasakult paremale ning seejärel lahutame korrutamisel saadud tulemusest jagamisel saadud tulemuse. See tähendab, et esimene tegevus on korrutamine, teine ​​​​jagamine ja kolmas lahutamine.

2*9-18:3=18-6=12

Uurime, kas järgmiste avaldiste toimingute järjekord on õigesti defineeritud.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Me arutleme nii.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Selles avaldises ei ole sulgusid, mis tähendab, et kõigepealt teostame korrutamise või jagamise vasakult paremale, seejärel liitmise või lahutamise. Selles avaldises on esimene tegevus jagamine, teine ​​korrutamine. Kolmas toiming peaks olema liitmine, neljas - lahutamine. Järeldus: toimingute järjekord on õigesti määratletud.

Leidke selle avaldise väärtus.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Vaidleme edasi.

Teine avaldis sisaldab sulgusid, mis tähendab, et esmalt sooritame toimingu sulgudes, seejärel vasakult paremale korrutamise või jagamise, liitmise või lahutamise. Kontrollime: esimene toiming on sulgudes, teine ​​on jagamine, kolmas on liitmine. Järeldus: toimingute järjekord on valesti määratletud. Parandage vead, leidke avaldise väärtus.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

See avaldis sisaldab ka sulud, mis tähendab, et esmalt sooritame toimingu sulgudes, seejärel vasakult paremale korrutamise või jagamise, liitmise või lahutamise. Kontrollime: esimene toiming on sulgudes, teine ​​on korrutamine, kolmas on lahutamine. Järeldus: toimingute järjekord on valesti määratletud. Parandage vead, leidke avaldise väärtus.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Täidame ülesande.

Korraldame avaldises tegevuste järjekorra uuritud reegli abil (joon. 5).

Riis. 5. Menetlus

Me ei näe arvulisi väärtusi, mistõttu me ei suuda leida väljendite tähendust, vaid harjutame õpitud reegli rakendamist.

Tegutseme vastavalt algoritmile.

Esimeses avaldises on sulgud, seega on esimene toiming sulgudes. Siis vasakult paremale korrutamine ja jagamine, siis vasakult paremale lahutamine ja liitmine.

Teine avaldis sisaldab ka sulgusid, mis tähendab, et sooritame esimese toimingu sulgudes. Pärast seda vasakult paremale korrutamine ja jagamine, pärast seda - lahutamine.

Kontrollime ennast (joon. 6).

Riis. 6. Menetlus

Tänases tunnis tutvusime sulgudeta ja sulgudega väljendites toimingute sooritamise järjekorra reegliga.

Bibliograafia

1. M.I. Moro, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: kahes osas, 1. osa. - M .: "Valgustus", 2012.
2. M.I. Moro, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: 2 osas, 2. osa. - M .: "Valgustus", 2012.
3. M.I. Moreau. Matemaatikatunnid: juhendid õpetajatele. 3. klass - M.: Haridus, 2012.
4. Regulatiivne dokument. Õpitulemuste jälgimine ja hindamine. - M.: "Valgustus", 2011.
5. "Venemaa kool": programmid põhikoolile. - M.: "Valgustus", 2011.
6. S.I. Volkov. Matemaatika: kontrolltöö. 3. klass - M.: Haridus, 2012.
7. V.N. Rudnitskaja. Testid. - M.: "Eksam", 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Kodutöö

1. Määrake tegevuste järjekord nendes avaldistes. Leia väljendite tähendus.

2. Määrake, millises avaldises seda toimingute järjekorda tehakse:

1. korrutamine; 2. jaotus;. 3. lisamine; 4. lahutamine; 5. lisamine. Leidke selle avaldise väärtus.

3. Koostage kolm avaldist, milles sooritatakse järgmine toimingute järjekord:

1. korrutamine; 2. lisamine; 3. lahutamine

1. lisamine; 2. lahutamine; 3. lisamine

1. korrutamine; 2. jaotus; 3. lisamine

Leidke nende väljendite tähendus.

Ja väljendite väärtuste arvutamisel tehakse toimingud teatud järjekorras, teisisõnu peate jälgima toimingute järjekord.

Selles artiklis selgitame välja, millised toimingud tuleks teha kõigepealt ja millised pärast neid. Alustame lihtsamatest juhtudest, kui avaldis sisaldab ainult pluss-, miinus-, korrutamise ja jagamisega seotud numbreid või muutujaid. Järgmisena selgitame, millist toimingute sooritamise järjekorda tuleks sulgudega avaldistes järgida. Lõpuks kaaluge toimingute jada võimeid, juuri ja muid funktsioone sisaldavates avaldistes.

Leheküljel navigeerimine.

Kõigepealt korrutamine ja jagamine, seejärel liitmine ja lahutamine

Kool pakub järgmist reegel, mis määrab tegevuste sooritamise järjekorra avaldistes ilma sulgudeta:

• toimingud tehakse vasakult paremale,
• kus kõigepealt tehakse korrutamine ja jagamine ning seejärel liitmine ja lahutamine.

Väljatoodud reeglit tajutakse üsna loomulikult. Toimingute sooritamine vasakult paremale on seletatav asjaoluga, et meil on tavaks pidada arvestust vasakult paremale. Ja seda, et korrutamine ja jagamine tehakse enne liitmist ja lahutamist, on seletatav tähendusega, mida need toimingud iseenesest kannavad.

Vaatame mõnda näidet selle reegli rakendamisest. Näidete jaoks võtame kõige lihtsamad arvulised avaldised, et mitte lasta end arvutustest segada, vaid keskenduda toimingute sooritamise järjekorrale.

Näide.

Järgige samme 7–3+6 .

Lahendus.

Algne avaldis ei sisalda sulgu ega ka korrutamist ja jagamist. Seetõttu peaksime tegema kõik toimingud järjekorras vasakult paremale, see tähendab, et kõigepealt lahutame 7-st 3, saame 4, mille järel lisame saadud erinevusele 4 6, saame 10.

Lühidalt võib lahenduse kirjutada järgmiselt: 7−3+6=4+6=10 .

Vastus:

7−3+6=10 .

Näide.

Märkige avaldises 6:2·8:3 toimingute sooritamise järjekord.

Lahendus.

Probleemi küsimusele vastamiseks pöördume reegli poole, mis näitab tegevuste sooritamise järjekorda ilma sulgudeta avaldistes. Algne avaldis sisaldab ainult korrutamise ja jagamise tehteid ning reegli järgi tuleb need sooritada järjekorras vasakult paremale.

Vastus:

Esiteks 6 jagatud 2-ga, korrutatakse see jagatis 8-ga, lõpuks jagatakse tulemus 3-ga.

Näide.

Arvutage avaldise 17−5·6:3−2+4:2 väärtus.

Lahendus.

Esmalt määrame kindlaks, millises järjekorras tuleks algse avaldise toimingud sooritada. See hõlmab nii korrutamist ja jagamist kui ka liitmist ja lahutamist. Esiteks, vasakult paremale, peate tegema korrutamise ja jagamise. Seega korrutame 5 6-ga, saame 30, jagame selle arvu 3-ga, saame 10. Nüüd jagame 4 2-ga, saame 2. Asendame algses avaldises leitud väärtuse 10 5 asemel 6:3 ja väärtuse 2 4:2 asemel. 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Saadud avaldises korrutamist ja jagamist ei ole, seega jääb järelejäänud toimingud sooritada järjekorras vasakult paremale: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Vastus:

17−5 6:3−2+4:2=7 .

Selleks, et avaldise väärtuse arvutamisel toimingute sooritamise järjekorda mitte segamini ajada, on mugav paigutada nende sooritamise järjekorrale vastavate toimingute märkide kohale numbrid. Eelmise näite puhul näeks see välja järgmine: .

Kirjasõnaliste avaldistega töötamisel tuleks järgida sama tehte järjekorda – esmalt korrutamine ja jagamine, seejärel liitmine ja lahutamine.

Sammud 1 ja 2

Mõnes matemaatikaõpikus on aritmeetilised tehted jagatud esimese ja teise astme tehtedeks. Tegeleme sellega.

Definitsioon.

Esimese sammu toimingud nimetatakse liitmiseks ja lahutamiseks ning korrutamiseks ja jagamiseks teise sammu toimingud.

Nendes tingimustes kirjutatakse eelmise lõigu reegel, mis määrab toimingute sooritamise järjekorra, järgmiselt: kui avaldis ei sisalda sulgusid, siis järjekorras vasakult paremale teise etapi toimingud ( kõigepealt tehakse korrutamine ja jagamine), seejärel tehakse esimese etapi toimingud (liitmine ja lahutamine).

Aritmeetiliste toimingute sooritamise järjekord sulgudega avaldistes

Väljendid sisaldavad sageli sulgusid, mis näitavad toimingute sooritamise järjekorda. Sel juhul reegel, mis määrab sulgudega avaldistes toimingute sooritamise järjekorra, on sõnastatud järgmiselt: esiteks sooritatakse sulgudes olevad toimingud, samal ajal sooritatakse ka korrutamine ja jagamine järjekorras vasakult paremale, seejärel liitmine ja lahutamine.

Niisiis käsitletakse sulgudes olevaid väljendeid algse avaldise komponentidena ja nendes säilib meile juba teadaolevate toimingute järjekord. Suurema selguse huvides kaaluge näidete lahendusi.

Näide.

Tehke etteantud sammud 5+(7−2 3) (6−4):2 .

Lahendus.

Avaldis sisaldab sulgusid, seega sooritame esmalt toimingud nendesse sulgudesse lisatud avaldistes. Alustame avaldisega 7−2 3 . Selles tuleb esmalt sooritada korrutamine ja alles siis lahutamine, meil on 7−2 3=7−6=1 . Liigume teise avaldise juurde sulgudes 6−4 . Siin on ainult üks toiming - lahutamine, teeme selle 6−4=2 .

Asendame saadud väärtused algse avaldisega: 5+(7-2 3)(6-4):2=5+1 2:2. Saadud avaldises sooritame esmalt vasakult paremale korrutamise ja jagamise, seejärel lahutamise, saame 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . Sellega on kõik toimingud lõpetatud, järgisime nende sooritamise järjekorda: 5+(7−2 3) (6−4):2 .

Kirjutame lühikese lahenduse: 5+(7-2 3)(6-4):2=5+1 2:2=5+1=6.

Vastus:

5+(7-2 3)(6-4):2=6 .

Juhtub, et avaldis sisaldab sulgudes sulgusid. Te ei tohiks seda karta, peate lihtsalt järjekindlalt rakendama häälkäskluste reeglit sulgudega avaldistes toimingute tegemiseks. Toome näite lahenduse.

Näide.

Tehke toimingud avaldises 4+(3+1+4·(2+3)) .

Lahendus.

See on sulgudega avaldis, mis tähendab, et toimingute sooritamine peab algama sulgudes olevast avaldisest ehk 3+1+4 (2+3) . See avaldis sisaldab ka sulgusid, seega peate esmalt nendes toiminguid tegema. Teeme nii: 2+3=5 . Leitud väärtuse asendamisel saame 3+1+4 5 . Selles avaldises sooritame esmalt korrutamise, seejärel liitmise, saame 3+1+4 5=3+1+20=24 . Algväärtus saab pärast selle väärtuse asendamist kujul 4+24 ja jääb üle vaid toimingute lõpetamine: 4+24=28 .

Vastus:

4+(3+1+4 (2+3))=28 .

Üldiselt, kui avaldises on sulgudes olevad sulud, on sageli mugav alustada sisemistest sulgudest ja liikuda välimiste sulgudeni.

Näiteks oletame, et peame sooritama toiminguid avaldises (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Esmalt sooritame toimingud sisesulgudes, kuna 4−6:2=4−3=1 , siis pärast seda saab algne avaldis kuju (4+(4+1)−1)−1 . Jällegi sooritame toimingu sisesulgudes, kuna 4+1=5 , siis jõuame järgmise avaldiseni (4+5−1)−1 . Jällegi sooritame sulgudes olevad toimingud: 4+5−1=8 , samas jõuame erinevuseni 8−1, mis võrdub 7-ga.

Võrrandid on üks raskemini käsitletavaid teemasid, kuid need on piisavalt võimsad enamiku probleemide lahendamiseks.

Võrrandite abil kirjeldatakse erinevaid looduses toimuvaid protsesse. Võrrandeid kasutatakse laialdaselt teistes teadustes: majanduses, füüsikas, bioloogias ja keemias.

Selles õppetükis püüame mõista kõige lihtsamate võrrandite olemust, õppida tundmatute väljendamist ja mitut võrrandit lahendada. Uute materjalide õppimisel muutuvad võrrandid keerukamaks, seega on põhitõdede mõistmine väga oluline.

Eeloskused Tunni sisu

Mis on võrrand?

Võrrand on võrdsus, mis sisaldab muutujat, mille väärtust soovite leida. See väärtus peab olema selline, et selle asendamisel algsesse võrrandisse saadakse õige arvuline võrdus.

Näiteks avaldis 2 + 2 = 4 on võrdsus. Vasaku külje arvutamisel saadakse õige arvuline võrdus 4 = 4 .

Aga võrdsus 2+ x= 4 on võrrand, kuna see sisaldab muutujat x, mille väärtust saab leida. Väärtus peab olema selline, et selle väärtuse asendamisel algsesse võrrandisse saadakse õige arvuline võrdus.

Teisisõnu peame leidma väärtuse, kus võrdusmärk õigustaks selle asukohta – vasak pool peaks olema võrdne paremaga.

Võrrand 2+ x= 4 on elementaarne. Muutuv väärtus x on võrdne arvuga 2. Ükski teine ​​väärtus ei ole võrdne

Öeldakse, et number 2 on juur või võrrandi lahendus 2 + x = 4

Juur või võrrandi lahendus on muutuja väärtus, mille juures võrrandist saab tõeline arvuline võrdus.

Juure võib olla mitu või üldse mitte. lahendage võrrand tähendab selle juurte leidmist või juurte puudumise tõestamist.

Võrrandis olevat muutujat tuntakse ka kui teadmata. Võite seda vabalt nimetada, kuidas soovite. Need on sünonüümid.

Märge. Fraas "lahenda võrrand" räägib enda eest. Võrrandi lahendamine tähendab võrrandi "võrdsutamist" – selle tasakaalustamist nii, et vasak pool võrdub paremaga.

Väljendage üht teisega

Võrrandite uurimine algab traditsiooniliselt sellega, et õpitakse väljendama ühte võrdsusse kuuluvat arvu mitmete teistega. Ärme riku seda traditsiooni ja teeme sama.

Mõelge järgmisele väljendile:

8 + 2

See avaldis on arvude 8 ja 2 summa. Selle avaldise väärtus on 10

8 + 2 = 10

Saime võrdsuse. Nüüd saate väljendada mis tahes arvu sellest võrdsusest teiste samasse võrdsusse kuuluvate arvude kaudu. Näiteks väljendame arvu 2.

Arvu 2 väljendamiseks peate esitama küsimuse: "mida tuleb teha numbritega 10 ja 8, et saada number 2." On selge, et numbri 2 saamiseks peate arvust 10 lahutama arvu 8.

Nii me teemegi. Kirjutame üles arvu 2 ja võrdusmärgi kaudu ütleme, et selle arvu 2 saamiseks lahutasime arvust 10 arvu 8:

2 = 10 − 8

Arvu 2 väljendasime võrrandist 8 + 2 = 10 . Nagu näitest näha, pole selles midagi keerulist.

Võrrandite lahendamisel, eriti ühe arvu väljendamisel teistega, on mugav asendada võrdusmärk sõnaga " seal on" . Seda tuleb teha vaimselt, mitte väljendis endas.

Seega, väljendades arvu 2 võrrandist 8 + 2 = 10, saime võrdsuse 2 = 10 − 8 . Seda võrrandit saab lugeda järgmiselt:

2 seal on 10 − 8

See tähendab, märk = asendatakse sõnaga "on". Veelgi enam, võrdsust 2 = 10 − 8 saab tõlkida matemaatilisest keelest täisväärtuslikku inimkeelde. Siis saab seda lugeda nii:

Number 2 seal on vahe 10 ja 8 vahel

Number 2 seal on erinevus arvu 10 ja 8 vahel.

Kuid piirdume võrdusmärgi asendamisega sõnaga "on" ja siis me seda alati ei tee. Elementaarsetest väljenditest saab aru ilma matemaatilist keelt inimkeelde tõlkimata.

Taastame saadud võrrandi 2 = 10 − 8 algsesse olekusse:

8 + 2 = 10

Avaldame seekord arvu 8. Mida tuleks teha ülejäänud arvudega, et saada number 8? See on õige, peate arvust 10 lahutama arvu 2

8 = 10 − 2

Tagastame saadud võrrandi 8 = 10 − 2 algsesse olekusse:

8 + 2 = 10

Seekord väljendame arvu 10. Kuid selgub, et kümmet pole vaja väljendada, kuna see on juba väljendatud. Piisab vasaku ja parema osa vahetamisest, siis saame selle, mida vajame:

10 = 8 + 2

Näide 2. Vaatleme võrdsust 8 − 2 = 6

Sellest võrdsusest väljendame arvu 8. Arvu 8 väljendamiseks tuleb lisada ülejäänud kaks arvu:

8 = 6 + 2

Taastame saadud võrrandi 8 = 6 + 2 algsesse olekusse:

8 − 2 = 6

Avaldame sellest võrdsusest arvu 2. Arvu 2 väljendamiseks peame 8-st lahutama 6

2 = 8 − 6

Näide 3. Vaatleme võrrandit 3 × 2 = 6

Väljendage arvu 3. Arvu 3 väljendamiseks peate 6 jagama 2-ga

Taastame saadud võrdsuse algsesse olekusse:

3 x 2 = 6

Avaldame sellest võrdsusest arvu 2. Arvu 2 väljendamiseks tuleb 3 jagada 6-ga

Näide 4. Mõelge võrdsusele

Sellest võrdsusest väljendame arvu 15. Arvu 15 väljendamiseks tuleb arvud 3 ja 5 korrutada

15 = 3 x 5

Taastame saadud võrrandi 15 = 3 × 5 algsesse olekusse:

Sellest võrdsusest väljendame arvu 5. Arvu 5 väljendamiseks tuleb 15 jagada 3-ga

Tundmatute leidmise reeglid

Mõelge tundmatute leidmiseks mitmele reeglile. Võib-olla on need teile tuttavad, kuid pole valus neid uuesti korrata. Tulevikus võib need unustada, sest õpime võrrandeid lahendama neid reegleid rakendamata.

Tuleme tagasi esimese näite juurde, mida käsitlesime eelmises teemas, kus võrrandis 8 + 2 = 10 oli vaja väljendada arvu 2.

Võrrandis 8 + 2 = 10 on arvud 8 ja 2 liikmed ning arv 10 on summa.

Numbri 2 väljendamiseks tegime järgmist:

2 = 10 − 8

See tähendab, et 10 summast lahutage 8.

Kujutage nüüd ette, et võrrandis 8 + 2 = 10 on arvu 2 asemel muutuja x

8 + x = 10

Sel juhul saab võrrandist 8 + 2 = 10 võrrand 8 + x= 10 ja muutuja x tundmatu termin

Meie ülesandeks on leida see tundmatu termin, st lahendada võrrand 8 + x= 10. Tundmatu termini leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:

Tundmatu termini leidmiseks lahutage summast teadaolev termin.

Mida me põhimõtteliselt tegime, kui väljendasime neid kahte võrrandis 8 + 2 = 10. Termini 2 väljendamiseks lahutasime summast 10 veel ühe liikme 8

2 = 10 − 8

Ja nüüd leidke tundmatu termin x, peame summast 10 lahutama teadaoleva liikme 8:

x = 10 − 8

Kui arvutate saadud võrdsuse parema külje, saate teada, millega muutuja võrdub x

x = 2

Oleme võrrandi lahendanud. Muutuv väärtus x võrdub 2-ga. Muutuja väärtuse kontrollimiseks x saadetakse algsele võrrandile 8 + x= 10 ja asenda x. Soovitav on seda teha mis tahes lahendatud võrrandiga, kuna te ei saa olla kindel, et võrrand on õigesti lahendatud:

Tulemusena

Sama reegel kehtiks ka siis, kui tundmatu termin oleks esimene number 8.

x + 2 = 10

Selles võrrandis x on tundmatu termin, 2 on tuntud termin, 10 on summa. Tundmatu termini leidmiseks x, peate summast 10 lahutama teadaoleva liikme 2

x = 10 − 2

x = 8

Tuleme tagasi eelmisest teemast teise näite juurde, kus võrrandis 8 − 2 = 6 oli vaja väljendada arvu 8.

Võrrandis 8 − 2 = 6 on arv 8 minuend, arv 2 on alamosa, arv 6 on erinevus

Numbri 8 väljendamiseks tegime järgmist:

8 = 6 + 2

See tähendab, et lisage vahe 6 ja lahutatud 2.

Kujutage nüüd ette, et võrrandis 8 − 2 = 6 on arvu 8 asemel muutuja x

x − 2 = 6

Sel juhul muutuja x võtab endale rolli nn tundmatu minuend

Tundmatu minuendi leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:

Tundmatu minuendi leidmiseks tuleb erinevusele lisada alamosa.

Mida me tegime, kui väljendasime arvu 8 võrrandis 8 − 2 = 6. Minuendi 8 väljendamiseks lisasime erinevusele 6 alaosa 2.

Ja nüüd, et leida tundmatu minuend x, peame erinevusele 6 lisama alamlahendi 2

x = 6 + 2

Kui arvutate parema külje, saate teada, millega muutuja võrdub x

x = 8

Kujutage nüüd ette, et võrrandis 8 − 2 = 6 on arvu 2 asemel muutuja x

8 − x = 6

Sel juhul muutuja x võtab rolli tundmatu alamlahend

Tundmatu alamjaotuse leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:

Tundmatu alamosa leidmiseks peate lahutama erinevuse minuendist.

Nii tegime, kui väljendasime arvu 2 võrrandis 8 − 2 = 6. Arvu 2 väljendamiseks lahutasime taandatud 8-st erinevuse 6.

Ja nüüd, et leida tundmatu alamosa x, peate jällegi vähendatud 8-st lahutama vahe 6

x = 8 − 6

Arvutage parem pool ja leidke väärtus x

x = 2

Tuleme tagasi eelmisest teemast kolmanda näite juurde, kus võrrandis 3 × 2 = 6 püüdsime väljendada arvu 3.

Võrrandis 3 × 2 = 6 on arv 3 korrutis, arv 2 on kordaja, arv 6 on korrutis

Numbri 3 väljendamiseks tegime järgmist:

See tähendab, et jagage korrutis 6 teguriga 2.

Kujutage nüüd ette, et võrrandis 3 × 2 = 6 on arvu 3 asemel muutuja x

x×2=6

Sel juhul muutuja x võtab rolli tundmatu korrutis.

Tundmatu kordaja leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:

Tundmatu kordaja leidmiseks peate korrutise teguriga jagama.

Mida me tegime, kui väljendasime võrrandist 3 × 2 = 6 arvu 3. Jagasime korrutise 6 koefitsiendiga 2.

Ja nüüd tundmatu kordaja leidmiseks x, peate korrutis 6 jagama koefitsiendiga 2.

Parema poole arvutamine võimaldab meil leida muutuja väärtuse x

x = 3

Sama reegel kehtib ka muutuja puhul x asub kordaja, mitte kordaja asemel. Kujutage ette, et võrrandis 3 × 2 = 6 on arvu 2 asemel muutuja x .

Sel juhul muutuja x võtab rolli tundmatu kordaja. Tundmatu teguri leidmiseks on ette nähtud sama, mis tundmatu kordaja leidmisel, nimelt korrutise jagamine teadaoleva teguriga:

Tundmatu teguri leidmiseks peate korrutise korrutisega jagama.

Mida me tegime, kui väljendasime võrrandist 3 × 2 = 6 arvu 2. Seejärel jagasime arvu 2 saamiseks korrutise 6 korrutisega 3.

Ja nüüd tundmatu teguri leidmiseks x jagasime 6 korrutise kordajaga 3.

Võrrandi parema külje arvutamine võimaldab teil teada saada, millega x on võrdne

x = 2

Korrutajat ja kordajat koos nimetatakse teguriteks. Kuna kordaja ja teguri leidmise reeglid on samad, saame sõnastada üldreegli tundmatu teguri leidmiseks:

Tundmatu teguri leidmiseks peate jagama toote teadaoleva teguriga.

Näiteks lahendame võrrandi 9 × x= 18. Muutuv x on tundmatu tegur. Selle tundmatu teguri leidmiseks jagage korrutis 18 teadaoleva teguriga 9

Lahendame võrrandi x× 3 = 27 . Muutuv x on tundmatu tegur. Selle tundmatu teguri leidmiseks jagage korrutis 27 teadaoleva teguriga 3

Tuleme tagasi eelmise teema neljanda näite juurde, kus võrdsuses oli vaja väljendada arvu 15. Selles võrdsuses on arv 15 dividend, arv 5 jagaja, arv 3 jagatis.

Numbri 15 väljendamiseks tegime järgmist:

15 = 3 x 5

See tähendab, et korrutage 3 jagatis 5 jagajaga.

Kujutage nüüd ette, et võrdsuses on arvu 15 asemel muutuja x

Sel juhul muutuja x võtab rolli teadmata dividend.

Tundmatu dividendi leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:

Tundmatu dividendi leidmiseks tuleb jagatis korrutada jagajaga.

Mida me ka tegime, kui väljendasime võrdsusest arvu 15. Arvu 15 väljendamiseks korrutasime jagatise 3 jagajaga 5.

Ja nüüd, et leida tundmatu dividend x, peate korrutama 3 jagatise 5 jagajaga

x= 3 × 5

x .

x = 15

Kujutage nüüd ette, et võrdsuses on arvu 5 asemel muutuja x .

Sel juhul muutuja x võtab rolli tundmatu jagaja.

Tundmatu jagaja leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:

Mida me tegime, kui väljendasime võrdsusest arvu 5. Arvu 5 väljendamiseks jagasime dividendi 15 jagatisega 3.

Ja nüüd tundmatu jagaja leidmiseks x, peate jagama dividendi 15 jagatisega 3

Arvutagem saadud võrdsuse parem pool. Nii saame teada, millega muutuja on võrdne x .

x = 5

Nii et tundmatute leidmiseks uurisime järgmisi reegleid:

• Tundmatu termini leidmiseks peate summast lahutama teadaoleva liikme;
• Tundmatu minuendi leidmiseks tuleb erinevusele lisada alamosa;
• Tundmatu alamosa leidmiseks peate lahutama erinevuse minuendist;
• Tundmatu kordaja leidmiseks peate korrutise teguriga jagama;
• Tundmatu teguri leidmiseks peate korrutise korrutisega jagama;
• Tundmatu dividendi leidmiseks tuleb jagatis korrutada jagajaga;
• Tundmatu jagaja leidmiseks tuleb dividend jagada jagatisega.

Komponendid

Komponentideks nimetame võrdsuses sisalduvaid numbreid ja muutujaid

Niisiis, lisamise komponendid on tingimustele ja summa

Lahutamise komponendid on minuend, subtrahend ja erinevus

Korrutamise komponendid on korrutis, faktor ja tööd

Jagamise komponendid on dividend, jagaja ja jagatis.

Olenevalt sellest, milliste komponentidega tegu, rakenduvad vastavad reeglid tundmatute leidmiseks. Oleme neid reegleid uurinud eelmises teemas. Võrrandite lahendamisel on soovitav neid reegleid peast teada.

Näide 1. Leidke võrrandi 45+ juur x = 60

45 – tähtaeg, x on tundmatu termin, 60 on summa. Tegeleme lisakomponentidega. Tuletame meelde, et tundmatu termini leidmiseks peate summast lahutama teadaoleva termini:

x = 60 − 45

Arvutage parem pool, saage väärtus x võrdne 15-ga

x = 15

Seega on võrrandi juur 45 + x= 60 võrdub 15.

Kõige sagedamini tuleb tundmatu termin taandada vormile, milles seda saaks väljendada.

Näide 2. lahendage võrrand

Erinevalt eelmisest näitest ei saa siin tundmatut liiget kohe väljendada, kuna see sisaldab koefitsienti 2. Meie ülesanne on viia see võrrand kujule, milles saaksime väljendada x

Selles näites käsitleme liitmise komponente - termineid ja summat. 2 x on esimene liige, 4 on teine ​​liige, 8 on summa.

Sel juhul on termin 2 x sisaldab muutujat x. Pärast muutuja väärtuse leidmist x termin 2 x võtab teistsuguse kuju. Seetõttu on termin 2 x võib täiesti võtta tundmatu terminina:

Nüüd rakendame tundmatu termini leidmise reeglit. Lahutage summast teadaolev termin:

Arvutame saadud võrrandi parema külje:

Meil on uus võrrand. Nüüd käsitleme korrutamise komponente: kordaja, kordaja ja korrutis. 2 - kordaja, x- kordaja, 4 - korrutis

Samal ajal muutuja x ei ole lihtsalt tegur, vaid tundmatu tegur

Selle tundmatu teguri leidmiseks jagage korrutis korrutisega:

Arvutage parem pool, saage muutuja väärtus x

Leitud juure kontrollimiseks saatke see algsesse võrrandisse ja asendage see x

Näide 3. lahendage võrrand 3x+ 9x+ 16x= 56

Väljendage tundmatut x see on keelatud. Kõigepealt peate selle võrrandi viima kujule, milles seda saaks väljendada.

Selle võrrandi vasakul küljel esitame:

Meil on tegemist korrutamise komponentidega. 28 - kordaja, x- kordaja, 56 - korrutis. Kus x on tundmatu tegur. Tundmatu teguri leidmiseks jagage korrutis korrutisega:

Siit x on 2

Ekvivalentvõrrandid

Eelmises näites võrrandi lahendamisel 3x + 9x + 16x = 56 , oleme võrrandi vasakul küljel andnud sarnased terminid. Tulemuseks on uus võrrand 28 x= 56 . vana võrrand 3x + 9x + 16x = 56 ja saadud uus võrrand 28 x= 56 helistati samaväärsed võrrandid sest nende juured on samad.

Võrrandid on samaväärsed, kui nende juured on samad.

Vaatame üle. Võrrandi jaoks 3x+ 9x+ 16x= 56 leidsime juure, mis on võrdne 2-ga. Asendage see juur kõigepealt võrrandisse 3x+ 9x+ 16x= 56 ja seejärel võrrandisse 28 x= 56 , mis tulenes eelmise võrrandi vasakpoolsest sarnaste liikmete taandamisest. Peame saama õiged arvulised võrdsused

Vastavalt toimingute järjekorrale tehakse kõigepealt korrutamine:

Asendage juur 2 teises võrrandis 28 x= 56

Näeme, et mõlemal võrrandil on samad juured. Seega võrrandid 3x+ 9x+ 16x= 6 ja 28 x= 56 on tõepoolest samaväärsed.

Võrrandi lahendamiseks 3x+ 9x+ 16x= 56 oleme kasutanud ühte sarnaste terminite vähendamist. Võrrandi õige identiteedi teisendus võimaldas meil saada samaväärse võrrandi 28 x= 56 , mida on lihtsam lahendada.

Identsetest teisendustest saame hetkel ainult murde vähendada, sarnaseid termineid tuua, ühistegurit sulgudest välja võtta ja ka sulgusid avada. On ka teisi muutusi, millest peaksite teadma. Kuid võrrandite identsete teisenduste üldise idee saamiseks piisab meie uuritud teemadest.

Vaatleme mõningaid teisendusi, mis võimaldavad meil saada samaväärse võrrandi

Kui lisate võrrandi mõlemale poolele sama arvu, saate võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.

ja sarnaselt:

Kui võrrandi mõlemalt poolelt lahutada sama arv, saadakse võrrand, mis on võrdne antud võrrandiga.

Teisisõnu, võrrandi juur ei muutu, kui võrrandile liidetakse (või lahutatakse) sama arv.

Näide 1. lahendage võrrand

Lahutage võrrandi mõlemast küljest arv 10

Saime võrrandi 5 x= 10. Meil on tegemist korrutamise komponentidega. Tundmatu teguri leidmiseks x, jagage korrutis 10 teadaoleva teguriga 5.

ja selle asemel asendada x leitud väärtus 2

Saime õige numbri. Seega on võrrand õige.

Võrrandi lahendamine me lahutasime võrrandi mõlemast küljest arvu 10. Tulemuseks on samaväärne võrrand. Selle võrrandi juur, nagu võrrandid on samuti võrdne 2-ga

Näide 2. Lahenda võrrand 4( x+ 3) = 16

Lahutage võrrandi mõlemalt küljelt arv 12

Vasak pool on 4 x ja paremal pool number 4

Saime võrrandi 4 x= 4. Meil on tegemist korrutamise komponentidega. Tundmatu teguri leidmiseks x, jagage korrutis 4 teadaoleva teguriga 4

Läheme tagasi algse võrrandi 4 ( x+ 3) = 16 ja selle asemel asendada x leitud väärtus 1

Saime õige numbri. Seega on võrrand õige.

Võrrandi 4 lahendamine ( x+ 3) = 16 oleme võrrandi mõlemalt poolelt lahutanud arvu 12. Selle tulemusena saime samaväärse võrrandi 4 x= 4. Selle võrrandi juur ja ka võrrandid 4( x+ 3) = 16 on samuti võrdne 1-ga

Näide 3. lahendage võrrand

Laiendame võrrandi vasakul küljel olevaid sulgusid:

Liidame võrrandi mõlemale poolele numbri 8

Esitame sarnased terminid võrrandi mõlemas osas:

Vasak pool on 2 x ja paremal pool number 9

Saadud võrrandis 2 x= 9 väljendame tundmatut terminit x

Tagasi algse võrrandi juurde ja selle asemel asendada x leitud väärtus 4,5

Saime õige numbri. Seega on võrrand õige.

Võrrandi lahendamine lisasime võrrandi mõlemale poolele arvu 8. Selle tulemusena saime samaväärse võrrandi. Selle võrrandi juur, nagu võrrandid on samuti võrdne 4,5-ga

Järgmine reegel, mis võimaldab saada samaväärse võrrandi, on järgmine

Kui võrrandis kanname liikme ühest osast teise, muutes selle märki, siis saame võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.

See tähendab, et võrrandi juur ei muutu, kui tõstame liikme võrrandi ühest osast teise, muutes selle märki. See omadus on võrrandite lahendamisel üks olulisemaid ja üks sagedamini kasutatavaid.

Mõelge järgmisele võrrandile:

Selle võrrandi juur on 2. Asendage selle asemel x see juur ja kontrollige, kas on saadud õige arvuline võrdsus

Selgub õige võrdsus. Nii et arv 2 on tegelikult võrrandi juur.

Proovime nüüd katsetada selle võrrandi tingimusi, kandes neid ühest osast teise, muutes märke.

Näiteks termin 3 x mis asub võrrandi vasakul küljel. Liigutame selle paremale küljele, muutes märgi vastupidiseks:

Selgus võrrand 12 = 9x − 3x . selle võrrandi paremal küljel:

x on tundmatu tegur. Leiame selle teadaoleva teguri:

Siit x= 2. Nagu näete, pole võrrandi juur muutunud. Seega võrrandid 12 + 3 x = 9x ja 12 = 9x − 3x on samaväärsed.

Tegelikult on see teisendus eelmise teisenduse lihtsustatud meetod, kus võrrandi mõlemale poolele liideti (või lahutati) sama arv.

Me ütlesime, et võrrandis 12 + 3 x = 9x termin 3 x viidi märgi muutmisega paremale poole. Tegelikkuses juhtus järgmine: mõiste 3 lahutati võrrandi mõlemast poolest x

Seejärel anti sarnased terminid vasakule poole ja saadi võrrand 12 = 9x − 3x. Seejärel anti sarnased terminid uuesti, kuid paremal pool, ja saadi võrrand 12 = 6 x.

Kuid nn "ülekanne" on selliste võrrandite jaoks mugavam, mistõttu on see nii laialt levinud. Võrrandite lahendamisel kasutame sageli seda konkreetset teisendust.

Võrrandid 12 + 3 on samuti samaväärsed x= 9x ja 3x - 9x= −12 . Seekord võrrandis 12 + 3 x= 9x 12. termin viidi paremale poole ja 9. termin x vasakule. Ei tasu unustada, et üleandmise käigus muudeti nende tingimuste märke

Järgmine reegel, mis võimaldab teil saada samaväärse võrrandi, on järgmine:

Kui võrrandi mõlemad osad korrutada või jagada sama arvuga, mis ei ole võrdne nulliga, saadakse võrrand, mis on võrdne antud arvuga.

Teisisõnu, võrrandi juured ei muutu, kui mõlemad pooled korrutada või jagada sama arvuga. Seda toimingut kasutatakse sageli siis, kui peate lahendama murdosavaldisi sisaldava võrrandi.

Esiteks kaaluge näiteid, kus võrrandi mõlemad pooled korrutatakse sama arvuga.

Näide 1. lahendage võrrand

Murdlauseid sisaldavate võrrandite lahendamisel on esmalt tavaks seda võrrandit lihtsustada.

Antud juhul on meil tegemist just sellise võrrandiga. Selle võrrandi lihtsustamiseks saab mõlemad pooled korrutada 8-ga:

Me mäletame, et , peate korrutama antud murdosa lugeja selle arvuga. Meil on kaks murdu ja igaüks neist korrutatakse arvuga 8. Meie ülesanne on korrutada murdude lugejad selle arvuga 8

Nüüd juhtub kõige huvitavam. Mõlema murru lugejad ja nimetajad sisaldavad koefitsienti 8, mida saab vähendada 8 võrra. See võimaldab meil vabaneda murdosavaldisest:

Selle tulemusena jääb alles kõige lihtsam võrrand

Noh, on lihtne arvata, et selle võrrandi juur on 4

x leitud väärtus 4

Selgub õige arvuline võrdsus. Seega on võrrand õige.

Selle võrrandi lahendamisel korrutasime selle mõlemad osad 8-ga. Selle tulemusena saime võrrandi. Selle võrrandi juur, nagu ka võrrandid, on 4. Seega on need võrrandid samaväärsed.

Kordaja, millega võrrandi mõlemad osad korrutatakse, kirjutatakse tavaliselt võrrandiosa ette, mitte selle järele. Niisiis, võrrandi lahendamisel korrutasime mõlemad osad koefitsiendiga 8 ja saime järgmise kirje:

Sellest võrrandi juur pole muutunud, kuid kui me oleksime seda koolis olles teinud, oleksime saanud märkuse, kuna algebras on tavaks kirjutada tegur enne avaldist, millega see korrutatakse. Seetõttu on võrrandi mõlema poole korrutamine koefitsiendiga 8 soovitav ümber kirjutada järgmiselt:

Näide 2. lahendage võrrand

Vasakpoolsel küljel saab koefitsiente 15 vähendada 15 võrra ja paremal küljel saab tegureid 15 ja 5 vähendada 5 võrra.

Avame võrrandi paremal küljel olevad sulud:

Liigutame terminit x võrrandi vasakult küljelt paremale poole, muutes märki. Ja võrrandi paremalt küljelt olev termin 15 kantakse üle vasakule, muutes taas märki:

Toome mõlemas osas sarnased terminid, saame

Meil on tegemist korrutamise komponentidega. Muutuv x

Tagasi algse võrrandi juurde ja selle asemel asendada x leitud väärtus 5

Selgub õige arvuline võrdsus. Seega on võrrand õige. Selle võrrandi lahendamisel korrutasime mõlemad pooled 15-ga. Lisaks, sooritades identseid teisendusi, saime võrrandi 10 = 2 x. Selle võrrandi juur, nagu võrrandid võrdub 5-ga. Seega on need võrrandid samaväärsed.

Näide 3. lahendage võrrand

Vasakul pool saab vähendada kahte kolmekordset ja parem külg on 18

Lihtsaim võrrand jääb alles. Meil on tegemist korrutamise komponentidega. Muutuv x on tundmatu tegur. Leiame selle teadaoleva teguri:

Pöördume tagasi algse võrrandi juurde ja asendame selle asemel x leitud väärtus 9

Selgub õige arvuline võrdsus. Seega on võrrand õige.

Näide 4. lahendage võrrand

Korrutage võrrandi mõlemad pooled 6-ga

Avage võrrandi vasakul küljel olevad sulud. Paremal küljel saab teguri 6 tõsta lugejani:

Vähendame võrrandi mõlemas osas seda, mida saab taandada:

Kirjutame üle selle, mis meil üle jäi:

Kasutame tingimuste ülekandmist. Tundmatut sisaldavad terminid x, rühmitame võrrandi vasakule küljele ja tundmatutest vabad terminid paremale:

Esitame mõlemas osas sarnased terminid:

Nüüd leiame muutuja väärtuse x. Selleks jagame korrutise 28 teadaoleva teguriga 7

Siit x= 4.

Tagasi algse võrrandi juurde ja selle asemel asendada x leitud väärtus 4

Selgus õige arvuline võrdsus. Seega on võrrand õige.

Näide 5. lahendage võrrand

Võimaluse korral avame sulud võrrandi mõlemas osas:

Korrutage võrrandi mõlemad pooled 15-ga

Avame võrrandi mõlemas osas sulud:

Vähendame võrrandi mõlemas osas, mida saab taandada:

Kirjutame üle selle, mis meil üle jäi:

Avame võimaluse korral sulud:

Kasutame tingimuste ülekandmist. Tundmatut sisaldavad terminid on rühmitatud võrrandi vasakule küljele ja tundmatutest vabad terminid on rühmitatud paremale poole. Ärge unustage, et ülekande ajal muudavad terminid oma märgid vastupidiseks:

Esitame sarnased terminid võrrandi mõlemas osas:

Leiame väärtuse x

Saadud vastuses saate valida kogu osa:

Pöördume tagasi algse võrrandi juurde ja asendame selle asemel x leitud väärtus

See osutub üsna tülikaks väljendiks. Kasutame muutujaid. Võrdsuse vasaku poole paneme muutujasse A, ja võrdsuse parem pool muutujaks B

Meie ülesanne on tagada, et vasak pool oleks võrdne parema küljega. Teisisõnu tõestage võrdsust A = B

Leidke muutuja A avaldise väärtus.

Muutuv väärtus AGA võrdub . Nüüd leiame muutuja väärtuse B. See tähendab meie võrdsuse parema poole väärtust. Kui see on võrdne , lahendatakse võrrand õigesti

Näeme, et muutuja väärtus B, samuti muutuja A väärtus on . See tähendab, et vasak pool on võrdne parema küljega. Sellest järeldame, et võrrand on õigesti lahendatud.

Nüüd proovime võrrandi mõlemat poolt mitte korrutada sama arvuga, vaid jagada.

Mõelge võrrandile 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Lahendame selle tavapärasel viisil: grupeerime võrrandi vasakusse serva tundmatuid sisaldavad terminid, paremale aga tundmatute vabad. Edasi, tehes teadaolevaid identseid teisendusi, leiame väärtuse x

Asendage leitud väärtus 2 asemel x algsesse võrrandisse:

Nüüd proovime eraldada kõik võrrandi liikmed 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 Märgime, et selle võrrandi kõigil liikmetel on ühine tegur 2. Jagame iga liikme sellega:

Vähendame igas terminis:

Kirjutame üle selle, mis meil üle jäi:

Lahendame selle võrrandi tuntud identsete teisenduste abil:

Saime juure 2 . Seega võrrandid 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 ja 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 on samaväärsed.

Võrrandi mõlema poole jagamine sama arvuga võimaldab vabastada koefitsiendist tundmatu. Eelmises näites, kui saime võrrandi 7 x= 14 , oli meil vaja korrutis 14 jagada teadaoleva koefitsiendiga 7. Kui aga vabastaksime tundmatu vasakpoolsest koefitsiendist 7, leiaks juur kohe. Selleks piisas mõlema osa jagamisest 7-ga

Kasutame seda meetodit ka sageli.

Korrutage miinus ühega

Kui võrrandi mõlemad pooled korrutada miinus ühega, saadakse võrrand, mis on võrdne antud võrrandiga.

See reegel tuleneb asjaolust, et võrrandi mõlema osa korrutamisel (või jagamisel) sama arvuga selle võrrandi juur ei muutu. See tähendab, et juur ei muutu, kui selle mõlemad osad korrutada -1-ga.

See reegel võimaldab muuta kõigi võrrandis sisalduvate komponentide märke. Milleks see mõeldud on? Jällegi samaväärse võrrandi saamiseks, mida on lihtsam lahendada.

Mõelge võrrandile. Mis on selle võrrandi juur?

Liidame võrrandi mõlemale poolele numbri 5

Siin on sarnased terminid:

Ja nüüd meenutagem. Mis on võrrandi vasak pool. See on miinus ühe ja muutuja korrutis x

See tähendab, et miinus muutuja ees x ei viita muutujale endale x, vaid ühikule, mida me ei näe, kuna koefitsienti 1 on tavaks mitte kirjutada. See tähendab, et võrrand näeb tegelikult välja selline:

Meil on tegemist korrutamise komponentidega. Leidma X, peate korrutise −5 jagama teadaoleva teguriga −1 .

või jagage võrrandi mõlemad pooled −1-ga, mis on veelgi lihtsam

Seega on võrrandi juur 5. Kontrollimiseks asendame selle algse võrrandiga. Ärge unustage, et algses võrrandis on miinus muutuja ees x viitab nähtamatule üksusele

Selgus õige arvuline võrdsus. Seega on võrrand õige.

Nüüd proovime võrrandi mõlemad pooled korrutada miinus ühega:

Pärast sulgude avamist moodustatakse avaldis vasakule küljele ja parem külg on 10

Selle võrrandi, nagu ka võrrandi, juur on 5

Seega on võrrandid samaväärsed.

Näide 2. lahendage võrrand

Selles võrrandis on kõik komponendid negatiivsed. Positiivsete komponentidega on mugavam töötada kui negatiivsetega, seega muudame kõigi võrrandis sisalduvate komponentide märke. Selleks korrutage selle võrrandi mõlemad pooled -1-ga.

On selge, et pärast −1-ga korrutamist muudab iga arv oma märgi vastupidiseks. Seetõttu ei kirjeldata detailselt just −1-ga korrutamise ja sulgude avamise protseduuri, vaid kirjutatakse kohe üles vastasmärkidega võrrandi komponendid.

Seega saab võrrandi korrutamise -1-ga üksikasjalikult kirjutada järgmiselt:

või võite lihtsalt muuta kõigi komponentide märke:

Tuleb välja sama, kuid erinevus seisneb selles, et hoiame kokku aega.

Seega, korrutades võrrandi mõlemad pooled -1-ga, saame võrrandi. Lahendame selle võrrandi. Lahutage mõlemast osast arv 4 ja jagage mõlemad osad 3-ga

Kui juur on leitud, kirjutatakse muutuja tavaliselt vasakule ja selle väärtus paremale, mida me ka tegime.

Näide 3. lahendage võrrand

Korrutage võrrandi mõlemad pooled -1-ga. Seejärel muudavad kõik komponendid oma märgid vastupidiseks:

Lahutage saadud võrrandi mõlemast küljest 2 x ja lisage sarnased terminid:

Lisame võrrandi mõlemale osale ühtsuse ja anname sarnased terminid:

Võrdsus nulliga

Hiljuti saime teada, et kui võrrandis kanname liikme ühest osast teise, muutes selle märki, saame võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.

Ja mis saab siis, kui me viime ühest osast teise üle mitte ühe termini, vaid kõik tingimused? Eks selles osas, kust kõik terminid võeti, jääb nulliks. Teisisõnu, ei jää midagi järele.

Võtame näitena võrrandi. Lahendame selle võrrandi, nagu ikka - rühmitame ühte ossa tundmatuid sisaldavad terminid, teises jätame arvulised terminid tundmatutest vabaks. Edasi, tehes teadaolevaid identseid teisendusi, leiame muutuja väärtuse x

Nüüd proovime sama võrrandit lahendada, võrdsustades kõik selle komponendid nulliga. Selleks kanname kõik terminid paremalt vasakule, muutes märke:

Siin on sarnased terminid vasakul küljel:

Liidame mõlemale osale 77 ja jagame mõlemad osad 7-ga

Alternatiiv tundmatute leidmise reeglitele

Ilmselgelt, teades võrrandite identseid teisendusi, ei saa pähe õppida tundmatute leidmise reegleid.

Näiteks võrrandist tundmatu leidmiseks jagasime korrutise 10 teadaoleva teguriga 2

Kuid kui võrrandis jagatakse mõlemad osad 2-ga, leitakse kohe juur. Võrrandi vasakul küljel vähendatakse tegurit 2 lugejas ja tegurit 2 nimetajas 2 võrra. Ja parem pool on 5

Lahendasime vormi võrrandid, väljendades tundmatut terminit:

Kuid võite kasutada identseid teisendusi, mida oleme täna uurinud. Võrrandis saab liiget 4 nihutada paremale, muutes märki:

Võrrandi vasakul poolel vähendatakse kahte kahekümne võrra. Parem pool on võrdne 2-ga. Seega .

Või võite võrrandi mõlemast küljest lahutada 4. Siis saate järgmise:

Kujuvõrrandite puhul on mugavam jagada korrutis teadaoleva teguriga. Võrdleme mõlemat lahendust:

Esimene lahendus on palju lühem ja korralikum. Teist lahendust saab oluliselt lühendada, kui teete jaotuse oma peas.

Siiski peate teadma mõlemat meetodit ja alles seejärel kasutama seda, mis teile kõige rohkem meeldib.

Kui juuri on mitu

Võrrandil võib olla mitu juurt. Näiteks võrrand x(x + 9) = 0-l on kaks juurt: 0 ja −9 .

Võrrandis x(x + 9) = 0 oli vaja leida selline väärtus x mille puhul vasak pool oleks võrdne nulliga. Selle võrrandi vasak pool sisaldab avaldisi x ja (x + 9), mis on tegurid. Korrutiseseadustest teame, et korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga (kas esimene tegur või teine ​​tegur).

See tähendab võrrandis x(x + 9) = 0 võrdsus saavutatakse, kui x on null või (x + 9) saab olema null.

x= 0 või x + 9 = 0

Võrdsustades mõlemad avaldised nulliga, leiame võrrandi juured x(x + 9) = 0 . Esimene juur, nagu näitest näha, leiti kohe. Teise juure leidmiseks tuleb lahendada elementaarvõrrand x+ 9 = 0 . Lihtne on arvata, et selle võrrandi juur on −9. Kontroll näitab, et juur on õige:

−9 + 9 = 0

Näide 2. lahendage võrrand

Sellel võrrandil on kaks juurt: 1 ja 2. Võrrandi vasak pool on avaldiste korrutis ( x− 1) ja ( x– 2) . Ja korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga (või tegur ( x− 1) või tegur ( x − 2) ).

Otsime üles x mille all on väljendid ( x− 1) või ( x– 2) kaovad:

Asendame leitud väärtused omakorda algsesse võrrandisse ja veendume, et nende väärtuste puhul on vasak pool võrdne nulliga:

Kui juuri on lõpmatult palju

Võrrandil võib olla lõpmatult palju juuri. See tähendab, et asendades sellisesse võrrandisse suvalise arvu, saame õige arvulise võrdsuse.

Näide 1. lahendage võrrand

Selle võrrandi juur on mis tahes arv. Kui avate võrrandi vasakpoolses servas olevad sulud ja tuuakse sarnased terminid, saate võrdsuse 14 \u003d 14. See võrdsus saavutatakse mis tahes x

Näide 2. lahendage võrrand

Selle võrrandi juur on mis tahes arv. Kui avate võrrandi vasakul küljel olevad sulud, saate võrdsuse 10x + 12 = 10x + 12. See võrdsus saavutatakse mis tahes x

Kui juuri pole

Juhtub ka seda, et võrrandil pole üldse lahendeid, see tähendab, et sellel pole juuri. Näiteks võrrandil pole juuri, sest mis tahes väärtuse korral x, ei võrdu võrrandi vasak pool parema poolega. Näiteks lase . Siis saab võrrand järgmise kuju

Näide 2. lahendage võrrand

Laiendame võrrandi vasakul küljel olevaid sulgusid:

Siin on sarnased terminid:

Näeme, et vasak pool ei võrdu paremaga. Ja nii on see iga väärtuse puhul y. Näiteks lase y = 3 .

Tähtvõrrandid

Võrrand võib sisaldada mitte ainult muutujatega numbreid, vaid ka tähti.

Näiteks kiiruse leidmise valem on sõnasõnaline võrrand:

See võrrand kirjeldab keha kiirust ühtlaselt kiirendatud liikumisel.

Kasulik oskus on oskus väljendada mis tahes tähtvõrrandis sisalduvat komponenti. Näiteks võrrandist kauguse määramiseks peate väljendama muutujat s .

Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga t

Muutujad paremal t võrra vähendama t

Saadud võrrandis vahetatakse vasak ja parem osa:

Oleme saanud kauguse leidmise valemi, mida varem uurisime.

Proovime võrrandist määrata aega. Selleks peate väljendama muutujat t .

Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga t

Muutujad paremal t võrra vähendama t ja kirjutame üle, mis meil üle jääb:

Saadud võrrandis v × t = s jagage mõlemad osad v

Muutujad vasakul v võrra vähendama v ja kirjutame üle, mis meil üle jääb:

Oleme saanud aja määramise valemi, mida varem uurisime.

Oletame, et rongi kiirus on 50 km/h

v= 50 km/h

Ja vahemaa on 100 km

s= 100 km

Siis on kiri järgmises vormis

Sellest võrrandist leiate aja. Selleks pead oskama muutujat väljendada t. Tundmatu jagaja leidmise reegli abil saab dividendi jagatisega jagada ja seega määrata muutuja väärtuse t

või võite kasutada identseid teisendusi. Kõigepealt korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga t

Seejärel jagage mõlemad osad 50-ga

Näide 2 x

Lahutage võrrandi mõlemast küljest a

Jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga b

a + bx = c, siis on meil valmis lahendus. Piisab, kui asendada sellesse vajalikud väärtused. Need väärtused, mis asendatakse tähtedega a, b, c helistas parameetrid. Ja vormi võrrandid a + bx = c helistas võrrand parameetritega. Sõltuvalt parameetritest muutub juur.

Lahenda võrrand 2 + 4 x= 10. See näeb välja nagu sõnasõnaline võrrand a + bx = c. Identsete teisenduste tegemise asemel võime kasutada valmislahendust. Võrdleme mõlemat lahendust:

Näeme, et teine ​​lahendus on palju lihtsam ja lühem.

Valmis lahenduse jaoks peate tegema väikese märkuse. Parameeter b ei tohi olla null (b ≠ 0), kuna nulliga jagamine pole lubatud.

Näide 3. Antud sõnasõnaline võrrand. Väljendage sellest võrrandist x

Avame võrrandi mõlemas osas sulud

Kasutame tingimuste ülekandmist. Muutujat sisaldavad parameetrid x, rühmitame võrrandi vasakule küljele ja sellest muutujast vabad parameetrid paremale.

Vasakul küljel võtame teguri välja x

Jagage mõlemad osad avaldisteks a-b

Vasakul küljel saab lugejat ja nimetajat vähendada a-b. Seega on muutuja lõpuks väljendatud x

Kui nüüd kohtame vormi võrrandit a(x − c) = b(x + d), siis on meil valmis lahendus. Piisab, kui asendada sellesse vajalikud väärtused.

Oletame, et meile on antud võrrand 4(x - 3) = 2(x+ 4) . See näeb välja nagu võrrand a(x − c) = b(x + d). Lahendame selle kahel viisil: kasutades identseid teisendusi ja kasutades valmislahendust:

Mugavuse huvides võtame võrrandist välja 4(x - 3) = 2(x+ 4) parameetrite väärtused a, b, c, d . See võimaldab meil asendamisel mitte teha vigu:

Nagu eelmises näites, ei tohiks nimetaja siin olla võrdne nulliga ( a - b ≠ 0) . Kui kohtame vormi võrrandit a(x − c) = b(x + d) milles parameetrid a ja b on samad, võime ilma seda lahendamata öelda, et sellel võrrandil pole juuri, kuna identsete arvude erinevus on null.

Näiteks võrrand 2 (x - 3) = 2 (x + 4) on vormi võrrand a(x − c) = b(x + d). Võrrandis 2 (x - 3) = 2 (x + 4) valikuid a ja b sama. Kui hakkame seda lahendama, siis jõuame järeldusele, et vasak pool ei võrdu paremaga:

Näide 4. Antud sõnasõnaline võrrand. Väljendage sellest võrrandist x

Toome võrrandi vasaku poole ühise nimetaja juurde:

Korrutage mõlemad pooled arvuga a

Vasakul pool x võtke see sulgudest välja

Jagame mõlemad osad avaldisega (1 − a)

Lineaarvõrrandid ühe tundmatuga

Selles õppetükis käsitletud võrrandeid nimetatakse esimese astme lineaarvõrrandid ühe tundmatuga.

Kui võrrand on antud esimesele astmele, ei sisalda jagamist tundmatuga ega sisalda ka juure tundmatust, siis võib seda nimetada lineaarseks. Me pole veel kraade ja juuri õppinud, nii et oma elu mitte keerulisemaks muutmiseks mõistame sõna "lineaarne" kui "lihtsust".

Enamik selles õppetükis lahendatud võrrandeid taandati kõige lihtsamaks võrrandiks, milles korrutis tuli jagada teadaoleva teguriga. Näiteks võrrand 2( x+ 3) = 16 . Lahendame selle ära.

Avame võrrandi vasakul küljel olevad sulud, saame 2 x+ 6 = 16. Liigutame liiget 6 märki muutes paremale. Siis saame 2 x= 16 − 6. Arvutage parem külg, saame 2 x= 10. Et leida x, jagame korrutise 10 teadaoleva teguriga 2. Seega x = 5.

Võrrand 2( x+ 3) = 16 on lineaarne. See taandati võrrandiks 2 x= 10 , mille juure leidmiseks oli vaja korrutis jagada teadaoleva teguriga. Seda lihtsat võrrandit nimetatakse esimese astme lineaarvõrrand ühe tundmatuga kanoonilisel kujul. Sõna "kanooniline" on sünonüüm sõnadega "lihtne" või "tavaline".

Esimese astme lineaarvõrrandit ühe tundmatuga kanoonilisel kujul nimetatakse vormivõrrandiks kirves = b.

Meie võrrand 2 x= 10 on esimese astme lineaarvõrrand ühe tundmatuga kanoonilisel kujul. Sellel võrrandil on esimene aste, üks tundmatu, see ei sisalda jagamist tundmatuga ega sisalda juure tundmatust ning see esitatakse kanoonilisel kujul, st kõige lihtsamal kujul, milles on lihtne määrata väärtus x. Parameetrite asemel a ja b meie võrrand sisaldab numbreid 2 ja 10. Kuid sarnane võrrand võib sisaldada ka teisi numbreid: positiivseid, negatiivseid või nulliga võrduvaid.

Kui lineaarvõrrandis a= 0 ja b= 0 , siis on võrrandil lõpmatult palju juuri. Tõepoolest, kui a on null ja b võrdub nulliga, siis lineaarvõrrand kirves= b võtab kuju 0 x= 0. Iga väärtuse eest x vasak pool on võrdne parema küljega.

Kui lineaarvõrrandis a= 0 ja b≠ 0, siis võrrandil pole juuri. Tõepoolest, kui a on null ja b on võrdne mõne nullist erineva arvuga, näiteks arvuga 5, seejärel võrrandiga kirves=b võtab kuju 0 x= 5. Vasak pool on null ja parem pool viis. Ja null ei võrdu viiega.

Kui lineaarvõrrandis a≠ 0 ja b on võrdne mis tahes arvuga, siis on võrrandil üks juur. See määratakse parameetri jagamisel b parameetri kohta a

Tõepoolest, kui a on võrdne mõne nullist erineva arvuga, näiteks arvuga 3 ja b on võrdne mõne arvuga, ütleme arvuga 6, siis on võrrand kujul .
Siit.

On veel üks vorm, kuidas kirjutada esimese astme lineaarvõrrand tundmatuga. See näeb välja selline: kirves − b= 0. See on sama võrrand nagu kirves=b

Kas teile tund meeldis?
Liituge meie uue Vkontakte grupiga ja hakake uute õppetundide kohta teateid saama