Keeruliste muutujatega integraalide lahendamine. Kompleksmuutuja funktsioonide integreerimine

1. Põhimõisted ja väited

Teoreem 5.1(piisav tingimus kompleksmuutuja funktsiooni integraali olemasoluks). Lase L on lihtne sile kõver , f(z)=u(x;y)+i×v(x;y) põleb pidevalt L. Siis on olemas ja kehtib järgmine võrdsus:

Teoreem 5.2. Lase L on lihtne sujuv kõver, mis on antud parameetriliselt: L:z(t)=x(t)+i×y(t), a£ t£ b, funktsioon f(z) põleb pidevalt L. Siis on võrdsus tõsi:

(kus ). (5.2)

Teoreem 5.3. Kui a f(z) analüütiline domeenis D funktsioon siis - analüütiline funktsioon ja F"(z)=f(z), kus integraal võetakse üle mis tahes punkte ühendava tükkhaaval sujuva kõvera kohta z 0 ja z.

- Newtoni-Leibnizi valem.

2. Integraali arvutamise meetodid

Esimene viis. Pideva funktsiooni integraalide arvutamine reaalmuutujate funktsioonide kõverjoonelisteks integraalideks taandamise teel (valemi (5.1) rakendamine).

1. Otsige üles Re f=u, Im f=v.

2. Kirjutage üles integrand f(z)dz teose kujul ( u+iv)(dx+idi)=udx-vdy+i(udy+vdx).

3. Arvutage vormi kõverjoonelised integraalid vastavalt teist tüüpi kõverjooneliste integraalide arvutamise reeglitele.

Näide 5.1 . Arvutama mööda parabooli y=x 2 punktist z 1 = 0 punktini z 2 =1+i.

■ Leidke integrandi tegelik ja kujuteldav osa. Selleks asendame väljendiga for f(z) z=x+iy:

Sest y=x 2, siis dy= 2x, . Sellepärast

Teine viis. Integraalide arvutamine pidevast funktsioonist taandades kindla integraalini integreerimistee parameetrilise spetsifikatsiooni korral (valemi (5.2) abil).

1. Kirjutage kõvera parameetriline võrrand z=z(t) ja määrake integreerimise piirid: t=a vastab integratsioonitee alguspunktile, t=b- lõplik.

2. Leidke kompleksväärtusega funktsiooni diferentsiaal z(t): dz=z¢( t)dt.

3. Asendus z(t) integrandiks, teisenda integraal vormiks: .

4. Arvutage saadud kindel integraal.

Näide 5.2 . Arvutage kus FROM- ringi kaar, .

■ Selle kõvera parameetriline võrrand: , 0 £ j£ lk. Siis . Saame

Näide 5.3 . Arvutage kus FROM- ringi ülemine kaar tingimusel: a), b).

■ Funktsiooni väärtuste määramine integreerimistsüklis võimaldab valida avaldise ühe väärtusega harusid , k= 0,1. Kuna meil on k= 0,1, siis esimesel juhul valime haru, mille abil k= 0 ja teises - koos k= 1.

Integrandid integreerimiskontuuril on pidev. Selle kõvera parameetriline võrrand: , 0£ j£ lk. Siis .

a) Haru määratakse millal k= 0, see tähendab, et saame .

b) Haru määratakse millal k=1, see tähendab, et saame .

Kolmas viis. Analüütiliste funktsioonide integraalide arvutamine lihtsalt seotud domeenides (valemi (5.3) rakendamine).

Leia antiderivaat F(z) kasutades integraalide, tabeliintegraalide omadusi ja reaalanalüüsist tuntud meetodeid. Rakendage Newtoni-Leibnizi valemit: .

Näide 5.4 . Arvutama , kus FROM- sirge AB, z A=1-i,z B=2+i.

■ Alates integrandist - analüütiline kogu komplekstasandil, siis rakendame Newtoni-Leibnizi valemit

3. Integraaliarvutuse põhiteoreemid

keeruka muutuja funktsioonid

Teoreem 5.4 (Cauchy). Kui a f(z G funktsioon, siis kuhu L- mis tahes suletud ahel G.

Cauchy teoreem kehtib ka mitmekordselt ühendatud domeeni kohta.

Teoreem 5.5. Laske funktsioonil f(z) on lihtsalt ühendatud domeenis analüütiline D, L- suvaline suletud tükkhaaval sile kontuur, mis asub sisse D. Siis iga punkti jaoks z 0, mis asub kontuuri sees L, kehtib valem:

, (5.4)

kus L voolab positiivses suunas.

Valemit (5.4) nimetatakse integraalne Cauchy valem . See väljendab kontuuri sees oleva analüütilise funktsiooni väärtusi selle väärtuste kaudu kontuuril.

Teoreem 5.6. Mis tahes funktsioon f(z), analüütiline domeenis D, sisaldab kõigi selle domeeni tellimuste tuletisi ja jaoks " z 0 Î Dõige valem on:

, (5.5)

kus L on suvaline tükkhaaval sile suletud kontuur, mis asub täielikult sees D ja sisaldab punkti z 0 .

4. Suletud ahela integraalide arvutamine

kompleksmuutuja funktsioonidest

Vaatleme vormi integraale, kus funktsioon j(z) on analüütiline , ja y(z) on polünoom, millel ei ole suletud kontuuril nulle FROM.

Reegel. Vormi integraalide arvutamisel sõltuvalt polünoomi nullide kordsusest y z) ja nende asukoht kontuuri suhtes FROM Eristada saab 4 juhtumit.

1. Piirkonnas D polünoomi nullid puuduvad y(z). Siis on funktsioon analüütiline ja Cauchy teoreemi järgi.

2. Piirkonnas D on üks lihtne null z=z 0 polünoom y(z). Seejärel kirjutame murdosa kujul , kus f(z) on analüütiline funktsioon Cauchy integraali valemi (5.4) rakendamisel, saame

. (5.6)

3. Põllul D asub nulli ühe kordsena z=z 0 polünoom y(z) (kordsus n). Seejärel kirjutame murdosa kujul , kus f(z) on analüütiline funktsioon valemi (5.5) rakendamisel, saame

4. Piirkonnas D polünoomil on kaks nulli y(z) z=z 1 ja z=z 2. Seejärel esitame integraali kahe murru summana ja integraali kahe integraali summana, millest igaüks arvutatakse vastavalt punktile 2 või 3.

Näide 5.5 . Arvutage kus FROM- ring.

■ Leiame nimetaja nullid – integrandi ainsuse punktid . Need on punktid. Järgmisena määrame punktide asukoha integreerimiskontuuri suhtes: ükski punkt ei kuulu alasse, mis on piiratud ringiga, mille keskpunkt on punktis ja mille raadius on 2 (see tähendab, et meil on esimene juhtum). Seda saab kontrollida, joonistades või määrates kauguse igast punktist ringi keskpunktini ja võrreldes seda raadiusega. Näiteks , ei kuulu seetõttu ringi.

Siis funktsioon analüütiline ringis ja Cauchy teoreemi järgi .

Pange tähele, et antud integraal on võrdne nulliga mis tahes muu kontuuri puhul, mis piirab piirkonda, mis ei sisalda nimetaja nullkohti. ■

Näide 5.6 . Arvutage kus FROM- ring.

■ Arutledes nagu näites 5.5, leiame, et ainult üks nimetaja nullidest asub ringis (teine ​​juhtum). Seetõttu kirjutame integrandi kujul , funktsiooni analüütiline ringis . Seejärel valemiga (5.6)

.■

Näide 5.7 . Arvutama , kus FROM- ring.

Teoreetiline miinimum

Sageli on juhtumeid, kus kindlate integraalide arvutamine kompleksanalüüsi meetoditega eelistatakse meetoditele
materjali analüüs. Põhjused võivad olla väga erinevad. TFCT meetodid võivad mõnel juhul arvutusi oluliselt vähendada.
Mõnikord ei saa Newtoni-Leibnizi valemit kasutada, kuna määramatut integraali ei väljendata elementaarfunktsioonides.
Parameetriga seotud diferentseerimis- ja integreerimismeetodid nõuavad nende kohaldatavuse väga hoolikat põhjendamist ja mõnikord on vaja parameetrit
tuleb kunstlikult kasutusele võtta.

Tavaliselt arvutavad keeruka analüüsi meetodid ebaõigeid integraale - lõpmatu intervalli või segmendi piiramatute integraalide põhjal
funktsioonide integreerimine. Üldine idee on järgmine. Moodustatakse kontuuriintegraal. Mõne kontuuri lõigu integraal peaks
ühtivad soovitud kindla integraaliga – vähemalt konstantse tegurini. Integraalid üle ülejäänud kontuuri
tuleks välja arvutada. Seejärel rakendatakse peamist jäägiteoreemi, mille järgi
,
kus on funktsiooni ainsuse punktid, mis asuvad integreerimiskontuuri sees. Seega kontuuri integraal ühega
teisest küljest selgub, et see väljendatakse soovitud kindla integraali kaudu ja teisest küljest arvutatakse see jääkide abil (mis tavaliselt on
ei tekita suuri probleeme).

Peamine raskus on integreerimiskontuuri valik. Põhimõtteliselt soovitab seda integrand. Siiski, ilma piisava
praktikas on seda meetodit raske omandada ja seetõttu tuuakse päris palju näiteid. Kõige sagedamini kasutatavad kontuurid koosnevad
elemendid, mille üle on mugav integreerida (sirged, ringikaared).

integreerimine komplekstasandil

Näide 1 Fresneli integraalid.
Arvutame integraalid , .
Lihtne on arvata, et esimene samm on üleminek eksponentsiaalsele vormile, mis hõlmab integraali arvestamist.
On vaja ainult valida integreerimiskontuur. On selge, et pooltelg peaks sisenema kontuuri. Päris ja
selle kontuuriosa kohal oleva integraali mõttelised osad on Fresneli integraalid. Lisaks arvutatud kontuuri integraal üle konstruktsiooni
integrand sarnaneb Euleri-Poissoni integraaliga, mille väärtus on teada. Kuid selle integraali saamiseks peame panema
, siis. Ja selline muutuja esitus on integreerimine piki punkti läbivat sirget
reaaltelje suhtes nurga all.
Seega on kaks kontuurielementi. Kontuuri sulgemiseks eeldame, et kontuuri kahel valitud lõigul on piiratud pikkus ja suletakse
raadiusega ringjoone kaare kontuur . Hiljem laseme sellel raadiusel lõpmatuseni minna. Tulemuseks on see, mis on näidatud joonisel fig. 1 ahel.

(1)
Integreerimiskontuuri sees ei ole integrandil ainsuse punkte, seetõttu on kogu kontuuri integraal võrdne nulliga.

.
Piirväärtuses on see integraal võrdne nulliga.
Krundile võite siis kirjutada
.
Asendame saadud tulemused punktiga (1) ja liigume piirini:

Eraldades reaalse ja imaginaarse osa, leiame, võttes arvesse Euler-Poissoni integraali väärtust
,
.

Näide 2 Integrandi ainsuse punkti sees sisaldava integreerimiskontuuri valik.
Arvutame integraali, mis on sarnane esimeses näites käsitletuga: , kus .
Arvutame integraali. Valime kontuuri, mis on sarnane esimeses näites kasutatud kontuuriga. Ainult nüüd pole eesmärki
taandada arvutus Euleri-Poissoni integraaliks. Siin märgime, et asendamisel integrand ei muutu.
See kaalutlus sunnib meid valima integreerimiskontuuri kaldus sirge nii, et see moodustaks tegeliku teljega nurga.

Kontuuriintegraali kirjutamisel
(2)
integraal üle ringkaare kaldub piirväärtuses nulli. Saidil saate kirjutada :
.
Seega (2-st) piirini minnes leiame
.
Siin võetakse arvesse, et integreerimiskontuuri sees on integrandil lihtpoolus .

Siit leiame soovitud integraali:
.

Näide 3 Sulgege integreerimiskontuur ülemise või alumise pooltasandi kaudu?
Kasutades järgmist üsna lihtsat integraali, demonstreerime integreerimiskontuuri valiku iseloomulikku detaili. Arvuta
integraal .
Tegelikult arvutatakse funktsiooni soovitud integraal piki reaaltelge, millel integrandil on nr
Funktsioonid. Jääb vaid integratsioonisilmus sulgeda. Kuna integraali all oleval funktsioonil on ainult kaks ainsuse lõpppunkti, siis
kontuuri saab sulgeda poolringiga, mille raadius peaks kalduma lõpmatuseni. Ja siin tekib küsimus, kuidas
tuleb valida poolring: ülemises või alumises pooltasandis (vt joon. 3 a, b). Selle mõistmiseks kirjutame integraali poolringi peale
mõlemal juhul:


a)
b)
Nagu näete, määrab integraali käitumise limiidis tegur .
"a" puhul on limiit tingimusel lõplik.
"b" puhul - vastupidi - ja seetõttu on limiit tingimusel lõplik.
See viitab sellele, et kontuuri sulgemise viis on määratud parameetri märgiga. Kui see on positiivne, siis
kontuur sulgub läbi ülemise pooltasandi, vastasel juhul - läbi alumise. Vaatleme neid juhtumeid eraldi.
a)
Poolringi integraal piiris, nagu nägime, kaob. Kontuuri sees (vt joon. 3a) on
eriline punkt, nii et

b)
Samamoodi leiame, et kasutatakse integreerimist üle joonisel fig 1 näidatud kontuuri. 3b,

Märkus . Võib tunduda kummaline, et kompleksfunktsiooni integraal osutus reaalseks. Seda on aga originaalis lihtne mõista
eralda integraali tegelik ja kujuteldav osa. Imaginaarses osas on integraali all paaritu funktsioon ja integraal arvutatakse sümmeetriliselt
piirid. Need. kujuteldav osa kaob, mis meie arvutuses juhtuski.

Näide 4 Integrandi ainsuse punktidest möödahiilimine integratsioonikontuuri koostamisel.
Vaadeldavates näidetes integrandil kas ei olnud ainsuse punkte või need olid integratsioonikontuuri sees. Kuid
võib olla mugav valida kontuuri nii, et sellele langevad funktsiooni ainsuse punktid. Sellistest punktidest tuleb mööda minna. Möödasõit viiakse läbi
mööda väikese raadiusega ringi, mis edaspidi lihtsalt nulli tormab. Näitena arvutame integraali .
Võib tunduda, et integrandil pole lõplikke ainsuse punkte, kuna punkt on eemaldatav singulaarsus.
Kuid integraali arvutamiseks peate tegema teise funktsiooni kontuurintegraali (tagamaks, et integraal kaob
sulgev poolring lõpmatu raadiuse piiril): . Siin on integrandil pooluste singulaarsus
punktis .

Seega on vaja veel üht integratsioonisilmust (vt joonis 4). See erineb joonisest fig. 3a ainult selle tõttu, et ainsuse punkt käib poolringis,
mille raadius peaks tulevikus olema null.
. (3)
Märgime kohe, et suure poolringi integraal kaldub oma lõpmata suure raadiuse piiril ja kontuuri sees nulli.
ainsuse punkte pole, seega on kogu kontuuri integraal null. Järgmisena kaaluge punkti (3) esimest ja kolmandat terminit:

.
Nüüd kirjutame integraali väikese poolringi peale, arvestades seda sellel. Samuti võtame kohe arvesse poolringi raadiuse väiksust:


Limiidis nulli kippuvaid termineid välja ei kirjutata.
Kogume terminid punktis (3) – välja arvatud suure poolringiga seotud termin.

Nagu näha, on lõpmatuseni pöörduvad terminid üksteist tühistanud. Lase ja , meil on
.
Märkus . Näiteks Dirichleti integraal arvutatakse täpselt samamoodi (tuletame meelde, et see erineb just vaadeldud integraali puudumise tõttu
ruudud lugejas ja nimetajas).

Näited kindlate integraalide arvutamisest kontuuri abil
integreerimine komplekstasandil (jätkub)

Näide 5 Integrandil on lõpmatu arv ainsuse punkte.
Paljudel juhtudel teeb kontuuri valiku keeruliseks asjaolu, et integrandil on lõpmatu arv ainsuse punkte. Sel juhul võib
selgub, et jääkide summast saab tegelikult jada, mille summeerimisel tuleb ikkagi tõestada konvergentsi
ei tööta (ja seeriate summeerimine on üldiselt omaette üsna keeruline ülesanne). Näitena arvutame integraali .
On selge, et osa kontuurist on tegelik telg. Sellel funktsioonil pole funktsioone. Arutame, kuidas silmust sulgeda. Poolringi ei pea valima.
Asi on selles, et hüperboolsel koosinusel on lihtsate nullide perekond . Seetõttu poolringiga suletud kontuuri sees
lõpmatult suure raadiuse piiril langeb lõpmatult palju ainsuse punkte. Kuidas muidu saate ahelat sulgeda? Märka seda .
Sellest järeldub, et võib püüda integreerimiskontuuri kaasata reaalteljega paralleelset lõiku. Silmus sulgub kahega
vertikaalsed segmendid, mis piirjoones on mõttelisest teljest lõpmatult kaugel (vt joonis 5).


Kontuuri vertikaalsetel lõikudel . Hüperboolne koosinus kasvab eksponentsiaalselt argumendi (modulo) kasvuga, seega
piirväärtuses kipuvad vertikaalsete lõikude integraalid olema nulli.

Seega, piirides
.
Teisest küljest on integreerimiskontuuri sees integrandi kaks ainsuse punkti. mahaarvamised neis
,
.
Järelikult
.

Näide 6 Määratud ja kontuurintegraali integrand on erinev.
Väga oluline juhtum on kindlate integraalide arvutamine kontuuride integreerimise meetodil. Siiani integrand
kontuurintegraali funktsioon kas lihtsalt langes kokku kindla integraali integrandiga või läks sellesse eraldumise teel
tegelik või kujuteldav osa. Kuid mitte kõik pole alati nii lihtne. Arvutame integraali.
Kontuuri valimisel pole erilist probleemi. Kuigi integraali all oleval funktsioonil on lõpmatult palju lihtsaid pooluseid, teame me juba
eelmise näite kogemusest, et on vaja ristkülikukujulist kontuuri, kuna . Ainus erinevus näitest 5 on see
et integrandi poolus, millest tuleb mööda minna, langeb joonele. Seetõttu valime näidatud
joonisel fig. 6 ahel.

Vaatleme kontuuri integraali . Me ei värvi seda kontuuri igale osale, piirdudes horisontaalsega
krundid. Piiri reaaltelge piki integraal kaldub soovitud väärtuseni. Ülejäänud osade peale kirjutame integraalid:
.
Piirväärtuses ja kaks esimest integraali annavad , siis sisestavad nad kontuuri integraali summas
soovitavaga, mis erineb märgi poolest. Selle tulemusena langeb soovitud kindel integraal kontuuriintegraalist välja. See tähendab et
integrand valiti valesti. Mõelge veel ühele integraalile: . Jätke piirjoon samaks.

Alustuseks kaaluge integraale uuesti horisontaalsete lõikude kohal. Integraal piki reaaltelge muutub .
See integraal kaob sümmeetrilistes piirides paaritu funktsiooni integraalina.

Limiidis kaovad ka kaks esimest sulud, moodustades taas paaritute funktsioonide integraalid
sümmeetrilistes piirides. Kuid viimane sulg kuni tegurini annab soovitud integraali. Arvutamist on mõttekas jätkata.
Sarnaselt näitele 5 kipuvad kontuuri vertikaalsete lõikude integraalid olema nullis. Jääb alles leida integraal
poolringis, kus . Nagu näites 4, arvutame integraali, võttes arvesse väiksust:
.
Seega on meil kõik selleks, et kontuuriintegraal limiidis üles kirjutada:

Seevastu integrandi poolus osutus integratsioonikontuuri sees olevaks

Vaatleme sujuvat kõverat Γ parameetriliste võrranditega antud komplekstasandil

(sileda kõvera definitsioon on toodud §8 alguses). Nagu on märgitud §-s 8, võib need võrrandid kirjutada kompaktsel kujul:

Parameetri muutmisel t alates a kuni /3 vastavasse punkti z(t) Seetõttu ei määra võrrandid (15.1) ja (15.2) mitte ainult kõvera Γ punkte, vaid määravad ka selle kõvera ümber liikumise suuna. Nimetatakse kõverat Г, mille ümbersõidusuund on etteantud orienteeritud kõver.

Laske piirkonda sisse D C C pidev funktsioon f(r) = = u(x, y) + iv(x. y), ja lase kõveral Γ sees olla D. Tutvustada integraali mõistet [f(z)dz funktsioonist f(z) piki kõverat r defineerime r

diferentsiaal dz võrdsus dz = dx + idy. Integrand teisendatakse vormiks

Seega kompleksfunktsiooni integraal f(z) piki kõverat Γ on loomulik defineerida võrdsusega

mille paremal pool on teist tüüpi reaalfunktsioonide kaks reaalkõverjoonelist integraali ja ja ja. Nende integraalide arvutamiseks selle asemel X ja juures asendusfunktsioonid x(t) ja t/(/), kuid selle asemel dx ja dy- nende funktsioonide erinevused dx = x"(t) dt ja dy = y"(t)dt. Seejärel taanduvad (15.3) paremal pool olevad integraalid kaheks reaalmuutuja funktsioonide integraaliks t

Nüüd oleme valmis andma järgmise määratluse.

Integraal piki kõverat G kompleksmuutuja f(z) funktsiooni kohta numbrile helistatakse J" f(z)dz ja arvutas

kus z(t) = x(t) + iy(t), a ^ t ^ jalga, - kõvera võrrand Г, a z"(t) = = x"(t) + iy"(t).

Näide 15.1. Arvutage funktsiooni integraal f(z) = (g - a) p mööda raadiusega r ringi keskpunktiga a, mille möödasõidu suund on vastupäeva.

Lahendus: Ringjoone võrrand z - a= g tahe z - a = ge a, või

Kui see muutub t. 0 kuni 2tg punkt z(t.) liigub ringis r vastupäeva. Siis

Rakendades võrdsust (15.5) ja De Moivre’i valemit (2.10), saame

Saime edasiseks esitluseks olulise tulemuse:

Pange tähele, et integraali väärtus ei sõltu raadiusest G ringid.

NÄIDE 15.2. Arvutage funktsiooni integraal f(z) = 1, kuid sujuv kõver Γ, mille alguspunkt on punktis a ja lõpetada punktis b.

Lahendus Olgu kõver Γ antud võrrandiga z(t.) = x(t) + + iy(t) ja ^ t^ /3, ja a= -r(a), b = z((3). Kasutades valemit (15.5), aga ka Newtoni-Leibnizi valemit reaalfunktsioonide integraalide arvutamiseks, saame

Näeme, et integraal f 1 dz ei sõltu tee tüübist G, ühendage

punktide a ja 6 vahel ning sõltub ainult lõpp-punktidest.

Kirjeldame lühidalt teist lähenemist kompleksfunktsiooni integraali määratlusele f(z) piki kõverat, sarnaselt lõigu kohal oleva reaalfunktsiooni integraali määratlusega.

Jagame kõvera Γ suvaliselt osadeks P joonistab punkte zq = a, z 1, ..., z n-nda z n = b, nummerdatud liikumissuunas alguspunktist lõpuni (joonis 31). Tähistage z - zo ==Az> ... , Zlc – Zk-l = Az/c, zn –Zn- 1 = = Azn.(Arv Azk mida esindab punktist tulev vektor zi L_i sisse Zk-) Igal saidil (zk-i,Zk) valime kõveral suvalise punkti (q- ja moodustame summa

Seda summat nimetatakse integraalsumma. Tähistame L-ga suurima lõigu pikkust, milleks kõver G on jagatud. Vaatleme partitsioonide jada, mille puhul A -? 0 (samas P-* oo).

П1> integraalsummade ühikut, mis arvutatakse tingimusel, et partitsiooni suurima lõigu pikkus kipub olema null, nimetatakse funktsiooni integraal/(G) mööda kõverat G ja seda tähistatakse G-ga f(z)dz:

Võib näidata, et see definitsioon viib meid ka valemini (15.3) ja on seetõttu samaväärne ülaltoodud definitsiooniga (15.5).

Teeme kindlaks integraali / peamised omadused f(z)dz.

1°. Lineaarsus. Mis tahes komplekskonstantide a ja b korral

See omadus tuleneb võrdsusest (15.5) ja lõigu integraali vastavatest omadustest.

2°. Aditiivsus. Kui kõver G jagatud Ti segmentideks m G2, siis

Tõestus. Olgu kõver Γ otstega a, b on punktiga c jagatud kaheks osaks: kõver Гi otstega a, Koos ja kõver Gr, mille otsad on b. Olgu võrrandiga antud Г z = z(t), a ^ t ^ sisse. ja a= 2(a), b = z(ft), c = 2(7). Siis on kõverate Г1 ja Гг võrrandid z = z(t), kus a ^ t^7 Ti ja 7^ jaoks t^/? jaoks Gg. Rakendades definitsiooni (15.5) ja integraali vastavaid omadusi lõigule, saame

Q.E.D.

Omadus 2° võimaldab arvutada integraale mitte ainult sujuvate kõverate kaudu, vaid ka tükkhaaval sile, st. kõverad, mida saab jagada piiratud arvuks siledateks osadeks.

3°. Kui kõvera suunda muudetakse, muudab integraal märki.

Tõesta l t-ga umbes. Laske kõveral Г lõppeda a ja b on antud võrrandiga r = r(?), o ^ t ^ $. Kõverat, mis koosneb samadest punktidest kui Γ, kuid mis erineb Γ-st ümbersõidu (orientatsiooni) suunas, tähistatakse Γ-ga. Siis Г - on võrrandiga antud z= 2i(J)> kus z(t)= 2(0 -I - sobib - t), Tõepoolest, me võtame kasutusele uue muutuja r = a + - t. Kui see muutub t a-st kuni (d muutuja r muutub alates (5 kuni a. Järelikult jookseb punkt r(m) läbi kõvera r.

Omadus 3° on tõestatud. (Pange tähele, et see omadus tuleneb otseselt integraali (15.8) definitsioonist: kui kõvera orientatsioon muutub, suurenevad kõik AZk muuda märki.)

4°. Integraali f f(z)dz moodul ei ületa kõveruse väärtust G

funktsiooni mooduli lineaarne integraal piki kõverat s (esimest tüüpi f(z) kõverjooneline integraal):

Seda on lihtne näha z[(t) = r" r (t)(a + - t)J = -z "t (t), dt = -dr. Kasutades definitsiooni (15.5) ja minnes muutujale r, saame

Tõestus. Kasutame lõigu kohal oleva integraali jaoks tõsiasja, et

(see ebavõrdsus tuleneb kohe lõigu integraali kui integraalsummade piiri definitsioonist). Siit ja alates (15.5) oleme

1. Põhimõisted

2. Kompleksmuutuja funktsioonide integraalide arvutamine

3. Näited kompleksmuutuja funktsioonide integraalide arvutamisest

4. Peamine Cauchy teoreem lihtsa kontuuri jaoks

5. Cauchy teoreem kompleksse kontuuri jaoks

6. Integraalne Cauchy valem

7. Integraalide arvutamine üle suletud ahela

8. Näited integraalide arvutamisest suletud kontuuril

Põhimõisted

1. Integraalsummade jada piirina võetakse kasutusele (samamoodi nagu reaalpiirkonnas) kompleksmuutuja funktsiooni integraali mõiste; funktsioon on defineeritud mingil kõveral l , eeldatakse, et kõver on ühtlane või tükkhaaval sile:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2,43)

kus x_k on kõvera jaotuse kaarel \Delta l_k valitud punkt; \Delta z_k - funktsiooni argumendi juurdekasv selles jaotuse osas, \lambda=\max_(k)|\Delta z_k|- jagatud samm, |\Delta z_k| - kaare otste ühendava kõõlu pikkus \Delta l_k ; kõver l jagatakse meelevaldselt n osaks \Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n. Kõveral valitakse suund, s.t. algus- ja lõpp-punktid on määratud. Suletud kõvera korral \textstyle(\left(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right)) integratsioon toimub positiivses suunas, s.t. suunas, mis väljub teega piiratud lõpp-piirkonnast vasakule.

Valem (2.43) defineerib Kompleksmuutuja funktsiooni kõverjooneline integraal. Kui eristada funktsiooni f(z) reaal- ja imaginaarsed osad, s.o. kirjutage see vormi

F(z)=u+i\,v,\qquad u=\operaatorinimi(Re)f(z),\quad v=\operaatorinimi(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),

siis saab integraalsumma kirjutada kahe liikme kujul, mis on kahe reaalmuutuja teist tüüpi funktsioonide kõverjooneliste integraalide integraalsummad. Kui eeldada, et f(z) on pidev punktil l , siis u(x, y),~ v(x, y) on pidev ka punktis l ja seega on vastavatele integraalsummadele piirid. Seega, kui funktsioon f(z) on pidev l , siis on võrdsuses (2.43) piir olemas, s.t. kõvera l ja valemi kohal on funktsiooni f(z) kõverjooneline integraal

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

Kasutades integraali või valemi (2.44) definitsiooni ja teist tüüpi kõverjooneliste integraalide omadusi, on lihtne kontrollida kompleksmuutuja funktsioonide kõverjoonelise integraali järgmiste omaduste paikapidavust (reaalanalüüsist teadaolevad omadused) .

\begin(joondatud)&\paks(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z) )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\paks(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\paks(5.)~~ \left|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \end (joondatud)

eriti, \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB)), kui funktsioon on absoluutväärtuses piiratud kõveral AB , st |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. Seda omadust nimetatakse integraali mooduli hindamise omaduseks.

\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

Valemit (2.44) võib pidada nii kompleksmuutuja funktsiooni kõverjoonelise integraali definitsiooniks kui ka valemiks selle arvutamiseks kahe reaalmuutuja teist tüüpi funktsioonide kõverjooneliste integraalide kaudu.

Arvutusvalemi kasutamiseks ja meeldejätmiseks märgime, et võrdsus (2.44) vastab formaalsele täitmisele vasakul küljel funktsiooni f(z) tegelike ja imaginaarsete osade eraldamise operatsioonide integraali märgi all, korrutades dz=dx+i\,dy ja saadud korrutise kirjutamine algebralises vormis:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.

Näide 2.79. Arvuta integraalid ja \int\limits_(OA)z\,dz, kus joon OA

a) lõik, mis ühendab punkte z_1=0 ja z_2=1+i ,
b) katkendjoon OBA , kus O(0;0),~A(1;1),~B(1;0).

▼ Lahendus

1. Arvutage integraal \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. Siin f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Kirjutame integraali teist tüüpi kõverjooneliste integraalidena:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

mis vastab valemile (2.44). Arvutame integraalid:

a) integratsioonitee on seega sirge segment \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

b) integratsioonitee on katkendlik joon, mis koosneb kahest segmendist OB= \(y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\) ja BA= \(x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\). Seetõttu saame integraali kaheks jagades ja arvutusi sooritades

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ piirid_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

Funktsiooni f(z)=\overline(z) integraal sõltub punkte O ja A ühendava integratsioonitee valikust.

2. Arvutage integraal \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz) siin f(z)=z=x+iy . Integraali kirjutame teist tüüpi kõverjooneliste integraalidena

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

Saadud teist tüüpi integraalide integrandid on summaarsed diferentsiaalid (vt tingimust (2.30)), seega piisab, kui vaadelda üht integratsioonitee juhtumit. Niisiis, juhul "a", kus lõigu võrrand y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, saame vastuse

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

Tänu integraali sõltumatusele integreerimistee vormist saab antud juhul ülesande sõnastada üldisemal kujul: arvuta integraal

\int\limits_(l)z\,dz punktist z_1=0 punkti z_2=1+i .

Järgmises alapeatükis käsitleme selliseid integratsiooni juhtumeid üksikasjalikumalt.

2. Olgu pideva funktsiooni integraal mõnes domeenis sõltumatu selle valdkonna kahte punkti ühendava kõvera kujust. Fikseerime lähtepunkti, tähistades z_0 . lõpp-punkt on muutuja, tähistame seda z . Siis sõltub integraali väärtus ainult punktist z, see tähendab, et see määrab kindlaksmääratud alal mingi funktsiooni.

Allpool põhjendame väidet, et lihtsalt ühendatud domeeni puhul defineerib integraal selles domeenis ühe väärtusega funktsiooni. Tutvustame tähistust

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).

Funktsioon F(z) on muutuva ülempiiriga integraal.

Kasutades tuletise definitsiooni, s.o. arvestades \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z), on lihtne kontrollida, et F(z)-l on tuletis definitsioonipiirkonna mis tahes punktis ja seepärast on see selles analüütiline. Sel juhul saame tuletise jaoks valemi

F"(z)=f(z).

Muutuva ülempiiriga integraali tuletis on võrdne integrandi väärtusega ülempiiril.

Võrdusest (2.46) tuleneb eelkõige, et (2.45) integrand f(z) on analüütiline funktsioon, kuna analüütilise funktsiooni F(z) tuletis F"(z) selliste funktsioonide omaduse järgi ( vt väide 2.28) – analüütiline funktsioon.

3. Funktsiooni F(z), mille puhul kehtib võrdus (2.46), nimetatakse funktsiooni f(z) antituletiseks lihtsalt ühendatud domeenis ja antiderivaatide kogumiks \Phi(z)=F(z)+c , kus c=\text( const) , - funktsiooni f(z) määramatu integraal.

Punktidest 2 ja 3 saame järgmise väite.

Väide 2.25

1. Muutuva ülempiiriga integraal \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi) lihtsalt ühendatud domeeni funktsioonianalüütilisest funktsioonist on selles domeenis funktsioonianalüütika; see funktsioon on integrandi antiderivatiiv.

2. Igal lihtsalt ühendatud domeenil analüütilisel funktsioonil on antiderivaat (antiderivaadi olemasolu).

Leitakse analüütiliste funktsioonide antiderivaadid lihtsalt seotud domeenides, nagu reaalse analüüsi puhul: kasutatakse integraalide omadusi, integraalide tabelit ja integreerimisreegleid.

Näiteks, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..

Analüütilise funktsiooni kõverjoonelise integraali ja selle antiderivaadi vahel lihtsalt ühendatud domeenis on valem, mis sarnaneb reaalse analüüsi Newtoni-Leibnizi valemiga:

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).

4. Nagu reaalses analüüsis, arvestatakse kompleksvaldkonnas peale integraalide, mis sisaldavad parameetrit integreerimise piirides (valem (2.45) annab sellistest integraalidest lihtsaima näite) integraale, mis sõltuvad integrandis sisalduvast parameetrist: \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Selliste integraalide hulgas on kompleksse integreerimise ja rakenduste teoorias ja praktikas oluline koht vormi integraalil. \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

Eeldades, et f(z) on pidev sirgel l , saame, et iga punkti z puhul, mis ei kuulu l-i, on integraal olemas ja määrab igas piirkonnas, mis ei sisalda l , mõne funktsiooni

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).

Integraali (2.48) nimetatakse Cauchy-tüüpi integraaliks; konstrueeritud funktsiooni kasutamise mugavuse huvides võetakse kasutusele kordaja \frac(1)(2\pi\,i).

Selle funktsiooni, nagu ka võrdsuse (2.45) poolt defineeritud funktsiooni puhul on tõestatud, et see on analüütiline kõikjal definitsioonipiirkonnas. Pealegi, erinevalt integraalist (2.45) ei nõuta siin, et genereeriv funktsioon f(z) oleks analüütiline, st. valemit (2.48) kasutatakse kompleksmuutuja pidevate funktsioonide klassi põhjal analüütiliste funktsioonide klassi konstrueerimiseks. Integraali (2.48) tuletis määratakse valemiga

F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.

Et tõestada valemit (2.49) ja järelikult väita, et Cauchy tüüpi integraal on analüütiline, piisab tuletise definitsiooni järgi, kui tuvastada ebavõrdsuse kehtivus

\left|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\right|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)

mis tahes \varepsilon>0 ja mis tahes z jaoks funktsiooni F(z) domeenist.

Sama meetodiga saab näidata, et on olemas võrdsusega (2.49) defineeritud funktsiooni tuletis, s.o. F""(z) ja valem

F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.

Protseduuri saab jätkata ja saame induktsiooniga tõestada funktsiooni F(z)\koolon mis tahes järgu tuletise valemi

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Analüüsides valemeid (2.48) ja (2.49), on lihtne näha, et tuletise F(z) saab formaalselt, diferentseerides (2.48) integraalimärgi all oleva parameetri suhtes:

F"(z)= \frac(d)(dz)\! \left(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\right)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\!\left(\frac(f) (\xi))(\xi-z)\right)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^2)\,d\xi\,.

Rakendades formaalselt integraali diferentseerimise reeglit sõltuvalt parameetrist n korda, saame valemi (2.50).

Kirjutame selles osas saadud tulemused väite vormis.

Väide 2.26. Integraalne \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi kõveral l pidevast funktsioonist f(z) on funktsioon, mis on analüütiline mis tahes domeenis D, mis ei sisalda l ; selle funktsiooni tuletised saab saada diferentseerimisel integraalimärgi all oleva parameetri suhtes.

Integraalide arvutamine kompleksmuutuja funktsioonidest

Eespool on saadud valemid kompleksmuutuja funktsioonide integraalide arvutamiseks - valemid (2.44) ja (2.47).

Kui valemis (2.44) kõver l on seatud parameetriliselt: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\beta või mis vastab tegelikule kujule: \begin(cases) x=x(t),\\ y=y(t),\end(cases)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, siis, kasutades teist tüüpi integraalide arvutamise reegleid kõvera parameetrilise spetsifikatsiooni korral, saame valemi (2.44) teisendada kujule

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.

Saadud tulemus ja eelmises loengus saadud tulemused kirjutatakse tegevuste jadana.

Integraalide arvutamise meetodid \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).

Esimene viis. Integraalide arvutamine \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz) pidevast funktsioonist taandades reaalmuutujate funktsioonide kõverjoonelisteks integraalideks – valemi (2.44) rakendamine.

1. Leia \operaatorinimi(Re)f(z)=u,~ \operaatorinimi(Im)f(z)=v.

2. Kirjutage integrand f(z)dz korrutisena (u+iv)(dx+i\,dy) või korrutades u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).

3. Arvutage vormi kõverjoonelised integraalid \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), kus P=P(x,y),~ Q=Q(x,y) vastavalt teist tüüpi kõverjooneliste integraalide arvutamise reeglitele.

Teine viis. Integraalide arvutamine \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz) pidevast funktsioonist taandades integreerimistee parameetrilise spetsifikatsiooni korral kindlale integraalile - valemi (2.51) rakendamine.

1. Kirjutage kõvera parameetriline võrrand z=z(t) ja määrake sellest lõimimispiirid: t=\alpha vastab integratsioonitee alguspunktile, t=\beta - lõpp-punktile.

2. Leidke kompleksväärtusega funktsiooni diferentsiaal z(t)\koolon\, dz=z"(t)dt.
3. Asenda z(t) integrandiga, teisenda integraal

\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.

4. Arvutage 3. jaos saadud reaalmuutuja kompleksväärtusega funktsioonist kindel integraal.

Pange tähele, et reaalmuutuja kompleksväärtusega funktsiooni integreerimine ei erine reaalväärtusega funktsiooni integreerimisest; ainsaks erinevuseks on teguri i olemasolu esimesel juhul, toimingud, mida loomulikult käsitletakse konstandiga. Näiteks,

\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.

Kolmas viis. Analüütiliste funktsioonide integraalide arvutamine lihtsalt seotud valdkondades - valemi (2.47) rakendamine.

1. Leia antiderivatiiv F(z), kasutades integraalide, tabeliintegraalide omadusi ja reaalanalüüsist tuntud meetodeid.

2. Rakendage valem (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).

Märkused 2.10

1. Korrutiseotud piirkonna korral tehakse lõiked nii, et on võimalik saada üheväärtuslik funktsioon F(z).

2. Mitmeväärtuslike funktsioonide üheväärtuslike harude integreerimisel eristatakse haru funktsiooni väärtuse määramisega integreerimiskõvera mingisse punkti. Kui kõver on suletud, siis on integratsioonitee alguspunktiks punkt, kus antakse integrandi väärtus. Integraali väärtus võib sõltuda selle punkti valikust.

▼ Näited 2.80-2.86 kompleksmuutuja funktsioonide integraalide arvutamine

Näide 2.80. Arvutama \int\limits_(l)\operaatorinimi(Re)z\,dz, kus l on sirge, mis ühendab punkti z_1=0 punktiga z_2=1+i\koolon

a) l - sirgjoon; b) l - katkendjoon OBA , kus O(0;0),~B(1;0),~A(1;1).

▼ Lahendus

a) Rakendame esimest meetodit - (valem (2.44)).

1.2. Integrandil on vorm \operaatorinimi(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). Sellepärast

\int\limits_(l)\operaatorinimi(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.

3. Arvutage integraalid jaoks y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(punkte z_1 ja z_2 ühendava lõigu OA võrrand). Saame

\int\limits_(l)\operaatorinimi(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.

b) Kuna integratsioonitee koosneb kahest segmendist, kirjutame integraali kahe integraali summana:

\int\limits_(l)\operaatorinimi(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operaatorinimi(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operaatorinimi(Re)z\,dz

ja igaüks arvutatakse nagu eelmises lõigus. Lisaks on meil segmendi OB jaoks

\begin(cases)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(cases) ja segmendi jaoks BA\koolon \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(cases)

Teeme arvutused:

\int\limits_(l)\operaatorinimi(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.

Pange tähele, et selle näite integrand ei ole analüütiline funktsioon, seega võivad kahte antud punkti ühendava kahe erineva kõvera integraalid omada erinevaid väärtusi, mida see näide illustreerib.

Näide 2.81. Arvutama \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, kus l on ülemine poolring |z|=1 , möödudes kõverast l vastupäeva.

▼ Lahendus

Kõveral on lihtne parameetriline võrrand z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, seega on mugav kasutada teist meetodit (valem (2.51)). Integrand on siin pidev funktsioon, see ei ole analüütiline.

1.2. z=e^(it) puhul leiame \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.

3.4. Asendus integrandis. Arvutame integraali

\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.

Näide 2.82. Arvutage analüütiliste funktsioonide integraalid:

a) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; b) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), integratsioonitee ei läbi punkti i .

▼ Lahendus

a) Rakenda valem (2.47) (kolmas reegel); leiame antiderivaadi, kasutades reaalse analüüsi integreerimise meetodeid:

\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \left.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\operaatorinimi(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \operaatorinimi(sh)2).

b) Integrand on analüütiline kõikjal, välja arvatud punkt i . Joonistades piki kiirt punktist i punkti \infty lõigatud tasapinna, saame lihtsalt ühendatud piirkonna, milles funktsioon on analüütiline ja integraali saab arvutada valemiga (2.47). Seetõttu saab iga kõvera puhul, mis ei läbi punkti i, integraali arvutada valemiga (2.47), samas kui kahe antud punkti puhul on sellel sama väärtus.

Joonisel fig. 2.44 näitab kahte lõigete tegemise juhtu. Lihtsalt ühendatud piirkondade piirist möödumise suund, kus integrand on analüütiline, on näidatud nooltega. Arvutame integraali:

\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \left.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.

Näide 2.83. Arvutage integraal \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.

▼ Lahendus

Integrand on \mathbb(C) kõikjal analüütiline. Kasutame kolmandat meetodit, valemit (2.47):

\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \left.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.

See tulemus saadakse näites 2.78 vastavalt esimesele meetodile.

Näide 2.84. Arvutage integraal \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), kus C on ring |z-a|=R .

▼ Lahendus

Kasutame teist meetodit.

1. Kirjutame ringi võrrandi parameetrilisel kujul: z-a=R\,e^(it) , või z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. Diferentsiaali leidmine dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. Asenda integrandis z=a+R\,e^(it) ja dz:

\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.

Arvutame saadud kindla integraali. Sest n\ne1 saame

\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n) )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \bigr).

Sest e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, sellepärast \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0 jaoks n\ne1 . Kui n=1 saame \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..

Kirjutame tulemuse valemi kujul:

\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.

Eriti, \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). Pange tähele, et kui ringjoon C\koolon |z-a|=R möödub punktist k korda, muutub argument (parameeter) 0-lt 2\pi k ( k>0 , kui ringjoon on positiivses suunas, st vastupäeva, ja k<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.

Näide 2.85. Arvutage kompleksmuutuja funktsiooni integraal \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):

a) integratsioonitee ei läbi punkti z=0 ega möödu sellest, -\pi<\arg z \leqslant\pi ;

b) integratsioonitee ei läbi punkti z=0 , vaid käib selle ümber n korda ümber ringi vastupäeva.

▼ Lahendus

a) See integraal – muutuva ülempiiriga integraal – defineerib ühe väärtusega analüütilise funktsiooni mis tahes lihtsalt ühendatud domeenis (vt 2.45). Leiame selle funktsiooni jaoks analüütilise avaldise - antiderivaat f(z)=\frac(1)(z) jaoks. Integraali tegeliku ja mõttelise osa eraldamine \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(kasutades valemit (2.44)), on lihtne kontrollida, et teist tüüpi integraalide integrandid on summaarsed diferentsiaalid ja seetõttu ei sõltu integraal \frac(d\xi)(\xi) integraali vormist. kõver, mis ühendab punkte z_1=1 ja z . Valime tee, mis koosneb Ox-telje lõigust punktist z_1=1 punktini z_2=r , kus r=|z| , ja ringi kaared l. z_2 ühendamine z-ga (joonis 2.45, a).

Kirjutame integraali summana: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). Ringkaare integraali arvutamiseks kasutame valemit (2.51), kaarel on aga võrrand \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. Saame \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (it))\,dt=i\arg z; tulemusena

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi

Võrdsuse parem pool defineerib ühe väärtusega funktsiooni \ln z – logaritmi põhiväärtust. Vastuse saame vormis

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.

Pange tähele, et saadud võrdsust võib võtta üheväärtusliku funktsiooni \ln z definitsioonina lihtsalt ühendatud domeenis – tasapinnal, mille lõige on mööda negatiivset reaalpooltelge (-\infty;0] .

b) Integraali saab kirjutada summana: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d \xi)(\xi), kus c on n korda vastupäeva läbitud ring |z|=1 ja l on punkte z_1 ja z ühendav kõver, mis ei hõlma punkti z=0 (joonis 2.45,b).

Esimene liige on võrdne 2n\pi i (vt näide 2.84), teine ​​- \ln(z) - valem (2.53). Saame tulemuse \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.

Näide 2.86. Arvutage integraal \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z)) piki ringi ülemist kaare |z|=1 tingimusel: a) \sqrt(1)=1 ; b) \sqrt(1)=-1 .

▼ Lahendus

Funktsiooni \sqrt(z) väärtuste määramine integreerimiskontuuri punktis võimaldab valida avaldise ühe väärtusega harusid \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(vt näide 2.6). Lõiget saab joonistada näiteks mööda mõttelist negatiivset pooltelge. Kuna z=1 puhul on meil \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, siis esimesel juhul valitakse k=0 haru, teisel - k=1 . Integrandid integreerimiskontuuril on pidev. Lahendamiseks kasutame valemit (2.51), kõver on antud võrrandiga z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.

a) Haru on defineeritud, kui k=0 , s.t. z=e^(it) saadud integrandi jaoks \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). Arvutame integraali:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2 \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \left(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\right)= 2(i-1).

b) Haru määratakse, kui k=1, s.o. z=e^(it) meie integrandi jaoks \sqrt(z)= e^(i \left(\frac(t)(2)+\pi\right))=-e^(i\,\frac(t)(2)). Arvutame integraali:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i) \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).

Teoorias ja praktikas arvestatakse kompleksmuutuja funktsioonide integraaliarvutuse rakendustes funktsioonide käitumise uurimisel piiratud piirkondades või üksikute punktide läheduses integraale mööda suletud kõveraid - eelkõige piirkondade piire, punktide naabruskonnad. Arvestame integraalidega \oint\limits_(C)f(z)dz, kus f(z) on mõnes piirkonnas analüütiline, välja arvatud üksikud punktid, C on piirkonna piir või selle piirkonna sisekontuur.

Cauchy põhiteoreem lihtsa kontuuri jaoks

Teoreem 2.1 (Cauchy teoreem lihtsa kontuuri jaoks). Kui f(z) on analüütiline lihtsalt ühendatud domeenis, siis mis tahes sellesse domeeni kuuluva kontuuri C korral on võrdsus

\oint\limits_(C)f(z)dz=0.

Teoreemi tõestust on lihtne saada, tuginedes analüütiliste funktsioonide omadusele, mille kohaselt on analüütilisel funktsioonil mis tahes järgu tuletised (vt Väide 2.28). See omadus tagab osaliste tuletisinstrumentide järjepidevuse \operaatorinimi(Re)f(z) ja \operaatorinimi(Im)f(z) Seega, kui kasutada valemit (2.44), siis on lihtne näha, et teist tüüpi kõverjooneliste integraalide iga integrandi puhul on täidetud kõik diferentsiaaltingimused, nagu ka Cauchy-Riemanni tingimused analüütiliste funktsioonide jaoks. Ja summaarsete diferentsiaalide suletud kõverate integraalid on võrdsed nulliga.

Pange tähele, et kõik allpool esitatud teoreetilised väited põhinevad lõpuks sellel olulisel teoreemil, sealhulgas ülalmainitud analüütiliste funktsioonide omadusel. Et esituse õigsuses kahtlust ei tekiks, märgime, et teoreemi saab tõestada ilma selle tuletiste olemasolule viitamata ainult analüütilise funktsiooni definitsiooni alusel.

Järeldused teoreemist 2.1

1. Teoreem kehtib ka siis, kui C on domeeni D piir ja funktsioon f(z) on analüütiline valdkonnas ja piiril, s.t. \overline(D) , kuna definitsiooni kohaselt tähendab \overline(D) analüütilisus funktsiooni analüütilisust mingis piirkonnas B, mis sisaldab D~(B\upset\overline(D)), samas kui C on B sisemine kontuur.

2. Integraalid üle erinevate kõverate, mis asuvad lihtsalt ühendatud funktsioonianalüütilisuse piirkonnas ja ühendavad selle piirkonna kahte punkti, on omavahel võrdsed, s.t. \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, kus l_1 ja l_2 on suvalised kõverad, mis ühendavad punkte z_1 ja z_2 (joonis 2.46).

Selle tõestamiseks piisab, kui vaadelda kontuuri C , mis koosneb kõverast l_1 (punktist z_1 punktini z_2 ) ja kõverast l_2 (punktist z_2 punkti z_1 ). Vara saab sõnastada järgmiselt. Analüütilise funktsiooni integraal ei sõltu funktsiooni analüütilisuse piirkonna kahte punkti ühendava ja sellest piirkonnast mitte väljuva integratsioonikõvera vormist.

See õigustab ülaltoodud väidet 2.25 integraali omaduste kohta \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xi ja antiderivatiivse analüütilise funktsiooni olemasolu kohta.

Cauchy teoreem kompleksse kontuuri jaoks

Teoreem 2.2 (Cauchy teoreem kompleksse kontuuri jaoks). Kui funktsioon f(z) on analüütiline mitmekordselt ühendatud piirkonnas, mis on piiratud komplekskontuuriga, ja sellel kontuuril, siis funktsiooni piirkonna piiri kohal olev integraal on võrdne nulliga, st kui C on komplekskontuur - piirkonna piir, seejärel valem (2.54 ).

Komplekskontuur C jaoks (n+1) - ühendatud ala koosneb väliskontuurist \Gammast ja sisemisest - C_i,~i=1,2,\ldots,n; kontuurid ei ristu paarikaupa, piiri ümbersõit on positiivne (joon. 2.47, n=3).

Teoreemi 2.2 tõestamiseks piisab, kui joonistada domeenis lõiked (punktiirjoon joonisel 2.47), et saadakse kaks lihtsalt ühendatud domeeni ja kasutada teoreemi 2.1.

Tagajärjed teoreemist 2.2

1. Lause 2.2 tingimustel on väliskontuuri integraal võrdne sisemiste integraalide summaga; möödasõit kõigist kontuuridest ühes suunas (joonis 2.48, n=2):

\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.

2. Kui f(z) on analüütiline lihtsalt ühendatud piirkonnas D ja piirkonna piiril, välja arvatud selle piirkonna punkt a, siis integraalid üle erinevate suletud kõverate, mis asuvad piirkonnas D ja on seotud punkti a sisaldavad piirkonnad on omavahel võrdsed (joonis 2.49):

\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.

Tõestus on ilmne, kuna iga sellist kontuuri võib pidada kahekordselt seotud domeeni sisepiiriks, mille välispiiriks on domeeni D piir. Valemi (2.55) kohaselt võrdub n=1 iga selline integraal piiri D kohal oleva integraaliga.

Lause 2.2 ja teoreemi 2.1 järelduse 1 sõnastuste võrdlemine võimaldab teha üldistuse, mille kirjutame järgmise väite kujul.

Väide 2.27. Kui f(z) on D-s analüütiline, siis , kus C on domeeni D (liht- või komplekskontuur) piir.

Cauchy integraalvalem

Järgmises teoreemis vaadeldakse erinevalt kahest eelnevast funktsiooni integraali, mis, olles integratsioonikontuuriga piiratud alal analüütiline, on erikujuga.

Teoreem 2.3. Kui funktsioon f(z) on analüütiline domeenis D ja selle piiril C , siis domeeni mis tahes sisepunkti a jaoks (a\in D) on võrdsus

F(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,.

Piirkonda D saab lihtsalt ühendada või mitmekordistada ning piirkonna piir võib olla lihtne või keeruline kontuur.

Tõestus lihtsalt ühendatud domeeni puhul põhineb teoreemi 2.1 tulemusel ja korrutisühendatud domeeni puhul taandatakse see lihtsalt ühendatud domeenidele (nagu teoreemi 2.2 tõestuses), tehes kärpeid, mis vastavad. ei läbi punkti a .

Tuleb märkida, et punkt a ei kuulu piirkonna piirile ja seetõttu on integrand C-s pidev ja integraal on olemas.

Teoreem pakub suurt rakenduslikku huvi, nimelt lahendab valem (2.57) funktsiooniteooria niinimetatud piiriväärtuse probleemi: domeeni piiril oleva funktsiooni väärtusi kasutatakse selle väärtuse määramiseks mis tahes sisepunktis.

Märkus 2.11. Teoreemi tingimustel integraal \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xi defineerib analüütilise funktsiooni mis tahes punktis z, mis ei kuulu kontuuri C , ja kontuuriga piiratud lõpliku piirkonna D punktides on see võrdne f(z) (valemi (2.57) järgi), ja väljaspool \overline(D) on see Cauchy teoreemide tõttu võrdne nulliga. See integraal, mida nimetatakse Cauchy integraaliks, on Cauchy-tüüpi integraali (2.48) erijuht. Siin on kontuur suletud, vastupidiselt suvalisele (2.48) ja funktsioon f(z) on analüütiline, erinevalt pidevast l in (2.48). Seetõttu kehtib Cauchy integraali puhul väide 2.26, mis on sõnastatud Cauchy tüüpi integraali kohta, tuletiste olemasolu kohta. Selle põhjal saab sõnastada järgmise väite.

Väide 2.28

1. Analüütilise funktsiooni mis tahes analüütilisuse punktis saab kirjutada integraalina

F(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.

2. Analüütilisel funktsioonil on suvalises järjestuses tuletised, mille valem

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Valem (2.59) annab analüütilise funktsiooni tuletisi tervikliku esituse.

Integraalide arvutamine suletud ahela kaudu

Vaatleme vormi integraale \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz, kus funktsioon \varphi(z) on D-s analüütiline ja \psi(z) on polünoom, millel ei ole kontuuril C nulli. Integraalide arvutamiseks kasutatakse eelmise loengu teoreeme ja nende tagajärgi.

Reegel 2.6. Vormi integraalide arvutamisel \oint\limits_(C)f(z)\,dz võib eristada nelja juhtumit sõltuvalt polünoomi \psi(z) nullpunktide olemusest (kordsusest) ja nende asukohast kontuuri C suhtes.

1. Polünoomi \psi(z) nullid piirkonnas D puuduvad. Siis f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z)) funktsioon on analüütiline ja Cauchy põhiteoreemi rakendades saame tulemuse \oint\limits_(C)f(z)\,dz=0.

2. Piirkonnas D on polünoomi \psi(z) üks lihtne null z=a. Seejärel kirjutame murdosa kujul \frac(f(z))(z-a) , kus f(z) on \overline(D) analüütiline funktsioon. Rakendades integraalvalemit, saame tulemuse:

\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi i\cdot f(a).

3. Piirkonnas D on polünoomi \psi(z) (kordsusega n ) üks mitmekordne null z=a. Seejärel kirjutame murdosa vormi \frac(f(z))((z-a)^n), kus f(z) on \overline(D) analüütiline funktsioon. Rakendades valemit (2.59), saame tulemuse

\oint\limits_(C)\frac(f(z))((z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}

4. Piirkonnas D on polünoomi kaks nulli \psi(z)\koolon\,z_1=a ja z_2=b . Seejärel, kasutades teoreemi 2.2 järeldust 1, kirjutame integraali kujul \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a) , kus C on suvaline kontuur, mis piirab punkti a sisaldavat piirkonda.

▼ Lahendus

Vaatleme topeltühendatud piirkonda, mille üks piiriks on kontuur C , teine ​​ringjoon |z-a|=R . Teoreemi 2.2 (vt (2.56)) järelduva 2 järgi on meil

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,.

Võttes arvesse näite 2.84 lahendamise tulemust (valem (2.52)), saame vastuse \oint\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi i.

Pange tähele, et lahenduse saab saada Cauchy integraali valemi rakendamisel f(z)=1 . Eelkõige saame \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\pi i, kuna kontuur C käib ümber punkti z=0 üks kord. Kui kontuur C käib ümber punkti z=0 k korda positiivses (k>0) või negatiivses suunas (k<0) , то \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi i.

Näide 2.88. Arvutama \oint\limits_(l)\frac(dz)(z), kus l on punkte 1 ja z ühendav kõver, mis läheb üks kord ümber algpunkti.

▼ Lahendus

Integrand on kõveral pidev – integraal on olemas. Arvutamiseks kasutame eelmise näite ja näite 2.85 tulemusi. Selleks kaaluge suletud ahelat, mis ühendab näiteks punkti A punktiga 1 (joonis 2.50). Integratsioonitee punktist 1 punkti z läbi punkti A võib nüüd kujutada koosnevat kahest kõverast – suletud kontuurist C (kõver BDEFAB ) ja kõverast l_0, mis ühendab punkte 1 ja z läbi punkti A\koolon

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,.

Kasutades näidete 2.85 ja 2.87 tulemusi, saame vastuse:

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,.

Geomeetrilist pilti muutmata võime vaadelda juhtumit, kui kõver käib n korda ümber algpunkti. Hankige tulemus

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,.

Saadud avaldis määratleb mitme väärtusega funktsiooni \operaatorinimi(Ln)z= \int\limits_(1)^(z)\frac(dz)(z), ei läbi integratsioonitee lähtepunkti. Mitme väärtusega avaldise haru valiku määrab funktsiooni väärtuse määramine mingil hetkel.

Näide 2.89. Otsi \ln2i= \int\limits_(1)^(2i)\frac(1)(z), kui \ln1=4\pi i .

▼ Lahendus

Leiame nimetaja nullid - integrandi ainsuse punktid. Need on punktid z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. Järgmiseks peate määrama punktide asukoha integreerimiskontuuri suhtes. Mõlemal juhul ei kuulu ükski punkt kontuuriga piiratud alasse. Seda saab kontrollida joonise abil. Mõlemad kontuurid on ringid, esimese keskpunkt on z_0=2+i ja raadius R=2 ; teise keskpunkt z_0=-2i ja R=1 . Seda, kas punkt kuulub piirkonda, on võimalik kindlaks teha teistmoodi, nimelt määrata selle kaugus ringi keskpunktist ja võrrelda seda raadiuse väärtusega. Näiteks punkti z_2=4i puhul on see kaugus võrdne |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13), mis on suurem kui raadius (\sqrt(13)>2) , seega z_2=4i ei kuulu ringi |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.

Näide 2.91. Arvutage järgmistel kontuuri C\koolon seadmise juhtudel a) |z|=2 ; b) |z+1+i|=2 .

▼ Lahendus

Arutledes nagu eelmises näites, leiame, et mõlemal juhul asub ainult üks ainsuse punktidest z_1=0 ringide sees. Seetõttu kirjutame reegli 2.6 punkti 2 (Cauchy integraalivalem) rakendades integrandi murruna \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16), kus lugeja f(z)= \frac(\sin z)(z^2+16) on funktsioon, mis on määratud ringides analüütiline. Vastus mõlemal juhul on sama:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z(z^2+16))\,dz= \left.(2\pi i \cdot \frac(\sin z)(z^2+ 16))\right|_(z=0)=0.

Näide 2.92. Arvutama \oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz järgmistel kontuuri seadmise juhtudel C\koolon a) |z+4i|=2 ; b) |z-1+3i|=2 .

▼ Lahendus

Integreerimiskontuurid on ringid, nagu eespool, ja "a" korral on keskpunkt punktis z_0=-4i,~R=2, "b" korral - punktis z_0=1-3i, ~R=2 .nMõlemal juhul satub vastavate ringide sisse üks punkt z_0=-4i. Rakendades reegli 2.6 punkti 2, kirjutame integrandi vormile \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i)), kus lugeja f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i)) on vaadeldavates valdkondades analüütiline funktsioon. Integraalivalemit rakendades saame vastuse:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \left.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \operaatorinimi(sh)1)(16)= -\frac(\pi \operaatorinimi(sh)1)(16)\,.

Näide 2.93. Arvutage integraal järgmistel kontuuri omistamise juhtudel: a) |z+i|=1 ; b) |z+2+i|=2 .

▼ Lahendus

Leida nimetaja z_1=i,~z_2=-2 integrandi ainsuse punktid - nullid. Määrame punktide kuuluvuse vastavatesse piirkondadesse. Juhul "a" ringi |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.

Juhul "b" ringi |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2), kus f(z)=\frac(e^z)((z-i)^2)- analüütiline funktsioon ringis |z+2+i|<2 . Вычисляем интеграл:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)= \frac(2\pi)(25)e^(-2)(4+3i).

Näide 2.94. Arvutage integraal \oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2)) järgmistel kontuuride määramise juhtudel: a) |z-i|=2 ; b) |z+2-i|=3 .

▼ Lahendus

a) Ringis |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2) ja rakendage m=2 ja a=i puhul reegli 2.6 punkti 3. Arvutame integraali:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \left.(2\pi i \left(\frac(e^z)(z+) 2)\right)")\right|_(z=i)= \left.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\right|_(z=i)= \left.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\right|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))((2+i)^2)\,e^(i).

b) Ringjoonele |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,.

kus kõik kontuurid C_1 ja C_2 katavad ainult ühte punkti. Eelkõige saate kontuurina C_1 võtta ringi eelmisest juhtumist "a"; C_2 - ring näitest 2,93 lk "b", st. saate tulemusi kasutada. Kirjuta vastus üles:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)+ 2\pi i\cdot \frac(1+i)((2+i)^2)\,e^(i)= \frac(2\pi i)((2+i) ^2)\bigl(e^(-2)+e^(i)(1+i)\bigl).

Javascript on teie brauseris keelatud.
Arvutuste tegemiseks peavad ActiveX-juhtelemendid olema lubatud!