Näide paradoksist: kui Ühendkuningriigi rannajoont mõõdetakse 100 km pikkusteks lõikudeks, siis on selle pikkus ligikaudu 2800 km. Kui kasutada 50 km pikkusi segmente, on pikkus ligikaudu 3400 km, mis on 600 km rohkem.

Rannajoone pikkus sõltub sellest, kuidas seda mõõdetakse. Kuna maa-ala kohta saab eristada mis tahes suurusega käänakuid, alates sadadest kilomeetritest kuni millimeetri murdosadeni või vähem, on võimatu arusaadavalt valida väikseima elemendi suurust, mida mõõtmiseks võtta. Seetõttu on selle lõigu perimeetri üheselt kindlaksmääramine võimatu. Selle ülesande lahendamiseks on erinevaid matemaatilisi lähendusi.

Peamiseks meetodiks piiri või rannajoone pikkuse hindamiseks on olnud katmine N võrdsed pikkused l kompassi abil kaardile või aerofotole. Lõigu iga ots peab kuuluma mõõdetud piirile. Uurides lahknevusi piiride hindamisel, avastas Richardson selle, mida praegu nimetatakse Richardsoni efekt: Mõõtmisskaala on pöördvõrdeline kõigi segmentide kogupikkusega. See tähendab, et mida lühemat joonlauda kasutatakse, seda pikem on mõõdetud piir. Seega juhindusid Hispaania ja Portugali geograafid lihtsalt erineva skaala mõõtmistest.

Richardsoni jaoks oli kõige silmatorkavam see, kui väärtus l kipub nulli, ranniku pikkus lõpmatuseni. Algselt uskus Richardson eukleidilise geomeetria põhjal, et see pikkus saavutab fikseeritud väärtuse, nagu juhtub tavaliste geomeetriliste kujundite puhul. Näiteks ringi sisse kirjutatud korrapärase hulknurga ümbermõõt läheneb külgede arvu suurenedes (ja iga külje pikkus väheneb) ringi enda pikkusele. Geomeetriliste mõõtmiste teoorias nimetatakse sellist sujuvat kõverat nagu ringjoont, mida saab ligikaudselt kujutada etteantud piiriga väikeste segmentidena, alaldatavaks kõveraks.

Rohkem kui kümme aastat pärast seda, kui Richardson oma töö lõpetas, töötas Mandelbrot välja uue matemaatika haru, fraktaalgeomeetria, et kirjeldada selliseid looduses eksisteerivaid mitterektifitseeritavaid komplekse, nagu lõputu rannajoon. Tema enda definitsioon fraktalist oma uurimistöö aluseks on:

Ma mõtlesin ühe sõna välja fraktal, põhineb ladina omadussõnal fractus. Vastav ladina verb frangere tähendab murda: looge ebakorrapäraseid fragmente. Seetõttu on mõistlik, et lisaks "fragmentaarsele" fractus peaks tähendama ka "ebaregulaarset".

Fraktalide põhiomadus on enesesarnasus, mis seisneb sama üldfiguuri avaldumises mis tahes mõõtkavas. Rannajoont tajutakse lahtede ja neemede vaheldumisena. Hüpoteetiliselt on nii, et kui antud rannajoonel on enesesarnasuse omadus, siis olenemata sellest, kui palju üht või teist osa on skaleeritud, tekib ikkagi sarnane muster väiksematest lahtedest ja neemedest, mis asetsevad suuremate lahtede ja neemede peale kuni liivateradeni. Sellistel mõõtkavadel näib rannajoon olevat hetkeliselt muutuv, potentsiaalselt lõpmatu niit, mille lahtede ja neemede paigutus on stohhastiline. Sellistes tingimustes (erinevalt sujuvatest kurvidest) nendib Mandelbrot: "Rannajoone pikkus osutub kättesaamatuks mõisteks, mis libiseb nende näppude vahelt, kes püüavad seda mõista."

kus rannajoone pikkus L on ühiku ε funktsioon ja on ligikaudne parempoolse avaldise abil. F on konstant, D on Richardsoni parameeter, mis sõltub rannajoonest endast (Richardson ei andnud sellele suurusele teoreetilist selgitust, kuid Mandelbrot defineeris D kui Hausdorffi mõõtme mittetäisarvulise vormina, hiljem fraktaalmõõtmena. sõnadega, D on "kareduse" praktiliselt mõõdetud väärtus). Avaldise parema külje ümberkorraldamisel saame:

kus Fε -D peaks olema ε ühikute arv, mis on vajalik L saamiseks. Fraktaalne mõõde on objekti mõõtmete arv, mida kasutatakse fraktaali lähendamiseks: 0 punkti jaoks, 1 joone jaoks, 2 pindalakujude jaoks. Kuna katkendjoon, mis mõõdab ranniku pikkust, ei ulatu ühes suunas ega tähista samal ajal piirkonda, on D väärtus avaldises 1 ja 2 vahepealne (ranniku puhul tavaliselt alla 1,5) . Seda saab tõlgendada jämeda joone või 2ε laiuse triibuna. Rohkem "katkistel" rannikutel on D suurem väärtus ja seega osutub L sama ε puhul pikemaks. Mandelbrot näitas, et D ei sõltu ε-st.

Üldiselt erinevad rannajooned matemaatilistest fraktaalidest, kuna need on moodustatud arvukate väikeste detailide abil, mis loovad mustreid ainult statistiliselt.

Tegelikkuses pole rannajoontel väiksemaid kui 1 cm detaile [ ] . Selle põhjuseks on erosioon ja muud merenähtused. Enamikus kohtades on miinimumsuurus palju suurem. Seetõttu ei sobi lõpmatu fraktaalmudel rannajoonte jaoks.

Praktilistel kaalutlustel valitakse osade minimaalne suurus mõõtühikute järjestusega võrdne. Seega, kui rannajoont mõõdetakse kilomeetrites, siis väikseid joonte muutusi, palju alla ühe kilomeetri, lihtsalt ei võeta arvesse. Rannajoone mõõtmiseks sentimeetrites tuleb arvestada kõigi väikeste, umbes ühe sentimeetri suuruste variatsioonidega. Sentimeetri suurusjärgus skaalal tuleb aga teha mitmesuguseid suvalisi mittefraktaalseid oletusi, näiteks kui suudme ühineb merega või kus tuleb mõõta laiade vattide juures. Lisaks ei võimalda erinevate mõõtmismeetodite kasutamine erinevate mõõtühikute jaoks neid ühikuid lihtsa korrutamise abil teisendada.

Osariigi territoriaalvete määramiseks rajatakse Kanada Briti Columbia provintsi ranniku nn käänakud, mis moodustavad üle 10% Kanada rannajoone pikkusest (sh kõik Kanada Arktika saarestiku saared) - 25 725 km 243 042 km-st lineaarsel vahemaal, mis võrdub ainult 965 km

rannajoone pikkus

Kas seda saab mõõta?
Kas meil on õigus anda õpikutes pikkust
rannajoon ja kas meil pole piinlik,
küsite seda arvu õpilastelt?

K.S. LAZAREVICH

Geograafiatundides tegutseme erinevate statistiliste näitajatega. Enamik neist näevad välja väga lihtsad ja selged: nii palju miljoneid inimesi, nii palju miljoneid tonne kivisütt, nii palju kilomeetreid. Aga kui sa sellele ei mõtle. Ja iga kuju tuleb vaid sügavamale kaevata – ja see lakkab olemast selge. Mõnikord pudeneb see tolmuks. Siin on näited.
Avame hiljuti ilmunud ja äsja müügile jõudnud Maailma Atlase (M.: FSUE Production Mapping Association "Cartography", 2003.). Tabelist “Maailma osariigid ja territooriumid” leiame: “Prantsusmaa pealinn on Pariis (2 125,2 tuhat elanikku). Kui üliõpilane annab eksamil sellise numbri, kas eksamineerija jääb rahule? Pariis on ju üks Euroopa suurimaid keskusi ja mitte vähem kui Peterburi. Kuid antud joonisel pole viga: see on Pariis Pariisi linna halduspiirides. Ja tõeliselt arenenud linnaklastri piires - see on kümme miljonit. Palju oleneb sellest, kuidas loete. See ei tähenda, et saaksime õpilaselt vastuseks võtta mis tahes arvu vahemikus 2,2 kuni 10; seda või teist numbrit andes peab õpilane aru saama, mis selle taga on, mida ja kuidas mõõdetakse.
Miljon tonni kõrge kütteväärtusega kivisütt ja pruunsütt – erinevad miljonid.
Aga siin, tundub, kilomeetrid. Kilomeeter on ka Aafrikas kilomeeter. Ja mida tegelikult kilomeetrites mõõdetuna võib kahtluse alla seada? Aga selgub, et isegi pikkusi kilomeetrites andes peab õpiku autor esmalt mõtlema. Õpetaja peab õpikut kasutades ka joonist kriitiliselt analüüsima enne õpilastele edastamist ja päheõppimist. 10. klassi õpikut lugedes: "Kanadal on kolm ookeani ja selle kogu rannajoon (umbes 250 000 km) on maailmas võrratu." Kuidas mõõdeti rannajoont, mida mõõdeti, kuidas mõõdeti, kuidas mõõdeti? Kuidas saab isegi rannajoont mõõta?

Kaardil olevaid ebakorrapäraseid kurve saab mõõta kurvimeetri abil – selle seadme ratast veeretatakse mööda kurvi, kirjutades hoolikalt iga lookleva välja. Rannajoone looklevus on aga sageli nii suur, et mööda seda kurvimeetriga mööda ei saa. Mööda kurvi tuleb kõndida kompassimeetriga. Kõige mugavam astme pikkus on 2 mm. Erinevatel mõõtkavadel vastab see samm muidugi erinevatele kaugustele, selline mõõtmine ei anna kunagi täpset pikkust, kuna iga samm sirgendab kõverat väikesel lõigul, kuid suhteline viga on enam-vähem säilinud.
Proovime näite huvides mõõta Tšukotka autonoomse piirkonna rannajoone pikkust. Võtame Venemaa geograafia kooliatlasest kaardi (mõõtkava 1: 22 000 000) ja kahemillimeetrise kompassi sammuga (44 km) läbime kogu Tšuktši ranniku. Tulemuseks on 4300 km (98 kompassi sammu). Teeme sama mõõtmise skaalakaardil
1: 7 500 000. Siin loeme juba 345 kahemillimeetrist (15 km) sammu, see tähendab
5200 km. Loogiline on eeldada, et kui mõõtmistel kasutada veelgi suuremas mõõtkavas kaarti, muutub mõõdetav rannajoon veelgi pikemaks.
Teeme teise katse. Leningradi oblasti rannajoone pikkus. kaardil
1: 22 000 000 - 300 km, kaardi järgi 1: 2 500 000 - 555 km ja topograafilise kaardi järgi
1: 500 000 - 670 km. Samal ajal on ainuüksi Viiburi lahe rannajoone (kus rannikud on eriti lahtede ja abajatega taandunud) pikkus topograafilisel kaardil mõõdetuna 338 km, kooliatlase järgi aga 65 km (vahe on rohkem kui
Viis korda!).
Seega toimub mõõdetava rannajoone pikkuse korrapärane suurenemine koos skaala suurenemisega. Põhjus pole mitte ainult selles, et kompassi kahemillimeetrine samm vastab üha väiksemale väärtusele maapinnal, vaid peamiselt selles, et joon ise, isegi kui see on väga täpselt mõõdetud ja skaala järgi kilomeetrites teisendatud, muutub tegelikult pikemaks. (Joonis 1) . Venemaa kaardil Leningradi oblasti ranniku lähedal. oletatakse vaid Viiburi lahte, Neeva lahte ja Soome lahe lõunaranniku väikseid käänakuid. Mõõtkavaga 1:2 500 000 kaardil on Viiburi lahe piirjooned juba üsna keerulised, lõunas on selgelt näha Koporskaja ja Luga laht. Poole miljoni suurusel Viiburi lahe kaardil on palju teisi väikeseid lahtesid, millest mõnel on ka oma nimed (Baltietsi laht, Kljutševskaja laht) ja ainult Soome lahe lõunarannik tundub eelmisega võrreldes vähe muutunud. skaalal, kus ranniku taane on palju väiksem.

Kuidas määrata rannajoone täpset pikkust?
Selle eesmärgi seadis inglise meteoroloog Richardson, valides katsepaigaks oma sünnisaare Suurbritannia. Ta jõudis järeldusele, et rannajoone pikkus suureneb koos kaardi mõõtkava suurenemisega, mille järgi seda pikkust mõõdetakse (joon. 2). Kas sellisel tõusul on piir? Vaevalt. Rannajoone pikkust pikendab iga väike liivane säär, mis merre läheb, iga lohk, mis loob pisikese lahe, iga veeris, mis ümber vee voolab. Isegi kõige suurema mõõtkavaga kaardil pole neid näha, tegelikkuses on aga kõik need rannajoone ebatasasused olemas.

Tootakse palju näiteid, kuidas matemaatiliste meetodite kasutamine võimaldab muuta geograafilist uurimistööd veenvamaks, usaldusväärsemaks. Siin juhtus vastupidine: geograafilised uuringud – rannajoone pikkuse uurimine – aitasid kaasa uue matemaatilise kontseptsiooni tekkimisele. Selle kontseptsiooni ingliskeelne nimi on fraktal, kuid vene keeles pole see veel täielikult välja kujunenud ja seda leidub kolmes versioonis: fraktal(genitiiv- ja instrumentaaljuhtumid on fraktal, fraktal), fraktal mehelikus keeles ( fraktal, fraktal) ja fraktal naiselikus ( fraktalid, fraktal); viimasel ajal tundub, et kaldub poole fraktal.
Fraktal on joon, mille iga fragment muutub lõpmatult keerukamaks, iga fragmendi ja kogu rea pikkus pidevalt suureneb. Näitena võib tuua kuju, mida tavaliselt nimetatakse Kochi lumehelbeks, kuigi nimi on vale: ta ehitas selle lumehelbe 20. sajandi alguses. Helga von Koch ja tema nime ei tohiks tagasi lükata.
Võtke võrdkülgne kolmnurk. Jagame selle kõik küljed kolmeks võrdseks osaks ja konstrueerime mõlema külje keskmisele segmendile võrdkülgse kolmnurga. Saate tavalise kuueharulise tähe, kuue kumera ja kuue sissetuleva nurgaga figuuri. Jagame selle kõik küljed (ja neid külgi on 12) kolmeks võrdseks osaks ja kummagi külje keskmisele segmendile konstrueerime uuesti võrdkülgse kolmnurga. Saate juba 48 küljega figuuri, millel on 18 kumerat ja 30 sissetulevat nurka. Korrates seda toimingut lõpmatu arv kordi (seda saab teha muidugi ainult mõtteliselt), saame kujundi, mille pindala kasvab pidevalt, kuid aeglasemalt, lähenedes järk-järgult teatud piirile (joonis 3). Selle kujundi ümbermõõt suureneb lõputult, kuna iga kord, kui ehitame joonise küljele uue võrdkülgse kolmnurga, ükskõik kui väike see ka poleks, asendatakse selle külje kolm võrdset lõiku nelja samasugusega ja seega ka pikkus. kummagi külje (ja seega ka kogu perimeetri) suurus suureneb 4/3 korda ja iga ühest suurem arv astmeni, mis on võrdne lõpmatusega (ja me teeme konstruktsiooni lõpmatu arv kordi) kaldub lõpmatusse.

Riis. 3 lumehelves Koch - ehituse erinevad etapid

Lumehelbe ääris on midagi laia, karvase joone taolist, mis täidab kogu selle kujundi piiriala. Mõisted "lai joon", "paks pind", mis tunduvad klassikalise matemaatika seisukohalt absurdsed (joonel pole seal laiust ja pinnal pole paksust), omandasid nad fraktaliteooria arenedes. kodakondsuse õigused. Arvatakse, et joon on ühemõõtmeline, sellel on ainult pikkus, punkti asukoha sellel määrab üks koordinaat; pind on kahemõõtmeline, sellel on pindala, punkti asukoht sellel on määratud kahe koordinaadiga; keha on kolmemõõtmeline, sellel on maht, kolme koordinaati on juba vaja. Ja fraktaliteooria tutvustab murdmõõtme mõistet: joon ei ole muutunud kahemõõtmeliseks, vaid on juba lakanud olemast ühemõõtmeline. Ettevalmistumata inimesel on seda üsna raske mõista (poolteist korda ei saa aevastada), aga kui meenutada, kuidas rannajoon käitub - mitte ainult kaardil, vaid ka looduses, siis kuidas see muutub, kui vaadata seda kükitades, siis täiskõrguseni sirgudes, siis mäkke ronides, siis lennuki või kosmoselaevaga õhku tõustes me mitte niivõrd aru ei saa, kuivõrd tunnetame, millist keerulist süsteemi see joon kujutab; tema jaoks ei piisa kindlasti ühest omadusest - pikkusest.
Ja geograafilisest uurimistööst sündinud fraktaliteooria tuleb ise geograafiale appi. Reljeefi kui fraktaali uurimise meetodit pole veel välja töötatud, kuid sellel on kindlasti väljavaateid. Arvestades reljeefi üldiselt, joonistades seda väikesemahulisele kaardile, näeme mäeahelikke, platood, sügavaid orge. Keskmises mastaabis juba paistavad künkad, väikesed orud ja kuristikud. Veel suurem – ja konarused on näha, tuul lainetab liival. Kuid see pole piir: seal on eraldi kivikesed, liivaterad. Praktilises plaanis on see kõik oluline, sest peate õppima, kuidas erineva mõõtkavaga kaartidel kujutamiseks objekte õigesti valida; kaardi koostajate üks peamisi vigu on lahknevus kaardi sisu ja selle mõõtkava vahel, kaart on kas ala- või ülekoormatud.
Aga mida teha rannajoone pikkusega? Kas keelduda seda mõõtmast, sest see on mõõtmatu?
Ei, see pole valik. Lihtsalt rannajoone pikkust viidates tuleks alati märkida, mis mõõtkavaga kaartidel see mõõdeti, mil viisil. Ja täpsustage kindlasti, saarte rannajoont arvestati või mitte. Märkimata kaartide mõõtkava ja seda, kas saared on arvesse võetud või mitte, kaotavad igasugused andmed rannajoone pikkuse kohta oma tähenduse. Kahjuks võib isegi puht soliidsusele väidetavates allikates kohata kohutavaid absurdsusi. Näiteks kuulus CIA veebisait "The World Factbook". Siin on iga riigi ja ookeani kohta antud rannajoone andmed, kuid mõõtmismeetodit pole märgitud. Selle tulemusel on Kanada rannajoon üle 200 tuhande km, Põhja-Jäämeri - 45,4 tuhat km, Atlandi ookean - 111,9 tuhat km (andmed on antud - ärge arvake halvasti! - kilomeetri täpsusega). Kanadat peeti saartega arvestamiseks, seda kahtlemata; Kuidas ookeanid loendati, pole teada, kuid kolmest Kanadat ümbritsevast ookeanist kahe rannajooned on kokkuvõttes väiksemad kui ainult Kanada rannajooned. Norra kohta on toodud arv 21 925 km ja märge: "Mandri 3419 km, suured saared 2413 km, pikad fjordid, arvukalt väikesaari ja väikseid käänakuid [sõna-sõnalt tõlgitud sälgud] rannajoon 16 093 km. Kokku saadakse ainult näidatud rannajoone kogupikkus. Kuid seepärast ei kuulu fjordide kaldad mandri rannajoone alla, miks liidetakse sälkude pikkus mandri rannajoone pikkusele, milliseid saari peetakse suurteks – kõike seda võib vaid oletada. Absoluutselt vaieldamatud andmed selles tabelis on antud ainult Andorra, Austria, Botswana, Ungari, Svaasimaa ja sarnaste merele juurdepääsuta riikide kohta – seal on kirjas: "0 km".

Tuntud fakt:

Näide paradoksist: kui Ühendkuningriigi rannajoont mõõdetakse 100 km pikkusteks lõikudeks, siis on selle pikkus ligikaudu 2800 km. Kui kasutada 50 km pikkusi segmente, on pikkus ligikaudu 3400 km, mis on 600 km rohkem.

Rannajoone pikkus sõltub sellest, kuidas seda mõõdetakse. Kuna maa-ala kohta saab eristada mis tahes suurusega käänakuid, alates sadadest kilomeetritest kuni millimeetri murdosadeni või vähem, on võimatu arusaadavalt valida väikseima elemendi suurust, mida mõõtmiseks võtta. Seetõttu on selle lõigu perimeetri üheselt kindlaksmääramine võimatu. Selle ülesande lahendamiseks on erinevaid matemaatilisi lähendusi.

Sarnane efekt on turgudel, kuna see on omane enesesarnasuse või fraktaalsuse omadustele ning hinnamuutuse protsessi arvestamise skaala muutmine mõjutab graafiku pikkust.
Ja siin Tatarin30? Üldiselt pole sellega midagi pistmist.See tõsiasi on hästi teada ja ei kipu ainult laiskadele. Kuid just Tatarin30 sundis mind lõpuks seda fakti oma tegevuses turul kasutama. Täpsemalt mitte Tatarin ise,30 vaid tema intervjuu Timofei Martõnoviga. Vabandust, ma ei anna linki, sest ma ei mäleta.
Mis on minu järeldus...
Rannajoone pikkust saab mõõta erinevates mõõtkavades. Ja ka turu liikumiste pikkus
Saate kaubelda suurte liikumistega, need on olemas, kuid neid on vähe. Nende pealt võite teenida suurt kasumit, kuid võite saada ka üsna suure kahjumi, kui turg keeldub panuse suunda järgimast.
Kuid saate graafiku pikkust mõõta väikeses skaalas. Ei muretse turuhindade liikumise ja globaalsete eesmärkide strateegiliste väljavaadetega ning fikseerib oma kasumi mõõteliini väikestes osades /
Mis on sellise strateegia eelised – tihe kahjukontroll, kui turg läheb valele teele.
Mis on miinused - kasumi puudumine, kui turg sinna läheks ...
Arvestades tõsiasja, et suured trendid on palju harvemad kui väikesed käigud ja tõsiasi, et suur samm mis tahes suunas realiseerub paljude impulsside ja turu strateegilise suuna vastu suunatud tagasitõmbedena, peaks selline lähenemine andma pikemas perspektiivis rohkem. plussid kui miinused.
Jah, tore on suunda õigesti hinnata ja kasumit saada. Kuid ka vea hind pikaajalises kauplemises on kõrge. 1000 liine teekond algab ühest sammust. Seetõttu on parem sellele ühele sammule reageerida ja kasumit võtta, kui oodata samasuunalist pööret, jättes kahjumi välja.
Ja fraktaalidest. Billy Williamsil oma fraktaalidega pole sellega absoluutselt mingit pistmist.

Geograafiat õppides peate muidugi meeles pidama, et igal riigil on oma territooriumi pindala ja piiri pikkus, eriti kui riiki peseb mõni meri või ookean, siis on sellel oma territoorium. teatud pikkusega merepiir. Kas olete kunagi mõelnud, kuidas seda piiri pikkust määratakse? 1977. aastal esitas Ameerika matemaatik Benoit Mandelbrot endale järgmise küsimuse: kui pikk on Suurbritannia rannajoon? Selgus, et sellele "lapselikule küsimusele" polegi võimalik õigesti vastata. 1988. aastal otsustas Norra teadlane Jens Feder välja selgitada, kui pikk on Norra rannajoon. Pange tähele, et Norra rannik on tihedalt kaetud fiordidega. Teised teadlased on esitanud endale sarnaseid küsimusi Austraalia, Lõuna-Aafrika, Saksamaa, Portugali ja teiste riikide rannajoonte kohta.

Rannajoone pikkust saame mõõta vaid ligikaudselt. Väljasuumides tuleb aina rohkem mõõta väikseid neeme ja lahtesid - rannajoone pikkus pikeneb ning väljasuumimisel (ja seeläbi rannajoone pikkuse suurendamisel) lihtsalt pole objektiivset piiri; oleme sunnitud tunnistama, et sellel joonel on lõpmatu pikkus. Teame, et sirge mõõde on üks, ruudu mõõde on kaks ja kuubi mõõde on kolm. Mandelbrot tegi ettepaneku kasutada "koletiste" kõverate mõõtmiseks murdosa mõõtmeid - Hausdorffi - Besicovitši mõõtmeid. Lõpmatult sakilised kurvid nagu rannajoon ei ole päris jooned. Tundub, et need "pühivad" osa tasapinnast nagu pind. Kuid need pole pinnad. See tähendab, et on mõistlik eeldada, et nende mõõde on suurem kui üks, aga ka väiksem kui kaks, st tegemist on murdmõõtmeliste objektidega.

Norra teadlane E. Feder pakkus välja teise viisi rannajoone pikkuse mõõtmiseks. Kaart oli kaetud ruutvõrguga, mille lahtrid on mõõtmetega e? e. Näha on, et selliste lahtrite arv N(e), mis katavad kaardil rannajoont, on ligikaudu võrdne sammude arvuga, mille jooksul saab kaardil rannikujoonel ümber käia lahendusega e kompassiga. Kui e väheneb, siis arv N(e) suureneb. Kui Suurbritannia rannajoone pikkusel oleks teatud pikkus L, siis lahendusega kompassi sammude arv (või rannajoont katvate ruudukujuliste lahtrite arv N(e) kaardil) oleks pöördvõrdeline e-ga, ja väärtus Ln(e)=N(e)? e kalduks k vähenedes konstandile L. Kahjuks on paljude teadlaste tehtud arvutused näidanud, et see pole päris tõsi. Kui samm väheneb, suureneb mõõdetud pikkus. Selgus, et mõõdetud pikkuse L(e) ja sammu e vahelist seost saab kirjeldada ligikaudse seosega

Koefitsienti D nimetatakse fraktaalmõõtmeks. Sõna fraktal tuleb ladinakeelsest sõnast fractal – murdosa, mittetäisarv. Hulka nimetatakse fraktaaliks, kui sellel on mittetäisarvuline mõõde. Norra puhul D=1,52 ja Ühendkuningriigi puhul D=1,3. Seega on Norra ja Suurbritannia rannajoon fraktal fraktaalmõõtmega D. Arvutused tehti ka ringi kohta ning ringi fraktaalmõõde on D=1, mida oligi oodata. Seega on fraktaalmõõde tavamõõtme üldistus.

Kuidas seda mõista ja mida see tähendada võib? Matemaatikud hakkasid meenutama, kas matemaatikas oli varem midagi sarnast või mitte? Ja nad mäletasid! Vaatleme tasapinnal oleva sirge AB osa (joonis 3). Võtame ruudu servaga e ja küsime endalt: mitu ruutu N(e) servaga pikkusega e on vaja sirge AB katmiseks selliste ruutudega? On näha, et N(e) on võrdeline

Samamoodi, kui tasapinnal (joonis 4) on suletud piiritletud ala kaetud ruutvõrguga, mille külg on e, siis on minimaalne pindala katvate küljega e ruutude arv võrdne

Kui arvestada suletud piiritletud ala kolmemõõtmelises ruumis ja võtta kuubik servaga e, siis seda ala täitvate kuubikute arv on

Fraktaalmõõtme defineerime ülaltoodu põhjal üldjuhul järgmiselt:

Võtke vasaku ja parema külje logaritm

Minnes piirini, kuna e kipub nulli (N kipub lõpmatuseni), saame

See võrdsus on mõõtme definitsioon, mida tähistatakse d-ga.

Fraktaale nimetatakse geomeetrilisteks objektideks: pinnajooned, ruumilised kehad, millel on tugevalt taanduv kuju ja millel on enesesarnasuse omadus. Sõna fraktal tuleb sõnast fractus ja seda tõlgitakse kui murdosa, murtud. Enesesarnasus kui põhiomadus tähendab, et see on enam-vähem ühtlaselt paigutatud laias skaala ulatuses. Seega osutuvad sissesuumimisel väikesed fraktali killud suurte fragmentidega väga sarnaseks. Ideaaljuhul viib selline enesesarnasus selleni, et fraktaalobjekt osutub dilatatsioonide all muutumatuks, s.t. väidetavalt on sellel dilatatsiooniline sümmeetria. See eeldab fraktali peamiste geomeetriliste tunnuste muutumatust skaala muutumisel.

Muidugi on tõelise loodusliku fraktaali jaoks olemas teatud minimaalne pikkusskaala, nii et kaugustel kaob selle peamine omadus - enesesarnasus. Lisaks rikutakse seda enesesarnasuse omadust ka piisavalt suurel pikkusel skaalal, kus on objektide iseloomulik geomeetriline suurus. Seetõttu võetakse looduslike fraktaalide omadusi arvesse ainult skaaladel l, suhet rahuldav . Sellised piirangud on üsna loomulikud, sest kui tuua näitena fraktal - Browni osakese katkine, mittesujuv trajektoor, siis saame aru, et pilt on ilmselge idealiseerimine. Asi on selles, et kokkupõrkeaja lõplikkus mõjutab väikeseid skaalasid. Kui neid asjaolusid arvesse võtta, muutub Browni osakese trajektoor sujuvaks kõveraks.

Pange tähele, et enesesarnasuse omadus on iseloomulik ainult tavalistele fraktaalidele. Kui nende loomise algoritmi kaasatakse deterministliku konstrueerimismeetodi asemel mõni juhuslikkuse element (nagu juhtub näiteks paljudes klastrite difusioonikasvu, elektrilise läbilöögi jms protsessides), siis nn juhuslikud fraktaalid. tekkida. Nende peamine erinevus tavalistest seisneb selles, et enesesarnasuse omadused kehtivad alles pärast asjakohast keskmistamist kõigi statistiliselt sõltumatute objektide realisatsioonide kohta. Sellisel juhul ei ole fraktali suurendatud osa algse fragmendiga täpselt identne, kuid nende statistilised omadused on samad. Kuid fraktal, mida me uurime, on üks klassikalistest fraktaalidest ja seetõttu korrapärane.

rannajoone pikkus

Esialgu tekkis fraktali mõiste füüsikas seoses rannajoone leidmise probleemiga. Seda olemasoleval piirkonna kaardil mõõtes selgus kurioosne detail - mida suuremaks kaart võtta, seda pikemaks see rannajoon osutub.

Joonis 1 – Rannajoone kaart

Olgu näiteks kaugus sirgjoonel rannajoonel asuvate punktide vahel A ja B võrdub R(vt joonis 1). Seejärel asetame nende punktide vahelise rannajoone pikkuse mõõtmiseks piki rannikut üksteisega jäigalt ühendatud pulgad nii, et kõrvuti asetsevate pulkade vaheline kaugus oleks näiteks l=10km. Rannajoone pikkus punktide vahel kilomeetrites A ja B siis võtame tihvtide arvu miinus üks, korrutatuna kümnega. Selle pikkuse järgmise mõõtmise teeme sarnaselt, kuid naaberpooluste vahelise kauguse muudame võrdseks l=1km.

Selgub, et nende mõõtmiste tulemused on erinevad. Väljasuumimisel l saame kõik suured pikkuse väärtused. Erinevalt sujuvast kõverast on mereranniku joon sageli nii taandunud (väikseima mõõtkavani), et lingi vähenemisel l suurusjärk L- rannajoone pikkus - ei kaldu lõpliku piirini, vaid suureneb järkjärgulise seaduse järgi

kus D- mõni eksponent, mida nimetatakse rannajoone fraktaalmõõtmeks. Mida suurem on väärtus D seda karmim on see rannajoon. Sõltuvus (1) on intuitiivne: mida väiksemat skaalat kasutame, seda väiksemaid ranniku detaile võetakse arvesse ja need aitavad kaasa mõõdetavale pikkusele. Vastupidi, skaalat suurendades sirgendame rannikut, vähendades pikkust L.

Seega on ilmne, et rannajoone pikkuse määramiseks L kõva skaalaga l(näiteks kasutades fikseeritud lahenduskompassi), peate tegema N = L/l sammud ja väärtus L muutused c l nii N sõltub l seaduses. Selle tulemusena suureneb mastaabi vähenedes rannajoone pikkus määramatult. See asjaolu eristab järsult fraktaalikõverat tavalisest sujuvast kõverast (nagu ring, ellips), mille puhul on ligikaudse katkendjoone pikkuse piir L kuna selle lingi pikkus kipub olema null l lõplik. Selle tulemusena sujuva kõvera jaoks selle fraktaalmõõde D = 1, st. langeb kokku topoloogilisega.

Esitame fraktaalmõõtmete väärtused D erinevatele rannajoontele. Näiteks Briti saarte jaoks D? kolmteist ja Norra jaoks D? viisteist. Austraalia ranniku fraktaalmõõde D ? 1. 1. Ühtsusele lähedaseks osutuvad ka teiste rannikute fraktaalmõõtmed.

Eespool tutvustati rannajoone fraktaalmõõtme kontseptsiooni. Anname nüüd selle suuruse üldise definitsiooni. Las olla d- selle ruumi tavaline eukleidiline mõõde, milles meie fraktaalobjekt asub ( d=1- joon, d=2- lennuk, d=3- tavaline kolmemõõtmeline ruum). Nüüd katame selle objekti täielikult d-mõõtmelised raadiusega "pallid". l. Oletame, et vajame vähemalt N(l) pallid. Siis, kui piisavalt väike l suurusjärk N(l) varieerub vastavalt võimsusseadusele:

siis D- nimetatakse selle objekti Hausdorffi ehk fraktaaldimensiooniks.