Tõenäosuste liitmine ja korrutamine tingimuslik tõenäosus. Ühildumatute sündmuste tõenäosuste liitmise teoreem

Sündmuse tõenäosus A on sündmuse A algust soodustavate testitulemuste arvu m suhe kõigi võrdselt võimalike mitteühilduvate tulemuste koguarvusse n: P(A)=m/n.

Sündmuse tingimuslik tõenäosus A (või sündmuse A tõenäosus, eeldusel, et sündmus B on toimunud) on arv P B (A) \u003d P (AB) / P (B), kus A ja B on sama testi kaks juhuslikku sündmust .

Lõpliku arvu sündmuste summa nimetatakse sündmuseks, mis seisneb vähemalt ühe neist toimumises. Kahe sündmuse summat tähistatakse A+B-ga.

Tõenäosuse liitmise reeglid :

ühisüritused A ja B:
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), kus P(A) on sündmuse A tõenäosus, P(B) on sündmuse B tõenäosus, P(A+B) ) on kahest sündmusest vähemalt ühe toimumise tõenäosus, P(AB) on kahe sündmuse ühise toimumise tõenäosus.
lisamise reegel kokkusobimatud sündmused A ja B:
P(A+B) = P(A)+P(B), kus P(A) on sündmuse A tõenäosus, P(B) on sündmuse B tõenäosus.

Lõpliku arvu sündmuste korrutis nimetatakse sündmuseks, mis seisneb selles, et igaüks neist leiab aset. Kahe sündmuse korrutis on tähistatud kui AB.

Tõenäosuse korrutamise reeglid :

sõltuvad sündmused A ja B:
Р(АВ)= Р(А)*Р А (В)= Р(В)*Р В (А), kus Р А (В) on sündmuse B toimumise tingimuslik tõenäosus, kui sündmus A on juba toimunud, Р В (А ) on sündmuse A toimumise tingimuslik tõenäosus, kui sündmus B on juba toimunud;
tõenäosuse korrutamise reegel iseseisvad sündmused A ja B:
P(AB) = P(A)*P(B), kus P(A) on sündmuse A tõenäosus, P(B) on sündmuse B tõenäosus.

Näiteid probleemide lahendamisest teemal „Operatsioonid sündmustel. Tõenäosuste liitmise ja korrutamise reeglid"

Ülesanne 1 . Karbis on 250 pirni, millest 100 on 90W, 50 on 60W, 50 on 25W ja 50 on 15W. Määrake tõenäosus, et ühegi juhuslikult võetud lambipirni võimsus ei ületa 60 vatti.

Lahendus.

A \u003d (lambipirni võimsus on 90 W), tõenäosus P (A) \u003d 100/250 \u003d 0,4;
B \u003d (lambipirni võimsus on 60 W);
C \u003d (lambipirni võimsus on 25 W);
D = (lambipirni võimsus on 15W).

2. Sündmused A, B, C, D vormis täielik süsteem , kuna need kõik ei ühildu ja üks neist selles katses (lambipirni valimine) kindlasti ette tuleb. Neist ühe esinemise tõenäosus on usaldusväärne sündmus, siis Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D)=1.

3. Sündmused (lambi võimsus mitte üle 60W) (st alla või võrdne 60W) ja (lambi võimsus üle 60W) (antud juhul - 90W) on vastupidised. Vastandarvude omaduse järgi P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).

4. Arvestades, et P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D), saame P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0, 4 = 0,6.

2. ülesanne . Tõenäosus tabada sihtmärki esimese laskuri poolt ühe lasuga on 0,7 ja teise laskuri poolt - 0,9. Leidke tõenäosus, et
a) märklauda tabab ainult üks laskur;
b) sihtmärki tabab vähemalt üks laskur.

Lahendus.
1. Mõelge järgmistele sündmustele.
А1 = (esimene laskur tabab märklauda), Р(А1)=0,7 ülesande olukorrast;
А1 = (esimene laskur jäi mööda), samas kui Р(А1)+Р(А̄1) = 1, kuna А1 ja А̄1 on vastupidised sündmused. Seega Р(А̄1)=1-0,7=0,3;
А2 = (teine laskur tabab märklauda), Р(А2)=0,9 ülesande olukorrast;
А2 = (teine laskur eksis), samas kui Р(А̄2)=1-0,9=0,1.

2. Sündmus A=(sihtmärki tabas ainult üks laskur) tähendab, et on toimunud üks kahest kokkusobimatust sündmusest: kas A1А2 või А1А2.
Tõenäosuste liitmise reegli järgi Р(А)= Р(А1А2) + Р(А1А2).

Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0,7*0,1=0,07;
Р(А̄1А2)= Р(А̄1)*Р(А2)=0,3*0,9=0,27.
Siis Р(А)= Р(А1А2)+Р(А±1А2)=0,07+0,27=0,34.

3. Sündmus B=(märklaua tabamus vähemalt ühe laskuri poolt) tähendab, et esimene laskur tabas märklauda või teine laskur tabas märklauda või tabasid märklauda mõlemad laskurid.

Sündmus B̄=(sihtmärki ei taba ükski laskur) on vastupidine sündmusele B, mis tähendab P(B)=1-P(B̄).
Sündmus B̄ tähendab sõltumatute sündmuste Ā1 ja Ā2 samaaegset ilmnemist, seega P(B̄)=P(Ā1Ā2)= P(Ā1)*P(Ā2)=0,3*0,1=0,3.
Siis Р(В)=1-Р(B̄)=1-0,3=0,7.

3. ülesanne . Eksamitöö koosneb kolmest küsimusest. Tõenäosus, et õpilane vastab esimesele küsimusele, on 0,7; teisel - 0,9; kolmandal - 0,6. Leidke tõenäosus, et õpilane piletit valides vastab:
a) kõik küsimused
d) vähemalt kaks küsimust.

Lahendus. 1. Mõelge järgmistele sündmustele.
А1 = (õpilane vastas esimesele küsimusele), Р(А1)=0,7 ülesande tingimusest;
A1 = (õpilane ei vastanud esimesele küsimusele), samas kui P(A1) + P(Ā1) = 1, kuna A1 ja Ā1 on vastandlikud sündmused. Seega Р(А̄1)=1-0,7=0,3;
А2 = (õpilane vastas teisele küsimusele), Р(А2)=0,9 ülesande tingimusest;
А2 = (õpilane ei vastanud teisele küsimusele), samas kui Р(А̄2)=1-0,9=0,1;
А3 = (õpilane vastas kolmandale küsimusele), Р(А3)=0,6 ülesande tingimusest;
А3 = (õpilane ei vastanud kolmandale küsimusele), samas kui Р(А̄3)=1-0,6=0,4.

2. Sündmus A = (õpilane vastas kõigile küsimustele) tähendab iseseisvate sündmuste A1, A2 ja A3 samaaegset ilmnemist, s.o. Р(А)= Р(А1А2А3).Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise reegli järgi: Р(А1А2А3)= Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)= 0,7*0,9*0,6=0,378 .
Siis P(A)=P(A1A2A3)=0,378.

3. Sündmus D = (õpilane vastas vähemalt kahele küsimusele) tähendab, et vastus antakse suvalisele kahele küsimusele või kõigile kolmele, s.t. on toimunud üks neljast kokkusobimatust sündmusest: kas A1A2Ā3 või A1Ā2A3 või А1А2А3 või А1А2А3.
Kokkusobimatute sündmuste tõenäosuste liitmise reegli järgi: P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1Ā2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise reegli kohaselt:
Р(A1A2Ā3)= Р(A1)*Р(A2)*Р(Ā3)= 0,7*0,9*0,4=0,252;
Р(А1Ā2А3)= Р(А1)*Р(Ā2)*Р(А3)= 0,7*0,1*0,6=0,042;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,3*0,9*0,6=0,162;
P (A1A2A3) = P (A1) * P (A2) * P (A3) = 0,7 * 0,9 * 0,6 \u003d 0,378.
Siis Р(D)= 0,252+0,042+0,162+0,378= 0,834.

Liitumise teoreem

Mõelge kokkusobimatutele juhuslikele sündmustele.

On teada, et kokkusobimatud juhuslikud sündmused $A$ ja $B$ samas katses on vastavalt $P\left(A\right)$ ja $P\left(B\right)$ tõenäosustega. Leiame nende sündmuste summa $A+B$ tõenäosuse ehk vähemalt ühe sündmuse toimumise tõenäosuse.

Oletame, et selles testis on kõigi võrdselt võimalike elementaarsündmuste arv $n$. Nendest sündmusi $A$ ja $B$ eelistavad vastavalt $m_(A)$ ja $m_(B)$ elementaarsündmused. Kuna sündmused $A$ ja $B$ ei ühildu, eelistavad $m_(A) +m_(B)$ elementaarsündmused sündmust $A+B$. Meil on $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\vasak(A\parem)+P\vasak(B\parem)$.

1. teoreem

Kahe kokkusobimatu sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende tõenäosuste summaga.

Märkus 1

Tagajärg 1. Suvalise arvu kokkusobimatute sündmuste summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga.

Tagajärg 2. Täieliku kokkusobimatute sündmuste rühma tõenäosuste summa (kõikide elementaarsündmuste tõenäosuste summa) on võrdne ühega.

Tagajärg 3. Vastandlike sündmuste tõenäosuste summa on võrdne ühega, kuna need moodustavad kokkusobimatute sündmuste täieliku rühma.

Näide 1

Tõenäosus, et linnas ei saja mõnda aega kunagi vihma, on $p=0,7$. Leia tõenäosus $q$, et sama aja jooksul sajab linnas vähemalt korra vihma.

Sündmused "mõnda aega ei sadanud linnas kordagi" ja "mõnda aega sadas linnas vähemalt korra" on vastandlikud. Seega $p+q=1$, kust $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Mõelge ühistele juhuslikele sündmustele.

On teada, et ühised juhuslikud sündmused $A$ ja $B$ samas katses on vastavalt $P\left(A\right)$ ja $P\left(B\right)$ tõenäosustega. Leiame nende sündmuste summa $A+B$ tõenäosuse ehk vähemalt ühe sündmuse toimumise tõenäosuse.

Oletame, et selles testis on kõigi võrdselt võimalike elementaarsündmuste arv $n$. Nendest sündmusi $A$ ja $B$ eelistavad vastavalt $m_(A)$ ja $m_(B)$ elementaarsündmused. Kuna sündmused $A$ ja $B$ on ühendatud, siis $m_(A) +m_(B) $ elementaarsündmuste koguarvust soosib teatud arv $m_(AB) $ mõlemat sündmust $A$ ja sündmus $B$, st nende ühine esinemine (sündmuste $A\cdot B$ korrutis). See kogus $m_(AB)$ sisestas nii $m_(A)$ kui ka $m_(B)$. Nii et sündmust $A+B$ eelistab $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ elementaarsed sündmused. Meil on: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ murd (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\vasak(A\parem)+P\vasak(B\parem)-P\vasak(A\cpunkt B\ õige )$.

2. teoreem

Kahe ühissündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud nende korrutise tõenäosus.

Kommenteeri. Kui sündmused $A$ ja $B$ ei ühildu, siis on nende korrutis $A\cdot B$ võimatu sündmus, mille tõenäosus on $P\left(A\cdot B\right)=0$. Seetõttu on kokkusobimatute sündmuste tõenäosuste liitmise valem ühissündmuste tõenäosuste liitmise valemi erijuht.

Näide 2

Leia tõenäosus, et kui visata korraga kaks täringut, kerkib number 5 esile vähemalt korra.

Kahe täringu korraga viskamisel võrdub kõigi võrdselt võimalike elementaarsündmuste arv $n=36$, kuna esimese täringu igale numbrile võib langeda teise täringu kuus numbrit. Neist sündmus $A$ – esimesel täringul veeretud number 5 – esineb 6 korda, sündmus $B$ – teisel täringul veeretud number 5 – samuti 6 korda. Kõigist kaheteistkümnest korrast ilmub mõlemal täringul üks kord number 5. Seega $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

Tõenäosuse korrutamise teoreem

Mõelge iseseisvatele sündmustele.

Kahes järjestikuses katses aset leidvaid sündmusi $A$ ja $B$ nimetatakse sõltumatuteks, kui sündmuse $B$ toimumise tõenäosus ei sõltu sellest, kas sündmus $A$ toimus või ei toimunud.

Oletame näiteks, et urnis on 2 valget ja 2 musta palli. Katse on palli välja tõmbamine. Sündmus $A$ on "esimesel katsel loositakse valge pall". Tõenäosus $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Pärast esimest katset pandi pall tagasi ja viidi läbi teine katse. Sündmus $B$ -- "Teisel katsel loositakse valge pall". Tõenäosus $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Tõenäosus $P\left(B\right)$ ei sõltu sellest, kas sündmus $A$ toimus või mitte, seega on sündmused $A$ ja $B$ sõltumatud.

On teada, et kahe järjestikuse katse sõltumatute juhuslike sündmuste $A$ ja $B$ tõenäosused on vastavalt $P\left(A\right)$ ja $P\left(B\right)$. Leiame nende sündmuste korrutise $A\cdot B$ tõenäosuse ehk nende ühise esinemise tõenäosuse.

Oletame, et esimeses katses on kõigi võrdselt võimalike elementaarsündmuste arv $n_(1) $. Neist $A$ eelistavad $m_(1)$ elementaarsed sündmused. Oletame ka, et teises testis on kõigi võrdselt võimalike elementaarsündmuste arv $n_(2) $. Neist sündmust $B$ eelistavad $m_(2)$ elementaarsündmused. Mõelge nüüd uuele elementaarsündmusele, mis seisneb esimese ja teise katse sündmuste järjestikuses esinemises. Selliste võrdselt tõenäoliste elementaarsündmuste koguarv on võrdne $n_(1) \cdot n_(2) $. Kuna sündmused $A$ ja $B$ on sõltumatud, eelistab sellest numbrist sündmuse $A$ ja sündmuse $B$ (sündmuste $A\cdot B$ korrutised) ühist esinemist $m_( 1) \cdot m_(2) $ sündmused . Meil on: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

3. teoreem

Kahe sõltumatu sündmuse korrutise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega.

Mõelge sõltuvatele sündmustele.

Kahes järjestikuses katses toimuvad sündmused $A$ ja $B$. Öeldakse, et sündmus $B$ sõltub sündmusest $A$, kui sündmuse $B$ toimumise tõenäosus sõltub sellest, kas sündmus $A$ toimus või mitte. Siis sündmuse $B$ tõenäosust, mis arvutati tingimusel, et sündmus $A$ toimus, nimetatakse sündmuse $B$ tingimuslikuks tõenäosuseks tingimusel $A$ ja tähistatakse $P\left (B/A\paremal)$.

Oletame näiteks, et urnis on 2 valget ja 2 musta palli. Katse on palli väljatõmbamine. Sündmus $A$ on "esimesel katsel loositakse valge pall". Tõenäosus $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Pärast esimest katset palli tagasi ei panda ja sooritatakse teine katse. Sündmus $B$ -- "Teisel katsel loositakse valge pall". Kui esimesel katsel tõmmati valge pall, siis on tõenäosus $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Kui esimesel katsel tõmmati must pall, siis on tõenäosus $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Seega sõltub sündmuse $B$ tõenäosus sellest, kas sündmus $A$ toimus või mitte, mistõttu sündmus $B$ sõltub sündmusest $A$.

Oletame, et sündmused $A$ ja $B$ toimuvad kahes järjestikuses katses. On teada, et sündmuse $A$ toimumise tõenäosus on $P\left(A\right)$. Samuti on teada, et sündmus $B$ sõltub sündmusest $A$ ja selle tingimuslik tõenäosus tingimusel $A$ on võrdne $P\left(B/A\right)$.

4. teoreem

Sündmuse $A$ ja sellest sõltuva sündmuse $B$ korrutise tõenäosuse ehk nende ühise esinemise tõenäosuse saab leida valemiga $P\left(A\cdot B\right)= P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.

Kehtib ka sümmeetriline valem $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$, kus sündmus $A$ eeldatakse sõltuma sündmusest $ B$.

Viimase näite tingimuste puhul leiame tõenäosuse, et mõlemas katses tõmmatakse valge pall. Selline sündmus on sündmuste $A$ ja $B$ tulemus. Selle tõenäosus on $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Tõenäosuste liitmine ja korrutamine. See artikkel keskendub tõenäosusteooria probleemide lahendamisele. Varem oleme juba analüüsinud mõningaid lihtsamaid ülesandeid, nende lahendamiseks piisab valemi tundmisest ja mõistmisest (soovitan seda korrata).

On ülesandeid, mis on veidi keerulisemad, nende lahendamiseks on vaja teada ja aru saada: tõenäosuste liitmise reegel, tõenäosuste korrutamise reegel, sõltuvate ja sõltumatute sündmuste mõisted, vastandsündmused, ühised ja mitteühilduvad sündmused. Ärge kartke määratlusi, kõik on lihtne)).Selles artiklis käsitleme just selliseid ülesandeid.

Mõned olulised ja lihtsad teooriad:

Sobimatu kui neist ühe esinemine välistab teiste esinemise. See tähendab, et toimuda võib ainult üks konkreetne sündmus või teine.

Klassikaline näide: täringut (täringut) visates võib välja kukkuda ainult üks või ainult kaks, või ainult kolm jne. Kumbki neist sündmustest ei ühildu teistega ja ühe esinemine välistab teise toimumise (ühes testis). Sama mündiga - "kotka" kaotamine välistab "sabade" kaotamise võimaluse.

See kehtib ka keerukamate kombinatsioonide kohta. Näiteks põlevad kaks valgustuslampi. Igaüks neist võib mõnda aega läbi põleda või mitte. Seal on valikud:

Esimene põleb läbi ja teine põleb läbi
Esimene põleb läbi ja teine ei põle
Esimene ei põle läbi ja teine põleb läbi
Esimene ei põle läbi ja teine põleb läbi.

Kõik need 4 sündmuste varianti on kokkusobimatud - need lihtsalt ei saa juhtuda koos ja mitte ükski neist ühegi teisega ...

Definitsioon: kutsutakse sündmusi liigend kui neist ühe esinemine ei välista teise esinemist.

Näide: kaardipakist võetakse emand ja kaardipakist labidakaart. Arvestatakse kahte sündmust. Need sündmused ei välista üksteist – võite loosida labidaema ja nii leiavad aset mõlemad sündmused.

Tõenäosuste summa kohta

Kahe sündmuse A ja B summat nimetatakse sündmuseks A + B, mis seisneb selles, et kas sündmus A või sündmus B või mõlemad toimuvad samal ajal.

Kui esineb Sobimatu sündmused A ja B, siis on nende sündmuste summa tõenäosus võrdne sündmuste tõenäosuste summaga:

Täringu näide:

Viskame täringut. Kui suur on tõenäosus saada arv, mis on väiksem kui neli?

Arvud, mis on väiksemad kui neli, on 1,2,3. Teame, et tõenäosus saada 1 on 1/6, 2 on 1/6 ja 3 on 1/6. Need on kokkusobimatud sündmused. Saame rakendada liitmisreeglit. Tõenäosus saada arv, mis on väiksem kui neli, on:

Tõepoolest, kui lähtuda klassikalise tõenäosuse kontseptsioonist: siis on võimalike tulemuste arv 6 (kuubi kõigi tahkude arv), soodsate tulemuste arv on 3 (üks, kaks või kolm). Soovitav tõenäosus on 3 kuni 6 või 3/6 = 0,5.

* Kahe ühissündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga, võtmata arvesse nende ühist esinemist: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) -P (AB) )

Tõenäosuste korrutamisest

Olgu kaks kokkusobimatut sündmust A ja B, nende tõenäosused on vastavalt P(A) ja P(B). Kahe sündmuse A ja B korrutist nimetatakse selliseks sündmuseks A B, mis seisneb selles, et need sündmused toimuvad koos, st toimuvad nii sündmus A kui ka sündmus B. Sellise sündmuse tõenäosus on võrdne korrutisega sündmuste A ja B tõenäosustest.Arvutatakse järgmise valemi järgi:

Nagu olete juba märganud, tähendab loogiline ühend "AND" korrutamist.

Näide sama täringuga:Viska kaks korda täringut. Kui suur on kahe kuue veeretamise tõenäosus?

Tõenäosus kuue esmakordseks veeremiseks on 1/6. Teine kord on samuti võrdne 1/6-ga. Tõenäosus saada kuus nii esimesel kui ka teisel korral on võrdne tõenäosuste korrutisega:

Lihtsamalt öeldes: kui sündmus toimub ühes testis, JA siis leiab aset teine (teised), siis tõenäosus, et need toimuvad koos, on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega.

Probleeme lahendasime täringutega, kuid kasutasime ainult loogilist arutluskäiku, tootevalemit me ei kasutanud. Allpool vaadeldavates probleemides ei saa ilma valemiteta hakkama, õigemini on nendega lihtsam ja kiirem tulemust saada.

Tasub mainida veel üht nüanssi. Ülesannete lahendamisel arutledes kasutatakse sündmuste SAMAGAANSUSE mõistet. Sündmused toimuvad SAMAGA – see ei tähenda, et need toimuksid ühes sekundis (ühel ajahetkel). See tähendab, et need tekivad teatud aja jooksul (ühe testiga).

Näiteks:

Kaks lampi põlevad aasta jooksul läbi (võib öelda - üheaegselt aasta jooksul)

Kaks automaati lähevad rikki kuu aja jooksul (võib öelda - samaaegselt kuu jooksul)

Täringut visatakse kolm korda (punktid langevad välja samal ajal, mis tähendab ühes testis)

Laskesuusataja teeb viis lasku. Sündmused (võtted) toimuvad ühe testi ajal.

Sündmused A ja B on sõltumatud, kui neist kummagi tõenäosus ei sõltu teise sündmuse toimumisest või mittetoimumisest.

Kaaluge ülesandeid:

Kaks tehast toodavad auto esitulede jaoks sama klaasi. Esimene tehas toodab 35% neist klaasidest, teine - 65%. Esimene tehas toodab 4% defektsetest klaasidest ja teine - 2%. Leidke tõenäosus, et poest kogemata ostetud klaas on defektiga.

Esimene tehas toodab 0,35 toodet (klaase). Esimesest tehasest defektse klaasi ostmise tõenäosus on 0,04.

Teine tehas toodab 0,65 klaasi. Teisest tehasest defektse klaasi ostmise tõenäosus on 0,02.

Tõenäosus, et klaas osteti esimesest tehasest JA samal ajal on see defektne, on 0,35∙0,04 = 0,0140.

Tõenäosus, et klaas on ostetud teisest tehasest JA samal ajal on see defektne, on 0,65∙0,02 = 0,0130.

Defektse klaasi ostmine poest tähendab, et see (defektne klaas) osteti KAS esimesest tehasest VÕI teisest. Need on kokkusobimatud sündmused, see tähendab, et lisame sellest tulenevad tõenäosused:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Vastus: 0,027

Kui vanameister A. mängib valget, siis võidab ta suurmeister B. tõenäosusega 0,62. Kui A. mängib mustanahalist, siis A. võidab B.-d tõenäosusega 0,2. Suurmeistrid A. ja B. mängivad kaks mängu ja teises mängus muudavad nad nuppude värvi. Leidke tõenäosus, et A. võidab mõlemal korral.

Esimese ja teise mängu võiduvõimalused on üksteisest sõltumatud. Öeldakse, et suurmeister peab võitma mõlemal korral, st võitma esimest korda JA samal ajal võitma teist korda. Juhul, kui sõltumatud sündmused peavad toimuma koos, korrutatakse nende sündmuste tõenäosused ehk kasutatakse korrutamisreeglit.

Nende sündmuste tekkimise tõenäosus on 0,62∙0,2 = 0,124.

Vastus: 0,124

Geomeetria eksamil saab õpilane eksamiküsimuste nimekirjast ühe küsimuse. Tõenäosus, et see on sisse kirjutatud ringi küsimus, on 0,3. Tõenäosus, et tegemist on paralleelse küsimusega, on 0,25. Nende kahe teemaga korraga seotud küsimusi ei ole. Leidke tõenäosus, et õpilane saab eksamil küsimuse ühel neist kahest teemast.

See tähendab, et tuleb leida tõenäosus, et õpilane saab küsimuse KAS teemal “Sissekirjutatud ring”, VÕI teemal “Rööpnöör”. Sel juhul summeeritakse tõenäosused, kuna need sündmused ei ühildu ja võib juhtuda mis tahes neist sündmustest: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Disjoint sündmused on sündmused, mis ei saa toimuda samal ajal.

Vastus: 0,55

Laskesuusataja laseb viis korda märklauda. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,9. Leidke tõenäosus, et laskesuusataja tabas sihtmärke esimesed neli korda ja eksis viimasel. Ümarda tulemus lähima sajandikuni.

Kuna laskesuusataja tabab sihtmärki tõenäosusega 0,9, siis eksis ta tõenäosusega 1 - 0,9 = 0,1

*Ei tabamus ja tabamus on sündmused, mis ei saa toimuda üheaegselt ühe lasuga, nende sündmuste tõenäosuste summa on 1.

Jutt käib mitme (iseseisva) ürituse korraldamisest. Kui toimub sündmus ja samal ajal toimub teine (järgnev) samal ajal (test), siis nende sündmuste tõenäosused korrutatakse.

Sõltumatute sündmuste tekkimise tõenäosus on võrdne nende tõenäosuste korrutisega.

Seega on sündmuse "tabamus, tabamus, tabamus, tabamus, möödalask" tõenäosus 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Ümardades sajandikku, saame 0,07

Vastus: 0,07

Kaupluses on kaks makseautomaati. Igaüks neist võib olla vigane tõenäosusega 0,07, olenemata teisest automaadist. Leidke tõenäosus, et vähemalt üks automaat on töökorras.

Leidke tõenäosus, et mõlemad automaatid on vigased.

Need sündmused on sõltumatud, seega on tõenäosus võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega: 0,07∙0,07 = 0,0049.

See tähendab, et tõenäosus, et mõlemad automaatid või üks neist töötavad, on 1 – 0,0049 = 0,9951.

* Mõlemad on töökorras ja mõni täiesti - vastab tingimusele "vähemalt üks".

Võib esitada kõigi testitavate (sõltumatute) sündmuste tõenäosused:

1. "vigane-vigane" 0,07∙0,07 = 0,0049

2. „Hea-vigane” 0,93∙0,07 = 0,0651

3. "Vigane-vigane" 0,07∙0,93 = 0,0651

4. "tervislik-tervislik" 0,93∙0,93 = 0,8649

Et määrata tõenäosus, et vähemalt üks automaat on heas seisukorras, tuleb liita sõltumatute sündmuste 2,3 ja 4 tõenäosused: teatud sündmus Sündmust nimetatakse sündmuseks, mis kindlasti toimub kogemuse tulemusena. Üritus on nn võimatu kui seda kunagi kogemuse tulemusena ei juhtu.

Näiteks kui ainult punaseid ja rohelisi palle sisaldavast kastist tõmmatakse juhuslikult üks pall, siis valge palli ilmumine väljatõmmatud pallide hulka on võimatu sündmus. Punase välimus ja roheliste pallide ilmumine moodustavad tervikliku sündmuste rühma.

Definitsioon: Sündmused on nn võrdselt võimalik , kui pole põhjust arvata, et üks neist ilmub katse tulemusena suurema tõenäosusega.

Ülaltoodud näites on punaste ja roheliste pallide ilmumine võrdselt tõenäolised sündmused, kui kastis on sama arv punaseid ja rohelisi palle. Kui punaseid palle on kastis rohkem kui rohelisi, siis on rohelise palli ilmumine vähem tõenäoline kui punase palli ilmumine.

Vaatleme rohkem probleeme, kus kasutatakse sündmuste tõenäosuste summat ja korrutist, ärge jätke seda mööda!

See on kõik. Soovin teile edu!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

Maria Ivanovna kirub Vasjat:
Petrov, miks sa eile koolis ei olnud?!
Mu ema pesi eile mu pükse.
- Mis siis?
- Ja ma kõndisin majast mööda ja nägin, et sinu oma ripub. Ma arvasin, et sa ei tule.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Kell Iga juhusliku sündmuse toimumise tõenäosuse hindamiseks on väga oluline eelnevalt hea ettekujutus, kas meid huvitava sündmuse toimumise tõenäosus () sõltub sellest, kuidas teised sündmused arenevad.

Klassikalise skeemi puhul, kui kõik tulemused on võrdselt tõenäolised, saame meid huvitava üksiksündmuse tõenäosusväärtusi juba ise hinnata. Saame seda teha isegi siis, kui sündmus on mitme elementaarse tulemuse kompleksne kogum. Ja kui mitu juhuslikku sündmust toimub samaaegselt või järjestikku? Kuidas see mõjutab meid huvitava sündmuse tõenäosust?

Kui ma viskan täringut paar korda ja tahan saada kuut ja mul alati ei vea, kas see tähendab, et peaksin panust suurendama, sest tõenäosusteooria kohaselt on mul õnne? Kahjuks ei ütle tõenäosusteooria midagi sellist. Ei mingeid täringuid, kaarte ega münte ei mäleta mida nad meile eelmisel korral näitasid. Neile pole üldse vahet, kas ma täna esimest korda või kümnendat korda oma saatuse proovile panen. Iga kord, kui ma uuesti veeretan, tean ainult üht: ja seekord on tõenäosus, et veeretab uuesti "kuue", üks kuuendik. See muidugi ei tähenda, et mulle vajalik number kunagi välja ei kukuks. See tähendab ainult seda, et minu kaotus pärast esimest viset ja pärast mis tahes muud viset on iseseisvad sündmused.

Kutsutakse sündmusi A ja B sõltumatu, kui ühe neist rakendamine ei mõjuta kuidagi teise sündmuse tõenäosust. Näiteks kahest relvast esimesega sihtmärgi tabamise tõenäosus ei sõltu sellest, kas teine relv tabas sihtmärki, seega on sündmused "esimene relv tabas sihtmärki" ja "teine relv tabas sihtmärki" sõltumatud.

Kui kaks sündmust A ja B on sõltumatud ja nende mõlema tõenäosus on teada, siis saab nii sündmuse A kui ka sündmuse B (tähistatakse AB-ga) samaaegse toimumise tõenäosuse arvutada järgmise teoreemi abil.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuse korrutamise teoreem

P(AB) = P(A)*P(B)- tõenäosus samaaegne kaks sõltumatu sündmused on tööd nende sündmuste tõenäosus.

Näide.Sihtmärgi tabamise tõenäosus esimese ja teise püssi tulistamisel on vastavalt võrdsed: p 1 =0,7; p 2 = 0,8. Leidke tõenäosus, et mõlemad relvad tabavad ühe löögi üheaegselt.

Lahendus: Nagu juba nägime, on sündmused A (löök esimesest püssist) ja B (tabamus teisest püssist) sõltumatud, s.t. P (AB) = P (A) * P (B) = p 1 * p 2 \u003d 0,56.

Mis juhtub meie hinnangutega, kui algussündmused ei ole sõltumatud? Muudame veidi eelmist näidet.

Näide.Võistlusel kaks laskurit lasevad märklauda ja kui üks neist laseb täpselt, siis hakkab vastane närviliseks minema ja tema tulemused halvenevad. Kuidas muuta see igapäevane olukord matemaatiliseks probleemiks ja visandada selle lahendamise viise? Intuitiivselt on selge, et on vaja need kaks stsenaariumi kuidagi eraldada, koostada tegelikult kaks stsenaariumit, kaks erinevat ülesannet. Esimesel juhul, kui vastane lööb mööda, on stsenaarium närvilisele sportlasele soodne ja tema täpsus suurem. Teisel juhul, kui vastane realiseeris oma võimaluse väärikalt, väheneb teise sportlase sihtmärgi tabamise tõenäosus.

Sündmuste arengu võimalike stsenaariumide (neid nimetatakse sageli hüpoteesideks) eraldamiseks kasutame sageli "tõenäosuspuu" skeemi. See diagramm on tähenduselt sarnane otsustuspuuga, millega olete ilmselt juba pidanud tegelema. Iga haru on omaette stsenaarium, alles nüüd on sellel oma tähendus nn tingimuslik tõenäosused (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

See skeem on väga mugav järjestikuste juhuslike sündmuste analüüsimiseks.

Jääb üle selgitada veel üks oluline küsimus: kuhu jäävad tõenäosuste algväärtused tõelisi olukordi ? Tõenäosusteooria ju samade müntide ja täringutega ei tööta, eks? Tavaliselt on need hinnangud võetud statistikast ja kui statistikat pole, viime läbi oma uuringud. Ja me peame seda sageli alustama mitte andmete kogumisest, vaid küsimusest, millist teavet me üldiselt vajame.

Näide.Oletame, et 100 000 elanikuga linnas peame hindama uue mittevajaliku toote, näiteks värvitud juuksepalsami turu suurust. Vaatleme "tõenäosuste puu" skeemi. Sel juhul peame ligikaudselt hindama iga "haru" tõenäosuse väärtust. Niisiis, meie hinnangud turuvõimsusele:

1) 50% linna elanikest on naised,

2) naistest ainult 30% värvib juukseid sageli,

3) neist ainult 10% kasutab palsameid värvitud juustele,

4) neist vaid 10% suudab koguda julguse uut toodet proovida,

5) 70% neist ostavad tavaliselt kõike mitte meilt, vaid meie konkurentidelt.

Lahendus: Tõenäosuste korrutamise seaduse kohaselt määrame meid huvitava sündmuse tõenäosuse A \u003d (linnaelanik ostab meilt selle uue palsami) \u003d 0,00045.

Korrutage see tõenäosusväärtus linna elanike arvuga. Sellest tulenevalt on meil vaid 45 potentsiaalset ostjat ja arvestades, et ühest viaalist seda toodet jätkub mitmeks kuuks, pole kauplemine kuigi elav.

Siiski on meie hinnangutest kasu.

Esiteks saame võrrelda erinevate äriideede prognoose, neil on diagrammidel erinevad “kahvlid” ja loomulikult on ka tõenäosusväärtused erinevad.

Teiseks, nagu me juba ütlesime, ei nimetata juhuslikku muutujat juhuslikuks, kuna see ei sõltu üldse millestki. Just tema täpne väärtus pole ette teada. Teame, et keskmist ostjate arvu saab suurendada (näiteks uue toote reklaamimisega). Seega on mõttekas keskenduda nendele "kahvlitele", kus tõenäosuste jaotus meile eriti ei sobi, nendele teguritele, mida oleme võimelised mõjutama.

Mõelge veel ühele tarbijakäitumise uurimise kvantitatiivsele näitele.

Näide. Päevas külastab toiduturgu keskmiselt 10 000 inimest. Tõenäosus, et turukülastaja astub meiereipaviljoni, on 1/2. Teadaolevalt müüakse selles paviljonis keskmiselt 500 kg erinevaid tooteid päevas.

Kas võib väita, et keskmine ost paviljonis kaalub vaid 100 g?

Arutelu. Muidugi mitte. Selge on see, et kõik, kes paviljoni sisenesid, sealt midagi ostma ei sattunud.

Nagu diagrammil näha, tuleb keskmise ostukaalu küsimusele vastamiseks leida vastus küsimusele, kui suur on tõenäosus, et paviljoni siseneja ostab sealt midagi. Kui selliseid andmeid meie käsutuses ei ole, aga meil on neid vaja, peame need ise hankima, olles mõnda aega paviljoni külastajaid jälginud. Oletame, et meie vaatlused näitavad, et ainult viiendik paviljoni külastajatest ostab midagi.

Niipea, kui oleme need hinnangud saanud, muutub ülesanne juba lihtsaks. 10 000 turule tulnud inimesest läheb piimatoodete paviljoni 5000, oste tuleb vaid 1000. Keskmine ostukaal on 500 grammi. Huvitav on märkida, et toimuvast tervikliku pildi loomiseks tuleb tingimusliku "hargnemise" loogika meie arutluskäigu igas etapis määratleda nii selgelt, nagu töötaksime "konkreetse" olukorraga, mitte aga tõenäosustega.

Enesekontrolli ülesanded

1. Olgu elektriahel, mis koosneb n järjestikku ühendatud elemendist, millest igaüks töötab teistest sõltumatult.

Iga elemendi mittetõrke tõenäosus p on teada. Määrake kogu vooluringi sektsiooni nõuetekohase toimimise tõenäosus (sündmus A).

2. Õpilane teab 20 eksamiküsimust 25-st. Leidke tõenäosus, et õpilane teab kolme eksamineerija antud küsimust.

3. Tootmine koosneb neljast järjestikusest etapist, millest igaüks kasutab seadmeid, mille rikke tõenäosus järgmise kuu jooksul on vastavalt p 1 , p 2 , p 3 ja p 4 . Leidke tõenäosus, et kuu aja pärast ei toimu seadmete rikke tõttu tootmisseisakut.

Põhimõisted
Sündmusi nimetatakse kokkusobimatuteks, kui ühe neist toimumine välistab teiste sündmuste toimumise samas katses. Vastasel juhul nimetatakse neid liigesteks.
Terviklik grupp on sündmuste kogum, mille kombinatsioon on usaldusväärne sündmus.
Vastandid on kaks ainulaadselt võimalikku sündmust, mis moodustavad tervikliku rühma.
Sündmusi nimetatakse sõltuvateks, kui neist ühe toimumise tõenäosus sõltub teiste sündmuste toimumisest või mittetoimumisest.
Sündmusi nimetatakse sõltumatuteks, kui neist ühe tõenäosus ei sõltu teiste toimumisest või mittetoimumisest.
Ühildumatute sündmuste tõenäosuste liitmise teoreem
P(A+B)=P(A)+P(B),
kus A, B on kokkusobimatud sündmused.

Liitumisteoreem ühissündmuste tõenäosuste kohta
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), kus A ja B on ühised sündmused.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreem
,
kus A ja B on sõltumatud sündmused.
Sõltuvate sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreem
P (AB) \u003d P (A) P A (B),
kus P A (B) on sündmuse B toimumise tõenäosus, eeldusel, et sündmus A on toimunud; A ja B on sõltuvad sündmused.

Ülesanne 1.
Laskja laseb kaks lasku märklauda. Iga lasu tabamise tõenäosus on 0,8. Koostage sündmustest täielik rühm ja leidke nende tõenäosus. Lahendus.
Test – sihtmärki tehakse kaks lasku.
Sündmus AGA- ebaõnnestus mõlemal korral.
Sündmus AT- löö korra.
Sündmus FROM- sain mõlemal korral.
.

Kontroll: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
2. ülesanne.
Meteoroloogide prognoosi järgi Р(vihm)=0,4; P(tuul)=0,7; P(vihm ja tuul)=0,2. Kui suur on tõenäosus, et sajab vihma või tuul? Lahendus. Tõenäosuste liitmise teoreemi kohaselt ja pakutud sündmuste ühilduvuse tõttu on meil:
P (vihm või tuul või mõlemad) \u003d P (vihm) + P (tuul) - P (vihm ja tuul) \u003d 0,4 + 0,7-0,2 \u003d 0,9.
3. ülesanne.
Lähtejaamas on 8 kauba saatmise tellimust: viis - siseriiklikult ja kolm - ekspordiks. Kui suur on tõenäosus, et kaks juhuslikult valitud tellimust on mõeldud sisetarbimiseks? Lahendus. Sündmus AGA- esimene juhuslikult võetud tellimus - riigi piires. Sündmus AT- teine on mõeldud ka sisetarbimiseks. Peame leidma tõenäosuse. Seejärel saame sõltuvate sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi abil

4. ülesanne.
Tootepartii hulgast valib kaupleja juhuslikult kõrgeima klassi tooted. Tõenäosus, et valitud üksus saab kõrgeima hinde, on 0,8; esimene klass - 0,7; teine klass - 0,5. Leidke tõenäosus, et kolmest juhuslikult valitud tootest on:
a) ainult kaks lisatasu;
b) kõik on erinevad. Lahendus. Olgu üritus kõrgeima klassi toodang; üritus - esimese klassi toode; sündmus - teise klassi toode.
Vastavalt probleemi seisukorrale; ; Sündmused on sõltumatud.
a) Sündmus AGA– siis näevad sellised välja ainult kaks esmaklassilist toodet

b) Sündmus AT- kõik kolm toodet on erinevad - väljendame seda järgmiselt: , siis.
5. ülesanne.
Sihtmärgi tabamise tõenäosus kolmest relvast tulistamisel on järgmine: p1= 0,8; p2=0,7; p3=0,9. Leidke vähemalt ühe tabamuse (sündmus AGA) ühe salvaga kõigist relvadest. Lahendus. Tõenäosus tabada iga püssi sihtmärki ei sõltu teistest relvadest tulistamise tulemustest, seega on vaatlusalused sündmused (tabamus esimesest relvast), (tabamus teisest relvast) ja (tabamus kolmandast relvast) relv) on tervikuna sõltumatud.
Sündmustele vastupidiste sündmuste tõenäosused (st möödalaskmise tõenäosused) on vastavalt võrdsed:

Soovitud tõenäosus
6. ülesanne.
Trükikojas on 4 trükimasinat. Iga masina puhul on tõenäosus, et see hetkel töötab, 0,9. Leidke tõenäosus, et hetkel töötab vähemalt üks masin (sündmus AGA). Lahendus. Sündmused "masin töötab" ja "masin ei tööta" (hetkel) on vastupidised, seega on nende tõenäosuste summa võrdne ühega:
Seega on tõenäosus, et masin parasjagu ei tööta, võrdne
Soovitud tõenäosus. Ülesanne 7. Lugemissaalis on 6 tõenäosusteooria õpikut, millest kolm on köidetud. Raamatukoguhoidja võttis juhuslikult kaks õpikut. Leidke tõenäosus, et mõlemad õpikud köidetakse.

Lahendus. Mõelge järgmistele sündmustele:
A1 - esimene võetud õpik köites;
A2 on teine köidetud õpik.
Sündmus, mis seisneb selles, et mõlemad võetud õpikud on köidetud. Sündmused A1 ja A2 on sõltuvad, kuna sündmuse A2 toimumise tõenäosus sõltub sündmuse A1 toimumisest. Selle ülesande lahendamiseks kasutame sõltuvate sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi: .
Sündmuse A1 p(A1) toimumise tõenäosus vastavalt klassikalisele tõenäosuse definitsioonile:
P(A1) = m/n = 3/6 = 0,5.
Sündmuse A2 toimumise tõenäosus määratakse sündmuse A2 toimumise tingimusliku tõenäosusega sündmuse A1 toimumise tingimusel, s.o. (A2) = 0,4.
Seejärel sündmuse toimumise soovitud tõenäosus:
P(A)=0,5*0,4=0,2.