Lihtmurdude liitmine. Tegevused murdarvudega

Samade nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine
Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine
NOC kontseptsioon
Murdude toomine samasse nimetajasse
Kuidas liita täisarvu ja murdosa

1 Samade nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine

Samade nimetajatega murdude lisamiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja samaks, näiteks:

Samade nimetajatega murdude lahutamiseks lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja samaks, näiteks:

Segamurdude lisamiseks peate eraldi lisama nende terved osad ja seejärel lisama nende murdosad ning kirjutama tulemuse segamurruna,

Kui murdosade lisamisel saadakse vale murd, valime sellest täisarvulise osa ja lisame selle näiteks:

2 Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine

Erinevate nimetajatega murdude liitmiseks või lahutamiseks peate need esmalt viima samasse nimetajasse ja seejärel jätkama selle artikli alguses näidatud viisil. Mitme murru ühisnimetaja on LCM (least common multiple). Iga murru lugeja jaoks leitakse täiendavad tegurid, jagades LCM selle murru nimetajaga. Vaatame näidet hiljem, kui oleme välja selgitanud, mis on LCM.

3 Vähim ühine kordne (LCM)

Kahe arvu vähim ühiskordne (LCM) on väikseim naturaalarv, mis jagub mõlema arvuga ilma jäägita. Mõnikord võib LCM-i leida suuliselt, kuid sagedamini, eriti suurte numbritega töötades, peate LCM-i leidma kirjalikult, kasutades järgmist algoritmi:

Mitme numbri LCM-i leidmiseks vajate:

1. Jagage need arvud algteguriteks
2. Võtke suurim laiendus ja kirjutage need numbrid tootena
3. Valige teistes laiendustes arvud, mis ei esine suurimas laienduses (või esinevad selles vähem kordi) ja lisage need tootele.
4. Korrutage kõik toote numbrid, see on LCM.

Näiteks leiame numbrite 28 ja 21 LCM-i:

4 Murdude taandamine samale nimetajale

Läheme tagasi erinevate nimetajatega murdude liitmise juurde.

Kui vähendame murde samale nimetajale, mis on võrdne mõlema nimetaja LCM-iga, peame korrutama nende murdude lugejad täiendavad kordajad. Need leiate, kui jagate LCM-i vastava murdosa nimetajaga, näiteks:

Seega, selleks, et tuua murde ühele indikaatorile, tuleb esmalt leida nende murdude nimetajate LCM (st väikseim arv, mis jagub mõlema nimetajaga) ja seejärel panna murdude lugejatele lisategurid. Need leiate, kui jagate ühisnimetaja (LCD) vastava murdosa nimetajaga. Seejärel peate iga murdosa lugeja korrutama lisateguriga ja määrama nimetajaks LCM.

5Kuidas liita täisarvu ja murru

Täisarvu ja murru liitmiseks tuleb see arv lihtsalt lisada murru ette ja saad näiteks segamurru.

Täisarvu lisamiseks murrule piisab toimingute seeria või õigemini arvutuste tegemisest.

Näiteks teil on 7 - täisarv, peate selle lisama murdarvule 1/2.

Tegutseme järgmiselt:

• Korrutame 7 nimetajaga (2), selgub 14,
• 14-le lisame ülemise osa (1), selgub 15,
• ja asendage nimetaja.
• tulemus 15/2.

Sel lihtsal viisil saate murdosadele lisada täisarvu.

Ja selleks, et valida murdosast täisarv, peate jagama lugeja nimetajaga ja ülejäänud osa on murd.

Täisarvu lisamine tavalisele murrule ei ole keeruline ja mõnikord seisneb see lihtsalt segamurru moodustamises, milles täisarvu osa asetatakse murdosast vasakule, näiteks selline murd segatakse :

Kuid sagedamini, kui lisate murdarvule täisarvu, saate vale murdu, milles lugeja on nimetajast suurem. See toiming viiakse läbi järgmiselt: täisarv esitatakse valemurruna, mille nimetaja on liidetaval murrul, ja seejärel lisatakse lihtsalt mõlema murru lugejad. Näiteks näeb see välja selline:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

Ma arvan, et see on väga lihtne.

Näiteks on meil murdosa 1/4 (see on sama kui 0,25, see tähendab veerand täisarvust).

Ja sellele veerandile saab lisada suvalise täisarvu, näiteks 3. Selgub kolm ja veerand:

3.25. Või murdosa kujul väljendatakse seda järgmiselt: 3 1/4

Siin saate selle näite eeskujul lisada mis tahes täisarvuga murde.

Peate suurendama täisarvu murduks, mille nimetaja on 10 (6/10). Järgmiseks viige olemasolev murd ühisele nimetajale 10 (35=610). Tehke toiming nagu tavaliste murdude puhul 610+610=1210 kokku 12.

Seda saate teha kahel viisil.

üks). Murru saab teisendada täisarvuks ja lisada. Näiteks 1/2 on 0,5; 1/4 võrdub 0,25; 2/5 on 0,4 ja nii edasi.

Võtame täisarvu 5, millele peame lisama murdosa 4/5. Teisendame murdosa: 4/5 on 4 jagatud 5-ga ja saame 0,8. Lisage 0,8 kuni 5 ja saate 5,8 või 5 4/5.

2). Teine viis: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

Murdude liitmine on lihtne matemaatiline tehe, näiteks tuleb liita täisarv 3 ja murdosa 1/7. Nende kahe arvu liitmiseks peab teil olema üks nimetaja, seega peate korrutama kolm seitsmega ja jagama selle arvuga, siis saate 21/7 + 1/7, nimetaja on üks, lisage 21 ja 1, saate vastuse 22/7 .

Lihtsalt võtke ja lisage sellele murrule täisarv. Oletame, et 6+1/2=6 1/2. Noh, kui see on kümnendmurd, siis näiteks 6 + 1,2 = 7,2.

Murru ja täisarvu lisamiseks peate täisarvule lisama murdarvu ja kirjutama need üles kompleksarvuna, näiteks täisarvule hariliku murru lisamisel saame: 1/2 +3 \u003d 3 1/2; kümnendmurru lisamisel: 0,5 +3 \u003d 3,5.

Murd iseenesest ei ole täisarv, sest ta ei jõua selleni koguseliselt ja seetõttu pole vaja täisarvu selleks murduks teisendada. Seetõttu jääb täisarv täisarvuks ja demonstreerib täielikult täisväärtust ning sellele lisatakse murdosa, mis näitab, kui palju sellel täisarvul puudub enne järgmise täispunkti lisamist.

akadeemiline eeskuju.

10 + 7/3 = 10 täisarvu ja 7/3.

Kui muidugi on täisarvud, siis need liidetakse täisarvudega.

12 + 5 7/9 = 17 ja 7/9.

Mis on täisarv ja mis murd.

Kui a mõlemad terminid on positiivsed, tuleks see murd määrata täisarvule. Saate seganumbri. Lisaks võib olla 2 juhtumit.

Juhtum 1

• Murd on õige, st. lugeja on nimetajast väiksem. Siis on vastuseks pärast omistamist saadud segaarv.

4/9 + 10 = 10 4/9 (kümme koma neli üheksandikku).



Juhtum 2

• Murd on vale, s.t. lugeja on nimetajast suurem. Siis on vaja väikest ümberkujundamist. Vale murd tuleks muuta segaarvuks, teisisõnu tõsta esile kogu osa. Seda tehakse nii:



Pärast seda peate lisama täisarvule vale murdosa täisarvu ja lisama saadud summale selle murdosa. Samamoodi lisatakse segaarvule tervik.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 tervet kolm neljandikku).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 tervet üks sekund).

Kui üks tingimustest või mõlemad negatiivne, siis toimub liitmine vastavalt erinevate või identsete märkidega numbrite lisamise reeglitele. Täisarv esitatakse selle arvu ja 1 suhtena ning seejärel korrutatakse nii lugeja kui ka nimetaja arvuga, mis on võrdne selle murdosa nimetajaga, millele täisarv liidetakse.

3) 1/5 + (-2) = 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (miinus 1 tervelt neli viiendikku).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (miinus 8 punkti üks kolmandik).

Kommenteeri.

Pärast negatiivsete arvudega tutvumist peaksid 6. klassi õpilased nendega toiminguid uurides mõistma, et positiivse täisarvu liitmine negatiivsele murdule on sama, mis naturaalarvust murdu lahutamine. See toiming, nagu teate, tehakse järgmiselt:



Tegelikult tuleb murd- ja täisarvu liitmiseks lihtsalt olemasolev täisarv murdosaks taandada ja see on sama lihtne kui pirnide koorimine. Peate lihtsalt võtma murdosa nimetaja (saadaval näites) ja muutma selle täisarvu nimetajaks, korrutades selle nimetajaga ja jagades, siin on näide:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

Leidke lugeja ja nimetaja. Murd koosneb kahest arvust: rea kohal olevat arvu nimetatakse lugejaks ja rea ​​all olevat arvu nimetatakse nimetajaks. Nimetaja näitab osade koguarvu, milleks tervik on jaotatud, ja lugeja on selliste osade arv.

• Näiteks murdosas ½ on lugeja 1 ja nimetaja 2.

Määrake nimetaja. Kui kahel või enamal murdul on ühine nimetaja, on sellistel murdudel rea all sama arv, see tähendab, et sel juhul jagatakse mõni tervik sama arvu osadeks. Ühise nimetajaga murdude liitmine on väga lihtne, kuna kogumurru nimetaja on sama, mis liidetavatel murdudel. Näiteks:

• Murdudel 3/5 ja 2/5 on ühine nimetaja 5.
• Murdudel 3/8, 5/8, 17/8 on ühine nimetaja 8.

Määrake lugejad.Ühise nimetajaga murdude liitmiseks lisa nende lugejad ja kirjuta tulemus liidetud murdude nimetaja kohale.

• Murdudel 3/5 ja 2/5 on lugejad 3 ja 2.
• Murdudel 3/8, 5/8, 17/8 on lugejad 3, 5, 17.

Liitke lugejad kokku.Ülesandes 3/5 + 2/5 liida lugejad 3 + 2 = 5. Ülesandes 3/8 + 5/8 + 17/8 liida lugejad 3 + 5 + 17 = 25.

Kirjutage kokku. Pidage meeles, et ühise nimetajaga murdude lisamisel jääb see muutumatuks - liidetakse ainult lugejad.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Vajadusel teisendage murdosa. Mõnikord võib murdosa kirjutada pigem täisarvuna kui hariliku või kümnendmurruna. Näiteks murd 5/5 teisendub kergesti 1-ks, kuna iga murd, mille lugeja on võrdne nimetajaga, on 1. Kujutage ette, et pirukas on lõigatud kolmeks osaks. Kui sööd ära kõik kolm osa, siis sööd ära terve (ühe) piruka.

• Mis tahes harilikku murru saab teisendada kümnendkohaks; Selleks jagage lugeja nimetajaga. Näiteks murdosa 5/8 saab kirjutada järgmiselt: 5 ÷ 8 = 0,625.

Võimalusel lihtsustage murdosa. Lihtsustatud murd on murd, mille lugejal ja nimetajal pole ühist jagajat.

• Näiteks kaaluge murdosa 3/6. Siin on nii lugejal kui ka nimetajal ühine jagaja, mis võrdub 3-ga, see tähendab, et lugeja ja nimetaja jagavad täielikult 3-ga. Seetõttu saab murdosa 3/6 kirjutada järgmiselt: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Vajadusel teisendage vale murd segamurruks (segaarv). Vale murru korral on lugeja nimetajast suurem, näiteks 25/8 (õige murru korral on lugeja nimetajast väiksem). Vale murru saab teisendada segamurruks, mis koosneb täisarvust (st täisarvust) ja murdosast (st õigest murrust). Sobimatu murru (nt 25/8) teisendamiseks segaarvuks toimige järgmiselt.

• Jagage valemurru lugeja nimetajaga; kirjuta üles mittetäielik jagatis (terve vastus). Meie näites: 25 ÷ 8 = 3 pluss mõni jääk. Sel juhul on kogu vastus segaarvu täisarvuline osa.
• Leia ülejäänud. Meie näites: 8 x 3 = 24; lahutage tulemus algsest lugejast: 25 - 24 \u003d 1, see tähendab, et jääk on 1. Sel juhul on jääk segaarvu murdosa lugeja.
• Kirjutage segamurd. Nimetaja ei muutu (see tähendab, et see on võrdne valemurru nimetajaga), seega 25/8 = 3 1/8.

Õpilasele üks raskemini mõistetav asi on erinevad tegevused lihtmurdudega. Selle põhjuseks on asjaolu, et lastel on endiselt raske abstraktselt mõelda ja murrud näevad nende jaoks välja just sellised. Seetõttu kasutavad õpetajad materjali esitamisel sageli analoogiat ja selgitavad murdude lahutamist ja liitmist sõna otseses mõttes sõrmedel. Kuigi ükski koolimatemaatika tund ei saa läbi ilma reeglite ja määratlusteta.

Põhimõisted

Enne millegi alustamist on soovitatav õppida selgeks mõned põhimääratlused ja reeglid. Esialgu on oluline mõista, mis on murd. Selle all mõeldakse arvu, mis tähistab üht või mitut ühiku murdosa. Näiteks kui lõigata päts 8 osaks ja panna neist 3 viilu taldrikule, siis 3/8 on murdosa. Veelgi enam, selles kirjutises on see lihtne murd, kus rea kohal olev arv on lugeja ja selle all on nimetaja. Aga kui see on kirjutatud kui 0,375, on see juba kümnendmurd.

Lisaks jagatakse lihtmurrud tavalisteks, ebaõigeteks ja segateks. Esimesse kuuluvad kõik need, mille lugeja on nimetajast väiksem. Kui nimetaja on vastupidi lugejast väiksem, on see juba vale murd. Kui õige ees on täisarv, räägitakse segaarvudest. Seega on murdosa 1/2 õige, kuid 7/2 mitte. Ja kui kirjutate selle sellisel kujul: 3 1/2, siis muutub see segatuks.

Et oleks lihtsam aru saada, mis on murdude liitmine, ja seda hõlpsasti teostada, on samuti oluline järgnevas meeles pidada selle olemust. Kui lugeja ja nimetaja korrutada sama arvuga, siis murd ei muutu. Just see omadus võimaldab teil tavaliste ja muude murdosadega teha lihtsamaid toiminguid. Tegelikult tähendab see, et 1/15 ja 3/45 on tegelikult sama arv.

Samade nimetajatega murdude liitmine

Selle toimingu sooritamine ei tekita tavaliselt suuri raskusi. Murdude liitmine sarnaneb sel juhul sarnasele toimingule täisarvudega. Nimetaja jääb muutumatuks ja lugejad liidetakse lihtsalt kokku. Näiteks kui teil on vaja lisada murde 2/7 ja 3/7, siis on kooliülesande lahendus vihikus järgmine:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

Lisaks saab sellist murdude liitmist seletada lihtsa näitega. Võta tavaline õun ja lõika näiteks 8 ossa. Asetage esimesed 3 osa eraldi välja ja seejärel lisage neile veel 2. Selle tulemusena jääb tassi 5/8 tervest õunast. Aritmeetiline ülesanne ise on kirjutatud järgmiselt:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Kuid sageli on raskemaid ülesandeid, kus tuleb kokku liita, näiteks 5/9 ja 3/5. Siin tekivadki esimesed raskused murdosadega toimingutes. Lõppude lõpuks nõuab selliste numbrite lisamine täiendavaid teadmisi. Nüüd peate nende põhivara täielikult meelde tuletama. Näite murdude liitmiseks tuleb need kõigepealt taandada üheks ühisnimetajaks. Selleks peate lihtsalt korrutama 9 ja 5 omavahel, korrutama lugeja "5" vastavalt 5-ga ja "3" vastavalt 9-ga. Seega on sellised murrud juba lisatud: 25/45 ja 27/45. Nüüd jääb üle vaid lugejad liita ja saada vastus 52/45. Paberitükil näeks näide välja selline:

5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 17/45.

Kuid selliste nimetajatega murdude liitmine ei nõua alati rea all olevate arvude lihtsat korrutamist. Esmalt otsige üles väikseim ühisnimetaja. Näiteks murdude 2/3 ja 5/6 puhul. Nende jaoks on see number 6. Kuid vastus pole alati ilmne. Sel juhul tasub meelde tuletada reeglit kahe arvu vähima ühiskordse (lühendatult LCM) leidmiseks.

Seda mõistetakse kahe täisarvu kõige vähem levinud tegurina. Selle leidmiseks jagage kõik algteguriteks. Nüüd kirjutage neist välja need, mis esinevad igas numbris vähemalt korra. Korrutage need kokku ja saate sama nimetaja. Tegelikult tundub kõik veidi lihtsam.

Näiteks peate lisama murrud 4/15 ja 1/6. Niisiis, 15 saadakse lihtarvude 3 ja 5 ning kuue kahe ja kolme korrutamisel. See tähendab, et nende LCM on 5 x 3 x 2 \u003d 30. Nüüd, jagades 30 esimese murru nimetajaga, saame selle lugeja jaoks teguri - 2. Ja teise murru jaoks on see arv 5. Seega jääb üle lisada tavalised murrud 8/30 ja 5/30 ning saada vastus 13/30. Kõik on äärmiselt lihtne. Kirjutage oma märkmikusse see ülesanne järgmiselt:

4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM (15, 6) = 30.

Seganumbrite lisamine

Nüüd, teades kõiki lihtsate murdude lisamise põhinippe, võite proovida kätt keerukamate näidetega. Ja need on segaarvud, mille all nad tähendavad seda tüüpi murdosa: 2 2/3. Siin kirjutatakse täisarvu osa enne õiget murdu. Ja paljud satuvad selliste numbritega toiminguid tehes segadusse. Tegelikult kehtivad siin samad reeglid.

Segaarvude liitmiseks lisage eraldi terved osad ja õiged murded. Ja siis on need 2 tulemust juba kokku võetud. Praktikas on kõik palju lihtsam, peate lihtsalt natuke harjutama. Näiteks peate ülesandes lisama järgmised segaarvud: 1 1 / 3 ja 4 2 / 5 . Selleks lisage esmalt 1 ja 4, et saada 5. Seejärel lisage 1/3 ja 2/5, kasutades vähima ühisnimetaja tehnikat. Otsus tehakse 15.11. Ja lõplik vastus on 5 11/15. Koolivihikus näeb see palju lühem välja:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Kümnendkohtade lisamine

Lisaks tavamurdudele on olemas ka kümnendmurrud. Muide, neid tuleb elus palju sagedamini ette. Näiteks hind poes näeb sageli välja selline: 20,3 rubla. See on sama murdosa. Loomulikult on neid palju lihtsam voltida kui tavalisi. Põhimõtteliselt peate lihtsalt lisama 2 tavalist numbrit, mis kõige tähtsam, pane koma õigesse kohta. Siin tekivadki raskused.

Näiteks peate lisama sellised 2,5 ja 0,56. Selleks, et seda õigesti teha, peate lõpus lisama esimesele nulli ja kõik saab korda.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Oluline on teada, et iga kümnendmurdu saab teisendada lihtmurruks, kuid iga lihtmurdu ei saa kirjutada kümnendmurruna. Niisiis, meie näite põhjal 2,5 = 2 1/2 ja 0,56 = 14/25. Kuid murdosa nagu 1/6 võrdub ainult ligikaudu 0,16667-ga. Sama olukord on ka teiste sarnaste numbritega - 2/7, 1/9 ja nii edasi.

Järeldus

Paljud koolilapsed, kes ei mõista murdosadega toimingute praktilist külge, suhtuvad sellesse teemasse hooletult. Need põhiteadmised võimaldavad teil aga logaritmide ja tuletiste leidmise keerukate näidete peal klõpsata. Ja seetõttu tasub üks kord murdosadega toiminguid hästi mõista, et hiljem pahameelest küünarnukke ei hammustaks. Vaevalt ju gümnaasiumis õpetaja selle juba käsitletud teema juurde tagasi pöördub. Iga keskkooliõpilane peaks suutma selliseid harjutusi sooritada.

Tunni sisu

Samade nimetajatega murdude liitmine

Murdude lisamist on kahte tüüpi:

1. Samade nimetajatega murdude liitmine
2. Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Alustame samade nimetajatega murdude liitmisest. Siin on kõik lihtne. Samade nimetajatega murdude lisamiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja muutmata. Näiteks liidame murrud ja . Lisame lugejad ja jätame nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lisate pitsale pitsa, saate pizza:

Näide 2 Lisage fraktsioonid ja .

Vastus on vale murd. Kui ülesande lõpp saabub, siis on kombeks valedest murdudest lahti saada. Ebaõigest murdosast vabanemiseks peate valima selles kogu osa. Meie puhul eraldatakse täisarvuline osa lihtsalt - kaks jagatud kahega võrdub ühega:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kaheks osaks. Kui lisad pitsale rohkem pitsasid, saad ühe terve pitsa:

Näide 3. Lisage fraktsioonid ja .

Lisage uuesti lugejad ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsasid, saate pitsad:

Näide 4 Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Lugejad tuleb lisada ja nimetaja jätta muutmata:

Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad ja lisate rohkem pitsasid, saate 1 terve pitsa ja rohkem pitsasid.

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lisamine keeruline. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

1. Sama nimetajaga murdude lisamiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja muutmata;

Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Nüüd õpime, kuidas liita erinevate nimetajatega murde. Murdude liitmisel peavad nende murdude nimetajad olema samad. Kuid need ei ole alati ühesugused.

Näiteks võib murde lisada, kuna neil on samad nimetajad.

Kuid murde ei saa korraga lisada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Murdude samale nimetajale taandamiseks on mitu võimalust. Täna käsitleme neist ainult ühte, kuna ülejäänud meetodid võivad algajale tunduda keerulised.

Selle meetodi olemus seisneb selles, et mõlema murru nimetajatest otsitakse esimest (LCM). Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur. Nad teevad sama ka teise murdosaga – LCM jagatakse teise murdosa nimetajaga ja saadakse teine ​​lisategur.

Seejärel korrutatakse murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada.

Näide 1. Lisage fraktsioonid ja

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate väikseima ühiskordse. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 2. Nende arvude vähim ühiskordne on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nüüd tagasi murdude ja . Esiteks jagame LCM-i esimese murru nimetajaga ja saame esimese lisateguri. LCM on arv 6 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 6 3-ga, saame 2.

Saadud arv 2 on esimene lisategur. Kirjutame selle esimese murruni. Selleks teeme murdosa kohale väikese kaldjoone ja kirjutame selle kohale leitud lisateguri:

Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga ja saame teise lisateguri. LCM on arv 6 ja teise murdosa nimetaja on arv 2. Jagage 6 2-ga, saame 3.

Saadud arv 3 on teine ​​lisategur. Kirjutame selle teise murdossa. Jällegi teeme teise murru kohale väikese kaldus joone ja kirjutame selle kohale leitud lisateguri:

Nüüd oleme kõik valmis lisama. Jääb üle korrutada murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

Vaadake tähelepanelikult, milleni oleme jõudnud. Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada. Lõpetame selle näite lõpuni:

Sellega näide lõpeb. Lisamiseks selgub.

Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad, saate ühe terve pitsa ja veel kuuendiku pitsast:

Murdude taandamist samale (ühis)nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Tuues murrud ja ühise nimetaja, saame murrud ja . Neid kahte fraktsiooni esindavad samad pitsalõigud. Ainus erinevus seisneb selles, et seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale).

Esimesel joonisel on kujutatud murdosa (neli tükki kuuest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kuuest). Neid tükke kokku pannes saame (seitse tükki kuuest). See murd on vale, seetõttu oleme selles täisarvu osa esile tõstnud. Tulemus oli (üks terve pitsa ja teine ​​kuues pitsa).

Pange tähele, et oleme selle näite liiga üksikasjalikult maalinud. Haridusasutustes pole kombeks nii detailselt kirjutada. Peate suutma kiiresti leida mõlema nimetaja ja nende lisategurite LCM-i, samuti kiiresti korrutama lugejate ja nimetajate abil leitud lisategurid. Koolis olles peaksime selle näite kirjutama järgmiselt:

Kuid on ka mündi teine ​​pool. Kui matemaatika õppimise esimestel etappidel üksikasjalikke märkmeid ei tehta, siis sedalaadi küsimused “Kust see arv tuleb?”, “Miks muutuvad murrud järsku täiesti erinevateks murdudeks? «.

Erinevate nimetajatega murdude lisamise hõlbustamiseks võite kasutada järgmisi samm-sammulisi juhiseid.

1. Leia murdude nimetajate LCM;
2. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks täiendav kordaja;
3. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega;
4. Lisa murrud, millel on samad nimetajad;
5. Kui vastus osutus valeks murdarvuks, valige selle osa;

Näide 2 Leidke avaldise väärtus .

Kasutame ülaltoodud juhiseid.

Samm 1. Leidke murdude nimetajate LCM

Leidke mõlema murru nimetajate LCM. Murdude nimetajad on numbrid 2, 3 ja 4

2. samm. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks täiendav kordaja

Jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 2. Jagage 12 2-ga, saame 6. Saime esimese lisateguri 6. Kirjutame selle esimese murru peale:

Nüüd jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Saime teise lisateguri 4. Kirjutame selle teise murru peale:

Nüüd jagame LCM-i kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja kolmanda murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Saime kolmanda lisateguri 3. Kirjutame selle kolmanda murru peale:

3. samm. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad lisateguritega

Korrutame lugejad ja nimetajad meie lisateguritega:

4. samm. Lisage samade nimetajatega murrud

Jõudsime järeldusele, et murrud, millel olid erinevad nimetajad, muutusid murdudeks, millel on samad (ühised) nimetajad. Jääb need fraktsioonid lisada. Kokku liitma:

Lisand ei mahtunud ühele reale, nii et teisaldasime ülejäänud avaldise järgmisele reale. See on matemaatikas lubatud. Kui avaldis ühele reale ei mahu, kantakse see üle järgmisele reale ning esimese rea lõppu ja uue rea algusesse tuleb panna võrdusmärk (=). Võrdsusmärk teisel real näitab, et see on esimesel real olnud avaldise jätk.

Samm 5. Kui vastus osutus valeks murdeks, siis valige selles kogu osa

Meie vastus on vale murd. Peame välja tooma kogu selle osa. Toome esile:

Sai vastuse

Samade nimetajatega murdude lahutamine

Murdarvu lahutamist on kahte tüüpi:

1. Samade nimetajatega murdude lahutamine
2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Esiteks õpime, kuidas lahutada samade nimetajatega murde. Siin on kõik lihtne. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja samaks.

Näiteks leiame avaldise väärtuse. Selle näite lahendamiseks on vaja esimese murru lugejast lahutada teise murru lugeja ja nimetaja jätta muutmata. Teeme ära:

Seda näidet on lihtne mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 2 Leidke avaldise väärtus.

Jällegi lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 3 Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Esimese murru lugejast peate lahutama ülejäänud murdude lugejad:

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lahutamisel midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

1. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja muutmata;
2. Kui vastus osutus valeks murdarvuks, peate valima selles kogu osa.

Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Näiteks võib murdosast lahutada murdosa, kuna nendel murdudel on samad nimetajad. Kuid murdosa ei saa murdosast lahutada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Ühine nimetaja leitakse sama põhimõtte järgi, mida kasutasime erinevate nimetajatega murdude liitmisel. Kõigepealt leidke mõlema murru nimetajate LCM. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur, mis kirjutatakse üle esimese murru. Samamoodi jagatakse LCM teise murru nimetajaga ja saadakse teine ​​lisategur, mis kirjutatakse teise murru peale.

Seejärel korrutatakse fraktsioonid nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada.

Näide 1 Leidke avaldise väärtus:

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need viima sama (ühise) nimetaja juurde.

Esiteks leiame mõlema murru nimetajate LCM-i. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 4. Nende arvude vähim ühiskordne on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nüüd tagasi murdude ja

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. Selleks jagame LCM-i esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Kirjutame nelja esimese murru peale:

Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Kirjutage teise murru kohale kolmik:

Nüüd oleme kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite lõpuni:

Sai vastuse

Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad.

See on lahenduse üksikasjalik versioon. Koolis olles peaksime selle näite lühemalt lahendama. Selline lahendus näeks välja järgmine:

Murdude ja ühisnimetaja taandamist saab kujutada ka pildi abil. Viies need murrud ühise nimetaja juurde, saame murrud ja . Neid murde esindavad samad pitsaviilud, kuid seekord jagatakse need samadeks murdudeks (vähendatud samale nimetajale):

Esimesel joonisel on kujutatud murdosa (kaheksa tükki kaheteistkümnest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kaheteistkümnest). Kaheksast tükist kolm tükki ära lõigates saame kaheteistkümnest viis tükki. Murd kirjeldab neid viit tükki.

Näide 2 Leidke avaldise väärtus

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need esmalt viima sama (ühise) nimetajani.

Leidke nende murdude nimetajate LCM.

Murdude nimetajateks on arvud 10, 3 ja 5. Nende arvude vähim ühiskordne on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nüüd leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. Selleks jagame LCM-i iga murdosa nimetajaga.

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. LCM on arv 30 ja esimese murru nimetaja on arv 10. Jagage 30 10-ga, saame esimese lisateguri 3. Kirjutame selle esimese murru peale:

Nüüd leiame teise murru jaoks lisateguri. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 30 3-ga, saame teise lisateguri 10. Kirjutame selle teise murru peale:

Nüüd leiame kolmanda murru jaoks lisateguri. Jagage LCM kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja kolmanda murru nimetaja on arv 5. Jagage 30 5-ga, saame kolmanda lisateguri 6. Kirjutame selle kolmanda murru peale:

Nüüd on kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et murrud, millel olid erinevad nimetajad, muutusid murdudeks, millel on samad (ühised) nimetajad. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite.

Näite jätk ei mahu ühele reale, seega liigume jätku järgmisele reale. Ärge unustage uuel real võrdusmärki (=):

Vastus osutus õigeks murdarvuks ja meile tundub, et kõik sobib, kuid see on liiga tülikas ja kole. Peaksime selle lihtsamaks tegema. Mida saaks teha? Saate seda osa vähendada.

Murru vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja (gcd) numbritega 20 ja 30.

Niisiis, leiame numbrite 20 ja 30 GCD:

Nüüd pöördume tagasi oma näite juurde ja jagame murdosa lugeja ja nimetaja leitud GCD-ga, see tähendab 10-ga

Sai vastuse

Murru korrutamine arvuga

Murru korrutamiseks arvuga peate korrutama antud murru lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja muutmata.

Näide 1. Korrutage murdarvuga 1.

Korrutage murdosa lugeja arvuga 1

Sisenemist võib mõista nii, et see võtab pool 1 korda. Näiteks kui võtate pizza 1 kord, saate pizza

Korrutamise seadustest teame, et kui kordajat ja kordajat vahetada, siis korrutis ei muutu. Kui avaldis on kirjutatud kujul , on korrutis ikkagi võrdne . Jällegi töötab täisarvu ja murdarvu korrutamise reegel:

Seda kirjet võib mõista nii, et see võtab poole ühikust. Näiteks kui on 1 terve pitsa ja me võtame sellest poole, siis saame pitsa:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage murdosa lugeja 4-ga

Vastus on vale murd. Võtame sellest terve osa:

Väljendit võib mõista nii, et see võtab kaks veerandit 4 korda. Näiteks kui võtate pitsasid 4 korda, saate kaks tervet pitsat.

Ja kui vahetame kordaja ja kordaja kohad, saame avaldise. See on samuti võrdne 2-ga. Seda väljendit võib mõista nii, et neljast tervest pitsast võetakse kaks pitsat:

Arv, mis on korrutatud murdosaga, ja murdosa nimetaja on lahendatud, kui nende ühisjagaja on suurem kui üks.

Näiteks saab avaldist hinnata kahel viisil.

Esimene viis. Korrutage arv 4 murru lugejaga ja jätke murdosa nimetaja muutmata:

Teine viis. Korrutatavat neljakordset ja murdosa nimetaja neljakordset saab vähendada. Saate neid neljasid vähendada 4 võrra, kuna kahe nelja suurim ühine jagaja on neli ise:

Saime sama tulemuse 3. Peale neljade vähendamist moodustuvad nende asemele uued numbrid: kaks ühte. Kuid ühe kolmekordse korrutamine ja seejärel ühega jagamine ei muuda midagi. Seetõttu võib lahenduse kirjutada lühemalt:

Vähendamist saab teha ka siis, kui otsustasime kasutada esimest meetodit, kuid arvu 4 ja lugeja 3 korrutamise etapis otsustasime kasutada taandust:

Kuid näiteks avaldist saab arvutada ainult esimesel viisil - korrutage 7 murdosa nimetajaga ja jätke nimetaja muutmata:

See on tingitud asjaolust, et arvul 7 ja murdosa nimetajal ei ole ühist jagajat, mis on suurem kui üks, ja vastavalt sellele neid ei vähendata.

Mõned õpilased lühendavad ekslikult korrutatavat arvu ja murdosa lugejat. Sa ei saa seda teha. Näiteks järgmine kirje pole õige:

Murru vähendamine tähendab seda ning lugeja ja nimetaja jagatakse sama arvuga. Avaldise olukorras toimub jagamine ainult lugejas, kuna selle kirjutamine on sama, mis kirjutamine . Näeme, et jagamine toimub ainult lugejas ja nimetajas jagamist ei toimu.

Murdude korrutamine

Murdude korrutamiseks peate korrutama nende lugejad ja nimetajad. Kui vastus on vale murd, peate valima selles kogu osa.

Näide 1 Leidke avaldise väärtus.

Sai vastuse. Soovitav on seda fraktsiooni vähendada. Fraktsiooni saab vähendada 2 võrra. Seejärel saab lõpplahus järgmise kuju:

Väljendit võib mõista kui pizza võtmist poole pitsa pealt. Oletame, et meil on pool pitsat:

Kuidas sellest poolest kaks kolmandikku võtta? Kõigepealt peate selle poole jagama kolmeks võrdseks osaks:

Ja võtke nendest kolmest tükist kaks:

Toome pitsa. Pidage meeles, kuidas pitsa välja näeb, jagatud kolmeks osaks:

Üks viil sellest pitsast ja kahel meie võetud viilul on samad mõõtmed:

Teisisõnu, me räägime samast pitsa suurusest. Seetõttu on avaldise väärtus

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastus on vale murd. Võtame sellest terve osa:

Näide 3 Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastus osutus õigeks murdarvuks, kuid on hea, kui seda vähendada. Selle murdosa vähendamiseks peate jagama selle murru lugeja ja nimetaja arvude 105 ja 450 suurima ühisjagajaga (GCD).

Niisiis, leiame numbrite 105 ja 450 GCD:

Jagame nüüd leitud GCD vastuse lugeja ja nimetaja, st 15-ga

Täisarvu esitamine murruna

Mis tahes täisarvu saab esitada murdarvuna. Näiteks numbrit 5 saab esitada kui . Sellest alates ei muuda viis selle tähendust, kuna väljend tähendab "arv viis jagatud ühega" ja see, nagu teate, võrdub viiega:

Tagurpidi numbrid

Nüüd tutvume väga huvitava matemaatika teemaga. Seda nimetatakse "tagurpidi numbriteks".

Definitsioon. Tagurpidi numbrilea on arv, mis korrutatunaa annab ühiku.

Asendame selles definitsioonis muutuja asemel a number 5 ja proovige definitsiooni lugeda:

Tagurpidi numbrile 5 on arv, mis korrutatuna 5 annab ühiku.

Kas on võimalik leida arvu, mis 5-ga korrutades annab ühe? Selgub, et saate. Esitame viit murruna:

Seejärel korrutage see murdosa iseendaga, vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Teisisõnu, korrutame murdosa iseendaga, ainult ümberpööratult:

Mis on selle tulemus? Kui jätkame selle näite lahendamist, saame ühe:

See tähendab, et arvu 5 pöördväärtus on arv, kuna kui 5 korrutada ühega, saadakse üks.

Pöördarvu võib leida ka mis tahes muu täisarvu jaoks.

Samuti saate leida pöördarvu mis tahes muu murru jaoks. Selleks piisab selle ümberpööramisest.

Murru jagamine arvuga

Oletame, et meil on pool pitsat:

Jagame selle kahe vahel võrdselt. Mitu pitsat igaüks saab?

On näha, et peale poole pitsa poolitamist saadi kaks võrdset tükki, millest igaüks moodustab pitsa. Nii et igaüks saab pitsa.