Pythagorase kolmnurkade Pythagorase teoreemi sõnastus. Pythagorase teoreemi tõestamise erinevad viisid

Shapovalova L.A. (jaam Egorlykskaya, MBOU ESOSH nr 11)

1. Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis VII - VIII klass, juhend õpetajatele, - M: Haridus, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "Matemaatikaõpiku lehekülgede taga" Käsiraamat 5.-6.klassi õpilastele. – M.: Valgustus, 1989.

3. Zenkevitš I.G. "Matemaatikatunni esteetika". – M.: Valgustus, 1981.

4. Litzman V. Pythagorase teoreem. - M., 1960.

5. Vološinov A.V. "Pythagoras". - M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Teispool algebraõpiku lehekülgi". - M., 1990.

7. Zemljakov A.N. "Geomeetria 10. klassis." - M., 1986.

8. Ajaleht "Matemaatika" 17/1996.

9. Ajaleht "Matemaatika" 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Elementaarmatemaatika ülesannete kogu". - M., 1963.

11. Dorofejev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matemaatika käsiraamat". - M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. Pythagorase arvu ja suuruse õpetus. - Novosibirsk, 1997.

13. “Reaalarvud. Irratsionaalsed väljendid» 8. klass. Tomski ülikooli kirjastus. - Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. "Geomeetria" klass 7-9. – M.: Valgustus, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Sel õppeaastal tutvusin huvitava teoreemiga, mis, nagu hiljem selgus, oli tuntud juba ammustest aegadest:

"Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile ehitatud ruut on võrdne jalgadele ehitatud ruutude summaga."

Tavaliselt omistatakse selle väite avastamine Vana-Kreeka filosoofile ja matemaatikule Pythagorasele (VI sajand eKr). Kuid iidsete käsikirjade uurimine näitas, et see väide oli teada juba ammu enne Pythagorase sündi.

Mõtlesin, miks antud juhul seda Pythagorase nimega seostatakse.

Teema asjakohasus: Pythagorase teoreemil on suur tähtsus: seda kasutatakse geomeetrias sõna otseses mõttes igal sammul. Usun, et Pythagorase teosed on endiselt aktuaalsed, sest kuhu iganes me vaatame, igal pool näeme tema suurte ideede vilju, mis on kehastunud tänapäeva elu erinevates harudes.

Minu uurimistöö eesmärk oli välja selgitada, kes oli Pythagoras ja milline seos on tal selle teoreemiga.

Teoreemi ajalugu uurides otsustasin välja selgitada:

Kas sellele teoreemile on muid tõendeid?

Milline on selle teoreemi tähtsus inimeste elus?

Millist rolli mängis Pythagoras matemaatika arengus?

Pythagorase eluloost

Samose Pythagoras on suurepärane kreeka teadlane. Selle kuulsus on seotud Pythagorase teoreemi nimega. Kuigi me juba teame, et seda teoreemi teati Vana-Babülonis 1200 aastat enne Pythagorast ja Egiptuses 2000 aastat enne teda tunti täisnurkset kolmnurka külgedega 3, 4, 5, nimetame seda ikkagi selle iidse nimega. teadlane.

Pythagorase elust pole peaaegu midagi kindlat, kuid tema nimega on seotud suur hulk legende.

Pythagoras sündis aastal 570 eKr Samose saarel.

Pythagoras oli kena välimusega, kandis pikka habet ja peas kuldset diadeemi. Pythagoras ei ole nimi, vaid hüüdnimi, mille filosoof sai selle eest, et ta rääkis alati õigesti ja veenvalt nagu kreeka oraakel. (Pythagoras - "veenev kõne").

Aastal 550 eKr teeb Pythagoras otsuse ja läheb Egiptusesse. Niisiis, Pythagorase ees avaneb tundmatu riik ja tundmatu kultuur. Pythagoras oli selles riigis palju hämmastunud ja üllatunud ning pärast mõningaid egiptlaste elu jälgimist mõistis Pythagoras, et tee teadmisteni, mida kaitseb preestrite kast, kulgeb religiooni kaudu.

Pärast ühtteist aastat õppimist Egiptuses läheb Pythagoras oma kodumaale, kus ta langeb teel Babüloonia vangi. Seal tutvub ta Babüloonia teadusega, mis oli arenenum kui Egiptuse oma. Babüloonlased teadsid, kuidas lahendada lineaar-, ruut- ja teatud tüüpi kuupvõrrandeid. Vangistusest pääsenuna ei saanud ta seal valitsenud vägivalla ja türannia õhustiku tõttu kauaks kodumaale jääda. Ta otsustas kolida Crotonisse (Kreeka koloonia Põhja-Itaalias).

Just Crotonis algab Pythagorase elu hiilgavaim periood. Seal asutas ta midagi usulis-eetilise vennaskonna või salajase kloostriordu taolist, mille liikmed olid kohustatud juhtima nn Pythagorase eluviisi.

Pythagoras ja Pythagoreans

Pythagoras organiseeris Apenniini poolsaare lõunaosas asuvas Kreeka koloonias usulise ja eetilise vennaskonna, näiteks kloostriordu, mida hiljem hakati kutsuma Pythagorase liiduks. Liidu liikmed pidid kinni pidama teatud põhimõtetest: esiteks püüdlema ilusa ja hiilgava poole, teiseks olema kasulikud ja kolmandaks püüdlema kõrge naudingu poole.

Moraali- ja eetiliste reeglite süsteem, mille Pythagoras oma õpilastele pärandas, koostati omamoodi pütagorlaste moraalikoodeksiks "Kuldsalmid", mis olid antiigi, keskaja ja renessansiajastul väga populaarsed.

Pythagorase õppesüsteem koosnes kolmest osast:

Õpetused arvude kohta - aritmeetika,

Õpetused figuuride kohta - geomeetria,

Õpetused universumi ehitusest – astronoomia.

Pythagorase loodud haridussüsteem kestis palju sajandeid.

Pythagorase koolkond tegi palju selleks, et anda geomeetriale teaduse iseloomu. Pythagorase meetodi põhijooneks oli geomeetria kombineerimine aritmeetikaga.

Pythagoras tegeles palju proportsioonide ja progresseerumisega ning ilmselt ka kujundite sarnasusega, kuna temale omistatakse ülesande lahendamine: "Ehitage antud kahe joonise põhjal kolmas, mis on võrdne ühe andmetega ja sarnaneb teine."

Pythagoras ja tema õpilased tutvustasid hulknurksete, sõbralike, täiuslike arvude kontseptsiooni ja uurisid nende omadusi. Aritmeetika kui arvutamispraktika Pythagorast ei huvitanud ja ta teatas uhkelt, et "seab aritmeetika kaupmehe huvidest kõrgemale".

Pythagorase liidu liikmed elasid paljudes Kreeka linnades.

Pythagoraslased võtsid oma ühiskonda vastu ka naisi. Liit õitses üle kahekümne aasta ja siis algas selle liikmete tagakiusamine, paljud üliõpilased tapeti.

Pythagorase enda surma kohta levis palju erinevaid legende. Kuid Pythagorase ja tema jüngrite õpetused elasid edasi.

Pythagorase teoreemi loomise ajaloost

Praegu on teada, et seda teoreemi Pythagoras ei avastanud. Kuid mõned usuvad, et Pythagoras andis esimesena täieliku tõendi, samas kui teised eitavad talle seda teenet. Mõned omistavad Pythagorasele tõestuse, mille Euclid esitab oma elementide esimeses raamatus. Teisest küljest väidab Proclus, et tõestus elementides on tingitud Eukleidese enda poolt. Nagu näeme, pole matemaatika ajaloos peaaegu mingeid usaldusväärseid konkreetseid andmeid Pythagorase elu ja tema matemaatilise tegevuse kohta.

Alustame Pythagorase teoreemi ajaloolist ülevaadet iidse Hiinaga. Siin köidab Chu-pei matemaatiline raamat erilist tähelepanu. See essee räägib Pythagorase kolmnurgast, mille küljed on 3, 4 ja 5:

"Kui täisnurk jaotatakse selle komponentideks, siis on selle külgede otste ühendav joon 5, kui alus on 3 ja kõrgus on 4."

Hindude geomeetria oli kultusega tihedalt seotud. Suure tõenäosusega tunti hüpotenuusi ruudu teoreemi juba Indias umbes 8. sajandil eKr. Puhtrituaalsete ettekirjutuste kõrval on geomeetriliselt teoloogilise iseloomuga teoseid. Nendes kirjutistes, mis pärinevad 4. või 5. sajandist eKr, kohtame täisnurga konstrueerimist, kasutades kolmnurka külgedega 15, 36, 39.

Keskajal määras Pythagorase teoreem piiri kui mitte võimalikult suurele, siis vähemalt headele matemaatilistele teadmistele. Pythagorase teoreemi iseloomulikku joonist, mille nüüd koolilapsed mõnikord näiteks professori või mehe mantli riietatud silindriks muudavad, kasutati tol ajal sageli matemaatika sümbolina.

Kokkuvõtteks esitame erinevad kreeka, ladina ja saksa keelest tõlgitud Pythagorase teoreemi sõnastused.

Eukleidese teoreem kõlab (sõnasõnaline tõlge):

"Täisnurkses kolmnurgas on täisnurka hõlmava külje ruut võrdne täisnurka ümbritsevate külgede ruutudega."

Nagu näete, on erinevates riikides ja erinevates keeltes tuttava teoreemi sõnastuse erinevad versioonid. Eri aegadel ja erinevates keeltes loodud need peegeldavad ühe matemaatilise mustri olemust, mille tõestamisel on samuti mitu võimalust.

Viis viisi Pythagorase teoreemi tõestamiseks

iidsed Hiina tõendid

Vana-Hiina joonisel on neli võrdset täisnurkset kolmnurka jalgadega a, b ja hüpotenuus c laotud nii, et nende välimine kontuur moodustab ruudu küljega a + b ja sisemine ruudu küljega c, mis on ehitatud hüpotenuus

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

J. Gardfieldi tõestus (1882)

Paigutame kaks võrdset täisnurkset kolmnurka nii, et ühe jalg on teise jätk.

Vaatlusaluse trapetsi pindala leitakse poole aluste summa ja kõrguse korrutisena

Teisest küljest on trapetsi pindala võrdne saadud kolmnurkade pindalade summaga:

Võrdsustades need väljendid, saame:

Tõestus on lihtne

See tõestus saadakse võrdhaarse täisnurkse kolmnurga kõige lihtsamal juhul.

Tõenäoliselt sai teoreem alguse temast.

Tõepoolest, piisab, kui vaadata võrdkülgsete täisnurksete kolmnurkade plaati, et näha, kas teoreem on tõene.

Näiteks kolmnurga ABC jaoks: hüpotenuusile AC ehitatud ruut sisaldab 4 algkolmnurka ja jalgadele ehitatud ruudud sisaldavad kahte. Teoreem on tõestatud.

Tõestus iidsetest hindudest

Ruudu küljega (a + b) saab jagada osadeks kas nagu joonisel fig. 12. a või nagu joonisel fig. 12b. On selge, et osad 1, 2, 3, 4 on mõlemal joonisel samad. Ja kui võrdsetest (pindaladest) lahutada võrdsed, siis jäävad võrdsed, s.t. c2 = a2 + b2.

Eukleidese tõestus

Kaks aastatuhandet oli kõige levinum Pythagorase teoreemi tõestamine, mille leiutas Eukleides. See on paigutatud tema kuulsasse raamatusse "Algused".

Euclid langetas kõrguse BH täisnurga tipust hüpotenuusile ja tõestas, et selle pikendus jagab hüpotenuusil valminud ruudu kaheks ristkülikuks, mille pindalad on võrdsed jalgadele ehitatud vastavate ruutude pindaladega.

Selle teoreemi tõestuses kasutatud joonist nimetatakse naljaga pooleks "Pythagorase püksid". Pikka aega peeti teda üheks matemaatikateaduse sümboliks.

Pythagorase teoreemi rakendamine

Pythagorase teoreemi olulisus seisneb selles, et sellest või selle abil saab tuletada enamiku geomeetria teoreemidest ja lahendada palju probleeme. Lisaks on Pythagorase teoreemi ja selle pöördteoreemi praktiline tähtsus selles, et nende abil saab leida segmentide pikkusi ilma segmente endid mõõtmata. See justkui avab tee sirgjoonelt tasapinnale, tasapinnalt mahuruumi ja sealt edasi. Just sel põhjusel on Pythagorase teoreem inimkonna jaoks nii oluline, mis püüab avastada rohkem mõõtmeid ja luua nendes mõõtmetes tehnoloogiaid.

Järeldus

Pythagorase teoreem on nii kuulus, et on raske ette kujutada inimest, kes pole sellest kuulnud. Sain teada, et Pythagorase teoreemi tõestamiseks on mitu võimalust. Uurisin mitmeid ajaloolisi ja matemaatilisi allikaid, sealhulgas teavet Internetis, ja mõistsin, et Pythagorase teoreem pole huvitav mitte ainult oma ajaloo poolest, vaid ka seetõttu, et sellel on elus ja teaduses oluline koht. Sellest annavad tunnistust mitmesugused tõlgendused selle teoreemi tekstile, mille ma selles töös andsin ja selle tõestusviisid.

Seega on Pythagorase teoreem geomeetria üks peamisi ja võib öelda, et kõige olulisem teoreem. Selle tähtsus seisneb selles, et sellest või selle abil saab tuletada enamiku geomeetria teoreemidest. Pythagorase teoreem on tähelepanuväärne ka selle poolest, et iseenesest pole see sugugi ilmne. Näiteks võrdhaarse kolmnurga omadused on otse joonisel näha. Kuid hoolimata sellest, kui palju te täisnurkset kolmnurka vaatate, ei näe te kunagi, et selle külgede vahel on lihtne seos: c2 = a2 + b2. Seetõttu kasutatakse selle tõestamiseks sageli visualiseerimist. Pythagorase eelis seisnes selles, et ta andis sellele teoreemile täieliku teadusliku tõestuse. Huvitav on teadlase enda isiksus, kelle mälestust see teoreem kogemata ei säilita. Pythagoras on suurepärane kõneleja, õpetaja ja kasvataja, oma kooli korraldaja, kes on keskendunud muusika ja numbrite harmooniale, headusele ja õiglusele, teadmistele ja tervislikule eluviisile. Ta võib olla eeskujuks meile, kaugetele järeltulijatele.

Bibliograafiline link

Tumanova S.V. MITU VIISID PÜTAGOROUSE TEOREEMI TÕESTAMISEKS // Alustage teadusest. - 2016. - nr 2. - Lk 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (juurdepääsu kuupäev: 04.06.2019).

Tavaliselt omistatakse humanitaarteadustele loovuse potentsiaali, jättes järele loodusteadusliku analüüsi, praktilise lähenemise ning valemite ja arvude kuiva keele. Matemaatikat ei saa liigitada humanitaarainete hulka. Kuid ilma "kõigi teaduste kuninganna" loovuseta ei jõua te kaugele - inimesed on sellest juba pikka aega teadnud. Näiteks Pythagorase ajast.

Kooliõpikutes kahjuks tavaliselt ei selgitata, et matemaatikas ei ole oluline mitte ainult teoreemide, aksioomide ja valemite toppimine. Oluline on mõista ja tunnetada selle aluspõhimõtteid. Ja samas proovige vabastada oma meel klišeedest ja elementaarsetest tõdedest – ainult sellistes tingimustes sünnivad kõik suured avastused.

Selliste avastuste hulka kuulub ka see, mida tänapäeval tunneme Pythagorase teoreemina. Selle abiga püüame näidata, et matemaatika mitte ainult ei saa, vaid peaks olema lõbus. Ja et see seiklus ei sobi ainult paksude klaasidega nohikutele, vaid kõigile, kes on vaimult tugevad ja hingelt kanged.

Väljaande ajaloost

Rangelt võttes, kuigi teoreemi nimetatakse "Pythagorase teoreemiks", ei avastanud Pythagoras ise seda. Täisnurkset kolmnurka ja selle eriomadusi on uuritud ammu enne seda. Sellel teemal on kaks polaarset seisukohta. Ühe versiooni kohaselt leidis Pythagoras esimesena teoreemi täieliku tõestuse. Teise väitel ei kuulu tõestus Pythagorase autorluse alla.

Tänapäeval ei saa enam kontrollida, kellel on õigus ja kes eksib. On vaid teada, et Pythagorase tõend, kui see kunagi eksisteeris, pole säilinud. Siiski on oletusi, et Eukleidese elementide kuulus tõend võib kuuluda Pythagorasele ja Eukleides on selle ainult kirja pannud.

Tänapäeval on ka teada, et ülesandeid täisnurkse kolmnurga kohta leidub Egiptuse allikates vaarao Amenemhet I ajast, Babüloonia savitahvlitelt kuningas Hammurapi valitsusajast, Vana-India traktaadist Sulva Sutra ja iidse Hiina teosest Zhou. -bi suan jin.

Nagu näete, on Pythagorase teoreem matemaatikute meelt hõivanud iidsetest aegadest peale. Ligikaudu 367 erinevat tänapäeval eksisteerivat tõendit on kinnituseks. Ükski teine teoreem ei saa sellega selles osas võistelda. Märkimisväärsete tõendite autorite hulka kuuluvad Leonardo da Vinci ja Ameerika Ühendriikide 20. president James Garfield. Kõik see räägib selle teoreemi äärmisest tähtsusest matemaatika jaoks: enamik geomeetria teoreeme on sellest tuletatud või sellega ühel või teisel viisil seotud.

Pythagorase teoreemi tõestused

Kooliõpikud annavad enamasti algebralisi tõestusi. Kuid teoreemi põhiolemus on geomeetrias, seega vaatleme kõigepealt kuulsa teoreemi tõestusi, mis põhinevad sellel teadusel.

Tõestus 1

Täisnurkse kolmnurga Pythagorase teoreemi lihtsaimaks tõestuseks peate seadma ideaalsed tingimused: olgu kolmnurk mitte ainult täisnurkne, vaid ka võrdhaarne. On alust arvata, et iidsed matemaatikud pidasid algselt just sellist kolmnurka.

avaldus "täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile ehitatud ruut on võrdne selle jalgadele ehitatud ruutude summaga" saab illustreerida järgmise joonisega:

Vaadake võrdhaarset täisnurkset kolmnurka ABC: hüpotenuusil AC saate ehitada ruudu, mis koosneb neljast kolmnurgast, mis on võrdne algse ABC-ga. Ja ruudule ehitatud jalgadel AB ja BC, millest igaüks sisaldab kahte sarnast kolmnurka.

Muide, see joonis oli aluseks arvukatele Pythagorase teoreemile pühendatud anekdootidele ja koomiksitele. Võib-olla on kõige kuulsam "Pythagorase püksid on igas suunas võrdsed":

Tõestus 2

See meetod ühendab algebra ja geomeetria ning seda võib vaadelda matemaatik Bhaskari iidse India tõestuse variandina.

Ehitage täisnurkne kolmnurk külgedega a, b ja c(joonis 1). Seejärel ehitage kaks ruutu, mille küljed on võrdsed kahe jala pikkuste summaga - (a+b). Tehke igas ruudus konstruktsioonid, nagu joonistel 2 ja 3.

Esimesele ruudule ehitage neli samasugust kolmnurka nagu joonisel 1. Selle tulemusena saadakse kaks ruutu: üks küljega a, teine küljega b.

Teises ruudus moodustavad neli sarnast kolmnurka ruudu, mille külg on võrdne hüpotenuusiga c.

Konstrueeritud ruutude pindalade summa joonisel 2 on võrdne ruudu pindalaga, mille konstrueerisime joonisel 3 küljega c. Seda saab hõlpsasti kontrollida, arvutades joonisel fig. 2 vastavalt valemile. Ja joonisel 3 oleva sissekirjutatud ruudu pindala, lahutades ruudu sisse kirjutatud nelja võrdse täisnurkse kolmnurga pindalad suure küljega ruudu pindalast. (a+b).

Kõike seda maha pannes on meil: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Laiendage sulud, tehke kõik vajalikud algebralised arvutused ja saate selle a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Samal ajal on joonisel 3 näidatud pindala. ruutu saab arvutada ka traditsioonilise valemi abil S=c2. Need. a2+b2=c2 Sa tõestasid Pythagorase teoreemi.

Tõestus 3

Sama iidse India tõestust kirjeldatakse 12. sajandil traktaadis "Teadmiste kroon" ("Siddhanta Shiromani") ning peamise argumendina kasutab autor üleskutset õpilaste ja õpilaste matemaatiliste annete ja vaatlusvõime kohta. jälgijad: "Vaata!".

Kuid me analüüsime seda tõendit üksikasjalikumalt:

Ruudu sees ehitage neli täisnurkset kolmnurka, nagu on näidatud joonisel. Suure ruudu külg, mis on ühtlasi hüpotenuus, on tähistatud Koos. Kutsume kolmnurga jalgu a ja b. Joonise järgi sisemise ruudu külg on (a-b).

Kasutage ruudu pindala valemit S=c2 välimise ruudu pindala arvutamiseks. Ja samal ajal arvutage sama väärtus, lisades sisemise ruudu pindala ja nelja täisnurkse kolmnurga pindala: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Ruudu pindala arvutamiseks võite kasutada mõlemat võimalust, et tagada sama tulemus. Ja see annab teile õiguse see üles kirjutada c 2 = (a-b) 2 +4*1\2*a*b. Lahenduse tulemusena saad Pythagorase teoreemi valemi c2=a2+b2. Teoreem on tõestatud.

Tõestus 4

Seda uudishimulikku iidset Hiina tõendit kutsuti "pruuditooliks" – kõikidest konstruktsioonidest tuleneva toolitaolise kuju tõttu:

See kasutab joonist, mida oleme juba teises proovis joonisel 3 näinud. Ja sisemine ruut küljega c on konstrueeritud samamoodi nagu ülaltoodud iidse India tõestuses.

Kui lõikad jooniselt 1 mõtteliselt ära kaks rohelist täisnurkset kolmnurka, liigutad need ruudu c-küljega vastaskülgedele ja kinnitad hüpotenuused sirelikolmnurkade hüpotenuusi külge, saad kujundi nimega “pruuttool ” (joonis 2). Selguse huvides saate sama teha paberist ruutude ja kolmnurkadega. Näete, et "pruudi tooli" moodustavad kaks ruutu: väikesed küljega b ja suur küljega a.

Need konstruktsioonid võimaldasid iidsetel Hiina matemaatikutel ja meil, kes neid järgisime, jõuda sellele järeldusele c2=a2+b2.

Tõestus 5

See on veel üks viis Pythagorase teoreemile lahenduse leidmiseks geomeetria põhjal. Seda nimetatakse Garfieldi meetodiks.

Ehitage täisnurkne kolmnurk ABC. Me peame seda tõestama BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Selleks jätkake jalga AC ja luua segment CD, mis on võrdne jalaga AB. Alumine risti AD joonelõik ED. Segmendid ED ja AC on võrdsed. ühendage punktid E ja AT, sama hästi kui E ja FROM ja hankige joonis, nagu alloleval pildil:

Torni tõestamiseks kasutame taas juba katsetatud meetodit: leiame saadud kujundi pindala kahel viisil ja võrdsustame avaldised üksteisega.

Leidke hulknurga pindala VOODI saab teha, lisades selle moodustava kolme kolmnurga pindalad. Ja üks neist ERU, pole mitte ainult ristkülikukujuline, vaid ka võrdhaarne. Ärgem unustagem ka seda AB = CD, AC=ED ja BC=CE- see võimaldab meil salvestamist lihtsustada ja mitte üle koormata. Niisiis, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Samas on ilmne, et VOODI on trapets. Seetõttu arvutame selle pindala järgmise valemi abil: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Meie arvutuste jaoks on mugavam ja selgem segmenti kujutada AD segmentide summana AC ja CD.

Kirjutame kujundi pindala arvutamiseks mõlemad viisid, pannes nende vahele võrdusmärgi: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Kasutame meile juba teada ja ülalkirjeldatud segmentide võrdsust, et tähise paremat poolt lihtsustada: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Ja nüüd avame sulud ja teisendame võrdsuse: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Pärast kõigi muudatuste tegemist saame täpselt selle, mida vajame: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Oleme teoreemi tõestanud.

Muidugi pole see tõendite loetelu kaugeltki täielik. Pythagorase teoreemi saab tõestada ka vektorite, kompleksarvude, diferentsiaalvõrrandite, stereomeetria jms abil. Ja isegi füüsikud: kui näiteks vedelik valatakse ruudukujulistesse ja kolmnurksetesse mahtudesse, mis on sarnased joonistel kujutatuga. Vedeliku valamisel on võimalik tõestada alade võrdsust ja selle tulemusena teoreemi ennast.

Paar sõna Pythagorase kolmikute kohta

Seda küsimust on kooli õppekavas vähe uuritud või üldse mitte. Vahepeal on see väga huvitav ja geomeetrias väga oluline. Pythagorase kolmikuid kasutatakse paljude matemaatiliste ülesannete lahendamiseks. Nende idee võib teile täiendõppes kasulikuks osutuda.

Mis on Pythagorase kolmikud? Nn naturaalarvud, mis on kogutud kolmeks, mille kahe ruutude summa on võrdne kolmanda arvu ruudus.

Pythagorase kolmikud võivad olla:

primitiivne (kõik kolm arvu on suhteliselt algarvud);
mitteprimitiivne (kui iga kolmiku arv korrutada sama arvuga, saad uue kolmiku, mis pole primitiivne).

Juba enne meie ajastut paelus iidseid egiptlasi Pythagorase kolmikute arvumaania: ülesannetes arvestati täisnurkse kolmnurga külgedega 3,4 ja 5 ühikut. Muide, iga kolmnurk, mille küljed on võrdsed Pythagorase kolmiku arvudega, on vaikimisi ristkülikukujulised.

Näited Pythagorase kolmikute kohta: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) jne.

Teoreemi praktiline rakendamine

Pythagorase teoreem leiab rakendust mitte ainult matemaatikas, vaid ka arhitektuuris ja ehituses, astronoomias ja isegi kirjanduses.

Esiteks ehitusest: Pythagorase teoreem on selles laialdaselt kasutusel erineva keerukusega ülesannetes. Näiteks vaadake romaani akent:

Tähistame akna laiust kui b, siis võib suure poolringi raadiust tähistada kui R ja väljendada läbi b: R=b/2. Väiksemate poolringide raadiust saab väljendada ka kujul b: r = b/4. Selles ülesandes huvitab meid akna siseringi raadius (nimetagem seda lk).

Pythagorase teoreem tuleb arvutamisel lihtsalt kasuks R. Selleks kasutame täisnurkset kolmnurka, mis on joonisel tähistatud punktiirjoonega. Kolmnurga hüpotenuus koosneb kahest raadiusest: b/4+p. Üks jalg on raadius b/4, teine b/2-p. Kasutades Pythagorase teoreemi, kirjutame: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Järgmisena avame sulgud ja saame b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 bp + p 2. Teisendame selle väljendi järgmiseks bp/2=b 2/4-bp. Ja siis jagame kõik terminid b, anname sarnaseid saada 3/2*p=b/4. Ja lõpuks leiame selle p=b/6- mida me vajasime.

Teoreemi abil saate arvutada viilkatuse sarikate pikkuse. Määrake, kui kõrget on vaja mobiilitorni, et signaal jõuaks teatud asulasse. Ja isegi stabiilselt paigaldage linnaväljakule jõulupuu. Nagu näete, ei ela see teoreem mitte ainult õpikute lehtedel, vaid on sageli kasulik ka päriselus.

Mis puutub kirjandusse, siis Pythagorase teoreem on kirjanikke inspireerinud antiikajast peale ja teeb seda ka tänapäeval. Näiteks 19. sajandi saksa kirjanikku Adelbert von Chamissot inspireeris ta kirjutama soneti:

Tõe valgus ei haju niipea,
Kuid pärast säramist ei haju see tõenäoliselt
Ja nagu tuhandeid aastaid tagasi,
Ei tekita kahtlusi ja vaidlusi.

Kõige targem, kui see silma puudutab
Tõe valgus, tänan jumalaid;
Ja sada pulli, pussitatud, valetavad -
Õnneliku Pythagorase tagasikingitus.

Sellest ajast peale on härjad meeleheitlikult möirganud:
Igavesti äratas härjahõimu
siin mainitud sündmus.

Nad arvavad, et on aeg
Ja jälle nad ohverdatakse
Mõni suurepärane teoreem.

(tõlkinud Viktor Toporov)

Ja 20. sajandil pühendas nõukogude kirjanik Jevgeni Veltistov oma raamatus "Elektroonika seiklused" terve peatüki Pythagorase teoreemi tõestustele. Ja pool peatükki loost kahemõõtmelisest maailmast, mis võiks eksisteerida, kui Pythagorase teoreem saaks ühe maailma põhiseaduseks ja isegi religiooniks. Selles oleks palju lihtsam elada, aga ka palju igavam: näiteks ei saa seal keegi aru sõnade “ümmargune” ja “kohev” tähendusest.

Ja raamatus "Elektroonika seiklused" ütleb autor matemaatikaõpetaja Taratara suu läbi: "Matemaatikas on peamine mõtte liikumine, uued ideed." Just see loov mõttelend genereerib Pythagorase teoreemi – pole asjata, et sellel on nii palju erinevaid tõestusi. See aitab tavapärasest kaugemale minna ja tuttavatele asjadele uutmoodi vaadata.

Järeldus

See artikkel loodi selleks, et saaksite vaadata matemaatikas kooli õppekavast kaugemale ja õppida mitte ainult neid Pythagorase teoreemi tõestusi, mis on toodud õpikutes "Geomeetria 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) ja "Geomeetria 7-11". ” (A.V. Pogorelov), aga ka muid kurioosseid viise kuulsa teoreemi tõestamiseks. Ja vaadake ka näiteid Pythagorase teoreemi igapäevaelus rakendamisest.

Esiteks võimaldab see teave matemaatikatundides saada kõrgemaid hindeid – lisaallikatest saadav teave selle teema kohta on alati kõrgelt hinnatud.

Teiseks soovisime aidata teil mõista, kui huvitav on matemaatika. Veenduda konkreetsete näidetega, et selles on alati koht loovusel. Loodame, et Pythagorase teoreem ja see artikkel inspireerivad teid tegema oma uurimistööd ja tegema põnevaid avastusi matemaatikas ja muudes teadustes.

Rääkige meile kommentaarides, kas teile tundusid artiklis esitatud tõendid huvitavad. Kas see teave oli teie õpingutes kasulik? Andke meile teada, mida arvate Pythagorase teoreemist ja sellest artiklist – me arutame seda kõike teiega hea meelega.

blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.

Pythagorase teoreem: jalgadele toetatud ruutude pindalade summa ( a ja b), võrdub hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalaga ( c).

Geomeetriline koostis:

Teoreem oli algselt sõnastatud järgmiselt:

Algebraline formuleering:

See tähendab, et tähistab läbiva kolmnurga hüpotenuusi pikkust c, ja jalgade pikkused läbi a ja b :

a 2 + b 2 = c 2

Teoreemi mõlemad sõnastused on samaväärsed, kuid teine formuleering on elementaarsem, see ei nõua pindala mõistet. See tähendab, et teist väidet saab kontrollida pindala kohta midagi teadmata ja mõõtes ainult täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi.

Pythagorase pöördteoreem:

Tõestus

Hetkel on teaduskirjanduses kirja pandud 367 selle teoreemi tõestust. Tõenäoliselt on Pythagorase teoreem ainus teoreem, millel on nii muljetavaldav hulk tõestusi. Sellist mitmekesisust saab seletada ainult teoreemi põhimõttelise tähtsusega geomeetria jaoks.

Mõistagi võib neid kõiki jagada väheseks arvuks klassideks. Tuntuimad neist: tõestused pindalameetodil, aksiomaatilised ja eksootilised tõestused (näiteks diferentsiaalvõrrandite abil).

Läbi sarnaste kolmnurkade

Järgmine algebralise formuleeringu tõestus on otse aksioomidest koostatud tõestustest lihtsaim. Eelkõige ei kasuta see figuuriala mõistet.

Lase ABC on täisnurkne kolmnurk C. Joonistame kõrguse C ja tähistage selle alust H. Kolmnurk ACH sarnane kolmnurgaga ABC kahes nurgas. Samamoodi kolmnurk CBH sarnased ABC. Tutvustame noodikirja

saame

Mis on samaväärne

Lisades saame

Piirkonna tõendid

Vaatamata näilisele lihtsusele ei ole järgmised tõestused sugugi nii lihtsad. Kõik need kasutavad ala omadusi, mille tõestamine on keerulisem kui Pythagorase teoreemi enda tõestamine.

Tõestus samaväärsuse kaudu

Asetage neli võrdset täisnurkset kolmnurka, nagu on näidatud joonisel 1.
Nelinurk külgedega c on ruut, sest kahe teravnurga summa on 90° ja sirge nurk on 180°.
Kogu joonise pindala on ühelt poolt võrdne ruudu pindalaga, mille külg on (a + b) ja teiselt poolt nelja kolmnurga ja kahe sisemise kolmnurga pindalade summaga. ruudud.

Q.E.D.

Tõendid samaväärsuse kaudu

Elegantne permutatsioonitõend

Ühe sellise tõestuse näide on näidatud parempoolsel joonisel, kus hüpotenuusile ehitatud ruut muudetakse permutatsiooni teel kaheks jalgadele ehitatud ruuduks.

Eukleidese tõestus

Joonis Eukleidese tõestuseks

Illustratsioon Eukleidese tõestuseks

Eukleidese tõestuse idee on järgmine: proovime tõestada, et pool hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalast võrdub jalgadele ehitatud ruutude poolte pindalade summaga ja seejärel suur ja kaks väikest ruutu on võrdsed.

Mõelge vasakpoolsele joonisele. Ehitasime sellele täisnurkse kolmnurga külgedele ruudud ja joonistasime täisnurga C tipust täisnurga C tipust AB kiire, mis lõikab hüpotenuusile ehitatud ruudu ABIK kaheks ristkülikuks - BHJI ja HAKJ , vastavalt. Selgub, et nende ristkülikute pindalad on täpselt võrdsed vastavatele jalgadele ehitatud ruutude pindaladega.

Proovime tõestada, et ruudu DECA pindala on võrdne ristküliku pindalaga AHJK Selleks kasutame abivaatlust: antud kolmnurga pindala, mille kõrgus ja alus on sama kui antud. ristkülik on võrdne poolega antud ristküliku pindalast. See tuleneb sellest, et kolmnurga pindala on pool aluse ja kõrguse korrutisest. Sellest tähelepanekust järeldub, et kolmnurga ACK pindala on võrdne kolmnurga AHK pindalaga (pole näidatud), mis omakorda on võrdne poolega ristküliku AHJK pindalast.

Tõestame nüüd, et kolmnurga ACK pindala on samuti võrdne poolega DECA ruudu pindalast. Ainus asi, mida selleks teha tuleb, on tõestada kolmnurkade ACK ja BDA võrdsust (kuna kolmnurga BDA pindala on ülaltoodud omaduse võrra võrdne poole ruudu pindalaga). See võrdsus on ilmne, kolmnurgad on kahes küljes ja nendevahelises nurgas võrdsed. Nimelt - AB=AK,AD=AC - nurkade CAK ja BAD võrdsust on lihtne tõestada liikumismeetodiga: pöörame kolmnurka CAK 90° vastupäeva, siis on ilmne, et kahe vaadeldava kolmnurga vastavad küljed langevad kokku (tänu asjaolule, et nurga ruudu tipus on 90°).

Argument ruudu BCFG ja ristküliku BHJI pindalade võrdsuse kohta on täiesti analoogne.

Seega oleme tõestanud, et hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala on jalgadele ehitatud ruutude pindalade summa. Selle tõestuse idee on veelgi illustreeritud ülaltoodud animatsiooniga.

Leonardo da Vinci tõend

Tõestuse põhielemendid on sümmeetria ja liikumine.

Mõelge joonisele, nagu on näha sümmeetriast, segmendist CI lahkab väljakut ABHJ kaheks identseks osaks (kuna kolmnurgad ABC ja JHI on ehituselt võrdsed). Kasutades 90 kraadi vastupäeva pööramist, näeme varjutatud kujundite võrdsust CAJI ja GDAB . Nüüd on selge, et meie poolt varjutatud kujundi pindala on võrdne jalgadele ehitatud ruutude poole pindala ja algse kolmnurga pindala summaga. Teisest küljest on see võrdne poolega hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalast, millele lisandub algse kolmnurga pindala. Tõestuse viimane samm jääb lugeja teha.

Tõestus lõpmatu väikese meetodiga

Järgnev diferentsiaalvõrrandeid kasutav tõestus on sageli omistatud kuulsale inglise matemaatikule Hardyle, kes elas 20. sajandi esimesel poolel.

Arvestades joonisel näidatud joonist ja jälgides külje muutust a, saame kirjutada järgmise seose lõpmatute külgmiste juurdekasvude jaoks Koos ja a(kasutades sarnaseid kolmnurki):

Tõestus lõpmatu väikese meetodiga

Kasutades muutujate eraldamise meetodit, leiame

Üldisem väljend hüpotenuusi muutmiseks mõlema jala juurdekasvu korral

Integreerides selle võrrandi ja kasutades algtingimusi, saame

c 2 = a 2 + b 2 + konstant.

Seega jõuame soovitud vastuseni

c 2 = a 2 + b 2 .

Nagu on lihtne näha, ilmneb lõplikus valemis ruutsõltuvus kolmnurga külgede ja sammude vahelise lineaarse proportsionaalsuse tõttu, samas kui summa on tingitud erinevate jalgade juurdekasvu sõltumatust panusest.

Lihtsama tõestuse saab, kui eeldame, et üks jalg ei koge juurdekasvu (antud juhul jalg b). Seejärel saame integratsioonikonstandi jaoks

Variatsioonid ja üldistused

Kui ruutude asemel konstrueeritakse jalgadele muid sarnaseid kujundeid, on Pythagorase teoreemi järgmine üldistus tõene: Täisnurkses kolmnurgas võrdub jalgadele ehitatud sarnaste kujundite pindalade summa hüpotenuusile ehitatud kujundi pindalaga. Eriti:
- Jalgadele ehitatud korrapäraste kolmnurkade pindalade summa on võrdne hüpotenuusile ehitatud korrapärase kolmnurga pindalaga.
- Jalgadele ehitatud poolringide pindalade summa (nagu läbimõõdul) on võrdne hüpotenuusile ehitatud poolringi pindalaga. Seda näidet kasutatakse kahe ringikaarega piiratud ja hippokraatliku lunula nime kandvate kujundite omaduste tõestamiseks.

Lugu

Chu-pei 500–200 eKr. Vasakul on kiri: kõrguse ja aluse pikkuste ruutude summa on hüpotenuusi pikkuse ruut.

Vana-Hiina raamat Chu-pei räägib Pythagorase kolmnurgast, mille küljed on 3, 4 ja 5: samas raamatus on välja pakutud joonis, mis langeb kokku ühe Baskhara hinduistliku geomeetria joonisega.

Kantor (suurim Saksa matemaatikaajaloolane) usub, et võrdsus 3 ² + 4 ² = 5² oli egiptlastele teada juba umbes 2300 eKr. e., kuningas Amenemhet I ajal (Berliini muuseumi papüüruse 6619 järgi). Cantori sõnul ehitasid harpedonaptid ehk "stringerid" täisnurki, kasutades täisnurkseid kolmnurki külgedega 3, 4 ja 5.

Nende ehitusmeetodit on väga lihtne reprodutseerida. Võtke 12 m pikkune köis ja siduge see 3 m kaugusel mööda värvilist riba selle külge. ühest otsast ja 4 meetri kaugusel teisest. 3–4 meetri pikkuste külgede vahele jääb täisnurk. Harpedonaptidele võib vastu vaielda, et nende ehitusviis muutub üleliigseks, kui kasutada näiteks kõigi puuseppade kasutatavat puidust väljakut. Tõepoolest, on teada Egiptuse joonised, millelt selline tööriist on leitud, näiteks puusepatöökoda kujutavad joonised.

Babüloonlaste seas on Pythagorase teoreemi kohta mõnevõrra rohkem teada. Ühes tekstis, mis pärineb Hammurapi ajast, s.o. aastast 2000 eKr. st on antud täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ligikaudne arvutus. Sellest võime järeldada, et Mesopotaamias suutsid nad vähemalt mõnel juhul teha arvutusi täisnurksete kolmnurkadega. Tuginedes ühelt poolt Egiptuse ja Babüloonia matemaatika teadmiste praegusele tasemele ning teiselt poolt Kreeka allikate kriitilisele uurimisele, järeldas Van der Waerden (Hollandi matemaatik) järgmise:

Kirjandus

Vene keeles

Skopets Z. A. Geomeetrilised miniatuurid. M., 1990
Jelena Sh. Pythagorase jälgedes. M., 1961
Van der Waerden B.L.Äratusteadus. Vana-Egiptuse, Babüloni ja Kreeka matemaatika. M., 1959
Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis. M., 1982
W. Litzman, "Pythagorase teoreem", M., 1960.
- Pythagorase teoreemi käsitlev sait suure hulga tõestustega, materjal on võetud W. Litzmani raamatust, suur hulk jooniseid on esitatud eraldi graafiliste failidena.
Pythagorase teoreem ja Pythagorase kolmikute peatükk D. V. Anosovi raamatust “Pilk matemaatikasse ja midagi sellest”
Pythagorase teoreemist ja selle tõestamise meetoditest G. Glaser, Venemaa Haridusakadeemia akadeemik, Moskva

Inglise keeles

Pythagorase teoreem WolframMathWorldis
Cut-The-Knot, Pythagorase teoreemi osa, umbes 70 tõestust ja ulatuslikku lisateavet (eng.)

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

Väljaande ajaloost

Pythagorase teoreemi tõestused

Kooliõpikud annavad enamasti algebralisi tõestusi. Kuid teoreemi põhiolemus on geomeetrias, seega vaatleme kõigepealt kuulsa teoreemi tõestusi, mis põhinevad sellel teadusel.

Tõestus 1

avaldus "täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile ehitatud ruut on võrdne selle jalgadele ehitatud ruutude summaga" saab illustreerida järgmise joonisega:

Muide, see joonis oli aluseks arvukatele Pythagorase teoreemile pühendatud anekdootidele ja koomiksitele. Võib-olla on kõige kuulsam "Pythagorase püksid on igas suunas võrdsed":

Tõestus 2

See meetod ühendab algebra ja geomeetria ning seda võib vaadelda matemaatik Bhaskari iidse India tõestuse variandina.

Esimesele ruudule ehitage neli samasugust kolmnurka nagu joonisel 1. Selle tulemusena saadakse kaks ruutu: üks küljega a, teine küljega b.

Teises ruudus moodustavad neli sarnast kolmnurka ruudu, mille külg on võrdne hüpotenuusiga c.

Tõestus 3

Kuid me analüüsime seda tõendit üksikasjalikumalt:

Tõestus 4

Seda uudishimulikku iidset Hiina tõendit kutsuti "pruuditooliks" – kõikidest konstruktsioonidest tuleneva toolitaolise kuju tõttu:

See kasutab joonist, mida oleme juba teises proovis joonisel 3 näinud. Ja sisemine ruut küljega c on konstrueeritud samamoodi nagu ülaltoodud iidse India tõestuses.

Need konstruktsioonid võimaldasid iidsetel Hiina matemaatikutel ja meil, kes neid järgisime, jõuda sellele järeldusele c2=a2+b2.

Tõestus 5

See on veel üks viis Pythagorase teoreemile lahenduse leidmiseks geomeetria põhjal. Seda nimetatakse Garfieldi meetodiks.

Ehitage täisnurkne kolmnurk ABC. Me peame seda tõestama BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Torni tõestamiseks kasutame taas juba katsetatud meetodit: leiame saadud kujundi pindala kahel viisil ja võrdsustame avaldised üksteisega.

Paar sõna Pythagorase kolmikute kohta

Mis on Pythagorase kolmikud? Nn naturaalarvud, mis on kogutud kolmeks, mille kahe ruutude summa on võrdne kolmanda arvu ruudus.

Pythagorase kolmikud võivad olla:

primitiivne (kõik kolm arvu on suhteliselt algarvud);
mitteprimitiivne (kui iga kolmiku arv korrutada sama arvuga, saad uue kolmiku, mis pole primitiivne).

Teoreemi praktiline rakendamine

Pythagorase teoreem leiab rakendust mitte ainult matemaatikas, vaid ka arhitektuuris ja ehituses, astronoomias ja isegi kirjanduses.

Esiteks ehitusest: Pythagorase teoreem on selles laialdaselt kasutusel erineva keerukusega ülesannetes. Näiteks vaadake romaani akent:

Tõe valgus ei haju niipea,
Kuid pärast säramist ei haju see tõenäoliselt
Ja nagu tuhandeid aastaid tagasi,
Ei tekita kahtlusi ja vaidlusi.

Kõige targem, kui see silma puudutab
Tõe valgus, tänan jumalaid;
Ja sada pulli, pussitatud, valetavad -
Õnneliku Pythagorase tagasikingitus.

Sellest ajast peale on härjad meeleheitlikult möirganud:
Igavesti äratas härjahõimu
siin mainitud sündmus.

Nad arvavad, et on aeg
Ja jälle nad ohverdatakse
Mõni suurepärane teoreem.

(tõlkinud Viktor Toporov)

Järeldus

Esiteks võimaldab see teave matemaatikatundides saada kõrgemaid hindeid – lisaallikatest saadav teave selle teema kohta on alati kõrgelt hinnatud.

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Pythagorase teoreem- üks eukleidilise geomeetria põhiteoreeme, mis loob seose

täisnurkse kolmnurga külgede vahele.

Arvatakse, et selle tõestas Kreeka matemaatik Pythagoras, kelle järgi see ka oma nime sai.

Pythagorase teoreemi geomeetriline sõnastus.

Teoreem oli algselt sõnastatud järgmiselt:

Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala võrdne ruutude pindalade summaga,

ehitatud kateetritele.

Pythagorase teoreemi algebraline sõnastus.

Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi pikkuse ruut võrdne jalgade pikkuste ruutude summaga.

See tähendab, et tähistab läbiva kolmnurga hüpotenuusi pikkust c, ja jalgade pikkused läbi a ja b:

Mõlemad koostised Pythagorase teoreemid on samaväärsed, kuid teine sõnastus on elementaarsem, aga mitte

nõuab pindala mõistet. See tähendab, et teist väidet saab kontrollida ilma piirkonnast midagi teadmata ja

mõõtes ainult täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi.

Pythagorase pöördteoreem.

Kui kolmnurga ühe külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, siis

kolmnurk on ristkülikukujuline.

Või teisisõnu:

Mis tahes positiivsete arvude kolmiku korral a, b ja c, selline, et

on täisnurkne kolmnurk jalgadega a ja b ja hüpotenuus c.

Pythagorase teoreem võrdhaarse kolmnurga kohta.

Pythagorase teoreem võrdkülgse kolmnurga jaoks.

Pythagorase teoreemi tõestused.

Hetkel on teaduskirjanduses kirja pandud 367 selle teoreemi tõestust. Ilmselt teoreem

Pythagoras on ainus teoreem, millel on nii muljetavaldav hulk tõestusi. Selline mitmekesisus

saab seletada ainult teoreemi fundamentaalse tähtsusega geomeetria jaoks.

Mõistagi võib neid kõiki jagada väheseks arvuks klassideks. Neist kuulsaimad:

tõestus pindala meetod, aksiomaatiline ja eksootilised tõendid(näiteks,

kasutades diferentsiaalvõrrandid).

1. Pythagorase teoreemi tõestus sarnaste kolmnurkade järgi.

Järgmine algebralise formuleeringu tõestus on konstrueeritud tõestustest kõige lihtsam

otse aksioomidest. Eelkõige ei kasuta see figuuri pindala mõistet.

Lase ABC on täisnurkne kolmnurk C. Joonistame kõrguse C ja tähistada

selle vundament läbi H.

Kolmnurk ACH sarnane kolmnurgaga AB C kahes nurgas. Samamoodi kolmnurk CBH sarnased ABC.

Märkuse sisseviimisega:

saame:

mis sobib -

Olles voltinud a 2 ja b 2, saame:

või , mida tuli tõestada.

2. Pythagorase teoreemi tõestamine pindalameetodil.

Vaatamata näilisele lihtsusele ei ole järgmised tõestused sugugi nii lihtsad. Kõik nemad

kasutada ala omadusi, mille tõestamine on keerulisem kui Pythagorase teoreemi enda tõestamine.

Tõestus võrdustäiendamise kaudu.

Korraldage neli võrdset ristkülikukujulist

kolmnurk, nagu pildil näidatud

paremal.

Nelinurk külgedega c- ruut,

kuna kahe teravnurga summa on 90° ja

arendatud nurk on 180°.

Kogu figuuri pindala on ühelt poolt

küljega ruudu pindala ( a+b) ja teisest küljest nelja kolmnurga pindalade summa ja

Q.E.D.

3. Pythagorase teoreemi tõestamine lõpmatuarvu meetodil.

Arvestades joonisel näidatud joonist ja

jälgides, kuidas pool muutuba, me saame

kirjuta lõpmatu jaoks järgmine seos

väike külgmised juurdekasvudKoos ja a(kasutades sarnasust

kolmnurgad):

Kasutades muutujate eraldamise meetodit, leiame:

Üldisem väljend hüpotenuusi muutmiseks mõlema jala juurdekasvu korral:

Integreerides selle võrrandi ja kasutades algtingimusi, saame:

Seega jõuame soovitud vastuseni:

Nagu on lihtne näha, ilmneb lõplikus valemis ruutsõltuvus lineaarsuse tõttu

proportsionaalsus kolmnurga külgede ja juurdekasvu vahel, samas kui summa on seotud sõltumatuga

panused erinevate jalgade juurdekasvust.

Lihtsama tõestuse saab, kui eeldame, et üks jalg ei koge juurdekasvu

(antud juhul jalg b). Seejärel saame integratsioonikonstandi jaoks: