Lihtsustatud diskriminant. Ruutvõrrandid – näited lahenduste, tunnuste ja valemitega

Diskriminant on mitmetähenduslik mõiste. See artikkel keskendub polünoomi diskriminandile, mis võimaldab teil määrata, kas antud polünoomil on reaalsed lahendused. Ruutpolünoomi valemi leiab kooli algebra ja analüüsi kursusest. Kuidas leida diskrimineerija? Mida on võrrandi lahendamiseks vaja?

Nimetatakse ruutpolünoomi või teise astme võrrandit i * w ^ 2 + j * w + k võrdub 0, kus "i" ja "j" on vastavalt esimene ja teine koefitsient, "k" on konstant, mida mõnikord nimetatakse "lõikamiseks" ja "w" on muutuja. Selle juurteks on kõik muutuja väärtused, mille juures see muutub identiteediks. Sellise võrdsuse saab ümber kirjutada i, (w - w1) ja (w - w2) korrutisena, mis võrdub 0-ga. Sel juhul on ilmne, et kui koefitsient "i" ei kao, siis funktsioon vasak pool muutub nulliks ainult siis, kui x võtab väärtuse w1 või w2. Need väärtused on polünoomi nulli seadmise tulemus.

Muutuja väärtuse leidmiseks, mille juures ruutpolünoom kaob, kasutatakse abikonstruktsiooni, mis on üles ehitatud selle koefitsientidele ja mida nimetatakse diskriminandiks. See konstruktsioon arvutatakse valemiga D võrdub j * j - 4 * i * k. Miks seda kasutatakse?

Ta ütleb, kas on kehtivaid tulemusi.
Ta aitab neid arvutada.

Kuidas see väärtus näitab tõeliste juurte olemasolu:

Kui see on positiivne, siis leiad reaalarvude piirkonnast kaks juurt.
Kui diskriminant on null, siis on mõlemad lahendused samad. Võime öelda, et on ainult üks lahendus ja see pärineb reaalarvude valdkonnast.
Kui diskriminant on nullist väiksem, pole polünoomil tegelikke juuri.

Materjali fikseerimise arvutusvõimalused

Kui summa (7 * w^2; 3 * w; 1) võrdub 0-ga arvutame D valemiga 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 saame -19. Diskrimineeriv väärtus alla nulli näitab, et tegelikul real pole tulemusi.

Kui arvestada, et 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 on võrdne 0-ga, siis D arvutatakse (-3) ruudus miinus arvude (4; 2; 1) korrutis ja võrdub 9–8, see tähendab 1. Positiivne väärtus näitab kahte tulemust reaaljoonel.

Kui võtame summa (w^2; 2 * w; 1) ja võrdume 0-ga, D arvutatakse kahe ruudu miinus arvude (4; 1; 1) korrutis. See avaldis lihtsustub 4–4-ni ja muutub nulliks. Selgub, et tulemused on samad. Kui vaatate seda valemit tähelepanelikult, saab selgeks, et tegemist on "täisruuduga". See tähendab, et võrdsuse saab ümber kirjutada kujul (w + 1) ^ 2 = 0. Selgus, et selle ülesande tulemus on “-1”. Olukorras, kus D võrdub 0-ga, saab võrdsuse vasaku külje alati ahendada vastavalt valemile “summa ruut”.

Diskriminandi kasutamine juurte arvutamiseks

See abikonstruktsioon mitte ainult ei näita reaalsete lahenduste hulka, vaid aitab ka neid leida. Teise astme võrrandi arvutamise üldvalem on järgmine:

w = (-j +/- d) / (2 * i), kus d on astme 1/2 diskriminant.

Oletame, et diskriminant on alla nulli, siis d on imaginaarne ja tulemused on imaginaarsed.

D on null, siis d, mis on võrdne D-ga 1/2 astmega, on samuti null. Lahendus: -j / (2 * i). Arvestades uuesti 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, leiame tulemused, mis on võrdväärsed -2 / (2 * 1) = -1.

Oletame, et D > 0, nii et d on reaalarv ja siinne vastus jaguneb kaheks osaks: w1 = (-j + d) / (2 * i) ja w2 = (-j - d) / (2 * i) . Mõlemad tulemused kehtivad. Vaatame 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Siin on diskriminant ja d ühikud. Nii et w1 on (3 + 1) jagatud (2 * 2) või 1-ga ja w2 on (3 - 1) jagatud 2 * 2 või 1/2-ga.

Ruutavaldise nulliga võrdsustamise tulemus arvutatakse järgmise algoritmi järgi:

Kehtivate lahenduste arvu määramine.
Arvutamine d = D^(1/2).
Tulemuse leidmine valemi (-j +/- d) / (2 * i) järgi.
Saadud tulemuse algvõrdsuses asendamine kontrolliga.

Mõned erijuhtumid

Olenevalt koefitsientidest saab lahendust mõnevõrra lihtsustada. Ilmselgelt, kui teise astme muutuja ees olev koefitsient on null, siis saadakse lineaarne võrdus. Kui muutuja ees olev koefitsient on null kuni esimese astmeni, on võimalikud kaks võimalust:

polünoom laieneb negatiivse vabaliikmega ruutude vaheks;
positiivse konstandi jaoks ei ole võimalik leida reaalseid lahendusi.

Kui vaba liige on null, on juured (0; -j)

Kuid on ka teisi erijuhtumeid, mis lihtsustavad lahenduse leidmist.

Vähendatud teise astme võrrand

Antud nimetatakse selline ruuttrinoom, kus koefitsient kõrgeima liikme ees on üks. Selle olukorra jaoks on rakendatav Vieta teoreem, mis ütleb, et juurte summa võrdub muutuja esimese astme koefitsiendiga, korrutatuna -1-ga ja korrutis vastab konstandile "k".

Seetõttu on w1 + w2 võrdne -j-ga ja w1 * w2 on võrdne k-ga, kui esimene koefitsient on üks. Sellise esituse õigsuse kontrollimiseks saame väljendada w2 = -j - w1 esimesest valemist ja asendada selle teise võrrandiga w1 * (-j - w1) = k. Tulemuseks on algne võrdsus w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Oluline on märkida et i * w ^ 2 + j * w + k = 0 saab taandada "i-ga" jagades. Tulemuseks on: w^2 + j1 * w + k1 = 0 kus j1 on võrdne j/i-ga ja k1 on võrdne k/i-ga.

Vaatame juba lahendatud 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 tulemustega w1 = 1 ja w2 = 1/2. See tuleb jagada pooleks, mille tulemusena w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Kontrollime, kas leitud tulemuste puhul on teoreemi tingimused tõesed: 1 + 1/2 = 3/2 ja 1 * 1/2 = 1/2.

Isegi teine tegur

Kui muutuja esimese astme (j) tegur jagub 2-ga, siis on võimalik valemit lihtsustada ja otsida lahendust neljandiku kaudu diskriminandist D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. selgub w = (-j +/- d/2) / i, kus d/2 = D/4 astmeni 1/2.

Kui i = 1 ja koefitsient j on paaris, siis on lahendus -1 ja muutuja w koefitsiendi poole korrutis pluss/miinus selle poole ruudu juur, millest on lahutatud konstant "k". Valem: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Kõrgemat järku diskrimineerija

Eespool käsitletud teise astme diskriminant on kõige sagedamini kasutatav erijuhtum. Üldjuhul on polünoomi diskriminant selle polünoomi juurte erinevuste korrutatud ruudud. Seetõttu näitab nulliga võrdne diskriminant vähemalt kahe mitmekordse lahenduse olemasolu.

Arvestage i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Oletame, et diskriminant on suurem kui null. See tähendab, et reaalarvude piirkonnas on kolm juurt. Nullil on mitu lahendust. Kui D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Meie video räägib teile üksikasjalikult diskriminandi arvutamise kohta.

Kas te ei saanud oma küsimusele vastust? Soovitage autoritele teemat.

Lihtsamal viisil. Selleks võtke z sulgudest välja. Saad: z(az + b) = 0. Tegurid saab kirjutada: z=0 ja az + b = 0, kuna mõlema tulemuseks võib olla null. Tähistuses az + b = 0 nihutame teise teise märgiga paremale. Siit saame z1 = 0 ja z2 = -b/а. Need on originaali juured.

Kui on mittetäielik võrrand kujul az² + c \u003d 0, siis sel juhul leitakse need lihtsalt vaba termini ülekandmisega võrrandi paremale küljele. Muutke ka selle märki. Saate kirje az² \u003d -s. Väljendage z² = -c/a. Võtke juur ja kirjutage üles kaks lahendit – ruutjuure positiivne ja negatiivne väärtus.

Märge

Kui võrrandis on murdosakoefitsiendid, korrutage kogu võrrand vastava teguriga, et murdudest vabaneda.

Ruutvõrrandi lahendamise oskus on vajalik nii koolilastele kui ka õpilastele, mõnikord võib see aidata täiskasvanut igapäevaelus. On mitmeid konkreetseid otsustusmeetodeid.

Ruutvõrrandite lahendamine

Ruutvõrrand kujul a*x^2+b*x+c=0. Koefitsient x on soovitud muutuja, a, b, c - arvulised koefitsiendid. Pidage meeles, et "+" märk võib muutuda märgiks "-".

Selle võrrandi lahendamiseks peate kasutama Vieta teoreemi või leidma diskrimineerija. Kõige tavalisem viis on diskrimineerija leidmine, kuna mõne a, b, c väärtuse puhul ei ole võimalik Vieta teoreemi kasutada.

Diskriminandi (D) leidmiseks tuleb kirjutada valem D=b^2 - 4*a*c. D väärtus võib olla suurem, väiksem või võrdne nulliga. Kui D on suurem või väiksem kui null, siis on kaks juurt, kui D = 0, siis jääb ainult üks juur, täpsemalt võib öelda, et D-l on sel juhul kaks ekvivalentset juurt. Asendage valemis teadaolevad koefitsiendid a, b, c ja arvutage väärtus.

Kui olete diskriminandi leidnud, kasutage x leidmiseks valemeid: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a kus sqrt on funktsioon antud arvu ruutjuure võtmiseks. Pärast nende avaldiste arvutamist leiate oma võrrandi kaks juurt, mille järel võrrand loetakse lahendatuks.

Kui D on nullist väiksem, on sellel ikkagi juured. Koolis seda osa praktiliselt ei õpita. Üliõpilased peaksid teadma, et juure all on negatiivne arv. Sellest vabaneme, eraldades mõttelise osa, see tähendab, et -1 juure all on alati võrdne imaginaarse elemendiga "i", mis korrutatakse sama positiivse arvuga juurega. Näiteks kui D=sqrt(-20), saadakse pärast teisendust D=sqrt(20)*i. Pärast seda teisendust taandatakse võrrandi lahendus samale juurte leiule, nagu ülalpool kirjeldatud.

Vieta teoreem seisneb x(1) ja x(2) väärtuste valimises. Kasutatakse kahte identset võrrandit: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Veelgi enam, väga oluline punkt on märk koefitsiendi b ees, pidage meeles, et see märk on võrrandis olevale vastupidine. Esmapilgul tundub, et x(1) ja x(2) arvutamine on väga lihtne, kuid lahendamisel puutud kokku tõsiasjaga, et numbrid tuleb täpselt valida.

Ruutvõrrandite lahendamise elemendid

Matemaatika reeglite kohaselt saab mõnda faktoreerida: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, kui teil õnnestus see ruutvõrrand matemaatiliste valemite abil sel viisil teisendada, siis võite vabalt kirjuta vastus üles. x(1) ja x(2) on võrdsed külgnevate koefitsientidega sulgudes, kuid vastupidise märgiga.

Ärge unustage ka mittetäielikke ruutvõrrandeid. Teil võib mõni termin puudu olla, kui jah, siis kõik selle koefitsiendid on lihtsalt võrdsed nulliga. Kui x^2 või x-i ees ei ole midagi, siis on koefitsiendid a ja b võrdsed 1-ga.

Kaasaegses ühiskonnas võib ruudukujulist muutujat sisaldavate võrranditega opereerimise võimalus olla kasulik paljudes tegevusvaldkondades ning seda kasutatakse praktikas laialdaselt teaduse ja tehnika arengus. Seda võib tõestada mere- ja jõelaevade, lennukite ja rakettide konstruktsioon. Selliste arvutuste abil määratakse erinevate kehade, sealhulgas kosmoseobjektide liikumise trajektoorid. Ruutvõrrandi lahendusega näiteid kasutatakse mitte ainult majandusprognoosides, hoonete projekteerimisel ja ehitamisel, vaid ka kõige tavalisemates igapäevastes oludes. Neid võib vaja minna telkimisreisidel, spordiüritustel, kauplustes ostlemisel ja muudes väga levinud olukordades.

Jagame avaldise komponentteguriteks

Võrrandi astme määrab antud avaldises sisalduva muutuja astme maksimaalne väärtus. Kui see on võrdne 2-ga, nimetatakse sellist võrrandit ruutvõrrandiks.

Kui rääkida valemikeeles, siis saab need avaldised, vaatamata sellele, kuidas nad välja näevad, alati viia vormile, kui avaldise vasak pool koosneb kolmest liikmest. Nende hulgas: ax 2 (see tähendab muutuja ruudus oma koefitsiendiga), bx (tundmatu ilma ruuduta koos koefitsiendiga) ja c (vaba komponent, see tähendab tavaline arv). See kõik võrdub paremal pool 0. Juhul, kui sellisel polünoomil pole ühtki selle koostisosa, välja arvatud ax 2, nimetatakse seda mittetäielikuks ruutvõrrandiks. Esmalt tuleks vaadelda näiteid selliste ülesannete lahendamisega, mille puhul pole muutujate väärtust raske leida.

Kui avaldis näeb välja nii, et avaldise paremal küljel on kaks liiget, täpsemalt ax 2 ja bx, on x-i kõige lihtsam leida muutuja sulgudes. Nüüd näeb meie võrrand välja selline: x(ax+b). Edasi saab selgeks, et kas x=0 või taandub probleem muutuja leidmisele järgmisest avaldisest: ax+b=0. Selle määrab üks korrutamise omadusi. Reegel ütleb, et kahe teguri korrutis on 0 ainult siis, kui üks neist on null.

Näide

x = 0 või 8x - 3 = 0

Selle tulemusena saame võrrandi kaks juurt: 0 ja 0,375.

Seda tüüpi võrrandid võivad kirjeldada kehade liikumist gravitatsiooni mõjul, mis hakkasid liikuma teatud lähtepunktiks võetud punktist. Siin on matemaatiline tähistus järgmine: y = v 0 t + gt 2 /2. Asendades vajalikud väärtused, võrdsustades parema poole 0-ga ja leides võimalikud tundmatud, saate teada nii aja, mis kulus keha tõusust kuni langemiseni, kui ka palju muid suurusi. Aga sellest räägime hiljem.

Avaldise faktoriseerimine

Ülalkirjeldatud reegel võimaldab neid probleeme lahendada ka keerulisematel juhtudel. Vaatleme näiteid seda tüüpi ruutvõrrandite lahendamise kohta.

X2 – 33x + 200 = 0

See ruudukujuline kolmik on valmis. Esiteks teisendame avaldise ja jagame selle teguriteks. Neid on kaks: (x-8) ja (x-25) = 0. Selle tulemusena on meil kaks juurt 8 ja 25.

Näited ruutvõrrandite lahendamisega 9. klassis võimaldavad sellel meetodil leida muutuja mitte ainult teist, vaid isegi kolmandat ja neljandat järku avaldistes.

Näiteks: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Parema poole faktoristamisel muutujaga teguriteks on neid kolm, st (x + 1), (x-3) ja (x + 3).

Selle tulemusena saab selgeks, et sellel võrrandil on kolm juurt: -3; -üks; 3.

Ruutjuure ekstraheerimine

Teine mittetäieliku teist järku võrrandi juhtum on avaldis, mis on kirjutatud tähtede keeles nii, et parem pool on üles ehitatud komponentidest ax 2 ja c. Siin kantakse muutuja väärtuse saamiseks vaba liige paremale poole ja pärast seda eraldatakse ruutjuur mõlemalt võrdsuse poolelt. Tuleb märkida, et sel juhul on võrrandil tavaliselt kaks juurt. Ainsad erandid on võrdsused, mis ei sisalda üldse terminit c, kus muutuja on võrdne nulliga, samuti avaldiste variandid, kui parem pool osutub negatiivseks. Viimasel juhul pole lahendusi üldse, kuna ülaltoodud toiminguid ei saa juurtega teha. Kaaluda tuleks seda tüüpi ruutvõrrandite lahenduste näiteid.

Sel juhul on võrrandi juurteks numbrid -4 ja 4.

Maa pindala arvutamine

Vajadus sedalaadi arvutuste järele tekkis iidsetel aegadel, sest matemaatika areng neil kaugetel aegadel oli suuresti tingitud vajadusest määrata suurima täpsusega maatükkide pindalad ja perimeetrid.

Kaaluda tuleks ka näiteid seda laadi ülesannete põhjal koostatud ruutvõrrandite lahendamisega.

Oletame, et on ristkülikukujuline maatükk, mille pikkus on 16 meetrit suurem kui laius. Peaksite leidma platsi pikkuse, laiuse ja ümbermõõdu, kui on teada, et selle pindala on 612 m 2.

Asja juurde asudes koostame kõigepealt vajaliku võrrandi. Tähistame lõigu laiust kui x, siis on selle pikkus (x + 16). Kirjutatust järeldub, et pindala määrab avaldis x (x + 16), mis vastavalt meie ülesande tingimusele on 612. See tähendab, et x (x + 16) \u003d 612.

Täielike ruutvõrrandite lahendamist ja see avaldis just nii ongi, ei saa samamoodi teha. Miks? Kuigi selle vasak pool sisaldab endiselt kahte tegurit, ei ole nende korrutis üldse 0, seega kasutatakse siin muid meetodeid.

Diskrimineeriv

Kõigepealt teeme vajalikud teisendused, seejärel näeb selle avaldise välimus välja selline: x 2 + 16x - 612 = 0. See tähendab, et oleme saanud avaldise eelnevalt määratud standardile vastaval kujul, kus a = 1, b = 16, c = -612.

See võib olla näide ruutvõrrandite lahendamisest diskriminandi kaudu. Siin tehakse vajalikud arvutused vastavalt skeemile: D = b 2 - 4ac. See abiväärtus mitte ainult ei võimalda leida teist järku võrrandis soovitud väärtusi, vaid määrab võimalike valikute arvu. Juhul D>0 on neid kaks; D=0 puhul on üks juur. Juhul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Juurtest ja nende valemist

Meie puhul on diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. See näitab, et meie probleemil on vastus. Kui teate, tuleb ruutvõrrandite lahendamist jätkata alloleva valemi abil. See võimaldab teil arvutada juured.

See tähendab, et antud juhul: x 1 =18, x 2 =-34. Teine variant selles dilemmas ei saa olla lahendus, sest maatüki suurust ei saa mõõta negatiivsetes väärtustes, mis tähendab, et x (ehk krundi laius) on 18 m. Siit arvutame pikkuse: 18+16=34 ja ümbermõõt 2(34+18) = 104 (m 2).

Näited ja ülesanded

Jätkame ruutvõrrandite uurimist. Allpool on toodud näited ja üksikasjalik lahendus mitmele neist.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Viime kõik võrdsuse vasakule poolele, teeme teisenduse ehk saame võrrandi kuju, mida tavaliselt nimetatakse standardseks, ja võrdsustame selle nulliga.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pärast sarnaste lisamist määrame diskriminandi: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Seega on meie võrrandil kaks juurt. Arvutame need ülaltoodud valemi järgi, mis tähendab, et esimene neist võrdub 4/3 ja teine 1.

2) Nüüd paljastame teistsuguseid mõistatusi.

Uurime, kas siin on üldse juured x 2 - 4x + 5 = 1? Ammendava vastuse saamiseks viime polünoomi vastavale tuttavale kujule ja arvutame diskriminandi. Selles näites pole ruutvõrrandit vaja lahendada, sest ülesande olemus ei seisne selles. Sel juhul D \u003d 16 - 20 \u003d -4, mis tähendab, et tegelikult pole juuri.

Vieta teoreem

Ruutvõrrandeid on mugav lahendada ülaltoodud valemite ja diskriminandi kaudu, kui viimase väärtusest eraldatakse ruutjuur. Kuid see ei juhtu alati. Siiski on sel juhul muutujate väärtuste saamiseks palju võimalusi. Näide: ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil. See on nime saanud mehe järgi, kes elas 16. sajandi Prantsusmaal ja tegi hiilgava karjääri tänu oma matemaatilisele andele ja sidemetele õukonnas. Tema portree on näha artiklis.

Muster, mida kuulus prantslane märkas, oli järgmine. Ta tõestas, et võrrandi juurte summa on võrdne -p=b/a ja nende korrutis vastab q=c/a.

Vaatame nüüd konkreetseid ülesandeid.

3x2 + 21x - 54 = 0

Lihtsuse huvides teisendame väljendit:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoreemi kasutades saame järgmise tulemuse: juurte summa on -7 ja nende korrutis on -18. Siit saame, et võrrandi juurteks on numbrid -9 ja 2. Pärast kontrollimist veendume, et need muutujate väärtused tõesti avaldisesse mahuvad.

Parabooli graafik ja võrrand

Ruutfunktsiooni ja ruutvõrrandi mõisted on omavahel tihedalt seotud. Näiteid selle kohta on juba varem toodud. Vaatame nüüd mõnda matemaatilist mõistatust veidi üksikasjalikumalt. Kõiki kirjeldatud tüüpi võrrandeid saab esitada visuaalselt. Sellist sõltuvust, mis on joonistatud graafiku kujul, nimetatakse parabooliks. Selle erinevad tüübid on näidatud alloleval joonisel.

Igal paraboolil on tipp, st punkt, kust selle harud väljuvad. Kui a>0, tõusevad nad kõrgelt lõpmatuseni ja kui a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funktsioonide visuaalne esitus aitab lahendada mis tahes võrrandeid, sealhulgas ruutvõrrandeid. Seda meetodit nimetatakse graafikaks. Ja muutuja x väärtus on abstsisskoordinaat punktides, kus graafiku joon lõikub 0x-ga. Tipu koordinaadid saab leida just antud valemiga x 0 = -b / 2a. Ja asendades saadud väärtuse funktsiooni algse võrrandiga, saate teada y 0, see tähendab y-teljele kuuluva parabooli tipu teise koordinaadi.

Parabooli harude ristumiskoht abstsissteljega

Ruutvõrrandite lahendamise kohta on palju näiteid, kuid on ka üldisi mustreid. Vaatleme neid. On selge, et graafiku lõikumine 0x teljega a>0 korral on võimalik ainult siis, kui y 0 võtab negatiivsed väärtused. Ja a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Muidu D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabooli graafikult saate määrata ka juured. Tõsi on ka vastupidine. See tähendab, et kui ruutfunktsiooni visuaalset esitust pole lihtne saada, saate avaldise parema poole võrdsustada 0-ga ja lahendada saadud võrrandi. Ja teades lõikepunkte 0x teljega, on lihtsam joonistada.

Ajaloost

Ruudukujulist muutujat sisaldavate võrrandite abil ei tehtud vanasti mitte ainult matemaatilisi arvutusi ja määrati geomeetriliste kujundite pindala. Muistsed vajasid selliseid arvutusi suurejoonelisteks avastusteks füüsika ja astronoomia vallas, aga ka astroloogiliste prognooside tegemiseks.

Nagu tänapäeva teadlased väidavad, olid Babüloni elanikud esimeste seas, kes ruutvõrrandid lahendasid. See juhtus neli sajandit enne meie ajastu tulekut. Loomulikult erinesid nende arvutused põhimõtteliselt praegu aktsepteeritutest ja osutusid palju primitiivsemaks. Näiteks Mesopotaamia matemaatikutel polnud negatiivsete arvude olemasolust aimugi. Nad ei tundnud ka muid nende peensusi, mida ükski meie aja õpilane teadis.

Võib-olla isegi varem kui Babüloni teadlased, asus Indiast pärit tark Baudhayama ruutvõrrandite lahendamisele. See juhtus umbes kaheksa sajandit enne Kristuse ajastu tulekut. Tõsi, teist järku võrrandid, mille lahendamise meetodid ta esitas, olid kõige lihtsamad. Lisaks temale tundsid vanasti samalaadsed küsimused huvi ka Hiina matemaatikud. Euroopas hakati ruutvõrrandeid lahendama alles 13. sajandi alguses, kuid hiljem kasutasid neid oma töös sellised suured teadlased nagu Newton, Descartes ja paljud teised.

Kogu algebra kooli õppekava kursuse hulgas on üheks mahukamaks teemaks ruutvõrrandite teema. Sel juhul mõistetakse ruutvõrrandit kui võrrandit kujul ax 2 + bx + c \u003d 0, kus a ≠ 0 (see on järgmine: a korrutada x-ga ruudus pluss be x pluss ce on võrdne nulliga, kus a ei ole võrdne nulliga). Sel juhul hõivavad põhikoha kindlaksmääratud tüüpi ruutvõrrandi diskriminandi leidmise valemid, mida mõistetakse avaldisena, mis võimaldab teil määrata juurte olemasolu või puudumist ruutvõrrandis, samuti nende number (kui see on olemas).

Ruutvõrrandi diskriminandi valem (võrrand).

Ruutvõrrandi diskriminandi üldtunnustatud valem on järgmine: D \u003d b 2 - 4ac. Diskriminandi arvutamisel näidatud valemi abil ei saa mitte ainult määrata ruutvõrrandi juurte olemasolu ja arvu, vaid ka valida meetodi nende juurte leidmiseks, mida on sõltuvalt ruutvõrrandi tüübist mitu.

Mida see tähendab kui diskriminant on null \ ruutvõrrandi juurte valem kui diskriminant on null

Valemist tulenevalt on diskriminant tähistatud ladina tähega D. Juhul kui diskriminant on null, tuleb järeldada, et ruutvõrrand kujul ax 2 + bx + c = 0, kus a ≠ 0 , on ainult üks juur, mis arvutatakse lihtsustatud valemi järgi. See valem kehtib ainult siis, kui diskriminant on null ja näeb välja selline: x = –b/2a, kus x on ruutvõrrandi juur, b ja a on ruutvõrrandi vastavad muutujad. Ruutvõrrandi juure leidmiseks on vaja jagada muutuja b negatiivne väärtus muutuja a kahekordse väärtusega. Saadud avaldis on ruutvõrrandi lahendus.

Ruutvõrrandi lahendamine diskriminandi kaudu

Kui diskriminandi arvutamisel ülaltoodud valemi abil saadakse positiivne väärtus (D on suurem kui null), siis on ruutvõrrandil kaks juurt, mis arvutatakse järgmiste valemite abil: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Enamasti ei arvutata diskriminanti eraldi, vaid diskriminandi valemi kujul olev juuravaldis asendatakse lihtsalt väärtusega D, millest eraldatakse juur. Kui muutuja b on paarisväärtusega, siis ruutvõrrandi kujul ax 2 + bx + c = 0 juurte arvutamiseks, kus a ≠ 0, saab kasutada ka järgmisi valemeid: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, kus k = b/2.

Mõnel juhul võite ruutvõrrandite praktiliseks lahendamiseks kasutada Vieta teoreemi, mis ütleb, et ruutvõrrandi juurte summa korral x 2 + px + q \u003d 0 on väärtus x 1 + x 2 \u003d -p on tõene ja määratud võrrandi juurte korrutis - avaldis x 1 x x 2 = q.

Kas diskriminant võib olla väiksem kui null?

Diskriminandi väärtuse arvutamisel võib tekkida olukord, mis ei kuulu ühegi kirjeldatud juhtumi alla – kui diskrimineerija on negatiivse väärtusega (st alla nulli). Sel juhul arvestatakse, et ruutvõrrandil kujul ax 2 + bx + c = 0, kus a ≠ 0, pole reaalseid juuri, seetõttu piirdub selle lahendus diskriminandi arvutamisega ja ülaltoodud valemid ruutvõrrandi juured sel juhul ei kehti. Samas on ruutvõrrandi vastuses kirjas, et "võrrandil pole reaalseid juuri".

Selgitav video:

Kopjevskaja maagümnaasium

10 võimalust ruutvõrrandite lahendamiseks

Juht: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

matemaatika õpetaja

s.Kopyevo, 2007

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas

1.3 Ruutvõrrandid Indias

1.4 Ruutvõrrandid al-Khwarizmis

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajand

1.6 Vieta teoreemi kohta

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Järeldus

Kirjandus

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

Vajaduse lahendada iidsetel aegadel mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis vajadus lahendada sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatöödega seotud ülesandeid, samuti astronoomia ja astronoomia arengut. matemaatika ise. Ruutvõrrandid suutsid lahendada umbes 2000 eKr. e. babüloonlased.

Kaasaegset algebralist tähistust rakendades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Babüloonia tekstides toodud nende võrrandite lahendamise reegel langeb sisuliselt kokku tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele.

Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas.

Diophantuse Aritmeetika ei sisalda algebra süstemaatilist kirjeldust, kuid see sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mis on lahendatud erineva astme võrrandite koostamisega.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne 11."Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96"

Diophantus väidab nii: ülesande tingimusest tuleneb, et soovitud arvud ei ole võrdsed, sest kui need oleksid võrdsed, siis poleks nende korrutis 96, vaid 100. Seega on üks neist rohkem kui pool nende arvust. summa, st. 10+x, teine on väiksem, st. 10-ndad. Erinevus nende vahel 2x .

Siit ka võrrand:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Siit x = 2. Üks soovitud numbritest on 12 , muu 8 . Lahendus x = -2 Diophantost ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande valides ühe soovitud numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20 a + 96 = 0. (2)

Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi (1) lahendamiseks.

1.3 Ruutvõrrandid Indias

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis "Aryabhattam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Võrrandis (1) on koefitsiendid, välja arvatud a, võib olla ka negatiivne. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

Vana-Indias olid avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel tavalised. Ühes vanas India raamatus öeldakse selliste võistluste kohta järgmist: "Nii nagu päike särab oma säraga tähti, ületab õpetatud inimene avalikel koosolekutel, pakkudes ja lahendades algebralisi ülesandeid." Ülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

Ülesanne 13.

"Kõrk ahvikari ja kaksteist viinapuudes ...

Jõudu söönud, oli lõbus. Nad hakkasid hüppama, rippuma ...

Kaheksas osa neist ruudus Kui palju ahve seal oli,

Heinamaal lõbutsemas. Ütle mulle, selles karjas?

Bhaskara lahendus näitab, et ta teadis ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest (joonis 3).

Ülesandele 13 vastav võrrand on järgmine:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjutab varjus:

x 2 - 64x = -768

ja et selle võrrandi vasak pool oleks ruuduks, lisab ta mõlemale poolele 32 2 , saan siis:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ruutvõrrandid al-Khorezmis

Al-Khorezmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) "Ruut võrdub juurtega", st. ax 2 + c = b X.

2) "Ruudmed on võrdsed arvuga", s.o. kirves 2 = s.

3) "Juured on võrdsed arvuga", st. ah = s.

4) "Ruut ja arvud on võrdsed juurtega", s.o. ax 2 + c = b X.

5) "Ruut ja juured on võrdsed arvuga", s.o. ah 2+ bx = s.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", s.o. bx + c \u003d kirves 2.

Al-Khwarizmi jaoks, kes vältis negatiivsete arvude kasutamist, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutamised. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor toob välja meetodid nende võrrandite lahendamiseks, kasutades al-jabri ja al-muqabala meetodeid. Tema otsused muidugi meie omadega täielikult kokku ei lähe. Rääkimata sellest, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel

al-Khorezmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, ei võta nulllahendust arvesse ilmselt seetõttu, et see ei oma konkreetsete praktiliste ülesannete puhul tähtsust. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel esitab al-Khorezmi konkreetsete numbriliste näidete abil lahendamise reeglid ja seejärel geomeetrilised tõestused.

14. ülesanne.“Ruut ja arv 21 on võrdne 10 juurega. Leia juur" (oletades, et võrrandi juur on x 2 + 21 = 10x).

Autori lahendus kõlab umbes nii: jaga juurte arv pooleks, saad 5, korruta 5 iseendaga, lahuta korrutisest 21, jääb 4. Võta juur 4, saad 2. Lahuta 5-st 2, sa saad saad 3, see on soovitud juur. Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Traktaat al - Khorezmi on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajandite jooksul

Valemid ruutvõrrandite lahendamiseks al - Khorezmi mudelil Euroopas esitati esmakordselt "Abakuse raamatus", mille kirjutas 1202. aastal Itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci. See mahukas teos, mis peegeldab matemaatika mõju nii islami kui ka Vana-Kreeka riikides, eristub nii esitusviisi terviklikkuse kui ka selguse poolest. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud "Abakuse raamatu" ülesanded jõudsid peaaegu kõigisse 16.-17. sajandi Euroopa õpikutesse. ja osaliselt XVIII.

Ruutvõrrandite lahendamise üldreegel, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

x 2+ bx = koos,

koefitsientide kõigi võimalike märkide kombinatsioonide jaoks b , Koos sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Arvestage lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles XVII sajandil. Tänu Girardi, Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste tööle saab ruutvõrrandite lahendamise viis kaasaegse ilme.

1.6 Vieta teoreemi kohta

Vieta nime kandva ruutvõrrandi kordajate ja selle juurte vahelist seost väljendava teoreemi sõnastas ta esimest korda 1591. aastal järgmiselt: „Kui B + D korrutatud A - A 2 , võrdub BD, siis A võrdub AT ja võrdne D ».

Vieta mõistmiseks tuleb seda meeles pidada AGA, nagu iga täishäälik, tähendas tema jaoks tundmatut (meie X), täishäälikud AT, D- tundmatu koefitsiendid. Tänapäeva algebra keeles tähendab Vieta ülaltoodud sõnastus: kui

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 – (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Väljendades võrrandite juurte ja kordajate vahelisi seoseid sümbolite abil kirjutatud üldvalemitega, kehtestas Viet võrrandite lahendamise meetodite ühtsuse. Samas on Vieta sümboolika tänapäevasest vormist veel kaugel. Ta ei tundnud ära negatiivseid arve ja seetõttu arvestas ta võrrandite lahendamisel ainult juhtumeid, kus kõik juured on positiivsed.

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Ruutvõrrandid on alus, millel toetub algebra majesteetlik ehitis. Ruutvõrrandeid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste, eksponentsiaalsete, logaritmiliste, irratsionaalsete ja transtsendentaalsete võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Me kõik teame, kuidas lahendada ruutvõrrandi koolist (8. klass) kuni kooli lõpetamiseni.