Näide 1 Antud funktsioon f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Kirjutame funktsiooni graafikule puutuja võrrandi f(x) graafiku punktis abstsissiga x 0 = 1.

Lahendus. Funktsiooni tuletis f(x) on iga x jaoks olemas R . Leiame selle üles:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Siis f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Puutuja võrrandi vorm on järgmine:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Vastus. y = 10x – 8.

Näide 2 Antud funktsioon f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Kirjutame funktsiooni graafikule puutuja võrrandi f(x), paralleelselt joonega y = 2x – 11.

Lahendus. Funktsiooni tuletis f(x) on iga x jaoks olemas R . Leiame selle üles:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Kuna funktsiooni graafiku puutuja f(x) abstsissiga punktis x 0 on paralleelne sirgega y = 2x– 11, siis selle kalle on 2, st ( x 0) = 2. Leidke see abstsiss tingimusest, et 3 x– 6x 0 + 2 = 2. See võrdsus kehtib ainult x 0 = 0 ja x 0 = 2. Kuna mõlemal juhul f(x 0) = 5, siis sirgjoon y = 2x + b puudutab funktsiooni graafikut kas punktis (0; 5) või punktis (2; 5).

Esimesel juhul on arvuline võrdsus tõene 5 = 2×0 + b, kus b= 5 ja teisel juhul on arvuline võrdsus tõene 5 = 2 × 2 + b, kus b = 1.

Seega on kaks puutujat y = 2x+ 5 ja y = 2x+ 1 funktsiooni graafikule f(x) paralleelselt joonega y = 2x – 11.

Vastus. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Näide 3 Antud funktsioon f(x) = x 2 – 6x+ 7. Kirjutame funktsiooni graafikule puutuja võrrandi f(x) läbides punkti A (2; –5).

Lahendus. Sest f(2) –5, siis punkt A ei kuulu funktsiooni graafikusse f(x). Lase x 0 - puutepunkti abstsiss.

Funktsiooni tuletis f(x) on iga x jaoks olemas R . Leiame selle üles:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

Siis f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Puutuja võrrandi vorm on järgmine:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Alates punktist A kuulub puutuja hulka, siis on arvuline võrdus tõene

–5 = (2x 0–6) × 2– x+ 7,

kus x 0 = 0 või x 0 = 4. See tähendab, et punkti kaudu A funktsiooni graafikule on võimalik tõmmata kaks puutujat f(x).

Kui a x 0 = 0, siis on puutujavõrrandil kuju y = –6x+ 7. Kui x 0 = 4, siis on puutujavõrrandil kuju y = 2x – 9.

Vastus. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Näide 4 Antud funktsioonid f(x) = x 2 – 2x+ 2 ja g(x) = –x 2 - 3. Kirjutame nende funktsioonide graafikutele ühise puutuja võrrandi.

Lahendus. Lase x 1 - soovitud joone ja funktsiooni graafiku kokkupuutepunkti abstsiss f(x), a x 2 - funktsiooni graafikuga sama joone puutepunkti abstsiss g(x).

Funktsiooni tuletis f(x) on iga x jaoks olemas R . Leiame selle üles:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

Siis f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Puutuja võrrandi vorm on järgmine:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Leiame funktsiooni tuletise g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Selles artiklis analüüsime leidmiseks igat tüüpi probleeme

Jätame meelde tuletise geomeetriline tähendus: kui funktsiooni graafikule tõmmatakse punktis puutuja, siis puutuja kalle (võrdne puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga puutujaga) on võrdne funktsiooni tuletisega punktis. punkt.

Võtke puutujal suvaline punkt koordinaatidega:

Ja kaaluge täisnurkset kolmnurka:

Selles kolmnurgas

Siit

See on punktis funktsiooni graafikule joonistatud puutuja võrrand.

Puutuja võrrandi kirjutamiseks peame teadma ainult funktsiooni võrrandit ja puutuja joonestamise punkti. Siis leiame ja .

Tangensvõrrandi probleeme on kolme peamist tüüpi.

1. Antud kontaktpunkt

2. Antud puutuja kalde koefitsient ehk funktsiooni tuletise väärtus punktis.

3. Antud punkti koordinaadid, mille kaudu puutuja tõmmatakse, kuid mis ei ole puutujapunkt.

Vaatame igat tüüpi probleeme.

üks . Kirjutage funktsiooni graafikule puutuja võrrand punktis .

.

b) Leia tuletise väärtus punktis . Kõigepealt leiame funktsiooni tuletise

Asendage leitud väärtused puutuja võrrandisse:

Avame võrrandi paremal küljel olevad sulud. Saame:

Vastus: .

2. Leidke nende punktide abstsissid, kus funktsioonid puutuvad graafikuga paralleelselt x-teljega.

Kui puutuja on paralleelne x-teljega, siis puutuja ja telje positiivse suuna vaheline nurk on null, seega puutuja kalde puutuja on null. Seega funktsiooni tuletise väärtus kokkupuutepunktides on null.

a) Leia funktsiooni tuletis .

b) Võrdsusta tuletis nulliga ja leia väärtused, mille puutuja on paralleelne teljega:

Võrdsustame iga teguri nulliga, saame:

Vastus: 0;3;5

3 . Kirjutage funktsiooni graafikule puutujate võrrandid , paralleelselt sirge .

Puutuja on joonega paralleelne. Selle sirge kalle on -1. Kuna puutuja on selle sirgega paralleelne, on ka puutuja kalle -1. See on me teame puutuja kalle, ja seega tuletise väärtus kokkupuutepunktis.

See on teist tüüpi probleem puutuja võrrandi leidmiseks.

Niisiis, meile antakse funktsioon ja tuletise väärtus kokkupuutepunktis.

a) Leia punktid, kus funktsiooni tuletis võrdub -1-ga.

Esiteks leiame tuletisvõrrandi.

Võrdlustame tuletise arvuga -1.

Leia funktsiooni väärtus punktis .

(tingimuse järgi)

.

b) Leidke funktsiooni graafiku puutuja võrrand punktis .

Leia funktsiooni väärtus punktis .

(tingimuse järgi).

Asendage need väärtused puutuja võrrandisse:

.

Vastus:

neli . Kirjutage kõvera puutuja võrrand , punkti läbimine

Esiteks kontrollige, kas punkt pole puutepunkt. Kui punkt on puutujapunkt, siis kuulub see funktsiooni graafikusse ja selle koordinaadid peavad vastama funktsiooni võrrandile. Asendage funktsiooni võrrandis oleva punkti koordinaadid.

Title="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} ei ole kokkupuutepunkt.

See on viimast tüüpi probleem puutuja võrrandi leidmiseks. Esimene asi peame leidma kokkupuutepunkti abstsissi.

Leiame väärtuse.

Olgu see kokkupuutepunkt. Punkt kuulub funktsiooni graafiku puutuja juurde. Kui asendame puutuja võrrandiga selle punkti koordinaadid, saame õige võrrandi:

.

Funktsiooni väärtus punktis on .

Leia funktsiooni tuletise väärtus punktis .

Leiame esmalt funktsiooni tuletise. See .

Punkti tuletis on .

Asendame avaldised puutuja võrrandiga ja võrrandisse. Saame võrrandi:

Lahendame selle võrrandi.

Vähendage murdosa lugejat ja nimetajat 2 võrra:

Toome võrrandi parema poole ühise nimetaja juurde. Saame:

Lihtsustage murdosa lugejat ja korrutage mõlemad osad - see avaldis on rangelt suurem kui null.

Saame võrrandi

Lahendame selle ära. Selleks paneme mõlemad osad ruudukujuliseks ja läheme süsteemi.

Title="(!LANG:delim(lbrace)(maatriks(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Lahendame esimese võrrandi.

Lahendame ruutvõrrandi, saame

Teine juur ei vasta tingimusele title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Kirjutame kõvera puutuja võrrandi punktis . Selleks asendame võrrandis oleva väärtuse Oleme selle juba salvestanud.

Vastus:
.

Hariduse praeguses arengujärgus on selle üheks peamiseks ülesandeks loovalt mõtleva isiksuse kujundamine. Õpilaste loovusvõimet saab arendada ainult siis, kui nad on süstemaatiliselt kaasatud uurimistegevuse põhitõdedesse. Õpilaste loomejõudude, võimete ja annete rakendamise aluseks on täieõiguslikud teadmised ja oskused. Sellega seoses ei oma tähtsust põhiteadmiste ja -oskuste süsteemi moodustamise probleem koolimatemaatika kursuse iga teema jaoks. Samal ajal peaksid täieõiguslikud oskused olema mitte üksikute ülesannete, vaid nende hoolikalt läbimõeldud süsteemi didaktiline eesmärk. Kõige laiemas mõttes mõistetakse süsteemi kui omavahel seotud interakteeruvate elementide kogumit, millel on terviklikkus ja stabiilne struktuur.

Mõelge metoodikale, kuidas õpetada õpilastele funktsioonigraafiku puutuja võrrandit koostama. Sisuliselt taandatakse kõik puutujavõrrandi leidmise ülesanded vajadusele valida sirgete hulgast (vihm, perekond) need, mis vastavad teatud nõudele - need puutuvad teatud funktsiooni graafikuga. Sel juhul saab ridade komplekti, millest valik tehakse, määrata kahel viisil:

a) punkt, mis asub xOy tasapinnal (joonte keskpliiats);
b) nurgakoefitsient (paralleelsete joonte kimp).

Sellega seoses tuvastasime süsteemi elementide eraldamiseks teemat "Funktsiooni graafiku puutuja" uurides kahte tüüpi ülesandeid:

1) ülesanded puutujal, mille annab punkt, mida see läbib;
2) ülesanded selle kaldega antud puutujal.

Tangensil probleemide lahendamise õppimine viidi läbi A.G. pakutud algoritmi abil. Mordkovitš. Selle põhimõtteline erinevus juba teadaolevatest seisneb selles, et puutujapunkti abstsiss on tähistatud tähega a (x0 asemel), millega seoses saab puutujavõrrand kuju

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(võrdle y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). See metoodiline tehnika võimaldab meie arvates õpilastel kiiresti ja hõlpsalt aru saada, kus praeguse punkti koordinaadid on kirjutatud üldises puutuja võrrandis ja kus on kokkupuutepunktid.

Funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja võrrandi koostamise algoritm

1. Tähistage a-tähega kokkupuutepunkti abstsiss.
2. Leidke f(a).
3. Leidke f "(x) ja f "(a).
4. Asendage leitud arvud a, f (a), f "(a) puutuja y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a) üldvõrrandisse.

Selle algoritmi saab koostada õpilaste iseseisva tehtevaliku ja nende täitmise järjekorra alusel.

Praktika on näidanud, et iga võtmeülesande järjekindel lahendamine algoritmi abil võimaldab teil moodustada võimaluse kirjutada funktsiooni graafikule puutuja võrrand etappide kaupa ja algoritmi sammud on toimingute tugevad küljed. . See lähenemine vastab P.Ya välja töötatud vaimsete tegevuste järkjärgulise kujunemise teooriale. Galperin ja N.F. Talyzina.

Esimest tüüpi ülesannete puhul määrati kindlaks kaks peamist ülesannet:

• puutuja läbib kõveral asuvat punkti (ülesanne 1);
• puutuja läbib punkti, mis ei asu kõveral (ülesanne 2).

Ülesanne 1. Võrdsusta funktsiooni graafiku puutuja punktis M(3; – 2).

Lahendus. Punkt M(3; – 2) on kokkupuutepunkt, kuna

1. a = 3 - puutepunkti abstsiss.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 on puutuja võrrand.

Ülesanne 2. Kirjutage punkti M(- 3; 6) läbiva funktsiooni y = - x 2 - 4x + 2 graafikule kõigi puutujate võrrandid.

Lahendus. Punkt M(– 3; 6) ei ole puutujapunkt, kuna f(– 3) 6 (joonis 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - puutuja võrrand.

Puutuja läbib punkti M(– 3; 6), mistõttu tema koordinaadid vastavad puutuja võrrandile.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Kui a = – 4, siis puutuja võrrand on y = 4x + 18.

Kui a \u003d - 2, on puutuja võrrand kujul y \u003d 6.

Teise tüübi puhul on põhiülesanded järgmised:

• puutuja on paralleelne mõne sirgega (ülesanne 3);
• puutuja läbib antud sirget mingi nurga all (ülesanne 4).

Ülesanne 3. Kirjutage funktsiooni y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 graafikule kõigi puutujate võrrandid, mis on paralleelsed sirgega y \u003d 9x + 1.

1. a - puutepunkti abstsiss.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Kuid teisest küljest f "(a) \u003d 9 (paralleelsuse tingimus). Seega peame lahendama võrrandi 3a 2 - 6a \u003d 9. Selle juured a \u003d - 1, a \u003d 3 (joonis fig. . 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 on puutuja võrrand;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 on puutuja võrrand.

Ülesanne 4. Kirjutage funktsiooni y = 0,5x 2 - 3x + 1 graafikule puutuja võrrand, mis kulgeb sirge y = 0 suhtes 45 ° nurga all (joonis 4).

Lahendus. Tingimusest f "(a) \u003d tg 45 ° leiame a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - puutepunkti abstsiss.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - puutuja võrrand.

Lihtne on näidata, et mis tahes muu probleemi lahendus taandub ühe või mitme võtmeprobleemi lahendamiseks. Vaatleme näitena kahte järgmist probleemi.

1. Kirjutage parabooli y = 2x 2 - 5x - 2 puutujate võrrandid, kui puutujad lõikuvad täisnurga all ja üks neist puudutab parabooli punktis, kus on abstsiss 3 (joonis 5).

Lahendus. Kuna puutepunkti abstsiss on antud, taandatakse lahenduse esimene osa põhiülesandeks 1.

1. a \u003d 3 - täisnurga ühe külje kokkupuutepunkti abstsiss.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - esimese puutuja võrrand.

Olgu a esimese puutuja kalle. Kuna puutujad on risti, siis on teise puutuja kaldenurk. Esimese puutuja võrrandist y = 7x – 20 saame tg a = 7. Leidke

See tähendab, et teise puutuja kalle on .

Edasine lahendus taandatakse põhiülesandele 3.

Olgu B(c; f(c)) siis teise sirge puutuja

1. - teise kokkupuutepunkti abstsiss.
2.
3.
4.
on teise puutuja võrrand.

Märge. Puutuja nurkkordaja on lihtsam leida, kui õpilased teavad ristsirgete kordajate suhet k 1 k 2 = - 1.

2. Kirjutage funktsioonigraafikute kõigi tavaliste puutujate võrrandid

Lahendus. Ülesanne taandub ühiste puutujate kokkupuutepunktide abstsisside leidmisele ehk võtmeülesande 1 üldisel kujul lahendamisele, võrrandisüsteemi koostamisele ja seejärel lahendamisele (joon. 6).

1. Olgu a funktsiooni y = x 2 + x + 1 graafikul paikneva puutepunkti abstsiss.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Olgu c funktsiooni graafikul oleva puutujapunkti abstsiss
2.
3. f "(c) = c.
4.

Kuna puutujad on ühised, siis

Seega y = x + 1 ja y = - 3x - 3 on tavalised puutujad.

Vaadeldavate ülesannete põhieesmärk on valmistada õpilasi ette võtmeülesande tüübi enese äratundmiseks keerukamate, teatud uurimisoskust nõudvate ülesannete lahendamisel (oskus analüüsida, võrrelda, üldistada, püstitada hüpotees jne). Sellised ülesanded hõlmavad kõiki ülesandeid, mille põhiülesanne sisaldub komponendina. Vaatleme näitena funktsiooni (ülesande 1 pöördvõrdeline) leidmise ülesannet selle puutujate perekonnast.

3. Millise b ja c jaoks on sirged y \u003d x ja y \u003d - 2x puutuja funktsiooni y \u003d x 2 + bx + c graafikuga?

Olgu t sirge y = x ja parabooliga y = x 2 + bx + c kokkupuutepunkti abstsiss; p on sirge y = - 2x ja parabooliga y = x 2 + bx + c kokkupuutepunkti abstsiss. Siis saab puutuja võrrand y = x kujul y = (2t + b)x + c - t 2 ja puutuja võrrand y = - 2x kujul y = (2p + b)x + c - p 2 .

Koostage ja lahendage võrrandisüsteem

Vastus:

Mõelge järgmisele joonisele:

See näitab mingit funktsiooni y = f(x), mis on punktis a diferentseeruv. Märgitud punkt M koordinaatidega (a; f(a)). Graafiku suvalise punkti P(a + ∆x; f(a + ∆x)) kaudu tõmmatakse sekant MP.

Kui nüüd nihutada punkt P piki graafikut punkti M, siis sirge MP pöörleb ümber punkti M. Sel juhul kaldub ∆x nulli. Siit saame sõnastada funktsiooni graafiku puutuja definitsiooni.

Funktsioonigraafiku puutuja

Funktsiooni graafiku puutuja on sekandi piirasend, kui argumendi juurdekasv kaldub nulli. Tuleb mõista, et funktsiooni f tuletise olemasolu punktis x0 tähendab, et graafiku selles punktis on puutuja talle.

Sel juhul on puutuja kalle võrdne selle funktsiooni tuletisega selles punktis f’(x0). See on tuletise geomeetriline tähendus. Punktis x0 diferentseeruva funktsiooni f graafiku puutuja on mingi sirge, mis läbib punkti (x0;f(x0)) ja mille kalle on f’(x0).

Tangensi võrrand

Proovime saada mingi funktsiooni f graafiku puutuja võrrandit punktis A(x0; f(x0)). Sirge võrrandil kaldega k on järgmine kuju:

Kuna meie kalle on võrdne tuletisega f'(x0), siis on võrrand järgmisel kujul: y = f'(x0)*x + b.

Nüüd arvutame b väärtuse. Selleks kasutame seda, et funktsioon läbib punkti A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, siit väljendame b ja saame b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Saadud väärtuse asendame puutuja võrrandiga:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Vaatleme järgmist näidet: leidke punktis x \u003d 2 funktsiooni f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 graafiku puutuja võrrand.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Asendage saadud väärtused puutuja valemiga, saame: y = 1 + 4*(x - 2). Avades sulud ja tuues sarnased terminid, saame: y = 4*x - 7.

Vastus: y = 4*x - 7.

Tangensvõrrandi koostamise üldskeem funktsiooni y = f(x) graafikule:

1. Määrake x0.

2. Arvutage f(x0).

3. Arvutage f'(x)

See matemaatikaprogramm leiab funktsiooni \(f(x) \) graafiku puutuja võrrandi kasutaja määratud punktis \(a \).

Programm mitte ainult ei kuva puutuja võrrandit, vaid kuvab ka probleemi lahendamise protsessi.

See veebikalkulaator võib olla kasulik keskkooliõpilastele katseteks ja eksamiteks valmistumisel, teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit ning vanematele paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamise kontrollimisel. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt oma matemaatika või algebra kodutöö võimalikult kiiresti valmis saada? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjaliku lahendusega.

Nii saate läbi viia enda ja/või oma nooremate vendade või õdede koolitusi, samal ajal tõstetakse lahendatavate ülesannete valdkonna haridustaset.

Kui teil on vaja leida funktsiooni tuletis, siis selleks on meil ülesanne Otsi tuletis.

Kui te pole funktsioonide tutvustamise reeglitega kursis, soovitame teil nendega tutvuda.

Sisestage funktsiooni avaldis \(f(x)\) ja arv \(a\)

f(x)=
a=

Leidke puutuja võrrand

Leiti, et mõnda selle ülesande lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.

Teie brauseris on JavaScript keelatud.
Lahenduse ilmumiseks peab JavaScript olema lubatud.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.

Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on järjekorras.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...

Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saad sellest kirjutada Tagasisidevormi .
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.

Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:

Natuke teooriat.

Sirge kalle

Tuletame meelde, et lineaarfunktsiooni \(y=kx+b\) graafik on sirgjoon. Kutsutakse numbrit \(k=tg \alpha \). sirgjoone kalle, ja nurk \(\alpha \) on nurk selle sirge ja härja telje vahel

Kui \(k>0\), siis \(0 Kui \(kfunktsiooni graafiku puutuja võrrand

Kui punkt M (a; f (a)) kuulub funktsiooni y \u003d f (x) graafikusse ja kui selles punktis on võimalik funktsiooni graafikule tõmmata puutuja, mis ei ole funktsiooniga risti x-teljel, siis tuletise geomeetrilisest tähendusest järeldub, et puutuja kalle on võrdne f "(a). Järgmisena töötame välja algoritmi mis tahes funktsiooni graafiku puutuja võrrandi koostamiseks.

Olgu selle funktsiooni graafikul antud funktsioon y \u003d f (x) ja punkt M (a; f (a)); andke teada, et f "(a) on olemas. Koostame antud punktis antud funktsiooni graafiku puutuja võrrandi. See võrrand, nagu iga sirge võrrand, mis ei ole y-teljega paralleelne , on kujul y \u003d kx + b, seega on probleemiks koefitsientide k ja b väärtuste leidmine.

Kaldega k on kõik selge: on teada, et k \u003d f "(a). B väärtuse arvutamiseks kasutame asjaolu, et soovitud sirgjoon läbib punkti M (a; f (a)) See tähendab, et kui asendame punkti M koordinaadid sirgjoone võrrandiga, saame õige võrdsuse: \ (f (a) \u003d ka + b \), st \ (b \u003d f (a) ) - ka \).

Jääb üle koefitsientide k ja b leitud väärtused asendada sirgjoone võrrandiga:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a) $$

Saime kätte funktsiooni graafiku puutuja võrrand\(y = f(x) \) punktis \(x=a \).

Funktsiooni \(y=f(x)\) graafiku puutuja võrrandi leidmise algoritm
1. Määrake puutepunkti abstsiss tähega \ (a \)
2. Arvutage \(f(a)\)
3. Leidke \(f"(x) \) ja arvutage \(f"(a) \)
4. Asendage leitud arvud \ (a, f (a), f "(a) \) valemiga \ (y \u003d f (a) + f "(a) (x-a) \)

Raamatud (õpikud) Ühtse riigieksami ja OGE-testide kokkuvõtted võrgus Mängud, pusled Funktsioonide graafik Vene keele õigekirjasõnastik Noorte slängi sõnaraamat Venemaa koolide kataloog Venemaa keskkoolide kataloog Venemaa ülikoolide kataloog Ülesannete loetelu Leidmine GCD ja LCM Polünoomi lihtsustamine (polünoomide korrutamine)