Parabooli võrrandil on vorm. Parabool - ruutfunktsiooni omadused ja graafik

Vaatleme tasapinna sirget ja punkti, mis sellel sirgel ei asu. Ja ellips ja hüperbool saab defineerida ühtselt punktide asukohana, mille puhul antud punkti kauguse ja antud sirge kauguse suhe on konstantne

auaste ε. Kell 0 1 - hüperbool. Parameeter ε on nii ellipsi kui hüperbooli ekstsentrilisus. Parameetri ε võimalikest positiivsetest väärtustest üks, nimelt ε = 1, osutub kasutamata. See väärtus vastab antud punktist ja antud sirgest võrdsel kaugusel olevate punktide asukohale.

Definitsioon 8.1. Punktide asukohta tasapinnal, mis on fikseeritud punktist ja fikseeritud sirgest võrdsel kaugusel, nimetatakse parabool.

Fikseeritud punkti nimetatakse parabooli fookus, ja sirgjoon parabooli suund. Samas eeldatakse, et parabooli ekstsentrilisus on võrdne ühega.

Geomeetrilistest kaalutlustest järeldub, et parabool on sümmeetriline sirgjoone suhtes, mis on risti sirgjoonega ja läbib parabooli fookust. Seda joont nimetatakse parabooli sümmeetriateljeks või lihtsalt parabooli telg. Parabool lõikub oma sümmeetriateljega ühes punktis. Seda punkti nimetatakse parabooli tipp. See asub segmendi keskel, mis ühendab parabooli fookust selle telje ja suunaga lõikepunktiga (joonis 8.3).

Parabooli võrrand. Parabooli võrrandi tuletamiseks valime tasapinnal päritolu parabooli tipus, as abstsiss- parabooli telg, mille positiivse suuna annab fookuse asend (vt joonis 8.3). Seda koordinaatsüsteemi nimetatakse kanooniline vaadeldava parabooli jaoks ja vastavad muutujad on kanooniline.

Tähistame kaugust fookusest otsesuunani kui p. Teda kutsutakse parabooli fookusparameeter.

Siis on fookuses koordinaadid F(p/2; 0) ja suund d kirjeldatakse võrrandiga x = - p/2. Punktist F ja sirgest d võrdsel kaugusel asuvate punktide M(x; y) asukoht on antud võrrandiga

Paneme ruudu võrrandi (8.2) välja ja anname sarnased. Saame võrrandi

mida nimetatakse parabooli kanooniline võrrand.

Pange tähele, et sel juhul on ruudustamine võrrandi (8.2) ekvivalentne teisendus, kuna mõlemad võrrandi osad on mittenegatiivsed, nagu ka radikaali all olev avaldis.

Parabooli tüüp. Kui parabool y 2 \u003d x, mille kuju loeme teadaolevaks, surutakse koefitsiendiga 1 / (2p) piki abstsissi, siis saame üldkujulise parabooli, mida kirjeldab võrrand (8.3).

Näide 8.2. Leiame fookuse koordinaadid ja parabooli suundvõrrandi, kui see läbib punkti, mille kanoonilised koordinaadid on (25; 10).

Kanoonilistes koordinaatides on parabooli võrrand kujul y 2 = 2px. Kuna punkt (25; 10) asub paraboolil, siis 100 = 50p ja seega p = 2. Seetõttu on y 2 = 4x parabooli kanooniline võrrand, x = - 1 on selle suundvõrrand ja fookus on punktis (1; 0 ).

Parabooli optiline omadus. Paraboolil on järgmine optiline omadus. Kui parabooli fookusesse asetada valgusallikas, on kõik valguskiired pärast paraboolilt peegeldumist paralleelsed parabooli teljega (joonis 8.4). Optiline omadus tähendab, et parabooli mis tahes punktis M normaalvektor puutuja teeb samad nurgad fookusraadiuse MF ja abstsissteljega.

Ülejäänud lugejatele teen ettepaneku täiendada oluliselt oma kooliteadmisi parabooli ja hüperbooli kohta. Hüperbool ja parabool – kas see on lihtne? ... ära oota =)

Hüperbool ja selle kanooniline võrrand

Materjali esituse üldine ülesehitus sarnaneb eelmisele lõigule. Alustame hüperbooli üldisest kontseptsioonist ja selle konstrueerimise probleemist.

Hüperbooli kanoonilisel võrrandil on vorm , kus on positiivsed reaalarvud. Pange tähele, et erinevalt ellips, tingimust siin ei kehtestata, see tähendab, et "a" väärtus võib olla väiksem kui "be" väärtus.

Pean ütlema, et üsna ootamatult ... "kooli" hüperbooli võrrand ei sarnane isegi kanoonilise rekordiga. Kuid see mõistatus peab meid veel ootama, kuid nüüd kratsigem kuklasse ja tuletagem meelde, millised tunnusjooned vaadeldaval kõveral on? Laotame selle oma kujutlusvõime ekraanile funktsiooni graafik ….

Hüperboolil on kaks sümmeetrilist haru.

Häid edusamme! Igal hüperboolil on need omadused ja nüüd vaatame tõelise imetlusega selle joone kaelust:

Näide 4

Koostage võrrandiga antud hüperbool

Lahendus: esimeses etapis toome selle võrrandi kanoonilisele kujule . Pidage meeles tüüpilist protseduuri. Paremal peate saama "ühe", nii et jagame algse võrrandi mõlemad osad 20-ga:

Siin saate mõlemat fraktsiooni vähendada, kuid optimaalsem on teha igaüks neist kolmekorruseline:

Ja alles pärast seda tehke vähendamine:

Valime nimetajates ruudud:

Miks on sellisel viisil transformatsioone parem läbi viia? Lõppude lõpuks saab vasaku külje fraktsioone kohe vähendada ja saada. Fakt on see, et vaadeldava näite puhul meil veidi vedas: arv 20 jagub nii 4 kui ka 5-ga. Üldjuhul selline arv ei tööta. Mõelge näiteks võrrandile . Siin on jagatavusega kõik kurvem ja ilma kolmekorruselised murded pole enam vaja:

Niisiis, kasutame oma töö vilja – kanoonilist võrrandit:

Kuidas ehitada hüperbooli?

Hüperbooli konstrueerimiseks on kaks lähenemisviisi – geomeetriline ja algebraline.
Praktilisest küljest on kompassiga joonistamine ... ma isegi ütleks, et utoopiline, nii et palju tulusam on jällegi lihtsad arvutused appi tuua.

Soovitatav on järgida järgmist algoritmi, kõigepealt valmis joonis, seejärel kommentaarid:

Praktikas kohtab sageli kombinatsiooni suvalise nurga kaudu pööramisest ja hüperbooli paralleeltranslatsioonist. Seda olukorda käsitletakse õppetunnis. 2. järku joonvõrrandi taandamine kanoonilisele kujule.

Parabool ja selle kanooniline võrrand

See on tehtud! Ta on kõige rohkem. Valmis paljastama palju saladusi. Parabooli kanoonilisel võrrandil on vorm , kus on reaalarv. On hästi näha, et oma standardasendis parabool "lebab külili" ja selle tipp asub lähtepunktis. Sel juhul määrab funktsioon selle rea ülemise haru ja funktsioon alumise haru. Ilmselgelt on parabool telje suhtes sümmeetriline. Tegelikult, mida vannitada:

Näide 6

Ehitage parabool

Lahendus: tipp on teada, leiame lisapunkte. Võrrand määrab parabooli ülemise kaare, võrrand määrab alumise kaare.

Kirje lühendamiseks teeme arvutused “sama pintsli all”:

Kompaktse märgistuse jaoks võiks tulemused kokku võtta tabelis.

Enne elementaarse punkt-punkti joonise sooritamist sõnastame range

parabooli määratlus:

Parabool on kõigi tasandi punktide hulk, mis on antud punktist võrdsel kaugusel, ja antud sirgest, mis punkti ei läbi.

Punkti nimetatakse keskenduda paraboolid, sirgjoon koolijuhataja (kirjutatud ühe "es"-ga) paraboolid. Kanoonilise võrrandi konstantset "pe" nimetatakse fookusparameeter, mis on võrdne kaugusega fookusest otsesuunani. Sel juhul . Sel juhul on fookuses koordinaadid ja suund on antud võrrandiga .
Meie näites:

Parabooli määratlust on isegi lihtsam mõista kui ellipsi ja hüperbooli määratlusi. Parabooli mis tahes punkti puhul on lõigu pikkus (kaugus fookusest punktini) võrdne risti pikkusega (kaugus punktist suunani):

Palju õnne! Paljud teist on täna teinud tõelise avastuse. Selgub, et hüperbool ja parabool pole üldse "tavaliste" funktsioonide graafikud, vaid neil on selgelt väljendunud geomeetriline päritolu.

Ilmselt "laiali" graafiku oksad fookusparameetri suurenemisega üles ja alla, lähenedes teljele lõpmatult lähedale. Kui "pe" väärtus väheneb, hakkavad need piki telge kokku tõmbuma ja venima

Iga parabooli ekstsentrilisus on võrdne ühega:

Parabooli pööramine ja translatsioon

Parabool on matemaatikas üks levinumaid jooni ja seda tuleb väga sageli ehitada. Seetõttu pöörake erilist tähelepanu õppetunni viimasele lõigule, kus analüüsin selle kõvera asukoha tüüpilisi võimalusi.

! Märge : nagu eelmiste kõverate puhul, on õigem rääkida koordinaatide telgede pööramisest ja paralleeltõlkest, kuid autor piirdub esitluse lihtsustatud versiooniga, et lugejal oleks elementaarne ettekujutus need teisendused.

Tutvustame ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi, kus . Laske teljel läbida fookuse F parabool ja on suunaga risti ning telg kulgeb fookuse ja suuna vahel. Tähistage fookuse ja suunava kaugusega. Siis suundvõrrand.

Arvu nimetatakse parabooli fookusparameetriks. Laskma olema praegune punkt parabooli. Olgu hüperboolpunkti fookusraadius, kaugus punktist otsejooneni. Siis ( joonis 27.)

Joonis 27.

Parabooli määratluse järgi. Järelikult

Paneme võrrandi ruudu ruutu, saame:

(15)

kus (15) on telje suhtes sümmeetrilise ja alguspunkti läbiva parabooli kanooniline võrrand.

Parabooli omaduste uurimine

1) Parabooli ülaosa:

Võrrand (15) on täidetud arvudega ja seetõttu läbib parabool alguspunkti.

2) Parabooli sümmeetria:

Kuulugu see paraboolile, st tõelisele võrdsusele. Punkt on sümmeetriline punktiga telje ümber, seetõttu on parabool sümmeetriline x-telje suhtes.

Parabooli ekstsentrilisus:

Definitsioon 4.2. Parabooli ekstsentrilisus on arv, mis on võrdne ühega.

Kuna definitsiooni järgi on parabool .

4) Parabooli puutuja:

Parabooli puutuja puutepunktis saadakse võrrandiga

Kus ( joonis 28.)

Joonis 28.

Pilt paraboolist

Joonis 29.

ESO-Mathcadi kasutamine:

joonis 30.)

Joonis 30.

a) Konstrueerimine ilma IKT-d kasutamata: parabooli konstrueerimiseks seame ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi, mille keskpunkt on punktis O ja ühiklõik. Märgistame fookuse OX-teljel, kuna joonistame nii, et ja parabooli suund. Ehitame punktis ringi, mille raadius on võrdne kaugusega sirgest parabooli sihini. Ringjoon lõikab joont punktides. Ehitame parabooli nii, et see läbiks lähtepunkti ja punkte. ( joonis 31.)

Joonis 31.

b) ESO-Mathcadi kasutamine:

Saadud võrrand on kujul: . Mathcadis teist järku rea konstrueerimiseks toome võrrandi järgmisele kujule: .( joonis 32.)

Joonis 32.

Elementaarmatemaatika teist järku joonte teooria töö kokkuvõtteks ja sirgete kohta käiva teabe kasutamise mugavuse huvides ülesannete lahendamisel võtame kõik andmed teist järku ridade kohta kokku tabelis nr 1.

Tabel number 1.

Teist järku read elementaarmatemaatikas

2. järjekorra rea nimi	Ring	Ellips	Hüperbool	Parabool
Iseloomulikud omadused
Joone võrrand
Ekstsentrilisus
Puutuja võrrand punktis (x 0 ; y 0 )
Keskendu
Joone läbimõõdud		Kus k on kalle	Kus k kalle	Kus k kalle

IKT kasutamise võimalused teist järku liinide uurimisel

Informatiseerimisprotsessil, mis on tänapäeval hõlmanud kõiki kaasaegse ühiskonna elu aspekte, on mitu prioriteetset valdkonda, mille hulka kuulub loomulikult ka hariduse informatiseerimine. See on inimese intellektuaalse tegevuse globaalse ratsionaliseerimise põhialus info- ja kommunikatsioonitehnoloogia (IKT) kasutamise kaudu.

Möödunud sajandi 90ndate keskpaika ja tänapäevani iseloomustab personaalarvutite massiline iseloom ja kättesaadavus Venemaal, telekommunikatsiooni laialdane kasutamine, mis võimaldab haridusprotsessis kasutusele võtta arenenud hariduse infotehnoloogiad, selle täiustamine ja kaasajastamine, teadmiste kvaliteedi tõstmine, õppimismotivatsiooni tõstmine, hariduse individualiseerimise põhimõtte maksimaalne ärakasutamine. Hariduse infotehnoloogiad on hariduse informatiseerimise selles etapis vajalik vahend.

Infotehnoloogiad mitte ainult ei hõlbusta juurdepääsu teabele ja avavad võimalusi õppetegevuse varieeruvuseks, selle individualiseerimiseks ja diferentseerimiseks, vaid võimaldavad ka kõigi õppeainete interaktsiooni uuel viisil korraldada, ehitades üles haridussüsteemi, milles õpilane oleks aktiivne ja võrdne osaleja õppetegevuses.

Uute infotehnoloogiate kujundamine ainetundide raames stimuleerib vajadust luua uusi tarkvara ja metoodilisi komplekse, mille eesmärk on parandada tunni kvaliteeti. Seetõttu peavad õpetajad infotehnoloogiliste vahendite edukaks ja sihipäraseks kasutamiseks õppeprotsessis teadma tarkvara ja rakendusvahendite toimimise põhimõtete üldist kirjeldust ning didaktilisi võimalusi ning seejärel oma kogemustele ja soovitustele tuginedes „kinnistada ” neid haridusprotsessi.

Matemaatikaõpe on praegu meie riigi koolihariduse arendamisel seotud mitmete tunnuste ja raskustega.

Ilmnes nn matemaatilise hariduse kriis. Selle põhjused on järgmised:

Prioriteetide muutumises ühiskonnas ja teaduses, st praegu toimub humanitaarteaduste prioriteedi tõus;

Matemaatikatundide arvu vähendamisel koolis;

Matemaatilise hariduse sisu elust eraldatuna;

Väikeses mõjus õpilaste tunnetele ja emotsioonidele.

Täna jääb lahtiseks küsimus: "Kuidas kõige tõhusamalt kasutada kaasaegsete info- ja kommunikatsioonitehnoloogiate potentsiaali koolinoorte õpetamisel, sh matemaatika õpetamisel?"

Arvuti on suurepärane abiline sellise teema nagu “Ruudfunktsioon” uurimisel, sest spetsiaalsete programmide abil saab joonistada erinevaid funktsioone, uurida funktsiooni, hõlpsasti määrata ristumispunktide koordinaate, arvutada suletud kujundite pindalasid jne. Näiteks 9. klassi algebratunnis, mis on pühendatud graafiku teisendamisele (koordinaatide telgede venitamine, tihendamine, nihutamine), näete ainult konstruktsiooni külmutatud tulemust ja kogu järjestikuste toimingute dünaamikat. õpetaja ja õpilase kohta saab jälgida monitori ekraanil.

Arvuti, nagu ükski teine tehniline vahend, avab õpilasele täpselt, visuaalselt ja paeluvalt ideaalsed matemaatilised mudelid, s.t. mille poole peaks laps oma praktilises tegevuses püüdlema.

Kui palju raskusi peab kogema matemaatikaõpetaja, et veenda õpilasi, et ruutfunktsiooni graafiku puutuja kokkupuutepunktis sulandub praktiliselt funktsiooni graafikuga. Seda fakti on arvutis väga lihtne demonstreerida – piisab, kui kitsendada intervalli piki Ox-telge ja leida, et puutepunkti väga väikeses naabruses langevad funktsiooni graafik ja puutuja kokku. Kõik need tegevused toimuvad õpilaste silme all. See näide annab tõuke tunnis aktiivseks refleksiooniks. Arvuti kasutamine on võimalik nii tunnis uue materjali selgitamise käigus kui ka kontrollfaasis. Nende programmide, näiteks "Minu kontrolltöö" abil saab õpilane iseseisvalt kontrollida oma teadmiste taset teoorias, sooritada teoreetilisi ja praktilisi ülesandeid. Programmid on mugavad oma mitmekülgsuse poolest. Neid saab kasutada nii enesekontrolliks kui ka õpetaja kontrollimiseks.

Matemaatika ja arvutitehnoloogia mõistlik integreerimine võimaldab rikkamalt ja sügavamalt vaadata ülesande lahendamise protsessi, matemaatiliste mustrite mõistmise kulgu. Lisaks aitab arvuti kujundada õpilaste graafilist, matemaatilist ja vaimset kultuuri ning arvuti abil saab koostada didaktilisi materjale: kaarte, küsitluslehti, teste jne. Samal ajal anda lastele võimalus iseseisvaks tööks arendada teemakohaseid teste, mille käigus huvi ja loovus.

Seega tekib vajadus kasutada arvutit võimalusel matemaatikatundides senisest laiemalt. Infotehnoloogia kasutamine aitab parandada teadmiste kvaliteeti, avardab ruutfunktsiooni uurimise silmaringi ning aitab seega leida uusi vaatenurki, et säilitada õpilastes huvi aine ja teema vastu ning seeläbi ka paremaks, tähelepanelikumaks suhtumiseks. sellele. Tänapäeval on tänapäevased infotehnoloogiad saamas kõige olulisemaks vahendiks kooli kui terviku kaasajastamisel – juhtimisest hariduse ja hariduse kättesaadavuse tagamiseni.

III tase

3.1. Hüperbool puudutab ridu 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Kirjutage üles hüperbooli võrrand eeldusel, et selle teljed langevad kokku koordinaattelgedega.

3.2. Kirjutage hüperbooli puutujate võrrandid

1) punkti läbimine A(4, 1), B(5, 2) ja C(5, 6);

2) paralleelselt sirgjoonega 10 x – 3y + 9 = 0;

3) risti sirgega 10 x – 3y + 9 = 0.

parabool on tasandi punktide asukoht, mille koordinaadid vastavad võrrandile

Parabooli parameetrid:

Punkt F(lk/2, 0) kutsutakse keskenduda paraboolid, suurusjärk lk – parameeter , punkt O(0, 0) – tippkohtumisel . Samal ajal otsene OF, mille suhtes parabool on sümmeetriline, määrab selle kõvera telje.

Väärtus kus M(x, y) on parabooli suvaline punkt, nimetatakse fookusraadius , sirge D: x = –lk/2 – koolijuhataja (see ei ristu parabooli sisemusega). Väärtus nimetatakse parabooli ekstsentrilisuseks.

Parabooli peamine iseloomulik omadus: kõik parabooli punktid on otsejoonest ja fookusest võrdsel kaugusel (joonis 24).

On ka teisi kanoonilise parabooli võrrandi vorme, mis määravad koordinaatsüsteemis selle harude muud suunad (joonis 25):

Sest parabooli parameetriline määratlus parameetrina t parabooli punkti ordinaadi väärtuseks võib võtta:

kus t on suvaline reaalarv.

Näide 1 Määrake parabooli parameetrid ja kuju selle kanoonilisest võrrandist:

Lahendus. 1. Võrrand y 2 = –8x defineerib parabooli, mille tipp on punktis O Ox. Selle oksad on suunatud vasakule. Võrreldes seda võrrandit võrrandiga y 2 = –2px, leiame: 2 lk = 8, lk = 4, lk/2 = 2. Seetõttu on fookus punktis F(–2; 0), suundvõrrand D: x= 2 (joonis 26).

2. Võrrand x 2 = –4y defineerib parabooli, mille tipp on punktis O(0; 0), sümmeetriline telje suhtes Oy. Selle oksad on suunatud allapoole. Võrreldes seda võrrandit võrrandiga x 2 = –2py, leiame: 2 lk = 4, lk = 2, lk/2 = 1. Seetõttu on fookus punktis F(0; –1), suundvõrrand D: y= 1 (joonis 27).

Näide 2 Määratlege kõvera parameetrid ja tüüp x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Tee joonis.

Lahendus. Teisendame võrrandi vasaku külje täisruudu meetodil:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Selle tulemusena saame

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

See on parabooli kanooniline võrrand, mille tipp on punktis (–4; –3), parameeter lk= 8, ülespoole suunatud oksad (), telg x= -4. Fookus on punktil F(–4; –3 + lk/2), st. F(–4; 1) Koolijuhataja D on antud võrrandiga y = –3 – lk/2 või y= -7 (joonis 28).

Näide 4 Koostage punktis oleva tipuga parabooli võrrand V(3; –2) ja keskenduda punktile F(1; –2).

Lahendus. Selle parabooli tipp ja fookus asuvad teljega paralleelsel sirgel Ox(samad ordinaadid), parabooli harud on suunatud vasakule (fookuse abstsiss on väiksem kui tipu abstsiss), kaugus fookusest tipuni on lk/2 = 3 – 1 = 2, lk= 4. Seega soovitud võrrand

(y+ 2) 2 = –2 4 ( x– 3) või ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

Ma tasan

1.1. Määrake parabooli parameetrid ja konstrueerige see:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Kirjutage algpunktis oleva tipuga parabooli võrrand, kui teate, et:

1) parabool asub vasakpoolsel pooltasandil sümmeetriliselt telje suhtes Ox ja lk = 4;

2) parabool paikneb sümmeetriliselt telje suhtes Oy ja läbib punkti M(4; –2).

3) suund on antud võrrandiga 3 y + 4 = 0.

1.3. Koostage võrrand kõvera jaoks, mille kõik punktid on punktist (2; 0) ja sirgest võrdsel kaugusel x = –2.

II tase

2.1. Määrake kõvera tüüp ja parameetrid.

Kõik teavad, mis on parabool. Kuid kuidas seda õigesti, asjatundlikult erinevate praktiliste probleemide lahendamisel kasutada, mõistame allpool.

Esiteks tähistame põhimõisteid, mille algebra ja geomeetria sellele terminile annavad. Kaaluge selle graafiku kõiki võimalikke tüüpe.

Õpime kõiki selle funktsiooni põhiomadusi. Saame aru kõvera (geomeetria) koostamise põhitõdedest. Õppime, kuidas leida seda tüüpi graafiku tippväärtusi, muid põhiväärtusi.

Saame teada: kuidas on võrrandi järgi õigesti konstrueeritud vajalik kõver, millele tuleb tähelepanu pöörata. Vaatame selle ainulaadse väärtuse peamist praktilist rakendust inimelus.

Mis on parabool ja kuidas see välja näeb

Algebra: see termin viitab ruutfunktsiooni graafikule.

Geomeetria: see on teist järku kõver, millel on mitmeid spetsiifilisi omadusi:

Kanooniline parabooli võrrand

Joonisel on ristkülikukujuline koordinaatsüsteem (XOY), ekstreemum, funktsiooni suund joonistab harusid piki abstsisstellge.

Kanooniline võrrand on järgmine:

y 2 \u003d 2 * p * x,

kus koefitsient p on parabooli (AF) fookusparameeter.

Algebras kirjutatakse see erinevalt:

y = a x 2 + b x + c (äratuntav muster: y = x 2).

Ruutfunktsiooni omadused ja graafik

Funktsioonil on sümmeetriatelg ja keskpunkt (äärmus). Määratluspiirkond on kõik x-telje väärtused.

Funktsiooni väärtuste vahemik - (-∞, M) või (M, +∞) sõltub kõvera harude suunast. Parameeter M tähendab siin rea ülaosas oleva funktsiooni väärtust.

Kuidas teha kindlaks, kuhu on suunatud parabooli harud

Seda tüüpi kõvera suuna leidmiseks avaldisest tuleb määrata algebralise avaldise esimese parameetri ees olev märk. Kui a ˃ 0, siis on need suunatud ülespoole. Muidu alla.

Kuidas leida valemi abil parabooli tipp

Ekstreemumi leidmine on paljude praktiliste probleemide lahendamise peamine samm. Loomulikult saate avada spetsiaalsed veebikalkulaatorid, kuid parem on seda ise teha.

Kuidas seda defineerida? On olemas spetsiaalne valem. Kui b ei ole 0, peame otsima selle punkti koordinaate.

Valemid tipu leidmiseks:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Näide.

On olemas funktsioon y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Leiame selle funktsiooni tipud.

Sellise rea jaoks:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Saame tipu koordinaadid (-2, -41).

Parabooli nihe

Klassikaline juhtum on see, kui ruutfunktsioonis y = a x 2 + b x + c on teine ja kolmas parameeter 0 ja = 1 - tipp asub punktis (0; 0).

Liikumine mööda abstsissi või ordinaattelge on tingitud vastavalt parameetrite b ja c muutumisest. Joone nihutamine tasapinnal toimub täpselt ühikute arvu järgi, mis on võrdne parameetri väärtusega.

Näide.

Meil on: b = 2, c = 3.

See tähendab, et kõvera klassikaline vaade nihkub piki abstsisstelge 2 ühiku võrra ja ordinaattelge 3 ühiku võrra.

Kuidas ehitada ruutvõrrandi abil parabooli

Koolilastel on oluline õppida õigesti joonistama parabooli vastavalt etteantud parameetritele.

Avaldiste ja võrrandite analüüsimisel näete järgmist.

Soovitud sirge ja ordinaatvektori lõikepunkti väärtus on võrdne c-ga.
Kõik graafiku punktid (piki x-telge) on funktsiooni peamise ekstreemumi suhtes sümmeetrilised.

Lisaks saab OX-iga ristumiskohad leida, teades sellise funktsiooni diskriminant (D):

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Selleks peate avaldise võrdsustama nulliga.

Paraboolijuurte olemasolu sõltub tulemusest:

D ˃ 0, siis x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, siis x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D ˂ 0, siis puuduvad lõikepunktid vektoriga OX.

Saame parabooli koostamise algoritmi:

määrata okste suund;
leida tipu koordinaadid;
leida ristumiskoht y-teljega;
leida ristumiskoht x-teljega.

Näide 1

Antud funktsioon y \u003d x 2 - 5 * x + 4. On vaja ehitada parabool. Tegutseme vastavalt algoritmile:

a \u003d 1, seetõttu on oksad suunatud ülespoole;
äärmuslikud koordinaadid: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2-5 * (5/2) + 4 = -15/4;
lõikub y-teljega väärtusel y = 4;
leidke diskriminant: D = 25 - 16 = 9;
juuri otsima

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5 - 3) / 2 = 1; (kümme).

Näide 2

Funktsiooni y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 jaoks peate ehitama parabooli. Tegutseme vastavalt ülaltoodud algoritmile:

a \u003d 3, seetõttu on oksad suunatud ülespoole;
äärmuslikud koordinaadid: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
y-teljega lõikub väärtusega y \u003d -1;
leidke diskriminant: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Nii et juured:

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Saadud punktidest saab ehitada parabooli.

Parabooli suund, ekstsentrilisus, fookus

Kanoonilise võrrandi põhjal on fookusel F koordinaadid (p/2, 0).

Sirge AB on suund (teatud pikkusega paraboolakord). Tema võrrand on x = -p/2.

Ekstsentrilisus (konstant) = 1.

Järeldus

Vaatasime teemat, mida õpilased keskkoolis õpivad. Nüüd teate parabooli ruutfunktsiooni vaadates, kuidas leida selle tipp, millises suunas oksad suunatakse, kas piki telge on nihe ja konstrueerimisalgoritmi olemasolul saate joonistada selle graafiku.