Avaldised, võrrandid ja võrrandisüsteemid
kompleksarvudega

Tänases tunnis töötame välja tüüpilised toimingud kompleksarvudega, samuti omandame nendes numbrites sisalduvate avaldiste, võrrandite ja võrrandisüsteemide lahendamise tehnikat. See töötuba on õppetunni jätk ja seetõttu, kui te pole teemaga tuttav, järgige ülalolevat linki. Noh, ma soovitan paremini ettevalmistatud lugejatel kohe soojendada:

Näide 1

Väljendi lihtsustamine , Kui. Esitage tulemus trigonomeetrilisel kujul ja kujutage seda komplekstasandil.

Lahendus: nii et peate asendama "kohutava" murdosa, tegema lihtsustusi ja tõlkima saadud tulemuse kompleksarv V trigonomeetriline vorm. Pluss kurat.

Milline on parim viis otsuse tegemiseks? Koos "väljamõeldud" algebraline avaldis Parem on seda teha samm-sammult. Esiteks on tähelepanu vähem hajutatud ja teiseks, kui ülesannet ei arvestata, on viga palju lihtsam leida.

1) Lihtsustame kõigepealt lugejat. Asendage väärtus, avage sulgud ja kinnitage soeng:

... Jah, selline Quasimodo kompleksarvudest osutus ...

Tuletan meelde, et teisenduste käigus kasutatakse täiesti geniaalseid asju - polünoomide korrutamise reeglit ja niigi banaalset võrdsust. Peaasi on olla ettevaatlik ja mitte märkides segadusse sattuda.

2) Nüüd on nimetaja järgmine. Kui siis:

Pange tähele, millist ebatavalist tõlgendust kasutatakse summa ruudu valem. Teise võimalusena saate siin muuta alamvalem . Tulemused muidugi ühtivad.

3) Ja lõpuks, kogu väljend. Kui siis:

Murdust vabanemiseks korrutame lugeja ja nimetaja avaldisega, mis on konjugeeritud nimetajaga. Siiski taotlemise eesmärgil ruutude valemite erinevus peaks olema esialgselt (ja kindlasti!) pane negatiivne reaalosa 2. kohale:

Ja nüüd põhireegel:

MITTE JUHUL EI KIIRUSTAGE! Parem mängige ohutult ja määrake täiendav samm.
Kompleksarvudega avaldistes, võrrandites ja süsteemides ettenägelikud suulised arvutused täis nagu alati!

Viimases etapis oli ilus kokkutõmbumine ja see on lihtsalt suurepärane märk.

Märge : rangelt võttes toimus siin kompleksarvu jagamine kompleksarvuga 50 (meenutagem, et ). Sellest nüansist olen siiani vaikinud ja sellest räägime veidi hiljem.

Tähistagem oma saavutust tähega

Esitame tulemuse trigonomeetrilisel kujul. Üldiselt saab siin hakkama ilma jooniseta, kuid niipea, kui see on vajalik, on mõnevõrra ratsionaalsem see kohe täita:

Arvutage kompleksarvu moodul:

Kui sooritate joonise 1 ühiku skaalal. \u003d 1 cm (2 tetradilahtrit), siis on saadud väärtust tavalise joonlaua abil lihtne kontrollida.

Leiame argumendi. Kuna number on 2 koordinaatide kvartal, See:

Nurka kontrollib lihtsalt nurgamõõtja. See on joonise vaieldamatu pluss.

Seega: - soovitud arv trigonomeetrilisel kujul.

Kontrollime:
, mida tuli kontrollida.

Siinuse ja koosinuse tundmatuid väärtusi on mugav leida trigonomeetriline tabel.

Vastus:

Sarnane näide sõltumatu lahendus:

Näide 2

Väljendi lihtsustamine , Kus. Joonistage saadud arv komplekstasandile ja kirjutage see eksponentsiaalses vormis.

Püüdke mitte vahele jätta juhtumiuuringud. Need võivad tunduda lihtsad, kuid ilma treenimiseta pole “lompi sattumine” lihtsalt lihtne, vaid väga lihtne. Nii et võtame käed külge.

Sageli võimaldab probleem rohkem kui üht lahendust:

Näide 3

Arvutage, kui,

Lahendus: esiteks pöörame tähelepanu algsele tingimusele - üks arv esitatakse algebralisel kujul ja teine ​​trigonomeetrilisel kujul ja isegi kraadidega. Kirjutame selle kohe tuttavamal kujul ümber: .

Millises vormis tuleks arvutused läbi viia? Ilmselgelt hõlmab väljend esimest korrutamist ja edasist tõstmist 10. astmeni De Moivre'i valem, mis on formuleeritud kompleksarvu trigonomeetrilise vormi jaoks. Seega tundub loogilisem teisendada esimene arv. Leidke selle moodul ja argument:

Kasutame kompleksarvude korrutamise reeglit trigonomeetrilisel kujul:
kui siis

Muutes murdosa õigeks, jõuame järeldusele, et on võimalik “keerata” 4 pööret (rõõmus.):

Teine lahendus on teise numbri tõlkimine algebraliseks vormiks , tehke korrutamine algebraline vorm, tõlkige tulemus trigonomeetrilisse vormi ja kasutage De Moivre'i valemit.

Nagu näha, üks "lisa" tegevus. Soovijad saavad lahendust lõpuni jälgida ja veenduda, et tulemused klapivad.

Tingimus ei ütle midagi saadud kompleksarvu vormi kohta, seega:

Vastus:

Kuid "ilu jaoks" või nõudmisel saab tulemust hõlpsasti algebralises vormis esitada:

Üksinda:

Näide 4

Väljendi lihtsustamine

Siin on vaja meeles pidada volitustega tegusid, kuigi üks kasulik reegel juhendis pole, siin see on: .

Üks asi veel oluline märkus: näidet saab lahendada kahes stiilis. Esimene võimalus on töötada kaks numbreid ja leppida murrudega. Teine võimalus on esitada vormil iga number kahe arvu jagatis: Ja neljakorruselisest lahti saada. Formaalsest vaatenurgast pole vahet, kuidas otsustada, aga tähenduslik vahe on! Palun kaaluge hästi:
on kompleksarv;
on kahe kompleksarvu ( ja ) jagatis, kuid olenevalt kontekstist võib öelda ka seda: arv, mis on esitatud kahe kompleksarvu jagatisena.

Kiire Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Avaldised on head, aga võrrandid paremad:

Keerukate koefitsientidega võrrandid

Kuidas need erinevad "tavalistest" võrranditest? Koefitsiendid =)

Ülaltoodud märkuse valguses alustame järgmise näitega:

Näide 5

lahendage võrrand

Ja vahetu sissejuhatav jälitamine: esialgu parem osa võrrand on paigutatud kahe kompleksarvu ( ja 13) jagatisena ning seetõttu oleks halb vorm tingimust arvuga ümber kirjutada (kuigi see ei põhjusta viga). Muide, see erinevus on selgemini näha murdarvudes – kui suhteliselt rääkides, siis selle väärtuse all mõistetakse eelkõige võrrandi "täis" kompleksjuur, ja mitte arvu jagajana ja veelgi enam - mitte arvu osana !

Lahendus, põhimõtteliselt saab koostada ka samm-sammult, kuid sisse sel juhul mäng ei ole küünalt väärt. Algülesanne on lihtsustada kõike, mis ei sisalda tundmatut "Z", mille tulemusena taandatakse võrrand järgmisele kujule:

Keskmist murdosa enesekindlalt lihtsustada:

Viime tulemuse paremale poole ja leiame erinevuse:

Märge : ja veelkord juhin teie tähelepanu sisulisele punktile - siin me ei lahutanud arvust arvu, vaid summeerisime murrud ühine nimetaja! Tuleb märkida, et juba lahenduse käigus ei ole keelatud töötada numbritega: aga vaadeldavas näites on selline stiil pigem kahjulik kui kasulik =)

Proportsioonireegli kohaselt väljendame "z":

Nüüd saate jälle jagada ja korrutada adjoint-avaldisega, kuid kahtlaselt sarnased lugeja ja nimetaja arvud viitavad järgmisele käigule:

Vastus:

Kontrollimiseks asendame saadud väärtuse algse võrrandi vasakpoolsesse serva ja teeme lihtsustusi:

- saadakse algvõrrandi parem pool, seega leitakse juur õigesti.

…nüüd-kohe…valin teile midagi huvitavamat… oodake:

Näide 6

lahendage võrrand

See võrrand taandub kujule ja on seega lineaarne. Vihje on minu meelest selge – lase käia!

Muidugi ... kuidas saate ilma selleta elada:

Keerukate koefitsientidega ruutvõrrand

Õppetunnis Keerulised numbrid mannekeenide jaoks me õppisime seda ruutvõrrand reaalsete koefitsientidega võivad olla konjugeeritud kompleksjuured, mille järel tekib loogiline küsimus: miks tegelikult ei saa koefitsiendid ise olla keerulised? sõnastan üldine juhtum:

Ruutvõrrand suvaliste komplekskoefitsientidega (millest 1 või 2 või kõik kolm võivad eriti kehtida) Sellel on kaks ja ainult kaks keerulised juured (võimalik, et üks neist või mõlemad on kehtivad). Kuigi juured (nii reaalne kui ka nullist erineva kujuteldava osaga) võib kokku langeda (olla mitu).

Keerukate koefitsientidega ruutvõrrand lahendatakse samamoodi nagu "kooli" võrrand, mõningate erinevustega arvutustehnikas:

Näide 7

Leia ruutvõrrandi juured

Lahendus: esikohal on kujuteldav üksus ja põhimõtteliselt saate sellest lahti (korrutades mõlemad pooled ) selleks pole aga erilist vajadust.

Mugavuse huvides kirjutame koefitsiendid:

Me ei kaota vabaliikme "miinust"! ... See ei pruugi kõigile selgeks saada – ma kirjutan võrrandi sisse standardvorm :

Arvutame diskriminandi:

Siin on peamine takistus:

Rakendus üldine valem juure ekstraheerimine (vt artikli viimast lõiku Keerulised numbrid mannekeenide jaoks) on keeruliseks tõsiste raskuste tõttu, mis on seotud radikaalse kompleksarvu argumendiga (Vaata ise). Kuid on veel üks, "algebraline" viis! Otsime juurt kujul:

Teeme mõlemad küljed ruudukujuliseks:

Kaks kompleksarvu on võrdsed, kui nende reaal- ja mõtteline osa on võrdsed. Seega saame järgmine süsteem:

Süsteemi on lihtsam lahendada valides (põhjalikum viis on väljendada 2. võrrandist - asenda 1., hanki ja lahenda bikvadraatne võrrand) . Eeldades, et ülesande autor ei ole koletis, oletame, et ja on täisarvud. Esimesest võrrandist järeldub, et "x" modulo rohkem kui "y". Lisaks ütleb positiivne toode meile, et tundmatud on sama märgiga. Eelneva põhjal ja keskendudes 2. võrrandile paneme kirja kõik sellega sobivad paarid:

Ilmselt vastavad kaks viimast paari süsteemi 1. võrrandit, seega:

Vahekontroll ei tee halba:

mida tuli kontrollida.

"Töötava" juurena saate valida ükskõik milline tähenduses. On selge, et parem on võtta versioon ilma "miinusteta":

Leiame juured, unustamata muide, et:

Vastus:

Kontrollime, kas leitud juured vastavad võrrandile :

1) Asendus:

õige võrdsus.

2) Asendus:

õige võrdsus.

Seega leitakse lahendus õigesti.

Äsja arutatud probleemist inspireerituna:

Näide 8

Leidke võrrandi juured

Tuleb märkida, et Ruutjuur alates puhtalt keeruline numbrid ekstraheeritakse suurepäraselt ja kasutatakse üldist valemit , Kus , seega on näidis näidatud mõlemad meetodid. Teine kasulik märkus puudutab asjaolu, et juure esialgne eraldamine konstandist ei lihtsusta lahendust sugugi.

Ja nüüd saate lõõgastuda - selles näites saate kerge ehmatusega maha :)

Näide 9

Lahendage võrrand ja kontrollige

Lahendused ja vastused tunni lõpus.

Artikli viimane lõik on pühendatud

võrrandisüsteem kompleksarvudega

Me lõõgastusime ja ... me ei pinguta =) Kaaluge kõige lihtsam juhtum- kahe süsteemiga lineaarvõrrandid kahe tundmatuga:

Näide 10

Lahenda võrrandisüsteem. Esitage vastus algebralises ja eksponentsiaalses vormis, kujutage joonisel juuri.

Lahendus: tingimus ise viitab sellele, et süsteemil on unikaalne lahendus, see tähendab, et peame leidma kaks arvu, mis rahuldavad igale süsteemi võrrand.

Süsteemi saab tõesti "lapselikult" lahendada (väljendada üht muutujat teise kaudu) , kuid seda on palju mugavam kasutada Crameri valemid. Arvuta peamine määraja süsteemid:

, seega on süsteemil ainulaadne lahendus.

Kordan, et parem on mitte kiirustada ja määrata sammud võimalikult üksikasjalikult:

Korrutame lugeja ja nimetaja kujuteldava ühikuga ja saame 1. juure:

Sarnaselt:

Vastavad parempoolsed küljed, p.t.p.

Teostame joonise:

Esitame juuri eksponentsiaalsel kujul. Selleks peate leidma nende moodulid ja argumendid:

1) - "kahe" kaare puutuja arvutatakse "halvasti", seega jätame selle järgmiselt:

Kompleksarvudega seotud probleemide lahendamiseks peate mõistma põhimääratlusi. peamine ülesanne Selle ülevaateartikli osa – selgitada, mis on kompleksarvud, ja esitada meetodid kompleksarvudega seotud põhiülesannete lahendamiseks. Seega on kompleksarv vormi arv z = a + bi, Kus a, b- reaalarvud, mida nimetatakse vastavalt kompleksarvu reaal- ja imaginaarseks osaks ning tähistavad a = Re(z), b = Im(z).
i nimetatakse imaginaarseks ühikuks. i 2 \u003d -1. Eelkõige võib keerukaks pidada mis tahes reaalarvu: a = a + 0i, kus a on reaalne. Kui a = 0 Ja b ≠ 0, siis nimetatakse seda arvu puhtalt imaginaarseks.

Nüüd tutvustame tehteid kompleksarvudega.
Mõelge kahele kompleksarvule z 1 = a 1 + b 1 i Ja z 2 = a 2 + b 2 i.

Kaaluge z = a + bi.

Kompleksarvude hulk laiendab reaalarvude hulka, mis omakorda laiendab hulka ratsionaalsed arvud jne. Seda investeeringute ahelat on näha joonisel: N - täisarvud, Z on täisarvud, Q on ratsionaalne, R on reaalne, C on kompleks.

Kompleksarvude esitamine

Algebraline tähistus.

Mõelge kompleksarvule z = a + bi, nimetatakse seda kompleksarvu kirjutamise vormi algebraline. Oleme seda kirjutamisvormi juba eelmises osas üksikasjalikult käsitlenud. Üsna sageli kasutage järgmist illustreerivat joonist

trigonomeetriline vorm.

Jooniselt on näha, et number z = a + bi saab kirjutada erinevalt. See on ilmne a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, järelikult z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) nimetatakse kompleksarvu argumendiks. Seda kompleksarvu esitust nimetatakse trigonomeetriline vorm. Trigonomeetriline tähistusvorm on mõnikord väga mugav. Näiteks on seda mugav kasutada kompleksarvu tõstmiseks täisarvuliseks astmeks, nimelt kui z = rcos(φ) + rsin(φ)i, See z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, nimetatakse seda valemit De Moivre'i valem.

Demonstratiivne vorm.

Kaaluge z = rcos(φ) + rsin(φ)i on kompleksarv trigonomeetrilisel kujul, kirjutame selle erineval kujul z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, viimane võrdsus tuleneb Euleri valemist, seega saame uus vorm kompleksarvu kirjed: z = re iφ, mida nimetatakse demonstratiivne. See tähistus on väga mugav ka kompleksarvu tõstmiseks astmeks: z n = r n e inφ, Siin n ei pruugi olla täisarv, kuid võib olla suvaline tegelik arv. Seda kirjutamisvormi kasutatakse probleemide lahendamiseks üsna sageli.

Kõrgema algebra fundamentaalteoreem

Kujutage ette, et meil on ruutvõrrand x 2 + x + 1 = 0 . Ilmselgelt on selle võrrandi diskriminant negatiivne ja sellel pole tegelikke juuri, kuid selgub, et sellel võrrandil on kaks erinevat keerulist juurt. Niisiis, kõrgema algebra põhiteoreem väidab, et igal n-astme polünoomil on vähemalt üks kompleksjuur. Sellest järeldub, et igal n-astme polünoomil on nende paljusust arvesse võttes täpselt n kompleksjuurt. See teoreem on väga oluline tulemus matemaatikas ja seda kasutatakse laialdaselt. Selle teoreemi lihtne tagajärg on järgmine tulemus: seal on täpselt n mitmesugused juured võimud n välja ühtsusest.

Peamised ülesannete liigid

Selles jaotises käsitletakse peamisi tüüpe lihtsaid ülesandeid kompleksarvudele. Tavaliselt võib kompleksarvude ülesanded jagada järgmistesse kategooriatesse.

• Lihtsate aritmeetiliste toimingute sooritamine kompleksarvudega.
• Kompleksarvude polünoomide juurte leidmine.
• Kompleksarvude tõstmine astmeni.
• Kompleksarvudest juurte eraldamine.
• Kompleksarvude rakendamine muude ülesannete lahendamiseks.

Nüüd kaaluge üldised meetodid lahendusi nendele probleemidele.

Lihtsamate aritmeetiliste toimingute sooritamine kompleksarvudega toimub vastavalt esimeses jaotises kirjeldatud reeglitele, kuid kui kompleksarvud esitatakse trigonomeetrilises või eksponentsiaalses vormis, siis sel juhul saab need teisendada algebraliseks vormiks ja teha toiminguid teadaolevate reeglite järgi.

Polünoomide juurte leidmine taandub tavaliselt ruutvõrrandi juurte leidmisele. Oletame, et meil on ruutvõrrand, kui selle diskriminant on mittenegatiivne, siis on selle juured reaalsed ja leitakse tuntud valemi järgi. Kui diskriminant on negatiivne, siis D = -1∙a 2, Kus a on teatud arv, siis saame diskriminanti esitada kujul D = (ia) 2, järelikult √D = i|a|, ja siis saate kasutada kuulus valem ruutvõrrandi juurte jaoks.

Näide. Pöördume tagasi ülalmainitud ruutvõrrandi juurde x 2 + x + 1 = 0.
Diskrimineeriv - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Nüüd leiame juured hõlpsalt üles:

Kompleksarvude astmeks tõstmist saab teha mitmel viisil. Kui soovite tõsta algebralisel kujul kompleksarvu väikese astmeni (2 või 3), siis saate seda teha otsekorrutamisega, kuid kui aste on suurem (ülesannetes on see sageli palju suurem), siis peate kirjuta see arv trigonomeetrilises või eksponentsiaalses vormis ja kasuta juba tuntud meetodeid.

Näide. Vaatleme z = 1 + i ja tõsta kümnenda astmeni.
Kirjutame z eksponentsiaalsel kujul: z = √2 e iπ/4 .
Siis z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Pöördume tagasi algebralise vormi juurde: z 10 = -32i.

Kompleksarvudest juurte eraldamine on astendamise pöördtehing, seega tehakse seda sarnaselt. Juurte eraldamiseks kasutatakse sageli arvu eksponentsiaalset kirjutamise vormi.

Näide. Leia kõik ühtsuse 3. astme juured. Selleks leiame kõik võrrandi z 3 = 1 juured, otsime juuri eksponentsiaalsel kujul.
Asendage võrrandis: r 3 e 3iφ = 1 või r 3 e 3iφ = e 0 .
Seega: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, seega φ = 2πk/3.
Erinevad juured saadakse φ = 0, 2π/3, 4π/3 juures.
Seega 1 , e i2π/3 , e i4π/3 on juured.
Või algebralises vormis:

Viimane ülesandetüüp sisaldab suur hulk probleeme ja nende lahendamiseks puuduvad üldised meetodid. Siin on sellise ülesande lihtne näide:

Leia summa sin(x) + sin(2x) + patt(2x) + … + sin(nx).

Kuigi selle probleemi sõnastus seda ei tee kõnealune kompleksarvude kohta, kuid nende abiga saab seda lihtsalt lahendada. Selle lahendamiseks kasutatakse järgmisi esitusi:


Kui nüüd asendada see esitus summaga, siis taandatakse probleem tavalise geomeetrilise progressiooni liitmiseks.

Järeldus

Kompleksarvud on matemaatikas laialdaselt kasutusel, käesolevas ülevaateartiklis käsitleti põhitehteid kompleksarvudega, kirjeldati ja kirjeldati lühidalt mitut tüüpi standardülesandeid levinud meetodid nende lahendusi, kompleksarvude võimaluste täpsemaks uurimiseks on soovitatav kasutada erialakirjandust.

Kirjandus

Võrrandite võrgulahenduse teenus aitab teil lahendada mis tahes võrrandi. Meie saiti kasutades ei saa te mitte ainult võrrandile vastust, vaid ka näete üksikasjalik lahendus, st tulemuse saamise protsessi samm-sammult kuvamine. Meie teenus on kasulik keskkooliõpilastele üldhariduskoolid ja nende vanemad. Õpilased saavad valmistuda katseteks, eksamiteks, testida oma teadmisi ning vanemad saavad otsust kontrollida matemaatilised võrrandid oma lastega. Võrrandite lahendamise oskus on õpilastele kohustuslik. Teenus aitab teil ise õppida ja täiendada oma teadmisi matemaatiliste võrrandite vallas. Selle abil saate lahendada mis tahes võrrandi: ruut-, kuup-, irratsionaalne, trigonomeetriline jne. võrguteenus kuid hindamatu, sest lisaks õigele vastusele saate iga võrrandi üksikasjaliku lahenduse. Võrrandite Internetis lahendamise eelised. Saate meie veebisaidil Internetis lahendada mis tahes võrrandi täiesti tasuta. Teenus on täisautomaatne, arvutisse ei pea midagi installima, piisab vaid andmete sisestamisest ja programm väljastab lahenduse. Kõik arvutusvead või trükivead on välistatud. Meiega on võrgus mis tahes võrrandit väga lihtne lahendada, seega kasutage meie saiti mis tahes võrrandite lahendamiseks. Tuleb vaid andmed sisestada ja arvutus valmib sekunditega. Programm töötab iseseisvalt, ilma inimese sekkumiseta ning saate täpse ja üksikasjaliku vastuse. Võrrandi lahendamine sisse üldine vaade. Sellises võrrandis on muutujate koefitsiendid ja soovitud juured omavahel seotud. Muutuja suurim võimsus määrab sellise võrrandi järjekorra. Selle põhjal võrrandite kasutamiseks erinevaid meetodeid ja teoreemid lahenduste leidmiseks. Võrrandite lahendamine seda tüüpi tähendab üldiselt soovitud juurte leidmist. Meie teenus võimaldab teil Internetis lahendada isegi kõige keerulisema algebralise võrrandi. Saad nii võrrandi üldlahendi kui ka privaatlahenduse enda määratud jaoks. arvväärtusi koefitsiendid. Algebralise võrrandi lahendamiseks saidil piisab, kui täidate õigesti ainult kaks välja: vasak ja parem osa antud võrrand. Kell algebralised võrrandid muutuvate koefitsientidega lõpmatu arv lahendeid ja teatud tingimusi seades valitakse lahenduste hulgast välja privaatsed. Ruutvõrrand. Ruutvõrrand on kujul ax^2+bx+c=0, kui a>0. Võrrandite lahendamine ruudu vaade tähendab väärtuste x leidmist, mille puhul on võrdus ax^2+bx+c=0 täidetud. Selleks leitakse diskriminandi väärtus valemiga D=b^2-4ac. Kui diskriminant on nullist väiksem, pole võrrandil reaaljuuri (juured on kompleksarvude väljast), kui see on null, siis on võrrandil üks reaaljuur ja kui diskriminandil Üle nulli, siis on võrrandil kaks reaaljuurt, mis leitakse valemiga: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Ruutvõrrandi võrgus lahendamiseks peate lihtsalt sisestama sellise võrrandi koefitsiendid (täisarvud, murrud või kümnendväärtused). Kui võrrandis on lahutamismärke, tuleb võrrandi vastavate liikmete ette panna miinus. Ruutvõrrandi saate lahendada ka võrgus sõltuvalt parameetrist, st võrrandi koefitsientide muutujatest. Meie veebiteenus leidmiseks ühised lahendused. Lineaarvõrrandid. Lineaarvõrrandite (või võrrandisüsteemide) lahendamiseks kasutatakse praktikas nelja peamist meetodit. Kirjeldame üksikasjalikult iga meetodit. Asendusmeetod. Asendusmeetodil võrrandite lahendamine eeldab ühe muutuja väljendamist teistega. Pärast seda asendatakse avaldis süsteemi teiste võrranditega. Sellest tuleneb ka lahendusmeetodi nimetus, st muutuja asemel asendatakse selle avaldis ülejäänud muutujate kaudu. Praktikas nõuab meetod keerukaid arvutusi, kuigi sellest on lihtne aru saada, seega säästab sellise võrrandi veebipõhine lahendamine aega ja teeb arvutused lihtsamaks. Peate lihtsalt määrama võrrandis tundmatute arvu ja täitma lineaarvõrrandi andmed, seejärel teeb teenus arvutuse. Gaussi meetod. Meetod põhineb süsteemi kõige lihtsamatel teisendustel, milleni jõuda samaväärne süsteem kolmnurkne. Tundmatud määratakse selle järgi ükshaaval. Praktikas tuleb selline võrrand Internetis lahendada Täpsem kirjeldus, tänu millele omandate hästi Gaussi meetodi lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks. Kirjutage lineaarvõrrandisüsteem õiges vormingus üles ja võtke süsteemi õigeks lahendamiseks arvesse tundmatute arvu. Crameri meetod. See meetod lahendab võrrandisüsteeme juhtudel, kui süsteemil on unikaalne lahendus. Peamine matemaatiline tehe on siin arvutamine maatriksi determinandid. Võrrandite lahendamine Crameri meetodil toimub võrgus, tulemuse saate kohe koos täieliku ja üksikasjaliku kirjeldusega. Piisab, kui täita süsteem koefitsientidega ja valida tundmatute muutujate arv. maatriks meetod. See meetod seisneb maatriksis A tundmatute koefitsientide, X veergu tundmatute ja veerus B vabade liikmete koefitsientide kogumises. Seega taandatakse lineaarvõrrandisüsteem järgmiseks. maatriksvõrrand kujul AxX=B. Sellel võrrandil on kordumatu lahend ainult siis, kui maatriksi A determinant on nullist erinev, vastasel juhul pole süsteemil lahendeid või on lõpmatu arv lahendeid. Võrrandite lahendamine maatriks meetod on leida pöördmaatriks A.

Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene on võrrandeid kasutanud juba iidsetest aegadest ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Selguse huvides lahendame järgmise probleemi:

Arvutage \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\], kui \

Kõigepealt pöörame tähelepanu asjaolule, et üks arv on esitatud algebralisel kujul, teine ​​- trigonomeetrilisel kujul. Seda tuleb lihtsustada ja järgmine liik

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Avaldis \ ütleb, et kõigepealt teeme korrutamise ja tõstmise 10. astmeni vastavalt Moivre valemile. See valem koostati kompleksarvu trigonomeetrilise vormi jaoks. Saame:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Järgides kompleksarvude trigonomeetrilisel kujul korrutamise reegleid, teeme järgmist:

Meie puhul:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Muutes murru \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] õigeks, järeldame, et on võimalik "keerata" 4 pööret \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Vastus: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Seda võrrandit saab lahendada muul viisil, mis taandub 2. numbri viimisele algebralisele kujule, seejärel algebralisele kujule korrutamisele, tulemuse tõlkimisele trigonomeetrilisele kujule ja Moivre'i valemi rakendamisele:

Kust saab võrgus lahendada kompleksarvudega võrrandisüsteemi?

Võrrandisüsteemi saate lahendada meie veebisaidil https: // saidil. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil sekunditega lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandi. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Samuti saate vaadata videoõpetust ja õppida võrrandit lahendama meie veebisaidil. Ja kui teil on küsimusi, võite neid küsida meie Vkontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.