skup ograničenog broja

Skup realnih brojeva naziva se omeđen odozgo, ako postoji broj takav da svi elementi ne prelaze :

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Pogledajte što je "Ograničeni skup" u drugim rječnicima:

1) O. m. u metričkom prostoru X(s metrikom) je skup A čiji je promjer konačan. 2) O. m. u topološkim. vektorski prostor E(nad poljem k) je skup B, koji je apsorbiran svakom okolinom nule U (tj. postoji jedan). M.I.…… Matematička enciklopedija

U metričkom prostoru, isto što i potpuno omeđeni potprostor danog metričkog prostora. prostor. Pogledajte prilično ograničen prostor. A. V. Arhangelski ... Matematička enciklopedija

NA matematička analiza, i srodnim granama matematike, ograničeni skup je skup koji, u određenom smislu, ima konačnu veličinu. Osnovni koncept je ograničenost numeričkog skupa, koja se generalizira na slučaj ... ... Wikipedia

gomila- set skup - skup Jedan od osnovnih pojmova moderne matematike, "proizvoljna zbirka određenih i prepoznatljivih objekata, mentalno spojenih u jedan ... ... Tehnički prevoditeljski priručnik

Gomila- jedan od temeljnih pojmova moderne matematike, "proizvoljna zbirka određenih i prepoznatljivih objekata, mentalno spojenih u jednu cjelinu." (Tako je skup definirao utemeljitelj teorije skupova, slavni Nijemac ... ... Ekonomski i matematički rječnik

Vidi razred u logici. filozofski enciklopedijski rječnik. M.: Sovjetska enciklopedija. CH. urednici: L. F. Iljičev, P. N. Fedosejev, S. M. Kovaljov, V. G. Panov. 1983. VIŠE... Filozofska enciklopedija

Ovaj pojam ima i druga značenja, pogledajte Set (značenja). Skup je tip i struktura podataka u računalnoj znanosti, implementacija skupa matematičkih objekata. Postavljena vrsta podataka omogućuje vam pohranjivanje ograničenog broja vrijednosti... ... Wikipedia

1) P. m. analitička funkcija f(z) kompleksnih varijabli z=(z1,...,zn), n 1, je skup od P točaka neke domene D kompleksnog prostora C n takav da je: a) f(z) holomorfan posvuda u; b) f(z) se analitički ne nastavlja ni na jednu točku P; c) za ... ... Matematička enciklopedija

opći skup (um) tekstova- sam predmet proučavanja nije sam podjezik, već određeni skup tekstova, koji je načelno beskonačan ili, u svakom slučaju, otvoren. Postavlja se opisno, karakterizacijom izvora tih tekstova. To su oni…… Rječnik s objašnjenjima prijevoda

Razmotrite međusobni položaj grafova inverzne funkcije u Kartezijanski sustav koordinate i dokažite sljedeću tvrdnju.

Lema 1.1. Ako je a, b R , tada su točke M 1 (a, b), M 2 (b, a) ravnine simetrične u odnosu na pravac y = x .

Ako je a = b, tada se točke M1 , M2 podudaraju i leže na pravcu y = x. Pretpostavit ćemo da je a 6= b. Pravac koji prolazi točkama M1 , M2 ima jednadžbu y = −x+a+b pa je okomit na pravac y = x.

Budući da polovište dužine M1 M2 ima koordinate a + 2 b ,a + 2 b ! , onda

leži na pravcu y = x. Dakle, točke M1 , M2

Posljedica. Ako su funkcije f: X −→ Y i ϕ : Y −→ X međusobno inverzne, onda su njihovi grafovi simetrični u odnosu na pravac y = x ako su izgrađeni u istom koordinatnom sustavu.

Neka su f = ((x, f(x)) | x X),ϕ = ((y, ϕ(y)) | y Y ) grafovi funkcija f odnosno ϕ. Jer

(a, b) f (b = f(a), a X) (a = ϕ(b), b Y) (b, a)ϕ ,

tada, na temelju dokazane leme, grafovi f i ϕ su simetrične u odnosu na ravnu liniju y = x.

1.6 Svojstva skupova brojeva

1.6.1 Ograničeni numerički skupovi

Definicija 1.26. Neka X nije prazan set brojeva. Za skup X se kaže da je ograničen odozgo (odozdo) ako postoji broj a takav da je x 6 a (x > a ) za bilo koji element x X . U tom slučaju se broj a naziva gornja (donja) granica skupa X. Skup omeđen odozgo i odozdo naziva se omeđen.

Uz pomoć logičkih simbola, ograničenost odozgo skupa X piše se na sljedeći način:

a R: x 6 a, x X.

Uzimajući u obzir svojstva modula broja, možemo dati sljedeću ekvivalentnu definiciju ograničenog skupa.

Definicija 1.27. Neprazan skup brojeva X naziva se ograničenim ako postoji pozitivan broj M takav da je

Definicija 1.28. Element iz numeričkog skupa X naziva se maksimalni (minimalni) element u X ako je x 6 a (odnosno, x > a ) za bilo koji x iz X , i piše: a = max X (odnosno, a = min X ) .

Na temelju aksioma reda (3.b), lako je pokazati da ako skup X u R ima maksimalni (minimalni) element, tada je jedinstven.

Imajte na umu da ako numerički skup X ima maksimalni (minimalni) element a, tada je on ograničen odozgo (odozdo) i broj a je gornja (donja) granica skupa X. Međutim, nije svaki numerički skup ograničen od iznad (odozdo) ima maksimalni (minimalni) element .

Primjer 1.5. Pokažimo da je skup X = inf (a, b) = a.

Ovi primjeri posebno pokazuju da donja i gornja strana mogu ali ne moraju pripadati samom skupu.

Po samoj svojoj definiciji, gornja i donja granica skupa su jedinstvene. Dapače, ako u nekom skupu postoji najmanji (najveći) element koji pripada čak i proširenoj realnoj liniji, tada je on jedinstven, jer od dva različita elementa skupa, veći od njih ne može biti najmanji element, a manji ne može biti najveći.

Da li skup omeđen odozgo (odozdo) uvijek ima točnu gornju (donju) granicu? Doista, budući da postoji beskonačno mnogo gornjih (donjih) granica, a među beskonačnim skupom brojeva ne postoji uvijek najveći (najmanji), postojanje supremuma (infinum) zahtijeva poseban dokaz.

Teorem 7.3(1)

Svaki neprazan skup omeđen odozgo ima gornju granicu, a svaki neprazan skup omeđen odozdo ima donju granicu.

Dokaz

Neka je neprazan numerički skup A omeđen odozgo, B je skup svih brojeva koji omeđuju odozgo skup A. Ako je tada iz definicije broja koji omeđuje odozgo

skupa, slijedi da je a≤b. Prema tome, po svojstvu neprekidnosti realni brojevi postoji broj β takav da nejednakost a≤β≤b vrijedi za sve. Nejednakost , znači da broj β ograničava skup A odozgo, a nejednakost znači da je broj β najmanji među svim brojevima koji ograničavaju skup A odozgo. Dakle, β= sup A.

Slično se dokazuje da numerički skup omeđen odozdo ima infimum.

Skupovi čiji su elementi točke nazivaju se točkasti skupovi. Dakle, može se govoriti o skupovima točaka na pravcu, na ravnini, u bilo kojem prostoru. Radi jednostavnosti, ograničili smo se na skupove točaka na liniji.

Između realnih brojeva i točaka na pravcu postoji bliska veza: svakom realnom broju može se dodijeliti točka na pravcu i obrnuto. Stoga ćemo, govoreći o točkastim skupovima, uključiti i skupove koji se sastoje od realnih brojeva - skupove na realnom pravcu. Obrnuto, da bismo definirali skup točaka na liniji, obično ćemo dati koordinate svih točaka u našem skupu.

Skupovi točaka (i, posebno, skupovi točaka na pravcu) imaju niz posebna svojstva, koji ih razlikuju od proizvoljnih skupova i izdvajaju teoriju skupova točaka u samostalnu matematičku disciplinu. Prije svega, ima smisla govoriti o udaljenosti između dviju točaka. Nadalje, između točaka na pravcu mogu se uspostaviti odnosi reda (lijevo, desno); u skladu s tim skup točaka na liniji se kaže da je uređen skup. Konačno, kao što je gore navedeno, Cantorov princip vrijedi za ravnu liniju; ovo svojstvo pravca obično se karakterizira kao potpunost pravca.

Uvedimo oznaku za najjednostavnije skupove na pravcu.

Segment je skup točaka čije koordinate zadovoljavaju nejednakosti.

Interval je skup točaka čije koordinate zadovoljavaju uvjete.

Poluintervali i određeni su redom uvjetima: i .

Intervali i poluintervali možda nisu ispravni. Naime, označava cijeli pravac, a npr. označava skup svih točaka za koje .

Počinjemo razmatranjem različitih mogućnosti za smještaj skupa kao cjeline na liniji.

Omeđeni i neomeđeni skupovi

Skup točaka na liniji može se sastojati od točaka čije udaljenosti od ishodišta ne prelaze neke pozitivan broj, ili imaju točke proizvoljno udaljene od ishodišta. U prvom slučaju skup se naziva ograničenim, au drugom - neograničenim. Primjer ograničenog skupa je skup svih točaka segmenta, a primjer neomeđenog skupa je skup svih točaka s cjelobrojnim koordinatama.

Lako je vidjeti da ako je fiksna točka na pravcu, tada će skup biti ograničen ako i samo ako udaljenosti od točke do bilo koje točke ne prelaze neki pozitivan broj.

Skupovi omeđeni odozgo i odozdo

Dopustiti biti skup točaka na liniji. Ako postoji točka na pravcu takva da se bilo koja točka nalazi lijevo od točke , tada kažemo da je skup ograničeno odozgo. Slično, ako postoji točka na liniji takva da se bilo koja točka nalazi desno od točke , tada se skup naziva omeđen odozdo. Dakle, skup svih točaka na pravcu s pozitivnim koordinatama omeđen je odozdo, a skup svih točaka s negativnim koordinatama omeđen je odozgo.

Jasno je da je gornja definicija ograničenog skupa ekvivalentna sljedećem: skup točaka na liniji naziva se ograničenim ako je ograničen odozgo i odozdo. Unatoč tome što su ove dvije definicije vrlo slične jedna drugoj, postoji bitna razlika između njih: prva se temelji na činjenici da je udaljenost između točaka na pravcu definirana, a druga je da te točke; formirati uređen skup.

Također možemo reći da je skup ograničen ako se cijeli nalazi na nekom segmentu.

Gornja i donja granica skupa

Neka je skup omeđen odozgo. Zatim postoje točke na pravcu desno od kojih ne postoji točka skupa. Koristeći Cantorov princip, može se pokazati da među svim točkama s ovim svojstvom postoji ona krajnja lijeva. Ova točka se zove gornja granica skupa. Infimum skupa točaka definira se na sličan način.

Ako u skupu postoji krajnja desna točka, onda će ona, očito, biti gornja granica skupa. Međutim, može se dogoditi da u nizu nema krajnje desne točke. Na primjer, skup točaka s koordinatama

ograničena odozgo i nema krajnje desne točke. U ovom slučaju gornje lice ne pripada skupu , ali postoje točke skupa proizvoljno blizu . U gornjem primjeru.

Lokacija skupa točaka u blizini točke na liniji

Neka je točka postavljena i neka točka na liniji. Razmotrimo razne mogućnosti postavljanja skupa u blizini točke . Mogući su sljedeći slučajevi:

1. Ni točka ni njoj dovoljno bliske točke ne pripadaju skupu .

2. Točka ne pripada , ali ima točaka skupa koliko god joj je blizu.

3. Točka pripada , ali sve točke koje su joj dovoljno blizu ne pripadaju .

4. Točka pripada , a postoje druge točke skupa proizvoljno blizu nje.

U slučaju 1 poziva se točka izvan skupa, u slučaju 3 - izolirana točka skupa , au slučajevima 2 i 4 - granična točka skupa .

Dakle, ako , tada točka može biti ili vanjska ili granična za njega, a ako , tada može biti ili izolirana točka skupa ili njegova granična točka.

Granična točka može i ne mora pripadati skupu i karakterizirana je uvjetom da postoje točke skupa proizvoljno blizu njoj. Drugim riječima, točka je granična točka skupa ako svaki interval koji sadrži točku sadrži beskonačno mnogo točaka skupa. Pojam granične točke jedan je od vrlo važnih pojmova u teoriji skupova točaka.

Ako točka i sve točke koje su joj dovoljno blizu pripadaju skupu , tada se takva točka naziva unutarnja točka skupa. Svaka točka koja nije ni vanjska ni unutarnja naziva se granična točka skupa .

Navedimo neke primjere koji objašnjavaju sve te koncepte.

Primjer 1. Neka se skup sastoji od točaka s koordinatama

Tada je svaka točka ovog skupa njegova izolirana točka, točka 0 je granična točka (ne pripada ovom skupu), a sve ostale točke na pravcu su vanjske u odnosu na .

Primjer 2. Neka se skup sastoji od svih racionalne točke segment . Ovaj skup nema izoliranih točaka, svaka točka segmenta je granična točka, a sve ostale točke na liniji su vanjske u odnosu na . Jasno je da među graničnim točkama skupa postoje i one koje mu pripadaju i one koje mu ne pripadaju.

Primjer 3. Neka se skup sastoji od svih točaka segmenta . Kao iu prethodnom primjeru, skup nema izoliranih točaka, a svaka točka segmenta je njegova granična točka. Međutim, za razliku od prethodnog primjera, sve granične točke pripadaju ovom skupu.

Primjer 4. Neka se skup sastoji od svih točaka s cjelobrojnim koordinatama na pravcu. Svaka točka je svoja izolirana točka; skup nema graničnih točaka.

Napomenimo također da je u primjeru 3 svaka točka intervala unutarnja točka, au primjeru 2 svaka točka segmenta je granična točka.

Iz gornjih primjera se vidi da beskonačan skup točke na pravoj mogu imati izolirane točke, ili ih možda nema; na isti način na koji može imati unutarnje točke a možda ih i nema. Što se tiče graničnih točaka, samo skup primjera 4 nema nijednu graničnu točku. Kao što pokazuje sljedeći važan teorem, to je zbog činjenice da je skup neograničen.

Bolzano-Weierstrassov teorem

Svaki ograničeni beskonačni skup točaka na liniji ima barem jednu graničnu točku.

Dokažimo ovaj teorem. Neka je ograničen beskonačan skup točaka na liniji. Budući da je skup ograničen, on se u cijelosti nalazi na nekom segmentu . Podijelimo ovaj dio na pola. Budući da je skup beskonačan, tada barem jedan od rezultirajućih odsječaka sadrži beskonačno mnogo točaka skupa. Označimo taj segment s (ako postoji beskonačno mnogo točaka skupa u obje polovice segmenta, tada se npr. lijeva može označiti sa). Zatim dijelimo segment na dva jednaka segmenta. Kako je dio skupa koji se nalazi na segmentu beskonačan, tada barem jedan od dobivenih segmenta sadrži beskonačno mnogo točaka skupa. Označimo ovaj segment s. Nastavimo neograničeno proces dijeljenja odsječaka na pola i svaki put ćemo uzeti onu polovicu koja sadrži beskonačno mnogo točaka skupa. Dobit ćemo niz segmenata. Ovaj niz segmenata ima sljedeća svojstva: svaki sljedeći segment sadržan je u prethodnom; svaki segment sadrži beskonačno mnogo točaka skupa; duljine segmenata teže nuli. Prva dva svojstva niza slijede izravno iz njegove konstrukcije, a za dokaz posljednjeg svojstva dovoljno je primijetiti da ako je duljina segmenta , tada je duljina segmenta . Po Cantorovom principu, postoji jedna točka koja pripada svim segmentima. Pokažimo da je ta točka granična točka skupa. Da bismo to učinili, dovoljno je utvrditi da ako postoji neki interval koji sadrži točku , onda on sadrži beskonačno mnogo točaka skupa . Budući da svaki segment sadrži točku i duljine segmenata teže nuli, tada za dovoljno veliki rez bit će u cijelosti sadržan u intervalu . Ali prema uvjetu sadrži beskonačno mnogo točaka skupa. Dakle, sadrži beskonačno mnogo točaka skupa . Dakle, točka je doista granična točka skupa , a Bolzano-Weierstrassov teorem je dokazan.