Formule za brzo množenje. Online kalkulator. Pojednostavljenje polinoma. Množenje polinoma

Matematički izrazi (formule) skraćeno množenje(kvadrat zbroja i razlike, kub zbroja i razlike, razlika kvadrata, zbroj i razlika kubova) iznimno su nezamjenjivi u mnogim područjima egzaktne znanosti. Ovih 7 unosa znakova nezamjenjivi su pri pojednostavljivanju izraza, rješavanju jednadžbi, množenju polinoma, smanjivanju razlomaka, rješavanju integrala i još mnogo toga. Stoga će biti vrlo korisno otkriti kako se do njih dolazi, čemu služe i što je najvažnije kako ih zapamtiti i potom primijeniti. Zatim nanošenje formule skraćenog množenja u praksi će najteže biti vidjeti što jest x a što imaju. Očito nema ograničenja za a i b ne, što znači da može biti bilo koji numerički ili doslovni izraz.

I evo ih:

Prvi x 2 - u 2 = (x - y) (x + y).Izračunati razlika kvadrata dva izraza, potrebno je razlike tih izraza pomnožiti njihovim zbrojevima.

Drugi (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Pronaći zbroj na kvadrat dva izraza, morate kvadratu prvog izraza dodati dva puta umnožak prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.

Treći (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Izračunati razlika na kvadrat dva izraza moraju se oduzeti od kvadrata prvog izraza dvostruki proizvod prvog izraza s drugim plus kvadrat drugog izraza.

Četvrta (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + u 3. Izračunati kocka zbroja dva izraza, morate kocki prvog izraza dodati tri puta umnožak kvadrata prvog izraza i drugog, plus tri puta umnožak prvog izraza i kvadrata drugog, plus kocka drugi izraz.

Peti (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3x 2 - u 3. Izračunati kocka razlike dva izraza, potrebno je od kuba prvog izraza oduzeti tri puta umnožak kvadrata prvog izraza i drugog plus tri puta umnožak prvog izraza i kvadrata drugog minus kub drugog izraz.

šesti x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Izračunati zbroj kubova dva izraza, trebate zbrojeve prvog i drugog izraza pomnožiti s nepotpunim kvadratom razlike tih izraza.

sedmi x 3 - u 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Za izračun kocka razlike dva izraza, potrebno je razliku prvog i drugog izraza pomnožiti s nepotpunim kvadratom zbroja tih izraza.

Nije teško zapamtiti da se sve formule koriste za izračune u suprotnom smjeru (s desna na lijevo).

Postojanje ovih pravilnosti bilo je poznato prije otprilike 4 tisuće godina. Narod ih je široko koristio stari Babilon i Egipta. Ali u tim razdobljima izražavali su se verbalno ili geometrijski i nisu koristili slova u izračunima.

Analizirajmo dokaz kvadrata zbroja(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Ovaj matematička pravilnost dokazao je starogrčki znanstvenik Euklid, koji je djelovao u Aleksandriji u 3. stoljeću prije Krista, za to je koristio geometrijsku metodu dokazivanja formule, budući da znanstvenici nisu koristili slova za označavanje brojeva antička Helada. Posvuda nisu koristili "a 2", već "kvadrat na segmentu a", ne "ab", već "pravokutnik zatvoren između segmenata a i b".

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne informacije u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - sukladno zakonu, sudski poredak, u sudskom postupku, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Formule snage koristi u procesu redukcije i pojednostavljenja složeni izrazi, u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi.

Broj c je n-tu potenciju broja a kada:

Operacije sa stupnjevima.

1. Potencije množenja sa ista baza njihovi rezultati su:

a ma n = a m + n.

2. U podjeli stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi pokazatelji:

3. Stupanj umnoška 2 odn više faktora jednak je umnošku snaga ovih faktora:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupanj razlomka jednak je omjeru stupnjeva djelitelja i djelitelja:

(a/b) n = a n / b n.

5. Dizanjem potencije na potenciju eksponenti se množe:

(am) n = a m n .

Svaka gornja formula točna je u smjeru s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru djelitelja i djelitelja korijena:

3. Kod podizanja korijena na potenciju dovoljno je podići korijenski broj na ovu potenciju:

4. Povećamo li stupanj korijena u n jednom i u isto vrijeme podići na n stepen je korijen broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjimo stupanj korijena u n korijen u isto vrijeme n stupanj od radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stupanj s negativnim eksponentom. Stupanj nekog broja s nepozitivnim (cijelim) eksponentom definiran je kao jedan podijeljen sa stupnjem istog broja s eksponentom jednakim apsolutna vrijednost nepozitivan pokazatelj:

Formula a m:a n = a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i kod m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formuliranje a m:a n = a m - n postao pošten na m=n, potrebna vam je prisutnost nultog stupnja.

Stupanj s nultim eksponentom. Potencija bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula jednaka je jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupanj s razlomačkim eksponentom. Podići pravi broj a do stupnja m/n, morate izvaditi korijen n th stupanj m stepen ovog broja a.

Formule ili pravila reduciranog množenja koriste se u aritmetici, točnije u algebri, za brži proces izračunavanja velikih algebarskih izraza. Same formule su izvedene iz postojećih pravila u algebri za množenje više polinoma.

Korištenje ovih formula pruža prilično brzo rješenje raznih problema matematički problemi, a također pomaže u pojednostavljenju izraza. Pravila algebarske transformacije omogućuju vam da izvršite neke manipulacije s izrazima, nakon čega možete dobiti izraz na lijevoj strani jednakosti, koja je na desnoj strani, ili transformirati desna strana jednako (da dobijemo izraz na lijevoj strani iza znaka jednakosti).

Zgodno je znati formule koje se koriste za skraćeno množenje napamet jer se one često koriste u rješavanju zadataka i jednadžbi. Sljedeće su glavne formule uključene u ovaj popis, i njihovo ime.

kvadrat zbroja

Da biste izračunali kvadrat zbroja, trebate pronaći zbroj koji se sastoji od kvadrata prvog člana, dvostrukog umnoška prvog i drugog člana te kvadrata drugog člana. U obliku izraza ovo se pravilo piše na sljedeći način: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Kvadrat razlike

Da biste izračunali kvadrat razlike, trebate izračunati zbroj koji se sastoji od kvadrata prvog broja, dvostrukog umnoška prvog broja i drugog (preuzeto iz suprotnog predznaka) i kvadrat drugog broja. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Razlika kvadrata

Formula za razliku dvaju brojeva na kvadrat jednaka je umnošku zbroja tih brojeva i njihove razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

kocka zbroja

Da bi se izračunao kub zbroja dva člana, potrebno je izračunati zbroj koji se sastoji od kuba prvog člana, trostrukog umnoška kvadrata prvog člana i drugog, trostrukog umnoška prvog člana i trostrukog umnoška prvog člana i drugi na kvadrat i kocka drugog člana. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Zbroj kocki

Prema formuli, jednak je umnošku zbroja ovih članova i njihovog nepotpunog kvadrata razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Primjer. Potrebno je izračunati volumen figure koja nastaje zbrajanjem dvije kocke. Poznate su samo veličine njihovih strana.

Ako su vrijednosti strana male, tada je lako izvršiti izračune.

Ako su duljine stranica izražene nezgrapnim brojevima, tada je u ovom slučaju lakše primijeniti formulu "Zbroj kocki", što će uvelike pojednostaviti izračune.

kocka razlike

Izraz za kubičnu razliku zvuči ovako: kao zbroj treće potencije prvog člana, utrostručite negativni umnožak kvadrata prvog člana s drugim, utrostručite umnožak prvog člana s kvadratom drugog člana , i negativni kub drugog člana. U obliku matematičkog izraza, kocka razlike izgleda ovako: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Razlika kocki

Formula za razliku kubova razlikuje se od zbroja kubova samo za jedan predznak. Dakle, razlika kocki je formula, jednak umnošku razlika zadanih brojeva njihovim nepotpunim kvadratom zbroja. U obliku matematičkog izraza, razlika kocki izgleda ovako: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Primjer. Potrebno je izračunati volumen figure koja će ostati nakon oduzimanja od volumena plave kocke volumetrijska figura žuta boja, koji je također kocka. Poznata je samo veličina stranice male i velike kocke.

Ako su vrijednosti strana male, tada su izračuni prilično jednostavni. A ako su duljine stranica izražene značajnim brojevima, onda je vrijedno koristiti formulu pod nazivom "Razlika kocki" (ili "Kocka razlike"), što će uvelike pojednostaviti izračune.

Ključne riječi:

kvadrat zbroja, kvadrat razlike, kub zbroja, kocka razlike, razlika kvadrata, zbroj kocki, razlika kubova

kvadrat zbroja dviju veličina jednako je kvadratu prve plus dva puta umnožak prve i druge plus kvadrat druge. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

• Kvadrat razlike dvije količine jednake su kvadratu prve minus dva puta umnožak prve i druge plus kvadrat druge. (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2
• Umnožak zbroja dviju veličina i njihove razlike je razlike njihovih kvadrata. (a+b)(a-b)=a 2 -b 2
• Dodec iznos dvije količine jednako kocki prve veličine plus tri puta kvadrat prve i druge veličine, plus tri puta umnožak prve i kvadrata druge veličine, plus kub druge veličine.

  (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

• Dodec razlika dviju količina jednako je kubu prve minus tri puta umnožak kvadrata prve i druge plus tri puta umnožak prve i kvadrata druge minus kub druge.

  (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

• Umnožak zbroja dviju veličina i nepotpunog kvadrata razlike je zbroj njihovih kubova. (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3
• Umnožak razlike dviju veličina s nepotpunim kvadratom zbroja je razlike njihovih kockica.

  (a - b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 - b 3

Vrlo često redukcija polinoma na standardni prikaz može se izvršiti primjenom skraćenih formula množenja. Sve se one dokazuju izravnim otvaranjem zagrada i smanjivanjem sličnih pojmova. Formule skraćenog množenja potrebno je znati napamet:

Primjer. Dokažimo formulu a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2).

Imamo: (a + b)(a 2 – ab + b 2) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3

Kombinirajući slične pojmove, to vidimo

(a + b)(a 2 – ab + b 2) = a 3 + b 3, što dokazuje traženu formulu.

Slično tome, dokazano je da (a - b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 – b 3

Nije dovoljno samo znati napamet formule za skraćeno množenje. Također moramo naučiti vidjeti u betonu algebarski izraz ovu formulu.

Na primjer:

49m 2 - 42mn + 9n 2 = (7m - 3n) 2

Ili drugi primjer, kompliciraniji:

Ovdje 3x2 može se zamisliti kao ( √ 3x) 2

Također je korisno znati kako podići binom na potenciju veću od 3. Formulu koja vam omogućuje da napišete proširenje algebarskog zbroja dva člana proizvoljnog stupnja prvi je predložio Newton 1664.-1665. naziva Newtonov binom. Koeficijenti formule nazivaju se binomni koeficijenti. Ako je n pozitivan cijeli broj, tada koeficijenti ispadaju za bilo koji k > n, tako da proširenje sadrži samo konačan brojčlanova. U svim ostalim slučajevima, proširenje je beskonačni (binomni) niz. (Uvjete za konvergenciju binomnog niza prvi je uspostavio početkom 19. stoljeća N. Abel.) Takvi posebni slučajevi kao

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 i (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

bili poznati mnogo prije Newtona. Ako je n pozitivan cijeli broj, tada binomni koeficijent za n-kb k u binomnoj formuli postoji niz kombinacija od n do k, označenih s C k n. Za male vrijednosti n, koeficijenti se mogu pronaći iz Pascalovog trokuta:

u kojoj je svaki od brojeva, osim jedinica, jednak zbroju dva susjedna broja u retku iznad. Za dani n, odgovarajući (n-ti) redak Pascalovog trokuta daje, redom, koeficijente binomnog širenja n-ti stupanj, što je lako vidjeti za n = 2 i n = 3.