Graf funkcije y x2 4x 1. Transformacije grafa s modulom

1. Linearna frakcijska funkcija i njezin graf

Funkcija oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi, naziva se frakcijska racionalna funkcija.

S konceptom racionalni brojevi vjerojatno ste već upoznati. Na sličan način racionalne funkcije su funkcije koje se mogu prikazati kao kvocijent dvaju polinoma.

Ako je razlomačka racionalna funkcija kvocijent dva linearne funkcije– polinome prvog stupnja, tj. funkcija pogleda

y = (ax + b) / (cx + d), tada se naziva frakcijski linearni.

Imajte na umu da je u funkciji y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inače funkcija postaje linearna y = ax/d + b/d) i da je a/c ≠ b/d (inače je funkcija je konstanta). Linearno-frakcijska funkcija definirana je za sve realne brojeve, osim za x = -d/c. Grafovi linearno-frakcijskih funkcija ne razlikuju se po obliku od grafa koji poznajete y = 1/x. Krivulja koja je graf funkcije y = 1/x naziva se hiperbola. Neograničenim povećanjem apsolutne vrijednosti x funkcija y = 1/x neograničeno opada u apsolutnoj vrijednosti i obje grane grafa se približavaju apscisnoj osi: desna odozgo, a lijeva odozdo. Pravci kojima se približavaju grane hiperbole nazivaju se njezinim asimptote.

Primjer 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Odluka.

Odaberimo cjelobrojni dio: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Sada je lako vidjeti da je graf ove funkcije dobiven iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 3 jedinična segmenta udesno, rastezanjem duž osi Oy 7 puta i pomakom za 2 jedinična segmenta gore.

Bilo koji razlomak y = (ax + b) / (cx + d) može se napisati na isti način, ističući "cijeli dio". Prema tome, grafovi svih linearno-frakcijskih funkcija su hiperbole, pomaknute na različite načine duž koordinatne osi i protezao se duž osi Oy.

Da bi se nacrtao graf neke proizvoljne linearno-frakcijske funkcije, uopće nije potrebno transformirati razlomak koji definira tu funkciju. Kako znamo da je graf hiperbola, bit će dovoljno pronaći pravce kojima se približavaju njezini ogranci - asimptote hiperbole x = -d/c i y = a/c.

Primjer 2

Odredite asimptote grafa funkcije y = (3x + 5)/(2x + 2).

Odluka.

Funkcija nije definirana, za x = -1. Dakle, linija x = -1 služi kao vertikalna asimptota. Da bismo pronašli horizontalnu asimptotu, saznajmo čemu se približavaju vrijednosti funkcije y(x) kada argument x raste u apsolutnoj vrijednosti.

Da bismo to učinili, podijelimo brojnik i nazivnik razlomka s x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kako je x → ∞, razlomak teži 3/2. Sredstva, horizontalna asimptota je pravac y = 3/2.

Primjer 3

Nacrtajte funkciju y = (2x + 1)/(x + 1).

Odluka.

Odaberemo "cijeli dio" razlomka:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Sada je lako vidjeti da je graf ove funkcije dobiven iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 1 jedinicu ulijevo, simetričnim prikazom u odnosu na Ox i pomakom od 2 jedinična intervala gore duž osi Oy.

Domena definicije D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Sjecišta s osima: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcija raste na svakom od intervala definirane domene.

Odgovor: slika 1.

2. Razlomačko-racionalna funkcija

Razmotrimo razlomačku racionalnu funkciju oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi višeg stupnja od prvog.

Primjeri takvih racionalnih funkcija:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) ili y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ako je funkcija y = P(x) / Q(x) kvocijent dvaju polinoma višeg stupnja od prvog, tada će njezin graf u pravilu biti kompliciraniji i ponekad ga može biti teško točno izgraditi , sa svim detaljima. Međutim, često je dovoljno primijeniti tehnike slične teme koje smo gore već upoznali.

Neka je razlomak pravilan (br< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Očito je da raspored razlomačka racionalna funkcija može se dobiti kao zbroj grafova elementarnih razlomaka.

Crtanje razlomačke racionalne funkcije

Razmotrite nekoliko načina crtanja frakcijsko-racionalne funkcije.

Primjer 4

Nacrtajte funkciju y = 1/x 2 .

Odluka.

Grafikon funkcije y \u003d x 2 koristimo za iscrtavanje grafa y \u003d 1 / x 2 i koristimo metodu "dijeljenja" grafova.

Domena D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (0; +∞).

Nema točaka sjecišta s osi. Funkcija je parna. Raste za sve x iz intervala (-∞; 0), smanjuje se za x od 0 do +∞.

Odgovor: slika 2.

Primjer 5

Nacrtajte funkciju y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Odluka.

Domena D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Ovdje smo koristili tehniku faktoringa, redukcije i redukcije na linearnu funkciju.

Odgovor: slika 3.

Primjer 6

Nacrtajte funkciju y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Odluka.

Područje definicije je D(y) = R. Budući da je funkcija parna, graf je simetričan oko y-osi. Prije iscrtavanja ponovno transformiramo izraz isticanjem cijelog dijela:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Imajte na umu da je odabir cjelobrojnog dijela u formuli frakcijsko-racionalne funkcije jedan od glavnih pri crtanju grafova.

Ako je x → ±∞, onda je y → 1, tj. pravac y = 1 je horizontalna asimptota.

Odgovor: slika 4.

Primjer 7

Promotrite funkciju y = x/(x 2 + 1) i pokušajte točno pronaći njezinu najveću vrijednost, tj. najviše visoka točka desna polovica grafikona. Da bismo precizno izgradili ovaj grafikon, današnje znanje nije dovoljno. Očito je da se naša krivulja ne može "popeti" jako visoko, jer nazivnik brzo počinje “prestizati” brojnik. Pogledajmo može li vrijednost funkcije biti jednaka 1. Da biste to učinili, trebate riješiti jednadžbu x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Ova jednadžba nema pravih korijena. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna. Da pronađe najviše veliki značaj funkciju, morate saznati za koji će najveći A jednadžba A \u003d x / (x 2 + 1) imati rješenje. Zamijenimo izvornu jednadžbu kvadratnom: Ax 2 - x + A = 0. Ova jednadžba ima rješenje kada je 1 - 4A 2 ≥ 0. Odavde nalazimo najveća vrijednost A = 1/2.

Odgovor: Slika 5, max y(x) = ½.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako sastaviti grafove funkcija?
Za pomoć mentora - prijavite se.
Prvi sat je besplatan!

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Birajmo u avionu pravokutni sustav koordinate i na x-osu ćemo iscrtati vrijednosti argumenta x, a na y-osi - vrijednosti funkcije y = f(x).

Grafikon funkcije y = f(x) naziva se skup svih točaka za koje apscise pripadaju domeni funkcije, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije.

Drugim riječima, graf funkcije y \u003d f (x) je skup svih točaka u ravnini, koordinate X, na koji zadovoljavaju relaciju y = f(x).

Na sl. 45 i 46 su grafovi funkcija y = 2x + 1 i y \u003d x 2 - 2x.

Strogo govoreći, treba razlikovati graf funkcije (točan matematička definicija koji je gore dat) i nacrtana krivulja, koja uvijek daje samo koliko-toliko točnu skicu grafa (pa čak i tada, u pravilu, ne cijeli graf, već samo njegov dio koji se nalazi u završnom dijelu ravnine) . Međutim, u nastavku ćemo se obično pozivati na "grafikon" a ne na "skicu grafikona".

Pomoću grafikona možete pronaći vrijednost funkcije u točki. Naime, ako je točka x = a spada u djelokrug funkcije y = f(x), zatim pronaći broj fa)(tj. vrijednosti funkcije u točki x = a) trebao bi to učiniti. Treba kroz točku s apscisom x = a nacrtati ravnu liniju paralelnu s osi y; ova linija će presijecati graf funkcije y = f(x) u jednom trenutku; ordinata ove točke bit će, prema definiciji grafa, jednaka fa)(Slika 47).

Na primjer, za funkciju f(x) = x 2 - 2x pomoću grafa (sl. 46) nalazimo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.

Grafikon funkcije vizualno ilustrira ponašanje i svojstva funkcije. Na primjer, iz razmatranja Sl. 46 jasno je da funkcija y \u003d x 2 - 2x poprima pozitivne vrijednosti kada x< 0 i kod x > 2, negativno - na 0< x < 2; najmanja vrijednost funkcija y \u003d x 2 - 2x prihvaća na x = 1.

Za iscrtavanje funkcije f(x) morate pronaći sve točke ravnine, koordinate x,na koji zadovoljavaju jednadžbu y = f(x). U većini slučajeva to je nemoguće, jer takvih točaka ima beskonačno mnogo. Stoga je graf funkcije prikazan približno - s većom ili manjom točnošću. Najjednostavnija je metoda crtanja u više točaka. Sastoji se u tome što argument x priložiti konačan broj vrijednosti - recimo, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k i napraviti tablicu koja uključuje odabrane vrijednosti funkcije.

Tablica izgleda ovako:

Nakon što smo sastavili takvu tablicu, možemo ocrtati nekoliko točaka na grafu funkcije y = f(x). Zatim, povezujući ove točke glatkom linijom, dobivamo približan prikaz grafa funkcije y = f(x).

Međutim, treba napomenuti da je metoda crtanja u više točaka vrlo nepouzdana. Zapravo, ostaje nepoznato ponašanje grafa između označenih točaka i njegovo ponašanje izvan segmenta između uzetih ekstremnih točaka.

Primjer 1. Za iscrtavanje funkcije y = f(x) netko je sastavio tablicu vrijednosti argumenata i funkcija:

Odgovarajućih pet točaka prikazano je na sl. 48.

Na temelju položaja tih točaka zaključio je da je graf funkcije ravna crta (na slici 48 prikazana točkastom linijom). Može li se ovaj zaključak smatrati pouzdanim? Osim ako ne postoje dodatna razmatranja koja podupiru ovaj zaključak, teško da se može smatrati pouzdanim. pouzdan.

Da bismo potkrijepili našu tvrdnju, razmotrimo funkciju

Izračuni pokazuju da su vrijednosti ove funkcije u točkama -2, -1, 0, 1, 2 upravo opisane gornjom tablicom. Međutim, graf ove funkcije uopće nije ravna linija (prikazano je na slici 49). Drugi primjer je funkcija y = x + l + sinx; njegova su značenja također opisana u gornjoj tablici.

Ovi primjeri pokazuju da je u svom "čistom" obliku metoda crtanja u više točaka nepouzdana. Stoga, za iscrtavanje zadane funkcije, u pravilu, postupite na sljedeći način. Prvo se proučavaju svojstva ove funkcije uz pomoć kojih je moguće konstruirati skicu grafa. Zatim se izračunavanjem vrijednosti funkcije u više točaka (čiji izbor ovisi o postavljenim svojstvima funkcije) pronalaze odgovarajuće točke grafa. I, na kraju, pomoću svojstava ove funkcije crta se krivulja kroz konstruirane točke.

Kasnije ćemo razmotriti neka (najjednostavnija i najčešće korištena) svojstva funkcija koje se koriste za pronalaženje skice grafa, a sada ćemo analizirati neke najčešće korištene metode za crtanje grafova.

Graf funkcije y = |f(x)|.

Često je potrebno iscrtati funkciju y = |f(x)|, gdje f(x) - dana funkcija. Podsjetimo se kako se to radi. Po definiciji apsolutne vrijednosti broja može se pisati

To znači da graf funkcije y=|f(x)| može se dobiti iz grafikona, funkcija y = f(x) kako slijedi: sve točke grafa funkcije y = f(x), čije ordinate nisu negativne, treba ostaviti nepromijenjene; dalje, umjesto točaka grafa funkcije y = f(x), s negativnim koordinatama, treba konstruirati odgovarajuće točke grafa funkcije y = -f(x)(tj. dio grafa funkcije
y = f(x), koji leži ispod osi X, treba simetrično reflektirati u odnosu na os x).

Primjer 2 Nacrtajte funkciju y = |x|.

Uzimamo graf funkcije y = x(Sl. 50, a) i dio ovog grafikona kada x< 0 (leži ispod osi x) simetrično se reflektira oko osi x. Kao rezultat toga dobivamo graf funkcije y = |x|(Slika 50, b).

Primjer 3. Nacrtajte funkciju y = |x 2 - 2x|.

Prvo crtamo funkciju y = x 2 - 2x. Graf ove funkcije je parabola čije su grane usmjerene prema gore, vrh parabole ima koordinate (1; -1), njen graf siječe apscisnu os u točkama 0 i 2. Na intervalu (0; 2 ) funkcija poprima negativne vrijednosti, stoga se ovaj dio grafikona simetrično odražava u odnosu na x-osu. Slika 51 prikazuje graf funkcije y \u003d |x 2 -2x |, na temelju grafa funkcije y = x 2 - 2x

Graf funkcije y = f(x) + g(x)

Razmotrimo problem iscrtavanja funkcije y = f(x) + g(x). ako su zadani grafovi funkcija y = f(x) i y = g(x).

Primijetimo da je domena funkcije y = |f(x) + g(x)| je skup svih onih vrijednosti x za koje su obje funkcije y = f(x) i y = g(x) definirane, tj. ova domena definicije je presjek domena definicije, funkcija f(x ) i g(x).

Neka bodovi (x 0, y 1) i (x 0, y 2) redom pripadaju grafovima funkcija y = f(x) i y = g(x), tj. g 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Tada točka (x0;. y1 + y2) pripada grafu funkcije y = f(x) + g(x)(za f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. i bilo koje točke grafa funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti na ovaj način. Prema tome, graf funkcije y = f(x) + g(x) mogu se dobiti iz grafova funkcija y = f(x). i y = g(x) zamjenom svake točke ( x n, y 1) grafika funkcije y = f(x) točka (x n, y 1 + y 2), gdje y 2 = g(x n), tj. pomicanjem svake točke ( x n, y 1) graf funkcije y = f(x) duž osi na po iznosu y 1 \u003d g (x n). U ovom slučaju uzimaju se u obzir samo takve točke. x n za koje su obje funkcije definirane y = f(x) i y = g(x).

Ova metoda crtanja grafa funkcije y = f(x) + g(x) naziva se zbrajanje grafova funkcija y = f(x) i y = g(x)

Primjer 4. Na slici je metodom zbrajanja grafova konstruiran graf funkcije
y = x + sinx.

Prilikom crtanja funkcije y = x + sinx pretpostavili smo da f(x) = x, a g(x) = sinx. Za izradu grafa funkcije odabiremo točke s apscisama -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Vrijednosti f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx izračunat ćemo na odabranim točkama i rezultate smjestiti u tablicu.

"Prirodni logaritam" - 0,1. prirodni logaritmi. 4. „Logaritamski pikado“. 0,04. 7.121.

"Funkcija snage 9. stupanj" - U. Kubična parabola. Y = x3. Učiteljica 9. razreda Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n gdje je n zadano prirodni broj. X. Eksponent je paran prirodan broj (2n).

"Kvadratna funkcija" - 1 definicija kvadratna funkcija 2 Svojstva funkcija 3 Grafikoni funkcija 4 Kvadratne nejednadžbe 5 Zaključak. Svojstva: Nejednakosti: Pripremio Andrey Gerlitz, učenik 8.A razreda. Plan: Grafikon: -Intervali monotonosti pri a > 0 pri a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Kvadratna funkcija i njezin graf" - Odluka. y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-pripada. Kada je a=1, formula y=ax ima oblik.

"Kvadratna funkcija razreda 8" - 1) Konstruirajte vrh parabole. Crtanje kvadratne funkcije. x. -7. Nacrtajte funkciju. Algebra 8. razred Učiteljica 496 škola Bovina TV -1. Plan izgradnje. 2) Konstruirajte os simetrije x=-1. g.