Graf linearne funkcije y ax b. Linearna funkcija, njezina svojstva i graf

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Po potrebi - sukladno zakonu, sudski poredak, u sudskom postupku, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo prakse privatnosti i sigurnosti te ih strogo provodimo.

Pojam numeričke funkcije. Načini postavljanja funkcije. Svojstva funkcija.

Numerička funkcija- funkcija koja djeluje iz jednog brojevnog prostora (skupa) u drugi brojevni prostor (skup).

Postoje tri glavna načina za definiranje funkcije: analitički, tablični i grafički.

1. Analitički.

Metoda određivanja funkcije pomoću formule naziva se analitička. Ova metoda je glavna u mat. analize, ali u praksi to nije zgodno.

2. Tablični način postavljanja funkcije.

Funkcija se može definirati pomoću tablice koja sadrži vrijednosti argumenata i njihove odgovarajuće vrijednosti funkcije.

3. Grafički način dodjele funkcija.

Funkcija y \u003d f (x) naziva se danom grafički ako je njen graf izgrađen. Ova metoda postavljanja funkcije omogućuje samo približno određivanje vrijednosti funkcije, budući da je konstrukcija grafikona i pronalaženje vrijednosti funkcije na njemu povezana s pogreškama.

Svojstva funkcije koja se moraju uzeti u obzir pri crtanju njenog grafa:

1) Regija definicije funkcija.

Opseg funkcije, odnosno one vrijednosti koje može poprimiti argument x funkcije F =y (x).

2) Intervali rastuće i opadajuće funkcije.

Funkcija se naziva rastuća na razmatranom intervalu, ako većoj vrijednosti argumenta odgovara veća vrijednost funkcije y(x). To znači da ako su dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2 uzeta iz intervala koji se razmatra, i x 1 > x 2, tada je y (x 1) > y (x 2).

Funkcija se naziva opadajuća na promatranom intervalu, ako manja vrijednost funkcije y(x) odgovara većoj vrijednosti argumenta. To znači da ako se iz razmatranog intervala uzmu dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2 i x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funkcijske nule.

Točke u kojima funkcija F \u003d y (x) siječe apscisnu os (dobivaju se rješavanjem jednadžbe y (x) \u003d 0) i nazivaju se nulama funkcije.

4) Parne i neparne funkcije.

Funkcija se naziva parna, ako za sve vrijednosti argumenta iz opsega

y(-x) = y(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na y-osu.

Funkcija se naziva neparna, ako za sve vrijednosti argumenta iz opsega

y(-x) = -y(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Mnoge funkcije nisu ni parne ni neparne.

5) Periodičnost funkcije.

Funkcija se naziva periodična, ako postoji broj P takav da za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije

y(x + P) = y(x).

Linearna funkcija, njegova svojstva i graf.

Linearna funkcija je funkcija forme y = kx + b, definiran na skupu svih realni brojevi.

k – nagib(pravi broj)

b– slobodni termin (realni broj)

x je nezavisna varijabla.

· U konkretnom slučaju, ako je k = 0, dobivamo konstantnu funkciju y = b, čiji je graf ravna linija paralelna s osi Ox koja prolazi točkom s koordinatama (0; b).

· Ako je b = 0, tada dobivamo funkciju y = kx, što je izravna proporcionalnost.

o Geometrijsko značenje b koeficijenta je duljina segmenta koji pravac odsijeca duž osi Oy, računajući od ishodišta.

o Geometrijsko značenje koeficijenta k je kut nagiba pravca prema pozitivnom smjeru osi Ox, smatra se suprotno od kazaljke na satu.

Svojstva linearne funkcije:

1) Područje definiranja linearne funkcije je cijela realna os;

2) Ako je k ≠ 0, tada je raspon linearne funkcije cijela realna os.

Ako je k = 0, tada se raspon linearne funkcije sastoji od broja b;

3) Parnost i neparnost linearne funkcije ovise o vrijednostima koeficijenata k i b.

a) b ≠ 0, k = 0, dakle, y = b je paran;

b) b = 0, k ≠ 0, stoga je y = kx neparan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, stoga je y = kx + b funkcija opći pogled;

d) b = 0, k = 0, stoga je y = 0 i parna i neparna funkcija.

4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;

5) Sječne točke s koordinatnim osima:

Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, dakle (-b / k; 0) je točka presjeka s osi apscise.

Oy: y = 0k + b = b, dakle (0; b) je točka presjeka s y-osi.

Komentar. Ako je b = 0 i k = 0, tada funkcija y = 0 nestaje za bilo koju vrijednost x. Ako je b ≠ 0 i k = 0, tada funkcija y = b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable x.

6) Intervali predznaka ovise o koeficijentu k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b je pozitivan za x iz (-b/k; +∞),

y = kx + b je negativan za x iz (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b je pozitivan za x iz (-∞; -b/k),

y = kx + b je negativan za x iz (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b je pozitivan u cijeloj domeni,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije ovise o koeficijentu k.

k > 0, stoga y = kx + b raste preko cijele domene,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcija y \u003d ax 2 + bx + c, njena svojstva i graf.

Funkcija y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c - konstante, a ≠ 0) se zove kvadratni. U najjednostavnijem slučaju, y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0), graf je zakrivljena linija koja prolazi kroz ishodište. Krivulja koja služi kao graf funkcije y \u003d ax 2 je parabola. Svaka parabola ima os simetrije tzv osi parabole. Točka O sjecišta parabole s njezinom osi naziva se vrh parabole.

Graf se može izgraditi prema sljedećoj shemi: 1) Nađite koordinate vrha parabole x 0 = -b/2a; y 0 \u003d y (x 0). 2) Gradimo još nekoliko točaka koje pripadaju paraboli, pri izgradnji možete koristiti simetrije parabole u odnosu na ravnu liniju x = -b / 2a. 3) Navedene točke povezujemo glatkom linijom. Primjer. Konstruirajte graf funkcije u \u003d x 2 + 2x - 3. Rješenja. Graf funkcije je parabola čije su grane usmjerene prema gore. Apscisa vrha parabole x 0 = 2 / (2 ∙ 1) = -1, njene ordinate y (-1) = (1) 2 + 2 (-1) - 3 = -4. Dakle, vrh parabole je točka (-1; -4). Napravimo tablicu vrijednosti za nekoliko točaka koje se nalaze desno od osi simetrije parabole - ravna linija x \u003d -1.

Svojstva funkcija.

Algebra i počeci analize.
1. Linearna funkcija y = ax + b, njezina svojstva i graf.
2. Kvadratna funkcija y = ax2 + bx + c, njezina svojstva i graf.
3. Funkcija y = k/x, njena svojstva i graf, graf linearna frakcijska funkcija(na konkretnom primjeru).
4. Eksponencijalna funkcija y = ax, njegova svojstva i graf.
5. logaritamska funkcija y = loga x, njegova svojstva i graf.
6. Funkcija y = sin(x), njena svojstva i graf.
7. Funkcija y = cos(x), njena svojstva i graf.
8. Funkcija y = tg(x), njena svojstva i graf.
9. Funkcija y = ctg(x), njena svojstva i graf.
10. Aritmetička progresija, zbroj prvih n članova aritmetička progresija.
11. Geometrijska progresija, zbroj prvih n članova geometrijske progresije. Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije.
12. Rješenje jednadžbe sin(x) = a, nejednadžbe sin(x) > a, sin(x)< a.
13. Rješenje jednadžbe cos(x) = a, nejednadžbe cos(x) > a, cos(x)< a.
14. Rješenje jednadžbe tg(x) = a, nejednadžbe tg(x) > a, tg(x)< a.
15. Redukcijske formule (s izvodom).
16. Formule za sinus i kosinus zbroja i razlike dvaju argumenata (s dokazom).
17. Trigonometrijske funkcije dvostrukog argumenta.
18. Trigonometrijske funkcije pola argumenta.
19. Formule za zbroj i razliku sinusa, kosinusa (s dokazom).
20. Izvođenje formule korijena kvadratna jednadžba, Vietin teorem.
21. Logaritam umnoška, stupnja, kvocijenta.
22. Pojam izvedenice, njen geometrijsko značenje i fizičko značenje.
23. Pravila za izračunavanje derivata.

Funkcija zadan formulom y = kx + b, gdje su k i b neki brojevi, naziva se linearno.
Područje definiranja linearne funkcije je skup R svi realni brojevi, jer izraz kx + b ima smisla za bilo koju vrijednost x.
Graf linearne funkcije y = kx + b je ravna linija. Očito su dvije točke dovoljne za iscrtavanje grafa ako je k 0.
Koeficijent k karakterizira kut koji pravac y = kx tvori s pozitivnim smjerom osi Ox, stoga se k naziva koeficijent nagiba. Ako je k > 0, tada je taj kut šiljasti; ako k< 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
Graf funkcije y = kx + b može se postkodirati paralelnim pomicanjem grafa funkcije y = kx.

Odgovor broj 2. ODA. Kvadratna funkcija je funkcija koja se može odrediti formulom oblika y \u003d ax2 + bx + c, gdje je x nezavisna varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a 0.

raspored kvadratna funkcija je parabola.

Svojstva funkcije y = ax2 (poseban slučaj) za a > 0.

2. Ako je x 0, onda je y > 0. Graf funkcije nalazi se u gornjoj poluravnini.

4. Funkcija pada u intervalu (- ; 0], a raste u intervalu .
5. Najniža vrijednost funkcija prihvaća pri x = 0. Raspon funkcije je (- ; 0].

I, dakle, graf funkcije y = ax2 + bx + c je parabola čiji je vrh točka (m; n), gdje je m = , n= . Os simetrije parabole je pravac x = m, paralelan s osi y. Za a > 0, grane parabole su usmjerene prema gore, za a< 0 - вниз.

Ako je varijabla y obrnuto proporcionalna varijabli x, tada se ta ovisnost izražava formulom, gdje je koeficijent obrnuta proporcionalnost.

Domena funkcije je skup svih brojeva različitih od nule, tj.
Graf obrnute proporcionalnosti y=k/x je krivulja koja se sastoji od dvije grane simetrične oko ishodišta. Takva krivulja naziva se hiperbola. Ako je k>0, tada se grane hiperbole nalaze u I i III koordinatnoj četvrtini; ako k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
Imajte na umu da hiperbola nema dodirnih točaka s koordinatnim osima, već im se samo približava proizvoljno blizu.

br. 4. obrana Funkcija dana formulom y = ax, gdje je a neki pozitivan broj, koji nije jednak jedinici, naziva se eksponencijalni.

1. Funkcija y = ax za a>1

c) funkcija raste;

e) ako je x > 0, onda je ax > 1;
e) ako je x< 0, то 0< ax <1;

2. Funkcija y = ax na 0< а <1
a)
b) skup vrijednosti - skup svih pozitivnih brojeva;
c) funkcija je opadajuća;
d) pri x = 0, vrijednost funkcije je 1;
e) ako je x > 0, onda je 0< ax <1;
e) ako je x< 0, то ax > 1.

№5.Zaštita. Funkcija dana formulom y = loga x naziva se logaritamska funkcija s bazom a.
Svojstva funkcije y = loga x za a>1:
a) D(f) = R+;
b) E(f) = R;
c) funkcija raste;

e) ako je 0 f) ako je x > 1, onda je loga x > 0.
Svojstva funkcije y = loga x na 0 a) D(f) = R+;
b) E(f) = R;
c) funkcija je opadajuća;
d) ako je x = 1, onda je loga x = 0;
e) ako je 0< x < 1, то loga x > 0;
f) ako je x > 1, tada je loga x< 0.

broj 6. ODA. Omjer nogu pravokutni trokut nasuprot šiljastog kuta u odnosu na hipotenuzu naziva se sinus tog kuta (označen grijeh).

domena definicije - skup svih realnih brojeva;
skup vrijednosti - [-1; 1];
neparna funkcija: sin(-x) = -sin(x) za sve;
sin(x) = 0 za x = ;
sin(x) > 0 za sve;
grijeh(x)< 0 для всех;
funkcija se povećava za;
funkcija se smanjuje za.

broj 7.opr. Omjer katete pravokutnog trokuta uz oštar kut prema hipotenuzi naziva se kosinus tog kuta (označeno cos)

domena definicije - skup svih realnih brojeva;
skup vrijednosti - [-1; 1];
parna funkcija: cos(-x) = cos(x) za sve;
funkcija je periodična s najmanjom pozitivno razdoblje;
cos(x) = 0 at;
cos(x) > 0 za sve;
cos(x) > 0 za sve;
funkcija se povećava za;
funkcija se smanjuje za

№8.Opr. Omjer kraka nasuprot oštrom kutu pravokutnog trokuta i kraka koji je susjedan tom kutu naziva se tangenta (označava se tg).

neparna funkcija: tg(-x) = -tg(x) za sve x iz domene definicije;
funkcija je periodična s najmanjim pozitivnim periodom;
tg(x) = 0 pri x = ;
tg(x) > 0 za sve;
tg(x)< 0 для всех;
funkcija se povećava za.

№9.Opr. Omjer kraka nasuprot šiljastom kutu pravokutnog trokuta i kraka nasuprot tom kutu naziva se kotangens (označen ctg)

domena definicije - skup svih realnih brojeva, osim brojeva oblika;
skup vrijednosti je cijeli brojevni pravac;
neparna funkcija: ctg(-x) = -ctg(x) za sve x iz domene;
funkcija je periodična s najmanjim pozitivnim periodom;
ctg(x) = 0 za x = ;
ctg(x) > 0 za sve;
ctg(x)< 0 для всех;
funkcija se smanjuje za.

Odgovor broj 10

Numerički niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu, dodanom istom broju, naziva se aritmetička progresija.
Iz definicije aritmetičke progresije proizlazi da je razlika između bilo kojeg njezinog člana i njegovog prethodnika jednaka istom broju, tj. a2 - a1 = a3 - a2 =… = ak - ak-1 =…. Taj se broj naziva razlika aritmetičke progresije i obično se označava slovom d.
Za postavljanje aritmetičke progresije (an) dovoljno je znati njen prvi član a1 i razliku d.
Ako je razlika aritmetičke progresije pozitivan broj, tada je takva progresija rastuća; ako negativan broj, a zatim se smanjuje. Ako je razlika aritmetičke progresije jednaka nuli, tada su svi njezini članovi jednaki i progresija je konstantan niz.
karakteristično svojstvo aritmetička progresija. Niz (an) je aritmetička progresija ako i samo ako je bilo koji njegov član, počevši od drugog, aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana, tj. (1)
Formula za n-ti član aritmetičke progresije je: an = a1 + d(n-1). (2)
Formula za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije je: (3)
Ako u formulu (3) zamijenimo njegov izraz prema formuli (2) umjesto an, tada dobivamo relaciju
Iz definicije razlike aritmetičke progresije proizlazi da je a1 + an = a2 + an-1 = ..., tj. zbroj članova koji su jednako udaljeni od krajeva progresije konstantna je vrijednost.

Odgovor broj 11

Numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom članu pomnoženom s istim brojem koji nije nula, naziva se geometrijska progresija.
Iz definicije geometrijske progresije proizlazi da je omjer bilo kojeg njezinog člana prema prethodnom jednak istom broju, tj. b2 :b1 = b3 :b2 =… = bn :bn-1 = bn+1 :bn=…. Taj se broj naziva nazivnik geometrijske progresije i obično se označava slovom q .
Da bismo postavili geometrijsku progresiju ( bn), dovoljno je znati njegov prvi član b1 i nazivnik q .
Ako q> 0 (), tada je progresija monoton niz. Neka npr. b1 = -2, q= 3, tada je geometrijska progresija -2, -6, -18,… monotono padajući niz. Ako q= 1, tada su svi članovi progresije jednaki. U ovom slučaju, progresija je stalan niz.
Karakteristično svojstvo geometrijske progresije. Sekvenca ( bn) je geometrijska progresija ako i samo ako je svaki njen član, počevši od drugog, geometrijska sredina njemu susjednih članova, tj. (1)
Formula za n-ti član geometrijske progresije je: (2)
Formula za zbroj n prvih članova geometrijske progresije je: , (3)
Ako u formuli (3) zamijenimo njegov izraz prema formuli (2) umjesto bn, tada ćemo dobiti relaciju. , (četiri)
Iz definicije nazivnika geometrijske progresije slijedi b1 bn = b2 bn-1 = …, tj. umnožak članova jednako udaljenih od krajeva progresije je konstanta.

Zbroj beskonačne geometrijske progresije na

Neka je (xn) geometrijska progresija s nazivnikom q, gdje ja. Zbroj beskonačne geometrijske progresije čiji nazivnik zadovoljava uvjet naziva se limitom zbroja n njegovi prvi članovi na.
Označimo zbroj beskonačne geometrijske progresije sa S. Onda je formula ispravna.

Rješenje trigonometrijskih jednadžbi oblika sin(x) = a

formula za korijene jednadžbe sin(x) = a, gdje, ima oblik:
Posebni slučajevi:
sin(x) = 0, x =
sin(x) = 1, x =
sin(x) = -1, x =
formula za korijene jednadžbe sin2 (x) = a, gdje, ima oblik: x=

Odluka trigonometrijske nejednakosti oblika sin(x) > a, sin(x)< a

Nejednadžbe koje sadrže varijablu samo pod predznakom trigonometrijske funkcije nazivaju se trigonometrijskim.
Pri rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi koristi se svojstvo monotonosti trigonometrijskih funkcija, kao i intervali njihova konstantnog predznaka.
Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi oblika sin(x) > a (sin(x)< а) используют jedinični krug odnosno graf funkcije y = sin(x).
sin(x) = 0 ako je x = ;
sin(x) = -1 ako je x =>;
sin(x) > 0 ako;
grijeh(x)< 0, если.

Odgovor broj 13

Odluka trigonometrijska jednadžba cos(x) = a

Formula za korijene jednadžbe cos(x) = a, gdje, ima oblik: .
Posebni slučajevi:
cos(x) = 1, x = ;
cos(x) = 0, ;
cos(x) = -1, x =
Formula za korijene jednadžbe cos2 (x) = a, gdje, ima oblik: .

Rješenje trigonometrijskih nejednadžbi oblika cos(x) > a, cos(x)< a

Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi oblika cos(x) > a, cos(x)< a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
Važna točka je znanje da:
cos(x) = 0 if;
cos(x) = -1 ako je x = ;
cos(x) = 1 ako je x = ;
cos(x) > 0 ako;
cos(x) > 0 ako.

Rješenje trigonometrijske jednadžbe tg(x) = a

Formula za korijene jednadžbe tg(x) = a je: .
Posebni slučajevi:
tan(x) = 0, x = ;
tan(x) = 1, ;
tan(x) = -1, .
Formula za korijene jednadžbe tg2 (x) = a, gdje, ima oblik:

Rješenje trigonometrijskih nejednadžbi oblika tg(x) > a, tg(x)< a

Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi oblika tg(x) > a, tg(x)< a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
Važno je znati da:
tg(x) > 0 ako;
tg(x)< 0, если;
Tangenta ne postoji ako.

Relacijama se nazivaju redukcijske formule uz pomoć kojih se vrijednosti trigonometrijske funkcije argumenti se izražavaju kroz vrijednosti grijeha, cos , tg i ctg .
Sve formule redukcije mogu se sažeti u sljedećoj tablici:

	Argument

Kako bi se olakšalo pamćenje gornjih formula, potrebno je koristiti sljedeća pravila:
a) pri prelasku s funkcije kuta na funkciju kuta mijenja se naziv funkcije: sinus u kosinus, tangens u kotangens i obrnuto;
kod prelaska s kutnih funkcija na kutne funkcije zadržava se naziv funkcije;
b) razmatrajući šiljasti kut (tj.), ispred funkcije kuta stavljaju predznak kakav ima reducibilna funkcija kutova, .

Sve gore navedene formule mogu se dobiti pomoću sljedećeg pravila:
Bilo koja trigonometrijska funkcija kuta 90°n + by apsolutna vrijednost jednaka je istoj funkciji kuta ako je broj n paran, i dodatna funkcija ako je broj n neparan. Štoviše, ako je funkcija kuta 90°n + . je pozitivan kada oštar kut, tada su predznaci obiju funkcija isti, ako su negativni, onda su različiti.

Formule za kosinus zbroja i razlike dvaju argumenata:
sl.1 sl.2
Zarotirajmo radijus OA, jednak R, u blizini točke O za kut i za kut (slika 1). Dobivamo radijuse OB i OS. Nađimo skalarni produkt vektora i. Neka su koordinate točke B x1 i y1, koordinate točke C x2 i y2. Vektori i imaju iste koordinate. Prema definiciji skalarnog produkta vektora:
= x1 x2 + y1 y2. (1)
Skalarni umnožak izražavamo preko trigonometrijskih funkcija kutova u. Iz definicije kosinusa i sinusa slijedi da
x1 = R cos, y1 = R sin, x2 = R cos, y2 = R sin.
Zamjena vrijednosti x1, x2, y1, y2 u desna strana jednakosti (1), dobivamo:
\u003d R2 coscos + R2 sinsin \u003d R2 (coscos + sinsin).
S druge strane, prema teoremu o točkasti proizvod vektor imamo:
= cos BOC = R2 cos BOC.
Kut VOC između vektora i može biti jednak - (slika 1), - (-) (slika 2) ili se može razlikovati od ovih vrijednosti za cijeli broj okretaja. U bilo kojem od ovih slučajeva, cos BOC = cos (-). stoga
= R2 cos(-).
Jer također je jednako R2 (coscos + sinsin), tada
cos(-) = coscos + sinsin.
Cos(+) = cos(- (-)) = coscos(-) + sinsin(-) = coscos - sinsin.
Sredstva,
cos(+) = coscos - sinsin.
Formule za sinus zbroja i razlike dvaju argumenata:
Sin(+) = cos(/2 - (+)) = cos((/2 -) -) = cos(/2 -) cos+ sin(/2 -) sin= sincos+ cossin.
Sredstva,
sin(+) = sincos + cossin.
Sin(-) = sin(+ (-)) = sincos(-) + cossin(-) = sincos - cossin.
Sredstva,
sin(-) = sincos - cossin.

Formule dvostruki uglovi

Formule zbrajanja omogućuju vam izražavanje sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 kroz trigonometrijske funkcije kuta.
Stavili smo formule
sin(+) = sincos + cossin
cos(+) = coscos - sinsin,
,
.
jednak. Dobijamo identitete:

sin 2= 2 sin cos ;
cos2= cos2 - sin2 = 1 - sin2 = 2 cos2 - 1;
; .

Poluargumentne formule

Izražavanje desne strane cos formule 2= cos2 - sin2 kroz jednu trigonometrijsku funkciju (sinus ili kosinus) dolazimo do relacija
cos 2= 1 - sin2 , cos 2= 2 cos2 - 1.
Ako stavimo = /2 u ove relacije, tada dobivamo:
cos = 1 - 2 sin2 /2, cos 2 = 2 cos2 /2 - 1. (1)
Iz formula (1) proizlazi da
(2), (3).
Dijeleći član po član jednakost (2) s jednakošću (3), dobivamo
(4).
U formulama (2), (3) i (4) predznak ispred radikala ovisi o tome koji koordinatna četvrtina nalazi se kut /2.
Korisno je znati sljedeću formulu:
.

Formule za zbroj i razliku sinusa, kosinusa

Zbroj i razlika sinusa ili kosinusa mogu se prikazati kao produkt trigonometrijskih funkcija. Formule na kojima se temelji takva transformacija mogu se izvesti iz adicijskih formula.
Predstaviti kao proizvod zbroj grijeha+ sin, stavite = x + y i = x - y i upotrijebite formule za sinus zbroja i sinus razlike. Dobivamo:
sin + sin \u003d sin (x + y) + sin (x - y) \u003d sinx udoban + cosx siny + sinx ugodan - cosx siny \u003d 2sinx udoban.
Nakon što smo sada riješili sustav jednadžbi = x + y, = x - y s obzirom na x i y, dobivamo x = , y = .
Posljedično,
sin + sin = 2 sinkosa.
Formule se izvode na sličan način:
sin-sin = 2 cossin;
cos + cos = 2 coscos;
cos + cos = -2 sinsin .

Da bismo pronašli rješenje reducirane kvadratne jednadžbe x2 + str x + q= 0, gdje je dovoljno slobodni član prenijeti na desnu stranu i dodati objema stranama jednakosti. Zatim postaje lijeva strana puni kvadrat, i dobivamo ekvivalentna jednadžba = - q .
Od najjednostavnije jednadžbe x2 = m razlikuje se samo po izgledu: umjesto x i - q- umjesto m. Pronađite =. Otsyuba x = - . Ova formula pokazuje da svaka kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ali ti korijeni mogu biti imaginarni ako< q. Također se može pokazati da su oba korijena kvadratne jednadžbe međusobno jednaka ako je = q. Vraćamo se na uobičajeni oblik.
1. Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe x2 + str x + q= 0 jednak je drugom koeficijentu uzetom iz suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu, tj. x1 + x2 = - R, i x1 x2 = q .
2. Teorem, obrnuti teorem Vieta. Ako R, q, x1, x2 su takvi da je x1 + x2 = - R i x1 x2 = q, tada su x1 i x2 korijeni jednadžbe x2 + str x + q = 0.

ODA. Logaritam broja b na bazu a je eksponent na koji treba podići bazu a da bi se dobio broj b.
Formula (gdje je b > 0, a > 0 i a 1) naziva se osnovni logaritamski identitet.
Svojstva logaritama:

Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritmi faktora:
.
Da bismo to dokazali, koristimo osnovni logaritamski identitet:
x = , y = .
Množimo ove jednakosti član po član, dobivamo:
xy == .
Dakle, po definiciji logaritma (točka 3) je dokazano.
Logaritam kvocijenta jednak je logaritmu dividenda bez logaritma djelitelja:
.
Tijek dokazivanja je sličan dokazu iz točke 3
Logaritam stupnja jednak je proizvodu eksponent po logaritmu njegove baze:
.
U dokazu je također potrebno koristiti osnovni logaritamski identitet.

Derivacija funkcije f (x) u točki x0 je granica omjera prirasta funkcije u točki x0 i prirasta argumenta kada potonji teži nuli. Ovo se može napisati ovako: .
Iz definicije derivacije proizlazi da funkcija može imati derivaciju u točki x0 samo ako je definirana u nekoj okolini točke x0, uključujući tu točku.
Neophodan uvjet postojanje derivacije funkcije u danoj točki je neprekidnost funkcije u toj točki.
Postojanje derivacije funkcije f u točki x0 ekvivalentno je postojanju (neokomite) tangente u točki (x0; f(x0)) grafa, dok tangentni nagib jednak. To je što geometrijsko značenje izvedenice.
mehanički smisao izvod f "(x) funkcije y \u003d f (x) je brzina promjene funkcije u točki x. Stoga, pri rješavanju primijenjenih problema, treba imati na umu da bez obzira koji proces opisuje proučavani funkcije y \u003d f (x), derivacija s fizičkog gledišta može se smatrati brzinom kojom se proces odvija.

Derivacija zbroja jednaka je sumi derivacija ako one postoje:
.
Ako funkcija u i v su diferencijabilne u točki x0to, njihove derivacije su diferencijabilne u ovoj točki, i
.
Ako funkcija u i v su diferencijabilne u točki x0, i IZ je konstanta, tada je funkcija Cu je diferencijabilan u ovoj točki i
.
Ako funkcija u i v diferencijabilne u točki x0 i funkcija v nije jednak nuli u ovoj točki, tada je kvocijent dviju funkcija također diferencijabilan u točki x0u
.

U ovom ćemo članku pogledati linearna funkcija, graf linearne funkcije i njezina svojstva. I, kao i obično, riješit ćemo nekoliko problema na ovu temu.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika

U jednadžbi funkcije, broj s kojim množimo naziva se faktor nagiba.

Na primjer, u jednadžbi funkcije ;

u jednadžbi funkcije ;

u jednadžbi funkcije.

Graf linearne funkcije je pravac.

1 . Za iscrtavanje funkcije, potrebne su nam koordinate dviju točaka koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije x vrijednosti, zamijeniti ih u jednadžbu funkcije i izračunati odgovarajuće y vrijednosti iz njih.

Na primjer, za iscrtavanje funkcije , zgodno je uzeti i , tada će ordinate tih točaka biti jednake i .

Dobivamo točke A(0;2) i B(3;3). Spojimo ih i dobijemo graf funkcije:

2 . U jednadžbi funkcije, koeficijent je odgovoran za nagib grafa funkcije:

Title="k>0">!}

Koeficijent je odgovoran za pomicanje grafa duž osi:

Title="b>0">!}

Na donjoj slici prikazani su grafovi funkcija; ;

Imajte na umu da je u svim ovim funkcijama koeficijent Iznad nule pravo. Štoviše, nego više vrijednosti, što strmije ide ravno.

U svim funkcijama - vidimo da svi grafovi sijeku os OY u točki (0;3)

Sada razmotrite grafove funkcija; ;

Ovaj put u svim funkcijama koeficijent manje od nule, a svi grafikoni funkcija su iskrivljeni nalijevo.

Imajte na umu da što je veći |k|, linija ide strmije. Koeficijent b je isti, b=3, a grafovi kao i u prethodnom slučaju sijeku os OY u točki (0;3)

Razmotrimo grafove funkcija; ;

Sada su u svim jednadžbama funkcija koeficijenti jednaki. I dobili smo tri paralelne crte.

Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafikoni sijeku os OY u različitim točkama:

Graf funkcije (b=3) siječe os OY u točki (0;3)

Graf funkcije (b=0) siječe os OY u točki (0;0) - ishodištu.

Graf funkcije (b=-2) siječe os OY u točki (0;-2)

Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda odmah možemo zamisliti kako izgleda graf funkcije.

Ako k<0 и b>0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako k>0 i b>0, tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako k>0 i b<0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako k<0 и b<0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako k=0, tada se funkcija pretvara u funkciju i njezin graf izgleda ovako:

Ordinate svih točaka grafa funkcije su jednake

Ako b=0, tada graf funkcije prolazi kroz ishodište:

to graf izravne proporcionalnosti.

3 . Zasebno bilježim graf jednadžbe. Graf ove jednadžbe je pravac paralelan s osi čije sve točke imaju apscisu.

Na primjer, grafikon jednadžbe izgleda ovako:

Pažnja! Jednadžba nije funkcija, jer različite vrijednosti argumenta odgovaraju istoj funkcijskoj vrijednosti, koja ne odgovara .

4 . Uvjet paralelnosti dviju linija:

Grafikon funkcije paralelno s grafom funkcije, ako

5. Uvjet okomitosti dviju linija:

Grafikon funkcije okomito na graf funkcije ja za

6. Sjecišta grafa funkcije s koordinatnim osima.

s OY osi. Apscisa bilo koje točke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku sjecišta s osi OY, trebate zamijeniti nulu umjesto x u jednadžbi funkcije. Dobivamo y=b. To jest, točka presjeka s osi OY ima koordinate (0;b).

S osi OX: Ordinata bilo koje točke koja pripada osi OX je nula. Stoga, da biste pronašli točku sjecišta s osi OX, trebate zamijeniti nulu umjesto y u jednadžbi funkcije. Dobivamo 0=kx+b. Odavde. To jest, točka sjecišta s osi OX ima koordinate (; 0):

Razmislite o rješavanju problema.

1 . Izgradite graf funkcije ako je poznato da prolazi kroz točku A (-3; 2) i paralelna je s linijom y \u003d -4x.

Dva su nepoznata parametra u jednadžbi funkcije: k i b. Stoga u tekstu zadatka trebaju postojati dva uvjeta koji karakteriziraju graf funkcije.

a) Iz činjenice da je graf funkcije paralelan s pravcem y=-4x, slijedi k=-4. Odnosno, jednadžba funkcije ima oblik

b) Ostaje nam pronaći b. Poznato je da graf funkcije prolazi točkom A (-3; 2). Ako točka pripada grafu funkcije, tada zamjenom njezinih koordinata u jednadžbu funkcije dobivamo ispravnu jednakost:

dakle b=-10

Dakle, moramo iscrtati funkciju

Točka A(-3;2) nam je poznata, uzmite točku B(0;-10)

Stavimo ove točke u koordinatnu ravninu i spojimo ih ravnom crtom:

2. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke A(1;1); B(2;4).

Ako pravac prolazi kroz točke sa zadanim koordinatama, tada koordinate točaka zadovoljavaju jednadžbu pravca. To jest, ako koordinate točaka zamijenimo u jednadžbu ravne linije, dobit ćemo ispravnu jednakost.

Zamijenite koordinate svake točke u jednadžbi i dobit ćete sustav linearnih jednadžbi.

Od druge jednadžbe sustava oduzmemo prvu jednadžbu i dobijemo . Zamijenite vrijednost k u prvoj jednadžbi sustava i dobijete b=-2.

Dakle, jednadžba ravne linije.

3 . Jednadžba parcele

Da biste saznali pri kojim je vrijednostima nepoznatog umnožak nekoliko faktora jednak nuli, morate svaki faktor izjednačiti s nulom i uzeti u obzir svaki množitelj.

Ova jednadžba nema ograničenja za ODZ. Faktorizirajmo drugu zagradu i izjednačimo svaki faktor s nulom. Dobivamo skup jednadžbi:

Konstruiramo grafove svih jednadžbi skupa u jednoj koordinatnoj ravnini. Ovo je graf jednadžbe :

četiri . Napravite graf funkcije ako je ona okomita na pravac i prolazi točkom M (-1; 2)

Nećemo graditi graf, samo ćemo pronaći jednadžbu ravne linije.

a) Budući da je graf funkcije, ako je okomit na pravac, dakle, odavde. Odnosno, jednadžba funkcije ima oblik

b) Znamo da graf funkcije prolazi točkom M (-1; 2). Zamijenite njegove koordinate u jednadžbu funkcije. Dobivamo:

Odavde.

Stoga naša funkcija izgleda ovako: .

pet . Nacrtajte funkciju

Pojednostavimo izraz s desne strane jednadžbe funkcije.

Važno! Prije pojednostavljenja izraza, pronađimo njegov ODZ.

Nazivnik razlomka ne može biti nula, stoga title="x1">, title="x-1">.!}

Tada naša funkcija postaje:

Title="delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

Odnosno, trebamo izgraditi graf funkcije i na njemu iscrtati dvije točke: s apscisama x=1 i x=-1:

Zadaci o svojstvima i grafovima kvadratne funkcije, kao što pokazuje praksa, uzrokuju ozbiljne poteškoće. To je prilično čudno, jer se kvadratna funkcija polaže u 8. razredu, a onda se cijelo prvo tromjesečje 9. razreda "muči" svojstvima parabole i grade se njeni grafovi za razne parametre.

To je zbog činjenice da prisiljavajući učenike na izgradnju parabola, oni praktički ne posvećuju vrijeme "čitanju" grafikona, odnosno ne vježbaju razumijevanje informacija dobivenih sa slike. Očigledno, pretpostavlja se da će, izgradivši dvadesetak grafikona, pametan učenik sam otkriti i formulirati odnos između koeficijenata u formuli i izgled grafika. U praksi to ne funkcionira. Za takvu generalizaciju, ozbiljno iskustvo matematičko mini istraživanje, koje većina učenika devetih razreda, naravno, nema. U međuvremenu, u GIA-i predlažu određivanje znakova koeficijenata točno prema rasporedu.

Od školaraca nećemo zahtijevati nemoguće i jednostavno ponuditi jedan od algoritama za rješavanje takvih problema.

Dakle, funkcija forme y=ax2+bx+c naziva se kvadratnom, njen graf je parabola. Kao što naziv govori, glavna komponenta je sjekira 2. To je a ne smije biti jednak nuli, preostali koeficijenti ( b i S) može biti jednak nuli.

Pogledajmo kako predznaci njezinih koeficijenata utječu na izgled parabole.

Najjednostavnija ovisnost za koeficijent a. Većina školaraca samouvjereno odgovara: "ako a> 0, tada su grane parabole usmjerene prema gore, a ako a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

NA ovaj slučaj a = 0,5

A sada za a < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

U ovom slučaju a = - 0,5

Utjecaj koeficijenta S također dovoljno lako pratiti. Zamislimo da želimo pronaći vrijednost funkcije u točki x= 0. Zamijenite nulu u formulu:

g = a 0 2 + b 0 + c = c. Ispostavilo se da y = c. To je S je ordinata točke presjeka parabole s osi y. U pravilu, ovu točku je lako pronaći na grafikonu. I odredite nalazi li se iznad nule ili ispod. To je S> 0 ili S < 0.

S > 0:

y=x2+4x+3

S < 0

y = x 2 + 4x - 3

Prema tome, ako S= 0, tada će parabola nužno prolaziti kroz ishodište:

y=x2+4x

Teže s parametrom b. Točka po kojoj ćemo ga pronaći ovisi ne samo o b ali i iz a. Ovo je vrh parabole. Njegova apscisa (koordinata osi x) nalazi se formulom x u \u003d - b / (2a). Na ovaj način, b = - 2ax in. Odnosno, ponašamo se na sljedeći način: na grafikonu nalazimo vrh parabole, određujemo znak njene apscise, odnosno gledamo desno od nule ( x in> 0) ili ulijevo ( x in < 0) она лежит.

Međutim, ovo nije sve. Također moramo obratiti pozornost na predznak koeficijenta a. Odnosno, vidjeti kamo su usmjerene grane parabole. I tek nakon toga, prema formuli b = - 2ax in odrediti znak b.

Razmotrite primjer:

Grane usmjerene prema gore a> 0, parabola siječe os na ispod nule znači S < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Dakle b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, S < 0.