Transpozicija matrice

Transpozicija matrice naziva se zamjena redaka matrice njezinim stupcima uz očuvanje njihovog reda (ili, što je isto, zamjena stupaca matrice njezinim redovima).

Neka je dana početna matrica ALI:

Zatim, prema definiciji, transponirana matrica ALI" izgleda kao:

Skraćeni oblik operacije transponiranja matrice: Transponirana matrica se često označava

Primjer 3. Neka su zadane matrice A i B:

Tada odgovarajuće transponirane matrice imaju oblik:

Lako je uočiti dvije pravilnosti operacije transpozicije matrice.

1. Dvaput transponirana matrica jednaka je izvornoj matrici:

2. Prilikom transponiranja kvadratnih matrica elementi koji se nalaze na glavnoj dijagonali ne mijenjaju svoj položaj, tj. glavna dijagonala kvadratna matrica ne mijenja se transponiranjem.

Množenje matrice

Množenje matrice je specifična operacija koja čini osnovu matrične algebre. Redovi i stupci matrica mogu se promatrati kao vektori reda i vektori stupaca odgovarajućih dimenzija; drugim riječima, bilo koja matrica se može interpretirati kao skup vektora retka ili vektora stupca.

Neka su zadane dvije matrice: ALI- veličina t x P i NA- veličina p x k. Razmotrit ćemo matricu ALI kao skup t vektori reda a) dimenzije P svaki, i matricu U - kao skup do vektori stupaca b Jt koji sadrži P koordinira svaki:

Vektori retka matrice ALI i vektora stupaca matrice NA prikazani su u prikazu ovih matrica (2.7). Dužina retka matrice ALI jednaka visini stupca matrice NA, pa stoga skalarni produkt ovih vektora ima smisla.

Definicija 3. Umnožak matrica ALI i NA naziva se matrica C, čiji elementi su jednaki su skalarnim produktima vektora reda a ( matrice ALI u vektore stupaca bj matrice NA:

Proizvod matrica ALI i NA- matrica C - ima vel t x do, budući da duljina l vektora retka i vektora stupca nestaje kada se zbroje produkti koordinata tih vektora u njihovim točkasti proizvodi, kao što je prikazano u formulama (2.8). Dakle, za izračunavanje elemenata prvog retka matrice C, potrebno je sekvencijalno dobiti skalarne produkte prvog retka matrice ALI na sve stupce matrice NA drugi redak matrice C dobiva se kao skalarni produkt vektora drugog retka matrice ALI na sve vektore stupce matrice NA, i tako dalje. Radi lakšeg pamćenja veličine umnoška matrica, trebate podijeliti umnoške veličine faktora matrice: - , a preostali u odnosu na broj daju veličinu umnoška do

dsnia, t.s. veličina matrice C je t x do.

Operacija množenja matrica ima istaknuta značajka: umnožak matrica ALI i NA ima smisla ako broj stupaca u ALI jednak je broju redaka u NA. Onda ako A i B - pravokutne matrice, zatim proizvod NA i ALI više neće imati smisla, budući da skalarni produkti koji tvore elemente odgovarajuće matrice moraju uključivati ​​vektore s isti broj koordinate.

Ako matrice ALI i NA kvadrat, veličine l x l, ima smisla kao proizvod matrica AB, i produkt matrica VA, a veličina tih matrica jednaka je veličini izvornih faktora. U isto vrijeme, u opći slučaj matričnog množenja, ne poštuje se pravilo permutabilnosti (komutativnosti), tj. AB * BA.

Razmotrimo primjere množenja matrice.

Budući da broj stupaca matrice ALI jednak je broju redaka matrice NA, matrični proizvod AB ima značenje. Koristeći formule (2.8), dobivamo matricu 3x2 u produktu:

Raditi VA ns ima smisla, budući da je broj stupaca matrice NA ne odgovara broju redaka matrice ALI.

Ovdje nalazimo proizvode matrica AB i VA:

Kao što se može vidjeti iz rezultata, matrica produkta ovisi o redoslijedu matrica u produktu. U oba slučaja, produkti matrice imaju istu veličinu kao i izvorni faktori: 2x2.

NA ovaj slučaj matrica NA je vektor stupac, tj. matrica s tri retka i jednim stupcem. Općenito, vektori su posebni slučajevi matrica: red vektora duljine P je matrica s jednim redom i P stupaca i vektora stupca visine P- matrica sa P redaka i jednog stupca. Veličine reduciranih matrica su 2 x 3 odnosno 3 x I, pa je umnožak tih matrica definiran. Imamo

Proizvod daje matricu 2 x 1 ili vektor stupac visine 2.

Uzastopnim množenjem matrica nalazimo:

Svojstva umnoška matrica. Neka A, B i C - matrice odgovarajućih veličina (tako da su definirani produkti matrica), a - pravi broj. Zatim postoje sljedeća svojstva matrični proizvodi:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) C A + B) C = AC + BC
• 3) A (B+ C) = AB + AC;
• 4) a (AB) = (aA)B = A(aB).

Pojam matrice identiteta E uveden je u odredbi 2.1.1. Lako je provjeriti da u matričnoj algebri igra ulogu jedinice, tj. Možemo primijetiti još dva svojstva povezana s množenjem ovom matricom s lijeve i s desne strane:

• 5 )AE=A;
• 6) EA = ALI.

Drugim riječima, umnožak bilo koje matrice po Matrica identiteta, ako ima smisla, ne mijenja izvornu matricu.

NA viša matematika proučava se takav koncept kao što je transponirana matrica. Treba napomenuti da mnogi misle da je to dovoljno teška tema koje je nemoguće savladati. Međutim, nije. Da biste razumjeli kako se točno izvodi tako laka operacija, potrebno je samo malo se upoznati s osnovnim konceptom - matricom. Temu može razumjeti svaki student ako odvoji vremena za proučavanje.

Što je matrica?

Matrice u matematici su prilično česte. Valja napomenuti da se pojavljuju iu informatici. Zahvaljujući njima i uz njihovu pomoć, lako je programirati i stvarati softver.

Što je matrica? Ovo je tablica u kojoj su smješteni elementi. Ona definitivno ima pravokutni pogled. Jednostavno rečeno, matrica je tablica brojeva. Označava se bilo kojim velikim slovom latinična slova. Može biti pravokutna ili kvadratna. Postoje i zasebni redovi i stupci koji se nazivaju vektori. Takve matrice primaju samo jedan red brojeva. Da biste razumjeli koju veličinu ima tablica, morate obratiti pozornost na broj redaka i stupaca. Prvi je označen slovom m, a drugi - n.

Neophodno je razumjeti što je dijagonala matrice. Postoji strana i glavna. Drugi je onaj niz brojeva koji ide s lijeva na desno od prvog do zadnjeg elementa. U ovom slučaju, bočna linija će biti s desna na lijevo.

S matricama možete učiniti gotovo sve najjednostavnije stvari. aritmetičke operacije, odnosno zbrajati, oduzimati, množiti međusobno i posebno brojem. Mogu se i transponirati.

Proces transpozicije

Transponirana matrica je matrica u kojoj su redovi i stupci obrnuti. To se radi što je lakše moguće. Označava se kao A sa superskriptom T (AT). U principu, treba reći da je u višoj matematici ovo jedan od najviše jednostavne operacije preko matrica. Veličina stola je sačuvana. Takva matrica se naziva transponirana.

Svojstva transponiranih matrica

Da bi se proces transpozicije ispravno izvršio, potrebno je razumjeti koja svojstva ove operacije postoje.

• Za svaku transponiranu tablicu mora postojati početna matrica. Njihove determinante moraju biti međusobno jednake.
• Ako postoji skalarna jedinica, tada se prilikom izvođenja ove operacije može izvaditi.
• Kada se matrica transponira dva puta, ona će biti jednaka originalnoj.
• Ako usporedimo dvije naslagane tablice s promijenjenim stupcima i redcima, sa zbrojem elemenata na kojima je ova operacija izvršena, tada će one biti iste.
• Posljednje svojstvo je da ako transponirate tablice međusobno pomnožene, tada vrijednost mora biti jednaka rezultatima dobivenim tijekom množenja transponiranih matrica obrnutim redoslijedom.

Zašto transponirati?

Matrica u matematici je neophodna da bi se pomoću nje riješili određeni problemi. Neki od njih trebaju izračunati obrnuta tablica. Da biste to učinili, morate pronaći odrednicu. Zatim se izračunavaju elementi buduće matrice, zatim se transponiraju. Ostaje pronaći samo izravno inverznu tablicu. Možemo reći da je u ovakvim problemima potrebno pronaći X, a to je prilično lako učiniti pomoću osnovno znanje teorija jednadžbi.

Rezultati

U ovom članku razmatrano je što je transponirana matrica. Ova će tema biti korisna budućim inženjerima koji trebaju znati pravilno izračunati složene konstrukcije. Ponekad matricu nije tako lako riješiti, morate razbiti glavu. No, u tečaju matematike za studente ova se operacija provodi najlakše i bez ikakvog napora.

Kada radite s matricama, ponekad ih morate transponirati, tj. reći jednostavnim rječnikom rečeno, okrenuti. Naravno, možete ručno prebrisati podatke, ali Excel nudi nekoliko načina da to učinite jednostavnijim i bržim. Pogledajmo ih detaljno.

Transpozicija matrice je proces zamjene stupaca i redaka. NA Excel program Dvije su mogućnosti transponiranja: pomoću funkcije TRANSP i pomoću alata Paste Special. Razmotrimo svaku od ovih opcija detaljnije.

Metoda 1: operator TRANSPOSE

Funkcija TRANSP spada u kategoriju operatera "Reference i nizovi". Posebnost je u tome što, kao i druge funkcije koje rade s nizovima, rezultat izdavanja nije sadržaj ćelije, već cijeli niz podataka. Sintaksa funkcije je prilično jednostavna i izgleda ovako:

TRANSPONIRAJ(niz)

To jest, jedini argument ovog operatora je referenca na niz, u našem slučaju, matricu, koju treba pretvoriti.

Pogledajmo kako se ova funkcija može primijeniti na primjeru s realnom matricom.

1. Odaberemo praznu ćeliju na listu, koja je planirana kao gornja lijeva ćelija transformirane matrice. Zatim kliknite na ikonu "Umetni funkciju", koji se nalazi blizu trake formule.



2. Pokretanje Čarobnjaci funkcija. Otvorite kategoriju "Reference i nizovi" ili "Potpuni abecedni popis". Nakon pronalaska imena "TRANSP", odaberite ga i kliknite na gumb u redu.



3. Pokreće se prozor s argumentima funkcije TRANSP. Jedini argument ovog operatora odgovara polju "niz". Morate unijeti koordinate matrice koju želite okrenuti u nju. Da biste to učinili, postavite pokazivač u polje i, držeći lijevu tipku miša, odaberite cijeli raspon matrice na listu. Nakon što se adresa područja prikaže u prozoru s argumentima, kliknite na gumb u redu.



4. Ali, kao što vidite, u ćeliji koja je dizajnirana za prikaz rezultata prikazuje se netočna vrijednost u obliku pogreške "#VRIJEDNOST!". To je zbog osobitosti rada operatora polja. Da bismo ispravili ovu pogrešku, odabiremo raspon ćelija u kojem broj redaka mora biti jednak broju stupaca izvorne matrice, a broj stupaca mora biti jednak broju redaka. Ovo dopisivanje je vrlo važno kako bi rezultat bio ispravno prikazan. U ovom slučaju, ćelija koja sadrži izraz "#VRIJEDNOST!" mora biti gornja lijeva ćelija niza koji se selektira i iz te ćelije treba pokrenuti postupak odabira držeći lijevu tipku miša. Nakon što ste odabrali, postavite pokazivač u traku formule odmah nakon operatorskog izraza TRANSP, koji bi trebao biti prikazan u njemu. Nakon toga, da biste izvršili izračun, morate kliknuti ne na gumb Unesi, kao što je uobičajeno u konvencionalnim formulama, i birajte kombinaciju Ctrl+Shift+Enter.



5. Nakon ovih radnji, matrica je prikazana onako kako trebamo, odnosno u transponiranom obliku. Ali postoji još jedan problem. Poanta je da je sada nova matrica povezani formulom niz koji se ne može mijenjati. Ako pokušate nešto promijeniti u sadržaju matrice, pojavit će se pogreška. Neki korisnici su prilično zadovoljni ovim stanjem stvari, jer neće mijenjati niz, ali drugima je potrebna matrica s kojom mogu u potpunosti raditi.

   Riješiti ovaj problem, odaberite cijeli transponirani raspon. Premješteno na karticu "Dom" kliknite na ikonu "Kopirati", koji se nalazi na vrpci u grupi "Međuspremnik". Umjesto navedene radnje, nakon odabira, možete postaviti standardni tipkovnički prečac za kopiranje ctrl+c.



6. Zatim, bez uklanjanja odabira iz transponiranog raspona, kliknemo na njega desnom tipkom miša. U kontekstnom izborniku u grupi "Opcije lijepljenja" kliknite na ikonu "Vrijednosti", koji ima oblik ikone sa slikom brojeva.

   

   Nakon toga, formula polja TRANSPće se izbrisati, au ćelijama će ostati samo jedna vrijednost s kojom možete raditi na isti način kao i s izvornom matricom.

Metoda 2: Transpozicija matrice s posebnim lijepljenjem

Osim toga, matrica se može transponirati pomoću jedne stavke kontekstnog izbornika pod nazivom "Posebno lijepljenje".

Nakon ovih radnji na listu će ostati samo transformirana matrica.

Na ista dva načina o kojima se gore govorilo, u Excelu možete transponirati ne samo matrice, već i potpune tablice. Postupak će biti gotovo identičan.

Dakle, to smo saznali u programu Excel matrica može se transponirati, to jest, okrenuti zamjenom stupaca i redaka, na dva načina. Prva opcija uključuje korištenje funkcije TRANSP, a drugi je Paste Special Tools. Uglavnom, krajnji rezultat koji se dobiva primjenom obje ove metode nije ništa drugačiji. Obje metode rade u gotovo svakoj situaciji. Dakle, pri odabiru opcije konverzije u prvi plan dolaze osobne preferencije pojedinog korisnika. Odnosno, koja je od ovih metoda prikladnija za vas osobno, koristite je.