Metode pomičnog prosjeka i eksponencijalnog izglađivanja. Metoda eksponencijalnog izglađivanja pokretnog prosjeka u Excelu

Identifikacija i analiza trenda vremenske serije često se vrši uz pomoć njenog poravnanja ili izglađivanja. Eksponencijalno izglađivanje jedna je od najjednostavnijih i najčešćih tehnika poravnanja serije. Eksponencijalno izglađivanje može se prikazati kao filtar, čiji ulaz sekvencijalno primaju članovi izvorne serije, a na izlazu se formiraju trenutne vrijednosti eksponencijalnog prosjeka.

Neka je vremenski niz.

Eksponencijalno izglađivanje serije provodi se prema rekurentna formula: , .

Što je α manji, to je više se filtriraju, oscilacije izvorne serije i šum su potisnuti.

Ako se ova rekurzivna relacija dosljedno koristi, tada se eksponencijalni prosjek može izraziti u smislu vrijednosti vremenske serije X.

Ako do trenutka početka izglađivanja postoje raniji podaci, tada se kao početna vrijednost može koristiti aritmetički prosjek svih ili nekih od dostupnih podataka.

Nakon pojave radova R. Browna, eksponencijalno izglađivanje se često koristi za rješavanje problema kratkoročnog predviđanja vremenskih serija.

Formulacija problema

Neka je dana vremenska serija: .

Potrebno je riješiti problem predviđanja vremenskih serija, tj. pronaći

Horizont predviđanja, potrebno je da

Kako bismo uzeli u obzir zastarjelost podataka, uvodimo nerastući niz težina, zatim

Smeđi model

Pretpostavimo da je D mali (kratkoročna prognoza), a zatim za rješavanje takvog problema upotrijebite smeđi model.

Ako uzmemo u obzir prognozu korak naprijed, onda - pogreška ove prognoze, a nova prognoza se dobiva kao rezultat prilagodbe prethodne prognoze, uzimajući u obzir njezinu pogrešku - bit prilagodbe.

U kratkoročnom predviđanju poželjno je što je brže moguće reflektirati nove promjene i ujedno što je moguće bolje "očistiti" niz od slučajnih fluktuacija. Da. povećati težinu novijih opažanja: .

S druge strane, zagladiti slučajna odstupanja, α se mora smanjiti: .

Da. ova dva zahtjeva su u sukobu. Traženje kompromisne vrijednosti α je problem optimizacije modela. Obično se α uzima iz intervala (0,1/3).

Primjeri

Raditi eksponencijalno izglađivanje s α=0,2 na temelju podataka mjesečnih izvješća o prodaji strane marke automobila u Rusiji za razdoblje od siječnja 2007. do listopada 2008. Zabilježimo oštre padove u siječnju i veljači, kada prodaja tradicionalno opada i raste početkom ljeta .

Problemi

Model radi samo s malim horizontom prognoze. Trendovi i sezonske promjene nisu uzeti u obzir. Kako bi se uzeo u obzir njihov utjecaj, predlaže se korištenje sljedećih modela: Holt (u obzir se uzima linearni trend), Holt-Winters (multiplikativni eksponencijalni trend i sezonalnost), Theil-Wage (aditivni linearni trend i sezonalnost).

Eksponencijalno izglađivanje - metoda izglađivanja vremenskih nizova, čiji računski postupak uključuje obradu svih prethodnih opažanja, uzimajući u obzir zastarjelost informacija kako se odmiču od prognoziranog razdoblja. Drugim riječima, što je promatranje "starije", manje bi trebalo utjecati na vrijednost prediktivne procjene. Ideja iza eksponencijalnog izglađivanja je da kako odgovarajuća opažanja "stare", daju se opadajući ponderi.

Ova metoda predviđanja smatra se vrlo učinkovitom i pouzdanom. Glavne prednosti metode su mogućnost uzimanja u obzir težine popratne informacije, u jednostavnosti računskih operacija, u fleksibilnosti opisivanja različitih dinamičkih procesa. Metoda eksponencijalnog izglađivanja omogućuje dobivanje procjene parametara trenda koji karakteriziraju prosječna razina procesa, ali trend koji prevladava u vrijeme posljednjeg promatranja. Najveću primjenu metoda je našla za provedbu srednjoročnih prognoza. Za metodu eksponencijalnog izglađivanja glavna točka je izbor parametra izglađivanja (konstante izglađivanja) i početni uvjeti.

Jednostavno eksponencijalno izglađivanje vremenske serije koja sadrži trend dovodi do sustavna pogreška povezan s odmakom izglađenih vrijednosti od stvarnih razina vremenske serije. Kako bi se uzeo u obzir trend u nestacionarnim nizovima, koristi se posebno dvoparametarsko linearno eksponencijalno izglađivanje. Za razliku od jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja s jednom konstantom (parametrom) izglađivanja, ovaj postupak izglađuje i slučajne poremećaje i trend istovremeno koristeći dvije različite konstante (parametra). Metoda dvoparametarskog izglađivanja (Holt metoda) uključuje dvije jednadžbe. Prvi služi za izglađivanje promatranih vrijednosti, a drugi za izglađivanje trenda:

gdje ja - 2, 3, 4 - razdoblja izglađivanja; 5, - izglađena vrijednost za razdoblje £; U, - stvarna vrijednost razine za razdoblje 1 5, 1 - izglađena vrijednost za razdoblje b-b- izglađena vrijednost trenda za razdoblje 1 - izravnana vrijednost za razdoblje ja- 1; ALI i B su konstante izglađivanja (brojevi između 0 i 1).

Konstante izglađivanja A i B karakterizira težinski faktor opažanja. Obično L. NA< 0.3. Od (1 - ALI)< 1, (1 - NA)< 1, tada se eksponencijalno smanjuju kako se promatranje udaljava od trenutnog razdoblja ja Stoga se ovaj postupak naziva eksponencijalno izglađivanje.

Jednadžba se dodaje općem postupku kako bi se izgladio trend. Svaka nova procjena trenda dobiva se kao ponderirani zbroj razlike između zadnje dvije izglađene vrijednosti (trenutna procjena trenda) i prethodne izglađene procjene. Ova jednadžba omogućuje značajno smanjenje utjecaja slučajnih poremećaja na trend tijekom vremena.

Predviđanje pomoću eksponencijalnog izglađivanja slično je "naivnom" postupku predviđanja, kada se pretpostavlja da je procjena prognoze za sutra jednaka današnjoj vrijednosti. NA ovaj slučaj kao prognoza za jedno razdoblje unaprijed, uzima se u obzir izglađena vrijednost za tekuće razdoblje plus trenutna izglađena vrijednost trenda:

Ovaj se postupak može koristiti za predviđanje za bilo koji broj razdoblja, na primjer, t razdoblja:

Procedura predviđanja počinje činjenicom da se izglađena vrijednost 51 pretpostavlja da je jednaka prvom opažanju Y, tj. 5, = Y,.

Postoji problem određivanja početne vrijednosti trenda 6]. Postoje dva načina ocjenjivanja bx.

Metoda 1. Stavimo bx = 0. Ovaj pristup dobro funkcionira u slučaju dugog početnog vremenskog niza. Tada će se izglađeni trend za mali broj razdoblja približiti stvarnoj vrijednosti trenda.

Metoda 2. Može dobiti više točna procjena 6 koristeći prvih pet (ili više) opažanja vremenske serije. Na temelju njih, gyu metoda najmanjih kvadrata jednadžba je riješena Y(= a + b x g. Vrijednost b uzima se kao početna vrijednost trenda.

Ekstrapolacija je metoda znanstveno istraživanje, koji se temelji na distribuciji prošlih i sadašnjih trendova, obrazaca, odnosa prema budućem razvoju objekta predviđanja. Metode ekstrapolacije uključuju metoda pokretnog prosjeka, metoda eksponencijalnog izglađivanja, metoda najmanjih kvadrata.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja najučinkovitiji u izradi srednjoročnih prognoza. Prihvatljivo je kada se predviđa samo jedno razdoblje unaprijed. Njegove glavne prednosti su jednostavnost postupka izračuna i mogućnost uzimanja u obzir težine početnih informacija. Radna formula metode eksponencijalnog izglađivanja je:

Postoje dva problema s predviđanjem pomoću ove metode:

izbor vrijednosti parametra izglađivanja α;
određivanje početne vrijednosti Uo.

Vrijednost α ovisi koliko brzo se smanjuje težina utjecaja prethodnih opažanja. Što je veći α, manji je utjecaj prethodnih godina. Ako je vrijednost α blizu jedinice, to dovodi do uzimanja u obzir u prognozi uglavnom utjecaja samo najnovijih opažanja. Ako je vrijednost α blizu nule, tada se ponderi kojima se ponderiraju razine vremenske serije polako smanjuju, tj. prognoza uzima u obzir sva (ili gotovo sva) prethodna opažanja.

Dakle, ako postoji povjerenje da su početni uvjeti na temelju kojih se razvija prognoza pouzdani, treba koristiti malu vrijednost parametra izglađivanja (α→0). Kada je parametar izglađivanja mali, tada se proučavana funkcija ponaša kao prosjek veliki broj prošle razine. Ako nema dovoljno povjerenja u početne uvjete prognoze, tada treba koristiti veliku vrijednost α, što će dovesti do uzimanja u obzir u prognozi uglavnom utjecaja nedavnih opažanja.

precizna metoda ne postoji parametar izglađivanja α za odabir optimalne vrijednosti parametra izglađivanja. NA pojedinačni slučajevi autor ove metode, profesor Brown, predložio je određivanje vrijednosti α na temelju duljine intervala izravnavanja. U ovom slučaju α se izračunava po formuli:

gdje je n broj opažanja uključenih u interval izglađivanja.

Uo problem odabira (eksponencijalno ponderirani početni prosjek) rješava se na sljedeće načine:

ako postoje podaci o razvoju fenomena u prošlosti, tada možete koristiti aritmetičku sredinu i izjednačiti Uo s njom;
ako takve informacije nema, tada se kao Uo koristi početna prva vrijednost baze prognoze Y1.

Također možete koristiti mišljenja stručnjaka.

Imajte na umu da pri proučavanju ekonomskih vremenskih serija i predviđanja ekonomski procesi Metoda eksponencijalnog izglađivanja ne funkcionira uvijek. To je zbog činjenice da su ekonomske vremenske serije prekratke (15-20 promatranja), au slučaju kada su rast i stope rasta visoke, ovu metodu nema "vremena" odraziti sve promjene.

Primjer primjene metode eksponencijalnog izglađivanja za izradu prognoze

Zadatak . Postoje podaci koji karakteriziraju razinu nezaposlenosti u regiji, %

Izradite prognozu stope nezaposlenosti u regiji za mjesece studeni, prosinac, siječanj koristeći metode: pokretni prosjek, eksponencijalno izglađivanje, najmanji kvadrati.
Izračunajte pogreške u rezultirajućim prognozama koristeći svaku metodu.
Usporedite dobivene rezultate, izvedite zaključke.

Rješenje eksponencijalnog izglađivanja

1) Odredite vrijednost parametra izglađivanja formulom:

gdje je n broj opažanja uključenih u interval izglađivanja. α = 2/ (10+1) = 0,2

2) Definiramo početna vrijednost Uo na dva načina:
Metoda I (aritmetička sredina) Uo = (2,99 + 2,66 + 2,63 + 2,56 + 2,40 + 2,22 + 1,97 + 1,72 + 1,56 + 1,42)/ 10 = 22,13/10 = 2,21
Metoda II (uzimamo prvu vrijednost baze prognoze) Uo = 2,99

3) Izračunajte eksponencijalno ponderirani prosjek za svako razdoblje pomoću formule

gdje je t razdoblje koje prethodi prognoziranom razdoblju; t+1 – razdoblje prognoze; Ut+1 - predviđeni pokazatelj; α - parametar izglađivanja; Ut je stvarna vrijednost proučavanog pokazatelja za razdoblje koje je prethodilo prognozi; Ut - eksponencijalno ponderirani prosjek za razdoblje koje prethodi prognoziranom razdoblju.

Na primjer:
Ufeb \u003d 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,21 \u003d 2,37 (I metoda)
Umart \u003d 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,37 \u003d 2,43 (I metoda), itd.

Ufeb \u003d 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 \u003d 2,99 (II metoda)
Umart \u003d 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 \u003d 2,92 (II metoda)
Uapr \u003d 2,63 * 0,2 + (1-0,2) * 2,92 \u003d 2,86 (II metoda), itd.

4) Koristeći istu formulu, izračunavamo predviđenu vrijednost
Novembar \u003d 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,08 \u003d 1,95 (I metoda)
Novembar \u003d 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,18 \u003d 2,03 (II metoda)
Rezultate stavljamo u tablicu.

5) Izračunajte prosječnu relativnu pogrešku pomoću formule:

ε = 209,58/10 = 20,96% (metoda I)
ε = 255,63/10 = 25,56% (metoda II)

U svakom slučaju točnost prognoze je zadovoljavajuća jer prosječna relativna pogreška pada u rasponu od 20-50%.

Odlučujući ovaj zadatak metode pomični prosjek i najmanjih kvadrata Izvucimo zaključke.

dr. ekonomije, direktor za znanost i razvoj CJSC "KIS"

Metoda eksponencijalnog izglađivanja

Razvoj novih i analiza dobro poznatih tehnologija upravljanja koje poboljšavaju učinkovitost upravljanja poslovanjem postaje posebno relevantan za ruska poduzeća u ovom trenutku. Jedan od najpopularnijih alata je sustav proračuna, koji se temelji na formiranju proračuna poduzeća s naknadnom kontrolom izvršenja. Proračun je uravnoteženi kratkoročni komercijalni, proizvodni, financijski i ekonomski plan razvoja organizacije. Proračun poduzeća sadrži ciljeve koji se izračunavaju na temelju podataka predviđanja. Najznačajnija proračunska prognoza za bilo koji posao je predviđanje prodaje. U prethodnim člancima provedena je analiza aditivnih i multiplikativnih modela te je izračunat prognozirani obujam prodaje za naredna razdoblja.

Pri analizi vremenskih serija korištena je metoda pomičnog prosjeka u kojoj su svi podaci, bez obzira na razdoblje nastanka, jednaki. Postoji još jedan način na koji se težina dodjeljuje podacima, novijim podacima daje se veća težina nego ranijim podacima.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja, za razliku od metode pomičnog prosjeka, može se koristiti i za kratkoročne prognoze budućeg trenda za jedno razdoblje unaprijed i automatski korigira svaku prognozu u svjetlu razlika između stvarnog i predviđenog rezultata. Zbog toga metoda ima jasnu prednost u odnosu na prethodno razmatranu.

Naziv metode dolazi od činjenice da proizvodi eksponencijalno ponderirane pomične prosjeke tijekom cijele vremenske serije. Kod eksponencijalnog izglađivanja uzimaju se u obzir sva prethodna opažanja - prethodno se uzima u obzir s maksimalnom težinom, prethodno - s nešto manjom, najranije opažanje utječe na rezultat s minimalnom statističkom težinom.

Algoritam za izračunavanje eksponencijalno izglađenih vrijednosti u bilo kojoj točki serije i temelji se na tri veličine:

stvarna vrijednost Ai u danoj točki u retku i,
predviđanje u točki niza Fi
neki unaprijed određeni koeficijent izglađivanja W, konstantan kroz niz.

Nova prognoza može se napisati kao:

Izračun eksponencijalno izglađenih vrijednosti

Na praktičnu upotrebu metodom eksponencijalnog izglađivanja, postoje dva problema: izbor faktora izglađivanja (W), koji uvelike utječe na rezultate i definicija početno stanje(Fi). S jedne strane, kako bi se izgladila slučajna odstupanja, vrijednost se mora smanjiti. S druge strane, da biste povećali težinu novih mjerenja, morate povećati.

Iako, u principu, W može poprimiti bilo koju vrijednost iz raspona 0< W < 1, обычно ограничиваются интервалом от 0,2 до 0,5. При visoke vrijednosti koeficijent izglađivanja u većoj mjeri uzima u obzir trenutna trenutna opažanja odgovora (za poduzeća koja se dinamički razvijaju) i, obrnuto, pri niskim vrijednostima, izglađena vrijednost je u većoj mjeri određena prošlim trendom razvoja nego Trenutna država odgovor sustava (u uvjetima stabilnog razvoja tržišta).

Izbor faktora konstante izglađivanja je subjektivan. Analitičari većine tvrtki koriste vlastite tradicionalna značenja W. Dakle, prema objavljenim podacima u analitičkom odjelu Kodaka, tradicionalno se koristi vrijednost 0,38, a kod Ford Motorsa 0,28 ili 0,3.

Ručno izračunavanje eksponencijalnog izglađivanja zahtijeva izuzetno veliku količinu monotonog rada. Na primjer, izračunajmo predviđenu količinu za 13. tromjesečje, ako postoje podaci o prodaji za posljednjih 12 kvartala, koristeći jednostavnu metodu eksponencijalnog izglađivanja.

Pretpostavimo da je za prvi kvartal predviđanje prodaje bilo 3. I neka je faktor izglađivanja W = 0,8.

Ispunite treći stupac u tablici, zamjenjujući za svako sljedeće tromjesečje vrijednost prethodnog prema formuli:

Za 2 četvrtine F2 = 0,8 * 4 (1-0,8) * 3 = 3,8
Za 3. kvartal F3 =0,8*6 (1-0,8)*3,8 =5,6

Slično se izračunava izglađena vrijednost za koeficijent 0,5 i 0,33.

Izračun predviđanja prodaje

Predviđanje obujma prodaje na W = 0,8 za 13. kvartal iznosilo je 13,3 tisuća rubalja.

Ovi podaci se mogu prikazati u grafičkom obliku:

Eksponencijalno izglađivanje

Koliko Prognoza ODMAH! bolji modeli Eksponencijalno izglađivanje (ES) možete vidjeti u grafikonu ispod. Na osi X - broj artikla, na osi Y - postotak poboljšanja kvalitete prognoze. Opis modela, detaljnu studiju, rezultate eksperimenata pročitajte u nastavku.

Opis modela

Predviđanje eksponencijalnog izglađivanja jedno je od naj jednostavnih načina prognoziranje. Prognozu je moguće dobiti samo za jedno razdoblje unaprijed. Ako se predviđanje provodi u danima, onda samo jedan dan unaprijed, ako tjednima, onda jedan tjedan.

Za usporedbu, predviđanje je provedeno tjedan dana unaprijed za 8 tjedana.

Što je eksponencijalno izglađivanje?

Neka red IZ predstavlja izvornu seriju prodaje za predviđanje

C(1)- prodaja prvog tjedna IZ(2) u drugom i tako dalje.

Slika 1. Prodaja po tjednu, red IZ

Isto tako, red S predstavlja eksponencijalno izglađeni niz prodaja. Koeficijent α je od nula do jedan. Ispada kako slijedi, ovdje je t točka u vremenu (dan, tjedan)

S (t+1) = S(t) + α *(S(t) - S(t))

Velike vrijednosti konstante izglađivanja α ubrzavaju odgovor prognoze na skok u promatranom procesu, ali mogu dovesti do nepredvidivih outliera, jer će izglađivanje gotovo izostati.

Prvi put nakon početka promatranja, imajući samo jedan rezultat promatranja C (1) kada je prognoza S (1) ne, i dalje je nemoguće koristiti formulu (1), kao prognozu S (2) treba uzeti C (1) .

Formula se lako može prepisati u drugom obliku:

S (t+1) = (1 -α )* S (t) +α * IZ (t).

Dakle, s povećanjem konstante izglađivanja raste udio nedavne prodaje, a smanjuje udio izglađene prethodne prodaje.

Konstanta α bira se empirijski. Obično se radi nekoliko prognoza za različite konstante i odabire se najoptimalnija konstanta u odnosu na odabrani kriterij.

Kriterij može biti točnost predviđanja za prethodna razdoblja.

U našem istraživanju razmatrali smo modele eksponencijalnog izglađivanja u kojima α ima vrijednosti (0,2, 0,4, 0,6, 0,8). Za usporedbu s Prognozom ODMAH! za svaki proizvod napravljene su prognoze za svaki α i odabrana je najtočnija prognoza. U stvarnosti bi situacija bila mnogo kompliciranija, korisnik, ne znajući unaprijed točnost prognoze, treba se odlučiti za koeficijent α, o kojem uvelike ovisi kvaliteta prognoze. Evo takvog začaranog kruga.

jasno

Slika 2. α =0,2, stupanj eksponencijalnog izglađivanja je visok, stvarna prodaja se slabo uzima u obzir

Slika 3. α =0,4 , stupanj eksponencijalnog izglađivanja je prosječan, stvarna prodaja je uzeta u obzir u prosječnom stupnju

Možete vidjeti kako kako konstanta α raste, izglađeni niz sve više i više odgovara stvarnoj prodaji, a ako postoje odstupanja ili anomalije, dobit ćemo vrlo netočnu prognozu.

Slika 4. α =0,6, stupanj eksponencijalnog izglađivanja je nizak, stvarna prodaja se značajno uzima u obzir

Vidimo da pri α=0,8 serija gotovo točno ponavlja originalnu, što znači da prognoza teži pravilu “prodat će se ista količina kao jučer”

Treba napomenuti da je ovdje apsolutno nemoguće usredotočiti se na pogrešku aproksimacije izvornih podataka. Možete postići savršeno podudaranje, ali dobiti neprihvatljivo predviđanje.

Slika 5. α = 0,8, stupanj eksponencijalnog izglađivanja je izuzetno nizak, stvarna prodaja se snažno uzima u obzir

Primjeri predviđanja

Sada pogledajmo predviđanja koja su napravljena korištenjem različita značenja a. Kao što se može vidjeti na slikama 6 i 7, što je veći koeficijent izglađivanja, to točnije ponavlja stvarnu prodaju s odgodom od jednog koraka, prognozu. Takvo kašnjenje zapravo može biti kritično, tako da ne možete samo birati maksimalna vrijednost a. Inače ćemo doći u situaciju da kažemo da će se prodati točno onoliko koliko je prodano u prethodnom razdoblju.

Slika 6. Predviđanje metode eksponencijalnog izglađivanja za α=0,2

Slika 7. Predviđanje metode eksponencijalnog izglađivanja za α=0,6

Pogledajmo što se događa kada je α = 1,0. Podsjetimo se da je S - predviđena (izglađena) prodaja, C - stvarna prodaja.

S (t+1) = (1 -α )* S (t) +α * IZ (t).

S (t+1) = IZ (t).

Predviđa se da će prodaja na dan t+1 biti jednaka prodaji prethodnog dana. Stoga se izboru konstante mora pristupiti mudro.

Usporedba s prognozom ODMAH!

Sada razmotrite ovu metodu predviđanja u usporedbi s Forecast NOW!. Usporedba je provedena na 256 proizvoda koji imaju različitu prodaju, s kratkoročnom i dugotrajnom sezonalnošću, s “lošom” prodajom i manjkovima, zalihama i drugim outlierima. Za svaki proizvod napravljena je prognoza korištenjem modela eksponencijalnog izglađivanja, za različite α odabrana je najbolja i uspoređena s prognozom pomoću opcije Prognoza SADA!

U tablici ispod možete vidjeti vrijednost pogreške predviđanja za svaku stavku. Ovdje se greška smatra RMSE. Ovo je korijen standardna devijacija predviđanje iz stvarnosti. Grubo rečeno, pokazuje za koliko smo jedinica robe odstupili u prognozi. Poboljšanje pokazuje za koliko posto je Prognoza SADA! bolje je ako je broj pozitivan, a lošije ako je negativan. Na slici 8, x-os prikazuje robu, y-os pokazuje koliko je Prognoza SADA! bolje od predviđanja eksponencijalnog izglađivanja. Kao što možete vidjeti na ovom grafikonu, Prognozirajte ODMAH! gotovo uvijek dvostruko veći i gotovo nikada lošiji. U praksi to znači da korištenje Forecast NOW! omogućit će prepolovljenje zaliha ili smanjenje nestašica.