Za rješavanje mnogih praktičnih problema potrebno je poznavati niz uvjeta zbog kojih nastaje rezultat kumulativnog utjecaja veliki broj slučajni faktori gotovo ne ovise o slučaju. Ovi uvjeti opisani su u nekoliko teorema koji nose uobičajeno ime zakon velike brojke, gdje je slučajna varijabla k jednaka 1 ili 0, ovisno o tome je li rezultat k-tog testa uspjeh ili neuspjeh. Dakle, Sn je zbroj n međusobno neovisnih slučajne varijable, od kojih svaka poprima vrijednosti 1 i 0 s vjerojatnostima p i q.

Najjednostavniji oblik zakona velikih brojeva je Bernoullijev teorem, koji kaže da ako je vjerojatnost događaja ista u svim pokusima, tada kako se broj pokusa povećava, učestalost događaja teži vjerojatnosti događaja i prestaje biti slučajan.

Poissonov teorem navodi da učestalost događaja u nizu nezavisni testovi teži aritmetičkoj sredini svojih vjerojatnosti i prestaje biti slučajan.

Granični teoremi teorije vjerojatnosti, Moivre-Laplaceovi teoremi objašnjavaju prirodu stabilnosti učestalosti pojavljivanja događaja. Ta se priroda sastoji u tome da je granična raspodjela broja pojavljivanja događaja s neograničenim povećanjem broja pokušaja (ako je vjerojatnost događaja u svim pokušajima ista) normalna raspodjela.

Središnji granični teorem objašnjava široku upotrebu zakon normalne distribucije. Teorem kaže da kad god se slučajna varijabla formira kao rezultat zbrajanja veliki broj neovisne slučajne varijable s konačnim varijancama, zakon distribucije ove slučajne varijable ispada praktički normalan zakon.

Ljapunovljev teorem objašnjava široku rasprostranjenost zakona normalne raspodjele i objašnjava mehanizam njegova nastanka. Teorem nam omogućuje da tvrdimo da kad god se slučajna varijabla formira kao rezultat dodavanja velikog broja neovisnih slučajnih varijabli, čije su varijance male u usporedbi s varijancom zbroja, zakon distribucije ove slučajne varijable ispada biti praktički normalan zakon. A budući da slučajne varijable uvijek generira beskonačan broj uzroka, a najčešće nijedan od njih nema varijancu usporedivu s varijancom same slučajne varijable, većina slučajnih varijabli s kojima se susrećemo u praksi podliježe normalnom zakonu distribucije.

Kvalitativne i kvantitativne izjave zakona velikih brojeva temelje se na Čebiševljeva nejednakost. Definira gornju granicu vjerojatnosti da je odstupanje vrijednosti slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja veće od nekog zadanog broja. Zanimljivo je da Chebyshevljeva nejednakost daje procjenu vjerojatnosti događaja za slučajnu varijablu čija je distribucija nepoznata, poznata je samo njezina distribucija. očekivana vrijednost i disperzija.

Čebiševljeva nejednakost. Ako slučajna varijabla x ima varijancu, tada za bilo koji x > 0 vrijedi sljedeća nejednakost, gdje M x i D x - matematičko očekivanje i varijanca slučajne varijable x .

Bernoullijev teorem. Neka je x n broj uspjeha u n Bernoullijevih pokusa, a p vjerojatnost uspjeha u jednom pokusu. Tada za svaki s > 0 vrijedi.

Ljapunovljev teorem. Neka je s 1 , s 2 , …, s n , … neograničen niz neovisnih slučajnih varijabli s matematičkim očekivanjima m 1 , m 2 , …, m n , … i varijancama s 1 2 , s 2 2 , …, s n 2 … . Označimo.

Tada je = F(b) - F(a) za bilo koji realni brojevi a i b , gdje je F(x) funkcija distribucije normalnog zakona.

Neka je dana diskretna slučajna varijabla. Promotrimo ovisnost broja uspjeha Sn o broju pokušaja n. Sa svakim pokušajem, Sn se povećava za 1 ili 0. Ova se izjava može napisati kao:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Zakon velikih brojeva. Neka je ( k ) niz međusobno neovisnih slučajnih varijabli s identičnim distribucijama. Ako matematičko očekivanje = M(k) postoji, tada je za bilo koje > 0 za n

Drugim riječima, vjerojatnost da se srednja vrijednost S n /n razlikuje od matematičkog očekivanja manje od proizvoljno zadane jedinice teži jedinici.

Centralni granični teorem. Neka je ( k ) niz međusobno neovisnih slučajnih varijabli s identičnim distribucijama. Pretpostavimo da i postojimo. Neka je Sn = 1 +…+ n , Tada za bilo koji fiksni

F () - F () (1.3)

Ovdje F(x) -- normalna funkcija distribucija. Ovaj teorem je formulirao i dokazao Linlberg. Ljapunov i drugi autori su to dokazali ranije, pod restriktivnijim uvjetima. Mora se zamisliti da je gore formulirani teorem samo vrlo poseban slučaj mnogo više opći teorem, što je pak usko povezano s mnogim drugim graničnim teoremima. Primijetite da je (1.3) mnogo jači od (1.2), budući da (1.3) daje procjenu za vjerojatnost da je razlika veća od. S druge strane, zakon velikih brojeva (1.2) vrijedi čak i ako slučajne varijable k nemaju konačnu varijancu, pa se primjenjuje na više opći slučaj nego središnji granični teorem (1.3). Posljednja dva teorema ilustrirat ćemo primjerima.

Primjeri. a) Razmotrimo niz nezavisnih bacanja simetrične kocke. Neka je k broj bodova bačenih u k-tom bacanju. Zatim

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3,5) 2 =35/12 i S n /n

je prosječni broj bodova koji proizlazi iz n bacanja.

Zakon velikih brojeva kaže da je vjerojatno da će za veliki n taj prosjek biti blizu 3,5. Središnji granični teorem utvrđuje vjerojatnost da je |Sn -- 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Uzorak. Pretpostavimo da u populacija,

sastoji se od N obitelji, Nk obitelji ima točno k djece

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Ako je obitelj odabrana slučajno, tada je broj djece u njoj slučajna varijabla koja poprima vrijednost s vjerojatnošću p = N/N. S rekurzivnim odabirom, uzorak veličine n može se smatrati skupom od n neovisnih slučajnih varijabli ili "promatranja" 1 , ..., n koje sve imaju istu distribuciju; S n /n je srednja vrijednost uzorka. Zakon velikih brojeva kaže da za dovoljno velik nasumični uzorak vjerojatno će njegov prosjek biti blizu, tj. prosjeka stanovništva. Središnji granični teorem omogućuje procjenu vjerojatne količine odstupanja između ovih srednjih vrijednosti i određivanje veličine uzorka potrebne za pouzdanu procjenu. U praksi, i i obično su nepoznati; međutim, u većini slučajeva lako je dobiti preliminarnu procjenu i uvijek se može staviti u pouzdane granice. Ako želimo da se srednja vrijednost uzorka S n /n razlikuje od nepoznate srednje vrijednosti populacije za manje od 1/10 s vjerojatnošću od 0,99 ili većom, tada se veličina uzorka treba uzeti tako da

Korijen x jednadžbe F(h) - F(-- x) = 0,99 jednak je x = 2,57 ..., pa stoga n mora biti takav da je 2,57 ili n > 660. Pažljiva prethodna procjena omogućuje pronalaženje potrebne veličine uzorka.

c) Poissonova distribucija.

Pretpostavimo da slučajne varijable k imaju Poissonovu distribuciju (p(k;)). Tada Sn ima Poissonovu distribuciju sa srednjom vrijednosti i varijancom jednakom n.

Upisujući umjesto n, zaključujemo da je za n

Zbrajanje se vrši po svim k od 0 do. F-la (1.5) također se odvija kada proizvoljno.

Neka su poznate standardne devijacije nekoliko međusobno neovisnih slučajnih varijabli. Kako pronaći prosjek standardna devijacija zbroj ovih količina? Odgovor na ovo pitanje daje sljedeći teorem.

Teorema. Standardna devijacija zbroja konačan broj međusobno neovisne slučajne varijable je korijen iz zbroja kvadrata standardnih odstupanja tih veličina.

Dokaz. Označimo sa x zbroj međusobno razmatranih nezavisne količine:

Varijanca zbroja nekoliko međusobno neovisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju varijanci članova (vidi § 5, korolar 1), pa je

ili konačno

Jednako raspoređene međusobno neovisne slučajne varijable

Već je poznato da se, prema zakonu raspodjele, može naći numeričke karakteristike nasumična varijabla. Slijedi da ako nekoliko slučajnih varijabli ima iste distribucije, onda su njihove numeričke karakteristike iste.

Smatrati P međusobno neovisne slučajne varijable X v X v ..., X fi , koji imaju iste distribucije i, posljedično, iste karakteristike (matematičko očekivanje, varijanca itd.). Najviše interesa predstavlja proučavanje numeričkih karakteristika aritmetičke sredine ovih veličina, što ćemo i učiniti u ovom odjeljku.

Označimo aritmetičku sredinu razmatranih slučajnih varijabli kao x:

Sljedeće tri odredbe uspostavljaju odnos između numeričkih karakteristika aritmetičke sredine x te pripadajuće karakteristike svake pojedine veličine.

1. Matematičko očekivanje aritmetičke sredine identično raspoređenih međusobno neovisnih slučajnih varijabli jednako je matematičkom očekivanju a svake od varijabli:

Dokaz. Koristeći svojstva matematičkog očekivanja (konstantni faktor se može izbaciti iz predznaka matematičkog očekivanja; matematičko očekivanje zbroja jednako je zbroju matematičkih očekivanja članova), imamo

Uzimajući u obzir da je matematičko očekivanje svake od veličina po uvjetu jednako a, dobivamo

2. Varijanca aritmetičke sredine n identično raspoređenih međusobno neovisnih slučajnih varijabli je n puta manja od varijance D svake od varijabli.:

Dokaz. Koristeći svojstva varijance (konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka varijance kvadriranjem; varijanca zbroja nezavisnih varijabli jednaka je zbroju varijanci članova), imamo

§ 9. Jednako raspoređene međusobno neovisne slučajne varijable 97

Uzimajući u obzir da je varijanca svake od veličina uvjetno jednaka D, dobivamo

3. Standardna devijacija aritmetičke sredine n identično distribuiranih međusobno neovisnih slučajnih

vrijednosti su 4n puta manje od standardne devijacije a svake od vrijednosti:

Dokaz. Jer D(X) = D/n, zatim standardna devijacija x jednaki

Opći zaključak iz formula (*) i (**): sjećajući se da varijanca i standardna devijacija služe kao mjere disperzije slučajne varijable, zaključujemo da aritmetička sredina dovoljno velikog broja međusobno neovisnih slučajnih varijabli ima

mnogo manje raspršivanja nego svaka pojedinačna vrijednost.

Objasnimo na primjeru značenje ovog zaključka za praksu.

Primjer. Obično za mjerenje nekih fizička količina izvršiti nekoliko mjerenja, a zatim pronaći aritmetičku sredinu dobivenih brojeva koja se uzima kao približna vrijednost izmjerene veličine. Pod pretpostavkom da se mjerenja provode pod istim uvjetima, dokažite:

• a) aritmetička sredina daje pouzdaniji rezultat od pojedinačnih mjerenja;
• b) povećanjem broja mjerenja povećava se i pouzdanost ovog rezultata.

Rješenje, a) Poznato je da pojedinačna mjerenja daju različite vrijednosti mjerene veličine. Rezultat svakog mjerenja ovisi o mnogim slučajnim čimbenicima (promjene temperature, fluktuacije uređaja, itd.), koji se ne mogu unaprijed u potpunosti uzeti u obzir.

Stoga imamo pravo razmatrati moguće rezultate P pojedinačna mjerenja kao slučajne varijable X v X 2,..., X str(indeks označava broj mjerenja). Ove veličine imaju istu distribuciju vjerojatnosti (mjerenja se provode istom tehnikom i istim instrumentima), a samim time i iste numeričke karakteristike; osim toga, međusobno su neovisni (rezultat svakog pojedinačnog mjerenja ne ovisi o ostalim mjerenjima).

Već znamo da aritmetička sredina takvih vrijednosti ima manju disperziju od svake pojedinačne vrijednosti. Drugim riječima, aritmetička sredina bliža je pravoj vrijednosti izmjerene vrijednosti nego rezultat jednog mjerenja. To znači da aritmetička sredina nekoliko mjerenja daje rezultat više slučajeva nego jedno mjerenje.

b) Već znamo da se s povećanjem broja pojedinačnih slučajnih varijabli širenje aritmetičke sredine smanjuje. To znači da se s povećanjem broja mjerenja aritmetička sredina nekoliko mjerenja sve manje razlikuje od prava vrijednost izmjerena vrijednost. Dakle, povećanjem broja mjerenja dobiva se pouzdaniji rezultat.

Na primjer, ako je standardna devijacija jednog mjerenja a = 6 m, a ukupna P= 36 mjerenja, tada je standardna devijacija aritmetičke sredine tih mjerenja samo 1 m. Doista,

Vidimo da se aritmetička sredina nekoliko mjerenja, očekivano, pokazala bližom pravoj vrijednosti izmjerene veličine nego rezultat jednog mjerenja.

Tečajni rad

na temu: "Zakoni velikih brojeva"

Jednako raspoređene slučajne varijable

Za rješavanje mnogih praktičnih problema potrebno je poznavati niz uvjeta zbog kojih je rezultat kombiniranog djelovanja velikog broja slučajnih faktora gotovo neovisan o slučaju. Ovi uvjeti opisani su u nekoliko teorema, zajednički nazvanih zakon velikih brojeva, gdje je slučajna varijabla k jednaka 1 ili 0, ovisno o tome je li rezultat k-tog pokušaja uspjeh ili neuspjeh. Dakle, Sn je zbroj n međusobno neovisnih slučajnih varijabli, od kojih svaka ima vrijednosti 1 i 0 s vjerojatnostima p i q.

Najjednostavniji oblik zakona velikih brojeva je Bernoullijev teorem, koji kaže da ako je vjerojatnost događaja ista u svim pokusima, tada kako se broj pokusa povećava, učestalost događaja teži vjerojatnosti događaja i prestaje biti slučajan.

Poissonov teorem tvrdi da učestalost događaja u nizu neovisnih pokušaja teži aritmetičkoj sredini njegovih vjerojatnosti i prestaje biti slučajna.

Granični teoremi teorije vjerojatnosti, Moivre-Laplaceovi teoremi objašnjavaju prirodu stabilnosti učestalosti pojavljivanja događaja. Ta se priroda sastoji u tome da je granična raspodjela broja pojavljivanja događaja s neograničenim povećanjem broja pokušaja (ako je vjerojatnost događaja u svim pokušajima ista) normalna raspodjela.

Središnji granični teorem objašnjava široku upotrebu zakona normalne distribucije. Teorem kaže da kad god se slučajna varijabla formira kao rezultat dodavanja velikog broja nezavisnih slučajnih varijabli s konačnim varijancama, zakon distribucije te slučajne varijable ispada praktički normalan zakon.

Ljapunovljev teorem objašnjava široku rasprostranjenost zakona normalne raspodjele i objašnjava mehanizam njegovog nastanka. Teorem nam omogućuje da tvrdimo da kad god se slučajna varijabla formira kao rezultat dodavanja velikog broja neovisnih slučajnih varijabli, čije su varijance male u usporedbi s varijancom zbroja, zakon distribucije ove slučajne varijable ispada biti praktički normalan zakon. A budući da slučajne varijable uvijek generira beskonačan broj uzroka, a najčešće nijedan od njih nema varijancu usporedivu s varijancom same slučajne varijable, većina slučajnih varijabli s kojima se susrećemo u praksi podliježe normalnom zakonu distribucije.

Kvalitativne i kvantitativne izjave zakona velikih brojeva temelje se na Čebiševljeva nejednakost. Definira gornju granicu vjerojatnosti da je odstupanje vrijednosti slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja veće od nekog zadanog broja. Zanimljivo je da Chebyshevljeva nejednakost daje procjenu vjerojatnosti događaja za slučajnu varijablu čija je distribucija nepoznata, poznati su samo njezino matematičko očekivanje i varijanca.

Čebiševljeva nejednakost. Ako slučajna varijabla x ima varijancu, tada je za bilo koji x > 0 nejednakost točna, gdje je M x i D x - matematičko očekivanje i varijanca slučajne varijable x .

Bernoullijev teorem. Neka je x n broj uspjeha u n Bernoullijevih pokusa, a p vjerojatnost uspjeha u jednom pokusu. Zatim, za bilo koji s > 0, .

Ljapunovljev teorem. Neka je s 1 , s 2 , …, s n , … neograničen niz neovisnih slučajnih varijabli s matematičkim očekivanjima m 1 , m 2 , …, m n , … i varijancama s 1 2 , s 2 2 , …, s n 2 … . Označavamo , , , .

Tada je = F(b) - F(a) za bilo koje realne brojeve a i b, gdje je F(x) funkcija distribucije normalnog zakona.

Neka je dana diskretna slučajna varijabla. Promotrimo ovisnost broja uspjeha Sn o broju pokušaja n. Sa svakim pokušajem, Sn se povećava za 1 ili 0. Ova se izjava može napisati kao:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Zakon velikih brojeva. Neka je ( k ) niz međusobno neovisnih slučajnih varijabli s identičnim distribucijama. Ako matematičko očekivanje = M(k) postoji, tada je za bilo koje > 0 za n

Drugim riječima, vjerojatnost da se srednja vrijednost S n /n razlikuje od matematičkog očekivanja za manje od proizvoljno zadanog teži jedinici.

Centralni granični teorem. Neka je ( k ) niz međusobno neovisnih slučajnih varijabli s identičnim distribucijama. Pretpostavimo da i postojimo. Neka je Sn = 1 +…+ n , Tada za bilo koji fiksni

Ž () - Ž () (1,3)

Ovdje je Φ(x) funkcija normalne distribucije. Ovaj teorem je formulirao i dokazao Linlberg. Ljapunov i drugi autori su to dokazali ranije, pod restriktivnijim uvjetima. Mora se zamisliti da je gore formulirani teorem samo vrlo poseban slučaj mnogo općenitijeg teorema, koji je pak usko povezan s mnogim drugim graničnim teoremima. Primijetite da je (1.3) mnogo jači od (1.2), jer (1.3) daje procjenu vjerojatnosti da je razlika veća od . S druge strane, zakon velikih brojeva (1.2) je istinit čak i ako slučajne varijable k nemaju konačnu varijancu, pa se primjenjuje na općenitiji slučaj od središnjeg graničnog teorema (1.3). Posljednja dva teorema ilustrirat ćemo primjerima.

Primjeri. a) Razmotrimo niz nezavisnih bacanja simetrične kocke. Neka je k broj bodova postignut u k-tom bacanju. Zatim

M( k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,

a D( k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3,5) 2 =35/12 i S n /n

je prosječni broj bodova koji proizlazi iz n bacanja.

Zakon velikih brojeva kaže da je vjerojatno da će za veliki n taj prosjek biti blizu 3,5. Središnji granični teorem utvrđuje vjerojatnost da je |Sn - 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Uzorak. Pretpostavimo da u općoj populaciji,

sastoji se od N obitelji, Nk obitelji ima točno k djece

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Ako je obitelj odabrana slučajno, tada je broj djece u njoj slučajna varijabla koja poprima vrijednost s vjerojatnošću p = N /N. S rekurzivnim odabirom, uzorak veličine n može se smatrati skupom od n neovisnih slučajnih varijabli ili "promatranja" 1 , ..., n koje sve imaju istu distribuciju; S n /n je srednja vrijednost uzorka. Zakon velikih brojeva kaže da će za dovoljno veliki slučajni uzorak njegova sredina vjerojatno biti blizu , tj. srednje vrijednosti populacije. Središnji granični teorem omogućuje procjenu vjerojatne količine odstupanja između ovih srednjih vrijednosti i određivanje veličine uzorka potrebne za pouzdanu procjenu. U praksi, i i obično su nepoznati; međutim, u većini slučajeva lako je dobiti preliminarnu procjenu i uvijek se može staviti u pouzdane granice. Ako želimo da se srednja vrijednost uzorka S n /n razlikuje od nepoznate srednje vrijednosti populacije za manje od 1/10 s vjerojatnošću od 0,99 ili većom, tada se veličina uzorka treba uzeti tako da

Korijen x jednadžbe F(h) - F(- x) = 0,99 jednak je x = 2,57 ..., pa stoga n mora biti takav da je 2,57 ili n > 660. Pažljiva prethodna procjena omogućuje pronalaženje potrebne veličine uzorka.

c) Poissonova distribucija.

Pretpostavimo da slučajne varijable k imaju Poissonovu distribuciju (p(k; )). Tada Sn ima Poissonovu distribuciju sa srednjom vrijednosti i varijancom jednakom n.

Upisivanjem umjesto n zaključujemo da je za n

Zbrajanje se provodi po svim k od 0 do . F-la (1.5) također se odvija kada proizvoljno.

Gore smo razmotrili pitanje pronalaženja PDF-a za zbroj statistički neovisnih slučajnih varijabli. U ovom odjeljku ponovno ćemo razmotriti zbroj statistički neovisnih varijabli, ali naš će pristup biti drugačiji i ne ovisi o parcijalnim PDF-ima slučajnih varijabli u zbroju. Konkretno, pretpostavimo da su članovi zbroja statistički neovisne i identično raspodijeljene slučajne varijable, od kojih svaka ima ograničenu sredinu i ograničenu varijancu.

Neka se definira kao normalizirani zbroj koji se naziva sredina uzorka

Prvo, određujemo gornje granice vjerojatnosti repova, a zatim dokazujemo vrlo važan teorem koji određuje PDF u limitu kada teži beskonačnosti.

Slučajna varijabla, definirana (2.1.187), često se pojavljuje kada se procjenjuje srednja vrijednost slučajne varijable u nizu opažanja, . Drugim riječima, može se smatrati neovisnim realizacijama uzorka iz distribucije i procjena je srednje vrijednosti.

Matematičko očekivanje je

.

Disperzija je

Ako se razmatra kao procjena srednje vrijednosti, vidimo da je njegovo matematičko očekivanje jednako, a njegova varijanca opada s povećanjem veličine uzorka. Ako raste neograničeno, varijanca teži nuli. Procjena parametara (in ovaj slučaj), koja zadovoljava uvjete da njezino matematičko očekivanje teži pravoj vrijednosti parametra, a varijanca striktno nuli, naziva se konzistentnom procjenom.

Vjerojatnost repa slučajne varijable može se procijeniti odozgo korištenjem granica danih u Sec. 2.1.5. Čebiševljeva nejednakost primijenjena na ima oblik

,

. (2.1.188)

U limitu kada je , iz (2.1.188) slijedi

. (2.1.189)

Stoga vjerojatnost da se procjena srednje vrijednosti razlikuje od prave vrijednosti za više od , teži nuli ako raste neograničeno dugo. Ova odredba je oblik zakona velikih brojeva. Budući da gornja granica konvergira prema nuli relativno sporo, tj. obrnuto . naziva se izraz (2.1.188). slab zakon velikih brojeva.

Ako primijenimo Chernoffovu granicu koja sadrži eksponencijalnu ovisnost o na slučajnu varijablu, tada ćemo dobiti gustu gornju granicu za vjerojatnost jednog repa. Slijedeći postupak opisan u Odjeljku. 2.1.5, nalazimo da je rep vjerojatnosti za dan sa

gdje i . Ali su statistički neovisni i jednako raspoređeni. Posljedično,

gdje je jedna od količina. Parametar , koji daje najtočniju gornju granicu, dobiva se diferenciranjem (2.1.191) i postavljanjem derivacije na nulu. To dovodi do jednadžbe

(2.1.192)

Rješenje (2.1.192) označimo s . Zatim granica za vjerojatnost gornjeg repa

, . (2.1.193)

Slično, otkrit ćemo da vjerojatnost donjeg repa ima granicu

, . (2.1.194)

Primjer 2.1.7. Neka je niz statistički neovisnih slučajnih varijabli definiranih na sljedeći način:

Želimo definirati usku gornju granicu vjerojatnosti da je zbroj veći od nule. Od , Tada će zbroj imati negativno značenje za matematičko očekivanje (prosjek), dakle, tražit ćemo vjerojatnost gornjeg repa. Jer u (2.1.193) imamo

, (2.1.195)

gdje je rješenje jednadžbe

Posljedično,

. (2.1.197)

Stoga za granicu u (2.1.195) dobivamo

Vidimo da se gornja granica eksponencijalno smanjuje od , kao što je i očekivano. Nasuprot tome, prema Chebyshevljevoj granici, vjerojatnost repa opada obrnuto s .

Centralni granični teorem. U ovom odjeljku razmatramo izuzetno koristan teorem koji se odnosi na IGF zbroja slučajnih varijabli u granici kada se broj članova u zbroju neograničeno povećava. Postoji nekoliko verzija ovog teorema. Dokažimo teorem za slučaj kada su slučajne sumirajuće varijable , , statistički neovisne i identično raspoređene, svaka od njih ima ograničenu srednju vrijednost i ograničenu varijancu .

Radi praktičnosti, definiramo normaliziranu slučajnu varijablu

Dakle, ima nultu srednju vrijednost i jediničnu varijancu.

Sada neka

Budući da svaki član zbroja ima nultu srednju vrijednost i jediničnu varijancu, normalizirana (faktorom) vrijednost ima nultu srednju vrijednost i jediničnu varijancu. Želimo definirati IDF za u granici kada .

Karakteristična funkcija je

, (2.1.200).

,

ili, ekvivalentno,

. (2.1.206)

Ali ovo je samo karakteristična funkcija Gaussove slučajne varijable s nultom sredinom i jediničnom varijancom. Tako imamo važan rezultat; PDF zbroja statistički neovisnih i identično distribuiranih slučajnih varijabli s ograničenom sredinom i varijancom približava se Gaussovoj na . Ovaj rezultat je poznat kao središnji granični teorem.

Iako smo pretpostavili da su slučajne varijable jednako raspoređene u zbroju, ova se pretpostavka može ublažiti pod uvjetom da određeni dodatna ograničenja usprkos tome, oni su superponirani na svojstva slučajnih sumiranih varijabli. Postoji jedna verzija teorema, na primjer, kada se pretpostavka o istoj distribuciji slučajnih varijabli napušta u korist uvjeta nametnutog trećem apsolutnom trenutku slučajnih varijabli zbroja. Za raspravu o ovoj i drugim verzijama središnjeg graničnog teorema, čitatelj se upućuje na Cramera (1946).

Središnji granični teorem je skupina teorema posvećenih utvrđivanju uvjeta pod kojima a normalno pravo distribucije, a čije kršenje dovodi do distribucije koja se razlikuje od normalne. Razni oblici Središnji granični teoremi razlikuju se jedni od drugih po uvjetima nametnutim distribucijama slučajnih članova koji tvore zbroj. Dokažimo jednu od naj jednostavnih oblika ovog teorema, naime, središnji granični teorem za neovisne identično raspodijeljene članove.

Razmotrimo niz nezavisnih identično distribuiranih slučajnih varijabli s matematičkim očekivanjem. Pretpostavimo također da postoji varijanca. Uvedimo notaciju. Zakon velikih brojeva za ovaj niz može se prikazati u sljedećem obliku:

gdje se konvergencija može shvatiti iu smislu konvergencije u vjerojatnosti (slabi zakon velikih brojeva) iu smislu konvergencije u vjerojatnosti, jednako jedan(jaki zakon velikih brojeva).

Teorem (središnji granični teorem za neovisne identično raspodijeljene slučajne varijable). Neka je niz nezavisnih identično distribuiranih slučajnih varijabli, . Tada postoji uniformna u odnosu na () konvergenciju

gdje je funkcija standarda normalna distribucija(sa parametrima):

Ako je uvjet takve konvergencije zadovoljen, niz se naziva asimptotski normalan.

Teoremi Ljapunova i Lindeberga

Razmotrimo slučaj kada slučajne varijable imaju različite distribucije - neovisne s različitim distribucijama.

Teorem (Lindeberg). Neka je niz nezavisnih slučajnih varijabli s konačnim varijancama. Ako ovaj niz zadovoljava Lindebergov uvjet:

gdje, tada za njega vrijedi središnji granični teorem.

Budući da je teško izravno provjeriti Lindebergov uvjet, razmotrit ćemo neki drugi uvjet pod kojim vrijedi središnji granični teorem, naime uvjet Lyapunovljevog teorema.

Teorem (Ljapunov). Ako je Lyapunovljev uvjet zadovoljen za niz slučajnih varijabli:

tada je niz asimptotski normalan, tj. vrijedi središnji granični teorem.

Ispunjenje Ljapunovljevog uvjeta implicira ispunjenje Lindebergovog uvjeta, a iz njega slijedi središnji granični teorem.