Varijanca matematičkog očekivanja. Za postizanje pozitivnih rezultata jednako je važno

Zadatak 1. Vjerojatnost klijanja sjemena pšenice je 0,9. Kolika je vjerojatnost da će od četiri posijane sjemenke niknuti barem tri?

Odluka. Neka događaj ALI- od 4 sjemenke niknuće najmanje 3 sjemenke; događaj NA- od 4 sjemenke će niknuti 3 sjemenke; događaj S Iz 4 sjemenke će niknuti 4 sjemenke. Prema teoremu zbrajanja vjerojatnosti

Vjerojatnosti
i
određena Bernoullijevom formulom koja se koristi u sljedeći slučaj. Neka serija ide P nezavisni testovi, za svaki od kojih je vjerojatnost nastanka događaja konstantna i jednaka R, a vjerojatnost da se ovaj događaj ne dogodi jednaka je
. Zatim vjerojatnost da će događaj ALI u P testovi će se točno pojaviti puta, izračunato po Bernoullijevoj formuli

,

gdje
- broj kombinacija P elemenata po . Zatim

Željena vjerojatnost

Zadatak 2. Vjerojatnost klijanja sjemena pšenice je 0,9. Nađite vjerojatnost da će od 400 posijanih sjemenki niknuti 350 sjemenki.

Odluka. Izračunajte traženu vjerojatnost
prema Bernoullijevoj formuli je teško zbog glomaznosti proračuna. Stoga primjenjujemo približnu formulu koja izražava lokalni Laplaceov teorem:

,

gdje
i
.

Iz iskaza problema. Zatim

.

Iz tablice 1 aplikacija nalazimo . Željena vjerojatnost je jednaka

Zadatak 3. Među sjemenkama pšenice 0,02% korova. Kolika je vjerojatnost da će nasumični odabir od 10 000 sjemenki otkriti 6 sjemenki korova?

Odluka. Primjena lokalnog Laplaceovog teorema zbog male vjerojatnosti
dovodi do značajnog odstupanja vjerojatnosti od točne vrijednosti
. Stoga, za male vrijednosti R izračunati
primijeniti asimptotičku Poissonovu formulu

, gdje .

Ova formula se koristi kada
, i što manje R i više P, to je točniji rezultat.

Prema zadatku
;
. Zatim

Zadatak 4. Postotak klijavosti sjemena pšenice je 90%. Nađite vjerojatnost da će iz 500 posijanih sjemenki niknuti od 400 do 440 sjemenki.

Odluka. Ako je vjerojatnost da će se događaj dogoditi ALI u svakom od P testovi je konstantan i jednak R, zatim vjerojatnost
da događaj ALI u takvim testovima bit će barem jednom i ne više vremena određena je Laplaceovim integralnim teoremom sljedećom formulom:

, gdje

,
.

Funkcija
naziva se Laplaceova funkcija. U prilozima (tablica 2) date su vrijednosti ove funkcije za
. Na
funkcija
. Na negativne vrijednosti x zbog neparnosti Laplaceove funkcije
. Koristeći Laplaceovu funkciju, imamo:

Prema zadatku. Koristeći gornje formule, nalazimo
i :

Zadatak 5. Dat je zakon raspodjele diskretne slučajne varijable x:

2. Naći: 1) matematičko očekivanje; 2) disperzija; 3) standardna devijacija.

Odluka. 1) Ako je zakon raspodjele diskretan nasumična varijabla dano po tablici

2. Gdje su vrijednosti slučajne varijable x navedene u prvom retku, a vjerojatnosti tih vrijednosti u drugom retku, tada se matematičko očekivanje izračunava po formuli

2) Disperzija
diskretna slučajna varijabla x naziva se matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njezine matematičko očekivanje, tj.

Ova vrijednost karakterizira prosječnu očekivanu vrijednost kvadrata odstupanja x iz
. Iz posljednje formule koju imamo

disperzija
može se pronaći na drugi način, na temelju sljedećeg svojstva: varijance
jednaka je razlici između matematičkog očekivanja kvadrata slučajne varijable x i kvadrat njegovog matematičkog očekivanja
, tj

Izračunati
sastavljamo sljedeći zakon raspodjele veličine
:

3) Za karakterizaciju disperzije mogućih vrijednosti slučajne varijable oko njene srednje vrijednosti, uvodi se standardna devijacija
nasumična varijabla x, jednako kvadratnom korijenu varijance
, tj

.

Iz ove formule imamo:

Zadatak 6. Kontinuirana slučajna varijabla x dano integralnom funkcijom distribucije

Naći: 1) diferencijalnu funkciju raspodjele
; 2) matematičko očekivanje
; 3) disperzija
.

Odluka. 1) Funkcija diferencijalne distribucije
kontinuirana slučajna varijabla x naziva se derivacija integralne funkcije distribucije
, tj

.

Željena diferencijalna funkcija ima sljedeći oblik:

2) Ako je kontinuirana slučajna varijabla x zadane funkcijom
, tada je njegovo matematičko očekivanje određeno formulom

Budući da je funkcija
na
i na
jednaka nuli, onda iz posljednje formule koju imamo

.

3) Disperzija
definirati formulom

Zadatak 7. Duljina dijela je normalno raspoređena slučajna varijabla s matematičkim očekivanjem od 40 mm i standardnom devijacijom od 3 mm. Nađi: 1) vjerojatnost da će duljina proizvoljnog dijela biti veća od 34 mm, a manja od 43 mm; 2) vjerojatnost da duljina dijela odstupi od svog matematičkog očekivanja za najviše 1,5 mm.

Odluka. 1) Neka x- duljina dijela. Ako je slučajna varijabla x dano diferencijalna funkcija
, zatim vjerojatnost da xće uzeti vrijednosti koje pripadaju segmentu
, određuje se formulom

.

Vjerojatnost ispunjenja strogih nejednakosti
određena istom formulom. Ako je slučajna varijabla x distribuirao normalan zakon, onda

, (1)

gdje
je Laplaceova funkcija,
.

U zadatku. Zatim

2) Po uvjetu problema , gdje
. Zamjenom u (1) imamo

. (2)

Iz formule (2) imamo.

Koncept matematičkog očekivanja može se razmotriti na primjeru bacanja kocke. Svakim bacanjem bilježe se izbačeni bodovi. Za njihovo izražavanje koriste se prirodne vrijednosti u rasponu od 1 do 6.

Nakon određenog broja bacanja, uz pomoć jednostavnih izračuna, možete pronaći prosjek aritmetička vrijednost ispali bodovi.

Uz ispuštanje bilo koje vrijednosti raspona, ova će vrijednost biti nasumična.

A ako povećate broj bacanja nekoliko puta? Na velike količine bacanja, približit će se aritmetička sredina bodova određeni broj, što se u teoriji vjerojatnosti naziva matematičko očekivanje.

Dakle, matematičko očekivanje se shvaća kao prosječna vrijednost slučajne varijable. Ovaj se pokazatelj također može predstaviti kao ponderirani zbroj vjerojatnih vrijednosti.

Ovaj koncept ima nekoliko sinonima:

• znači;
• Prosječna vrijednost;
• središnji indikator trenda;
• prvi trenutak.

Drugim riječima, to nije ništa više od broja oko kojeg su raspoređene vrijednosti slučajne varijable.

NA raznim poljima ljudska aktivnost pristupi razumijevanju matematičkog očekivanja bit će nešto drugačiji.

Može se promatrati kao:

• prosječnu korist ostvarenu donošenjem odluke, u slučaju kada se takva odluka razmatra sa stajališta teorije velikih brojeva;
• mogući iznos dobiti ili gubitka (teor Kockanje), izračunato u prosjeku za svaku od stopa. U slengu zvuče kao "prednost igrača" (pozitivno za igrača) ili "prednost u kasinu" (negativno za igrača);
• postotak dobiti dobivene od dobitaka.

Matematičko očekivanje nije obvezno za apsolutno sve slučajne varijable. Nedostaje za one koji imaju odstupanje u odgovarajućem zbroju ili integralu.

Svojstva očekivanja

Kao i svaki statistički parametar, matematičko očekivanje ima sljedeća svojstva:

Osnovne formule za matematičko očekivanje

Izračun matematičkog očekivanja može se izvesti i za slučajne varijable koje karakterizira i kontinuitet (formula A) i diskretnost (formula B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, gdje su xi vrijednosti slučajne varijable, pi su vjerojatnosti:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, gdje je f(x) zadana gustoća vjerojatnosti.

Primjeri izračunavanja matematičkog očekivanja

Primjer A.

Je li moguće saznati prosječnu visinu patuljaka u bajci o Snjeguljici. Poznato je da je svaki od 7 patulja imao određenu visinu: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 i 0,81 m.

Algoritam izračuna je prilično jednostavan:

• pronađite zbroj svih vrijednosti pokazatelja rasta (slučajna varijabla):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Dobiveni iznos podijeljen je s brojem patuljaka:
  6,31:7=0,90.

Dakle, prosječna visina patulja u bajci iznosi 90 cm. Drugim riječima, ovo je matematičko očekivanje rasta patulja.

Radna formula - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Praktična implementacija matematičkog očekivanja

Izračun statističkog pokazatelja matematičkog očekivanja koristi se u raznim područjima praktične aktivnosti. Prvenstveno pričamo o poslovnom području. Uostalom, uvođenje ovog pokazatelja od strane Huygensa povezano je s određivanjem šansi koje mogu biti povoljne, ili, naprotiv, nepovoljne za neki događaj.

Ovaj parametar se naširoko koristi za procjenu rizika, posebno kada su u pitanju financijska ulaganja.
Dakle, u poslovanju izračun matematičkih očekivanja djeluje kao metoda za procjenu rizika pri izračunu cijena.

Također, ovaj se pokazatelj može koristiti pri izračunu učinkovitosti određenih mjera, na primjer, o zaštiti rada. Zahvaljujući njemu možete izračunati vjerojatnost da će se događaj dogoditi.

Drugo područje primjene ovog parametra je upravljanje. Također se može izračunati tijekom kontrole kvalitete proizvoda. Na primjer, pomoću mat. očekivanja se mogu izračunati mogući broj proizvodnja neispravnih dijelova.

Matematičko očekivanje također se pokazalo nezamjenjivim pri dirigiranju statistička obrada primljeno tijekom znanstveno istraživanje rezultate. Također vam omogućuje izračunavanje vjerojatnosti željenog ili nepoželjnog ishoda eksperimenta ili studije, ovisno o razini postizanja cilja. Uostalom, njegovo postizanje može se povezati s dobitkom i dobiti, a njegovo nepostizanje - kao gubitak ili gubitak.

Korištenje matematičkog očekivanja na Forexu

Praktična primjena ovog statističkog parametra moguća je pri obavljanju transakcija na deviznom tržištu. Može se koristiti za analizu uspješnosti trgovinskih transakcija. Štoviše, povećanje vrijednosti očekivanja ukazuje na povećanje njihovog uspjeha.

Također je važno zapamtiti da se matematičko očekivanje ne smije smatrati jedinim statističkim parametrom koji se koristi za analizu uspješnosti trgovca. Korištenje nekoliko statističkih parametara zajedno s prosječnom vrijednošću ponekad povećava točnost analize.

Ovaj se parametar dobro pokazao u praćenju promatranja trgovačkih računa. Zahvaljujući njemu, vrši se brza procjena obavljenog posla na depozitnom računu. U slučajevima kada je aktivnost trgovca uspješna i izbjegava gubitke, ne preporuča se koristiti samo izračun matematičkog očekivanja. U tim slučajevima rizici se ne uzimaju u obzir, što smanjuje učinkovitost analize.

Provedene studije taktike trgovaca pokazuju da:

• najučinkovitije su taktike temeljene na slučajnom unosu;
• najmanje učinkovite su taktike temeljene na strukturiranim ulazima.

Za postizanje pozitivnih rezultata jednako je važno:

• taktike upravljanja novcem;
• izlazne strategije.

Koristeći takav pokazatelj kao što je matematičko očekivanje, možemo pretpostaviti kolika će biti dobit ili gubitak pri ulaganju 1 dolara. Poznato je da ovaj pokazatelj, izračunat za sve igre koje se prakticiraju u kockarnici, ide u prilog instituciji. To je ono što vam omogućuje da zaradite novac. U slučaju dugog niza igara, vjerojatnost gubitka novca od strane klijenta značajno se povećava.

Igre profesionalnih igrača ograničene su na mala vremenska razdoblja, što povećava šanse za pobjedu i smanjuje rizik od gubitka. Isti obrazac se uočava i u obavljanju investicijskih operacija.

Investitor može zaraditi značajan iznos uz pozitivna očekivanja i zaradu veliki broj transakcije u kratkom vremenskom razdoblju.

Očekivanje se može zamisliti kao razlika između postotka dobiti (PW) puta prosječne dobiti (AW) i vjerojatnosti gubitka (PL) puta prosječnog gubitka (AL).

Kao primjer, razmotrite sljedeće: pozicija - 12,5 tisuća dolara, portfelj - 100 tisuća dolara, rizik po depozitu - 1%. Profitabilnost transakcija je 40% slučajeva uz prosječnu dobit od 20%. U slučaju gubitka prosječni gubitak je 5%. Izračunavanje matematičkog očekivanja za trgovinu daje vrijednost od 625 USD.

Slučajne varijable, osim zakona distribucije, također se mogu opisati numeričke karakteristike .

matematičko očekivanje M (x) slučajne varijable naziva se njezina prosječna vrijednost.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable izračunava se po formuli

gdje – vrijednosti slučajne varijable, str ja- njihove vjerojatnosti.

Razmotrimo svojstva matematičkog očekivanja:

1. Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti

2. Ako se slučajna varijabla pomnoži s određenim brojem k, tada će se matematičko očekivanje pomnožiti s istim brojem

M (kx) = kM (x)

3. Matematičko očekivanje zbroja slučajnih varijabli jednako je zbroju njihovih matematičkih očekivanja

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Za neovisne slučajne varijable x 1 , x 2 , … x n matematičko očekivanje proizvoda jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0

Izračunajmo matematičko očekivanje za slučajnu varijablu iz primjera 11.

M(x) == .

Primjer 12. Neka su slučajne varijable x 1 , x 2 zadane zakonima distribucije, redom:

x 1 Tablica 2

x 2 Tablica 3

Izračunaj M (x 1) i M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0

Matematička očekivanja obje slučajne varijable su ista – jednaka su nuli. Međutim, njihova je distribucija drugačija. Ako se vrijednosti x 1 malo razlikuju od njihovog matematičkog očekivanja, tada se vrijednosti x 2 u velikoj mjeri razlikuju od njihovog matematičkog očekivanja, a vjerojatnosti takvih odstupanja nisu male. Ovi primjeri pokazuju da je iz prosječne vrijednosti nemoguće odrediti kakva se odstupanja od nje dešavaju i gore i dolje. Dakle s istim prosjek Godišnje oborine na dva lokaliteta ne mogu se reći da su podjednako povoljne za poljoprivredne radove. Slično, u smislu prosjeka plaće nije moguće suditi specifična gravitacija visoko i slabo plaćeni radnici. Stoga se uvodi brojčana karakteristika – disperzija D(x) , koji karakterizira stupanj odstupanja slučajne varijable od srednje vrijednosti:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Disperzija je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od matematičkog očekivanja. Za diskretnu slučajnu varijablu, varijanca se izračunava po formuli:

D(x)= = (3)

Iz definicije varijance proizlazi da je D (x) 0.

Svojstva disperzije:

1. Disperzija konstante je nula

2. Ako se slučajna varijabla pomnoži s nekim brojem k, tada se varijanca množi s kvadratom tog broja

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. Za slučajne varijable neovisne u paru x 1 , x 2 , … x n varijanca zbroja jednaka je zbroju varijanci.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Izračunajmo varijancu za slučajnu varijablu iz primjera 11.

Matematičko očekivanje M (x) = 1. Dakle, prema formuli (3) imamo:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Imajte na umu da je lakše izračunati varijancu ako koristimo svojstvo 3:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

Izračunajmo varijance za slučajne varijable x 1 , x 2 iz primjera 12 koristeći ovu formulu. Matematička očekivanja obje slučajne varijable jednaka su nuli.

D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 0,002 \u000

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 \u003d 260

Što je vrijednost disperzije bliža nuli, manji je širenje slučajne varijable u odnosu na srednju vrijednost.

Vrijednost se zove standardna devijacija. Slučajna moda x diskretni tip Md je vrijednost slučajne varijable, koja odgovara najvećoj vjerojatnosti.

Slučajna moda x kontinuirani tip Md, Zove se pravi broj, definirana kao maksimalna točka gustoće distribucije vjerojatnosti f(x).

Medijan slučajne varijable x kontinuirani tip Mn je realan broj koji zadovoljava jednadžbu

Teorija vjerojatnosti - poseban odjeljak matematike, koju studiraju samo studenti visokih učilišta. Volite li izračune i formule? Ne bojite li se mogućnosti upoznavanja s normalnom distribucijom, entropijom ansambla, matematičkim očekivanjem i varijansom diskretne slučajne varijable? Tada će vam ova tema biti od velikog interesa. Pogledajmo neke od najvažnijih Osnovni koncepti ovu granu znanosti.

Prisjetimo se osnova

Čak i ako se najviše sjećate jednostavni koncepti teorije vjerojatnosti, nemojte zanemariti prve odlomke članka. Činjenica je da bez jasnog razumijevanja osnova nećete moći raditi s formulama o kojima se govori u nastavku.

Dakle, ima ih slučajni događaj, neki eksperiment. Kao rezultat izvršenih radnji možemo dobiti nekoliko ishoda - neki su češći, drugi rjeđi. Vjerojatnost događaja je omjer broja stvarno primljenih ishoda jedne vrste prema ukupni broj moguće. Samo znajući klasična definicija ovog koncepta, možete početi proučavati matematičko očekivanje i varijancu kontinuiranih slučajnih varijabli.

Prosječno

Još u školi, na satovima matematike, počeli ste raditi s aritmetičkom sredinom. Ovaj koncept se široko koristi u teoriji vjerojatnosti i stoga se ne može zanemariti. Glavna stvar za nas ovaj trenutak je da ćemo ga susresti u formulama za matematičko očekivanje i varijancu slučajne varijable.

Imamo niz brojeva i želimo pronaći aritmetičku sredinu. Sve što se od nas traži je zbrojiti sve dostupno i podijeliti s brojem elemenata u nizu. Neka imamo brojeve od 1 do 9. Zbroj elemenata će biti 45, a tu vrijednost podijelit ćemo s 9. Odgovor: - 5.

Disperzija

razgovarajući znanstveni jezik, varijanca je srednji kvadrat odstupanja dobivenih karakterističnih vrijednosti od aritmetičke sredine. Jedan je označen velikim latiničnim slovom D. Što je potrebno za njegovo izračunavanje? Za svaki element niza izračunavamo razliku između raspoloživog broja i aritmetičke sredine i kvadriramo je. Bit će točno onoliko vrijednosti koliko može biti ishoda za događaj koji razmatramo. Zatim sumiramo sve primljeno i podijelimo s brojem elemenata u nizu. Ako imamo pet mogućih ishoda, podijelimo s pet.

Varijanca također ima svojstva koja morate zapamtiti da biste je primijenili prilikom rješavanja problema. Na primjer, ako se slučajna varijabla poveća za X puta, varijanca se povećava za X puta kvadrat (tj. X*X). Nikada nije manji od nule i ne ovisi o pomaku vrijednosti za jednaku vrijednost gore ili dolje. Također, za nezavisna ispitivanja, varijanca zbroja jednaka je zbroju varijanci.

Sada svakako moramo razmotriti primjere varijance diskretne slučajne varijable i matematičkog očekivanja.

Recimo da izvodimo 21 eksperiment i dobijemo 7 različitih ishoda. Svaku od njih promatrali smo 1, 2, 2, 3, 4, 4 i 5 puta. Kolika će biti varijanca?

Prvo izračunamo aritmetičku sredinu: zbroj elemenata je, naravno, 21. Podijelimo ga sa 7 i dobijemo 3. Sada oduzimamo 3 od svakog broja u izvornom nizu, kvadriramo svaku vrijednost i zbrajamo rezultate . Ispada 12. Sada nam ostaje podijeliti broj s brojem elemenata, i, čini se, to je sve. Ali postoji kvaka! Razgovarajmo o tome.

Ovisnost o broju eksperimenata

Ispada da pri izračunavanju varijance nazivnik može biti jedan od dva broja: ili N ili N-1. Ovdje je N broj izvedenih eksperimenata ili broj elemenata u nizu (što je u biti ista stvar). O čemu ovisi?

Ako se broj testova mjeri u stotinama, u nazivnik moramo staviti N. Ako je u jedinicama, onda N-1. Znanstvenici su odlučili povući granicu prilično simbolično: danas se proteže duž broja 30. Ako smo proveli manje od 30 pokusa, tada ćemo količinu podijeliti s N-1, a ako više, onda s N.

Zadatak

Vratimo se našem primjeru rješavanja problema varijance i očekivanja. Dobili smo srednji broj od 12, koji je trebalo podijeliti s N ili N-1. Budući da smo proveli 21 pokus, što je manje od 30, odabrat ćemo drugu opciju. Dakle, odgovor je: varijanca je 12 / 2 = 2.

Očekivana vrijednost

Prijeđimo na drugi koncept, koji moramo razmotriti u ovom članku. Matematičko očekivanje rezultat je zbrajanja svih mogućih ishoda pomnoženih s odgovarajućim vjerojatnostima. Važno je razumjeti da se dobivena vrijednost, kao i rezultat izračuna varijance, dobiva samo jednom za cijeli zadatak, bez obzira na to koliko ishoda razmatra.

Formula matematičkog očekivanja je prilično jednostavna: uzmemo ishod, pomnožimo ga s njegovom vjerojatnošću, dodamo isto za drugi, treći rezultat itd. Sve što je vezano uz ovaj koncept lako je izračunati. Na primjer, zbroj matematičkih očekivanja jednak je matematičkom očekivanju zbroja. Isto vrijedi i za rad. Takav jednostavne operacije daleko od toga da nam svaka veličina u teoriji vjerojatnosti dopušta da je ispunimo. Uzmimo zadatak i izračunajmo vrijednost dva pojma koja smo proučavali odjednom. Osim toga, skrenula nam je pozornost teorija – vrijeme je za praksu.

Još jedan primjer

Proveli smo 50 pokusa i dobili 10 vrsta ishoda - brojeva od 0 do 9 - koji se pojavljuju u različitim postotak. To su, redom: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Podsjetimo da da biste dobili vjerojatnosti, trebate podijeliti postotne vrijednosti sa 100. Dakle, dobivamo 0,02; 0,1 itd. Navedimo primjer rješavanja problema za varijancu slučajne varijable i matematičko očekivanje.

Aritmetičku sredinu izračunavamo pomoću formule koju pamtimo osnovna škola: 50/10 = 5.

Prevedimo sada vjerojatnosti u broj ishoda "u komadima" kako bi bilo prikladnije brojati. Dobivamo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Od svake dobivene vrijednosti oduzmimo aritmetičku sredinu, nakon čega svaki dobiveni rezultat kvadriramo. Pogledajte kako to učiniti s prvim elementom kao primjer: 1 - 5 = (-4). Nadalje: (-4) * (-4) = 16. Za ostale vrijednosti, izvršite ove operacije sami. Ako ste sve učinili kako treba, nakon dodavanja svega dobit ćete 90.

Nastavimo s izračunom varijance i srednje vrijednosti dijeljenjem 90 s N. Zašto biramo N, a ne N-1? Tako je, jer broj izvedenih eksperimenata prelazi 30. Dakle: 90/10 = 9. Dobili smo disperziju. Ako dobijete drugi broj, ne očajavajte. Najvjerojatnije ste napravili banalnu pogrešku u izračunima. Još jednom provjeri što si napisao i sigurno će sve doći na svoje mjesto.

Na kraju, prisjetimo se formule matematičkog očekivanja. Nećemo dati sve izračune, samo ćemo napisati odgovor s kojim možete provjeriti nakon dovršetka svih potrebnih postupaka. Očekivana vrijednost bit će 5,48. Sjećamo se samo kako izvoditi operacije, koristeći primjer prvih elemenata: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... i tako dalje. Kao što vidite, jednostavno množimo vrijednost ishoda s njegovom vjerojatnošću.

Odstupanje

Drugi koncept usko povezan s disperzijom i matematičkim očekivanjem je standardna devijacija. Označeno je bilo latiničnim slovima sd, ili grčka mala slova "sigma". Ovaj koncept pokazuje kako vrijednosti u prosjeku odstupaju od središnjeg obilježja. Da biste pronašli njegovu vrijednost, morate izračunati Korijen od disperzije.

Ako napravite graf normalna distribucija i želite vidjeti izravno na njemu standardna devijacija, to se može učiniti u nekoliko koraka. Uzmite polovicu slike lijevo ili desno od načina rada (središnja vrijednost), nacrtajte okomicu na vodoravnu os tako da su površine rezultirajućih figura jednake. Vrijednost segmenta između sredine distribucije i rezultirajuće projekcije na horizontalnu os bit će standardna devijacija.

Softver

Kao što se može vidjeti iz opisa formula i prikazanih primjera, izračunavanje varijance i matematičkog očekivanja nije najlakši postupak s aritmetičkog stajališta. Kako ne biste gubili vrijeme, ima smisla koristiti program koji se koristi u višim obrazovne ustanove- zove se "R". Ima funkcije koje vam omogućuju izračunavanje vrijednosti za mnoge koncepte iz statistike i teorije vjerojatnosti.

Na primjer, definirate vektor vrijednosti. To se radi na sljedeći način: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Konačno

Disperzija i matematičko očekivanje su bez kojih je teško bilo što izračunati u budućnosti. U glavnom kolegiju predavanja na sveučilištima oni se razmatraju već u prvim mjesecima studiranja predmeta. Upravo zbog nerazumijevanja ovih jednostavnih pojmova i nemogućnosti njihovog izračunavanja mnogi studenti odmah počinju zaostajati u programu, a kasnije dobivaju slabe ocjene na sjednici, što ih uskraćuje stipendijama.

Vježbajte najmanje tjedan dana po pola sata dnevno, rješavajući zadatke slične onima prikazanima u ovom članku. Tada ćete se na bilo kojem testu teorije vjerojatnosti nositi s primjerima bez suvišnih savjeta i varalica.

Matematičko očekivanje je definicija

Mat čekanje je jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj statistici i teoriji vjerojatnosti, koji karakterizira distribuciju vrijednosti ili vjerojatnosti nasumična varijabla. Obično se izražava kao ponderirani prosjek svih mogućih parametara slučajne varijable. Široko se koristi u tehničkoj analizi, proučavanju brojevnih nizova, proučavanju kontinuiranih i dugotrajnih procesa. Važan je u procjeni rizika, predviđanju pokazatelja cijena pri trgovanju na financijskim tržištima, a koristi se u razvoju strategija i metoda taktike igre u teorija kockanja.

Šah-mat čeka- Ovo srednja vrijednost slučajne varijable, distribucija vjerojatnosti slučajna varijabla se razmatra u teoriji vjerojatnosti.

Mat čekanje je mjera srednje vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti. Matematičko očekivanje slučajne varijable x označeno M(x).

Matematičko očekivanje (srednja populacija) je

Mat čekanje je

Mat čekanje je u teoriji vjerojatnosti, ponderirani prosjek svih mogućih vrijednosti koje ova slučajna varijabla može uzeti.

Mat čekanje je zbroj proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable s vjerojatnostima tih vrijednosti.

Matematičko očekivanje (srednja populacija) je

Mat čekanje je prosječna korist od određene odluke, pod uvjetom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti.

Mat čekanje je u teoriji kockanja, iznos dobitka koji špekulant može zaraditi ili izgubiti, u prosjeku, za svaku okladu. Jezikom kockanja špekulanti to se ponekad naziva "prednošću špekulant” (ako je pozitivan za špekulanta) ili “kućni rub” (ako je negativan za špekulanta).

Matematičko očekivanje (srednja populacija) je

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. u redu