Trokutasti pogled na matricu. Svojstva gornje trokutaste matrice

Gornja trokutasta matrica

trokutasta matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod ili iznad glavne dijagonale jednaki nuli.

Primjer gornje trokutaste matrice

Gornja trokutasta matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale nula.

Donja trokutasta matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuli.

Unitrian matrica(gornja ili donja) - trokutasta matrica u kojoj su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki jedinici.

Trokutaste matrice koriste se prvenstveno u rješavanju linearnih sustava jednadžbi kada se matrica sustava reducira na trokutasti oblik pomoću sljedećeg teorema:

Sustavno rješenje linearne jednadžbe s trokutastom matricom ( obrnuti hod) nije teško.

Svojstva

• Determinanta trokutaste matrice jednak je proizvodu elemenata na svojoj glavnoj dijagonali.
• Determinanta jednotrokutne matrice jednaka je jedinici.
• Skup nedegeneriranih gornjih trokutastih matrica reda n množenjem s elementima iz polja k tvori grupu koja je označena UT(n, k) ili UT n (k).
• Skup nedegeneriranih donjih trokutastih matrica reda n množenjem s elementima iz polja k tvori grupu, koja je označena LT(n, k) ili LT n (k).
• Skup gornjih jednotrokutnih matrica s elementima iz polja kčini podskupinu UT n (k) množenjem, što je označeno SUT(n, k) ili SUT n (k). Označena je analogna podgrupa nižih jednotrokutnih matrica SLT(n, k) ili SLT n (k).
• Skup svih gornjih trokutastih matrica s elementima iz prstena k tvori algebru s obzirom na operacije zbrajanja, množenja elementima prstena i množenja matrica. Slična izjava vrijedi i za niže trokutaste matrice.
• Skupina UT br je rješiva, a njena jednotrokutna podgrupa SUT n nilpotentan.

vidi također

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Pogledajte što je "gornja trokutasta matrica" ​​u drugim rječnicima:

Trokutasta matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi unosi ispod ili iznad glavne dijagonale nula. Primjer gornje trokutaste matrice Gornja trokutasta matrica ... Wikipedia

Trokutasta matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi unosi ispod ili iznad glavne dijagonale nula. Primjer gornje trokutaste matrice Gornja trokutasta matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale nula. ... ... Wikipedia

Trokutasta matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi unosi ispod ili iznad glavne dijagonale nula. Primjer gornje trokutaste matrice Gornja trokutasta matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale nula. ... ... Wikipedia

Želite li poboljšati ovaj članak?: Pronađite i navedite fusnote za reference na autoritativne izvore koji potvrđuju ono što je napisano. Stavljajući fusnote, preciznije navedite izvore. Dodajte ilustracije ... Wikipedia

Prikaz simetrične pozitivno određene matrice u obliku gdje je donja trokutasta matrica sa strogo pozitivnim elementima na dijagonali. Ponekad se proširenje piše u ekvivalentnom obliku: gdje je gornja trokutasta matrica. ... ... Wikipedia

SFLASH je algoritam asimetričnog digitalnog potpisa preporučen od strane europskog projekta NESSIE 2003. godine. SFLASH se temelji na Matsumoto Imai(MI) shemi, također nazvanoj C*. Algoritam pripada obitelji višedimenzionalnih shema javnih ključeva, zatim ... ... Wikipedia

Proces ortogonalizacije, algoritam konstrukcije zadanog lineara neovisni sustav vektori euklidskog ili hermitskog prostora V ortogonalnog sustava vektora različitih od nule koji generiraju isti podprostor u V. Najpoznatiji je ... ... Matematička enciklopedija

Koeficijent korelacije- (Koeficijent korelacije) Koeficijent korelacije je statistički ovisnost dva slučajne varijable Definicija koeficijenta korelacije, vrste koeficijenata korelacije, svojstva koeficijenta korelacije, izračun i primjena ... ... Enciklopedija investitora

Metoda slabljenja, metoda iterativno rješenje sustavi linearne algebre. jednadžbe Ax = b, elementarni korak do rho sastoji se u promjeni samo jedne komponente vektora nepoznanica, a brojevi varijabilnih komponenti biraju se u nekom cikličkom ... Matematička enciklopedija

U kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli.

Donja trokutasta matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuli.

Unitrian matrica(gornja ili donja) - trokutasta matrica u kojoj su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki jedinici.

Trokutaste matrice koriste se prvenstveno u rješavanju linearnih sustava jednadžbi kada se matrica sustava reducira na trokutasti oblik pomoću sljedećeg teorema:

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi s trokutastom matricom (obrnuto kretanje) nije teško.

Svojstva

• Determinanta trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata na njezinoj glavnoj dijagonali.
• Determinanta jednotrokutne matrice jednaka je jedinici.
• Skup nedegeneriranih gornjih trokutastih matrica reda n množenjem s elementima iz polja k tvori grupu koja je označena UT(n, k) ili UT n (k).
• Skup nedegeneriranih donjih trokutastih matrica reda n množenjem s elementima iz polja k tvori grupu, koja je označena LT(n, k) ili LT n (k).
• Skup gornjih jednotrokutnih matrica s elementima iz polja kčini podskupinu UT n (k) množenjem, što je označeno SUT(n, k) ili SUT n (k). Označena je analogna podgrupa nižih jednotrokutnih matrica SLT(n, k) ili SLT n (k).
• Skup svih gornjih trokutastih matrica s elementima iz prstena k tvori algebru s obzirom na operacije zbrajanja, množenja elementima prstena i množenja matrica. Slična izjava vrijedi i za niže trokutaste matrice.
• Skupina UT br je rješiva, a njena jednotrokutna podgrupa SUT n nilpotentan.

vidi također

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Pogledajte što je "trokutasta matrica" ​​u drugim rječnicima:

trokutasta matrica- — trokutasta matrica Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod ili iznad glavne dijagonale jednaki nuli (usp. Dijagonalna matrica). U prvom slučaju imamo...

trokutasta matrica- kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod ili iznad glavne dijagonale jednaki nuli (usp. Dijagonalna matrica). U prvom slučaju imamo gornji T.m. u drugom donjem...

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod (ili iznad) glavne dijagonale jednaki nuli. U prvom slučaju poziva se matrica gornja trokutasta matrica, u drugoj donja trokutasta matrica. Determinanta T. m. jednaka je umnošku svih njegovih ... Matematička enciklopedija

Trokutasta matrica MOB- matrica međusektorskih koeficijenata ravnoteže (IRB), koja odgovara takvim sustav proizvodnje, u kojem se bilo koji proizvod može potrošiti u vlastitoj proizvodnji iu proizvodnji bilo kojeg sljedećeg ... ... Ekonomski i matematički rječnik

trokutasta matrica MOB- Input-output bilanca (IRB) matrica koja odgovara takvom proizvodnom sustavu u kojem se bilo koji proizvod može potrošiti u vlastitoj proizvodnji iu proizvodnji bilo kojeg proizvoda koji ga prati, ali ne ... ... Tehnički prevoditeljski priručnik

Trokutasta matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi unosi ispod ili iznad glavne dijagonale nula. Primjer gornje trokutaste matrice Gornja trokutasta matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale nula. ... ... Wikipedia

Blok trokutasta matrica- je matrica koja se može podijeliti na podmatrice na način da se na jednoj strani njezine “glavne dijagonale”, sastavljene od podmatrica, nalaze nule. Primjeri blok trokutastih matrica su ... ... Ekonomski i matematički rječnik

blok trokutasta matrica- Matrica koja se može podijeliti na submatrice na način da su nule s jedne strane njezine “glavne dijagonale”, sastavljene od submatrica. Primjeri blok trokutastih matrica su trokutasta matrica i blok dijagonalna matrica... Tehnički prevoditeljski priručnik

Matrica- sustav elemenata (brojeva, funkcija i drugih veličina) raspoređenih u obliku pravokutne tablice, nad kojom možete izvoditi određene radnje. Stol ima sljedeći pogled: Element matrice u opći pogled označeno aij je ... ... Ekonomski i matematički rječnik

matrica- Logička mreža konfigurirana kao pravokutni niz sjecišta ulazno/izlaznih kanala. matrica Sustav elemenata (brojeva, funkcija i drugih veličina) raspoređenih u obliku pravokutnog ... ... Tehnički prevoditeljski priručnik

Matrica je poseban objekt u matematici. Prikazuje se u obliku pravokutne ili kvadratne tablice, sastavljene od određenog broja redaka i stupaca. U matematici postoji veliki izbor vrsta matrica koje se razlikuju po veličini ili sadržaju. Brojevi njegovih redaka i stupaca nazivaju se redovi. Ti se objekti koriste u matematici za organiziranje pisanja sustava linearnih jednadžbi i prikladno pretraživanje njihovih rezultata. Jednadžbe pomoću matrice rješavaju se metodom Carla Gaussa, Gabriela Cramera, minorima i algebarskim sabiranjem te mnogim drugim načinima. Osnovna vještina pri radu s matricama je redukcija na standardna forma. Međutim, prvo, shvatimo koje vrste matrica razlikuju matematičari.

Nulti tip

Sve komponente ove vrste matrice su nule. U međuvremenu, broj njegovih redaka i stupaca potpuno je drugačiji.

kvadratnog tipa

Broj stupaca i redaka ove vrste matrice je isti. Drugim riječima, to je stol "kvadratnog" oblika. Broj njegovih stupaca (ili redaka) naziva se redoslijed. Posebni slučajevi su postojanje matrice drugog reda (matrica 2x2), četvrtog reda (4x4), desetog (10x10), sedamnaestog (17x17) i tako dalje.

Vektor stupca

Ovo je jedna od najjednostavnijih vrsta matrica, koja sadrži samo jedan stupac, koji uključuje tri numeričke vrijednosti. Predstavlja niz slobodnih članova (brojeva neovisnih o varijablama) u sustavima linearnih jednadžbi.

Pogled sličan prethodnom. Sastoji se od tri numerička elementa, redom organizirana u jednom redu.

Dijagonalni tip

Brojčane vrijednosti u dijagonalnom obliku matrice uzimaju samo komponente glavne dijagonale (označeno u zelenoj boji). Glavna dijagonala počinje elementom s desne strane gornji kut, a završava brojem u trećem stupcu trećeg retka. Ostale komponente su nula. Dijagonalni tip je samo kvadratna matrica nekog reda. Među matricama dijagonalnog oblika može se izdvojiti skalarna. Sve njegove komponente imaju iste vrijednosti.

Podvrsta dijagonalne matrice. Sva ona brojčane vrijednosti su jedinice. Korištenjem jedne vrste tablica matrica izvode se njezine osnovne transformacije ili se pronalazi matrica koja je inverzna izvornoj.

Kanonski tip

Kanonski oblik matrice smatra se jednim od glavnih; za rad je često potrebno lijevanje. Broj redaka i stupaca u kanonskoj matrici je različit, ne mora nužno pripadati kvadratnog tipa. Ona je donekle slična Matrica identiteta, no u tom slučaju ne poprimaju vrijednost sve komponente glavne dijagonale jednako jedan. Mogu postojati dvije ili četiri glavne dijagonalne jedinice (sve ovisi o duljini i širini matrice). Ili možda uopće nema jedinica (tada se smatra nulom). Preostale komponente kanonskog tipa, kao i elementi dijagonalnog i jediničnog tipa, jednaki su nuli.

trokutasti tip

Jedan od najvažnije vrste matrica, koja se koristi pri traženju njezine determinante i pri izvođenju jednostavnih operacija. Trokutasti tip dolazi od dijagonalnog tipa, tako da je matrica također kvadratna. Trokutasti pogled na matricu podijeljen je na gornji trokutasti i donji trokutasti.

U gornjoj trokutastoj matrici (slika 1) samo elementi koji su iznad glavne dijagonale poprimaju vrijednost jednaku nuli. Komponente same dijagonale i dijela matrice ispod nje sadrže numeričke vrijednosti.

U donjoj trokutastoj matrici (slika 2), naprotiv, elementi koji se nalaze u donjem dijelu matrice jednaki su nuli.

Forma je neophodna za određivanje ranga matrice, kao i za elementarne operacije na njima (uz trokutasti tip). Matrica koraka je tako nazvana jer sadrži karakteristične "korake" nula (kao što je prikazano na slici). U stepenastom tipu formira se dijagonala nula (ne nužno glavna), a svi elementi ispod ove dijagonale također imaju vrijednosti jednake nuli. Preduvjet je sljedeći: ako stepenasta matrica postoji nulti niz, onda ostali nizovi ispod njega također ne sadrže numeričke vrijednosti.

Dakle, razmotrili smo najvažnije vrste matrice potrebne za rad s njima. Sada se pozabavimo zadatkom pretvaranja matrice u traženi oblik.

Svođenje na trokutasti oblik

Kako dovesti matricu do trokutastog oblika? Najčešće, u zadacima, trebate pretvoriti matricu u trokutasti oblik kako biste pronašli njezinu determinantu, inače zvanu determinanta. Prilikom izvođenja ovog postupka izuzetno je važno "sačuvati" glavnu dijagonalu matrice, jer je determinanta trokutaste matrice upravo umnožak komponenata njene glavne dijagonale. Podsjetit ću vas i na alternativne metode za pronalaženje determinante. Determinanta kvadratnog tipa nalazi se pomoću posebnih formula. Na primjer, možete koristiti metodu trokuta. Za ostale matrice koristi se metoda dekompozicije po redu, stupcu ili njihovim elementima. Također možete primijeniti metodu minora i algebarskih komplemenata matrice.

Analizirajmo detaljno proces dovođenja matrice u trokutasti oblik koristeći primjere nekih zadataka.

Vježba 1

Potrebno je pronaći determinantu prikazane matrice, koristeći metodu njenog dovođenja u trokutasti oblik.

Matrica koja nam je dana je kvadratna matrica trećeg reda. Stoga, da bismo ga transformirali u trokutasti oblik, moramo ukloniti dvije komponente prvog stupca i jednu komponentu drugog.

Da bismo je doveli do trokutastog oblika, transformaciju započinjemo od donjeg lijevog kuta matrice - od broja 6. Da bismo je pretvorili u nulu, pomnožimo prvi red s tri i oduzmemo ga od zadnjeg retka.

Važno! Gornja linija se ne mijenja, ali ostaje ista kao u originalnoj matrici. Ne morate pisati niz četiri puta veći od izvornog. Ali vrijednosti redaka čije komponente treba postaviti na nulu stalno se mijenjaju.

Ostaci samo zadnja vrijednost- element trećeg retka drugog stupca. Ovo je broj (-1). Da biste ga okrenuli na nulu, oduzmite drugi od prvog retka.

Provjerimo:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Dakle, odgovor na zadatak: -22.

Zadatak 2

Potrebno je pronaći determinantu matrice dovodeći je u trokutasti oblik.

Prikazana matrica pripada kvadratnom tipu i matrica je četvrtog reda. To znači da je potrebno eliminirati tri komponente prvog stupca, dvije komponente drugog stupca i jednu komponentu trećeg stupca.

Počnimo ga donositi od elementa koji se nalazi u donjem lijevom kutu - od broja 4. Moramo preokrenuti dati broj na nulu. Najlakši način da to učinite je da pomnožite gornji red s četiri i zatim ga oduzmete od četvrtog retka. Zapišimo rezultat prve faze transformacije.

Dakle, komponenta četvrtog reda je postavljena na nulu. Prijeđimo na prvi element trećeg retka, na broj 3. Izvodimo sličnu operaciju. Pomnožite s tri prvi red, oduzmite ga od trećeg reda i zapišite rezultat.

Uspjeli smo postaviti na nulu sve komponente prvog stupca ove kvadratne matrice, osim broja 1, elementa glavne dijagonale koji ne zahtijeva transformaciju. Sada je važno zadržati dobivene nule, pa ćemo transformacije izvoditi s redovima, a ne s stupcima. Prijeđimo na drugi stupac prikazane matrice.

Krenimo opet odozdo – od elementa drugog stupca zadnjeg reda. Ovo je broj (-7). Međutim, u ovaj slučaj prikladnije je započeti s brojem (-1) - elementom drugog stupca trećeg reda. Da biste ga okrenuli na nulu, oduzmite drugi red od trećeg reda. Zatim pomnožimo drugi red sa sedam i oduzmemo ga od četvrtog. Dobili smo nulu umjesto elementa koji se nalazi u četvrtom retku drugog stupca. Sada prijeđimo na treći stupac.

U ovom stupcu trebamo okrenuti na nulu samo jedan broj - 4. To je lako učiniti: samo dodajte treći u zadnji redak i vidite nulu koja nam je potrebna.

Nakon svih transformacija, predloženu matricu doveli smo u trokutasti oblik. Sada, da biste pronašli njegovu determinantu, trebate samo pomnožiti rezultirajuće elemente glavne dijagonale. Dobivamo: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Dakle, rješenje je broj 160.

Dakle, sada vam pitanje dovođenja matrice u trokutasti oblik neće otežati.

Svođenje na stepenasti oblik

Za elementarne operacije na matricama stepenasta forma je manje "tražena" od trokutaste. Najčešće se koristi za pronalaženje ranga matrice (tj. broja njezinih redaka koji nisu nula) ili za određivanje linearno zavisnih i neovisnih redaka. Međutim, stepenasti pogled na matricu je svestraniji, jer je prikladan ne samo za kvadratni tip, već i za sve ostale.

Da se matrica dovede do stepenasti pogled, prvo treba pronaći njegovu odrednicu. Za to su gore navedene metode prikladne. Svrha pronalaženja determinante je otkriti može li se ona pretvoriti u matricu koraka. Ako je determinanta veća ili manja od nule, tada možete sigurno nastaviti sa zadatkom. Ako je jednak nuli, neće uspjeti reducirati matricu na stepenasti oblik. U tom slučaju morate provjeriti postoje li greške u zapisu ili u transformacijama matrice. Ako takvih netočnosti nema, zadatak se ne može riješiti.

Razmotrimo kako dovesti matricu do stupnjevitog oblika koristeći primjere nekoliko zadataka.

Vježba 1. Odredite rang zadane matrične tablice.

Pred nama je kvadratna matrica trećeg reda (3x3). Znamo da je za pronalaženje ranga potrebno svesti ga na stepenasti oblik. Stoga prvo trebamo pronaći determinantu matrice. Upotrijebimo metodu trokuta: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinanta = 12. Veća je od nule, što znači da se matrica može svesti na stepenasti oblik. Počnimo ga transformirati.

Počnimo s elementom lijevog stupca trećeg retka - brojem 2. Gornji red pomnožimo s dva i oduzmemo ga od trećeg. Zahvaljujući ovoj operaciji, i element koji nam je potreban i broj 4 - element drugog stupca trećeg reda - pretvorili su se u nulu.

Vidimo da je kao rezultat redukcije nastala trokutasta matrica. U našem slučaju, transformacija se ne može nastaviti, jer se preostale komponente ne mogu okrenuti na nulu.

Dakle, zaključujemo da je broj redaka koji sadrže numeričke vrijednosti u ovoj matrici (ili njen rang) 3. Odgovor na zadatak: 3.

Zadatak 2. Odredite broj linearno neovisnih redaka zadane matrice.

Moramo pronaći takve nizove koji se nikakvim transformacijama ne mogu pretvoriti u nulu. Zapravo, trebamo pronaći broj redaka koji nisu nula, ili rang predstavljene matrice. Da bismo to učinili, pojednostavimo to.

Vidimo matricu koja ne pripada kvadratnom tipu. Ima dimenzije 3x4. Započnimo cast i od elementa donjeg lijevog kuta - broja (-1).

Daljnje transformacije nisu moguće. Dakle, zaključujemo da je broj linearno nezavisnih redaka u njemu i odgovor na zadatak 3.

Sada vam dovođenje matrice u stepenasti oblik nije nemoguć zadatak.

Na primjerima ovih zadataka analizirali smo svođenje matrice na trokutasti oblik i stepenasti oblik. Poništiti željene vrijednosti matrične tablice, pojedinačni slučajevi morate pokazati maštu i ispravno transformirati njihove stupce ili retke. Sretno u matematici i radu s matricama!

stranica 2

Trokutasta matrica je matrica u kojoj su svi elementi s jedne strane glavne ili sporedne dijagonale jednaki nuli. Što je determinanta trokutaste matrice.

Trokutasta matrica je matrica u kojoj su svi elementi s jedne strane glavne ili sporedne dijagonale jednaki nuli. Što je determinanta trokutaste matrice.

Operacije za izvođenje pomaka prema naprijed Gaussove metode u skladu s teoremima linearne algebre ne mijenjaju vrijednost determinante. Očito je determinanta trokutaste matrice jednaka umnošku njezinih dijagonalnih elemenata.

Ovaj intuitivni prikaz u nekim slučajevima nalazi točan kvantitativni izraz. Na primjer, znamo (vidi (6) iz § 1) da je determinanta trokutaste matrice (gornje ili donje) jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

Trokutaste matrice imaju mnoga izvanredna svojstva, zbog kojih se široko koriste u izgradnji većine razne metode rješavanje zadataka iz algebre. Tako, na primjer, za kvadratne matrice zbroj i umnožak istoimenih trokutastih matrica je istoimena trokutasta matrica, determinanta trokutaste matrice jednaka je umnošku dijagonalnih elemenata, svojstvene vrijednosti trokutaste matrice koincidiraju s njezinim dijagonalnim elementima, trokutasta matrica je lako obrnuta i njezin inverz će također biti trokutast.

Već je ranije napomenuto da izravno određivanje determinante zahtijeva veliku količinu računanja. Istodobno, determinanta trokutaste matrice lako se izračunava: jednaka je proizvodu njegovih dijagonalnih elemenata.

Kako više nula među elementima matrice A i što su oni bolje smješteni, to je lakše izračunati determinantu det A. Ova intuitivna reprezentacija u nekim slučajevima nalazi točan kvantitativni izraz. Na primjer, znamo (vidi (6) iz § 1) da je determinanta trokutaste matrice (gornje ili donje) jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

Na primjer, množenje determinante skalarom je ekvivalentno množenju elemenata bilo kojeg retka ili bilo kojeg stupca matrice tim skalarom. Iz jednadžbe (40) i iz činjenice da je proširenje primjenjivo na algebarsko zbrajanje kao i za determinantu, slijedi da je determinanta trokutaste matrice jednaka umnošku njezinih dijagonalnih elemenata.

Ova mogućnost proizlazi iz tri osnovna svojstva odrednice. Dodavanje višekratnika jednog niza drugom ne mijenja determinantu. Zamjenom dva niza mijenja se predznak determinante. Determinanta trokutaste matrice je jednostavno proizvod njenih dijagonalnih elemenata. DECOMP koristi posljednju komponentu stožernog vektora da tamo stavi vrijednost 1, ako postoji Parni broj permutacije, a vrijednost je 1 ako je neparan. Da bi se dobila determinanta, ova se vrijednost mora pomnožiti s umnoškom dijagonalnih elemenata izlazne matrice.