We hebben de omgeving van dit punt gedefinieerd als de buitenkant van cirkels met het middelpunt in de oorsprong: jij (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ). Punt z = ∞ is een geïsoleerd singulier punt van de analytische functie met wie = f (z ) als er geen andere singuliere punten van deze functie in de buurt van dit punt zijn. Om het type van dit singuliere punt te bepalen, maken we een wijziging van variabele , terwijl het punt z = ∞ gaat naar het punt z 1 = 0, functie met wie = f (z ) heeft de vorm . Enkelvoudig punttype z = ∞ functies met wie = f (z ) noemen we het type van het singuliere punt z 1 = 0 kenmerken met wie = φ (z een). Als de uitbreiding van de functie met wie = f (z ) in graden z in de buurt van het punt z = , d.w.z. voor voldoende grote modulo-waarden z , heeft de vorm , dan, vervangen z op, krijgen we. Dus bij een dergelijke verandering van variabele worden de hoofd- en reguliere delen van de Laurent-reeks verwisseld, en het type van het singuliere punt z = ∞ wordt bepaald door het aantal termen in het juiste deel van de uitbreiding van de functie in een Laurentreeks in machten z in de buurt van het punt z = 0. Daarom
1. Punt z = ∞ is een verwijderbaar singulier punt als er geen regulier onderdeel is in deze uitbreiding (met de mogelijke uitzondering van de term EEN 0);
2. Punt z = ∞ - pool n -de orde, als het juiste deel eindigt met een term Een · z n ;
3. Punt z = ∞ is een essentieel singulier punt als het regelmatige deel oneindig veel termen bevat.

Tegelijkertijd blijven de tekens van de soorten singuliere punten op waarde geldig: als z= ∞ is een verwijderbaar singulier punt, dan bestaat deze limiet en is deze eindig als z= ∞ - pool, dan is deze limiet oneindig als z= ∞ een in wezen singulier punt is, dan bestaat deze limiet niet (noch eindig noch oneindig).

Voorbeelden: 1. f (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. De functie is al een polynoom in machten z , de hoogste graad is de zesde, dus z
Hetzelfde resultaat kan op een andere manier worden bereikt. Laten we vervangen z op, dan . voor functie: φ (z 1) punt z 1 = 0 is een pool van de zesde orde, dus voor f (z ) punt z = ∞ is een pool van de zesde orde.
2. . Verkrijg voor deze functie de uitbreiding in bevoegdheden z moeilijk, dus vinden we: ; de limiet bestaat en is eindig, dus het punt z
3. . Het rechterdeel van de uitbreiding in bevoegdheden z bevat oneindig veel termen, dus z = ∞ is een essentieel singulier punt. Anders kan dit feit worden vastgesteld op basis van het feit dat het niet bestaat.

Functieresidu op oneindig ver verwijderd singulier punt.

Voor eind enkelvoud a , waar γ - een contour met daarin niet anders dan a , singuliere punten, doorkruist zodat het gebied dat erdoor wordt begrensd en dat het singuliere punt bevat links blijft (tegen de klok in).

Laten we het op een vergelijkbare manier definiëren: , waarbij Γ − een contour is die zo'n buurt begrenst jij (∞, r ) punten z = ∞, die geen andere singuliere punten bevat, en is verplaatsbaar zodat deze buurt aan de linkerkant blijft (d.w.z. met de klok mee). Alle andere (eind) singuliere punten van de functie moeten dus binnen de contour Γ − liggen. Laten we de richting van het omzeilen van de contour veranderen Γ − : . Volgens de belangrijkste residustelling , waar de sommatie over alle eindige singuliere punten is. Daarom, eindelijk

,

die. het residu op een oneindig ver verwijderd singulier punt is gelijk aan de som van de residuen over alle eindige singuliere punten, genomen met het tegenovergestelde teken.

Als gevolg hiervan is er totale residu stelling: als functie met wie = f (z ) is overal in het vliegtuig analytisch Met , behalve een eindig aantal singuliere punten z 1 , z 2 , z 3 , …,zk , dan is de som van de resten op alle eindige singuliere punten en de rest op oneindig nul.

Merk op dat als z = ∞ een verwijderbaar singulier punt is, dan kan het residu erop verschillen van nul. Dus voor de functie , uiteraard ; z = 0 is het enige singuliere eindpunt van deze functie, dus , ondanks het feit dat , d.w.z. z = ∞ is een verwijderbaar singulier punt.

Definitie. Een punt op oneindig in het complexe vlak heet geïsoleerd enkelvoudig punt analytische functie met één waarde f(z), indien buiten cirkel met een bepaalde straal R,

die. voor , er is geen laatste singulier punt van de functie f(z).

Om de functie op een oneindig ver verwijderd punt te bestuderen, maken we de verandering
Functie

zal een singulariteit hebben op het punt ζ = 0, en dit punt wordt geïsoleerd, aangezien

binnen de cirkel
er zijn geen andere singuliere punten door aanname. Analytisch hierin zijn

cirkel (met uitzondering van ζ = 0), functie
kan worden uitgebreid in een Laurent-reeks in bevoegdheden ζ . De in de vorige paragraaf beschreven classificatie blijft volledig behouden.

Als we echter terugkeren naar de oorspronkelijke variabele z, dan reeksen in positieve en negatieve machten z'ruil' van plaats. Die. de classificatie van punten op oneindig zou er als volgt uitzien:

Voorbeelden. 1.
. Punt z = i − pool van de 3e orde.

2.
. Punt z = ∞ is een essentieel enkelvoudig punt.

§achttien. Rest van een analytische functie op een geïsoleerd singulier punt.

laat het punt z 0 is een geïsoleerd singulier punt van een analytische functie met één waarde

f(z). Volgens de vorige, in de buurt van dit punt f(z) kan op unieke wijze worden weergegeven door een Laurent-reeks:
waar

Definitie.aftrek analytische functie: f(z) op een geïsoleerd enkelvoudig punt z 0

heet een complex getal gelijk aan de waarde van de integraal
, genomen in de positieve richting langs elke gesloten contour die in het analytische gebied van de functie ligt en daarin het enige singuliere punt bevat z 0 .

Het residu wordt aangegeven met het symbool Res [f(z),z 0 ].

Het is gemakkelijk te zien dat het residu op een regelmatig of verwijderbaar singulier punt gelijk is aan nul.

Op een pool of een essentieel singulier punt is het residu gelijk aan de coëfficiënt met-1 Laurent-rij:

.

Voorbeeld. Vind het residu van een functie
.

(Laat het gemakkelijk zijn om dat te zien)

coëfficiënt met-1 wordt verkregen door de termen te vermenigvuldigen met n= 0:res[ f(z),i ] =
}

Het is vaak mogelijk om de resten van functies op een eenvoudigere manier te berekenen. Laat de functie f(z) heeft incl. z 0 is een eerste orde pool. In dit geval heeft de uitbreiding van de functie in een Laurentreeks de vorm (§16):. We vermenigvuldigen deze gelijkheid met (z − z 0) en gaan door tot de limiet at
. Als resultaat krijgen we: Res[ f(z),z 0 ] =
Ja in

in het laatste voorbeeld hebben we Res[ f(z),i ] =
.

Om residuen op polen van hogere orde te berekenen, vermenigvuldigt u de functie

op de
(m− volgorde van de pool) en differentiëren de resulterende reeks ( m − 1 keer.

In dit geval hebben we: Res[ f(z),z 0 ]

Voorbeeld. Vind het residu van een functie
in punt z= −1.

{Onderzoek f(z), −1] }

Als een rij convergeert naar een eindig getal a , dan schrijven we
.
Eerder hebben we oneindig grote reeksen in overweging genomen. We hebben geaccepteerd dat ze convergeren en hebben hun limieten aangegeven met symbolen en . Deze symbolen vertegenwoordigen wijst op oneindig. Ze behoren niet tot de verzameling reële getallen. Maar het concept van een limiet maakt het mogelijk om dergelijke punten te introduceren en biedt een hulpmiddel om hun eigenschappen te bestuderen met behulp van reële getallen.

Definitie
punt van oneindigheid, of oneindigheid zonder teken, is de limiet waarnaar een oneindig grote reeks neigt.
wijzen op oneindig plus oneindig, is de limiet waarnaar een oneindig grote reeks met positieve termen neigt.
wijzen naar oneindig min oneindig, is de limiet waarnaar een oneindig grote reeks met negatieve termen neigt.

Voor elk reëel getal a gelden de volgende ongelijkheden:
;
.

Met behulp van reële getallen hebben we het concept geïntroduceerd buurt van een punt op oneindig.
De buurt van een punt is de verzameling.
Ten slotte is de buurt van het punt de verzameling.
Hier is M een willekeurig, willekeurig groot reëel getal.

Daarom hebben we de verzameling reële getallen uitgebreid door er nieuwe elementen in te introduceren. In dit verband vindt de volgende definitie plaats:

Uitgebreide getallenlijn of uitgebreide set van reële getallen wordt de verzameling reële getallen genoemd, aangevuld met elementen en :
.

Eerst noteren we de eigenschappen die de punten en hebben. Vervolgens bekijken we de kwestie van een rigoureuze wiskundige definitie van bewerkingen voor deze punten en het bewijs van deze eigenschappen.

Eigenschappen van punten op oneindig

Som en verschil.
; ;
; ;

Werk en privé.
; ; ;
;
;
; ; .

Verbinding met reële getallen.
Laat a een willekeurig reëel getal zijn. Dan
; ;
; ; ; .
laat een > 0 . Dan
; ; .
laat een < 0 . Dan
; .

Ongedefinieerde bewerkingen.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Bewijzen voor eigenschappen van punten op oneindig

Definitie van wiskundige bewerkingen

We hebben al definities gegeven voor punten op oneindig. Nu moeten we er wiskundige bewerkingen voor definiëren. Aangezien we deze punten hebben gedefinieerd in termen van reeksen, moeten bewerkingen op deze punten ook worden gedefinieerd in termen van reeksen.

Dus, som van twee punten
c = a + b
behorend tot de uitgebreide reeks reële getallen,
,
we zullen de limiet noemen
,
waar en zijn willekeurige reeksen met limieten
en .

De bewerkingen van aftrekken, vermenigvuldigen en delen worden op een vergelijkbare manier gedefinieerd. Alleen mogen bij deling de elementen in de noemer van de breuk niet gelijk zijn aan nul.
Dan het verschil van twee punten:
is de limiet: .
Punt product:
is de limiet: .
Privaat:
is de limiet: .
Hier en zijn willekeurige reeksen waarvan de limieten respectievelijk a en b zijn. In het laatste geval, .

Eigendomsbewijzen

Om de eigenschappen van punten op oneindig te bewijzen, moeten we de eigenschappen van oneindig grote rijen gebruiken.

Denk aan een woning:
.
Om het te bewijzen, moeten we laten zien dat
,

Met andere woorden, we moeten bewijzen dat de som van twee rijen die convergeren naar plus oneindig, convergeren naar plus oneindig.

1 de volgende ongelijkheden gelden:
;
.
Dan voor en we hebben:
.
Laat . Dan
Bij ,
waar .
Dit betekent dat .

Andere eigenschappen worden op een vergelijkbare manier bewezen. Als voorbeeld geven we nog een bewijs.

Laten we bewijzen dat:
.
Om dit te doen, moeten we laten zien dat
,
waar en willekeurige reeksen zijn, met limieten en .

Dat wil zeggen, we moeten bewijzen dat het product van twee oneindig grote rijen een oneindig grote rij is.

Laten we het bewijzen. Sinds en , dan zijn er enkele functies en , zodat voor elk positief getal M 1 de volgende ongelijkheden gelden:
;
.
Dan voor en we hebben:
.
Laat . Dan
Bij ,
waar .
Dit betekent dat .

Ongedefinieerde bewerkingen

Sommige wiskundige bewerkingen met punten op oneindig zijn niet gedefinieerd. Om hun onbepaaldheid aan te tonen, moeten we een paar speciale gevallen geven waarin het resultaat van de operatie afhangt van de keuze van de sequenties die erin zijn opgenomen.

Overweeg deze operatie:
.
Het is gemakkelijk aan te tonen dat als en , dan de limiet van de som van rijen afhangt van de keuze van rijen en .

Inderdaad, laten we nemen. De limieten van deze reeksen zijn gelijk. Bedrag limiet

is gelijk aan oneindig.

Laten we nu nemen. De limieten van deze reeksen zijn ook gelijk. Maar de limiet van hun som

gelijk is aan nul.

Dat wil zeggen, op voorwaarde dat en , de waarde van de somlimiet verschillende waarden kan aannemen. Daarom is de operatie niet gedefinieerd.

Op een vergelijkbare manier kan de onzekerheid van de overige hierboven gepresenteerde operaties worden weergegeven.

punt van oneindigheid.

Laat de functie analytisch zijn in een bepaalde buurt van een oneindig ver verwijderd punt (behalve het punt zelf). Ze zeggen dat isverwijderbare enkelvoudige punt, paal of essentiële enkelvoudige puntfuncties afhankelijk vaneindig, oneindig of niet-bestaand .

Laten we analytisch zijn in een bepaalde buurt van het punt.Het laatste zal een enkelvoudig punt zijn van hetzelfde type als voor. De Laurent-uitbreiding in de buurt kan worden verkregen door een eenvoudige wijziging in de Laurent-uitbreiding in de buurt. Maar bij zo'n vervanging wordt het juiste onderdeel vervangen door het hoofdonderdeel en omgekeerd. Dus, eerlijk

Stelling 1. In het geval van een verwijderbare singulariteit op een punt op oneindig, bevat de Laurent-uitbreiding van een functie in de buurt van dit punt helemaal geen positieve krachten, in het geval van een poolbevat een eindig aantal, en in het gevalessentieel kenmerk - oneindig.

Als heeft op een punt verwijderbaar functie, wordt er meestal gezegd dat hetanalytisch op oneindig, en accepteren. In dit geval is de functie uiteraard ook begrensd in een bepaalde buurt van het punt.

Laat de functie analytisch zijn in de volledige ruimte. Uit de analyse van een functie op een punt op oneindig, volgt dat deze begrensd is in de buurt van dit punt; laat bij. Anderzijds impliceert de analyse in een gesloten cirkel haar beperktheid in deze cirkel; laat het binnen. Maar dan is de functie begrensd in het hele vlak: voor alles wat we hebben. Dus de stelling van Liouvillekan de volgende vorm worden gegeven.

Stelling 2. Als een functie analytisch is in het volledige vlak, dan is deze constant.

Laten we nu het concept introducerenresidu op oneindig. Laat de functie analytisch zijn in een bepaalde buurt van een punt (behalve misschien voor dit punt zelf); onderfunctieaftrek op oneindig begrijpen

waar is een voldoende grote cirkel met de klok mee doorlopen (zodat de cirkel van het punt aan de linkerkant blijft).

Uit deze definitie volgt direct dat het residu van een functie op oneindig gelijk is aan de coëfficiënt van at in zijn Laurentexpansie in de buurt van een punt, genomen met het tegengestelde teken:

Stelling 3. Als een functie een eindig aantal singuliere punten in het volledige vlak heeft, dan is de som van alle resten, inclusief de rest op oneindig, gelijk aan nul.

Bewijs. Inderdaad, laten we een 1 ,…een n zijn de eind singuliere punten van de functie en zijn de cirkel die ze allemaal binnenin bevat. Door de eigenschap van integralen, de residustelling en de definitie van een residu op een oneindig ver verwijderd punt, hebben we:

Ch.t.d.

Toepassingen van de theorie van residuen op de berekening van integralen.

Laat het nodig zijn om de integraal van een reële functie te berekenen over een (eindig of oneindig) segment ( a, b) x-as. Aanvulling (a , b ) een curve die samen met ( een , b ) domein, en analytisch doorgaan.

We passen de residustelling toe op de geconstrueerde analytische voortzetting:

(1)

Als de integraal over kan worden berekend of uitgedrukt in termen van de gewenste integraal, dan is het rekenprobleem opgelost.

In het geval van oneindige segmenten ( een , b ) beschouwen gewoonlijk families van oneindig uitdijende integratiecontouren, die zo zijn geconstrueerd dat, als gevolg van het overschrijden van de limiet, we een integraal over krijgen ( een , b ). In dit geval kan de integraal over in relatie (1) niet worden berekend, maar kan alleen de limiet worden gevonden, die vaak gelijk aan nul blijkt te zijn.

Het volgende is erg handig.

Lemma (Jordanië). Als op een reeks cirkelbogen, (, a vast) de functie neigt uniform naar nul met betrekking tot

. (2)

Bewijs. aanduiden

Volgens de voorwaarden van het lemma, zoals ook neigt naar nul, en Let een>0; op de bogen AB en CD die we hebben.

Daarom is de integraal over bogen AB, CD neigt naar nul bij.

Aangezien de ongelijkheid geldig is voor , dan is op de boog ZIJN

Daarom, en dus ook de neiging tot nul op. Als op de boog CE Als de poolhoek met de klok mee wordt geteld, wordt dezelfde schatting verkregen voor. In het geval waarin het bewijs wordt vereenvoudigd, aangezien het is overbodig om de integraal over bogen te schatten AB en CD. Het lemma is bewezen.

Opmerking 1. De volgorde van cirkelbogen in het lemma kan worden vervangen boog familie

dan, als de functie bij neigt naar nul uniform ten opzichte van dan for

. (3)

Het bewijs blijft geldig.

Opmerking 2. Laten we de variabele veranderen: iz=p , dan worden de bogen van de cirkels van het lemma vervangen door bogen, en dat krijgen we voor elke functie F(p ) neigt naar nul als uniform met betrekking tot en voor elk positief t

. (4)

Vervanging van p in (4) door (-p ) krijgen we dat onder dezelfde voorwaarden voor

, (5)

waar is de boog van een cirkel (zie fig.).

Overweeg voorbeelden van het berekenen van integralen.

Voorbeeld 1. .

Laten we een hulpfunctie kiezen. Omdat functie op voldoet aan de ongelijkheid, dan neigt het uniform naar nul als, en volgens het Jordaanse lemma, als

Want we hebben door de residustelling

In de limiet bij krijgen we:

Door de echte delen te scheiden en de pariteit van de functie te gebruiken, vinden we:

Voorbeeld 2. Om de integraal te berekenen

Laten we een hulpfunctie nemen. De integratiecontour omzeilt het singuliere punt z =0. Volgens de stelling van Cauchy

Uit het Jordaanse lemma blijkt dat: Overweeg om in te schatten de Laurent-uitbreiding in een buurt van het punt z=0

waar is regelmatig op het punt? z =0 functie. Vanaf hier is het duidelijk dat

De stelling van Cauchy kan dus worden herschreven als

Vervangen in de eerste integraal x op - x , krijgen we dat het gelijk is, dus we hebben

In de limiet op en tot slot:

. (7)

Voorbeeld 3. Bereken de integraal

We introduceren een hulpfunctie en kiezen de integratiecontour op dezelfde manier als in het vorige voorbeeld. Binnen deze contour laat de logaritme de selectie van een enkelwaardige tak toe. Laten we de tak aanduiden die wordt bepaald door de ongelijkheid. De functie heeft op het punt: z=i tweede orde paal met een residu

Volgens de reductiestelling.

Op, vanaf enkele voldoende groot R , Vandaar, .

Evenzo, om te beginnen met een voldoende klein r, daarom

In de eerste integraal na de vervanging z=-x krijgen we:

en dus hebben we in de limiet bij:

Het vergelijken van de echte en imaginaire delen geeft:

, .

Voorbeeld 4. Voor de integraal

kies een hulpfunctie en de in de figuur getoonde contour. Binnen is de contour eenduidig, als we dat aannemen.

Op de bovenste en onderste oevers van de snede, die in deze contour zijn opgenomen, neemt het de waarden en, respectievelijk, de integralen van wederzijds annihileren, wat het mogelijk maakt om de gewenste integraal te berekenen. Binnen de contour zijn er twee polen van de eerste orde van de functie met residuen, respectievelijk gelijk aan:

waar. Als we de residustelling toepassen, krijgen we:

Volgens het bovenstaande hebben we:

Net als in het vorige voorbeeld zullen we bewijzen dat, en dan in de limiet, we zullen hebben:

Vanaf hier, door de denkbeeldige delen te vergelijken, krijgen we:

Voorbeeld 5. Bereken de hoofdwaarde van een speciale integraal

Laten we een hulpfunctie en het circuit kiezen dat in de afbeelding wordt getoond. Binnen de contour is de functie regelmatig. Op de onderste oever van de sectie langs de positieve halve as. Dus, volgens de stelling van Cauchy:

(8).

Het is duidelijk dat met en met. Langs, we hebben respectievelijk en, waar varieert van respectievelijk 0 tot en van tot. Vandaar,

Als we (8) naar de limiet gaan bij , verkrijgen we dus

vanwaar de gewenste integraal gelijk is aan

Voorbeeld 6. Bereken de integraal

Laten we eens kijken naar een functie. Laten we een snede maken*) .

Laat. Wanneer u tegen de klok in rond een gesloten pad gaat (zie afbeelding, stippellijn) en een verhoging krijgt,

daarom arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 wordt ook verhoogd. Dus aan de buitenkant van de snede splitst de functie zich in 3 regelmatige takken, die van elkaar verschillen in de keuze van het beginelement van de functie, d.w.z. waarde op een gegeven moment.

We zullen die tak van de functie beschouwen, die op de bovenste oever van de snede (-1,1) positieve waarden aanneemt, en de contour nemen,

___________________

*) In feite zijn er twee sneden gemaakt: en echter op de as x rechts van punt x =1 de functie is continu: boven de snede, onder de snede.

afgebeeld op de foto. Op bank I hebben we, d.w.z. , op oever II (na rond het punt te zijn gegaan) z =1 met de klok mee) (d.w.z.), d.w.z. , terwijl de integralen over de cirkels en duidelijk naar nul neigen**) Bij. Daarom, door de stelling van Cauchy voor meervoudig verbonden domeinen

Voor de berekening gebruiken we de uitzetting van de tak 1/ in de buurt van het punt op oneindig. We halen de wortel onder het teken vandaan, dan krijgen we, waar en zijn de takken van deze functies, positief op het segment (1,) van de reële as.

op een segment van de reële as. De laatste uitbreiden volgens de binominale formule:

vinden we het residu van de gekozen tak 1/ op een oneindig ver verwijderd punt: (de coëfficiënt bij 1/ z met tegengesteld teken). Maar de integraal is gelijk aan dit residu vermenigvuldigd met, d.w.z. we hebben waar eindelijk

Voorbeeld 7. Beschouw de integraal.

__________________

**) Denk bijvoorbeeld aan de integraal over. We hebben, nl.

Stel dan, dus,

Binnen de cirkel heeft de integrand één pool II bestel min

Volgens de residustelling hebben we

Voorbeeld 8. Op dezelfde manier berekenen we de integraal

Na vervanging hebben we:

Een van de polen van de integrand ligt binnen de eenheidscirkel en de andere - daarbuiten, omdat door de eigenschap van de wortels van de kwadratische vergelijking, en door de voorwaarde, deze wortels reëel en verschillend zijn. Dus, door de residustelling

(9)

waar is de paal in de cirkel. Omdat de rechterkant van (9) is reëel, dan geeft het de vereiste integraal

Definitie
Een buurt van een reëel punt x 0 Elk open interval dat dit punt bevat, wordt genoemd:
.
Hier 1 en 2 zijn willekeurige positieve getallen.

Epsilon - buurt van punt x 0 heet de verzameling punten, de afstand waarvan tot het punt x 0 minder dan ε:
.

De geperforeerde buurt van het punt x 0 wordt de buurt van dit punt genoemd, waarvan het punt x zelf is uitgesloten 0 :
.

Buurteindpunten

Helemaal aan het begin werd de definitie van een buurt van een punt gegeven. Het is aangeduid als . Maar je kunt expliciet specificeren dat een buurt afhankelijk is van twee getallen met behulp van de juiste argumenten:
(1) .
Dat wil zeggen, een buurt is een verzameling punten die bij een open interval horen.

gelijkstellen 1 naar 2 , we krijgen epsilon - buurt:
(2) .
Epsilon - een buurt - is een reeks punten die behoren tot een open interval met gelijke uiteinden.
Natuurlijk kan de letter epsilon worden vervangen door een andere en we kunnen denken aan δ - buurt, σ - buurt, enzovoort.

In de theorie van limieten kan men de definitie van een buurt gebruiken op basis van zowel de verzameling (1) als de verzameling (2). Het gebruik van een van deze buurten geeft gelijkwaardige resultaten (zie ). Maar de definitie (2) is eenvoudiger, daarom wordt vaak epsilon gebruikt - de buurt van een punt bepaald uit (2).

De concepten van linkshandige, rechtshandige en geperforeerde buurten van eindpunten worden ook veel gebruikt. We presenteren hun definities.

Linker buurt van een reëel punt x 0 is het halfopen interval op de reële as links van x 0 , inclusief de punt zelf:
;
.

Rechter buurt van een reëel punt x 0 is het halfopen interval rechts van x 0 , inclusief de punt zelf:
;
.

Geperforeerde eindpuntbuurten

Doorboorde buurten van het punt x 0 zijn dezelfde buurten, waarvan het punt zelf is uitgesloten. Ze zijn te herkennen aan een cirkel boven de letter. We presenteren hun definities.

Doorboorde buurt van punt x 0 :
.

Doorboorde epsilon - buurt van punt x 0 :
;
.

Doorboorde linker buurt:
;
.

Doorboorde rechter buurt:
;
.

Buurten van punten op oneindig

Naast de eindpunten worden ook buurten van punten op oneindig geïntroduceerd. Ze zijn allemaal doorgeprikt omdat er geen reëel getal is op oneindig (op oneindig wordt gedefinieerd als de limiet van een oneindig grote reeks).

.
;
;
.

Het was mogelijk om de buurten van oneindig ver verwijderde punten te bepalen en dus:
.
Maar in plaats van M gebruiken we , zodat een buurt met een kleinere ε een subset is van een buurt met een grotere ε , net als voor buurten van eindpunten.

buurteigendom

Vervolgens gebruiken we de voor de hand liggende eigenschap van de buurt van een punt (eindig of op oneindig). Het ligt in het feit dat buurten van punten met kleinere waarden van ε deelverzamelingen zijn van buurten met grotere waarden van . We presenteren meer rigoureuze formuleringen.

Laat er een eindig of oneindig ver verwijderd punt zijn. Laat het gaan .
Dan
;
;
;
;
;
;
;
.

De omgekeerde beweringen zijn ook waar.

Gelijkwaardigheid van definities van de limiet van een functie volgens Cauchy

Nu zullen we laten zien dat bij de definitie van de limiet van een functie volgens Cauchy, men zowel een willekeurige buurt als een buurt met equidistante uiteinden kan gebruiken.

Stelling
De Cauchy-definities van de limiet van een functie die willekeurige buurten en buurten met equidistante uiteinden gebruiken, zijn equivalent.

Bewijs

Laten we formuleren eerste definitie van de limiet van een functie.
Een getal a is de limiet van een functie op een punt (eindig of op oneindig) als er voor positieve getallen getallen zijn die afhankelijk zijn van en , zodanig dat voor alle , behoort tot de overeenkomstige buurt van het punt a :
.

Laten we formuleren tweede definitie van de limiet van een functie.
Het getal a is de limiet van de functie op het punt , als er voor een positief getal een getal bestaat dat afhangt van , zodanig dat voor alle :
.

Bewijs 1 ⇒ 2

Laten we bewijzen dat als het getal a de limiet is van de functie volgens de 1e definitie, het ook de limiet is volgens de 2e definitie.

Laat de eerste definitie gelden. Dit betekent dat er zulke functies zijn en , dus voor alle positieve getallen geldt het volgende:
naar waar .

Omdat de getallen en willekeurig zijn, stellen we ze gelijk aan:
.
Dan zijn er functies en , zodat voor elk van de volgende geldt:
naar waar .

Let erop dat .
Laat het kleinste positieve getal en zijn. Dan, zoals hierboven vermeld,
.
Als dan .

Dat wil zeggen, we hebben zo'n functie gevonden, zodat voor elk van de volgende geldt:
naar waar .
Dit betekent dat het getal a de limiet van de functie is en volgens de tweede definitie.

Bewijs 2 ⇒ 1

Laten we bewijzen dat als het getal a de limiet is van de functie volgens de 2e definitie, het ook de limiet is volgens de 1e definitie.

Laat de tweede definitie gelden. Neem twee positieve getallen en . En laat de kleinste van hen zijn. Dan, volgens de tweede definitie, is er zo'n functie , zodat voor elk positief getal en voor alle , volgt dat
.

Maar volgens. Daarom, uit wat volgt,
.

Dan hebben we voor alle positieve getallen en , twee getallen gevonden , dus voor alle :
.

Dit betekent dat het getal a volgens de eerste definitie ook de limiet is.

De stelling is bewezen.

Referenties:
LD Kudryavtsev. Cursus wiskundige analyse. Deel 1. Moskou, 2003.