Grafieken van een lichaam dat schuin naar de horizon wordt gegooid. Lichaamsbeweging onder een hoek met de horizon: formules, berekening vliegbereik en maximale starthoogte

Beweging van een lichaam dat onder een hoek naar de horizon wordt gegooid

Basisformules voor kromlijnige beweging

1 . Materiële punt bewegingssnelheid

$\vec V=\frac(d\vec r)(dt)$ ,

waarbij $\vec r$ de straalvector van het punt is.

2 . Materiële puntversnelling

$\vec a=\frac(d\vec V)(dt)=\frac(d^2\vec r)(dt^2)$,

$a=\sqrt(a^2_(\tau)+a^2_n)$ ,

waarbij $a_(\tau)$ tangentiële versnelling is, $a_n$ normale versnelling is.

3 . Tangentiële versnelling

$a_(\tau)=\frac(dV)(dt)=\frac(d^2s)(dt^2)$

4 . Normale versnelling

$a_n=\frac(V^2)(R)$ ,

waarbij $R$ de kromtestraal van het traject is.

5 . voor uniforme beweging

$S=V_0t+\frac(at^2)(2)$

$V=V_0+at$

Door $t$ uit te drukken uit de tweede gelijkheid en te substitueren in de eerste, krijgen we een bruikbare formule

$2aS=V^2-V_0^2$

Voorbeelden van probleemoplossing

Bij problemen over de beweging van een lichaam in een zwaartekrachtveld gaan we uit van $a=g=9,8$ m/s 2 .

Taak 1.

Het projectiel vliegt uit het kanon met een beginsnelheid van 490 m/s onder een hoek van 30 ° met de horizon. Vind de hoogte, het bereik en de vluchttijd van het projectiel, zonder rekening te houden met de rotatie en luchtweerstand.

De oplossing van het probleem

Zoek: $h, S, t$

$V_0=490$ m/s

$\alpha=30^0$

Koppel ISO aan het pistool.

De componenten van de snelheid langs de assen Ox en Oy op het begintijdstip zijn gelijk aan:

$V_(0x)=V_0\cos\alpha$ - blijft ongewijzigd gedurende de gehele vlucht van het projectiel,

$V_(0y)=V_0\sin\alpha$ - verandert volgens de vergelijking van eenparige beweging

$V_y=V_0\sin\alpha-gt$ .

Op het hoogste punt van stijging $V_y=V_0\sin\alpha-gt_1=0$ , vanwaar

$t_1=\frac(V_0\sin\alpha)(g)$

Totale projectiel vliegtijd

$t=2t_1=\frac(2V_0\sin\alpha)(g)=50$ c.

We bepalen de hoogte van het projectiel uit de formule van het pad is gelijk aan slow motion

$h=V_(0y)t_1-\frac(gt_1^2)(2)=\frac(V_0^2\sin^2\alpha)(2g)=3060$ m.

Het vliegbereik wordt gedefinieerd als:

$S=V_(0x)t=\frac(V_0^2\sin(2\alpha))(g)=21000$ m.

Taak 2.

Een lichaam valt vrij uit punt A. Tegelijkertijd wordt vanuit punt B een ander lichaam onder een hoek $\alpha$ naar de horizon gegooid zodat beide lichamen in de lucht met elkaar in botsing komen. Toon aan dat de hoek $\alpha$ niet afhangt van de beginsnelheid $V_0$ van het lichaam dat vanaf punt B wordt gegooid, en bepaal deze hoek als $\frac(H)(S)=\sqrt3$ . Negeer luchtweerstand.

De oplossing van het probleem.

Zoek: $\alpha$

Gegeven: $\frac(H)(S)=\sqrt3$

Koppel ISO aan punt B.

Beide lichamen kunnen elkaar ontmoeten op lijn OA (zie figuur) in punt C. Laten we de snelheid $V_0$ van een lichaam dat vanaf punt B wordt gegooid ontleden in horizontale en verticale componenten:

$V_(0x)=V_0\cos\alpha$ ; $V_(0y)=V_0\sin\alpha$ .

Laat de tijd verstrijken vanaf het begin van de beweging tot het moment van de ontmoeting

$t=\frac(S)(V_(0x))=\frac(S)(V_0\cos\alpha)$.

Gedurende deze tijd daalt het lichaam vanaf punt A met de waarde

$H-h=\frac(gt^2)(2)$ ,

en het lichaam van punt B zal naar een hoogte stijgen

$h=V_(0y)t-\frac(gt^2)(2)=V_0\sin\alpha(t)-\frac(gt^2)(2)$.

Als we de laatste twee vergelijkingen samen oplossen, vinden we

$H=V_0\sin\alpha(t)$ .

Als we hier de eerder gevonden tijd vervangen, krijgen we

$\tan\alpha=\frac(H)(S)=\sqrt3$,

die. de worphoek is niet afhankelijk van de beginsnelheid.

$\alpha=60^0$

Taak 3.

Een lichaam wordt vanaf een toren in horizontale richting geworpen met een snelheid van 40 m/s. Wat is de snelheid van het lichaam 3 seconden na het begin van de beweging? Welke hoek maakt de snelheidsvector van het lichaam op dit moment met de horizon?

De oplossing van het probleem.

Zoek: $\alpha$

Gegeven: $V_0=40$ m/s. $t=3$ c.

Koppel de ISO aan de toren.

Het lichaam neemt gelijktijdig deel aan twee bewegingen: gelijkmatig in horizontale richting met een snelheid $V_0$ en in vrije val met een snelheid $V_y=gt$ . Dan is de totale snelheid van het lichaam

$V=\sqrt(V_0^2+g^2t^2)=50 m/s.$

De richting van de snelheidsvector wordt bepaald door de hoek $\alpha$ . Uit de figuur zien we dat

$\cos\alpha=\frac(V_0)(V)=\frac(V_0)(\sqrt(V_0^2+g^2t^2))=0.8$

$\alpha=37^0$

Taak 4.

Twee lichamen worden verticaal omhoog gegooid van het ene punt na het andere met een tijdsinterval gelijk aan $\Delta(t)$ , met dezelfde snelheden $V_0$ . Hoe lang $t$ na het werpen van het eerste lichaam zullen ze elkaar ontmoeten?

De oplossing van het probleem.

Zoek: $t$

Gegeven: $V_0$ , $\Delta(t)$

Uit de analyse van de toestand van het probleem is het duidelijk dat het eerste lichaam zal stijgen tot de maximale hoogte en het tweede lichaam zal ontmoeten tijdens de afdaling. Laten we de bewegingswetten van lichamen opschrijven:

$h_1=V_0t-\frac(gt^2)(2)$

$h_2=V_0(t-\Delta(t))-\frac(g(t-\Delta(t))^2)(2)$.

Op het moment van de ontmoeting $h_1=h_2$ , waarvan we meteen krijgen

$t=\frac(V_0)(g)+\frac(\Delta(t))(2)$

Als een lichaam onder een hoek met de horizon wordt gegooid, wordt het tijdens de vlucht beïnvloed door zwaartekracht en luchtweerstand. Als de weerstandskracht wordt verwaarloosd, is de enige overgebleven kracht de zwaartekracht. Daarom, als gevolg van de 2e wet van Newton, beweegt het lichaam met een versnelling gelijk aan de versnelling van vrije val; versnellingsprojecties op de coördinaatassen ax = 0, ay = - g.

Figuur 1. Kinematische kenmerken van een lichaam dat schuin naar de horizon wordt gegooid

Elke complexe beweging van een materieel punt kan worden weergegeven als een oplegging van onafhankelijke bewegingen langs de coördinaatassen, en in de richting van verschillende assen kan het type beweging verschillen. In ons geval kan de beweging van een vliegend lichaam worden weergegeven als een superpositie van twee onafhankelijke bewegingen: uniforme beweging langs de horizontale as (X-as) en eenparig versnelde beweging langs de verticale as (Y-as) (Fig. 1) .

De snelheidsprojecties van het lichaam veranderen daarom met de tijd als volgt:

waar $v_0$ de beginsnelheid is, is $(\mathbf \alpha )$ de werphoek.

Met onze keuze van oorsprong zijn de initiële coördinaten (Fig. 1) $x_0=y_0=0$. Dan krijgen we:

(1)

Laten we formules analyseren (1). Laten we de bewegingstijd van het gegooide lichaam bepalen. Om dit te doen, stellen we de y-coördinaat gelijk aan nul, omdat op het moment van de landing is de hoogte van het lichaam nul. Vanaf hier krijgen we voor de vluchttijd:

De tweede waarde van het tijdstip waarop de hoogte gelijk is aan nul is gelijk aan nul, wat overeenkomt met het moment van werpen, d.w.z. deze waarde heeft ook een fysieke betekenis.

Het vliegbereik wordt verkregen uit de eerste formule (1). Vluchtbereik is de waarde van de x-coördinaat aan het einde van de vlucht, d.w.z. op het moment gelijk aan $t_0$. Als we de waarde (2) in de eerste formule (1) substitueren, krijgen we:

Uit deze formule blijkt dat het grootste vliegbereik wordt bereikt bij een worphoek van 45 graden.

De hoogste hefhoogte van het gegooide lichaam kan worden verkregen uit de tweede formule (1). Om dit te doen, moet u in deze formule de waarde van tijd vervangen die gelijk is aan de helft van de vliegtijd (2), omdat het is in het midden van het traject dat de vlieghoogte maximaal is. Als we berekeningen uitvoeren, krijgen we:

Uit vergelijkingen (1) kan men de vergelijking van het traject van het lichaam verkrijgen, d.w.z. een vergelijking met betrekking tot de x- en y-coördinaten van een lichaam tijdens beweging. Om dit te doen, moet je de tijd uitdrukken uit de eerste vergelijking (1):

en substitueer het in de tweede vergelijking. Dan krijgen we:

Deze vergelijking is de baanvergelijking. Het is te zien dat dit de vergelijking is van een parabool met takken naar beneden, zoals aangegeven door het "-" teken voor de kwadratische term. Houd er rekening mee dat de werphoek $\alpha $ en zijn functies hier slechts constanten zijn, d.w.z. constante getallen.

Een lichaam wordt met snelheid v0 onder een hoek $(\mathbf \alpha )$ naar de horizon gegooid. Vliegtijd $t = 2 s$. Tot welke hoogte Hmax zal het lichaam stijgen?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

De wet van lichaamsbeweging is:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

De beginsnelheidsvector vormt een hoek $(\mathbf \alpha )$ met de OX-as. Vandaar,

\ \ \

Een steen wordt vanaf de top van een berg onder een hoek = 30$()^\circ$ naar de horizon gegooid met een beginsnelheid van $v_0 = 6 m/s$. Hellende vlakhoek = 30$()^\circ$. Op welke afstand van het werppunt zal de steen vallen?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Laten we de oorsprong van de coördinaten op het werppunt plaatsen, OX - langs het hellende vlak naar beneden, OY - loodrecht op het hellende vlak naar boven. Kinematische kenmerken van beweging:

Wet van beweging:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

Als we de resulterende waarde van $t_B$ vervangen, vinden we $S$:

Laat het lichaam in een hoek worden gegooid α naar de horizon met een snelheid $~\vec \upsilon_0$. Net als in de vorige gevallen zullen we de luchtweerstand verwaarlozen. Om de beweging te beschrijven, is het noodzakelijk om twee coördinaatassen te kiezen - Os en Oy(Figuur 1). De oorsprong is compatibel met de beginpositie van het lichaam. Projecties van de beginsnelheid op de as Oy en Os\[~\upsilon_(0y) = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_(0x) = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Versnellingsprognoses: g x = 0; g y=- g.

Dan zal de beweging van het lichaam worden beschreven door de vergelijkingen:

$~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)$ $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)$ $~y = \upsilon_0 \sin \ alpha t - \frac(gt^2)(2); \qquad (3)$ $~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)$

Uit deze formules volgt dat het lichaam in horizontale richting gelijkmatig beweegt met een snelheid $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha$, en in verticale richting - eenparig versneld.

De baan van het lichaam zal een parabool zijn. Gezien het feit dat aan de top van de parabool υ y = 0, je kunt de tijd vinden t 1 tillen van het lichaam naar de top van de parabool:

$~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g). \qquad (5)$

De waarde vervangen t 1 in vergelijking (3), vinden we de maximale hoogte van het lichaam:

$~h_(max) = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g) - \frac(g)(2) \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \ alpha)(g^2),$ $~h_(max) = \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha)(2g)$ - maximale lichaamslengte.

De vliegtijd van het lichaam wordt gevonden uit de voorwaarde dat at t = t 2 coördinaat ja 2 = 0. Daarom is $~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac(gt^2_2)(2) = 0$. Daarom is $~t_1 = \frac(2 \upsilon_0 \sin \alpha)(g)$ de vliegtijd van het lichaam. Als we deze formule vergelijken met formule (5), zien we dat: t 2 = 2 t een . Tijd van beweging van het lichaam vanaf de maximale hoogte t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t een . Daarom, hoeveel tijd het lichaam stijgt tot de maximale hoogte, hoeveel tijd het van deze hoogte valt. De coördinaten in de vergelijking invullen x(1) tijdswaarde t 2 vinden we:

$~l = \frac(2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha)(g) = \frac(\upsilon^2_0 \sin 2\alpha)(g)$ - lichaamsvluchtafstand.

De momentane snelheid op elk punt van het traject is tangentieel gericht op het traject (zie figuur 1). de snelheidsmodulus wordt bepaald door de formule

$~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)) = \sqrt (\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2) .$

De beweging van een lichaam dat onder een hoek met de horizon of in horizontale richting wordt gegooid, kan dus worden beschouwd als het resultaat van twee onafhankelijke bewegingen - horizontaal uniform en verticaal uniform versneld (vrije val zonder beginsnelheid of beweging van een verticaal omhoog geworpen lichaam ).

Literatuur

Aksenovich L. A. Natuurkunde op de middelbare school: theorie. Taken. Testen: Proc. toelage voor instellingen die algemeen verstrekken. omgevingen, onderwijs / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K.S. Farino. - Mn.: Adukatsy i vykhavanne, 2004. - S. 16-17.

Beschouw de beweging van een lichaam in het zwaartekrachtveld van de aarde, we zullen geen rekening houden met luchtweerstand. Laat de beginsnelheid van het geworpen lichaam onder een hoek met de horizon $\alpha $ gericht zijn (Fig.1). Lichaam van hoogte gegooid $(y=h)_0$; $x_0=0$.

Op het eerste moment heeft het lichaam dan horizontale ($v_x$) en verticale ($v_y$) snelheidscomponenten. Snelheidsprojecties op de coördinaatassen bij $t=0$ zijn gelijk aan:

\[\left\( \begin(array)(c) v_(0x)=v_0(\cos \alpha ,\ ) \\ v_(0y)=v_0(\sin \alpha .\ ) \end(array) \ rechts.\links(1\rechts).\]

De versnelling van het lichaam is gelijk aan de versnelling van vrije verbranding en is voortdurend naar beneden gericht:

\[\overline(a)=\overline(g)\left(2\right).\]

De projectie van versnelling op de X-as is dus gelijk aan nul en op de Y-as is gelijk aan $a_y=g.$

Aangezien de versnellingscomponent langs de X-as gelijk is aan nul, is de snelheid van het lichaam in deze richting een constante waarde en gelijk aan de projectie van de beginsnelheid op de X-as (zie (1)). De beweging van het lichaam langs de X-as is uniform.

In de situatie getoond in Fig. 1 zal het lichaam langs de Y-as eerst omhoog bewegen en dan omgekeerd. In dit geval is de versnelling van de beweging van het lichaam in beide gevallen gelijk aan de versnelling $\overline(g).$ Het lichaam besteedt evenveel tijd aan het omhoog gaan vanaf een willekeurige hoogte $(y=h)_0 $ tot de maximale hefhoogte ($h$) zoals bij vallen van $h$ naar $(y=h)_0$. Daarom liggen de punten die symmetrisch zijn rond de bovenkant van het lichaam op dezelfde hoogte. Het blijkt dat het traject van de beweging van het lichaam symmetrisch is ten opzichte van de punt van de beklimming - en dit is een parabool.

De snelheid van een lichaam dat onder een hoek met de horizon wordt gegooid, kan worden uitgedrukt met de formule:

\[\overline(v)\left(t\right)=(\overline(v))_0+\overline(g)t\ \left(3\right),\]

waarbij $(\overline(v))_0$ de snelheid van het lichaam is op het moment van de worp. Formule (3) kan worden beschouwd als het resultaat van het optellen van de snelheden van twee onafhankelijke bewegingen langs rechte lijnen waaraan het lichaam deelneemt.

De uitdrukkingen voor de projectie van de snelheid op de as hebben de vorm:

\[\left\( \begin(array)(c) v_x=v_0(\cos \alpha ,\ ) \\ v_y=v_0(\sin \alpha -gt\ ) \end(array) \left(4\right ).\Rechtsaf.\]

De vergelijking voor het verplaatsen van een lichaam wanneer het in een zwaartekrachtveld beweegt:

\[\overline(s)\left(t\right)=(\overline(s))_0+(\overline(v))_0t+\frac(\overline(g)t^2)(2)\left(5 \Rechtsaf),\]

waarbij $(\overline(s))_0$ de verplaatsing van het lichaam is op het eerste moment.

Als we vergelijking (5) op de X- en Y-coördinaatassen projecteren, krijgen we:

\[\left\( \begin(array)(c) x=v_0(\cos \left(\alpha \right)\cdot t,\ ) \\ y=(h_0+v)_0(\sin \left( \alpha \right)\cdot t-\frac(gt^2)(2)\ ) \end(array) \left(6\right).\right.\]

Het lichaam, dat omhoog beweegt, heeft een gelijkmatig langzame beweging langs de Y-as, nadat het lichaam de top heeft bereikt, wordt de beweging langs de Y-as gelijkmatig versneld.

Het traject van de beweging van een materieel punt wordt verkregen, gegeven door de vergelijking:

De vorm van vergelijking (7) laat zien dat het bewegingstraject een parabool is.

Stijg- en vluchttijd van een lichaam dat schuin naar de horizon wordt gegooid

De tijd die het lichaam nodig heeft om de maximale hefhoogte te bereiken, wordt verkregen uit het stelsel van vergelijkingen (4). . Bovenaan het traject heeft het lichaam alleen een horizontale component, $v_y=0.$ De stijgtijd ($t_p$) is:

De totale tijd van de beweging van het lichaam (vliegtijd ($t_(pol)))$ wordt gevonden uit de tweede vergelijking van systeem (6), wetende dat wanneer het lichaam op de aarde valt $y=0$, we hebben:

Vliegbereik en hoogte van een lichaam dat schuin naar de horizon wordt gegooid

Om het horizontale bereik van de lichaamsvlucht ($s$) onder de gegeven omstandigheden te vinden, moeten we de vliegtijd ($t_(pol)$) (9) vervangen door de vergelijking van de coördinaat $x$ van het systeem van vergelijkingen (6). Voor $h=0,$ is het vliegbereik gelijk aan:

Uit uitdrukking (9) volgt dat bij een gegeven werpsnelheid het vliegbereik maximaal is bij $\alpha =\frac(\pi )(4)$.

De maximale hefhoogte van het lichaam ($h_(max)$) wordt gevonden uit de tweede vergelijking van systeem (6), waarbij de tiltijd ($t_p$) (8) erin wordt vervangen:

Uit expressie (11) blijkt dat de maximale hefhoogte van het lichaam recht evenredig is met het kwadraat van de werpsnelheid en toeneemt met een toename van de werphoek.

Voorbeelden van problemen met een oplossing

voorbeeld 1

Oefening. Hoe vaak zal de vliegtijd van een lichaam dat vanaf een hoogte $h$ in horizontale richting wordt gegooid veranderen als de werpsnelheid van het lichaam met $n$ keer wordt verhoogd?

Beslissing. Laten we een formule zoeken om de vliegtijd van een lichaam te berekenen als het horizontaal wordt gegooid (Fig. 2).

Als basis voor het oplossen van het probleem gebruiken we de uitdrukking voor de eenparig versnelde beweging van een lichaam in een zwaartekrachtveld:

\[\overline(s)=(\overline(s))_0+(\overline(v))_0t+\frac(\overline(g)t^2)(2)\left(1.1\right).\]

Met behulp van Fig. 2 schrijven we de projecties van vergelijking (1.1) op de coördinaatassen:

\[\left\( \begin(array)(c) X:x=v_0t;; \\ Y:y=h_0-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.\left( 1.2\rechts).\]

Tijdens de val van het lichaam op de grond $y=0,$ gebruiken we dit feit en drukken we de vliegtijd uit uit de tweede vergelijking van het systeem (1.2), we hebben:

Zoals we kunnen zien, hangt de vliegtijd van het lichaam niet af van de beginsnelheid, daarom zal de vliegtijd van het lichaam niet veranderen bij een toename van de beginsnelheid met $ n $ maal.

Antwoord. Zal niet veranderen.

Voorbeeld 2

Oefening. Hoe zal het vliegbereik van het lichaam in het vorige probleem veranderen als de beginsnelheid met $n$ keer wordt verhoogd?

Beslissing. Vliegbereik is de afstand die het lichaam langs de horizontale as zal afleggen. Dit betekent dat we een vergelijking nodig hebben:

uit systeem (1.2) van het eerste voorbeeld. Door de vluchttijd gevonden in (1.3) in plaats van $t,$ te vervangen, krijgen we het vluchtbereik ($s_(pol)$):

Uit formule (2.2) zien we dat onder gegeven bewegingsomstandigheden het vliegbereik recht evenredig is met de werpsnelheid van het lichaam, dus hoe vaak we de beginsnelheid verhogen, het vliegbereik van het lichaam zal toenemen, dus vele keren.

Antwoord. Het vliegbereik van het lichaam zal $n$ maal toenemen.

Beschouw, als een voorbeeld van de toepassing van de afgeleide formules, de beweging van een lichaam dat onder een hoek met de horizon wordt gegooid bij afwezigheid van luchtweerstand. Stel, op een berg, op een hoogte boven de zeespiegel, is er een kanon dat de kustwateren bewaakt. Laat het projectiel onder een hoek met de horizon worden afgevuurd met een beginsnelheid vanaf een punt waarvan de positie wordt bepaald door de straalvector (Fig. 2.16).

Rijst. 2.16. Beweging van een lichaam dat onder een hoek naar de horizon wordt gegooid

Toevoeging.

Afleiding van de bewegingsvergelijkingen van een materieel punt in het zwaartekrachtveld

Laten we de bewegingsvergelijking schrijven (de vergelijking van de tweede wet van Newton):

dit betekent dat lichamen - materiële punten - van elke massa onder dezelfde beginomstandigheden op dezelfde manier in een uniform zwaartekrachtveld zullen bewegen. Laten we de vergelijking (2.7.2) projecteren op de assen van het cartesiaanse coördinatenstelsel. Horizontale as OH getoond in afb. 13 gestippelde assen OY door het punt gaan O verticaal naar boven, en de horizontale as oz gaat ook door het punt O, loodrecht op de vector bij ons. We krijgen:

De verticale richting is per definitie de richting van de vector, dus zijn projecties op de horizontale assen OS en OY zijn gelijk aan nul. De tweede vergelijking houdt er rekening mee dat de vector naar beneden is gericht, en de as OY- omhoog.

Rijst. 2.17. De beweging van een lichaam dat schuin naar de horizon wordt gegooid.

Laten we aan de bewegingsvergelijkingen de beginvoorwaarden toevoegen die de positie en snelheid van het lichaam op het begintijdstip bepalen t0 laat maar t0 = 0. Dan, volgens afb. 2.7.4

Als de afgeleide van een functie gelijk is aan nul, dan is de functie constant, respectievelijk, uit de eerste en derde vergelijking (2.7.3) verkrijgen we:

In de tweede vergelijking (2.7.3) is de afgeleide gelijk aan een constante, wat betekent dat de functie lineair afhangt van zijn argument, dat wil zeggen

Door (2.7.7) en (2.7.9) te combineren, verkrijgen we de uiteindelijke uitdrukkingen voor de afhankelijkheden van de snelheidsprojecties op de coördinaatassen op tijd:

De derde vergelijking (2.7.11) laat zien dat de baan van het lichaam vlak is, volledig in het vlak ligt XOY, is het verticale vlak gedefinieerd door de vectoren en . Uiteraard is de laatste verklaring algemeen: hoe de richtingen van de coördinaatassen ook worden gekozen, de baan van een lichaam dat onder een hoek met de horizon wordt geworpen, is vlak, het ligt altijd in het vlak dat wordt bepaald door de beginsnelheidsvector en de zwaartekracht. versnellingsvector.

Als drie vergelijkingen (2.7.10) worden vermenigvuldigd met de eenheidsvectoren van de assen , , en en opgeteld, en dan wordt hetzelfde gedaan met drie vergelijkingen (2.7.11), dan krijgen we de tijdsafhankelijkheid van de deeltjessnelheidsvector en zijn straalvector. Rekening houdend met de beginvoorwaarden, hebben we:

De formules (2.7.12) en (2.7.13) kunnen direct worden verkregen uit (2.7.2), aangezien de zwaartekrachtversnelling een constante vector is. Als de versnelling - de afgeleide van de snelheidsvector - constant is, dan is de snelheidsvector lineair afhankelijk van de tijd, en de straalvector, waarvan de tijdsafgeleide de snelheidsvector is die lineair van de tijd afhangt, kwadratisch van de tijd. Dit wordt geschreven in relaties (2.7.12) en (2.7.13) met constanten - constante vectoren - gekozen volgens de beginvoorwaarden in de vorm (2.7.4).

Vooral uit (2.7.13) blijkt dat de straalvector de som is van drie vectoren die zijn opgeteld volgens de gebruikelijke regels, wat duidelijk wordt weergegeven in Fig. 2.18.

Rijst. 2.18. Weergave van de straalvector r(t) op een willekeurig tijdstip t als de som van drie vectoren

Deze vectoren zijn:

Hier is het principe van onafhankelijkheid van beweging, in andere gebieden van de natuurkunde bekend als: superpositie principe(overlays). Over het algemeen is volgens het superpositieprincipe het netto-effect van verschillende acties de som van de effecten van elke afzonderlijke actie. Het is een gevolg van de lineariteit van de bewegingsvergelijkingen.

filmpje 2.3. Onafhankelijkheid van horizontale en verticale bewegingen bij beweging in het zwaartekrachtveld.

Laten we de oorsprong op het afleverpunt plaatsen. nutsvoorzieningen =0 , zullen de assen, zoals eerder, worden geroteerd zodat de as 0x was horizontaal, de as 0j- verticaal, en de beginsnelheid lag in het vlak x0y(Afb.2.19).

Rijst. 2.19. Projecties van de beginsnelheid op de coördinaatassen

We projecteren op de coördinaatassen (zie (2.7.11)):

Vliegroute. Als tijd is uitgesloten van het verkregen systeem van vergelijkingen t, dan krijgen we de trajectvergelijking:

Dit is de vergelijking van een parabool, waarvan de takken naar beneden zijn gericht.

Vliegbereik bij schieten vanaf een hoogte h . Op het moment dat het lichaam valt (het projectiel raakt een doel dat zich op het oppervlak van de zee bevindt). De horizontale afstand van het pistool tot het doel is gelijk aan . vervangen; in de trajectvergelijking krijgen we een kwadratische vergelijking voor het vliegbereik:

Een kwadratische vergelijking heeft twee oplossingen (in dit geval positief en negatief). We hebben een positief besluit nodig. De standaarduitdrukking voor de wortel van de kwadratische vergelijking van ons probleem kan worden teruggebracht tot de vorm:

wordt bereikt bij , als h = 0.

Maximaal vliegbereik. Wanneer er vanaf een hoge berg wordt geschoten, is dit niet langer het geval. Zoek de hoek waaronder het maximale vliegbereik wordt bereikt. De afhankelijkheid van het vliegbereik van de hoek is vrij ingewikkeld, en in plaats van te differentiëren om het maximum te vinden, zullen we het volgende doen. Stel dat we de beginhoek vergroten . Ten eerste neemt het vliegbereik toe (zie formule (2.7.15)), bereikt het zijn maximale waarde en begint weer te dalen (tot nul bij verticaal omhoog schieten). Dus voor elk vliegbereik, behalve het maximum, zijn er twee richtingen van de beginsnelheid.

Laten we opnieuw kijken naar de kwadratische vergelijking voor de relativiteit van de vluchtafstand en deze beschouwen als een vergelijking voor de hoek . Gezien het feit dat

laten we het herschrijven in de vorm:

We kregen opnieuw een kwadratische vergelijking, dit keer voor een onbekende hoeveelheid. De vergelijking heeft twee wortels, wat overeenkomt met twee hoeken waaronder het vliegbereik . Maar wanneer moeten beide wortels overeenkomen. Dit betekent dat de discriminant van de kwadratische vergelijking gelijk is aan nul:

waar komt het resultaat vandaan?

Met dit resultaat reproduceert de formule (2.7.16)

Meestal is de hoogte veel minder dan het vliegbereik op de vlakte. Voor , de vierkantswortel kan worden benaderd door de eerste termen van de Taylor-reeksuitbreiding, en we verkrijgen de geschatte uitdrukking

dat wil zeggen, het bereik van het schot neemt toe met ongeveer de hoogte van het pistool.

Wanneer l = l max , en een = een maximum, zoals reeds opgemerkt, is de discriminant van de kwadratische vergelijking gelijk aan nul, respectievelijk heeft de oplossing de vorm:

Omdat de raaklijn kleiner is dan één, is de hoek waaronder het maximale vliegbereik wordt bereikt kleiner.

De maximale klimhoogte boven het startpunt. Deze waarde kan worden bepaald uit de gelijkheid tot nul van de verticale snelheidscomponent aan de bovenkant van het traject

In dit geval is de horizontale component van de snelheid niet gelijk aan nul, dus