Hoe de noemer van een geometrische progressie te vinden. Oneindig afnemende geometrische progressie

NUMERIEKE VOLGORDEN VI

l48. De som van een oneindig afnemende geometrische progressie

Over sommen gesproken, we hebben tot nu toe altijd aangenomen dat het aantal termen in deze sommen eindig is (bijvoorbeeld 2, 15, 1000, etc.). Maar bij het oplossen van sommige problemen (vooral hogere wiskunde) heb je te maken met de sommen van een oneindig aantal termen

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Wat zijn deze bedragen? Per definitie de som van een oneindig aantal termen a 1 , a 2 , ..., a n , ... heet de limiet van de som S n eerst P nummers wanneer P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limiet (2) kan natuurlijk wel of niet bestaan. Dienovereenkomstig wordt gezegd dat de som (1) bestaat of niet bestaat.

Hoe kom je erachter of de som (1) in elk afzonderlijk geval bestaat? Een algemene oplossing voor deze vraag gaat het bestek van ons programma ver te buiten. Er is echter een belangrijk speciaal geval dat we nu moeten overwegen. We zullen het hebben over de sommatie van de termen van een oneindig afnemende geometrische progressie.

Laten a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... is een oneindig afnemende geometrische progressie. Dit betekent dat | q |< 1. Сумма первых P leden van deze progressie is gelijk aan

Uit de basisstellingen over de limieten van variabelen (zie § 136) krijgen we:

Maar 1 = 1, a q n = 0. Daarom

Dus de som van een oneindig afnemende meetkundige progressie is gelijk aan de eerste term van deze progressie gedeeld door één minus de noemer van deze progressie.

1) De som van de meetkundige progressie 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... is

en de som van een geometrische progressie is 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... is gelijk aan

2) Een eenvoudige periodieke breuk 0,454545 ... verandert in een gewone.

Om dit probleem op te lossen, stellen we deze breuk voor als een oneindige som:

De rechterkant van deze gelijkheid is de som van een oneindig afnemende meetkundige progressie, waarvan de eerste term 45/100 is en de noemer 1/100. Dat is waarom

Op de beschreven manier kan ook de algemene regel voor het omzetten van eenvoudige periodieke breuken in gewone breuken worden verkregen (zie Hoofdstuk II, § 38):

Om een ​​eenvoudige periodieke breuk in een gewone breuk om te zetten, moet u als volgt te werk gaan: plaats de periode van de decimale breuk in de teller en in de noemer - een getal bestaande uit negens zo vaak genomen als er cijfers in de punt zijn van de decimale breuk.

3) Gemengde periodieke breuk 0,58333 .... verandert in een gewone breuk.

Laten we deze breuk voorstellen als een oneindige som:

Aan de rechterkant van deze gelijkheid vormen alle termen, beginnend bij 3/1000, een oneindig afnemende meetkundige reeks, waarvan de eerste term 3/1000 is en de noemer 1/10 is. Dat is waarom

Op de beschreven manier kan ook de algemene regel voor de omzetting van gemengde periodieke fracties in gewone fracties worden verkregen (zie Hoofdstuk II, § 38). We nemen het hier bewust niet op. Het is niet nodig om deze omslachtige regel te onthouden. Het is veel nuttiger om te weten dat elke gemengde periodieke breuk kan worden weergegeven als de som van een oneindig afnemende geometrische progressie en een aantal. En de formule

voor de som van een oneindig afnemende geometrische progressie, moet men natuurlijk onthouden.

Als oefening nodigen we u uit om, naast de problemen nr. 995-1000 hieronder, nog een keer naar probleem nr. 301 § 38 te gaan.

Opdrachten

995. Wat wordt de som van een oneindig afnemende meetkundige progressie genoemd?

996. Vind sommen van oneindig afnemende geometrische progressies:

997. Voor welke waarden? X progressie

neemt oneindig af? Vind de som van zo'n progressie.

998. In een gelijkzijdige driehoek met een zijde a een nieuwe driehoek wordt ingeschreven door de middelpunten van zijn zijden te verbinden; een nieuwe driehoek wordt op dezelfde manier in deze driehoek ingeschreven, enzovoort tot in het oneindige.

a) de som van de omtrekken van al deze driehoeken;

b) de som van hun oppervlakten.

999. In een vierkant met een zijde a een nieuw vierkant wordt ingeschreven door de middelpunten van zijn zijden te verbinden; een vierkant wordt op dezelfde manier in dit vierkant ingeschreven, enzovoort tot in het oneindige. Vind de som van de omtrekken van al deze vierkanten en de som van hun oppervlakten.

1000. Maak een oneindig afnemende geometrische progressie, zodanig dat de som gelijk is aan 25/4, en de som van de kwadraten van de termen gelijk is aan 625/24.

Dit getal wordt de noemer van een meetkundige reeks genoemd, dat wil zeggen dat elke term q keer verschilt van de vorige. (We nemen aan dat q ≠ 1, anders is alles te triviaal). Het is gemakkelijk in te zien dat de algemene formule van het nde lid van de meetkundige reeks b n = b 1 q n – 1 is; termen met getallen b n en b m verschillen q n – m keer.

Al in het oude Egypte kenden ze niet alleen rekenkundige, maar ook geometrische progressie. Hier is bijvoorbeeld een taak uit de Rhind-papyrus: “Zeven gezichten hebben zeven katten; elke kat eet zeven muizen, elke muis eet zeven korenaren, elke aar kan zeven maten gerst verbouwen. Hoe groot zijn de getallen in deze reeks en hun som?

Rijst. 1. Oud-Egyptisch meetkundig progressieprobleem

Deze taak werd vele malen herhaald met verschillende variaties onder andere volkeren op andere momenten. Bijvoorbeeld in geschreven in de XIII eeuw. Het "Boek van het telraam" van Leonardo van Pisa (Fibonacci) heeft een probleem waarbij 7 oude vrouwen verschijnen op weg naar Rome (uiteraard pelgrims), die elk 7 muilezels hebben, die elk 7 zakken hebben, die elk bevat 7 broden, die elk 7 messen hebben, die elk in 7 omhulsels zitten. Het probleem vraagt ​​hoeveel items er zijn.

De som van de eerste n leden van de meetkundige reeks S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Deze formule kan bijvoorbeeld als volgt worden bewezen: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Laten we het getal b 1 q n bij S n optellen en krijgen:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Dus S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), en we krijgen de benodigde formule.

Al op een van de kleitabletten van het oude Babylon, daterend uit de VI eeuw. BC e., bevat de som 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Het is waar, zoals in een aantal andere gevallen weten we niet waar dit feit bij de Babyloniërs bekend was .

De snelle groei van een geometrische progressie in een aantal culturen, met name in India, wordt herhaaldelijk gebruikt als een visueel symbool van de onmetelijkheid van het universum. In de bekende legende over het uiterlijk van schaken geeft de heerser hun uitvinder de mogelijkheid om zelf een beloning te kiezen, en hij vraagt ​​om zoveel tarwekorrels als zal worden verkregen als er een op de eerste cel van het schaakbord wordt geplaatst , twee op de tweede, vier op de derde, acht op de vierde, enzovoort, elke keer dat het aantal wordt verdubbeld. Vladyka dacht dat het hoogstens een paar zakken waren, maar hij rekende verkeerd. Het is gemakkelijk in te zien dat de uitvinder voor alle 64 velden van het schaakbord (2 64 - 1) graan zou moeten hebben ontvangen, wat wordt uitgedrukt als een getal van 20 cijfers; zelfs als het hele aardoppervlak zou worden ingezaaid, zou het minstens 8 jaar duren om het vereiste aantal korrels te verzamelen. Deze legende wordt soms geïnterpreteerd als een verwijzing naar de bijna onbegrensde mogelijkheden die het schaakspel verbergt.

Het feit dat dit nummer echt 20-cijferig is, is gemakkelijk te zien:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (een nauwkeuriger berekening geeft 1.84 10 19). Maar ik vraag me af of u kunt achterhalen met welk cijfer dit nummer eindigt?

Een meetkundige progressie neemt toe als de noemer groter is dan 1 in absolute waarde, of neemt af als deze kleiner is dan één. In het laatste geval kan het getal q n willekeurig klein worden voor voldoende grote n. Terwijl een toenemende exponentieel onverwacht snel toeneemt, neemt een afnemende exponentieel net zo snel af.

Hoe groter n, hoe zwakker het getal q n verschilt van nul, en hoe dichter de som van n leden van de geometrische progressie S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) bij het getal S \u003d b 1 / (1 - q) . (Zo beredeneerd bijvoorbeeld F. Viet). Het getal S wordt de som van een oneindig afnemende meetkundige reeks genoemd. Echter, gedurende vele eeuwen was de vraag wat de betekenis is van de optelling van de ALLE meetkundige progressie, met zijn oneindig aantal termen, niet duidelijk genoeg voor wiskundigen.

Een afnemende geometrische progressie is bijvoorbeeld te zien in Zeno's aporia's "Bijten" en "Achilles en de schildpad". In het eerste geval wordt duidelijk aangetoond dat de hele weg (neem lengte 1) de som is van een oneindig aantal segmenten 1/2, 1/4, 1/8, enz. Zo is het natuurlijk vanuit het oogpunt van ideeën over de eindige som oneindige geometrische progressie. En toch - hoe kan dit?

Rijst. 2. Progressie met een factor 1/2

In de aporie over Achilles is de situatie iets gecompliceerder, omdat hier de noemer van de progressie niet gelijk is aan 1/2, maar aan een ander getal. Laten we bijvoorbeeld Achilles rennen met snelheid v, de schildpad beweegt met snelheid u, en de initiële afstand tussen hen is l. Achilles zal deze afstand afleggen in de tijd l / v , de schildpad zal gedurende deze tijd een afstand lu / v verplaatsen. Wanneer Achilles door dit segment loopt, wordt de afstand tussen hem en de schildpad gelijk aan l (u / v) 2, enz. Het blijkt dat het inhalen van de schildpad betekent dat je de som vindt van een oneindig afnemende geometrische progressie met de eerste term l en de noemer u / v. Deze som - het segment dat Achilles uiteindelijk zal rennen naar het ontmoetingspunt met de schildpad - is gelijk aan l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Maar nogmaals, hoe dit resultaat moet worden geïnterpreteerd en waarom het überhaupt zin heeft, was lange tijd niet erg duidelijk.

Rijst. 3. Geometrische progressie met coëfficiënt 2/3

De som van een geometrische progressie werd door Archimedes gebruikt bij het bepalen van de oppervlakte van een segment van een parabool. Laat het gegeven segment van de parabool worden begrensd door de koorde AB en laat de raaklijn in het punt D van de parabool evenwijdig aan AB zijn. Laat C het middelpunt van AB zijn, E het middelpunt van AC, F het middelpunt van CB. Trek lijnen evenwijdig aan DC door de punten A , E , F , B ; laat de raaklijn getekend in punt D , deze lijnen snijden elkaar in de punten K , L , M , N . Laten we ook de segmenten AD en DB tekenen. Laat de lijn EL de lijn AD snijden in het punt G, en de parabool in het punt H; lijn FM snijdt lijn DB in punt Q, en de parabool in punt R. Volgens de algemene theorie van kegelsneden is DC de diameter van een parabool (dat wil zeggen een segment evenwijdig aan zijn as); het en de raaklijn in punt D kunnen dienen als coördinaatassen x en y, waarin de paraboolvergelijking wordt geschreven als y 2 \u003d 2px (x is de afstand van D tot een willekeurig punt met een bepaalde diameter, y is de lengte van een segment evenwijdig aan een gegeven raaklijn vanaf dit punt van diameter tot een punt op de parabool zelf).

Op grond van de paraboolvergelijking, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , en aangezien DK = 2DL , dan KA = 4LH . Aangezien KA = 2LG, LH = HG. De oppervlakte van het segment ADB van de parabool is gelijk aan de oppervlakte van de driehoek ΔADB en de oppervlakten van de segmenten AHD en DRB samen. Op zijn beurt is het gebied van het AHD-segment op dezelfde manier gelijk aan het gebied van de driehoek AHD en de overige segmenten AH en HD, met elk waarvan dezelfde bewerking kan worden uitgevoerd - opgesplitst in een driehoek (Δ) en de twee resterende segmenten (), enz.:

De oppervlakte van de driehoek ΔAHD is gelijk aan de helft van de oppervlakte van de driehoek ΔALD (ze hebben een gemeenschappelijke basis AD, en de hoogten verschillen 2 keer), wat op zijn beurt gelijk is aan de helft van de oppervlakte van ​​de driehoek ΔAKD, en dus de helft van de oppervlakte van de driehoek ΔACD. Het gebied van driehoek ΔAHD is dus gelijk aan een kwart van het gebied van driehoek ΔACD. Evenzo is het gebied van driehoek ΔDRB gelijk aan een kwart van het gebied van driehoek ΔDFB. Dus de oppervlakten van driehoeken ∆AHD en ∆DRB samen zijn gelijk aan een kwart van de oppervlakte van driehoek ∆ADB. Door deze bewerking te herhalen, zoals toegepast op de segmenten AH , HD , DR en RB, worden er ook driehoeken uit geselecteerd, waarvan de oppervlakte, samen genomen, 4 keer kleiner zal zijn dan de oppervlakte van de driehoeken ΔAHD en ΔDRB , bij elkaar genomen, en dus 16 keer minder, dan de oppervlakte van de driehoek ΔADB . Enzovoort:

Zo bewees Archimedes dat "elk segment tussen een rechte lijn en een parabool vier derde is van een driehoek met dezelfde basis en gelijke hoogte."

>>Wiskunde: Geometrische progressie

Voor het gemak van de lezer volgt deze sectie precies hetzelfde plan als we in de vorige sectie hebben gevolgd.

1. Basisconcepten.

Definitie. Een numerieke reeks waarvan alle leden verschillend zijn van 0 en waarvan elk lid, beginnend bij de tweede, wordt verkregen uit het vorige lid door deze met hetzelfde getal te vermenigvuldigen, wordt een meetkundige reeks genoemd. In dit geval wordt het getal 5 de noemer van een geometrische progressie genoemd.

Een meetkundige progressie is dus een numerieke reeks (b n) die recursief wordt gegeven door de relaties

Is het mogelijk om door naar een getallenreeks te kijken, te bepalen of het een meetkundige reeks is? Kan. Als je ervan overtuigd bent dat de verhouding van een lid van de reeks tot het vorige lid constant is, dan heb je een geometrische progressie.
voorbeeld 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Voorbeeld 2

Dit is een geometrische progressie die:
Voorbeeld 3

Dit is een geometrische progressie die:
Voorbeeld 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Dit is een geometrische progressie waarbij b 1 - 8, q = 1.

Merk op dat deze reeks ook een rekenkundige reeks is (zie voorbeeld 3 vanaf § 15).

Voorbeeld 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Dit is een geometrische progressie, waarin b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Het is duidelijk dat een meetkundige reeks een stijgende reeks is als b 1 > 0, q > 1 (zie voorbeeld 1), en een dalende reeks als b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Om aan te geven dat de rij (b n) een meetkundige reeks is, is de volgende notatie soms handig:

Het pictogram vervangt de uitdrukking "geometrische progressie".
We merken een merkwaardige en tegelijkertijd vrij voor de hand liggende eigenschap van een geometrische progressie op:
Als de volgorde is een geometrische progressie, dan is de reeks vierkanten, d.w.z. is een geometrische progressie.
In de tweede meetkundige reeks is de eerste term gelijk aan a gelijk aan q 2.
Als we alle termen die volgen op b n exponentieel weggooien, krijgen we een eindige meetkundige progressie
In de volgende paragrafen van deze sectie zullen we de belangrijkste eigenschappen van een geometrische progressie beschouwen.

2. Formule van de n-de term van een meetkundig verloop.

Overweeg een geometrische progressie noemer q. Wij hebben:

Het is niet moeilijk te raden dat voor elk getal n de gelijkheid

Dit is de formule voor de n-de term van een meetkundige reeks.

Opmerking.

Als je de belangrijke opmerking uit de vorige paragraaf hebt gelezen en begrepen, probeer dan formule (1) te bewijzen met wiskundige inductie, net zoals dat werd gedaan voor de formule van de n-de term van een rekenkundige reeks.

Laten we de formule van de n-de term van de geometrische progressie herschrijven

en introduceer de notatie: we krijgen y \u003d mq 2, of, in meer detail,
Het argument x zit in de exponent, dus zo'n functie wordt een exponentiële functie genoemd. Dit betekent dat een meetkundige progressie kan worden beschouwd als een exponentiële functie gegeven op de verzameling N natuurlijke getallen. Op afb. 96a toont een grafiek van de functie van Fig. 966 - functiegrafiek In beide gevallen hebben we geïsoleerde punten (met abscis x = 1, x = 2, x = 3, enz.) die op een curve liggen (beide figuren tonen dezelfde curve, alleen anders geplaatst en afgebeeld op verschillende schalen). Deze kromme wordt de exponent genoemd. Meer over de exponentiële functie en zijn grafiek zal worden besproken in de 11e klas algebra cursus.

Laten we terugkeren naar voorbeelden 1-5 uit de vorige paragraaf.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Dit is een geometrische progressie, waarin b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Laten we een formule maken voor de n-de term
2) Dit is een meetkundige reeks, waarin laten we de n-de term formuleren

Dit is een geometrische progressie die: Stel de formule samen voor de n-de term
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Dit is een geometrische progressie, waarin b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Laten we een formule maken voor de n-de term
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Dit is een meetkundig verloop, waarbij b 1 = 2, q = -1. Stel de formule samen voor de n-de term

Voorbeeld 6

Gegeven een geometrische progressie

In alle gevallen is de oplossing gebaseerd op de formule van het nde lid van een meetkundige reeks

a) Als we n = 6 in de formule van de n-de term van de meetkundige progressie zetten, krijgen we

b) We hebben

Sinds 512 \u003d 2 9, krijgen we n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) We hebben

Voorbeeld 7

Het verschil tussen het zevende en vijfde lid van de meetkundige reeks is 48, de som van het vijfde en zesde lid van de reeks is ook 48. Zoek het twaalfde lid van deze reeks.

Eerste etappe. Het opstellen van een wiskundig model.

De voorwaarden van de taak kunnen in het kort als volgt worden geschreven:

Gebruikmakend van de formule van het n-de lid van een meetkundige reeks, krijgen we:
Dan kan de tweede voorwaarde van het probleem (b 7 - b 5 = 48) worden geschreven als

De derde voorwaarde van het probleem (b 5 + b 6 = 48) kan worden geschreven als

Als resultaat krijgen we een stelsel van twee vergelijkingen met twee variabelen b 1 en q:

die, in combinatie met voorwaarde 1) hierboven geschreven, het wiskundige model van het probleem is.

Tweede fase.

Werken met het gecompileerde model. Als we de linkerdelen van beide vergelijkingen van het systeem gelijkstellen, krijgen we:

(we hebben beide zijden van de vergelijking verdeeld in de uitdrukking b 1 q 4 , die verschilt van nul).

Uit de vergelijking q 2 - q - 2 = 0 vinden we q 1 = 2, q 2 = -1. Door de waarde q = 2 in de tweede vergelijking van het systeem in te vullen, krijgen we
Als we de waarde q = -1 in de tweede vergelijking van het systeem invullen, krijgen we b 1 1 0 = 48; deze vergelijking heeft geen oplossingen.

Dus, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - dit paar is de oplossing voor het gecompileerde systeem van vergelijkingen.

Nu kunnen we het betreffende meetkundige verloop opschrijven: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Derde etappe.

Het antwoord op de probleemvraag. Het is nodig om b 12 te berekenen. Wij hebben

Antwoord: b12 = 2048.

3. De formule voor de som van leden van een eindige meetkundige reeks.

Laat er een eindige geometrische progressie zijn

Geef met S n de som van zijn termen aan, d.w.z.

Laten we een formule afleiden om deze som te vinden.

Laten we beginnen met het eenvoudigste geval, wanneer q = 1. Dan bestaat de meetkundige reeks b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn uit n getallen gelijk aan b 1 , d.w.z. het verloop is b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . De som van deze getallen is nb 1 .

Laten we nu q = 1 Om S n te vinden gebruiken we een kunstmatige methode: laten we enkele transformaties uitvoeren van de uitdrukking S n q. Wij hebben:

Bij het uitvoeren van transformaties gebruikten we in de eerste plaats de definitie van een geometrische progressie, volgens welke (zie de derde redenering); ten tweede voegden ze toe en trokken ze af waarom de betekenis van de uitdrukking natuurlijk niet veranderde (zie de vierde redenering); ten derde gebruikten we de formule van het n-de lid van een meetkundige reeks:

Uit formule (1) vinden we:

Dit is de formule voor de som van n leden van een meetkundige reeks (voor het geval dat q = 1).

Voorbeeld 8

Gegeven een eindige geometrische progressie

a) de som van de leden van de progressie; b) de som van de kwadraten van zijn leden.

b) Hierboven (zie p. 132) hebben we al opgemerkt dat als alle leden van een meetkundige reeks gekwadrateerd zijn, dan een meetkundige reeks met het eerste lid b 2 en de noemer q 2 zal worden verkregen. Dan wordt de som van de zes termen van de nieuwe progressie berekend door

Voorbeeld 9

Vind de 8e term van een meetkundige reeks waarvoor

In feite hebben we de volgende stelling bewezen.

Een numerieke reeks is een meetkundige reeks dan en slechts dan als het kwadraat van elk van zijn termen, behalve de eerste (en de laatste, in het geval van een eindige reeks), gelijk is aan het product van de vorige en volgende termen (een karakteristieke eigenschap van een geometrische progressie).

Beschouw nu de kwestie van de sommatie van een oneindige geometrische progressie. Laten we de partiële som van een gegeven oneindige progressie de som van zijn eerste termen noemen. Geef de gedeeltelijke som aan met het symbool

Voor elke oneindige progressie

men kan een (ook oneindige) reeks van zijn deelsommen samenstellen

Laat een reeks met onbeperkte toename een limiet hebben

In dit geval wordt het getal S, d.w.z. de limiet van gedeeltelijke sommen van de progressie, de som van een oneindige progressie genoemd. We zullen bewijzen dat een oneindig afnemende meetkundige progressie altijd een som heeft, en een formule voor deze som afleiden (we kunnen ook aantonen dat voor een oneindige progressie geen som heeft, niet bestaat).

We schrijven de uitdrukking voor de partiële som als de som van de leden van de progressie volgens formule (91.1) en beschouwen de limiet van de partiële som bij

Uit de stelling van item 89 is bekend dat voor een afnemende progressie; daarom vinden we, door de verschillimietstelling toe te passen,

(de regel wordt hier ook gebruikt: de constante factor wordt uit het teken van de limiet gehaald). Het bestaan ​​wordt bewezen en tegelijkertijd wordt de formule voor de som van een oneindig afnemende meetkundige reeks verkregen:

Gelijkheid (92.1) kan ook worden geschreven als

Hier kan het paradoxaal lijken dat een goed gedefinieerde eindige waarde wordt toegekend aan de som van een oneindige reeks termen.

Een duidelijke illustratie kan worden gegeven om deze situatie te verklaren. Beschouw een vierkant met een zijde gelijk aan één (Fig. 72). We verdelen dit vierkant door een horizontale lijn in twee gelijke delen en passen het bovenste deel toe op het onderste, zodat een rechthoek wordt gevormd met zijden 2 en . Daarna delen we de rechterhelft van deze rechthoek opnieuw in tweeën door een horizontale lijn en bevestigen het bovenste deel aan het onderste (zoals weergegeven in Fig. 72). Als we dit proces voortzetten, transformeren we constant het oorspronkelijke vierkant met een oppervlakte gelijk aan 1 in figuren van gelijke grootte (in de vorm van een trap met dunnere treden).

Met een oneindige voortzetting van dit proces wordt het hele gebied van het vierkant ontleed in een oneindig aantal termen - de gebieden van rechthoeken met basissen gelijk aan 1 en hoogten. De gebieden van de rechthoeken vormen gewoon een oneindig afnemende progressie , de som

d.w.z., zoals verwacht, is gelijk aan de oppervlakte van het vierkant.

Voorbeeld. Vind de sommen van de volgende oneindige progressies:

Oplossing, a) We merken op dat deze progressie Daarom vinden we met de formule (92.2):

b) Hier betekent het dat we met dezelfde formule (92.2) hebben:

c) We vinden dat deze progressie Daarom heeft deze progressie geen som.

In paragraaf 5 werd de toepassing van de formule voor de som van termen van een oneindig afnemende progressie op de omzetting van een periodieke decimale breuk in een gewone breuk getoond.

Opdrachten

1. De som van een oneindig afnemende geometrische progressie is 3/5 en de som van de eerste vier termen is 13/27. Zoek de eerste term en de noemer van de progressie.

2. Zoek vier getallen die een afwisselende geometrische reeks vormen, waarbij de tweede term 35 kleiner is dan de eerste en de derde 560 groter is dan de vierde.

3. Toon wat als volgorde

vormt een oneindig afnemende geometrische progressie, dan is de reeks

voor elke vorm een ​​oneindig afnemende geometrische progressie. Geldt deze bewering voor?

Leid een formule af voor het product van de termen van een meetkundige reeks.

Wiskunde is watmensen beheersen de natuur en zichzelf.

Sovjet wiskundige, academicus A.N. Kolmogorov

Geometrische voortgang.

Naast taken voor rekenkundige progressies, zijn taken die verband houden met het concept van een geometrische progressie ook gebruikelijk in toelatingstoetsen in de wiskunde. Om dergelijke problemen met succes op te lossen, moet u de eigenschappen van een geometrische progressie kennen en over goede vaardigheden beschikken om ze te gebruiken.

Dit artikel is gewijd aan de presentatie van de belangrijkste eigenschappen van een geometrische progressie. Het biedt ook voorbeelden van het oplossen van typische problemen, ontleend aan de taken van toelatingstoetsen in de wiskunde.

Laten we eerst de belangrijkste eigenschappen van een geometrische progressie noteren en de belangrijkste formules en uitspraken in herinnering brengen, gekoppeld aan dit begrip.

Definitie. Een numerieke reeks wordt een meetkundige reeks genoemd als elk van zijn getallen, beginnend bij het tweede, gelijk is aan het vorige, vermenigvuldigd met hetzelfde getal. Het getal wordt de noemer van een meetkundige reeks genoemd.

Voor een geometrische progressiede formules zijn geldig

, (1)

waar . Formule (1) wordt de formule van de algemene term van een meetkundige reeks genoemd, en formule (2) is de belangrijkste eigenschap van een meetkundige reeks: elk lid van de reeks valt samen met het geometrische gemiddelde van zijn aangrenzende leden en .

Opmerking, dat juist vanwege deze eigenschap de betreffende progressie "geometrisch" wordt genoemd.

De bovenstaande formules (1) en (2) worden als volgt samengevat:

, (3)

Om de som te berekenen eerst leden van een geometrische progressiede formule is van toepassing

Als we aanwijzen:

waar . Aangezien formule (6) een generalisatie is van formule (5).

In het geval dat en geometrische voortgangwordt oneindig kleiner. Om de som te berekenenvan alle leden van een oneindig afnemende geometrische progressie, wordt de formule gebruikt

. (7)

Bijvoorbeeld , met formule (7) kan men laten zien, wat

waar . Deze gelijkheden worden verkregen uit formule (7) op voorwaarde dat , (de eerste gelijkheid) en , (de tweede gelijkheid).

Stelling. Als dan

Een bewijs. Als dan ,

De stelling is bewezen.

Laten we verder gaan met het bekijken van voorbeelden van het oplossen van problemen over het onderwerp "Geometrische progressie".

voorbeeld 1 Gegeven: , en . Vind .

Oplossing. Als formule (5) wordt toegepast, dan:

Antwoorden: .

Voorbeeld 2 Laat en . Vind .

Oplossing. Aangezien en , gebruiken we formules (5), (6) en verkrijgen we het stelsel vergelijkingen

Als de tweede vergelijking van systeem (9) wordt gedeeld door de eerste, dan of . Hieruit volgt: . Laten we twee gevallen bekijken.

1. Als, dan hebben we uit de eerste vergelijking van systeem (9):.

2. Als , dan .

Voorbeeld 3 Laat , en . Vind .

Oplossing. Uit formule (2) volgt dat of . Sinds , toen of .

Op voorwaarde. Echter daarom . Omdat en, dan hebben we hier een stelsel vergelijkingen

Als de tweede vergelijking van het systeem wordt gedeeld door de eerste, dan of .

Aangezien de vergelijking een enkele geschikte wortel heeft. In dit geval impliceert de eerste vergelijking van het systeem .

Rekening houdend met formule (7), verkrijgen we.

Antwoorden: .

Voorbeeld 4 Gegeven: en . Vind .

Oplossing. Vanaf dat moment .

Omdat, dan of

Volgens formule (2) hebben we . In dit opzicht krijgen we uit gelijkheid (10) of .

Wel op voorwaarde dus.

Voorbeeld 5 Het is bekend dat . Vind .

Oplossing. Volgens de stelling hebben we twee gelijkheden

Sinds , toen of . Omdat dan .

Antwoorden: .

Voorbeeld 6 Gegeven: en . Vind .

Oplossing. Rekening houdend met formule (5), verkrijgen we:

Vanaf dat moment . Sinds , en , toen .

Voorbeeld 7 Laat en . Vind .

Oplossing. Volgens formule (1) kunnen we schrijven

Daarom hebben we of . Het is bekend dat en , daarom en .

Antwoorden: .

Voorbeeld 8 Vind de noemer van een oneindig afnemende geometrische progressie als

en .

Oplossing. Uit formule (7) volgt: en . Hieruit en uit de toestand van het probleem, verkrijgen we het stelsel vergelijkingen

Als de eerste vergelijking van het systeem gekwadrateerd is, en deel vervolgens de resulterende vergelijking door de tweede vergelijking, dan krijgen we

Of .

Antwoorden: .

Voorbeeld 9 Vind alle waarden waarvoor de reeks , , een geometrische progressie is.

Oplossing. Laat , en . Volgens formule (2), die de belangrijkste eigenschap van een geometrische progressie definieert, kunnen we schrijven of .

Vanaf hier krijgen we de kwadratische vergelijking, wiens wortels zijn? en .

Laten we eens kijken: als, dan , en ; als , dan , en .

In het eerste geval hebben we en , en in de tweede - en .

Antwoorden: , .

Voorbeeld 10los De vergelijking op

, (11)

waar en.

Oplossing. De linkerkant van vergelijking (11) is de som van een oneindig afnemende geometrische progressie, waarin en , mits: en .

Uit formule (7) volgt:, wat . In dit opzicht heeft vergelijking (11) de vorm of . geschikte wortel kwadratische vergelijking is

Antwoorden: .

Voorbeeld 11. P reeks positieve getallenvormt een rekenkundige progressie, a - geometrische voortgang, wat heeft het ermee te maken . Vind .

Oplossing. Omdat rekenkundige rij, dan (de belangrijkste eigenschap van een rekenkundige reeks). Omdat de, dan of . Dit houdt in , dat de geometrische progressie is. Volgens formule (2), dan schrijven we dat .

Sinds en toen . In dat geval is de uitdrukking neemt de vorm aan of . Op voorwaarde, dus uit de vergelijkingwe verkrijgen de unieke oplossing van het probleem in kwestie, d.w.z. .

Antwoorden: .

Voorbeeld 12. Bereken som

. (12)

Oplossing. Vermenigvuldig beide zijden van gelijkheid (12) met 5 en krijg

Als we (12) aftrekken van de resulterende uitdrukking, dan

of .

Om te berekenen, vervangen we de waarden in formule (7) en verkrijgen . Vanaf dat moment .

Antwoorden: .

De hier gegeven voorbeelden van probleemoplossing zullen nuttig zijn voor aanvragers ter voorbereiding op toelatingsexamens. Voor een diepere studie van probleemoplossende methoden, geassocieerd met een geometrische progressie, je kunt de tutorials uit de lijst met aanbevolen literatuur gebruiken.

1. Verzamelen van taken in de wiskunde voor aanvragers van technische universiteiten / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Wiskunde voor middelbare scholieren: aanvullende onderdelen van het schoolcurriculum. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Een complete cursus elementaire wiskunde in taken en oefeningen. Boek 2: Nummerreeksen en -progressies. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Heb je nog vragen?

Om de hulp van een tutor te krijgen - registreer je.

site, bij volledige of gedeeltelijke kopie van het materiaal, is een link naar de bron vereist.