Hoe y in een functie te vinden. Aanvullende beperkingen op functiebereik

Er zijn oneindig veel functies in de wiskunde. En elk heeft zijn eigen karakter.) Om met een grote verscheidenheid aan functies te werken, heb je nodig: enkel een aanpak. Wat is dit anders voor wiskunde?!) En er is zo'n benadering!

Als we met een functie werken, presenteren we deze met een standaardreeks vragen. En de eerste en belangrijkste vraag is: omvang van de functie. Soms wordt dit gebied de verzameling geldige argumentwaarden, het functiedefinitiegebied, enz. genoemd.

Wat is de omvang van een functie? Hoe het te vinden? Deze vragen lijken vaak ingewikkeld en onbegrijpelijk... Hoewel in feite alles uiterst eenvoudig is. Wat u zelf kunt zien door deze pagina te lezen. Gaan?)

Nou, wat kan ik zeggen ... Alleen respect.) Ja! Het natuurlijke bereik van een functie (waar we het hier over hebben) wedstrijden met ODZ-expressies die in de functie zijn opgenomen. Dienovereenkomstig worden ze gezocht volgens dezelfde regels.

Overweeg nu een niet helemaal natuurlijk definitiedomein.)

Aanvullende beperkingen op de omvang van de functie.

Hier zullen we het hebben over de beperkingen die door de taak worden opgelegd. Die. de taak bevat enkele aanvullende voorwaarden die de compiler heeft bedacht. Of de beperkingen komen voort uit de manier waarop de functie is gedefinieerd.

Wat betreft de beperkingen in de taak - alles is eenvoudig. Meestal hoef je nergens naar te zoeken, alles is al gezegd in de taak. Laat me je eraan herinneren dat de beperkingen die zijn geschreven door de auteur van de taak niet annuleren fundamentele beperkingen van de wiskunde. Je hoeft alleen maar rekening te houden met de voorwaarden van de opdracht.

Zo'n taak bijvoorbeeld:

Zoek het bereik van een functie:

op de verzameling positieve getallen.

We hebben hierboven het natuurlijke domein van de definitie van deze functie gevonden. Dit gebied:

D(v)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

Op de verbale manier om een ​​functie in te stellen, moet je de voorwaarde zorgvuldig lezen en daar beperkingen op x'en vinden. Soms zoeken de ogen naar formules, en fluiten de woorden voorbij het bewustzijn, ja...) Voorbeeld uit de vorige les:

De functie wordt gegeven door de voorwaarde: elke waarde van het natuurlijke argument x wordt geassocieerd met de som van de cijfers waaruit de waarde van x bestaat.

Hier moet worden opgemerkt dat het is enkel en alleen over de natuurlijke waarden van x. dan en D(v) onmiddellijk opgenomen:

D(f): x ∈ N

Zoals je kunt zien, is de reikwijdte van een functie niet zo'n ingewikkeld concept. Het vinden van dit gebied wordt gereduceerd tot het onderzoeken van de functie, het schrijven van een systeem van ongelijkheden en het oplossen van dit systeem. Natuurlijk zijn er allerlei systemen, eenvoudig en complex. Maar...

Ik zal je een klein geheimpje vertellen. Soms ziet een functie waarvoor je de scope moet vinden er gewoon intimiderend uit. Ik wil bleek worden en huilen.) Maar het is de moeite waard om een ​​systeem van ongelijkheden op te schrijven ... En plotseling blijkt het systeem elementair te zijn! En vaak, hoe slechter de functie, hoe eenvoudiger het systeem...

Moraal: de ogen zijn bang, het hoofd beslist!)

De functie is het model. Laten we X definiëren als een reeks waarden van een onafhankelijke variabele // onafhankelijk betekent elke.

Een functie is een regel waarmee men voor elke waarde van de onafhankelijke variabele uit de verzameling X de enige waarde van de afhankelijke variabele kan vinden. // d.w.z. voor elke x is er een y.

Uit de definitie volgt dat er twee concepten zijn: een onafhankelijke variabele (die we aanduiden met x en elke waarde kan aannemen) en een afhankelijke variabele (die we aanduiden met y of f (x) en deze wordt berekend uit de functie wanneer wij vervangen x).

BIJVOORBEELD y=5+x

1. Onafhankelijk is x, dus we nemen elke waarde, laten x = 3

2. en nu berekenen we y, dus y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y is afhankelijk van x, want wat x we ​​vervangen, we krijgen zo'n y)

We zeggen dat de variabele y functioneel afhankelijk is van de variabele x en deze wordt als volgt aangeduid: y = f (x).

BIJVOORBEELD.

1.y=1/x. (hyperbool genoemd)

2. y=x^2. (parabool genoemd)

3.j=3x+7. (rechte lijn genoemd)

4. y \u003d √ x. (de tak van de parabool genoemd)

De onafhankelijke variabele (die we aanduiden met x) wordt het argument van de functie genoemd.

Functiebereik:

De verzameling van alle waarden die een functieargument aanneemt, wordt het domein van de functie genoemd en wordt aangegeven met D(f) of D(y).

Beschouw D(y) voor 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) en (0;+∞) // de hele reeks reële getallen behalve nul.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / alle vele reële getallen

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / alle vele reële getallen

4. D (y) \u003d.

Als tenslotte een combinatie van verschillende functies wordt gegeven, dan is het definitiedomein het snijpunt van de definitiedomeinen van al deze functies. Bijvoorbeeld y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+lg(x−6). Zoek eerst het domein van alle termen. Sin(2*x) wordt gedefinieerd op de hele getallenlijn. Los voor de functie x/√(x+2) de ongelijkheid x+2>0 op en het domein wordt (-2; +∞). Het domein van de functie arcsin(x−6) wordt gegeven door de dubbele ongelijkheid -1≤x-6≤1, dat wil zeggen, het segment wordt verkregen. Voor de logaritme geldt de ongelijkheid x−6>0, en dit is het interval (6; +∞). Het domein van de functie is dus de verzameling (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), d.w.z. (6; 7].

Gerelateerde video's

bronnen:

• domein van een functie met een logaritme

Een functie is een concept dat de relatie tussen elementen van verzamelingen weerspiegelt, of met andere woorden, het is een "wet" volgens welke elk element van een verzameling (het domein van de definitie genoemd) wordt geassocieerd met een element van een andere verzameling (genaamd het domein van waarden).

Laten we beginnen met het vinden van domein van de definitie van de som van functies. Het is duidelijk dat een dergelijke functie zinvol is voor al dergelijke waarden van de variabele waarvoor alle functies waaruit de som bestaat zinvol zijn. Daarom bestaat er geen twijfel over de geldigheid van de volgende verklaring:

Als de functie f de som is van n functies f 1 , f 2 , …, f n , dat wil zeggen, de functie f wordt gegeven door de formule y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), dan is het domein van de functie f het snijpunt van de domeinen van de functies f 1 , f 2 , …, f n . Laten we het schrijven als .

Laten we afspreken om records zoals de vorige te blijven gebruiken, waarmee we bedoelen geschreven tussen accolades, of de gelijktijdige vervulling van alle voorwaarden. Dit is handig en resoneert heel natuurlijk met de betekenis van systemen.

Voorbeeld.

Gegeven een functie y=x 7 +x+5+tgx , en we moeten het domein ervan vinden.

Beslissing.

De functie f wordt weergegeven door de som van vier functies: f 1 is een machtsfunctie met een exponent van 7 , f 2 is een machtsfunctie met een exponent van 1 , f 3 is een constante functie en f 4 is een raaklijnfunctie.

Kijkend naar de tabel met definitiedomeinen van de elementaire basisfuncties, vinden we dat D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3) =(−∞, +∞) , en het domein van de raaklijn is de verzameling van alle reële getallen, behalve de getallen .

Het domein van de functie f is het snijpunt van de domeinen van de functies f 1 , f 2 , f 3 en f 4 . Het is vrij duidelijk dat dit de verzameling is van alle reële getallen, met uitzondering van de getallen .

Antwoord:

verzameling van alle reële getallen behalve .

Laten we verder gaan met vinden domeinen van het product van functies. Voor dit geval geldt een vergelijkbare regel:

Als de functie f het product is van n functies f 1 , f 2 , …, f n , dat wil zeggen, de functie f wordt gegeven door de formule y=f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x), dan is het domein van de functie f het snijpunt van de domeinen van de functies f 1 , f 2 , …, f n . Dus, .

Het is begrijpelijk dat in het aangegeven gebied alle functies van het product zijn gedefinieerd, en dus de functie f zelf.

Voorbeeld.

Y=3 arctgx lnx .

Beslissing.

De structuur van de rechterkant van de formule die de functie definieert, kan worden beschouwd als f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) , waarbij f 1 een constante functie is, f 2 de boogtangensfunctie is, en f 3 is de logaritmische functie met grondtal e.

We weten dat D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) en D(f 3)=(0, +∞) . Dan .

Antwoord:

het domein van de functie y=3 arctgx lnx is de verzameling van alle reële positieve getallen.

Laten we apart stilstaan ​​bij het vinden van het domein van de functie gegeven door de formule y=C·f(x) , waarbij C een reëel getal is. Het is eenvoudig aan te tonen dat het domein van deze functie en het domein van de functie f samenvallen. Inderdaad, de functie y=C f(x) is het product van een constante functie en een functie f . Het domein van een constante functie is de verzameling van alle reële getallen, en het domein van de functie f is D(f) . Dan is het domein van de functie y=C f(x) , die moest worden getoond.

Dus de domeinen van de functies y=f(x) en y=C·f(x) , waar С een reëel getal is, vallen samen. Als het domein van de wortel bijvoorbeeld is , wordt het duidelijk dat D(f) de verzameling is van alle x uit het domein van de functie f 2 waarvoor f 2 (x) is opgenomen in het domein van de functie f 1 .

Dus, domein van een complexe functie y=f 1 (f 2 (x)) is het snijpunt van twee verzamelingen: de verzameling van alle x zodat x∈D(f 2) en de verzameling van alle x zodat f 2 (x)∈D(f 1 ). Dat wil zeggen, in onze notatie (dit is in wezen een systeem van ongelijkheden).

Laten we een paar voorbeelden bekijken. In het proces zullen we niet in detail beschrijven, omdat dit buiten het bestek van dit artikel valt.

Voorbeeld.

Zoek het domein van de functie y=lnx 2 .

Beslissing.

De oorspronkelijke functie kan worden weergegeven als y=f 1 (f 2 (x)) , waarbij f 1 een logaritme is met grondtal e, en f 2 een machtsfunctie is met exponent 2.

Wat betreft de bekende definitiedomeinen van de elementaire basisfuncties, hebben we D(f 1)=(0, +∞) en D(f 2)=(−∞, +∞) .

Dan

Dus we vonden het definitiedomein van de functie die we nodig hadden, het is de verzameling van alle reële getallen behalve nul.

Antwoord:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Voorbeeld.

Wat is de reikwijdte van de functie? ?

Beslissing.

Deze functie is complex, het kan worden beschouwd als y \u003d f 1 (f 2 (x)) , waarbij f 1 een machtsfunctie met exponent is, en f 2 de arcsinusfunctie is, en we moeten het domein ervan vinden.

Laten we eens kijken wat we weten: D(f 1)=(0, +∞) en D(f 2)=[−1, 1] . Het blijft om het snijpunt van reeksen waarden x te vinden zodat x∈D(f 2) en f 2 (x)∈D(f 1) :

Laten we voor arcsinx>0 de eigenschappen van de arcsinus-functie oproepen. De arcsinus neemt toe over het hele domein [-1, 1] en verdwijnt bij x=0 , daarom arcsinx>0 voor elke x uit het interval (0, 1] .

Laten we teruggaan naar het systeem:

Het gewenste definitiedomein van de functie is dus een halfinterval (0, 1] .

Antwoord:

(0, 1] .

Laten we nu verder gaan met complexe algemene functies y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Het domein van de functie f wordt in dit geval gevonden als .

Voorbeeld.

Vind het bereik van een functie .

Beslissing.

De gegeven complexe functie kan worden geschreven als y \u003d f 1 (f 2 (f 3 (x))), waarbij f 1 - sin, f 2 - functie van de wortel van de vierde graad, f 3 - lg.

We weten dat D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=)