Hoe het getal e wordt verkregen Wereldconstanten "pi" en "e" in de basiswetten van de natuurkunde en fysiologie

In HTML kan kleur op drie manieren worden opgegeven:

Kleur in HTML instellen op naam

Sommige kleuren kunnen worden gespecificeerd met hun naam, met behulp van de naam van de kleur op de de Engelse taal. De meest voorkomende trefwoorden: zwart (zwart), wit (wit), rood (rood), groen (groen), blauw (blauw), enz:

Tekstkleur - Rood

De meest populaire kleuren van het World Wide Web Consortium (eng. World wijde web Consortium, W3C):

Naam	Naam	Naam	Naam
zwart	Grijs	Zilver	Wit
Geel	limoen	Aqua	Fuchsia
Rood	Groente	Blauw	Purper
kastanjebruin	Olijf	Marine	groenblauw

Een voorbeeld van het gebruik van verschillende kleurnamen:

Voorbeeld: een kleur instellen op naam

Probeer het zelf "

Koptekst op rode achtergrond

Koptekst op oranje achtergrond

Koptekst op limoenachtergrond

Witte tekst op een blauwe achtergrond

Koptekst op rode achtergrond

Koptekst op oranje achtergrond

Koptekst op limoenachtergrond

Witte tekst op een blauwe achtergrond

Kleur specificeren met RGB

Bij het weergeven van verschillende kleuren op de monitor wordt het RGB-palet als basis genomen. Elke kleur wordt verkregen door de drie belangrijkste te mengen: R - rood, G - groen (groen), B - blauw (blauw). De helderheid van elke kleur wordt gegeven door één byte en kan daarom waarden aannemen van 0 tot 255. RGB (255,0,0) wordt bijvoorbeeld weergegeven als rood, omdat rood is ingesteld op zijn hoge waarde(255) en de rest staat op 0. U kunt de kleur ook instellen in percentage. Elk van de parameters geeft het helderheidsniveau van de bijbehorende kleur aan. Bijvoorbeeld: de waarden rgb(127, 255, 127) en rgb(50%, 100%, 50%) zullen hetzelfde instellen groene kleur gemiddelde verzadiging:

Voorbeeld: een kleur specificeren met RGB

Probeer het zelf "

RGB(127, 255, 127)

RGB(50%, 100%, 50%)

RGB(127, 255, 127)

RGB(50%, 100%, 50%)

Kleur instellen op hexadecimale waarde

Waarden R G B kan ook worden gespecificeerd met behulp van hexadecimale (HEX) kleurwaarden in de vorm: #RRGGBB waarbij RR (rood), GG (groen) en BB (blauw) hexadecimale waarden zijn van 00 tot FF (hetzelfde als decimaal 0- 255) . Het hexadecimale systeem is, in tegenstelling tot het decimale systeem, gebaseerd, zoals de naam al aangeeft, op het getal 16. Het hexadecimale systeem gebruikt de volgende tekens: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Hier worden de cijfers van 10 tot 15 vervangen door Latijnse letters. Getallen groter dan 15 in het hexadecimale systeem zijn de vereniging van twee tekens in één waarde. Het hoogste getal 255 in decimaal komt bijvoorbeeld overeen met de hoogste FF in hexadecimaal. In tegenstelling tot het decimale systeem wordt het hexadecimale getal voorafgegaan door een hekje. # #FF0000 wordt bijvoorbeeld weergegeven als rood omdat rood is ingesteld op de hoogste waarde (FF) en de rest van de kleuren is ingesteld op minimale waarde(00). Tekens na het hash-symbool # kan zowel in hoofdletters als in kleine letters worden getypt. Het hexadecimale systeem stelt u in staat om de verkorte vorm #rgb te gebruiken, waarbij elk teken gelijk is aan tweemaal. De invoer #f7O moet dus worden beschouwd als #ff7700.

Voorbeeld: Kleur HEX

Probeer het zelf "

rood: #FF0000

groen: #00FF00

blauw: #0000FF

rood: #FF0000

groen: #00FF00

blauw: #0000FF

rood+groen=geel: #FFFF00

rood+blauw=paars: #FF00FF

groen+blauw=cyaan: #00FFFF

Lijst met veelgebruikte kleuren (naam, HEX en RGB):

Engelse naam	Russische naam	HEX	RGB
Amarant	amarant	#E52B50	229	43	80
Amber	Amber	#FFBF00	255	191	0
Aqua	blauw groen	#00FFFF	0	255	255
azuurblauw	azuurblauw	#007FFF	0	127	255
zwart	zwart	#000000	0	0	0
Blauw	Blauw	#0000FF	0	0	255
Bondi Blauw	Bondi strandwater	#0095B6	0	149	182
Messing	Messing	#B5A642	181	166	66
Bruin	Bruin	#964B00	150	75	0
Ceruleaans	azuurblauw	#007BA7	0	123	167
donker lentegroen	Donker lentegroen	#177245	23	114	69
Smaragd	Smaragd	#50C878	80	200	120
Aubergine	aubergine	#990066	153	0	102
Fuchsia	Fuchsia	#FF00FF	255	0	255
Goud	Goud	#FFD700	250	215	0
Grijs	Grijs	#808080	128	128	128
Groente	Groente	#00FF00	0	255	0
Indigo	Indigo	#4B0082	75	0	130
Jade	Jade	#00A86B	0	168	107
limoen	Limoen	#CCFF00	204	255	0
Malachiet	Malachiet	#0BDA51	11	218	81
Marine	Donkerblauw	#000080	0	0	128
Oker	Oker	#CC7722	204	119	34
Olijf	Olijf	#808000	128	128	0
Oranje	Oranje	#FFA500	255	165	0
perzik	Perzik	#FFE5B4	255	229	180
Pompoen	Pompoen	#FF7518	255	117	24
Purper	paars	#800080	128	0	128
Rood	Rood	#FF0000	255	0	0
Saffraan	Saffraan	#F4C430	244	196	48
zeegroen	groene zee	#2E8B57	46	139	87
moeras groen	Bolotny	#ACB78E	172	183	142
groenblauw	blauw groen	#008080	0	128	128
Ultramarijn	ultramarijn	#120A8F	18	10	143
paars	paars	#8B00FF	139	0	255
Geel	Geel	#FFFF00	255	255	0

Kleurcodes (achtergrond) op verzadiging en tint.

Kleurcodes in CSS worden gebruikt om kleuren te specificeren. Meestal worden kleurcodes of kleurwaarden gebruikt om een kleur in te stellen voor ofwel de voorgrond van een element (bijvoorbeeld tekst, linkkleur) of de achtergrond van het element (achtergrond, blokkleur). Ze kunnen ook worden gebruikt om de knopkleur, randen, markeringen, zweefeffecten en andere decoratieve effecten te wijzigen.

Je kunt je kleurwaarden in verschillende formaten instellen. De volgende tabel bevat alle mogelijke formaten:

Deze formaten worden hieronder in meer detail beschreven.

CSS-kleuren - Hex-codes

Hexadecimale kleurcode is een zescijferige kleurweergave. De eerste twee cijfers (RR) zijn de rode waarde, de volgende twee zijn groene waarde(GG) en de laatste zijn de blauwe waarde (BB).

CSS-kleuren - korte hexadecimale codes

Korte hexadecimale kleurcode is een kortere vorm van notatie van zes tekens. In dit formaat wordt elk cijfer herhaald om de equivalente zescijferige kleurwaarde te produceren. Bijvoorbeeld: #0F0 wordt #00FF00.

De hexadecimale waarde kan uit elke afbeelding worden gehaald software, zoals Adobe Photoshop, Core Draw, enz.

Elke hexadecimale kleurcode in CSS wordt voorafgegaan door een hekje "#". Hieronder volgen voorbeelden van het gebruik van hexadecimale notatie.

CSS-kleuren - RGB-waarden

RGB-waarde is een kleurcode die is ingesteld met de eigenschap rgb(). Deze eigenschap heeft drie waarden: één voor rood, groen en blauw. De waarde kan een geheel getal zijn, van 0 tot 255, of een percentage.

Opmerking: Niet alle browsers ondersteunen de eigenschap rgb() color, dus het wordt niet aanbevolen om deze te gebruiken.

Hieronder ziet u een voorbeeld van meerdere kleuren met RGB-waarden.

Kleurcodegenerator

Met onze service kunt u miljoenen kleurcodes maken.

Veilige browserkleuren

Hieronder staat een tabel met 216 kleuren die het veiligst en computeronafhankelijk zijn. Deze kleuren in CSS variëren van 000000 tot FFFFFF hex-code. Ze zijn veilig in gebruik omdat ze ervoor zorgen dat alle computers de kleuren correct weergeven wanneer ze met het 256 kleurenpalet werken.

Tabel met "veilige" kleuren in CSS
#000000	#000033	#000066	#000099	#0000CC	#0000FF
#003300	#003333	#003366	#003399	#0033CC	#0033FF
#006600	#006633	#006666	#006699	#0066CC	#0066FF
#009900	#009933	#009966	#009999	#0099CC	#0099FF
#00CC00	#00CC33	#00CC66	#00CC99	#00CCCC	#00CCFF
#00FF00	#00FF33	#00FF66	#00FF99	#00FFCC	#00FFFF
#330000	#330033	#330066	#330099	#3300CC	#3300FF
#333300	#333333	#333366	#333399	#3333CC	#3333FF
#336600	#336633	#336666	#336699	#3366CC	#3366FF
#339900	#339933	#339966	#339999	#3399CC	#3399FF
#33CC00	#33CC33	#33CC66	#33CC99	#33CCCC	#33CCFF
#33FF00	#33FF33	#33FF66	#33FF99	#33FFCC	#33FFFF
#660000	#660033	#660066	#660099	#6600CC	#6600FF
#663300	#663333	#663366	#663399	#6633CC	#6633FF
#666600	#666633	#666666	#666699	#6666CC	#6666FF
#669900	#669933	#669966	#669999	#6699CC	#6699FF
#66CC00	#66CC33	#66CC66	#66CC99	#66CCCC	#66CCFF
#66FF00	#66FF33	#66FF66	#66FF99	#66FFCC	#66FFFF
#990000	#990033	#990066	#990099	#9900CC	#9900FF
#993300	#993333	#993366	#993399	#9933CC	#9933FF
#996600	#996633	#996666	#996699	#9966CC	#9966FF
#999900	#999933	#999966	#999999	#9999CC	#9999FF
#99CC00	#99CC33	#99CC66	#99CC99	#99CCCC	#99CCFF
#99FF00	#99FF33	#99FF66	#99FF99	#99FFCC	#99FFFF
#CC0000	#CC0033	#CC0066	#CC0099	#CC00CC	#CC00FF
#CC3300	#CC3333	#CC3366	#CC3399	#CC33CC	#CC33FF
#CC6600	#CC6633	#CC6666	#CC6699	#CC66CC	#CC66FF
#CC9900	#CC9933	#CC9966	#CC9999	#CC99CC	#CC99FF
#CCCC00	#CCCC33	#CCCC66	#CCCC99	#CCCCCC	#CCCCFF
#CCFF00	#CCFF33	#CCFF66	#CCFF99	#CCFFCC	#CCFFFF
#FF0000	#FF0033	#FF0066	#FF0099	#FF00CC	#FF00FF
#FF3300	#FF3333	#FF3366	#FF3399	#FF33CC	#FF33FF
#FF6600	#FF6633	#FF6666	#FF6699	#FF66CC	#FF66FF
#FF9900	#FF9933	#FF9966	#FF9999	#FF99CC	#FF99FF
#FFCC00	#FFCC33	#FFCC66	#FFCC99	#FFCCCC	#FFCCFF
#FFFF00	#FFFF33	#FFFF66	#FFFF99	#FFFFCC	#FFFFFF

Iedereen weet het meetkundig gevoel nummers π is de omtrek van een cirkel met een eenheidsdiameter:

En hier is de betekenis van een andere belangrijke constante, e, wordt snel vergeten. Dat wil zeggen, ik weet niet hoe het met u zit, maar elke keer is het voor mij de moeite waard om te onthouden waarom dit getal gelijk aan 2,7182818284590 zo opmerkelijk is ... (ik heb de waarde echter uit het geheugen opgeschreven). Daarom besloot ik een notitie te schrijven, zodat er niet meer uit het geheugen vliegt.

Nummer e per definitie - de limiet van een functie ja = (1 + 1 / x) x Bij x → ∞:

x	ja
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
∞	lim × →	= 2,7182818284590...

Deze definitie is helaas niet duidelijk. Het is niet duidelijk waarom deze limiet opmerkelijk is (ondanks het feit dat deze de "tweede opmerkelijke" wordt genoemd). Bedenk eens, ze namen een onhandige functie, berekenden de limiet. Een andere functie zal een andere hebben.

Maar het nummer e om de een of andere reden duikt op in een hele hoop van de meest verschillende situaties in wiskunde.

Voor mij belangrijkste punt nummers e wordt onthuld in het gedrag van een andere, veel interessantere functie, ja = k x. Deze functie heeft: unieke eigenschap Bij k = e, die als volgt grafisch kan worden weergegeven:

Op punt 0 krijgt de functie de waarde e 0 = 1. Als we een raaklijn trekken aan het punt x= 0, dan gaat het naar de x-as onder een hoek met raaklijn 1 (in gele driehoek de verhouding van het tegenoverliggende been 1 tot het aangrenzende 1 is 1). Op punt 1 krijgt de functie de waarde e 1 = e. Als we een raaklijn trekken aan een punt x= 1, dan gaat het onder een hoek met tangens e(in groene driehoek tegenovergestelde beenverhouding e naar aangrenzende 1 is gelijk aan e). Op punt 2 de waarde e 2-functie valt weer samen met de tangens van de helling van de tangens eraan. Hierdoor snijden tegelijkertijd de raaklijnen zelf de x-as precies in de punten −1, 0, 1, 2, etc.

Van alle functies ja = k x(bijv. 2 x , 10 x , π x enz.), functie e x- de enige is zo mooi dat de raaklijn van zijn helling op elk van zijn punten samenvalt met de waarde van de functie zelf. Dus per definitie valt de waarde van deze functie op elk punt samen met de waarde van zijn afgeleide op dit punt: ( e x)´ = e x. Om de een of andere reden is het nummer e= 2.7182818284590... moet worden verhoogd tot verschillende graden om deze foto te krijgen.

Dat is naar mijn mening de betekenis ervan.

Cijfers π en e zijn opgenomen in mijn favoriete formule - de formule van Euler, die de 5 belangrijkste constanten verbindt - nul, één, denkbeeldige één i en eigenlijk cijfers π en e:

eip + 1 = 0

Waarom is het nummer 2.7182818284590... in complexe graad 3,1415926535...i ineens gelijk aan min één? Het antwoord op deze vraag valt buiten het bestek van een notitie en zou de inhoud kunnen vormen van een klein boekje dat enig initieel begrip van trigonometrie, limieten en reeksen zou vereisen.

Ik ben altijd verbaasd geweest over de schoonheid van deze formule. Misschien zijn er in de wiskunde meer fantastische feiten, maar voor mijn niveau (drie op het Physics and Mathematics Lyceum en vijf voor complexe analyse aan de universiteit) is het belangrijkste wonder.

Als iets onbeduidends. Dit gebeurde in 1618. In een bijlage bij Napiers werk over logaritmen werd een tabel met natuurlijke logaritmen gegeven verschillende nummers. Niemand begreep echter dat dit basislogaritmen waren, aangezien zoiets als een basis niet was opgenomen in het concept van de logaritme van die tijd. Dit is nu wat we de logaritme noemen, de macht waartoe het grondtal moet worden verheven om het vereiste aantal te verkrijgen. We komen hier later op terug. De tabel in de bijlage is hoogstwaarschijnlijk gemaakt door Ougthred, hoewel de auteur niet werd genoemd. Een paar jaar later, in 1624, duikt het weer op in de wiskundige literatuur, maar dan weer gesluierd. Dit jaar gaf Briggs een numerieke benadering decimale logaritme, maar het nummer zelf wordt niet genoemd in zijn werk.

Het volgende voorkomen van het nummer is opnieuw twijfelachtig. In 1647 berekende Saint-Vincent het gebied van een hyperbolische sector. Of hij het verband met logaritmen begreep, kan men alleen maar raden, maar zelfs als hij het begreep, is het onwaarschijnlijk dat hij tot het getal zelf zou kunnen komen. Pas in 1661 begreep Huygens het verband tussen de gelijkbenige hyperbool en logaritmen. Hij bewees dat de oppervlakte onder de grafiek van een gelijkbenige hyperbool van een gelijkbenige hyperbool op het interval van tot gelijk is aan . Deze eigenschap vormt de basis van natuurlijke logaritmen, maar de wiskundigen van die tijd begrepen dit niet, maar ze naderden langzaam dit begrip.

Huygens zette de volgende stap in 1661. Hij definieerde een kromme die hij logaritmisch noemde (in onze terminologie noemen we het exponentieel). Dit is de kijkcurve. En weer is er een decimale logaritme, die Huygens vindt met een nauwkeurigheid van 17 decimale cijfers. Het is echter ontstaan bij Huygens als een soort constante en was niet gerelateerd aan de logaritme van het getal (dus kwamen ze weer in de buurt van , maar het getal zelf wordt niet herkend).

Bij verder werk aan logaritmen komt het getal opnieuw niet expliciet voor. De studie van logaritmen gaat echter door. In 1668 publiceerde Nicolaus Mercator een werk Logaritmetechniek, die een serie-uitbreiding van . In dit werk gebruikt Mercator eerst de naam “ natuurlijke logaritme” voor de basislogaritme. Het nummer verschijnt duidelijk niet meer, maar blijft ergens aan de zijkant ongrijpbaar.

Verrassend genoeg ontstaat het getal in een expliciete vorm voor het eerst niet in verband met logaritmen, maar in verband met oneindige producten. In 1683 probeert Jacob Bernoulli te vinden

Hij gebruikt de binominale stelling om te bewijzen dat deze limiet tussen en ligt, en dit kunnen we zien als een eerste benadering van het getal. Hoewel we dit als definitie nemen, is dit de eerste keer dat een getal als limiet is gedefinieerd. Bernoulli begreep natuurlijk het verband niet tussen zijn werk en het werk aan logaritmen.

Er werd eerder vermeld dat logaritmen aan het begin van hun studie op geen enkele manier geassocieerd waren met exponenten. Natuurlijk vinden we dat uit de vergelijking, maar dit is een veel latere manier van denken. Hier bedoelen we met de logaritme eigenlijk een functie, terwijl de logaritme aanvankelijk alleen werd beschouwd als een getal dat hielp bij de berekeningen. Misschien was Jacob Bernoulli de eerste die dat besefte logaritmische functie omgekeerd exponentieel is. Aan de andere kant zou James Gregory de eerste kunnen zijn die logaritmen en machten met elkaar verbindt. In 1684 herkende hij zeker het verband tussen logaritmen en machten, maar hij was misschien niet de eerste.

We weten dat het nummer in 1690 verscheen zoals het nu is. In een brief aan Huygens gebruikte Leibniz de notatie ervoor. Ten slotte verscheen er een aanduiding (hoewel deze niet samenviel met de moderne), en deze aanduiding werd erkend.

In 1697 begint Johann Bernoulli de exponentiële functie te bestuderen en publiceert Principia calculi exponentialum seu percurrentium. In dit artikel worden de sommen van verschillende exponentiële reeksen berekend en sommige resultaten worden verkregen door ze term voor term te integreren.

Euler heeft er zoveel geïntroduceerd wiskundige notatie, wat
het is niet verrassend dat de aanduiding ook van hem is. Het lijkt belachelijk om te zeggen dat hij een letter gebruikte omdat het de eerste letter van zijn naam is. Dit is waarschijnlijk niet eens omdat het is afgeleid van het woord "exponentieel", maar simpelweg omdat het de volgende klinker is na "a", en Euler de aanduiding "a" al in zijn werk gebruikte. Ongeacht de reden verschijnt de aanduiding voor het eerst in een brief van Euler aan Goldbach in 1731. Inleiding in Analysin infinitorum hij gaf een volledige reden voor alle ideeën met betrekking tot . Hij liet zien dat

Euler vond ook de eerste 18 decimalen van een getal:

echter zonder uit te leggen hoe hij ze kreeg. Het lijkt erop dat hij deze waarde zelf heeft berekend. Als je ongeveer 20 termen van de reeks (1) neemt, krijg je de nauwkeurigheid die Euler kreeg. Onder de anderen interessante resultaten in zijn werk de relatie tussen de functies sinus en cosinus en het complex exponentiële functie, die Euler afleidde van de formule van De Moivre.

Het is interessant dat Euler zelfs de uitbreiding van een getal in kettingbreuken vond en voorbeelden gaf van een dergelijke uitbreiding. In het bijzonder ontving hij
en
Euler leverde geen bewijs dat deze breuken op dezelfde manier doorgaan, maar hij wist dat als er zo'n bewijs zou zijn, het irrationaliteit zou bewijzen. Inderdaad, als de kettingbreuk voor doorgaat op dezelfde manier als in het bovenstaande voorbeeld (elke keer dat we toevoegen met ), dan zou deze nooit worden onderbroken en (vandaar en ) zou niet rationeel kunnen zijn. Het is duidelijk dat dit de eerste poging is om irrationaliteit te bewijzen.

De eerste die behoorlijk rekent groot aantal decimalen, was Shanks in 1854. Glaisher toonde aan dat de eerste 137 door Shanks berekende cijfers correct waren, maar ontdekte later een fout. Shanks corrigeerde het en er werden 205 cijfers achter de komma verkregen. In feite heb je ongeveer
120 uitbreidingsvoorwaarden (1) om 200 correcte cijfers te krijgen.

In 1864 stond Benjamin Pierce (Peirce) bij het bord waarop stond geschreven

In zijn colleges zou hij tegen zijn studenten kunnen zeggen: "Heren, we hebben geen idee wat dit betekent, maar we kunnen er zeker van zijn dat het iets heel belangrijks betekent."

De meesten geloven dat Euler de irrationaliteit van het getal heeft bewezen. Dit werd echter gedaan door Hermite in 1873. Het blijft nog steeds open vraag of het getal algebraïsch is. Het eindresultaat in deze richting is dat ten minste één van de getallen transcendentaal is.

Vervolgens werden de volgende decimalen van het getal berekend. In 1884 berekende Boorman 346 cijfers van het getal , waarvan de eerste 187 samenvielen met de tekens van Shanks, maar de volgende verschilden. In 1887 berekende Adams de 272 cijfers van de decimale logaritme.

| Euler-nummer (E)

e - grondtal van natuurlijke logaritme, wiskundige constante, irrationeel en transcendentaal getal. Ongeveer gelijk aan 2,71828. Soms wordt het nummer gebeld Euler-nummer of Napier nummer. Aangegeven met kleine letters Latijnse letter « e».

Verhaal

Nummer e verscheen voor het eerst in de wiskunde als iets onbeduidends. Dit gebeurde in 1618. In een appendix bij John Napiers werk over logaritmen werd een tabel gegeven met de natuurlijke logaritmen van verschillende getallen. Niemand begreep echter dat dit basislogaritmen zijn e , aangezien zoiets als een grondtal niet was opgenomen in het concept van de logaritme van die tijd. Dit is nu wat we de logaritme noemen, de macht waartoe het grondtal moet worden verheven om het vereiste aantal te verkrijgen. We komen hier later op terug. De tabel in de bijlage is hoogstwaarschijnlijk gemaakt door Ougthred, hoewel de auteur niet werd genoemd. Een paar jaar later, in 1624, verschijnt de wiskundige literatuur opnieuw e , maar weer gesluierd. Dit jaar gaf Briggs een numerieke benadering van de logaritme met grondtal 10 e , maar het nummer zelf e niet genoemd in zijn werk.

Het volgende voorkomen van het nummer e weer twijfelachtig. In 1647 berekende Saint-Vincent het gebied van een hyperbolische sector. Of hij het verband met logaritmen begreep, kan men alleen maar raden, maar zelfs als hij het begreep, is het onwaarschijnlijk dat hij tot het getal zelf zou kunnen komen e . Pas in 1661 begreep Huygens het verband tussen de gelijkbenige hyperbool en logaritmen. Hij bewees dat het gebied onder de grafiek van een gelijkbenige hyperbool xy = 1 gelijkbenige hyperbool op het interval van 1 tot e is 1. Deze eigenschap maakt e de basis van natuurlijke logaritmen, maar de wiskundigen van die tijd begrepen dit niet, maar ze naderden langzaam dit begrip.

Huygens zette de volgende stap in 1661. Hij definieerde een kromme die hij logaritmisch noemde (in onze terminologie noemen we het exponentieel). Dit is een kromme van de vorm y = ka x . En weer is er een decimale logaritme e , die Huygens tot op 17 cijfers achter de komma vindt. Het ontstond echter in Huygens als een soort constante en werd niet geassocieerd met de logaritme van een getal (dus kwamen ze weer in de buurt van e , maar het nummer zelf e blijft onbekend).

In verder werk aan logaritmen, nogmaals, het getal e komt niet expliciet voor. De studie van logaritmen gaat echter door. In 1668 publiceerde Nicolaus Mercator een werk Logaritmetechniek, die de serie-uitbreiding bevat logboek(1 + x) . In dit werk gebruikt Mercator eerst de naam "natuurlijke logaritme" voor de logaritme naar het grondtal e . Nummer e verschijnt duidelijk niet meer, maar blijft ergens in de verte ongrijpbaar.

Verrassend genoeg is het nummer e komt expliciet voor het eerst niet voor in verband met logaritmen, maar in verband met oneindige producten. In 1683 probeert Jacob Bernoulli te vinden

Hij gebruikt de binominale stelling om te bewijzen dat deze limiet tussen 2 en 3 ligt, en dit kunnen we zien als een eerste benadering van het getal e . Hoewel we dit als een definitie nemen e , is dit de eerste keer dat een getal als limiet is gedefinieerd. Bernoulli begreep natuurlijk het verband niet tussen zijn werk en het werk aan logaritmen.

Er werd eerder vermeld dat logaritmen aan het begin van hun studie op geen enkele manier geassocieerd waren met exponenten. Natuurlijk, uit de vergelijking x = een t we vinden dat t = log x , maar dit is een veel latere manier van waarnemen. Hier bedoelen we met de logaritme eigenlijk een functie, terwijl de logaritme aanvankelijk alleen werd beschouwd als een getal dat hielp bij de berekeningen. Misschien was Jacob Bernoulli de eerste die zich realiseerde dat de logaritmische functie omgekeerd exponentieel is. Aan de andere kant zou James Gregory de eerste kunnen zijn die logaritmen en machten met elkaar verbindt. In 1684 herkende hij zeker het verband tussen logaritmen en machten, maar hij was misschien niet de eerste.

We weten dat het nummer e verscheen in de vorm zoals hij nu is, in 1690. Leibniz gebruikte in een brief aan Huygens de aanduiding ervoor b . Eindelijk e er verscheen een aanduiding (hoewel deze niet samenviel met de moderne), en deze aanduiding werd erkend.

Leonhard Euler introduceerde zoveel wiskundige notaties dat het niet verwonderlijk is dat de notatie e behoort hem ook toe. Het lijkt belachelijk om te zeggen dat hij de brief gebruikte e omdat het de eerste letter van zijn naam is. Het is waarschijnlijk niet eens omdat e ontleend aan het woord "exponentieel", maar gewoon de volgende klinker na "a", en Euler gebruikte de notatie "a" al in zijn werk. Ongeacht de reden komt de aanduiding voor het eerst voor in een brief van Euler aan Goldbach in 1731. Hij deed veel ontdekkingen door e later, maar pas in 1748 in Inleiding in Analysin infinitorum hij gaf volledige rechtvaardiging voor alle ideeën met betrekking tot e . Hij liet zien dat

Euler vond ook de eerste 18 decimalen van een getal e :

Dat is waar, zonder uit te leggen hoe hij ze kreeg. Het lijkt erop dat hij deze waarde zelf heeft berekend. Als je ongeveer 20 termen van de reeks (1) neemt, krijg je de nauwkeurigheid die Euler kreeg. Naast andere interessante resultaten toont zijn werk de relatie tussen de sinus- en cosinusfuncties en de complexe exponentiële functie, die Euler afleidde van de formule van De Moivre.

Interessant genoeg vond Euler zelfs de uitbreiding van het aantal e in kettingbreuken en gaf voorbeelden van dergelijke uitbreidingen. In het bijzonder ontving hij

Euler leverde geen bewijs dat deze breuken op dezelfde manier doorgaan, maar hij wist dat als er zo'n bewijs zou zijn, het irrationaliteit zou bewijzen e . Inderdaad, als de kettingbreuk voor (e - 1) / 2 , op dezelfde manier voortgezet als in het bovenstaande voorbeeld, 6,10,14,18,22,26, (elke keer dat we 4) toevoegen, dan zou het nooit worden onderbroken, en (e-1) / 2 (en daarom e ) kon niet rationeel zijn. Het is duidelijk dat dit de eerste poging is om irrationaliteit te bewijzen e .

De eerste die een vrij groot aantal decimalen berekent e , was Shanks in 1854. Glaisher toonde aan dat de eerste 137 door Shanks berekende tekens correct waren, maar vond toen een fout. Shanks heeft het gecorrigeerd en er zijn 205 cijfers achter de komma ontvangen e . In feite zijn er ongeveer 120 termen van de uitbreiding (1) nodig om 200 correcte cijfers van het getal te krijgen e .

In 1864 stond Benjamin Pierce (Peirce) bij het bord waarop stond geschreven

In zijn colleges zou hij tegen zijn studenten kunnen zeggen: "Heren, we hebben geen idee wat dit betekent, maar we kunnen er zeker van zijn dat het iets heel belangrijks betekent."

De meesten geloven dat Euler de irrationaliteit van het getal heeft bewezen e . Dit werd echter gedaan door Hermite in 1873. Het is nog steeds een open vraag of het aantal is e e algebraïsch. Het eindresultaat in deze richting is dat ten minste één van de getallen e e en e e 2 transcendent is.

Vervolgens werden de volgende decimalen berekend: e . In 1884 berekende Boorman 346 cijfers van een getal e , waarvan de eerste 187 samenvielen met de tekens van Shanks, maar de volgende verschilden. In 1887 berekende Adams de 272 cijfers van de decimale logaritme e .

J.J. Connor, E.F. Robertson. Het nummer e.