Aanvankelijk was de waarschijnlijkheidstheorie slechts een verzameling informatie en empirische observaties van het dobbelspel, en is ze een solide wetenschap geworden. Fermat en Pascal waren de eersten die er een wiskundig kader aan gaven.

Van reflecties op het eeuwige tot de waarschijnlijkheidstheorie

Twee personen aan wie de waarschijnlijkheidstheorie veel fundamentele formules te danken heeft, Blaise Pascal en Thomas Bayes, staan ​​bekend als diep religieuze mensen, de laatste was een presbyteriaanse predikant. Blijkbaar gaf de wens van deze twee wetenschappers om de misvatting van de mening over een bepaald fortuin te bewijzen, en haar favorieten veel geluk te schenken, een impuls aan onderzoek op dit gebied. In feite is elk kansspel, met zijn overwinningen en verliezen, slechts een symfonie van wiskundige principes.

Dankzij de opwinding van de Chevalier de Mere, die zowel een gokker als een persoon was die niet onverschillig was voor de wetenschap, moest Pascal een manier vinden om de kans te berekenen. De Mere was geïnteresseerd in deze vraag: "Hoe vaak moet je twee dobbelstenen in paren gooien zodat de kans op 12 punten groter is dan 50%?". De tweede vraag die de heer buitengewoon interesseerde: "Hoe verdeel je de weddenschap tussen de deelnemers aan het onvoltooide spel?" Natuurlijk beantwoordde Pascal met succes beide vragen van De Mere, die de onwetende initiatiefnemer werd van de ontwikkeling van de waarschijnlijkheidstheorie. Het is interessant dat de persoon van de Mere op dit gebied bekend bleef, en niet in de literatuur.

Tot nu toe heeft geen enkele wiskundige een poging gedaan om de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen te berekenen, omdat men dacht dat dit slechts een giswerkoplossing was. Blaise Pascal gaf de eerste definitie van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis en toonde aan dat dit een specifiek cijfer is dat wiskundig kan worden gerechtvaardigd. Kansrekening is de basis geworden voor statistiek en wordt veel gebruikt in de moderne wetenschap.

Wat is willekeur?

Als we een test beschouwen die een oneindig aantal keren kan worden herhaald, dan kunnen we een willekeurige gebeurtenis definiëren. Dit is een van de mogelijke uitkomsten van de ervaring.

Ervaring is het uitvoeren van specifieke acties in constante omstandigheden.

Om met de resultaten van ervaring te kunnen werken, worden gebeurtenissen meestal aangeduid met de letters A, B, C, D, E ...

Waarschijnlijkheid van een willekeurige gebeurtenis

Om verder te kunnen gaan met het wiskundige deel van waarschijnlijkheid, is het noodzakelijk om al zijn componenten te definiëren.

De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis is een numerieke maat voor de mogelijkheid dat een gebeurtenis (A of B) optreedt als gevolg van een ervaring. De kans wordt aangegeven als P(A) of P(B).

Kansrekening is:

• betrouwbaar de gebeurtenis vindt gegarandeerd plaats als resultaat van het experiment Р(Ω) = 1;
• onmogelijk de gebeurtenis kan nooit plaatsvinden Р(Ø) = 0;
• willekeurig de gebeurtenis ligt tussen zeker en onmogelijk, dat wil zeggen, de waarschijnlijkheid van optreden is mogelijk, maar niet gegarandeerd (de kans op een willekeurige gebeurtenis ligt altijd binnen 0≤P(A)≤1).

Relaties tussen gebeurtenissen

Zowel één als de som van gebeurtenissen A + B worden in aanmerking genomen wanneer de gebeurtenis wordt meegeteld bij de implementatie van ten minste één van de componenten, A of B, of beide - A en B.

In relatie tot elkaar kunnen gebeurtenissen zijn:

• Even goed mogelijk.
• compatibel.
• Onverenigbaar.
• Tegenover (onderling uitsluiten).
• Afhankelijk.

Als twee gebeurtenissen met gelijke waarschijnlijkheid kunnen plaatsvinden, dan even mogelijk.

Als het optreden van gebeurtenis A de kans op het optreden van gebeurtenis B niet teniet doet, dan compatibel.

Als gebeurtenissen A en B nooit tegelijkertijd in hetzelfde experiment plaatsvinden, worden ze genoemd onverenigbaar. Het opgooien van een munt is een goed voorbeeld: coming up tails is automatisch niet coming up heads.

De kans op de som van dergelijke onverenigbare gebeurtenissen bestaat uit de som van de kansen van elk van de gebeurtenissen:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Als het optreden van de ene gebeurtenis het optreden van een andere onmogelijk maakt, worden ze tegengesteld genoemd. Dan wordt een van hen aangeduid als A, en de andere - Ā (lees als "niet A"). Het optreden van gebeurtenis A betekent dat Ā niet heeft plaatsgevonden. Deze twee gebeurtenissen vormen een complete groep met een som van kansen gelijk aan 1.

Afhankelijke gebeurtenissen hebben wederzijdse invloed, waardoor de kans op elkaar kleiner of groter wordt.

Relaties tussen gebeurtenissen. Voorbeelden

Voorbeelden maken het veel gemakkelijker om de principes van kansrekening en combinaties van gebeurtenissen te begrijpen.

Het experiment dat zal worden uitgevoerd is om de ballen uit de doos te trekken, en het resultaat van elk experiment is een elementaire uitkomst.

Een gebeurtenis is een van de mogelijke uitkomsten van een ervaring - een rode bal, een blauwe bal, een bal met het cijfer zes, enz.

Testnummer 1. Er zijn 6 ballen, waarvan drie blauw met oneven nummers, en de andere drie zijn rood met even nummers.

Testnummer 2. Er zijn 6 blauwe ballen met nummers van één tot zes.

Op basis van dit voorbeeld kunnen we combinaties benoemen:

• Betrouwbaar evenement. In het Spaans Nr. 2, de gebeurtenis "haal de blauwe bal" is betrouwbaar, aangezien de kans op voorkomen 1 is, aangezien alle ballen blauw zijn en er geen gemiste kans is. Terwijl het evenement "pak de bal met nummer 1" willekeurig is.
• Onmogelijk evenement. In het Spaans Nr. 1 met blauwe en rode ballen, het evenement "haal de paarse bal" is onmogelijk, omdat de kans dat het voorkomt 0 is.
• Gelijkwaardige evenementen. In het Spaans Nr. 1, de gebeurtenissen "pak de bal met nummer 2" en "pak de bal met nummer 3" zijn even waarschijnlijk, en de gebeurtenissen "krijg de bal met een even nummer" en "pak de bal met nummer 2 ” verschillende kansen hebben.
• Compatibele evenementen. Een zes krijgen tijdens het tweemaal achter elkaar werpen van een dobbelsteen zijn compatibele gebeurtenissen.
• Incompatibele evenementen. In hetzelfde Spaans Nr. 1-evenementen "haal de rode bal" en "haal de bal met een oneven nummer" kunnen niet worden gecombineerd in dezelfde ervaring.
• tegengestelde gebeurtenissen. Het meest opvallende voorbeeld hiervan is het opgooien van munten, waarbij het trekken van koppen hetzelfde is als het niet trekken van staarten, en de som van hun kansen altijd 1 (volledige groep) is.
• Afhankelijke gebeurtenissen. Dus, in het Spaans Nr. 1, je kunt jezelf het doel stellen om twee keer achter elkaar een rode bal te extraheren. Het wel of niet extraheren van het de eerste keer beïnvloedt de kans om het de tweede keer te extraheren.

Het is te zien dat de eerste gebeurtenis de waarschijnlijkheid van de tweede significant beïnvloedt (40% en 60%).

Formule kans op gebeurtenis

De overgang van waarzeggerij naar exacte gegevens vindt plaats door het onderwerp over te brengen naar het wiskundige vlak. Dat wil zeggen, oordelen over een willekeurige gebeurtenis zoals "hoge waarschijnlijkheid" of "minimale waarschijnlijkheid" kunnen worden vertaald naar specifieke numerieke gegevens. Het is al toegestaan ​​om dergelijk materiaal te evalueren, vergelijken en in te voeren in complexere berekeningen.

Berekeningstechnisch is de definitie van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis de verhouding van het aantal elementaire positieve uitkomsten tot het aantal van alle mogelijke uitkomsten van ervaring met betrekking tot een bepaalde gebeurtenis. Waarschijnlijkheid wordt aangeduid met P (A), waarbij P het woord "waarschijnlijkheid" betekent, wat uit het Frans vertaald is als "waarschijnlijkheid".

De formule voor de kans op een gebeurtenis is dus:

Waar m het aantal gunstige uitkomsten is voor gebeurtenis A, is n de som van alle mogelijke uitkomsten voor deze ervaring. De kans op een gebeurtenis ligt altijd tussen 0 en 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Berekening van de kans op een gebeurtenis. Voorbeeld

Laten we Spaans nemen. Nr. 1 met ballen, die eerder beschreven is: 3 blauwe ballen met nummers 1/3/5 en 3 rode ballen met nummers 2/4/6.

Op basis van deze test kunnen verschillende taken worden overwogen:

• A - rode bal laten vallen. Er zijn 3 rode ballen en er zijn in totaal 6. Dit is het eenvoudigste voorbeeld, waarbij de kans op een gebeurtenis P(A)=3/6=0,5 is.
• B - een even getal laten vallen. Er zijn in totaal 3 (2,4,6) even getallen en het totale aantal mogelijke numerieke opties is 6. De kans op deze gebeurtenis is P(B)=3/6=0,5.
• C - verlies van een getal groter dan 2. Er zijn 4 van dergelijke opties (3,4,5,6) van het totale aantal mogelijke uitkomsten 6. De kans op de gebeurtenis C is P(C)=4/6= 0,67.

Zoals uit de berekeningen blijkt, heeft gebeurtenis C een grotere kans, aangezien het aantal mogelijke positieve uitkomsten hoger is dan in A en B.

Incompatibele gebeurtenissen

Dergelijke gebeurtenissen kunnen niet tegelijkertijd in dezelfde ervaring voorkomen. zoals in het Spaans Nr. 1, het is onmogelijk om tegelijkertijd een blauwe en een rode bal te krijgen. Dat wil zeggen, je kunt een blauwe of een rode bal krijgen. Op dezelfde manier kunnen een even en een oneven getal niet tegelijkertijd in een dobbelsteen voorkomen.

De kans op twee gebeurtenissen wordt beschouwd als de kans op hun som of product. De som van dergelijke gebeurtenissen A + B wordt beschouwd als een gebeurtenis die bestaat in de verschijning van een gebeurtenis A of B, en het product van hun AB - in de verschijning van beide. Bijvoorbeeld het verschijnen van twee zessen tegelijk op de gezichten van twee dobbelstenen in één worp.

De som van meerdere gebeurtenissen is een gebeurtenis die het optreden van ten minste één van hen impliceert. Het product van verschillende gebeurtenissen is het gezamenlijke optreden van ze allemaal.

In de kansrekening geeft het gebruik van de unie "en" in de regel de som aan, de unie "of" - vermenigvuldiging. Formules met voorbeelden helpen u de logica van optellen en vermenigvuldigen in de kansrekening te begrijpen.

Waarschijnlijkheid van de som van onverenigbare gebeurtenissen

Als de kans op onverenigbare gebeurtenissen wordt beschouwd, dan is de kans op de som van de gebeurtenissen gelijk aan de som van hun kansen:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Bijvoorbeeld: we berekenen de kans dat in het Spaans. Nr. 1 met blauwe en rode ballen zal een getal tussen 1 en 4 laten vallen. We berekenen niet in één actie, maar door de som van de kansen van de elementaire componenten. Dus in zo'n experiment zijn er slechts 6 ballen of 6 van alle mogelijke uitkomsten. De getallen die aan de voorwaarde voldoen zijn 2 en 3. De kans om het getal 2 te krijgen is 1/6, de kans op het getal 3 is ook 1/6. De kans op een getal tussen 1 en 4 is:

De kans op de som van onverenigbare gebeurtenissen van een complete groep is 1.

Dus als we in het experiment met een kubus de kansen optellen om alle getallen te krijgen, dan krijgen we er één.

Dit geldt ook voor tegengestelde gebeurtenissen, bijvoorbeeld in het experiment met een munt, waarbij een van zijn zijden de gebeurtenis A is en de andere de tegenovergestelde gebeurtenis Ā, zoals bekend,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Waarschijnlijkheid van het produceren van onverenigbare gebeurtenissen

Vermenigvuldiging van kansen wordt gebruikt bij het overwegen van het optreden van twee of meer onverenigbare gebeurtenissen in één waarneming. De kans dat gebeurtenissen A en B er tegelijkertijd in voorkomen is gelijk aan het product van hun kansen, of:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Bijvoorbeeld de kans dat in Nr. 1 als resultaat van twee pogingen verschijnt er twee keer een blauwe bal, gelijk aan

Dat wil zeggen, de kans dat een gebeurtenis plaatsvindt wanneer, als resultaat van twee pogingen met het verwijderen van ballen, alleen blauwe ballen worden verwijderd, is 25%. Het is heel gemakkelijk om praktische experimenten met dit probleem te doen en te kijken of dit ook echt het geval is.

Gezamenlijke evenementen

Gebeurtenissen worden als gezamenlijk beschouwd wanneer de verschijning van een van hen kan samenvallen met de verschijning van de andere. Ondanks het feit dat ze gezamenlijk zijn, wordt rekening gehouden met de waarschijnlijkheid van onafhankelijke gebeurtenissen. Het gooien van twee dobbelstenen kan bijvoorbeeld een resultaat opleveren wanneer het getal 6 op beide valt. Hoewel de gebeurtenissen samenvielen en gelijktijdig plaatsvonden, zijn ze onafhankelijk van elkaar - er kan slechts één zes vallen, de tweede dobbelsteen heeft er geen invloed op .

De kans op gezamenlijke gebeurtenissen wordt beschouwd als de waarschijnlijkheid van hun som.

De kans op de som van gezamenlijke gebeurtenissen. Voorbeeld

De kans op de som van gebeurtenissen A en B, die gezamenlijk zijn ten opzichte van elkaar, is gelijk aan de som van de kansen van de gebeurtenis minus de kans op hun product (dat wil zeggen, hun gezamenlijke uitvoering):

R-gewricht. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Neem aan dat de kans om het doel met één schot te raken 0,4 is. Dan gebeurtenis A - het raken van het doel in de eerste poging, B - in de tweede. Deze gebeurtenissen zijn gezamenlijk, aangezien het mogelijk is om het doel zowel vanaf het eerste als vanaf het tweede schot te raken. Maar de gebeurtenissen zijn niet afhankelijk. Wat is de kans dat het doel wordt geraakt met twee (minstens één) schoten? Volgens de formule:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Het antwoord op de vraag is: "De kans om het doel met twee schoten te raken is 64%."

Deze formule voor de kans op een gebeurtenis kan ook worden toegepast op onverenigbare gebeurtenissen, waarbij de kans op het gezamenlijk optreden van een gebeurtenis P(AB) = 0. Dit betekent dat de kans op de som van onverenigbare gebeurtenissen als een speciaal geval kan worden beschouwd van de voorgestelde formule.

Waarschijnlijkheidsgeometrie voor duidelijkheid

Interessant is dat de waarschijnlijkheid van de som van gezamenlijke gebeurtenissen kan worden weergegeven als twee gebieden A en B die elkaar kruisen. Zoals je op de afbeelding kunt zien, is het gebied van hun unie gelijk aan het totale gebied minus het gebied van hun kruising. Deze geometrische verklaring maakt de schijnbaar onlogische formule begrijpelijker. Merk op dat geometrische oplossingen niet ongebruikelijk zijn in de kansrekening.

De definitie van de waarschijnlijkheid van de som van een verzameling (meer dan twee) gezamenlijke gebeurtenissen is nogal omslachtig. Om het te berekenen, moet u de formules gebruiken die voor deze gevallen zijn verstrekt.

Afhankelijke gebeurtenissen

Afhankelijke gebeurtenissen worden genoemd als het optreden van een (A) van hen de waarschijnlijkheid van het optreden van de andere (B) beïnvloedt. Bovendien wordt rekening gehouden met de invloed van zowel het optreden van gebeurtenis A als het niet optreden ervan. Hoewel gebeurtenissen per definitie afhankelijk worden genoemd, is er maar één afhankelijk (B). De gebruikelijke kans werd aangeduid als P(B) of de kans op onafhankelijke gebeurtenissen. In het geval van afhankelijke personen wordt een nieuw concept geïntroduceerd: de voorwaardelijke kans P A (B), de kans op de afhankelijke gebeurtenis B op voorwaarde dat de gebeurtenis A (hypothese) heeft plaatsgevonden, waarvan deze afhangt.

Maar gebeurtenis A is ook willekeurig, dus het heeft ook een kans waarmee rekening moet en kan worden gehouden in de berekeningen. Het volgende voorbeeld laat zien hoe u met afhankelijke gebeurtenissen en een hypothese kunt werken.

Voorbeeld van het berekenen van de kans op afhankelijke gebeurtenissen

Een goed voorbeeld voor het berekenen van afhankelijke gebeurtenissen is een standaard kaartspel.

Overweeg bij het voorbeeld van een kaartspel van 36 kaarten afhankelijke gebeurtenissen. Het is noodzakelijk om de kans te bepalen dat de tweede kaart die van de stapel wordt getrokken een ruitenkleur is, als de eerste getrokken kaart:

1. Tamboerijn.
2. Nog een pak.

Het is duidelijk dat de kans op de tweede gebeurtenis B afhangt van de eerste A. Dus, als de eerste optie waar is, wat 1 kaart (35) en 1 ruit (8) minder in de stapel is, is de kans op gebeurtenis B:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23

Als de tweede optie waar is, dan zijn er 35 kaarten in de stapel en is het totale aantal tamboerijnen (9) nog steeds bewaard, dan is de kans op de volgende gebeurtenis B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

Het is te zien dat als gebeurtenis A afhankelijk is van het feit dat de eerste kaart een diamant is, de kans op gebeurtenis B afneemt en vice versa.

Vermenigvuldiging van afhankelijke gebeurtenissen

Op basis van het vorige hoofdstuk accepteren we de eerste gebeurtenis (A) als een feit, maar in wezen heeft het een willekeurig karakter. De kans op deze gebeurtenis, namelijk het halen van een tamboerijn uit een pak kaarten, is gelijk aan:

P(A) = 9/36=1/4

Aangezien de theorie niet op zichzelf bestaat, maar wordt gebruikt om praktische doeleinden te dienen, is het redelijk om op te merken dat meestal de waarschijnlijkheid van het produceren van afhankelijke gebeurtenissen nodig is.

Volgens de stelling over het product van de kansen op afhankelijke gebeurtenissen is de kans op optreden van gezamenlijk afhankelijke gebeurtenissen A en B gelijk aan de kans op één gebeurtenis A vermenigvuldigd met de voorwaardelijke kans op gebeurtenis B (afhankelijk van A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

In het voorbeeld met een stapel is de kans om twee kaarten te trekken met een ruitenreeks:

9/36*8/35=0,0571 of 5,7%

En de kans om eerst geen diamanten te extraheren, en dan diamanten, is gelijk aan:

27/36*9/35=0,19 of 19%

Het is te zien dat de kans op gebeurtenis B groter is, op voorwaarde dat eerst een kaart van een andere kleur dan een ruit wordt getrokken. Dit resultaat is vrij logisch en begrijpelijk.

Totale kans op een gebeurtenis

Wanneer een probleem met voorwaardelijke kansen veelzijdig wordt, kan het niet met conventionele methoden worden berekend. Wanneer er meer dan twee hypothesen zijn, namelijk A1, A2, ..., An , .. vormt een complete groep gebeurtenissen onder de voorwaarde:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k = .

Dus de formule voor de totale kans voor gebeurtenis B met een volledige groep van willekeurige gebeurtenissen A1, A2, ..., A n is:

Een blik in de toekomst

De waarschijnlijkheid van een willekeurige gebeurtenis is essentieel in veel wetenschapsgebieden: econometrie, statistiek, natuurkunde, enz. Omdat sommige processen niet deterministisch kunnen worden beschreven, omdat ze zelf probabilistisch zijn, zijn speciale werkmethoden nodig. De waarschijnlijkheid van een gebeurtenistheorie kan op elk technologisch gebied worden gebruikt als een manier om de mogelijkheid van een fout of storing te bepalen.

Men kan zeggen dat we, door de waarschijnlijkheid te herkennen, op de een of andere manier een theoretische stap in de toekomst zetten door ernaar te kijken door het prisma van formules.

Klassieke en statistische definitie van waarschijnlijkheid

Voor praktische activiteit is het noodzakelijk om gebeurtenissen te kunnen vergelijken op basis van de mate van mogelijkheid dat ze zich voordoen. Laten we eens kijken naar het klassieke geval. Een urn bevat 10 ballen, waarvan 8 wit en 2 zwart. Het is duidelijk dat de gebeurtenis "een witte bal zal uit de urn worden getrokken" en de gebeurtenis "een zwarte bal zal uit de urn worden getrokken" verschillende gradaties van kans op voorkomen hebben. Daarom is een bepaalde kwantitatieve maatstaf nodig om gebeurtenissen te vergelijken.

Een kwantitatieve maatstaf voor de mogelijkheid dat een gebeurtenis plaatsvindt, is: waarschijnlijkheid . De meest gebruikte zijn twee definities van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis: klassiek en statistisch.

Klassieke definitie waarschijnlijkheid is gerelateerd aan het idee van een gunstige uitkomst. Laten we hier nader op ingaan.

Laat de uitkomsten van een test een complete groep gebeurtenissen vormen en even waarschijnlijk zijn, d.w.z. zijn uniek mogelijk, inconsistent en even goed mogelijk. Dergelijke uitkomsten worden elementaire uitkomsten, of gevallen. Er wordt gezegd dat de test is teruggebracht tot casustabel of " urn schema", omdat elk probabilistisch probleem voor een dergelijke test kan worden vervangen door een equivalent probleem met urnen en ballen van verschillende kleuren.

Exodus heet gunstig evenement MAAR als het optreden van deze zaak het optreden van de gebeurtenis met zich meebrengt MAAR.

Volgens de klassieke definitie kans op gebeurtenis A is gelijk aan de verhouding tussen het aantal uitkomsten dat gunstig is voor deze gebeurtenis en het totale aantal uitkomsten, d.w.z.

,

(1.1)

waar VADER)- de kans op een gebeurtenis MAAR; m- het aantal gevallen gunstig voor de gebeurtenis MAAR; n is het totaal aantal gevallen.

Voorbeeld 1.1. Bij het werpen van een dobbelsteen zijn zes uitkomsten mogelijk - een verlies van 1, 2, 3, 4, 5, 6 punten. Wat is de kans op een even aantal punten?

Beslissing. Alle n= 6 uitkomsten vormen een complete groep gebeurtenissen en zijn even waarschijnlijk, d.w.z. zijn uniek mogelijk, inconsistent en even goed mogelijk. Gebeurtenis A - "het verschijnen van een even aantal punten" - wordt begunstigd door 3 uitkomsten (gevallen) - verlies van 2, 4 of 6 punten. Volgens de klassieke formule voor de kans op een gebeurtenis krijgen we

VADER) = = . ◄

Op basis van de klassieke definitie van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis, noteren we de eigenschappen ervan:

1. De kans op een gebeurtenis ligt tussen nul en één, d.w.z.

0 ≤ R(MAAR) ≤ 1.

2. De kans op een bepaalde gebeurtenis is gelijk aan één.

3. De kans op een onmogelijke gebeurtenis is nul.

Zoals eerder vermeld, is de klassieke definitie van waarschijnlijkheid alleen van toepassing op die gebeurtenissen die kunnen optreden als gevolg van proeven die symmetrie hebben van mogelijke uitkomsten, d.w.z. herleidbaar tot het schema der gevallen. Er is echter een grote klasse van gebeurtenissen waarvan de kansen niet kunnen worden berekend met behulp van de klassieke definitie.

Als we er bijvoorbeeld van uitgaan dat de munt plat ligt, dan is het duidelijk dat de gebeurtenissen "verschijning van een wapen" en "verschijning van staarten" niet als even mogelijk kunnen worden beschouwd. Daarom is de formule voor het bepalen van de kans volgens het klassieke schema in dit geval niet van toepassing.

Er is echter een andere benadering om de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen te beoordelen, gebaseerd op hoe vaak een bepaalde gebeurtenis zal voorkomen in de uitgevoerde tests. In dit geval wordt de statistische definitie van waarschijnlijkheid gebruikt.

Statistische waarschijnlijkheidgebeurtenis A is de relatieve frequentie (frequentie) van het optreden van deze gebeurtenis in n uitgevoerde tests, d.w.z.

,

(1.2)

waar R * (EEN) is de statistische waarschijnlijkheid van een gebeurtenis MAAR; w(A) is de relatieve frequentie van de gebeurtenis MAAR; m is het aantal proeven waarin de gebeurtenis plaatsvond MAAR; n is het totale aantal proeven.

In tegenstelling tot wiskundige waarschijnlijkheid VADER) beschouwd in de klassieke definitie, de statistische waarschijnlijkheid R * (EEN) is een kenmerk ervaren, experimenteel. Met andere woorden, de statistische waarschijnlijkheid van een gebeurtenis MAAR het nummer wordt gebeld, ten opzichte waarvan de relatieve frequentie is gestabiliseerd (vastgesteld) w(A) met een onbeperkte toename van het aantal tests dat onder dezelfde omstandigheden wordt uitgevoerd.

Als ze bijvoorbeeld van een schutter zeggen dat hij een doel raakt met een kans van 0,95, betekent dit dat van de honderd schoten die door hem worden afgevuurd onder bepaalde omstandigheden (hetzelfde doel op dezelfde afstand, hetzelfde geweer, enz. . ), zijn er gemiddeld zo'n 95 succesvolle. Natuurlijk zullen niet elke honderd 95 succesvolle schoten hebben, soms zullen er minder zijn, soms meer, maar gemiddeld zal dit percentage treffers bij herhaalde herhaling van schieten onder dezelfde omstandigheden ongewijzigd blijven. Het getal 0,95, dat dient als een indicator voor de vaardigheid van de schutter, is meestal erg stal, d.w.z. het percentage treffers in de meeste schietpartijen zal bijna hetzelfde zijn voor een bepaalde schutter, alleen in zeldzame gevallen op een significante manier afwijkend van de gemiddelde waarde.

Een ander nadeel van de klassieke definitie van waarschijnlijkheid ( 1.1 ), wat de toepassing ervan beperkt, is dat het een eindig aantal mogelijke testresultaten aanneemt. In sommige gevallen kan deze tekortkoming worden verholpen door de geometrische definitie van waarschijnlijkheid te gebruiken, d.w.z. het vinden van de kans om een ​​punt in een bepaald gebied te raken (segment, deel van een vlak, enz.).

Laat een plat figuur g maakt deel uit van een plat figuur G(Afb. 1.1). op de figuur G een punt wordt willekeurig gegooid. Dit betekent dat alle punten in het gebied G"gelijk" in relatie tot het raken met een willekeurig gegooid punt. Ervan uitgaande dat de kans op een gebeurtenis MAAR- een geworpen punt op een figuur raken g- evenredig met het gebied van deze figuur en is niet afhankelijk van de locatie ten opzichte van G, noch van het formulier g, vind

Grondbeginselen van kansrekening

Plan:

1. Willekeurige gebeurtenissen

2. Klassieke definitie van waarschijnlijkheid

3. Berekening van kans op gebeurtenissen en combinatoriek

4. Geometrische waarschijnlijkheid

theoretische informatie

Willekeurige gebeurtenissen.

willekeurig fenomeen- een fenomeen waarvan de uitkomst ondubbelzinnig is bepaald. Dit begrip kan vrij ruim worden opgevat. Namelijk: alles in de natuur is heel toevallig, het uiterlijk en de geboorte van een persoon is een willekeurig fenomeen, de keuze van goederen in een winkel is ook een willekeurig fenomeen, een cijfer halen op een examen is een willekeurig fenomeen, ziekte en herstel zijn willekeurig verschijnselen, enz.

Voorbeelden van willekeurige verschijnselen:

~ Er wordt geschoten vanaf een pistool dat in een bepaalde hoek ten opzichte van de horizon is opgesteld. Het raken op het doel is per ongeluk, maar het raken van een projectiel in een bepaalde "vork" is een patroon. U kunt de afstand specificeren die dichterbij is dan en waarboven het projectiel niet zal vliegen. Krijg wat "vorkverspreiding van schelpen"

~ Hetzelfde lichaam wordt meerdere keren gewogen. Strikt genomen zullen er telkens andere resultaten worden verkregen, zij het in een verwaarloosbaar kleine hoeveelheid verschillend, maar verschillend.

~ Een vliegtuig dat langs dezelfde route vliegt, heeft een bepaalde vluchtcorridor waarbinnen het vliegtuig kan manoeuvreren, maar het zal nooit precies dezelfde route hebben

~ Een atleet zal nooit dezelfde afstand in dezelfde tijd kunnen lopen. Zijn resultaten zullen ook binnen een bepaald numeriek bereik liggen.

Ervaring, experiment, observatie zijn tests

Proces- observatie of vervulling van een bepaalde reeks voorwaarden die herhaaldelijk worden uitgevoerd en regelmatig worden herhaald in deze en dezelfde volgorde, duur, met inachtneming van andere identieke parameters.

Laten we eens kijken naar de prestaties van de sportman van een schot op een doel. Om het te kunnen produceren, moet aan voorwaarden worden voldaan zoals de voorbereiding van de atleet, het laden van het wapen, het richten, enz. "Hit" en "miss" zijn gebeurtenissen als gevolg van een schot.

Evenement– kwalitatief testresultaat.

Een gebeurtenis kan al dan niet plaatsvinden Gebeurtenissen worden aangegeven met Latijnse hoofdletters. Bijvoorbeeld: D ="De schutter raakte het doel". S = "Witte bal getrokken". K="Willekeurig lot zonder te winnen.".

Een munt opgooien is een test. De val van haar "wapenschild" is een gebeurtenis, de val van haar "nummer" is de tweede gebeurtenis.

Elke test omvat het optreden van verschillende gebeurtenissen. Sommigen van hen kunnen op een bepaald moment door de onderzoeker nodig zijn, terwijl andere misschien niet nodig zijn.

De gebeurtenis wordt willekeurig genoemd, indien onder de uitvoering van een bepaalde reeks voorwaarden S het kan gebeuren of niet gebeuren. In wat volgt, zullen we in plaats van te zeggen "aan de reeks voorwaarden S is voldaan", kort zeggen: "de test is uitgevoerd." De gebeurtenis wordt dus beschouwd als het resultaat van de test.

~ De schutter schiet op een doel dat in vier gebieden is verdeeld. Het schot is een test. Het raken van een bepaald deel van het doelwit is een gebeurtenis.

~ Er zitten gekleurde ballen in de urn. Er wordt willekeurig één bal uit de urn getrokken. Het verwijderen van een bal uit een urn is een test. Het verschijnen van een bal van een bepaalde kleur is een gebeurtenis.

Soorten willekeurige gebeurtenissen

1. Gebeurtenissen zouden onverenigbaar zijn als het optreden van een van hen het optreden van andere gebeurtenissen in hetzelfde onderzoek uitsluit.

~ Er is willekeurig een onderdeel uit een doos met onderdelen gehaald. Het uiterlijk van een standaard onderdeel sluit het uiterlijk van een niet-standaard onderdeel uit. Evenementen € verscheen een standaardonderdeel" en verscheen een niet-standaardonderdeel" - onverenigbaar.

~ Er wordt een munt gegooid. Het uiterlijk van het "wapenschild" sluit het uiterlijk van de inscriptie uit. De gebeurtenissen "een wapen verscheen" en "een inscriptie verscheen" zijn onverenigbaar.

Verschillende evenementen vormen volledige groep, als ten minste één van hen verschijnt als resultaat van de test. Met andere woorden, het optreden van ten minste één van de gebeurtenissen van de hele groep is een bepaalde gebeurtenis.

In het bijzonder, als de gebeurtenissen die een volledige groep vormen paarsgewijs onverenigbaar zijn, zal als resultaat van de test één en slechts één van deze gebeurtenissen verschijnen.Dit specifieke geval is voor ons van het grootste belang, omdat het hieronder wordt gebruikt.

~ Er zijn twee loten van de geld- en kledingloterij gekocht. Er mag één en slechts één van de volgende gebeurtenissen plaatsvinden:

1. "de winst viel op het eerste ticket en niet op het tweede",

2. "de winst viel niet op het eerste ticket en viel op het tweede",

3. "de winst viel op beide tickets",

4. "beide tickets hebben niet gewonnen."

Deze gebeurtenissen vormen een complete groep van paarsgewijs onverenigbare gebeurtenissen,

~ De schutter loste een schot op het doel. Een van de volgende twee gebeurtenissen zal zeker plaatsvinden: hit, miss. Deze twee onsamenhangende gebeurtenissen vormen ook een complete groep.

2. Evenementen worden genoemd even mogelijk als er reden is om aan te nemen dat het een niet meer mogelijk is dan het ander.

~ Het verschijnen van een "wapenschild" en het verschijnen van een inscriptie wanneer een munt wordt opgeworpen, zijn evenzeer mogelijke gebeurtenissen. Er wordt inderdaad aangenomen dat de munt is gemaakt van een homogeen materiaal, een regelmatige cilindrische vorm heeft en dat de aanwezigheid van een munt geen invloed heeft op het verlies van een of andere kant van de munt.

~ Het verschijnen van een of ander aantal punten op een gegooide dobbelsteen is een even waarschijnlijke gebeurtenis. Er wordt inderdaad aangenomen dat de matrijs is gemaakt van een homogeen materiaal, de vorm heeft van een regelmatig veelvlak en dat de aanwezigheid van punten geen invloed heeft op het verlies van een gezicht.

3. Het evenement heet authentiek, als het niet kan gebeuren

4. Het evenement heet niet betrouwbaar als het niet kan.

5. Het evenement heet tegenover tot een gebeurtenis als deze bestaat uit het niet plaatsvinden van de gegeven gebeurtenis. Tegengestelde gebeurtenissen zijn niet compatibel, maar een van hen moet noodzakelijkerwijs plaatsvinden. Tegengestelde gebeurtenissen worden gewoonlijk ontkenningen genoemd, d.w.z. boven de letter staat een streepje. De gebeurtenissen zijn tegenovergesteld: A en Ā; U en , enz. .

De klassieke definitie van waarschijnlijkheid

Waarschijnlijkheid is een van de basisconcepten van de kansrekening.

Er zijn verschillende definities van dit begrip. Laten we een definitie geven die klassiek wordt genoemd. Vervolgens wijzen we op de zwakke punten van deze definitie en geven we andere definities die het mogelijk maken om de tekortkomingen van de klassieke definitie te verhelpen.

Overweeg de situatie: Een doos bevat 6 identieke ballen, 2 zijn rood, 3 zijn blauw en 1 is wit. Het is duidelijk dat de mogelijkheid om willekeurig een gekleurde (d.w.z. rode of blauwe) bal uit een urn te trekken groter is dan de mogelijkheid om een ​​witte bal te trekken. Deze mogelijkheid kan worden gekenmerkt door een getal, dat de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis wordt genoemd (het verschijnen van een gekleurde bal).

Waarschijnlijkheid- een getal dat de mate van mogelijkheid van optreden van de gebeurtenis aangeeft.

In de beschouwde situatie duiden we aan:

Gebeurtenis A = "Een gekleurde bal uittrekken".

Elk van de mogelijke uitkomsten van de test (de test bestaat uit het halen van een bal uit de urn) heet elementaire (mogelijke) uitkomst en gebeurtenis. Elementaire uitkomsten kunnen worden aangegeven met letters met indexen eronder, bijvoorbeeld: k 1 , k 2 .

In ons voorbeeld zijn er 6 ballen, dus er zijn 6 mogelijke uitkomsten: er verscheen een witte bal; er verscheen een rode bal; er verscheen een blauwe bal, enzovoort. Het is gemakkelijk in te zien dat deze uitkomsten een complete groep van paarsgewijze onverenigbare gebeurtenissen vormen (er hoeft slechts één bal te verschijnen) en ze zijn even waarschijnlijk (de bal wordt willekeurig verwijderd, de ballen zijn hetzelfde en grondig gemengd).

Elementaire uitkomsten, waarbij de gebeurtenis die voor ons van belang is zich voordoet, noemen we gunstige resultaten deze gebeurtenis. In ons voorbeeld heeft de gebeurtenis de voorkeur MAAR(het uiterlijk van een gekleurde bal) de volgende 5 uitkomsten:

dus het evenement MAAR waargenomen als er één voorkomt in de test, ongeacht welke, van de elementaire uitkomsten die gunstig zijn MAAR. Dit is het uiterlijk van elke gekleurde bal, waarvan er 5 stuks in de doos zitten

In het beschouwde voorbeeld van elementaire uitkomsten 6; waarvan 5 de voorkeur geven aan het evenement MAAR. Vandaar, P(A)= 5/6. Dit getal geeft die kwantificering van de mate van mogelijkheid van het verschijnen van een gekleurde bal.

Kansdefinitie:

Waarschijnlijkheid van gebeurtenis A is de verhouding van het aantal uitkomsten dat gunstig is voor deze gebeurtenis tot het totale aantal van alle even mogelijke onverenigbare elementaire uitkomsten die een complete groep vormen.

P(A)=m/n of P(A)=m: n, waarbij:

m is het aantal elementaire uitkomsten dat de voorkeur geeft aan MAAR;

P- het aantal van alle mogelijke elementaire uitkomsten van de toets.

Hierbij wordt aangenomen dat de elementaire uitkomsten onverenigbaar zijn, even waarschijnlijk zijn en een volledige groep vormen.

De volgende eigenschappen volgen uit de definitie van kans:

1. De kans op een bepaalde gebeurtenis is gelijk aan één.

Inderdaad, als de gebeurtenis betrouwbaar is, is elke elementaire uitkomst van de test gunstig voor de gebeurtenis. In dit geval m = n vandaar p=1

2. De kans op een onmogelijke gebeurtenis is nul.

Inderdaad, als het evenement onmogelijk is, dan is geen van de elementaire uitkomsten van het proces gunstig voor het evenement. In dit geval m=0, dus p=0.

3.De kans op een willekeurige gebeurtenis is een positief getal tussen nul en één. 0t< n.

In volgende onderwerpen zullen stellingen worden gegeven waarmee we de waarschijnlijkheden van andere gebeurtenissen kunnen vinden uit de bekende waarschijnlijkheden van sommige gebeurtenissen.

Meting. Er zijn 6 meisjes en 4 jongens in de groep studenten. Wat is de kans dat een willekeurig geselecteerde student een meisje is? wordt het een jonge man?

p dev = 6 / 10 = 0,6 p jun = 4 / 10 = 0,4

Het concept van "waarschijnlijkheid" in moderne, rigoureuze cursussen van kansrekening is gebouwd op een set-theoretische basis. Laten we eens kijken naar een aantal van deze benaderingen.

Stel dat als resultaat van de test één en slechts één van de volgende gebeurtenissen plaatsvindt: met ik(i=1, 2, ....n). Evenementen met ik, wordt genoemd elementaire gebeurtenissen (elementaire uitkomsten). O hieruit volgt dat de elementaire gebeurtenissen paarsgewijs onverenigbaar zijn. De verzameling van alle elementaire gebeurtenissen die in een proces kunnen voorkomen, heet elementaire evenementenruimteΩ (Griekse letter omega hoofdletter), en de elementaire gebeurtenissen zelf - punten in deze ruimte..

Evenement MAAR geïdentificeerd met een subset (van de ruimte Ω) waarvan de elementen elementaire uitkomsten zijn die de voorkeur geven aan MAAR; evenement BIJ is een deelverzameling Ω waarvan de elementen uitkomsten zijn die gunstig zijn BIJ, enz. Dus de verzameling van alle gebeurtenissen die in de test kunnen voorkomen, is de verzameling van alle subverzamelingen van . Ω komt zelf voor voor elke uitkomst van de test, daarom is Ω een bepaalde gebeurtenis; een lege deelverzameling van de ruimte Ω is een -onmogelijke gebeurtenis (deze vindt bij geen enkele uitkomst van de test plaats).

Elementaire evenementen worden van alle evenementen onderscheiden door onderwerpen, "elk bevat slechts één element Ω

Naar elke elementaire uitkomst met ik overeenkomen met een positief getal p ik is de kans op deze uitkomst, en de som van alles p ik gelijk is aan 1 of met het teken van de som, zal dit feit worden geschreven als een uitdrukking:

Per definitie is de kans VADER) evenementen MAAR is gelijk aan de som van de kansen op elementaire uitkomsten die gunstig zijn voor MAAR. Daarom is de kans op een bepaalde gebeurtenis gelijk aan één, onmogelijk - tot nul, willekeurig - is tussen nul en één.

Laten we eens kijken naar een belangrijk specifiek geval, waarin alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn: het aantal uitkomsten is gelijk aan n, de som van de kansen van alle uitkomsten is gelijk aan één; daarom is de kans op elke uitkomst 1/n. Laat het evenement MAAR geeft de voorkeur aan m uitkomsten.

Kans op gebeurtenis MAAR is gelijk aan de som van de kansen op uitkomsten die gunstig zijn voor MAAR:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

De klassieke definitie van waarschijnlijkheid wordt verkregen.

Er is nog steeds axiomatisch benadering van het begrip "waarschijnlijkheid". In het voorgestelde systeem van axioma's. Kolmogorov A.N., ongedefinieerde concepten zijn elementaire gebeurtenis en waarschijnlijkheid. De constructie van een logisch volledige kanstheorie is gebaseerd op de axiomatische definitie van een willekeurige gebeurtenis en zijn waarschijnlijkheid.

Dit zijn de axioma's die de kans bepalen:

1. Elk evenement MAAR een niet-negatief reëel getal toegewezen VADER). Dit getal wordt de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis genoemd. MAAR.

2. De kans op een bepaalde gebeurtenis is gelijk aan één:

3. De kans op optreden van ten minste één van de paarsgewijs onverenigbare gebeurtenissen is gelijk aan de som van de kansen van deze gebeurtenissen.

Op basis van deze axioma's worden de eigenschappen van kansen voor de relatie daartussen afgeleid als stellingen.

Waarschijnlijkheid gebeurtenis is de verhouding van het aantal elementaire uitkomsten dat een bepaalde gebeurtenis begunstigt, tot het aantal van alle even mogelijke uitkomsten van ervaring waarin deze gebeurtenis kan plaatsvinden. De kans op een gebeurtenis A wordt aangegeven met P(A) (hier is P de eerste letter van het Franse woord probabilite - waarschijnlijkheid). Volgens de definitie
(1.2.1)
waar is het aantal elementaire uitkomsten ten gunste van gebeurtenis A; - het aantal van alle even mogelijke elementaire uitkomsten van ervaring, die een complete groep gebeurtenissen vormen.
Deze definitie van waarschijnlijkheid wordt klassiek genoemd. Het ontstond in de beginfase van de ontwikkeling van de kansrekening.

De kans op een gebeurtenis heeft de volgende eigenschappen:
1. De kans op een bepaalde gebeurtenis is gelijk aan één. Laten we een bepaalde gebeurtenis met de letter aanduiden. Voor een bepaalde gebeurtenis dus
(1.2.2)
2. De kans op een onmogelijke gebeurtenis is nul. We duiden de onmogelijke gebeurtenis aan met de letter . Voor een onmogelijke gebeurtenis dus
(1.2.3)
3. De kans op een willekeurige gebeurtenis wordt uitgedrukt als een positief getal kleiner dan één. Aangezien de ongelijkheden , of zijn voldaan voor een willekeurige gebeurtenis, dan
(1.2.4)
4. De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis voldoet aan de ongelijkheden
(1.2.5)
Dit volgt uit de relaties (1.2.2) -(1.2.4).

voorbeeld 1 Een urn bevat 10 ballen van dezelfde grootte en hetzelfde gewicht, waarvan 4 rood en 6 blauw. Er wordt één bal uit de urn getrokken. Wat is de kans dat de getrokken bal blauw is?

Beslissing. De gebeurtenis "de getrokken bal bleek blauw" wordt aangeduid met de letter A. Deze test heeft 10 even mogelijke elementaire uitkomsten, waarvan 6 in het voordeel van de gebeurtenis A. Volgens formule (1.2.1) verkrijgen we

Voorbeeld 2 Alle natuurlijke getallen van 1 tot 30 zijn op identieke kaarten geschreven en in een urn geplaatst. Nadat de kaarten grondig zijn gemengd, wordt één kaart uit de urn verwijderd. Wat is de kans dat het getal op de getrokken kaart een veelvoud van 5 is?

Beslissing. Duid met A de gebeurtenis aan "het getal op de genomen kaart is een veelvoud van 5". In deze proef zijn er 30 even mogelijke elementaire uitkomsten, waarvan 6 uitkomsten de voorkeur geven aan gebeurtenis A (nummers 5, 10, 15, 20, 25, 30). Vandaar,

Voorbeeld 3 Er worden twee dobbelstenen gegooid, de som van de punten op de bovenste vlakken wordt berekend. Bereken de kans op gebeurtenis B, bestaande uit het feit dat de bovenvlakken van de kubussen in totaal 9 punten zullen hebben.

Beslissing. Er zijn 6 2 = 36 even mogelijke elementaire uitkomsten in deze studie. Gebeurtenis B wordt begunstigd door 4 uitkomsten: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), dus

Voorbeeld 4. Er wordt willekeurig een natuurlijk getal gekozen dat niet groter is dan 10. Wat is de kans dat dit getal een priemgetal is?

Beslissing. Duid met de letter C de gebeurtenis aan "het gekozen getal is priem". In dit geval, n = 10, m = 4 (priemgetallen 2, 3, 5, 7). Daarom is de gewenste kans

Voorbeeld 5 Er worden twee symmetrische munten gegooid. Wat is de kans dat beide munten aan de bovenzijde cijfers hebben?

Beslissing. Laten we met de letter D de gebeurtenis aanduiden "er stond een nummer op de bovenkant van elke munt". Er zijn 4 even mogelijke elementaire uitkomsten in deze test: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (De notatie (G, C) betekent dat er op de eerste munt een wapenschild staat, op de tweede een cijfer). Gebeurtenis D wordt begunstigd door één elementaire uitkomst (C, C). Aangezien m = 1, n = 4, dan

Voorbeeld 6 Wat is de kans dat de cijfers in een willekeurig gekozen getal van twee cijfers hetzelfde zijn?

Beslissing. Tweecijferige getallen zijn getallen van 10 tot 99; er zijn in totaal 90 van dergelijke nummers. 9 nummers hebben dezelfde cijfers (dit zijn de nummers 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Aangezien in dit geval m = 9, n = 90, dan
,
waarbij A de gebeurtenis "getal met dezelfde cijfers" is.

Voorbeeld 7 Uit de letters van het woord differentieel een letter wordt willekeurig gekozen. Wat is de kans dat deze letter zal zijn: a) een klinker b) een medeklinker c) een letter h?

Beslissing. Er zijn 12 letters in het woord differentieel, waarvan 5 klinkers en 7 medeklinkers. Brieven h dit woord niet. Laten we de gebeurtenissen aanduiden: A - "klinker", B - "medeklinker", C - "letter h". Het aantal gunstige elementaire uitkomsten: - voor gebeurtenis A, - voor gebeurtenis B, - voor gebeurtenis C. Sinds n \u003d 12, dan
, en .

Voorbeeld 8 Er worden twee dobbelstenen gegooid, het aantal punten op de bovenkant van elke dobbelsteen wordt genoteerd. Bereken de kans dat beide dobbelstenen hetzelfde aantal punten hebben.

Beslissing. Laten we deze gebeurtenis aanduiden met de letter A. Gebeurtenis A wordt begunstigd door 6 elementaire uitkomsten: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). In totaal zijn er evenveel elementaire uitkomsten mogelijk die een complete groep gebeurtenissen vormen, in dit geval n=6 2 =36. Dus de gewenste kans

Voorbeeld 9 Het boek heeft 300 pagina's. Wat is de kans dat een willekeurig geopende pagina een volgnummer heeft dat een veelvoud van 5 is?

Beslissing. Uit de voorwaarden van het probleem volgt dat er n = 300 van alle even mogelijke elementaire uitkomsten die een complete groep gebeurtenissen vormen, zullen zijn, waarvan m = 60 de voorkeur geeft aan het optreden van de gespecificeerde gebeurtenis. Inderdaad, een getal dat een veelvoud van 5 is, heeft de vorm 5k, waarbij k een natuurlijk getal is, en , vanwaar . Vandaar,
, waarbij A - de "pagina"-gebeurtenis een volgnummer heeft dat een veelvoud is van 5".

Voorbeeld 10. Er worden twee dobbelstenen gegooid, de som van de punten op de bovenste vlakken wordt berekend. Wat is meer kans om een ​​totaal van 7 of 8 te krijgen?

Beslissing. Laten we de gebeurtenissen aanwijzen: A - "7 punten vielen uit", B - "8 punten vielen uit". Gebeurtenis A wordt begunstigd door 6 elementaire uitkomsten: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), en gebeurtenis B - door 5 uitkomsten: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Er zijn n = 6 2 = 36 van alle even mogelijke elementaire uitkomsten. en .

Dus, P(A)>P(B), dat wil zeggen dat het behalen van een totaal van 7 punten waarschijnlijker is dan het behalen van een totaal van 8 punten.

Taken

1. Er wordt willekeurig een natuurlijk getal gekozen dat niet groter is dan 30. Wat is de kans dat dit getal een veelvoud van 3 is?
2. In de urn a rood en b blauwe ballen van dezelfde grootte en hetzelfde gewicht. Wat is de kans dat een willekeurig getrokken bal uit deze urn blauw is?
3. Er wordt willekeurig een getal gekozen dat niet groter is dan 30. Wat is de kans dat dit getal een deler is van zo?
4. In de urn a blauw en b rode ballen van dezelfde grootte en hetzelfde gewicht. Uit deze urn wordt één bal getrokken en apart gelegd. Deze bal is rood. Dan wordt er nog een bal uit de urn getrokken. Bereken de kans dat de tweede bal ook rood is.
5. Er wordt willekeurig een natuurlijk getal gekozen dat niet groter is dan 50. Wat is de kans dat dit getal een priemgetal is?
6. Er worden drie dobbelstenen gegooid, de som van de punten op de bovenste vlakken wordt berekend. Wat is waarschijnlijker - om in totaal 9 of 10 punten te krijgen?
7. Er worden drie dobbelstenen gegooid, de som van de gevallen punten wordt berekend. Wat heeft meer kans op een totaal van 11 (gebeurtenis A) of 12 punten (gebeurtenis B)?

antwoorden

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - de kans om in totaal 9 punten te krijgen; p 2 \u003d 27/216 - de kans om in totaal 10 punten te krijgen; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Vragen

1. Hoe heet de kans op een gebeurtenis?
2. Wat is de kans op een bepaalde gebeurtenis?
3. Wat is de kans op een onmogelijke gebeurtenis?
4. Wat zijn de grenzen van de kans op een willekeurige gebeurtenis?
5. Wat zijn de grenzen van de kans op een gebeurtenis?
6. Welke definitie van waarschijnlijkheid wordt klassiek genoemd?