Uitleg van het onderwerp transformatie van uitdrukkingen die vierkantswortels bevatten. De eigenschappen van wortels gebruiken bij het transformeren van irrationele uitdrukkingen, voorbeelden, oplossingen

De videoles "Transformatie van uitdrukkingen met daarin de bewerking van het extraheren van een vierkantswortel" is een visueel hulpmiddel waarmee een leraar gemakkelijker vaardigheden en capaciteiten kan vormen bij het oplossen van problemen met uitdrukkingen met een vierkantswortel. Tijdens de les worden de theoretische fundamenten opgeroepen die als basis dienen voor het uitvoeren van bewerkingen op getallen en variabelen die in de worteluitdrukking staan, de oplossing van vele soorten problemen die de mogelijkheid vereisen om formules te gebruiken voor het converteren van uitdrukkingen die een kwadraat bevatten wortel wordt beschreven, worden methoden gegeven voor het wegwerken van irrationaliteit in de noemer van een breuk.

De video-tutorial begint met het demonstreren van de titel van het onderwerp. Opgemerkt wordt dat eerder in de lessen transformaties van rationele uitdrukkingen werden uitgevoerd. Tegelijkertijd werd theoretische informatie over monomials en polynomen, methoden voor het werken met polynomen, algebraïsche breuken en verkorte vermenigvuldigingsformules gebruikt. Deze videozelfstudie behandelt de introductie van de vierkantswortelbewerking voor het transformeren van uitdrukkingen. De leerlingen worden herinnerd aan de eigenschappen van de vierkantswortelbewerking. Onder deze eigenschappen wordt aangegeven dat na het extraheren van de vierkantswortel uit het kwadraat van het getal, het getal zelf wordt verkregen, de wortel van het product van twee getallen is gelijk aan het product van twee wortels van deze getallen, de wortel van de quotiënt van twee getallen is gelijk aan het quotiënt van de wortels van de leden van het quotiënt. De laatste eigenschap die in beschouwing wordt genomen, is de extractie van de vierkantswortel van een getal verheven tot een even macht √a 2 n , die als resultaat een getal vormt tot de macht a n . De beschouwde eigenschappen zijn geldig voor alle niet-negatieve getallen.

Er worden voorbeelden beschouwd waarin transformaties van uitdrukkingen die een vierkantswortel bevatten vereist zijn. Er wordt aangegeven dat in deze voorbeelden is bepaald dat a en b niet-negatieve getallen zijn. In het eerste voorbeeld is het nodig om de uitdrukkingen √16a 4 /9b 4 en √a 2 b 4 te vereenvoudigen. In het eerste geval wordt een eigenschap toegepast die bepaalt dat de vierkantswortel van het product van twee getallen gelijk is aan het product van de wortels ervan. Als resultaat van de transformatie wordt de uitdrukking ab2 verkregen. De tweede uitdrukking gebruikt de formule voor het converteren van de vierkantswortel van een quotiënt naar een quotiënt van wortels. Het resultaat van de transformatie is de uitdrukking 4a 2 /3b 3 .

In het tweede voorbeeld is het nodig om de factor onder het vierkantswortelteken te verwijderen. De oplossing van uitdrukkingen √81а, √32а 2 , √9а 7 b 5 wordt beschouwd. Aan de hand van het voorbeeld van de transformatie van vier uitdrukkingen, wordt getoond hoe de formule voor het transformeren van de wortel van het product van verschillende getallen wordt gebruikt om dergelijke problemen op te lossen. Tegelijkertijd worden gevallen afzonderlijk genoteerd wanneer uitdrukkingen numerieke coëfficiënten bevatten, parameters in een even, oneven graad. Als resultaat van de transformatie worden de uitdrukkingen √81a=9√a, √32a 2 =4a√2, √9a 7 b 5 =3a 3 b 2 √ab verkregen.

In het derde voorbeeld is het nodig om een ​​bewerking uit te voeren die tegengesteld is aan die in het vorige probleem. Om een ​​factor onder het wortelteken in te voeren, is het ook noodzakelijk om de bestudeerde formules te kunnen gebruiken. In uitdrukkingen 2√2 en 3a√b/√3a wordt voorgesteld om een ​​vermenigvuldiger in te voeren vóór de haakjes onder het grondteken. Met behulp van bekende formules wordt de factor voor het wortelteken gekwadrateerd en als factor in het product onder het wortelteken geplaatst. In de eerste uitdrukking wordt als resultaat van de transformatie de uitdrukking √8 verkregen. In de tweede uitdrukking wordt eerst de formule van het paard van het product gebruikt om de teller om te zetten, en vervolgens wordt de formule van de privéwortel gebruikt om de hele uitdrukking om te zetten. Na het verkleinen van de teller en noemer in de worteluitdrukking, wordt √3ab verkregen.

In voorbeeld 4 moet je acties uitvoeren in de uitdrukkingen (√a+√b)(√a-√b). Om deze uitdrukking op te lossen, worden nieuwe variabelen geïntroduceerd die monomials vervangen die het teken van de wortel √a=x en √b=y bevatten. na vervanging van nieuwe variabelen ligt de mogelijkheid om de verkorte vermenigvuldigingsformule te gebruiken voor de hand, waarna de uitdrukking de vorm x 2 -y 2 aanneemt. Terugkerend naar de oorspronkelijke variabelen, krijgen we a-b. De tweede uitdrukking (√a+√b) 2 kan ook worden omgezet met de formule voor gereduceerde vermenigvuldiging. Na het uitbreiden van de haakjes, krijgen we het resultaat a+2√ab+b.

In voorbeeld 5 zijn de uitdrukkingen 4a-4√ab+b en x√x+1 ontbonden. Om dit probleem op te lossen, is het noodzakelijk om transformaties uit te voeren, gemeenschappelijke factoren te selecteren. Nadat de eigenschappen van de vierkantswortel zijn toegepast om de eerste uitdrukking op te lossen, wordt de som omgezet in het kwadraat van het verschil (2√а-√b) 2 . Om de tweede uitdrukking op te lossen, moet u een vermenigvuldiger invoeren onder de wortel vóór het wortelteken en vervolgens de formule toepassen voor de som van kubussen. Het resultaat van de transformatie is de uitdrukking (√x+1)(x 2 -√x+1).

Voorbeeld 6 demonstreert de oplossing van een probleem waarbij het nodig is om de uitdrukking (a√a+3√3)(√a-√3)/((√a-√3) 2 +√3a) te vereenvoudigen. Het probleem wordt in vier stappen opgelost. In de eerste stap wordt de teller omgezet in een product met behulp van de verkorte vermenigvuldigingsformule - de som van de kubussen van twee getallen. In de tweede stap wordt de noemer van de uitdrukking getransformeerd, die de vorm a-√3a+3 aanneemt. Na de conversie wordt het mogelijk om de fractie te verkleinen. In de laatste stap wordt ook de formule van gereduceerde vermenigvuldiging toegepast, wat helpt om het eindresultaat a-3 te krijgen.

In het zevende voorbeeld is het nodig om de vierkantswortel in de noemers van de breuken 1/√2 en 1/(√3-√2) te verwijderen. Bij het oplossen van de taak wordt de hoofdeigenschap van de breuk gebruikt. Om de wortel in de noemer te verwijderen, worden de teller en de noemer vermenigvuldigd met hetzelfde getal, dat de worteluitdrukking kwadrateert. Als resultaat van berekeningen krijgen we 1/√2=√2/2 en 1/(√3-√2)=√3+√2.

De kenmerken van de wiskundige taal worden aangegeven bij het werken met uitdrukkingen die een wortel bevatten. Opgemerkt wordt dat de inhoud van de vierkantswortel in de noemer van de breuk de inhoud van irrationaliteit betekent. En het wegwerken van het teken van de wortel in zo'n noemer zou het wegwerken van irrationaliteit in de noemer zijn. Er worden methoden beschreven om van irrationaliteit af te komen - om de noemer van de vorm a te transformeren, is het noodzakelijk om de teller gelijktijdig met de noemer met het getal √a te vermenigvuldigen en om irrationaliteit voor de noemer van de vorm √a te elimineren -√b, de teller en noemer worden vermenigvuldigd met de geconjugeerde uitdrukking √a+√ b. Opgemerkt wordt dat het wegwerken van irrationaliteit in zo'n noemer de oplossing van het probleem enorm vergemakkelijkt.

Aan het einde van de video-tutorial wordt een vereenvoudiging van de uitdrukking 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3) overwogen. Om de uitdrukking te vereenvoudigen, worden de bovenstaande methoden voor het wegwerken van irrationaliteit in de noemer van breuken toegepast. De resulterende uitdrukkingen worden toegevoegd, waarna de vereenvoudigde vorm van de uitdrukking eruitziet als √5-2√3.

De videoles "Conversie van uitdrukkingen die de bewerking van het extraheren van een vierkantswortel bevatten" wordt aanbevolen voor gebruik in een traditionele schoolles om vaardigheden te ontwikkelen voor het oplossen van taken die een vierkantswortel bevatten. Met hetzelfde doel kan de video door de leraar worden gebruikt tijdens afstandsonderwijs. Ook kan het materiaal worden aanbevolen aan studenten voor zelfstandig thuiswerk.

secties: Wiskunde

Lesdoelen:

1. Herhaal de definitie van de rekenkundige vierkantswortel, de eigenschappen van de rekenkundige vierkantswortel.
2. De kennis van studenten over dit onderwerp samenvatten en systematiseren.
3. Consolideren van de vaardigheden en capaciteiten van het oplossen van voorbeelden voor identieke transformaties van uitdrukkingen die rekenkundige vierkantswortels bevatten.
4. Elke leerling de kans geven om zijn of haar potentieel zo goed mogelijk te ontwikkelen.
5. Verbreed hun horizon en laat leerlingen kennismaken met de wiskundigen van de middeleeuwen.

Soort les: praktische les.

Lesmateriaal: hand-outs, gekleurd krijt, overheadprojector, een portret van Rene Descartes, posters met formules.

Tijdens de lessen

L.Tijd organiseren.

Het onderwerp van onze les is "Conversie van uitdrukkingen die rekenkundige vierkantswortels bevatten." Vandaag herhalen we in de les de regels voor het converteren van uitdrukkingen die vierkantswortels bevatten. Dit omvat de transformatie van wortels van een product, breuk en graad, vermenigvuldiging en deling van wortels, de factor uit het teken van de wortel halen, de factor in het teken van de wortel plaatsen, gelijke termen brengen en bevrijden van irrationaliteit in de noemer van de breuk.

II. Mondelinge enquête over theorie.

• Definieer een rekenkundige vierkantswortel. ( De rekenkundige vierkantswortel van a is een niet-negatief getal waarvan het kwadraat a . is).
• Noem de eigenschappen van de rekenkundige vierkantswortel. ( De rekenkundige vierkantswortel van het product van niet-negatieve factoren is gelijk aan het product van de wortels van deze factoren. De rekenkundige vierkantswortel van een breuk waarvan de teller niet-negatief is en waarvan de noemer positief is, is gelijk aan de wortel van de teller gedeeld door de wortel van de noemer).
• Wat is de waarde van de rekenkundige vierkantswortel van x 2? ( |x| ).
• Wat is de waarde van de rekenkundige vierkantswortel van x 2 als x≥0? X<0? (X. -X).

III. mondeling werk. (Op het bord geschreven).

Zoek de waarde van de wortel:

Zoek de waarde van de uitdrukking:

Voer de vermenigvuldiger in onder het wortelteken:

Vergelijken:

IV. Ontwikkeling van kennis over het onderwerp. (Op de bureaus van elk blad met opdrachten).

1. Onderneem actie.

• Hoe lossen we voorbeelden a en b op? ( Open de haakjes, geef gelijke termen).
• Hoe lossen we voorbeelden c en d op? ( Pas de formule voor het verschil van kwadraten toe).
• Hoe lossen we voorbeelden e en e op? ( We halen de factor uit het teken van de wortel en geven gelijke termen).

	2 + 0,3- 4 + 0,01
	3 + 0,5 - 2 + 0,01

(Leerlingen volgen de opties in hun schrift, 6 leerlingen lossen 1 voorbeeld op het achterbord op).

– Controle via een grafische projector. Elk antwoord komt overeen met een bepaalde letter. Het resultaat is het woord: Descartes.

V. Historische referentie.

De student geeft een korte presentatie.

In 1626 introduceerde de Nederlandse wiskundige A. Shirar de notatie voor de wortel V, dicht bij de moderne. Als het getal 2 boven dit teken stond, betekende dit een vierkantswortel, als 3 - een kubieke één. Deze aanduiding begon het Rx-teken te vervangen. Lange tijd schreven ze Va + b echter met een horizontale lijn boven de som. Pas in 1637 verbond Rene Descartes het wortelteken met een horizontale lijn, met behulp van het moderne wortelteken in zijn Geometry. Dit bord kwam pas in het begin van de 18e eeuw algemeen in gebruik. ( Op het bord - een portret van Rene Descartes, tekening).

VI. Ontwikkeling van kennis over het onderwerp.

2. Factor uit.

a en b - uitbreiden met de formule van het verschil van vierkanten, c en d - met behulp van de definitie van de rekenkundige vierkantswortel, vervang 7 en 13 door vierkanten uit vierkantswortels, en verwijder dan de gemeenschappelijke factor).

a) a - 9, a≥0
b) 16 – c, c≥0

Studenten lossen op in notitieboekjes volgens opties, 2 personen (één van elke optie) beslissen op het bord.

- Inspectie.

3. Verklein de breuk.

Hoe gaan we deze taak uitvoeren? ( We ontbinden ofwel de teller of de noemer, en reduceren dan).

Studenten beslissen in notitieboekjes volgens opties, 4 personen beslissen op het bord. Voorbeelden e en f bepalen bovendien wie er op tijd zal zijn.

- Inspectie.

4. Weg met de irrationaliteit in de noemer van de breuk.

Wat gaan we doen in deze opdracht? ( We transformeren de breuk zodat de noemer geen vierkantswortel bevat: a en b zullen we zowel de teller als de noemer vermenigvuldigen met de vierkantswortel die in de noemer is geschreven; c en d zullen we vermenigvuldigen met de som of het verschil van de uitdrukking geschreven in de noemer om het verschil in kwadraten te krijgen).

Studenten beslissen door opties, 2 personen lossen 2 voorbeelden op het bord op.

- Inspectie.

VII. Proefschrift schrijven.

Iedereen heeft een blad met toetstaken op zijn bureau ( Bijlage 1). Ze ondertekenden het blad en voltooiden de taken op hetzelfde blad. Nadat ze het werk hadden geschreven, overhandigden ze het, controleerden de antwoorden en kwamen erachter waarom het zo was, via een grafische projector.

VIII. Huiswerk. met. 109 nr. 503 (a–d), 504.

Het materiaal van dit artikel moet worden beschouwd als onderdeel van de onderwerptransformatie van irrationele uitdrukkingen. Hier zullen we aan de hand van voorbeelden alle subtiliteiten en nuances (waarvan er veel zijn) analyseren die optreden bij het uitvoeren van transformaties op basis van de eigenschappen van de wortels.

Paginanavigatie.

Denk aan de eigenschappen van wortels

Omdat we de transformatie van uitdrukkingen gaan behandelen met behulp van de eigenschappen van de wortels, kan het geen kwaad om de belangrijkste te onthouden, of nog beter, ze op papier te schrijven en voor je te plaatsen.

Eerst worden vierkantswortels en hun volgende eigenschappen bestudeerd (a, b, a 1, a 2, ..., a k zijn reële getallen):

En later wordt het idee van de wortel uitgebreid, wordt de definitie van de wortel van de n-de graad geïntroduceerd en worden dergelijke eigenschappen overwogen (a, b, a 1, a 2, ..., a k zijn reële getallen, m, n, n 1, n 2, ... , n k - natuurlijke getallen):

Uitdrukkingen met getallen onder grondtekens converteren

Zoals gewoonlijk leren ze eerst werken met numerieke uitdrukkingen, en pas daarna gaan ze over op uitdrukkingen met variabelen. We zullen hetzelfde doen, en eerst zullen we de transformatie behandelen van irrationele uitdrukkingen die alleen numerieke uitdrukkingen bevatten onder de tekens van de wortels, en al verder in de volgende paragraaf zullen we variabelen introduceren onder de tekens van de wortels.

Hoe kan dit worden gebruikt om uitdrukkingen te transformeren? Heel eenvoudig: we kunnen bijvoorbeeld een irrationele uitdrukking vervangen door een uitdrukking, of omgekeerd. Dat wil zeggen, als de geconverteerde uitdrukking een uitdrukking bevat die overeenkomt met de uitdrukking uit het linker (rechter) deel van een van de vermelde eigenschappen van de wortels, dan kan deze worden vervangen door de corresponderende uitdrukking uit het rechter (linker) deel. Dit is de transformatie van uitdrukkingen met behulp van de eigenschappen van de wortels.

Laten we nog een paar voorbeelden nemen.

Laten we de uitdrukking vereenvoudigen . De cijfers 3 , 5 en 7 zijn positief, dus we kunnen de eigenschappen van de wortels veilig toepassen. Hier kun je anders handelen. Een op eigenschappen gebaseerde wortel kan bijvoorbeeld worden weergegeven als , en een op eigenschappen gebaseerde wortel met k=3 als , met deze benadering ziet de oplossing er als volgt uit:

Het was mogelijk om het anders te doen, te vervangen door , en dan door , in dit geval zou de oplossing er als volgt uitzien:

Andere oplossingen zijn mogelijk, bijvoorbeeld:

Laten we een ander voorbeeld bekijken. Laten we de uitdrukking transformeren. Als we naar de lijst met eigenschappen van de wortels kijken, selecteren we daaruit de eigenschappen die we nodig hebben om het voorbeeld op te lossen, het is duidelijk dat er twee zijn en hier nuttig zijn, die geldig zijn voor elke a . We hebben:

Als alternatief zou men eerst uitdrukkingen onder worteltekens kunnen transformeren met behulp van

en pas vervolgens de eigenschappen van de wortels toe

Tot nu toe hebben we uitdrukkingen geconverteerd die alleen vierkantswortels bevatten. Het is tijd om te werken met wortels die andere indicatoren hebben.

Voorbeeld.

Irrationele expressie transformeren .

Beslissing.

op eigendom de eerste factor van een bepaald product kan worden vervangen door het getal −2:

Ga verder. De tweede factor vanwege de eigenschap kan worden weergegeven als, en het kan geen kwaad om 81 te vervangen door een viervoudige macht van drie, aangezien het getal 3 in de overige factoren verschijnt onder de tekens van de wortels:

Het is raadzaam om de wortel van de breuk te vervangen door de verhouding van de wortels van de vorm , die verder kan worden getransformeerd: . We hebben

De resulterende uitdrukking na het uitvoeren van bewerkingen met tweeën zal de vorm aannemen , en het blijft om het product van de wortels te transformeren.

Om de producten van de wortels te transformeren, worden ze meestal teruggebracht tot één indicator, waarvoor het raadzaam is om de indicatoren van alle wortels te nemen. In ons geval is LCM(12, 6, 12)=12 , en hoeft alleen de wortel tot deze indicator te worden teruggebracht, aangezien de andere twee wortels al zo'n indicator hebben. Om met deze taak om te gaan, is gelijkheid mogelijk, die van rechts naar links wordt toegepast. Dus . Gezien dit resultaat hebben we:

Nu kan het product van de wortels worden vervangen door de wortel van het product en kunnen de resterende, al voor de hand liggende, transformaties worden uitgevoerd:

Laten we een korte versie van de oplossing maken:

Antwoord:

.

Los daarvan benadrukken we dat om de eigenschappen van de wortels toe te passen, rekening moet worden gehouden met de beperkingen die worden opgelegd aan de aantallen onder de tekens van de wortels (a≥0, enz.). Als u ze negeert, kan dit tot onjuiste resultaten leiden. We weten bijvoorbeeld dat de eigenschap geldt voor niet-negatieve a . Op basis daarvan kunnen we bijvoorbeeld gerust van naar gaan, aangezien 8 een positief getal is. Maar als we een betekenisvolle wortel nemen van een negatief getal, bijvoorbeeld , en deze op basis van bovenstaande eigenschap vervangen door , dan vervangen we −2 in feite door 2 . Inderdaad, een. Dat wil zeggen, voor negatief a kan de gelijkheid onwaar zijn, net zoals andere eigenschappen van de wortels onwaar kunnen zijn zonder rekening te houden met de voorwaarden die daarvoor zijn gespecificeerd.

Maar wat in de vorige paragraaf is gezegd, betekent helemaal niet dat uitdrukkingen met negatieve getallen onder de worteltekens niet kunnen worden getransformeerd met behulp van de eigenschappen van de wortels. Ze hoeven alleen van tevoren te worden "voorbereid" door de bewerkingsregels met getallen toe te passen of door de definitie van de wortel van een oneven graad van een negatief getal te gebruiken, wat overeenkomt met de gelijkheid , waarbij −a een negatief getal is (in dit geval is a positief). Het kan bijvoorbeeld niet onmiddellijk worden vervangen door , aangezien −2 en −3 negatieve getallen zijn, maar het stelt ons in staat om van de wortel naar te gaan en vervolgens de eigenschap van de wortel van het product toe te passen: . En in een van de vorige voorbeelden was het nodig om van de wortel naar de wortel van de achttiende graad te gaan , en dus .

Dus om uitdrukkingen te transformeren met behulp van de eigenschappen van de wortels, moet je:

• selecteer de juiste eigenschap uit de lijst,
• zorg ervoor dat de getallen onder de wortel voldoen aan de voorwaarden voor de geselecteerde eigenschap (anders moet u voorlopige transformaties uitvoeren),
• en de beoogde transformatie door te voeren.

Uitdrukkingen met variabelen onder hoofdtekens converteren

Om irrationele uitdrukkingen te transformeren die niet alleen getallen, maar ook variabelen onder het teken van de wortel bevatten, moeten de eigenschappen van de wortels die in de eerste alinea van dit artikel worden genoemd, zorgvuldig worden toegepast. Dit heeft voor een groot deel te maken met de voorwaarden waaraan de getallen in de formules moeten voldoen. Op basis van de formule kan de uitdrukking bijvoorbeeld alleen worden vervangen door een uitdrukking voor die x-waarden die voldoen aan de voorwaarden x≥0 en x+1≥0 , aangezien de opgegeven formule is ingesteld voor a≥0 en b≥ 0 .

Wat is het gevaar van het negeren van deze voorwaarden? Het antwoord op deze vraag wordt duidelijk aangetoond door het volgende voorbeeld. Laten we zeggen dat we de waarde van een uitdrukking moeten berekenen als x=−2 . Als we onmiddellijk het getal −2 vervangen in plaats van de variabele x, dan krijgen we de waarde die we nodig hebben . En laten we ons nu voorstellen dat we, op basis van enkele overwegingen, de gegeven uitdrukking hebben omgezet in de vorm , en pas daarna besloten we de waarde te berekenen. We vervangen het getal −2 in plaats van x en komen uit op de uitdrukking , wat geen zin heeft.

Laten we eens kijken wat er gebeurt met het bereik van geldige waarden (ODV) van de variabele x als we van uitdrukking naar uitdrukking gaan. We noemden de ODZ niet toevallig, aangezien dit een serieus hulpmiddel is om de toelaatbaarheid van de uitgevoerde transformaties te controleren, en het wijzigen van de ODZ na de transformatie van de expressie zou op zijn minst moeten waarschuwen. Het is niet moeilijk om de ODZ voor deze uitdrukkingen te vinden. Voor de uitdrukking wordt de ODZ bepaald uit de ongelijkheid x (x+1)≥0 , de oplossing ervan geeft de numerieke verzameling (−∞, −1]∪∪)