Dit artikel is het antwoord op twee vragen: "Wat is" en "Hoe te vinden" coördinaten van de projectie van een punt op een vlak"? Eerst wordt de nodige informatie over projectie en zijn typen gegeven. Vervolgens wordt de definitie van de projectie van een punt op een vlak gegeven en wordt een grafische illustratie gegeven. Daarna werd een methode verkregen om de coördinaten van de projectie van een punt op een vlak te vinden. Concluderend worden oplossingen van voorbeelden geanalyseerd waarin de coördinaten van de projectie van een bepaald punt op een bepaald vlak worden berekend.

Paginanavigatie.

Projectie, soorten projectie - noodzakelijke informatie.

Bij het bestuderen van ruimtelijke figuren is het handig om hun afbeeldingen in de tekening te gebruiken. Het tekenen van een ruimtelijke figuur is een zgn projectie dit cijfer naar het vliegtuig. Het proces van het construeren van een afbeelding van een ruimtelijke figuur op een vlak verloopt volgens bepaalde regels. Dus het proces van het construeren van een afbeelding van een ruimtelijke figuur op een vlak, samen met een reeks regels waarmee dit proces wordt uitgevoerd, wordt genoemd projectie figuren in dit vliegtuig. Het vlak waarin het beeld is gebouwd heet projectievlak.

Afhankelijk van de regels waarmee de projectie wordt uitgevoerd, zijn er: centraal en parallelle projectie. We zullen niet in details treden, omdat dit buiten het bestek van dit artikel valt.

In de geometrie wordt voornamelijk een speciaal geval van parallelle projectie gebruikt - loodrechte projectie, ook wel genoemd orthogonaal. In de naam van dit type projectie wordt het adjectief "loodrecht" vaak weggelaten. Dat wil zeggen, wanneer ze in de meetkunde praten over de projectie van een figuur op een vlak, bedoelen ze meestal dat deze projectie werd verkregen met behulp van loodrechte projectie (tenzij anders aangegeven natuurlijk).

Opgemerkt moet worden dat de projectie van een figuur op een vlak een reeks projecties is van alle punten van deze figuur op het projectievlak. Met andere woorden, om de projectie van een bepaalde figuur te krijgen, is het noodzakelijk om de projecties van de punten van deze figuur op een vlak te kunnen vinden. De volgende paragraaf van het artikel laat zien hoe je de projectie van een punt op een vlak kunt vinden.

Projectie van een punt op een vlak - definitie en illustratie.

We benadrukken nogmaals dat we het zullen hebben over de loodrechte projectie van een punt op een vlak.

Laten we constructies maken die ons helpen de projectie van een punt op een vlak te definiëren.

Laten we in de driedimensionale ruimte een punt M 1 en een vlak krijgen. Laten we een rechte lijn a door het punt M 1 trekken, loodrecht op het vlak. Als het punt M 1 niet in het vlak ligt, dan duiden we het snijpunt van de lijn a en het vlak aan als H 1. Dus, door constructie, is het punt H 1 de basis van de loodlijn die vanaf het punt M 1 naar het vlak valt.

Definitie.

Projectie van punt M 1 op een vlak is het punt M 1 zelf, als , of het punt H 1, als .

De volgende definitie komt overeen met deze definitie van de projectie van een punt op een vlak.

Definitie.

Projectie van een punt op een vlak- dit is ofwel het punt zelf, als het in een bepaald vlak ligt, ofwel de basis van de loodlijn die vanaf dit punt op een bepaald vlak valt.

In onderstaande tekening is het punt H 1 de projectie van het punt M 1 op het vlak; punt M 2 ligt in het vlak, daarom is M 2 de projectie van het punt M 2 zelf op het vlak.

De coördinaten vinden van de projectie van een punt op een vlak - voorbeelden oplossen.

Laat Oxyz geïntroduceerd worden in de driedimensionale ruimte, een punt en vliegtuig. Laten we onszelf de taak stellen: om de coördinaten te bepalen van de projectie van het punt M 1 op het vlak.

De oplossing van het probleem volgt logisch uit de definitie van de projectie van een punt op een vlak.

Geef de projectie van het punt M 1 op het vlak aan als H 1 . Per definitie is de projectie van een punt op een vlak, H 1 het snijpunt van een bepaald vlak en een rechte lijn a die door het punt M 1 loodrecht op het vlak gaat. De gewenste coördinaten van de projectie van het punt M1 op het vlak zijn dus de coördinaten van het snijpunt van de lijn a en het vlak.

Vandaar, om de projectiecoördinaten van een punt te vinden in het vliegtuig heb je nodig:

Laten we eens kijken naar voorbeelden.

Voorbeeld.

Vind de projectiecoördinaten van een punt naar het vliegtuig .

Beslissing.

In de toestand van het probleem krijgen we een algemene vergelijking van het vlak van de vorm , dus het hoeft niet te worden gecompileerd.

Laten we de canonieke vergelijkingen schrijven van de rechte lijn a, die door het punt M 1 loodrecht op het gegeven vlak gaat. Om dit te doen, verkrijgen we de coördinaten van de richtingsvector van de rechte lijn a. Aangezien de lijn a loodrecht staat op het gegeven vlak, is de richtingsvector van de lijn a de normaalvector van het vlak . D.w.z, - richtingsvector van rechte lijn a . Nu kunnen we de canonieke vergelijkingen schrijven van een rechte lijn in de ruimte die door het punt gaat en heeft een richtingsvector :
.

Om de vereiste coördinaten van de projectie van een punt op een vlak te verkrijgen, moeten nog de coördinaten van het snijpunt van de lijn worden bepaald en vliegtuig . Om dit te doen, gaan we vanuit de canonieke vergelijkingen van de rechte lijn naar de vergelijkingen van twee elkaar snijdende vlakken, we stellen een systeem van vergelijkingen samen en zijn oplossing vinden. We gebruiken:

Dus de projectie van het punt naar het vliegtuig coördinaten heeft.

Antwoord:

Voorbeeld.

In een rechthoekig coördinatenstelsel Oxyz in driedimensionale ruimte, punten en . Bepaal de coördinaten van de projectie van het punt M 1 op het vlak ABC.

Beslissing.

Laten we eerst de vergelijking schrijven van een vlak dat door drie gegeven punten gaat:

Maar laten we eens kijken naar een alternatieve benadering.

Laten we de parametervergelijkingen van de rechte lijn a nemen, die door het punt gaat en loodrecht op het vlak ABC. De normaalvector van het vlak heeft coördinaten , daarom is de vector is de richtingsvector van de lijn a . Nu kunnen we de parametrische vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte schrijven, aangezien we de coördinaten van een punt op een rechte lijn kennen ( ) en de coördinaten van zijn richtingsvector ( ):

Het blijft om de coördinaten van het snijpunt van de lijn te bepalen en vliegtuigen. Om dit te doen, substitueren we in de vergelijking van het vlak:
.

Nu door parametrische vergelijkingen bereken de waarden van de variabelen x , y en z bij :
.

De projectie van het punt M1 op het vlak ABC heeft dus coördinaten.

Antwoord:

Laten we tot slot bespreken hoe we de coördinaten kunnen vinden van de projectie van een punt op de coördinaatvlakken en vlakken evenwijdig aan de coördinaatvlakken.

puntprojecties naar de coördinatenvlakken Oxy , Oxz en Oyz zijn de punten met coördinaten en overeenkomstig. En de projecties van het punt in het vliegtuig en , die evenwijdig zijn aan respectievelijk de coördinatenvlakken Oxy , Oxz en Oyz, zijn punten met coördinaten en .

Laten we laten zien hoe deze resultaten werden verkregen.

Laten we bijvoorbeeld de projectie van een punt zoeken op het vliegtuig (andere gevallen zijn vergelijkbaar).

Dit vlak is evenwijdig aan het coördinatenvlak Oyz en is de normaalvector ervan. De vector is de richtingsvector van de lijn loodrecht op het Oyz-vlak. Dan hebben de parametervergelijkingen van de rechte die door het punt M 1 loodrecht op het gegeven vlak gaat de vorm .

Zoek de coördinaten van het snijpunt van de lijn en het vlak. Om dit te doen, substitueren we eerst in de gelijkheidsvergelijking: , en de projectie van het punt

Bugrov YaS, Nikolsky SM Hogere wiskunde. Volume One: Elementen van lineaire algebra en analytische meetkunde.

Ilyin VA, Poznyak EG Analytische meetkunde.

Een punt, als wiskundig concept, heeft geen dimensies. Het is duidelijk dat als het object van projectie een nuldimensionaal object is, het zinloos is om over zijn projectie te praten.

Afb.9 Afb.10

In geometrie onder een punt is het raadzaam om een ​​fysiek object te nemen dat lineaire afmetingen heeft. Conventioneel kan een bal met een oneindig kleine straal als een punt worden genomen. Met deze interpretatie van het concept van een punt kunnen we praten over zijn projecties.

Bij het construeren van orthogonale projecties van een punt moet men zich laten leiden door de eerste invariante eigenschap van orthogonale projectie: de orthogonale projectie van een punt is een punt.

De positie van een punt in de ruimte wordt bepaald door drie coördinaten: X, Y, Z, met de afstanden waarop het punt verwijderd is van de projectievlakken. Om deze afstanden te bepalen, volstaat het om de ontmoetingspunten van deze lijnen met de projectievlakken te bepalen en de bijbehorende waarden te meten, die respectievelijk de waarden van de abscis zullen aangeven. X, coördinaten ja en applicaties Z punten (afb. 10).

De projectie van een punt is de basis van de loodlijn die van het punt naar het overeenkomstige projectievlak is gevallen. Horizontale projectie punten a noemen de rechthoekige projectie van een punt op het horizontale vlak van projecties, frontale projectie een /- respectievelijk op het frontale vlak van projecties en profiel een // – op het profielprojectievlak.

direct Aa, Aa / en Aa // worden projecterende lijnen genoemd. Tegelijkertijd, direct Ah, projecterend punt MAAR op het horizontale vlak van projecties, genaamd horizontaal uitstekende lijn, Аa / en Aa //- respectievelijk: frontaal en profiel-uitstekende rechte lijnen.

Twee uitstekende lijnen die door een punt gaan MAAR definieer het vlak, dat wordt genoemd projecteren.

Bij het omzetten van de ruimtelijke indeling, de frontale projectie van het punt een - een / blijft op zijn plaats als behorend tot een vlak dat zijn positie niet verandert onder de beschouwde transformatie. Horizontale projectie - a samen met het horizontale projectievlak zal draaien in de richting van de beweging met de klok mee en zal zich op één loodrecht op de as bevinden X met frontprojectie. Profielprojectie - a // zal samen met het profielvlak roteren en aan het einde van de transformatie de positie innemen die is aangegeven in figuur 10. Tegelijkertijd - a // zal loodrecht op de as staan Z getrokken vanaf het punt a / en zal van de as worden verwijderd Z dezelfde afstand als de horizontale projectie a weg van de as X. Daarom kan de verbinding tussen de horizontale en profielprojecties van een punt worden gemaakt met behulp van twee orthogonale segmenten aa y en een ja // en een conjugerende boog van een cirkel met het middelpunt op het snijpunt van de assen ( O- herkomst). De gemarkeerde verbinding wordt gebruikt om de ontbrekende projectie te vinden (voor twee gegeven). De positie van de profiel (horizontale) projectie volgens de gegeven horizontale (profiel) en frontale projecties kan worden gevonden met behulp van een rechte lijn getrokken onder een hoek van 45° van de oorsprong naar de as ja(deze bissectrice heet een rechte) k is de Monge-constante). De eerste van deze methoden verdient de voorkeur, omdat deze nauwkeuriger is.

Daarom:

1. Punt in de ruimte verwijderd:

vanuit het horizontale vlak H Z,

vanuit het frontale vlak V door de waarde van de gegeven coördinaat ja,

van profielvlak W door de waarde van de coördinaat. x.

2. Twee projecties van een willekeurig punt behoren tot dezelfde loodlijn (één verbindingslijn):

horizontaal en frontaal - loodrecht op de as x,

horizontaal en profiel - loodrecht op de Y-as,

frontaal en profiel - loodrecht op de Z-as.

3. De positie van een punt in de ruimte wordt volledig bepaald door de positie van zijn twee orthogonale projecties. Daarom - uit twee gegeven orthogonale projecties van een punt is het altijd mogelijk om de ontbrekende derde projectie te construeren.

Als een punt drie duidelijke coördinaten heeft, dan heet zo'n punt punt in algemene positie. Als een punt één of twee coördinaten gelijk aan nul heeft, dan heet zo'n punt privé positie punt.

Rijst. 11 Afb. 12

Figuur 11 toont een ruimtelijke tekening van punten met een bepaalde positie, Figuur 12 toont een complexe tekening (diagrammen) van deze punten. Punt MAAR behoort tot het frontale projectievlak, het punt BIJ– horizontaal vlak van projecties, punt Met– profielvlak van projecties en punt D– abscis as ( X).

Hulplijn van verzameltekening

In de tekening getoond in Fig. 4.7, a, projectie-assen worden getekend en de beelden zijn met elkaar verbonden door communicatielijnen. Horizontale en profielprojecties zijn verbonden door communicatielijnen met behulp van bogen gecentreerd op een punt O as kruispunten. In de praktijk wordt echter ook een andere uitvoering van de geïntegreerde tekening gebruikt.

Op asloze tekeningen worden ook afbeeldingen in een projectierelatie geplaatst. Het derde uitsteeksel kan echter dichterbij of verder weg worden geplaatst. Rechts kan bijvoorbeeld een profieluitsteeksel worden geplaatst (afb. 4.7, b, II) of naar links (afb. 4.7, b, ik). Dit is belangrijk om ruimte te besparen en de maatvoering te vereenvoudigen.

Rijst. 4.7.

Als het in een tekening gemaakt volgens een asloos systeem nodig is om communicatielijnen te trekken tussen het bovenaanzicht en het linkeraanzicht, dan wordt een hulplijn van de complexe tekening gebruikt. Hiervoor wordt ongeveer ter hoogte van het bovenaanzicht en iets rechts daarvan een rechte lijn getrokken onder een hoek van 45° met het tekenkader (afb. 4.8, a). Het wordt de hulplijn van de complexe tekening genoemd. De procedure voor het maken van een tekening met behulp van deze rechte lijn wordt getoond in Fig. 4.8, b, c.

Als er al drie views zijn gebouwd (Fig. 4.8, d), kan de positie van de hulplijn niet willekeurig worden gekozen. Eerst moet je het punt vinden waar het doorheen zal gaan. Om dit te doen, volstaat het om door te gaan tot het onderlinge snijpunt van de symmetrie-as van de horizontale en profielprojecties en door het resulterende punt k teken een recht lijnsegment onder een hoek van 45° (Fig. 4.8, d). Als er geen symmetrieassen zijn, ga dan verder tot de kruising op het punt k 1 horizontale en profielprojecties van elk vlak geprojecteerd als een rechte lijn (Fig. 4.8, d).

Rijst. 4.8.

De noodzaak om communicatielijnen te tekenen, en dus een rechte hulplijn, ontstaat bij het construeren van ontbrekende projecties en bij het uitvoeren van tekeningen waarop het nodig is om de projecties van punten te bepalen om de projecties van individuele elementen van het onderdeel te verduidelijken.

Voorbeelden van het gebruik van de hulpregel worden gegeven in de volgende paragraaf.

Projecties van een punt dat op het oppervlak van een object ligt

Om projecties van individuele elementen van een onderdeel correct te kunnen bouwen bij het maken van tekeningen, is het noodzakelijk om projecties van individuele punten op alle tekeningafbeeldingen te kunnen vinden. Het is bijvoorbeeld moeilijk om een ​​horizontale projectie te tekenen van het in Fig. 4.9 zonder gebruik te maken van de projecties van individuele punten ( A, B, C, D, E en etc.). Het vermogen om alle projecties van punten, randen, vlakken te vinden, is ook nodig om in de verbeelding de vorm van een object opnieuw te creëren volgens de platte afbeeldingen in de tekening, en om de juistheid van de voltooide tekening te controleren.

Rijst. 4.9.

Laten we eens kijken naar manieren om de tweede en derde projecties van een punt op het oppervlak van een object te vinden.

Als één projectie van een punt wordt gegeven in de tekening van een object, dan is het eerst nodig om de projecties te vinden van het oppervlak waarop dit punt zich bevindt. Kies vervolgens een van de twee hieronder beschreven methoden om het probleem op te lossen.

eerste manier

Deze methode wordt gebruikt wanneer ten minste één van de projecties het gegeven oppervlak als een lijn toont.

Op afb. 4.10, a een cilinder wordt getoond, op de frontale projectie waarvan de projectie is ingesteld a" punten MAAR, liggend op het zichtbare deel van het oppervlak (gegeven projecties zijn gemarkeerd met dubbele gekleurde cirkels). De horizontale projectie van een punt vinden MAAR, ze redeneren als volgt: het punt ligt op het oppervlak van de cilinder, waarvan de horizontale projectie een cirkel is. Dit betekent dat de projectie van een punt dat op dit oppervlak ligt, ook op de cirkel zal liggen. Teken een communicatielijn en markeer het gewenste punt op het snijpunt met de cirkel a. derde projectie a"

Rijst. 4.10.

Als het punt BIJ, liggend op de bovenste basis van de cilinder, gegeven door zijn horizontale projectie b, vervolgens worden de communicatielijnen naar het snijpunt getrokken met rechte lijnsegmenten die de frontale en profielprojecties van de bovenste basis van de cilinder weergeven.

Op afb. 4.10, b toont het detail - nadruk. Projecties van een punt construeren MAAR, gegeven door de horizontale projectie a, vind twee andere uitsteeksels van het bovenvlak (waarop het punt ligt) MAAR) en, door de verbindingslijnen te trekken naar het snijpunt met de lijnsegmenten die dit gezicht weergeven, bepaal je de gewenste projecties - punten a" en a". Punt BIJ ligt op het linker verticale vlak, wat betekent dat zijn uitsteeksels ook op de uitsteeksels van dit vlak zullen liggen. Dus vanaf een bepaald punt b" teken communicatielijnen (zoals aangegeven door pijlen) totdat ze lijnsegmenten ontmoeten die dit gezicht weergeven. frontale projectie met" punten MET, liggend op een schuin (in de ruimte) gezicht, zijn te vinden op de lijn die dit gezicht weergeeft, en het profiel met"- op het snijpunt van de verbindingslijn, aangezien de profielprojectie van dit vlak geen lijn is, maar een figuur. Constructie van puntprojecties D weergegeven door pijlen.

tweede manier

Deze methode wordt gebruikt wanneer de eerste methode niet kan worden gebruikt. Dan moet je dit doen:

• teken door de gegeven projectie van het punt de projectie van de hulplijn die zich op het gegeven oppervlak bevindt;
• vind de tweede projectie van deze lijn;
• naar de gevonden projectie van de lijn, breng de gegeven projectie van het punt over (dit zal de tweede projectie van het punt bepalen);
• zoek de derde projectie (indien nodig) op het snijpunt van communicatielijnen.

Op afb. 4.10, frontale projectie is gegeven a" punten MAAR, liggend op het zichtbare deel van het oppervlak van de kegel. De horizontale projectie door een punt zoeken a" voer een frontale projectie uit van een rechte hulplijn die door het punt gaat MAAR en de bovenkant van de kegel. Krijgt een punt V is de projectie van het ontmoetingspunt van de getekende lijn met de basis van de kegel. Met frontale projecties van punten die op een rechte lijn liggen, kan men hun horizontale projecties vinden. Horizontale projectie s de bovenkant van de kegel is bekend. Punt b ligt op de omtrek van de basis. Door deze punten wordt een lijnstuk getrokken en er wordt een punt naar overgebracht (zoals aangegeven door de pijl). a", een punt krijgen a. derde projectie a" punten MAAR gelegen op het kruispunt.

Hetzelfde probleem kan anders worden opgelost (Fig. 4.10, G).

Als een hulplijn die door een punt gaat MAAR, ze nemen geen rechte lijn, zoals in het eerste geval, maar een cirkel. Deze cirkel wordt gevormd als in het punt MAAR snijd de kegel met een vlak evenwijdig aan de basis, zoals weergegeven in de visuele weergave. De frontale projectie van deze cirkel zal worden weergegeven als een recht lijnsegment, aangezien het vlak van de cirkel loodrecht staat op het frontale projectievlak. De horizontale projectie van een cirkel heeft een diameter die gelijk is aan de lengte van dit segment. Beschrijf een cirkel met de opgegeven diameter, teken vanuit een punt a" verbindingslijn naar het snijpunt met de hulpcirkel, aangezien de horizontale projectie a punten MAAR ligt op de hulplijn, d.w.z. op de geconstrueerde cirkel. derde projectie als" punten MAAR gevonden op het snijpunt van communicatielijnen.

Op dezelfde manier kun je de projecties vinden van een punt dat op een oppervlak ligt, bijvoorbeeld een piramide. Het verschil is dat wanneer het wordt gekruist door een horizontaal vlak, er geen cirkel wordt gevormd, maar een figuur die lijkt op de basis.

doelen:

• De regels bestuderen voor het construeren van projecties van punten op het oppervlak van een object en het lezen van tekeningen.
• Ontwikkel ruimtelijk denken, het vermogen om de geometrische vorm van een object te analyseren.
• Het cultiveren van bedrijvigheid, het vermogen om samen te werken bij het werken in groepen, interesse in het onderwerp.

TIJDENS DE LESSEN

IK STAGE. MOTIVATIE VAN LEERACTIVITEITEN.

II FASE. VORMING VAN KENNIS, VAARDIGHEDEN EN VAARDIGHEDEN.

GEZONDHEIDSBESPARENDE PAUZE. REFLECTIE (STEMMING)

FASE III. INDIVIDUEEL WERK.

IK STAGE. MOTIVATIE VAN LEERACTIVITEITEN

1) Docent: Check je werkplek, staat alles op zijn plek? Is iedereen klaar om te gaan?

DIEP ADEMDE, HOUD DE ADEM IN, UITGEADEMEND.

Bepaal je stemming aan het begin van de les volgens het schema (zo'n schema ligt voor iedereen op tafel)

IK WENS JE VEEL SUCCES.

2)Docent: Praktijkwerk rond het thema “ Projections of Vertices, Edges, Faces” toonde aan dat er jongens zijn die fouten maken bij het projecteren. Ze raken in de war welke van de twee overeenkomende punten in de tekening het zichtbare hoekpunt is en welk het onzichtbare; wanneer de rand evenwijdig is aan het vlak en wanneer deze loodrecht staat. Hetzelfde met randen.

Om herhaling van fouten te voorkomen, voert u de nodige taken uit met behulp van de advieskaart en corrigeert u fouten in het praktische werk (met de hand). En onthoud tijdens het werken:

“IEDEREEN KAN FOUTEN MAKEN, BLIJF BIJ ZIJN FOUT - ALLEEN DE GEKKE”.

En degenen die het onderwerp goed onder de knie hebben, werken in groepen met creatieve taken (zie. Bijlage 1 ).

II FASE. VORMING VAN KENNIS, VAARDIGHEDEN EN VAARDIGHEDEN

1)Docent: In de productie zijn er veel onderdelen die op een bepaalde manier aan elkaar zijn bevestigd.
Bijvoorbeeld:
De bureaubladafdekking wordt aan de verticale staanders bevestigd. Let goed op aan welke tafel je zit, hoe en waarmee deksel en rekken aan elkaar zijn bevestigd?

Antwoord: Bout.

Docent: Wat is nodig voor een bout?

Antwoord: Gat.

Docent: Echt. En om een ​​gat te maken, moet u de locatie op het product weten. Bij het maken van een tafel kan de timmerman niet elke keer contact opnemen met de klant. Dus, wat is de noodzaak om een ​​timmerman te voorzien?

Antwoord: Tekening.

Docent: Tekening!? Hoe noemen we een tekening?

Antwoord: Een tekening is een afbeelding van een object door rechthoekige projecties in een projectieverbinding. Volgens de tekening kunt u de geometrische vorm en het ontwerp van het product weergeven.

Docent: We hebben rechthoekige projecties gemaakt, en dan? Kunnen we de locatie van de gaten uit één projectie bepalen? Wat moeten we nog meer weten? Wat te leren?

Antwoord: Punten bouwen. Zoek projecties van deze punten in alle weergaven.

Docent: Goed gedaan! Dit is het doel van onze les en het onderwerp: Constructie van projecties van punten op het oppervlak van een object. Schrijf het onderwerp van de les in je schrift.
Jij en ik weten dat elk punt of segment op de afbeelding van een object een projectie is van een hoekpunt, rand, vlak, d.w.z. elke weergave is een afbeelding, niet van één kant (ch. weergave, bovenaanzicht, linkerweergave), maar het hele object.
Om de projecties van individuele punten die op de vlakken liggen correct te vinden, moet je eerst de projecties van dit vlak vinden en vervolgens de verbindingslijnen gebruiken om de projecties van de punten te vinden.

(We kijken naar de tekening op het bord, we werken in een notitieboekje waar thuis 3 projecties van hetzelfde onderdeel worden gemaakt).

- Een notitieboekje geopend met een voltooide tekening (Een uitleg van de constructie van punten op het oppervlak van een object met suggestieve vragen op het bord, en leerlingen noteren dit in een notitieboekje.)

Docent: Overweeg een punt BIJ. Aan welk vlak is het vlak met dit punt evenwijdig?

Antwoord: Het gezicht is evenwijdig aan het frontale vlak.

Docent: We stellen de projectie van een punt in b' in frontale projectie. Trek naar beneden vanaf het punt b' verticale communicatielijn naar de horizontale projectie. Waar zal de horizontale projectie van het punt zijn? BIJ?

Antwoord: Op de kruising met de horizontale projectie van het gezicht dat in de rand werd geprojecteerd. En staat onderaan de projectie (aanzicht).

Docent: Puntprofiel projectie b'' waar zal het zich bevinden? Hoe zullen we het vinden?

Antwoord: Op het snijpunt van de horizontale communicatielijn van b' met een verticale rand aan de rechterkant. Deze rand is de projectie van het gezicht met een punt BIJ.

DEGENEN DIE DE VOLGENDE PROJECTIE VAN HET PUNT WILLEN BOUWEN, WORDEN NAAR HET BESTUUR GEROEPEN.

Docent: Puntprojecties MAAR worden ook gelokaliseerd met behulp van communicatielijnen. Welk vlak is evenwijdig aan de rand met een punt MAAR?

Antwoord: Het vlak is evenwijdig aan het profielvlak. We zetten een punt op de profielprojectie a'' .

Docent: Op welke projectie wordt het gezicht in de rand geprojecteerd?

Antwoord: Aan de voorzijde en horizontaal. Laten we een horizontale verbindingslijn trekken naar het snijpunt met een verticale rand aan de linkerkant op de frontale projectie, we krijgen een punt a' .

Docent: Hoe de projectie van een punt te vinden MAAR op een horizontale projectie? Immers, communicatielijnen vanuit de projectie van punten a' en a'' snijd de projectie van het vlak (rand) op de horizontale projectie aan de linkerkant niet. Wat kan ons helpen?

Antwoord: U kunt een constante rechte lijn gebruiken (deze bepaalt de positie van de weergave aan de linkerkant) van a'' teken een verticale communicatielijn totdat deze een constante rechte lijn kruist. Vanaf het snijpunt wordt een horizontale communicatielijn getrokken, totdat deze een verticale rand aan de linkerkant kruist. (Dit is het gezicht met punt A) en geeft de projectie aan met een punt a .

2) Docent: Iedereen heeft een taakkaart op tafel, met een overtrekpapier eraan vast. Beschouw de tekening, probeer nu zelf, zonder de projecties opnieuw te tekenen, om de gegeven projecties van punten op de tekening te vinden.

– Zoek in het leerboek blz. 76 afb. 93. Test jezelf. Wie correct heeft gepresteerd - score "5" "; één fout - ''4''; twee - ''3''.

(De cijfers worden door de leerlingen zelf bepaald in het zelfcontroleblad).

- Verzamel kaarten om te testen.

3)Groepswerk: Tijd beperkt: 4min. + 2 minuten cheques. (Twee bureaus met studenten worden gecombineerd en binnen de groep wordt een leider geselecteerd).

Voor elke groep zijn de taken verdeeld over 3 niveaus. Studenten kiezen taken per niveau (zoals ze willen). Los problemen op bij de constructie van punten. Bespreek de constructie onder begeleiding van de leider. Vervolgens wordt met behulp van een codoscoop het juiste antwoord op het bord weergegeven. Iedereen controleert of de punten correct worden geprojecteerd. Met hulp van de groepsleider worden cijfers gegeven op opdrachten en in zelfcontrolebladen (zie. Bijlage 2 en Bijlage 3 ).

GEZONDHEIDSBESPARENDE PAUZE. REFLECTIE

"Pharaoh's Pose"- ga op de rand van een stoel zitten, strek je rug, buig je armen bij de ellebogen, kruis je benen en zet je tenen op. Adem in, span alle spieren van het lichaam aan terwijl je de adem inhoudt, adem uit. Doe 2-3 keer. Sluit je ogen goed, naar de sterren, open. Markeer je humeur.

FASE III. PRAKTISCH DEEL. (Individuele taken)

Er zijn taakkaarten om uit te kiezen met verschillende niveaus. Studenten kiezen hun eigen optie. Zoek projecties van punten op het oppervlak van een object. De werken worden ingeleverd en geëvalueerd voor de volgende les. (Cm. Bijlage 4 , Bijlage 5 , Bijlage 6 ).

FASE IV. LAATSTE

1) Huiswerkopdracht. (Instructie). Uitgevoerd door niveaus:

B - begrip, op "3". Oefening 1 afb. 94a blz. 77 - volgens de opdracht in het leerboek: vul de ontbrekende projecties van punten op deze projecties in.

B - applicatie, op "4". Oefening 1 Afb. 94 a, b. voltooi de ontbrekende projecties en markeer de hoekpunten op het visuele beeld in 94a en 94b.

A - analyse, op "5". (Verhoogde moeilijkheidsgraad.) Ex. 4 fig.97 - construeer ontbrekende projecties van punten en wijs ze aan met letters. Er is geen visueel beeld.

2)Reflecterende analyse.

1. Bepaal de stemming aan het einde van de les, markeer deze op het zelfcontroleblad met een willekeurig teken.
2. Wat voor nieuws heb je vandaag geleerd tijdens de les?
3. Welke vorm van werk is voor jou het meest effectief: groep, individueel en zou je willen dat dit in de volgende les herhaald wordt?
4. Verzamel checklists.

3)"verkeerde leraar"

Docent: Je hebt geleerd hoe je projecties van hoekpunten, randen, vlakken en punten op het oppervlak van een object kunt bouwen, volgens alle constructieregels. Maar hier kreeg je een tekening, waar fouten in staan. Probeer nu jezelf als leraar. Vind de fouten zelf, als je alle 8-6 fouten vindt, dan is de score respectievelijk "5"; 5-4 fouten - "4", 3 fouten - "3".

antwoorden:

Beschouw het profielvlak van projecties. Projecties op twee loodrechte vlakken bepalen meestal de positie van de figuur en maken het mogelijk om de werkelijke afmetingen en vorm te achterhalen. Maar er zijn momenten waarop twee projecties niet genoeg zijn. Pas vervolgens de constructie van de derde projectie toe.

Het derde projectievlak is zo uitgevoerd dat het loodrecht op beide projectievlakken tegelijk staat (afb. 15). Het derde vlak heet profiel.

In dergelijke constructies wordt de gemeenschappelijke lijn van de horizontale en frontale vlakken genoemd as X , de gemeenschappelijke lijn van de horizontale en profielvlakken - as Bij , en de gemeenschappelijke rechte lijn van de frontale en profielvlakken - as z . Punt O, die tot alle drie de vlakken behoort, wordt het punt van oorsprong genoemd.

Afbeelding 15a toont het punt MAAR en drie van zijn projecties. Projectie op het profielvlak ( a) worden genoemd profiel projectie en duiden op a.

Om een ​​diagram van punt A te verkrijgen, dat uit drie projecties bestaat een, een a, het is noodzakelijk om het trihedron gevormd door alle vlakken langs de y-as (Fig. 15b) te snijden en al deze vlakken te combineren met het vlak van de frontale projectie. Het horizontale vlak moet om de as worden gedraaid X, en het profielvlak bevindt zich in de buurt van de as z in de richting aangegeven door de pijl in afbeelding 15.

Afbeelding 16 toont de positie van de uitsteeksels een, een en a punten MAAR, verkregen als resultaat van het combineren van alle drie de vlakken met het tekenvlak.

Als gevolg van de snede komt de y-as op twee verschillende plaatsen in het diagram voor. Op een horizontaal vlak (Fig. 16) neemt het een verticale positie in (loodrecht op de as X), en op het profielvlak - horizontaal (loodrecht op de as z).

Afbeelding 16 toont drie projecties een, een en a punten A hebben een strikt gedefinieerde positie op het diagram en zijn onderworpen aan ondubbelzinnige voorwaarden:

a en a moet zich altijd op één verticale rechte lijn loodrecht op de as bevinden X;

a en a moet zich altijd op dezelfde horizontale lijn loodrecht op de as bevinden z;

3) wanneer getekend door een horizontale projectie en een horizontale lijn, maar door een profielprojectie a- een verticale rechte lijn, de geconstrueerde lijnen zullen elkaar noodzakelijkerwijs snijden op de bissectrice van de hoek tussen de projectie-assen, aangezien de figuur Oa Bij a 0 a n is een vierkant.

Bij het construeren van drie projecties van een punt is het noodzakelijk om voor elk punt te controleren of aan alle drie de voorwaarden is voldaan.

Punt coördinaten

De positie van een punt in de ruimte kan worden bepaald met behulp van drie getallen die zijn . worden genoemd coördinaten. Elke coördinaat komt overeen met de afstand van een punt tot een projectievlak.

Punt afstand MAAR naar het profielvlak is de coördinaat X, waarin X = een˝A(Fig. 15), de afstand tot het frontale vlak - door de coördinaat y, en y = aa, en de afstand tot het horizontale vlak is de coördinaat z, waarin z = aA.

In figuur 15 beslaat punt A de breedte van een rechthoekige doos, en de afmetingen van deze doos komen overeen met de coördinaten van dit punt, d.w.z. elk van de coördinaten wordt vier keer weergegeven in figuur 15, d.w.z.:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = а y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

In het diagram (Fig. 16) komen de x- en z-coördinaten drie keer voor:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Alle segmenten die overeenkomen met de coördinaat X(of z) zijn evenwijdig aan elkaar. Coördineren Bij twee keer weergegeven door de verticale as:

y \u003d Oa y \u003d a x a

en tweemaal - horizontaal geplaatst:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Dit verschil is ontstaan ​​doordat de y-as in twee verschillende posities op het diagram staat.

Opgemerkt moet worden dat de positie van elke projectie op het diagram wordt bepaald door slechts twee coördinaten, namelijk:

1) horizontaal - coördinaten X en Bij,

2) frontaal - coördinaten x en z,

3) profiel - coördinaten Bij en z.

Coördinaten gebruiken x, ja en z, kunt u projecties van een punt op het diagram maken.

Als punt A wordt gegeven door coördinaten, wordt hun record als volgt gedefinieerd: A ( X; j; z).

Bij het construeren van puntprojecties MAAR de volgende voorwaarden moeten worden gecontroleerd:

1) horizontale en frontale projecties a en a X X;

2) frontale en profielprojecties a en a moet zich op dezelfde loodrecht op de as bevinden z, omdat ze een gemeenschappelijke coördinaat hebben z;

3) horizontale projectie en ook verwijderd van de as X, zoals de profielprojectie a weg van de as z, aangezien de projecties a′ en a˝ een gemeenschappelijke coördinaat . hebben Bij.

Als het punt in een van de projectievlakken ligt, is een van zijn coördinaten gelijk aan nul.

Wanneer een punt op de projectie-as ligt, zijn de twee coördinaten nul.

Als een punt in de oorsprong ligt, zijn alle drie de coördinaten nul.

Projectie van een rechte lijn

Er zijn twee punten nodig om een ​​lijn te definiëren. Een punt wordt gedefinieerd door twee projecties op de horizontale en frontale vlakken, d.w.z. een rechte lijn wordt bepaald met behulp van de projecties van zijn twee punten op de horizontale en frontale vlakken.

Afbeelding 17 toont projecties ( a en een, b en b) twee punten MAAR en B. Met hun hulp, de positie van een rechte lijn AB. Bij het verbinden van de gelijknamige projecties van deze punten (d.w.z. a en b, a en b) je kunt projecties krijgen ab en ab directe AB.

Figuur 18 toont de projecties van beide punten, en figuur 19 toont de projecties van een rechte lijn die erdoorheen gaat.

Als de projecties van een rechte lijn worden bepaald door de projecties van zijn twee punten, dan worden ze aangegeven met twee aangrenzende Latijnse letters die overeenkomen met de aanduidingen van de projecties van punten op de rechte lijn: met strepen om de frontale projectie van de rechte lijn of zonder lijnen - voor de horizontale projectie.

Als we geen afzonderlijke punten van een rechte lijn beschouwen, maar de projecties als geheel, dan worden deze projecties aangegeven met getallen.

Als een punt Met ligt op een rechte lijn AB, zijn projecties с en с́ liggen op de projecties van dezelfde lijn ab en ab. Figuur 19 illustreert deze situatie.

Rechte sporen

traceer recht- dit is het snijpunt met een vlak of oppervlak (Fig. 20).

Horizontaal spoor recht een punt wordt genoemd H waar de lijn het horizontale vlak raakt, en frontaal- punt V, waarin deze rechte lijn het frontale vlak ontmoet (Fig. 20).

Figuur 21a toont het horizontale spoor van een rechte lijn, en het frontale spoor, in figuur 21b.

Soms wordt ook het profielspoor van een rechte lijn overwogen, W- het snijpunt van een rechte met een profielvlak.

Het horizontale spoor bevindt zich in het horizontale vlak, d.w.z. de horizontale projectie ervan h valt samen met dit spoor, en de frontale h ligt op de x-as. Het frontale spoor ligt in het frontale vlak, dus de frontale projectie ν́ valt ermee samen, en de horizontale v ligt op de x-as.

Dus, H = h, en V= v. Om sporen van een rechte lijn aan te duiden, kunnen daarom letters worden gebruikt h en v.

Verschillende posities van de lijn

De rechte lijn heet directe algemene positie, als het niet evenwijdig of loodrecht staat op een van de projectievlakken. De projecties van een lijn in algemene positie zijn ook niet evenwijdig of loodrecht op de projectie-assen.

Rechte lijnen die evenwijdig zijn aan een van de projectievlakken (loodrecht op een van de assen). Figuur 22 toont een rechte lijn die evenwijdig is aan het horizontale vlak (loodrecht op de z-as), een horizontale rechte lijn is; figuur 23 toont een rechte lijn die evenwijdig is aan het frontale vlak (loodrecht op de as Bij), is de frontale rechte lijn; figuur 24 toont een rechte lijn die evenwijdig is aan het profielvlak (loodrecht op de as X), is een rechte profiellijn. Ondanks het feit dat elk van deze lijnen een rechte hoek vormt met een van de assen, snijden ze deze niet, maar snijden ze er alleen mee.

Vanwege het feit dat de horizontale lijn (Fig. 22) evenwijdig is aan het horizontale vlak, zullen zijn frontale en profielprojecties evenwijdig zijn aan de assen die het horizontale vlak bepalen, d.w.z. de assen X en Bij. daarom projecties ab|| X en a˝b˝|| Bij z. De horizontale projectie ab kan elke positie op de plot innemen.

Bij de frontale lijn (Fig. 23) projectie ab|| x en a˝b˝ || z, d.w.z. ze staan ​​loodrecht op de as Bij, en dus in dit geval de frontale projectie ab de lijn kan elke positie innemen.

Bij de profiellijn (afb. 24) ab|| ja, ab|| z, en beide staan ​​loodrecht op de x-as. Projectie a˝b˝ kan op elke manier op het diagram worden geplaatst.

Als je kijkt naar het vlak dat de horizontale lijn projecteert op het frontale vlak (Fig. 22), kun je zien dat het deze lijn ook op het profielvlak projecteert, d.w.z. het is een vlak dat de lijn projecteert op twee projectievlakken tegelijk - frontaal en profiel. Om deze reden heet het dubbel projecterend vlak. Op dezelfde manier, voor de frontale lijn (Fig. 23), projecteert het dubbel uitstekende vlak het op de vlakken van de horizontale en profielprojecties, en voor het profiel (Fig. 23) - op de vlakken van de horizontale en frontale projecties .

Twee projecties kunnen geen rechte lijn definiëren. Twee projecties 1 en een profiel rechte lijn (Fig. 25) zonder de projecties van twee punten van deze rechte lijn erop te specificeren, zal de positie van deze rechte lijn in de ruimte niet bepalen.

In een vlak dat loodrecht staat op twee gegeven symmetrievlakken, kan er een oneindig aantal lijnen zijn waarvoor de gegevens in het diagram 1 en een zijn hun projecties.

Als een punt op een lijn ligt, dan liggen zijn projecties in alle gevallen op de projecties met dezelfde naam op deze lijn. De omgekeerde situatie geldt niet altijd voor de profiellijn. Op zijn projecties kun je willekeurig de projecties van een bepaald punt aangeven en er niet zeker van zijn dat dit punt op een bepaalde lijn ligt.

In alle drie de speciale gevallen (Fig. 22, 23 en 24) is de positie van de rechte lijn ten opzichte van het projectievlak het willekeurige segment AB, genomen op elk van de rechte lijnen, wordt geprojecteerd op een van de projectievlakken zonder vervorming, dat wil zeggen op het vlak waaraan het evenwijdig is. Lijnstuk AB horizontale rechte lijn (Fig. 22) geeft een levensgrote projectie op een horizontaal vlak ( ab = AB); lijnstuk AB frontale rechte lijn (Fig. 23) - op ware grootte op het vlak van het frontale vlak V ( ab = AB) en het segment AB profiel rechte lijn (Fig. 24) - op ware grootte op het profielvlak W (a˝b˝\u003d AB), d.w.z. het is mogelijk om de werkelijke grootte van het segment op de tekening te meten.

Met andere woorden, met behulp van diagrammen kan men de natuurlijke afmetingen bepalen van de hoeken die de beschouwde lijn vormt met de projectievlakken.

De hoek die een rechte lijn maakt met een horizontaal vlak H, is het gebruikelijk om de letter α aan te duiden, met het frontale vlak - de letter β, met het profielvlak - de letter γ.

Elk van de beschouwde rechte lijnen heeft geen spoor in een vlak evenwijdig daaraan, d.w.z. de horizontale rechte lijn heeft geen horizontaal spoor (Fig. 22), de frontale rechte lijn heeft geen frontaal spoor (Fig. 23) en het profiel rechte lijn heeft geen profielspoor (Fig. 24 ).