Indiase manier van vermenigvuldigen

De meest waardevolle bijdrage aan de schatkamer van wiskundige kennis werd geleverd in India. De hindoes stelden voor hoe we getallen schrijven met tien tekens: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

De basis van deze methode is het idee dat hetzelfde cijfer staat voor eenheden, tientallen, honderden of duizenden, afhankelijk van waar dit cijfer zich bevindt. De ingenomen plaats, bij afwezigheid van cijfers, wordt bepaald door nullen die aan de cijfers zijn toegewezen.

De Indianen dachten goed na. Ze bedachten een heel eenvoudige manier om zich te vermenigvuldigen. Ze voerden vermenigvuldigingen uit, te beginnen met de hoogste volgorde, en schreven stukje bij beetje onvolledige producten net boven het vermenigvuldigtal op. Tegelijkertijd was het senior cijfer van het volledige product direct zichtbaar en bovendien werd het weglaten van een cijfer uitgesloten. Het vermenigvuldigingsteken was nog niet bekend, dus lieten ze een kleine afstand tussen de factoren. Laten we ze bijvoorbeeld vermenigvuldigen op de manier 537 met 6:

Vermenigvuldiging met behulp van de "KLEIN KASTEEL"-methode

Vermenigvuldiging van getallen wordt nu bestudeerd in de eerste klas van de school. Maar in de middeleeuwen beheersten maar heel weinig mensen de kunst van het vermenigvuldigen. Een zeldzame aristocraat kon opscheppen over het kennen van de tafel van vermenigvuldiging, zelfs als hij afstudeerde aan een Europese universiteit.

Gedurende de millennia van de ontwikkeling van de wiskunde zijn er veel manieren uitgevonden om getallen te vermenigvuldigen. De Italiaanse wiskundige Luca Pacioli somt in zijn verhandeling The Sum of Knowledge in Arithmetic, Relations and Proportionality (1494) acht verschillende methoden van vermenigvuldiging op. De eerste heet "Klein Kasteel", en de tweede is niet minder romantisch genaamd "Jaloezie of Lattice Multiplication".

Het voordeel van de vermenigvuldigingsmethode "Klein Kasteel" is dat de cijfers van de hoogste cijfers vanaf het begin worden bepaald, en dit kan belangrijk zijn als u de waarde snel moet schatten.

De cijfers van het bovenste getal, beginnend bij het meest significante cijfer, worden afwisselend vermenigvuldigd met het onderste getal en in een kolom geschreven met de toevoeging van het vereiste aantal nullen. Vervolgens worden de resultaten opgeteld.

In het oude India werden twee methoden van vermenigvuldiging gebruikt: roosters en galeien.
Op het eerste gezicht lijken ze erg ingewikkeld, maar als je de oefeningen stap voor stap volgt, zul je zien dat het vrij eenvoudig is.
We vermenigvuldigen bijvoorbeeld de getallen 6827 en 345:
1. We tekenen een vierkant raster en schrijven een van de getallen boven de kolommen en de tweede in de hoogte. In het voorgestelde voorbeeld kan een van deze roosters worden gebruikt.

2. Nadat we het raster hebben gekozen, vermenigvuldigen we het nummer van elke rij opeenvolgend met het nummer van elke kolom. In dit geval vermenigvuldigen we achtereenvolgens 3 met 6, met 8, met 2 en met 7. Kijk naar dit diagram hoe het product in de corresponderende cel wordt geschreven.

3. Kijk hoe het raster eruitziet met alle gevulde cellen.

4. Tel tot slot de getallen bij elkaar op volgens de diagonale strepen. Als de som van een diagonaal tientallen bevat, dan tellen we deze op bij de volgende diagonaal.

Kijk hoe de resultaten van het optellen van de getallen langs de diagonalen (ze zijn geel gemarkeerd) het getal 2355315 vormen, dat het product is van de getallen 6827 en 345.

Het doel van het werk: Het ontdekken en tonen van ongebruikelijke manieren van vermenigvuldigen Taken: Het vinden van ongebruikelijke manieren van vermenigvuldigen. Leer ze toe te passen. Kies voor jezelf de meest interessante of gemakkelijkere dan die op school worden aangeboden, en gebruik ze bij het tellen. Leer klasgenoten een nieuwe manier van vermenigvuldigen te gebruiken

Methoden: zoekmethode met behulp van wetenschappelijke en educatieve literatuur, evenals het zoeken naar de benodigde informatie op internet; een praktische methode voor het uitvoeren van berekeningen met behulp van niet-standaard telalgoritmen; analyse van de gegevens die tijdens de studie zijn verkregen De relevantie van dit onderwerp ligt in het feit dat het gebruik van niet-standaard methoden bij de vorming van rekenvaardigheden de interesse van studenten voor wiskunde vergroot en bijdraagt ​​aan de ontwikkeling van wiskundige vaardigheden

In de wiskundeles leerden we een ongebruikelijke manier van vermenigvuldigen met een kolom. We vonden het leuk en besloten om andere manieren te leren om natuurlijke getallen te vermenigvuldigen. We vroegen onze klasgenoten of ze andere manieren van tellen kenden? Iedereen sprak alleen over die methoden die op school worden bestudeerd. Het bleek dat al onze vrienden niets van andere methoden weten. In de geschiedenis van de wiskunde zijn ongeveer 30 vermenigvuldigingsmethoden bekend, die verschillen in het registratieschema of in de loop van de berekening. De vermenigvuldigingsmethode "in een kolom", die we op school bestuderen, is een van de manieren. Maar is dit de meest efficiënte manier? Laten we eens kijken! Invoering

Dit is een van de meest gebruikelijke methoden die Russische handelaren al eeuwenlang met succes gebruiken. Het principe van deze methode: vermenigvuldiging op de vingers van eencijferige getallen van 6 tot 9. De vingers dienden hier als een hulpcomputer. Om dit te doen, strekten ze aan de ene kant net zoveel vingers uit als de eerste factor het getal 5 overschrijdt, en aan de andere kant deden ze hetzelfde voor de tweede factor. De rest van de vingers waren gebogen. Vervolgens werd het aantal (totaal) uitgestrekte vingers genomen en vermenigvuldigd met 10, vervolgens werden de getallen vermenigvuldigd om aan te geven hoeveel vingers op de handen waren gebogen, en de resultaten werden opgeteld. Laten we bijvoorbeeld 7 met 8 vermenigvuldigen. In het beschouwde voorbeeld worden 2 en 3 vingers gebogen. Als we het aantal gebogen vingers optellen (2+3=5) en het aantal niet gebogen vingers vermenigvuldigen (23=6), dan krijgen we respectievelijk het aantal tientallen en eenheden van het gewenste product 56. Dus je kunt berekenen het product van alle eencijferige getallen groter dan 5.

De vermenigvuldiging voor het getal 9 is heel gemakkelijk "op de vingers" te reproduceren. Spreid de vingers op beide handen en draai de handpalmen van u af. Wijs mentaal de getallen van 1 tot 10 toe aan de vingers in volgorde, beginnend met de pink van de linkerhand en eindigend met de pink van de rechterhand. Laten we zeggen dat we 9 met 6 willen vermenigvuldigen. We buigen een vinger met een getal dat gelijk is aan het getal waarmee we de negen gaan vermenigvuldigen. In ons voorbeeld moet je de vinger buigen met nummer 6. Het aantal vingers aan de linkerkant van de gebogen vinger toont ons het aantal tientallen in het antwoord, het aantal vingers naar rechts - het aantal enen. Aan de linkerkant hebben we 5 vingers niet gebogen, aan de rechterkant - 4 vingers. Dus 9 6=54.

De vermenigvuldigingsmethode "Klein Kasteel" Het voordeel van de vermenigvuldigingsmethode "Klein Kasteel" is dat de cijfers van de hoogste orde vanaf het begin worden bepaald, wat belangrijk is als u de waarde snel moet schatten. De cijfers van het bovenste getal, beginnend bij het meest significante cijfer, worden afwisselend vermenigvuldigd met het onderste getal en in een kolom geschreven met de toevoeging van het vereiste aantal nullen. Vervolgens worden de resultaten opgeteld.

"Jaloezie" of "roostervermenigvuldiging" Eerst wordt een rechthoek getekend, verdeeld in vierkanten, en de afmetingen van de zijden van de rechthoek komen overeen met het aantal decimalen voor de vermenigvuldiger en vermenigvuldiger. Vervolgens worden de vierkante cellen diagonaal verdeeld, en "... er wordt een beeld verkregen dat eruitziet als tralieluiken-jaloezieën, - schrijft Pacioli. - Dergelijke luiken werden op de ramen van Venetiaanse huizen gehangen ... "

Roostervermenigvuldiging = +1 +2

Boerenmethode Dit is de methode van de grote Russische boeren.De essentie ervan ligt in het feit dat de vermenigvuldiging van een willekeurig getal wordt gereduceerd tot een reeks opeenvolgende delen van een getal doormidden, terwijl een ander getal wordt verdubbeld ……….32 74…… … ……….8 296……….4 592……… ………1 3732=1184

Boerenmanier (oneven getallen) 47 x =1645

Stap 1. eerste nummer 15: Teken het eerste nummer - op één regel. We tekenen de tweede figuur - vijf lijnen. Stap 2. tweede nummer 23: Teken het eerste nummer - twee lijnen. We tekenen de tweede figuur - drie lijnen. Stap 3. Tel het aantal punten in groepen. Stap 4. Het resultaat is 345. Laten we twee getallen van twee cijfers vermenigvuldigen: 15 * 23

Indiase vermenigvuldigingsmethode (kruis) 24 en X 3 2 1)4x2=8 - het laatste cijfer van het resultaat; 2)2x2=4; 4x3=12; 4+12=16 ; 6 - het voorlaatste cijfer van het resultaat, onthoud de eenheid; 3) 2x3=6 en zelfs het getal dat we in gedachten houden, we hebben 7 - dit is het eerste cijfer van het resultaat. We krijgen alle cijfers van het product: 7,6,8. Antwoord: 768.

Indiase vermenigvuldigingsmethode = = = = 3822 De basis van deze methode is het idee dat hetzelfde cijfer staat voor eenheden, tientallen, honderden of duizenden, afhankelijk van de plaats die dit getal inneemt. De ingenomen plaats, bij afwezigheid van cijfers, wordt bepaald door nullen die aan de cijfers zijn toegewezen. we beginnen de vermenigvuldiging van de hoogste orde, en noteren de onvolledige producten net boven de vermenigvuldigtal, beetje bij beetje. In dit geval is het meest significante cijfer van het volledige product direct zichtbaar en bovendien is het weglaten van enig cijfer uitgesloten. Het vermenigvuldigingsteken was nog niet bekend, dus er bleef een kleine afstand tussen de factoren

Basisgetal Vermenigvuldig 18*19 20 (basisgetal) * 2 1 (18-1)*20 = Antwoord: 342 Korte opmerking: 18*19 = 20*17+2 = 342

Nieuwe vermenigvuldigingsmethode X = , 5+2, 5+3, 0+2, 0+3, 5

Conclusie: Nadat we op alle gepresenteerde manieren hadden leren tellen, kwamen we tot de conclusie dat de eenvoudigste methoden die zijn die we op school bestuderen, of misschien zijn we er gewoon aan gewend Van alle beschouwde ongebruikelijke telmethoden, de methode van grafische vermenigvuldiging leek interessanter. We hebben het aan onze klasgenoten laten zien en ook zij vonden het erg leuk. De eenvoudigste methode leek "verdubbelen en verdubbelen", die werd gebruikt door Russische boeren. Na het werken met literatuur en materialen op internet, realiseerden we ons dat we een zeer klein aantal vermenigvuldigingsmethoden hadden overwogen, wat betekent dat veel interessante dingen liggen in het verschiet

Conclusie Door de oude methoden van berekeningen en moderne methoden van snel tellen te beschrijven, hebben we geprobeerd aan te tonen dat men zowel in het verleden als in de toekomst niet zonder wiskunde kan, een wetenschap die door de menselijke geest is gecreëerd. dat deze rekenkundige bewerking moeilijk en complex was vanwege de verscheidenheid aan methoden en hun omslachtige implementatie. De moderne methode van vermenigvuldigen is eenvoudig en voor iedereen toegankelijk. Maar we denken dat onze methode van vermenigvuldigen in een kolom niet perfect is en dat u nog snellere en betrouwbaardere methoden kunt bedenken. Het is mogelijk dat velen de eerste keer niet in staat zullen zijn om snel, onderweg, deze of andere berekeningen Het maakt niet uit. Voortdurende computationele training is nodig. Het zal je helpen om nuttige mentale telvaardigheden te ontwikkelen!

Gebruikte materialen: html Encyclopedie voor kinderen. "Wiskunde". – M.: Avanta +, – 688 d. Encyclopedie “Ik ken de wereld. Wiskunde". - M.: Astrel Ermak, Perelman Ya.I. Snelle rekening. Dertig eenvoudige methoden voor mentaal tellen. L., z.

Terug vooruit

Aandacht! Het diavoorbeeld is alleen voor informatieve doeleinden en geeft mogelijk niet de volledige omvang van de presentatie weer. Als u geïnteresseerd bent in dit werk, download dan de volledige versie.

“Tellen en rekenen zijn de basis van orde in het hoofd.”
Pestalozzi

Doel:

• Maak uzelf vertrouwd met de oude methoden van vermenigvuldigen.
• Vergroot je kennis van verschillende vermenigvuldigingstechnieken.
• Leer bewerkingen met natuurlijke getallen uit te voeren met behulp van de oude vermenigvuldigingsmethoden.

1. De oude manier om met je vingers met 9 te vermenigvuldigen
2. Vermenigvuldiging met de Ferrol-methode.
3. Japanse manier van vermenigvuldigen.
4. Italiaanse manier van vermenigvuldigen (“Raster”)
5. Russische manier van vermenigvuldigen.
6. Indiase manier van vermenigvuldigen.

Lesvoortgang

De relevantie van het gebruik van snelteltechnieken.

In het moderne leven moet elke persoon vaak een enorme hoeveelheid berekeningen en berekeningen uitvoeren. Daarom is het doel van mijn werk om eenvoudige, snelle en nauwkeurige telmethoden te laten zien die je niet alleen zullen helpen bij alle berekeningen, maar die ook een grote verrassing zullen veroorzaken bij je vrienden en kameraden, omdat de gratis uitvoering van telbewerkingen grotendeels de originaliteit kan aangeven van je verstand. Een fundamenteel element van een computercultuur zijn bewuste en sterke computervaardigheden. Het probleem van de vorming van een rekencultuur is relevant voor de hele schoolcursus wiskunde, beginnend bij de lagere klassen, en vereist niet alleen het beheersen van rekenvaardigheden, maar het gebruik ervan in verschillende situaties. Het bezit van computationele vaardigheden en capaciteiten is van groot belang voor de assimilatie van het bestudeerde materiaal, het stelt iemand in staat waardevolle arbeidskwaliteiten te cultiveren: een verantwoordelijke houding ten opzichte van het werk, het vermogen om gemaakte fouten in het werk te detecteren en te corrigeren, nauwkeurige uitvoering van de taak en een creatieve werkhouding. Echter, recentelijk heeft het niveau van computationele vaardigheden, expressietransformaties een uitgesproken neerwaartse trend, studenten maken veel fouten bij het berekenen, ze gebruiken steeds vaker een rekenmachine, denken niet rationeel, wat een negatieve invloed heeft op de kwaliteit van het onderwijs en het niveau van wiskundige kennis van studenten in het algemeen. Een van de componenten van de computercultuur is: verbaal tellen wat van groot belang is. Het vermogen om snel en correct eenvoudige berekeningen "in de geest" te maken, is voor elke persoon noodzakelijk.

Oude manieren om getallen te vermenigvuldigen.

1. De oude manier van vermenigvuldigen met 9 op je vingers

Het is makkelijk. Om een ​​willekeurig getal tussen 1 en 9 met 9 te vermenigvuldigen, kijk naar de handen. Buig de vinger die overeenkomt met het getal dat wordt vermenigvuldigd (bijv. 9 x 3 - buig de derde vinger), tel de vingers tot aan de kromme vinger (in het geval van 9 x 3 - dit is 2), tel dan na de kromme vinger (in ons geval - 7). Het antwoord is 27.

2. Vermenigvuldiging met de Ferrol-methode.

Om de eenheden van het vermenigvuldigingsproduct te vermenigvuldigen, vermenigvuldigt u de eenheden van factoren, om tientallen te krijgen, vermenigvuldigt u de tientallen van één met de eenheden van de andere en vice versa en voegt u de resultaten toe, om honderden te krijgen, vermenigvuldigt u de tientallen. Met behulp van de Ferrol-methode is het eenvoudig om tweecijferige getallen mondeling te vermenigvuldigen van 10 tot 20.

Bijvoorbeeld: 12x14=168

a) 2x4=8, schrijf 8

b) 1x4+2x1=6, schrijf 6

c) 1x1=1, schrijf 1.

3. Japanse vermenigvuldigingsmethode

Deze techniek lijkt op vermenigvuldigen met een kolom, maar duurt behoorlijk lang.

Gebruik van de receptie. Laten we zeggen dat we 13 met 24 moeten vermenigvuldigen. Laten we de volgende afbeelding tekenen:

Deze tekening bestaat uit 10 lijnen (het aantal kan elk zijn)

• Deze regels vertegenwoordigen het getal 24 (2 regels, streepje, 4 regels)
• En deze lijnen vertegenwoordigen het getal 13 (1 regel, inspringing, 3 regels)

(kruispunten in de afbeelding zijn aangegeven met stippen)

Aantal overtochten:

• Linker bovenrand: 2
• Linkeronderrand: 6
• Rechtsboven: 4
• Rechtsonder: 12

1) Kruisingen in de linkerbovenrand (2) - het eerste cijfer van het antwoord

2) De som van de snijpunten van de linker- en rechterbovenrand (6 + 4) - het tweede getal van het antwoord

3) Snijpunten in de rechterbenedenhoek (12) - het derde cijfer van het antwoord.

Het blijkt: 2; 10; 12.

Omdat de laatste twee getallen zijn tweecijferig en we kunnen ze niet opschrijven, dan schrijven we alleen eenheden op en tellen we tientallen op bij de vorige.

4. Italiaanse manier van vermenigvuldigen ("Rooster")

In Italië, maar ook in veel landen van het Oosten, is deze methode erg beroemd geworden.

Receptie gebruik:

Laten we bijvoorbeeld 6827 vermenigvuldigen met 345.

1. We tekenen een vierkant raster en schrijven een van de getallen boven de kolommen en de tweede in de hoogte.

2. Vermenigvuldig het aantal van elke rij opeenvolgend met het aantal van elke kolom.

• 6*3 = 18. Schrijf 1 en 8 . op
• 8*3 = 24. Schrijf 2 en 4 . op

Als vermenigvuldiging een getal van één cijfer oplevert, schrijven we 0 bovenaan en dit getal onderaan.

(Zoals in ons voorbeeld, toen we 2 met 3 vermenigvuldigden, kregen we 6. Bovenaan schreven we 0 en onderaan 6)

3. Vul het hele raster in en tel de getallen op volgens de diagonale strepen. We beginnen van rechts naar links te vouwen. Als de som van een diagonaal tientallen bevat, dan tellen we deze op bij de eenheden van de volgende diagonaal.

Antwoord: 2355315.

5. Russische manier van vermenigvuldigen.

Deze vermenigvuldigingstechniek werd ongeveer 2-4 eeuwen geleden door Russische boeren gebruikt en werd in de oudheid ontwikkeld. De essentie van deze methode is: "Met hoeveel we de eerste factor delen, vermenigvuldigen we de tweede met zoveel." Hier is een voorbeeld: we moeten 32 vermenigvuldigen met 13. Dit is hoe onze voorouders dit voorbeeld 3 zouden hebben opgelost -4 eeuwen geleden:

• 32 * 13 (32 gedeeld door 2 en 13 vermenigvuldigd met 2)
• 16 * 26 (16 gedeeld door 2 en 26 vermenigvuldigd met 2)
• 8 * 52 (enz.)
• 4 * 104
• 2 * 208
• 1 * 416 =416

De tweedeling gaat door totdat het quotiënt 1 is, terwijl parallel een ander getal wordt verdubbeld. Het laatste verdubbelde getal geeft het gewenste resultaat. Het is niet moeilijk te begrijpen waarop deze methode is gebaseerd: het product verandert niet als de ene factor wordt gehalveerd en de andere wordt verdubbeld. Het is dus duidelijk dat door herhaalde herhaling van deze bewerking het gewenste product wordt verkregen

Maar wat te doen als u een oneven getal door de helft moet delen? De populaire manier komt gemakkelijk uit deze moeilijkheid. Het is noodzakelijk, - zegt de regel, - in het geval van een oneven getal, de eenheid weggooien en de rest in twee delen; maar aan de andere kant zal het nodig zijn om bij het laatste nummer van de rechterkolom al die nummers van deze kolom op te tellen die tegen de oneven nummers van de linkerkolom staan: de som zal het gewenste product zijn. In de praktijk gebeurt dit zo dat alle regels met even linkse cijfers worden doorgestreept; alleen die met een oneven getal aan de linkerkant blijven. Hier is een voorbeeld (sterretjes geven aan dat deze regel moet worden doorgestreept):

• 19*17
• 4 *68*
• 2 *136*
• 1 *272

Als we de niet-gekruiste getallen optellen, krijgen we een volledig correct resultaat:

• 17 + 34 + 272 = 323.

Antwoord: 323.

6. Indiase manier van vermenigvuldigen.

Deze methode van vermenigvuldiging werd gebruikt in het oude India.

Om bijvoorbeeld 793 met 92 te vermenigvuldigen, schrijven we een getal als vermenigvuldiger en daaronder een ander als een factor. Om het navigeren te vergemakkelijken, kunt u het raster (A) als referentie gebruiken.

Nu vermenigvuldigen we het linkercijfer van de vermenigvuldiger met elk cijfer van het vermenigvuldigtal, dat wil zeggen 9x7, 9x9 en 9x3. We schrijven de resulterende producten in het raster (B), rekening houdend met de volgende regels:

• Regel 1. De eenheden van het eerste product moeten in dezelfde kolom worden geschreven als de vermenigvuldiger, in dit geval onder 9.
• Regel 2. Het vervolgwerk moet zo worden geschreven dat de eenheden in de kolom direct rechts van het vorige werk worden geplaatst.

Herhaal het hele proces met andere vermenigvuldigingsgetallen, volgens dezelfde regels (C).

Dan voegen we de getallen in de kolommen toe en krijgen het antwoord: 72956.

Zoals u kunt zien, krijgen we een grote lijst met werken. De Indianen, die veel oefening hadden, schreven elk cijfer niet in de corresponderende kolom, maar zo ver mogelijk bovenaan. Daarna telden ze de getallen in de kolommen bij elkaar op en kregen het resultaat.

Conclusie

We zijn het nieuwe millennium ingegaan! Grandioze ontdekkingen en prestaties van de mensheid. We weten veel, we kunnen veel. Het lijkt iets bovennatuurlijks dat men met behulp van getallen en formules de vlucht van een ruimteschip kan berekenen, de 'economische situatie' in het land, het weer voor 'morgen', het geluid van noten in een melodie kan beschrijven. We kennen het gezegde van de oude Griekse wiskundige, filosoof, die leefde in de 4e eeuw voor Christus - Pythagoras - "Alles is een getal!".

Volgens de filosofische visie van deze wetenschapper en zijn volgelingen beheersen getallen niet alleen maat en gewicht, maar ook alle verschijnselen die in de natuur voorkomen, en zijn ze de essentie van harmonie die heerst in de wereld, de ziel van de kosmos.

Door de oude methoden van berekeningen en moderne methoden van snel tellen te beschrijven, probeerde ik aan te tonen dat je zowel in het verleden als in de toekomst niet zonder wiskunde kan, een wetenschap die door de menselijke geest is gecreëerd.

"Wie van kinds af aan met wiskunde bezig is geweest, ontwikkelt aandacht, traint de hersenen, zijn wil, cultiveert doorzettingsvermogen en doorzettingsvermogen om het doel te bereiken."(A.Markushevich)

Literatuur.

1. Encyclopedie voor kinderen. "T.23". Universeel Encyclopedisch Woordenboek \ ed. collegium: M. Aksyonova, E. Zhuravleva, D. Lury en anderen - M .: World of encyclopedias Avanta +, Astrel, 2008. - 688 p.
2. Ozhegov S.I. Woordenboek van de Russische taal: ca. 57000 woorden / red. lid - corr. ANSIR N.Yu. Sjvedova. - 20e druk - M .: Onderwijs, 2000. - 1012 p.
3. Ik wil alles weten! The Great Illustrated Encyclopedia of Intelligence / Per. van Engels. A. Zykova, K. Malkov, O. Ozerova. – M.: Uitgeverij van EKMO, 2006. – 440 p.
4. Sheinina OS, Solovieva G.M. Wiskunde. Klassen van de schoolcirkel 5-6 cellen / O.S. Sheinina, G.M. Solovieva - M .: Uitgeverij van NTsENAS, 2007. - 208 p.
5. Kordemsky BA, Akhadov AA The Amazing World of Numbers: A Book of Students, - M. Education, 1986.
6. Minskykh EM "Van het spel tot kennis", M., "Verlichting", 1982
7. Svechnikov A. A. Getallen, cijfers, taken M., Verlichting, 1977.
8. http://matsievsky.ru nieuwemail. ru/sys-schi/file15.htm
9. http://sch69.narod. nl/mod/1/6506/geschiedenis. html

Onderzoekswerk in wiskunde op de basisschool

Korte samenvatting van het onderzoekswerk
Elke leerling weet meercijferige getallen te vermenigvuldigen met een “kolom”. In dit artikel vestigt de auteur de aandacht op het bestaan ​​van alternatieve vermenigvuldigingsmethoden die beschikbaar zijn voor jongere studenten, die 'vervelende' berekeningen in een leuk spel kunnen veranderen.
Het artikel bespreekt zes niet-traditionele manieren van vermenigvuldiging van meercijferige getallen die in verschillende historische tijdperken werden gebruikt: Russische boer, rooster, klein kasteel, Chinees, Japans, volgens de tabel van V. Okoneshnikov.
Het project is bedoeld om cognitieve interesse te ontwikkelen voor het onderwerp dat wordt bestudeerd, om de kennis op het gebied van wiskunde te verdiepen.
Inhoudsopgave
Inleiding 3
Hoofdstuk 1. Alternatieve manieren van vermenigvuldigen 4
1.1. Een beetje geschiedenis 4
1.2. Russische boerenmanier om 4 . te vermenigvuldigen
1.3. Vermenigvuldigen met de "Klein Kasteel" methode 5
1.4. Vermenigvuldiging van getallen met de methode van "jaloezie" of "roostervermenigvuldiging" 5
1.5. Chinese vermenigvuldigingsmethode 5
1.6. Japanse vermenigvuldigingsmethode 6
1.7. Tabel Okoneshnikov 6
1.8 Vermenigvuldiging met een kolom. 7
Hoofdstuk 2. Praktijkgedeelte 7
2.1. Boerenmanier 7
2.2. Kasteeltje 7
2.3. Vermenigvuldiging van getallen met de methode van "jaloezie" of "roostervermenigvuldiging" 7
2.4. Chinese manier 8
2.5. Japanse manier 8
2.6. Tabel Okoneshnikov 8
2.7. Vragenlijst 8
Conclusie 9
Bijlage 10

"Het onderwerp wiskunde is zo serieus dat het nuttig is om kansen te grijpen om het een beetje vermakelijk te maken."
B. Pascal
Invoering
Het is onmogelijk voor een persoon om te doen zonder berekeningen in het dagelijks leven. Daarom wordt ons in wiskundelessen allereerst geleerd om bewerkingen op getallen uit te voeren, dat wil zeggen tellen. We vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken op de gebruikelijke manieren voor iedereen die op school wordt bestudeerd. De vraag rees: zijn er andere alternatieve manieren van computergebruik? Ik wilde ze nader bestuderen. Om deze vragen te beantwoorden is dit onderzoek uitgevoerd.
Het doel van de studie: het identificeren van niet-traditionele methoden van vermenigvuldiging om de mogelijkheid van hun toepassing te bestuderen.
In overeenstemming met het doel hebben we de volgende taken geformuleerd:
- Vind zoveel mogelijk ongebruikelijke manieren van vermenigvuldigen.
- Leer ze toe te passen.
- Kies voor jezelf de meest interessante of makkelijkere dan die op school worden aangeboden, en gebruik ze bij het tellen.
- Controleer in de praktijk de vermenigvuldiging van meercijferige getallen.
- Een enquête houden onder leerlingen van het vierde leerjaar
Studieobject: verschillende niet-standaard meercijferige vermenigvuldigingsalgoritmen
Onderwerp van onderzoek: wiskundige actie "vermenigvuldiging"
Hypothese: als er standaardmanieren zijn om meercijferige getallen te vermenigvuldigen, zijn er misschien alternatieve manieren.
Relevantie: verspreiding van kennis over alternatieve methoden van vermenigvuldiging.
Praktische betekenis. In de loop van het werk zijn veel voorbeelden opgelost en is er een album gemaakt met voorbeelden met verschillende algoritmen voor het vermenigvuldigen van getallen met meerdere waarden op verschillende alternatieve manieren. Dit kan klasgenoten interesseren om hun wiskundige horizon te verbreden en als het begin van nieuwe experimenten dienen.

Hoofdstuk 1

1.1. Een beetje geschiedenis
De rekenmethoden die we nu gebruiken waren niet altijd zo eenvoudig en handig. Vroeger werden omslachtigere en langzamere methoden gebruikt. En als een moderne schooljongen vijfhonderd jaar terug kon gaan, zou hij iedereen verbazen met de snelheid en nauwkeurigheid van zijn berekeningen. Geruchten over hem zouden zich in de omliggende scholen en kloosters hebben verspreid en de glorie van de meest bekwame balies van die tijd overschaduwen, en mensen zouden van overal komen om bij de nieuwe grote meester te studeren.
Vooral de bewerkingen van vermenigvuldigen en delen waren vroeger moeilijk.
In het boek van V. Bellyustin "How People Gradually Came to True Arithmetic" worden 27 vermenigvuldigingsmethoden geschetst, en de auteur merkt op: "Het is heel goed mogelijk dat er meer methoden verborgen zijn in de nissen van boekbewaarplaatsen, verspreid over talrijke, voornamelijk handgeschreven collecties.” En al deze methoden van vermenigvuldiging concurreerden met elkaar en werden met grote moeite geassimileerd.
Overweeg de meest interessante en eenvoudige manieren van vermenigvuldigen.
1.2. Russische boerenmanier van vermenigvuldiging
In Rusland, 2-3 eeuwen geleden, was onder de boeren van sommige provincies een methode wijdverbreid die geen kennis van de hele tafel van vermenigvuldiging vereiste. Het was alleen nodig om te kunnen vermenigvuldigen en delen door 2. Deze methode werd de boerenmethode genoemd.
Om twee getallen te vermenigvuldigen, werden ze naast elkaar geschreven, en vervolgens werd het linker getal gedeeld door 2 en het rechter getal vermenigvuldigd met 2. Noteer de resultaten in een kolom totdat er links 1 overblijft. De rest wordt weggegooid. We doorstrepen de lijnen waarin aan de linkerkant even getallen staan. De overige nummers in de rechterkolom worden opgeteld.
1.3. Vermenigvuldigen met de "Klein Kasteel"-methode
De Italiaanse wiskundige Luca Pacioli geeft in zijn verhandeling "De som van kennis in rekenkunde, verhoudingen en evenredigheid" (1494) acht verschillende vermenigvuldigingsmethoden. De eerste van hen heet "Klein Kasteel".
Het voordeel van de vermenigvuldigingsmethode "Klein Kasteel" is dat de cijfers van de hoogste cijfers vanaf het begin worden bepaald, en dit kan belangrijk zijn als u de waarde snel moet schatten.
De cijfers van het bovenste getal, beginnend bij het meest significante cijfer, worden afwisselend vermenigvuldigd met het onderste getal en in een kolom geschreven met de toevoeging van het vereiste aantal nullen. Vervolgens worden de resultaten opgeteld.
1.4. Getallen vermenigvuldigen met behulp van de "jaloezie"- of "roostervermenigvuldiging"-methode
De tweede methode van Luca Pacioli wordt "jaloezie" of "roostervermenigvuldiging" genoemd.
Eerst wordt een rechthoek getekend, verdeeld in vierkanten. Vervolgens worden de vierkante cellen diagonaal verdeeld en "... het blijkt een foto te zijn die lijkt op tralieluiken, jaloezieën", schrijft Pacioli. "Dergelijke luiken werden voor de ramen van Venetiaanse huizen gehangen, zodat voorbijgangers de dames en nonnen niet konden zien die voor de ramen zaten."
Door elk cijfer van de eerste factor te vermenigvuldigen met elk cijfer van de tweede, worden de producten in de overeenkomstige cellen geschreven, waarbij tientallen boven de diagonaal en eenheden eronder worden geplaatst. De cijfers van het product worden verkregen door de cijfers in schuine strepen op te tellen. De resultaten van optellingen staan ​​onder de tabel, maar ook rechts ervan.
1.5. Chinese vermenigvuldigingsmethode
Laten we ons nu een vermenigvuldigingsmethode voorstellen, die fel wordt besproken op internet, die Chinees wordt genoemd. Bij het vermenigvuldigen van getallen wordt rekening gehouden met de snijpunten van lijnen, die overeenkomen met het aantal cijfers van elk cijfer van beide factoren.
1.6. Japanse vermenigvuldigingsmethode
De Japanse vermenigvuldigingsmethode is een grafische methode waarbij cirkels en lijnen worden gebruikt. Niet minder grappig en interessant dan Chinees. Zelfs zoiets als hij.
1.7. De tafel van Okoneshnikov
PhD in Filosofie Vasily Okoneshnikov, die ook de uitvinder is van een nieuw systeem van mentaal tellen, gelooft dat schoolkinderen in staat zullen zijn om mondeling miljoenen, miljarden en zelfs sextillions met quadriljoenen op te tellen en te vermenigvuldigen. Volgens de wetenschapper zelf is het negen-decimale systeem in dit opzicht het meest voordelig - alle gegevens worden eenvoudig in negen cellen geplaatst die als knoppen op een rekenmachine zijn gerangschikt.
Volgens de wetenschapper is het, voordat hij een computer "computer" wordt, noodzakelijk om de tabel te onthouden die hij heeft gemaakt.
De tafel is verdeeld in 9 delen. Ze zijn gerangschikt volgens het principe van een minicalculator: links in de benedenhoek "1", rechts in de bovenhoek "9". Elk deel is een vermenigvuldigingstabel met getallen van 1 tot 9 (volgens hetzelfde "drukknop"-systeem). Om een ​​willekeurig getal te vermenigvuldigen, bijvoorbeeld met 8, vinden we een groot vierkant dat overeenkomt met het cijfer 8 en schrijven we vanuit dit vierkant de getallen op die overeenkomen met de cijfers van de meerwaardige vermenigvuldiger. We voegen vooral de resulterende getallen toe: het eerste cijfer blijft ongewijzigd en de rest wordt in paren opgeteld. Het resulterende getal is het resultaat van de vermenigvuldiging.
Als de toevoeging van twee cijfers resulteert in een getal groter dan negen, dan wordt het eerste cijfer toegevoegd aan het vorige cijfer van het resultaat en wordt het tweede op zijn "eigen" plaats geschreven.
De nieuwe methodiek is getest in verschillende Russische scholen en universiteiten. Het ministerie van Onderwijs van de Russische Federatie stond de publicatie toe van een nieuwe tafel van vermenigvuldiging in vierkante notitieboekjes samen met de gebruikelijke Pythagoras-tabel - tot nu toe alleen voor kennis.
1.8. Kolom vermenigvuldiging.
Niet veel mensen weten dat Adam Rize moet worden beschouwd als de auteur van onze gebruikelijke methode om een ​​meercijferig getal te vermenigvuldigen met een meercijferig getal met een kolom (bijlage 7). Dit algoritme wordt als het handigst beschouwd.
Hoofdstuk 2. Praktijkgedeelte
Door de vermelde vermenigvuldigingsmethoden onder de knie te krijgen, werden veel voorbeelden opgelost, een album met voorbeelden van verschillende berekeningsalgoritmen ontworpen. (Bijlage). Laten we eens kijken naar het berekeningsalgoritme met voorbeelden.
2.1. boerenmanier
Vermenigvuldig 47 met 35 (bijlage 1),
-schrijf de getallen op één regel, trek een verticale lijn ertussen;
- het linker getal wordt gedeeld door 2, het rechter getal wordt vermenigvuldigd met 2 (als er tijdens het delen een rest optreedt, dan gooien we de rest weg);
- de verdeling eindigt wanneer een eenheid aan de linkerkant verschijnt;
- doorstreep de regels met even nummers aan de linkerkant;
We voegen de resterende getallen aan de rechterkant toe - dit is het resultaat.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Conclusie. De methode is handig omdat het voldoende is om de tabel slechts bij 2 te kennen. Als u echter met grote getallen werkt, is het erg omslachtig. Handig voor het werken met tweecijferige nummers.
2.2. klein kasteel
(Bijlage 2). Conclusie. De methode lijkt erg op onze moderne "kolom". Bovendien worden meteen de nummers van de hoogste rangen bepaald. Dit is belangrijk als u snel de waarde moet inschatten.
2.3. Getallen vermenigvuldigen met behulp van de "jaloezie"- of "roostervermenigvuldiging"-methode
Laten we bijvoorbeeld de getallen 6827 en 345 vermenigvuldigen (bijlage 3):
1. We tekenen een vierkant raster en schrijven een van de vermenigvuldigers boven de kolommen en de tweede - in hoogte.
2. Vermenigvuldig het aantal van elke rij opeenvolgend met het aantal van elke kolom. We vermenigvuldigen achtereenvolgens 3 met 6, met 8, met 2 en met 7, enz.
4. Tel de getallen op volgens de diagonale strepen. Als de som van een diagonaal tientallen bevat, dan tellen we deze op bij de volgende diagonaal.
Uit de resultaten van het optellen van de getallen langs de diagonalen, wordt het getal 2355315 samengesteld, wat het product is van de getallen 6827 en 345, dat wil zeggen 6827 ∙ 345 = 2355315.
Conclusie. De "roostervermenigvuldiging"-methode is niet slechter dan de conventionele. Het is zelfs nog eenvoudiger, omdat getallen rechtstreeks vanuit de tafel van vermenigvuldiging in de cellen van de tabel worden ingevoerd zonder gelijktijdige optelling, die aanwezig is in de standaardmethode.
2.4. Chinese manier
Stel dat u 12 moet vermenigvuldigen met 321 (bijlage 4). Teken afwisselend lijnen op een vel papier, waarvan het aantal wordt bepaald aan de hand van dit voorbeeld.
We tekenen het eerste getal - 12. Om dit te doen, van boven naar beneden, van links naar rechts, tekenen we:
een groene stok (1)
en twee oranje (2).
We tekenen het tweede nummer - 321, van onder naar boven, van links naar rechts:
drie blauwe stokjes (3);
twee rode (2);
een sering (1).
Nu scheiden we de snijpunten met een eenvoudig potlood en gaan we ze tellen. We gaan van rechts naar links (met de klok mee): 2, 5, 8, 3.
Lees het resultaat van links naar rechts - 3852
Conclusie. Een interessante manier, maar om 9 rechte lijnen te tekenen wanneer ze met 9 worden vermenigvuldigd, is op de een of andere manier lang en oninteressant, en dan de snijpunten tellen. Zonder vaardigheid is het moeilijk om de verdeling van een getal in cijfers te begrijpen. Over het algemeen kun je niet zonder een tafel van vermenigvuldiging!
2.5. Japanse manier
Vermenigvuldig 12 met 34 (bijlage 5). Aangezien de tweede factor een getal van twee cijfers is en het eerste cijfer van de eerste factor 1 is, bouwen we twee enkele cirkels in de bovenste rij en twee binaire cirkels in de onderste rij, aangezien het tweede cijfer van de eerste factor 2 is .
Aangezien het eerste cijfer van de tweede factor 3 is en de tweede 4 is, verdelen we de cirkels van de eerste kolom in drie delen, de tweede kolom in vier delen.
Het aantal delen waarin de cirkels zijn verdeeld, is het antwoord, dat wil zeggen 12 x 34 = 408.
Conclusie. De methode lijkt erg op Chinese grafische. Alleen rechte lijnen worden vervangen door cirkels. Het is makkelijker om de cijfers van een getal te bepalen, maar cirkels tekenen is minder handig.
2.6. De tafel van Okoneshnikov
Het is vereist om 15647 x 5 te vermenigvuldigen. We herinneren ons onmiddellijk de grote "knop" 5 (deze bevindt zich in het midden) en daarop vinden we mentaal kleine knoppen 1, 5, 6, 4, 7 (ze bevinden zich ook, zoals op een rekenmachine). Ze komen overeen met de nummers 05, 25, 30, 20, 35. We voegen de resulterende nummers toe: het eerste cijfer is 0 (blijft ongewijzigd), 5 wordt mentaal opgeteld bij 2, we krijgen 7 - dit is het tweede cijfer van het resultaat , 5 wordt opgeteld bij 3, we krijgen het derde cijfer - 8 , 0+2=2, 0+3=3 en het laatste cijfer van het product blijft - 5. Het resultaat is 78.235.
Conclusie. De methode is erg handig, maar je moet het uit je hoofd leren of altijd een tafel bij de hand hebben.
2.7. Studentenenquête
Er is een enquête gehouden onder de vierdeklassers. 26 personen namen deel (bijlage 8). Op basis van de enquête bleek dat alle respondenten weten hoe ze op de traditionele manier moeten vermenigvuldigen. Maar de meeste jongens weten niets van niet-traditionele methoden van vermenigvuldiging. En er zijn er die hen willen leren kennen.
Na het eerste onderzoek werd een buitenschoolse activiteit "Vermenigvuldigen met passie" gehouden, waarbij de kinderen kennis maakten met alternatieve vermenigvuldigingsalgoritmen. Daarna werd een enquête gehouden om de meest geliefde methoden te identificeren. De onbetwiste leider was de modernste methode van Vasily Okoneshnikov. (Bijlage 9)
Conclusie
Nadat ik op alle gepresenteerde manieren heb leren tellen, geloof ik dat de handigste methode van vermenigvuldigen de "Klein Kasteel" -methode is - omdat deze zo lijkt op onze huidige!
Van alle ongebruikelijke telmethoden die ik vond, leek de "Japanse" methode interessanter. De eenvoudigste methode leek mij de methode van "verdubbelen en splitsen" die door Russische boeren werd gebruikt. Ik gebruik het bij het vermenigvuldigen van niet al te grote getallen. Het is erg handig om het te gebruiken bij het vermenigvuldigen van tweecijferige getallen.
Zo bereikte ik het doel van mijn onderzoek - ik studeerde en leerde hoe ik niet-traditionele manieren om meercijferige getallen te vermenigvuldigen, toe te passen. Mijn hypothese werd bevestigd - ik beheerste zes alternatieve methoden en ontdekte dat dit niet allemaal mogelijke algoritmen zijn.
De onconventionele vermenigvuldigingsmethoden die ik heb bestudeerd zijn erg interessant en hebben bestaansrecht. En in sommige gevallen zijn ze zelfs nog gemakkelijker te gebruiken. Ik denk dat je op school en thuis kunt praten over het bestaan ​​van deze methoden en je vrienden en kennissen kunt verrassen.
Tot nu toe hebben we alleen de reeds bekende vermenigvuldigingsmethoden bestudeerd en geanalyseerd. Maar wie weet kunnen we in de toekomst zelf nieuwe manieren van vermenigvuldigen ontdekken. Ik wil daar ook niet stoppen en doorgaan met het bestuderen van niet-traditionele methoden van vermenigvuldiging.
Lijst met informatiebronnen
1. Lijst met referenties
1.1. Harutyunyan E., Levitas G. Vermakelijke wiskunde. - M.: AST - PERS, 1999. - 368 p.
1.2. Belyustina V. Hoe mensen geleidelijk aan tot echt rekenen kwamen. - LKI, 2012.-208 d.
1.3. Depman I. Verhalen over wiskunde. - Leningrad.: Onderwijs, 1954. - 140 p.
1.4. Likum A. Alles over alles. T. 2. - M .: Filologische Vereniging "Word", 1993. - 512 p.
1.5. Olekhnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. Oude vermakelijke problemen. – M.: Wetenschap. Hoofdeditie van fysische en wiskundige literatuur, 1985. - 160 p.
1.6. Perelman Ya.I. Vermakelijk rekenen. - M.: Rusanova, 1994 - 205s.
1.7. Perelman Ya.I. Snelle rekening. Dertig eenvoudige methoden voor mentaal tellen. L.: Lenizdat, 1941 - 12 p.
1.8. Savin AP Wiskundige miniaturen. Leuke wiskunde voor kinderen. - M.: Kinderliteratuur, 1998 - 175 p.
1.9. Encyclopedie voor kinderen. Wiskunde. - M.: Avanta +, 2003. - 688 d.
1.10. Ik ken de wereld: Children's Encyclopedia: Mathematics / comp. Savin A.P., Stanzo V.V., Kotova A.Yu. - M.: AST Publishing House LLC, 2000. - 480 p.
2. Andere informatiebronnen
Internetbronnen:
2.1. Korneev AA Het fenomeen van de Russische vermenigvuldiging. Verhaal. [Elektronische bron]