Uitdrukkingen, vergelijkingen en stelsels van vergelijkingen
met complexe getallen

Vandaag zullen we in de les typische acties met complexe getallen uitwerken, en ook de techniek beheersen voor het oplossen van uitdrukkingen, vergelijkingen en stelsels van vergelijkingen die deze getallen bevatten. Deze workshop is een vervolg op de les, dus als je niet bekend bent met het onderwerp, volg dan de link hierboven. Welnu, ik stel voor dat meer voorbereide lezers meteen opwarmen:

voorbeeld 1

Uitdrukking vereenvoudigen , indien . Presenteer het resultaat in goniometrische vorm en beeld het af op het complexe vlak.

Beslissing: dus je moet de "vreselijke" breuk vervangen, vereenvoudigingen uitvoeren en het resulterende vertalen complex getal in trigonometrische vorm. Bovendien verdomme.

Wat is de beste manier om een ​​beslissing te nemen? Het is voordeliger om een ​​"fancy" algebraïsche uitdrukking in fasen af ​​te handelen. Ten eerste is de aandacht minder versnipperd en ten tweede, als de taak niet wordt gecrediteerd, zal het veel gemakkelijker zijn om een ​​fout te vinden.

1) Laten we eerst de teller vereenvoudigen. Vervang de waarde erin, open de haakjes en fixeer het kapsel:

... Ja, zo'n Quasimodo van complexe getallen bleek ...

Ik herinner je eraan dat in de loop van transformaties volledig ingenieuze dingen worden gebruikt - de regel van vermenigvuldiging van polynomen en de toch al banale gelijkheid. Het belangrijkste is om voorzichtig te zijn en niet in de war te raken in de borden.

2) Nu is de noemer aan de beurt. Als dan:

Merk op waarin een ongebruikelijke interpretatie wordt gebruikt som kwadraat formule. U kunt ook hier wijzigen subformule . De resultaten komen natuurlijk overeen.

3) En tot slot, de hele uitdrukking. Als dan:

Om van de breuk af te komen, vermenigvuldigen we de teller en noemer met de uitdrukking geconjugeerd aan de noemer. Echter, voor de toepassing van: verschil van vierkanten formules zou voorlopig moeten zijn (en zeker!) zet het negatieve reële deel op de 2e plaats:

En nu de belangrijkste regel:

IN GEEN GEVAL HEBBEN WE GEEN HAAST! Het is beter om op veilig te spelen en een extra stap voor te schrijven.
In uitdrukkingen, vergelijkingen en stelsels met complexe getallen aanmatigende mondelinge berekeningen beladen als altijd!

Er was een mooie samentrekking in de laatste stap en dat is gewoon een geweldig teken.

Opmerking : strikt genomen vond de deling van het complexe getal door het complexe getal 50 hier plaats (herinner je dat ). Ik heb tot nu toe gezwegen over deze nuance en we zullen er later over praten.

Laten we onze prestatie aanduiden met de letter

Laten we het resultaat in trigonometrische vorm weergeven. Over het algemeen kun je hier zonder tekening, maar zodra het nodig is, is het iets rationeler om het nu te voltooien:

Bereken de modulus van een complex getal:

Als je een tekening maakt op schaal 1 eenheid. \u003d 1 cm (2 tetrad-cellen), dan is de resulterende waarde eenvoudig te controleren met een gewone liniaal.

Laten we een argument zoeken. Aangezien het nummer zich in het 2e coördinaatkwartier bevindt, geldt:

De hoek wordt eenvoudig gecontroleerd door een gradenboog. Dit is het onbetwiste pluspunt van de tekening.

Dus: - het gewenste getal in goniometrische vorm.

Laten we het controleren:
, die moest worden geverifieerd.

Het is handig om onbekende waarden van sinus en cosinus te vinden door trigonometrische tafel.

Antwoord:

Een soortgelijk voorbeeld voor een doe-het-zelf oplossing:

Voorbeeld 2

Uitdrukking vereenvoudigen , waar . Teken het resulterende getal op het complexe vlak en schrijf het in exponentiële vorm.

Probeer de tutorials niet over te slaan. Ze lijken misschien eenvoudig, maar zonder training is "in een plas komen" niet alleen gemakkelijk, maar ook heel gemakkelijk. Dus laten we het in handen krijgen.

Vaak biedt het probleem meer dan één oplossing:

Voorbeeld 3

Bereken als,

Beslissing: laten we allereerst letten op de oorspronkelijke toestand - het ene getal wordt gepresenteerd in algebraïsche vorm en het andere in trigonometrische vorm, en zelfs met graden. Laten we het meteen herschrijven in een meer bekende vorm: .

In welke vorm moeten de berekeningen worden uitgevoerd? De uitdrukking , omvat uiteraard de eerste vermenigvuldiging en verder verhogen tot de 10e macht in De Moivre-formule, die is geformuleerd voor de trigonometrische vorm van een complex getal. Het lijkt dus logischer om het eerste getal om te zetten. Zoek de module en het argument:

We gebruiken de vermenigvuldigingsregel van complexe getallen in trigonometrische vorm:
als dan

Als we de breuk correct maken, komen we tot de conclusie dat het mogelijk is om 4 slagen te "draaien" ( blij.):

De tweede manier om op te lossen is om het 2e getal in de algebraïsche vorm te vertalen , voer de vermenigvuldiging uit in algebraïsche vorm, vertaal het resultaat in trigonometrische vorm en gebruik de formule van De Moivre.

Zoals je ziet, één "extra" actie. Wie wil, kan de oplossing tot het einde volgen en ervoor zorgen dat de resultaten overeenkomen.

De voorwaarde zegt niets over de vorm van het resulterende complexe getal, dus:

Antwoord:

Maar "voor schoonheid" of op aanvraag, het resultaat kan gemakkelijk in algebraïsche vorm worden weergegeven:

Op zichzelf:

Voorbeeld 4

Uitdrukking vereenvoudigen

Hier is het nodig om te onthouden acties met bevoegdheden, hoewel er geen enkele bruikbare regel in het trainingshandboek staat, is het hier:.

En nog een belangrijke opmerking: het voorbeeld kan in twee stijlen worden opgelost. De eerste optie is om te werken met twee getallen en opgemaakt met breuken. De tweede optie is om elk getal in de vorm weer te geven quotiënt van twee getallen: en weg met de vier verdiepingen. Formeel gezien maakt het geen verschil hoe te beslissen, maar er is een betekenisvol verschil! Denk goed na:
is een complex getal;
is het quotiënt van twee complexe getallen ( en ), maar afhankelijk van de context kan men dit ook zeggen: een getal weergegeven als een quotiënt van twee complexe getallen.

Korte oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Uitdrukkingen zijn goed, maar vergelijkingen zijn beter:

Vergelijkingen met complexe coëfficiënten

Hoe verschillen ze van "gewone" vergelijkingen? Coëfficiënten =)

Laten we in het licht van de bovenstaande opmerking beginnen met dit voorbeeld:

Voorbeeld 5

los De vergelijking op

En een onmiddellijke inleiding in de achtervolging: oorspronkelijk de rechterkant van de vergelijking is gepositioneerd als een quotiënt van twee complexe getallen ( en 13), en daarom zou het een slechte vorm zijn om de voorwaarde te herschrijven met het nummer (ook al zal het geen fout veroorzaken). Overigens is dit verschil duidelijker te zien in breuken - als, relatief gesproken, , dan wordt deze waarde voornamelijk begrepen als "volledige" complexe wortel van de vergelijking, en niet als deler van het getal , en nog meer - niet als deel van het getal !

Beslissing, in principe kan het ook stap voor stap geregeld worden, maar in dit geval is het spel de kaars niet waard. De eerste taak is om alles te vereenvoudigen dat geen onbekende "Z" bevat, waardoor de vergelijking wordt teruggebracht tot de vorm:

Vereenvoudig met vertrouwen de gemiddelde breuk:

We brengen het resultaat naar de rechterkant en vinden het verschil:

Opmerking : en nogmaals, ik vestig uw aandacht op het zinvolle punt - hier hebben we het getal niet van het getal afgetrokken, maar de breuken opgeteld tot een gemeenschappelijke noemer! Opgemerkt moet worden dat het al in de loop van de oplossing niet verboden is om met getallen te werken: , in het beschouwde voorbeeld is een dergelijke stijl echter meer schadelijk dan nuttig =)

Volgens de verhoudingsregel drukken we "z" uit:

Nu kun je opnieuw delen en vermenigvuldigen met de adjoint-uitdrukking, maar de verdacht vergelijkbare getallen van de teller en noemer suggereren de volgende zet:

Antwoord:

Voor verificatiedoeleinden vervangen we de resulterende waarde in de linkerkant van de oorspronkelijke vergelijking en voeren we vereenvoudigingen uit:

- de rechterkant van de oorspronkelijke vergelijking wordt verkregen, zodat de wortel correct wordt gevonden.

... Nu-nu ... Ik zal iets interessanters voor je kiezen ... wacht even:

Voorbeeld 6

los De vergelijking op

Deze vergelijking reduceert tot de vorm , en is daarom lineair. De hint, denk ik, is duidelijk - ga ervoor!

Natuurlijk ... hoe kun je leven zonder:

Kwadratische vergelijking met complexe coëfficiënten

op de les Complexe getallen voor dummies we hebben geleerd dat een kwadratische vergelijking met reële coëfficiënten geconjugeerde complexe wortels kan hebben, waarna een natuurlijke vraag rijst: waarom kunnen de coëfficiënten zelf eigenlijk niet complex zijn? Ik zal het algemene geval formuleren:

Kwadratische vergelijking met willekeurige complexe coëfficiënten (waarvan 1 of 2 of alle drie kunnen in het bijzonder geldig zijn) Het heeft twee en slechts twee complexe wortels (waarvan mogelijk één of beide geldig zijn). Terwijl de wortels (zowel echt als met een niet-nul imaginair deel) kan samenvallen (meervoudig zijn).

Een kwadratische vergelijking met complexe coëfficiënten wordt op dezelfde manier opgelost als "school" vergelijking, met enkele verschillen in rekentechniek:

Voorbeeld 7

Vind de wortels van een kwadratische vergelijking

Beslissing: de denkbeeldige eenheid staat op de eerste plaats, en in principe kun je er vanaf (beide zijden vermenigvuldigen met ) daar is echter geen bijzondere behoefte aan.

Voor het gemak schrijven we de coëfficiënten:

We verliezen het "min" van het gratis lid niet! ... Het is misschien niet voor iedereen duidelijk - ik zal de vergelijking in standaardvorm herschrijven :

Laten we de discriminant berekenen:

Dit is de belangrijkste hindernis:

Toepassing van de algemene formule voor het extraheren van de wortel (zie de laatste alinea van het artikel) Complexe getallen voor dummies) wordt bemoeilijkt door ernstige problemen in verband met het argument van het radicale complexe getal (kijk zelf maar). Maar er is een andere, "algebraïsche" manier! We zoeken de wortel in de vorm:

Laten we beide zijden vierkant maken:

Twee complexe getallen zijn gelijk als hun reële en imaginaire delen gelijk zijn. Zo krijgen we het volgende systeem:

Het systeem is gemakkelijker op te lossen door te kiezen: (een meer grondige manier is om uit te drukken vanuit de 2e vergelijking - substitueer in de 1e, verkrijg en los de bikwadraatvergelijking op). Ervan uitgaande dat de auteur van het probleem geen monster is, veronderstellen we dat dit gehele getallen zijn. Uit de eerste vergelijking volgt dat "x" modulo meer dan "j". Bovendien vertelt het positieve product ons dat de onbekenden van hetzelfde teken zijn. Op basis van het voorgaande, en met de nadruk op de 2e vergelijking, noteren we alle paren die ermee overeenkomen:

Het is duidelijk dat de laatste twee paren voldoen aan de eerste vergelijking van het systeem, dus:

Een tussentijdse controle kan geen kwaad:

die moest worden gecontroleerd.

Als een "werkende" root kun je kiezen: ieder betekenis. Het is duidelijk dat het beter is om de versie zonder de "nadelen" te nemen:

We vinden de wortels, waarbij we trouwens niet vergeten dat:

Antwoord:

Laten we eens kijken of de gevonden wortels voldoen aan de vergelijking :

1) Vervanger:

juiste gelijkheid.

2) Vervanger:

juiste gelijkheid.

De oplossing wordt dus correct gevonden.

Geïnspireerd door het zojuist besproken probleem:

Voorbeeld 8

Vind de wortels van de vergelijking

Merk op dat de vierkantswortel van puur complex getallen worden perfect geëxtraheerd en gebruiken de algemene formule , waar , dus beide methoden worden in het voorbeeld weergegeven. De tweede nuttige opmerking betreft het feit dat voorlopige extractie van de wortel uit de constante de oplossing helemaal niet vereenvoudigt.

En nu kunt u ontspannen - in dit voorbeeld stapt u met een lichte schrik uit :)

Voorbeeld 9

Los de vergelijking op en controleer

Oplossingen en antwoorden aan het einde van de les.

De laatste alinea van het artikel is gewijd aan:

stelsel vergelijkingen met complexe getallen

We ontspanden ons en... we spannen ons niet in =) Laten we het eenvoudigste geval bekijken: een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden:

Voorbeeld 10

Los het stelsel vergelijkingen op. Presenteer het antwoord in algebraïsche en exponentiële vormen, geef de wortels weer in de tekening.

Beslissing: de voorwaarde zelf suggereert dat het systeem een ​​unieke oplossing heeft, dat wil zeggen dat we twee getallen moeten vinden die voldoen aan aan elk systeem vergelijking.

Het systeem kan echt op een "kinderachtige" manier worden opgelost (druk de ene variabele uit in termen van een andere) , maar het is veel handiger in gebruik formules van Cramer. Berekenen belangrijkste determinant systemen:

, dus het systeem heeft een unieke oplossing.

Ik herhaal dat het beter is om niet te haasten en de stappen zo gedetailleerd mogelijk voor te schrijven:

We vermenigvuldigen de teller en de noemer met een denkbeeldige eenheid en krijgen de 1e wortel:

Op dezelfde manier:

De bijbehorende rechterkant, p.t.p.

Laten we de tekening uitvoeren:

We vertegenwoordigen de wortels in exponentiële vorm. Om dit te doen, moet je hun modules en argumenten vinden:

1) - de boogtangens van de "twee" wordt "slecht" berekend, dus laten we het zo:

Om problemen met complexe getallen op te lossen, moet u de basisdefinities begrijpen. Het belangrijkste doel van dit overzichtsartikel is om uit te leggen wat complexe getallen zijn en om methoden te presenteren voor het oplossen van basisproblemen met complexe getallen. Een complex getal is dus een getal van de vorm z = a + bi, waar een, b- reële getallen, die respectievelijk de reële en imaginaire delen van het complexe getal worden genoemd, en duiden op a = Re(z), b=Im(z).
i heet de denkbeeldige eenheid. ik 2 \u003d -1. In het bijzonder kan elk reëel getal als complex worden beschouwd: a = a + 0i, waarbij a reëel is. Indien een = 0 en b ≠ 0, dan wordt het getal puur denkbeeldig genoemd.

We introduceren nu bewerkingen op complexe getallen.
Overweeg twee complexe getallen z 1 = a 1 + b 1 i en z 2 = a 2 + b 2 i.

Overwegen z = a + bi.

De verzameling complexe getallen breidt de verzameling reële getallen uit, wat op zijn beurt de verzameling rationale getallen uitbreidt, enzovoort. Deze keten van inbeddingen is te zien in de figuur: N - natuurlijke getallen, Z - gehele getallen, Q - rationeel, R - reëel, C - complex.

Weergave van complexe getallen

Algebraïsche notatie.

Overweeg een complex getal z = a + bi, deze vorm van het schrijven van een complex getal heet algebraïsch. We hebben deze vorm van schrijven al uitgebreid besproken in de vorige paragraaf. Gebruik vaak de volgende illustratieve tekening:

trigonometrische vorm.

In de figuur is te zien dat het nummer z = a + bi anders geschreven kan worden. Het is duidelijk dat a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Vandaar z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) wordt het argument van een complex getal genoemd. Deze representatie van een complex getal heet trigonometrische vorm. De trigonometrische vorm van notatie is soms erg handig. Het is bijvoorbeeld handig om het te gebruiken voor het verhogen van een complex getal tot een geheel getal, namelijk als z = rcos(φ) + rsin(φ)i, dan z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, deze formule heet Formule van De Moivre.

Demonstratieve vorm.

Overwegen z = rcos(φ) + rsin(φ)i is een complex getal in trigonometrische vorm, we schrijven het in een andere vorm z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, de laatste gelijkheid volgt uit de Euler-formule, dus we hebben een nieuwe manier om een ​​complex getal te schrijven: z = re iφ, Wat genoemd wordt als demonstratief. Deze vorm van notatie is ook erg handig om een ​​complex getal tot een macht te verheffen: z n = r n e inφ, hier n niet noodzakelijk een geheel getal, maar kan een willekeurig reëel getal zijn. Deze vorm van schrijven wordt vrij vaak gebruikt om problemen op te lossen.

Fundamentele stelling van hogere algebra

Stel je voor dat we een kwadratische vergelijking x 2 + x + 1 = 0 hebben. Het is duidelijk dat de discriminant van deze vergelijking negatief is en geen echte wortels heeft, maar het blijkt dat deze vergelijking twee verschillende complexe wortels heeft. Dus de hoofdstelling van hogere algebra stelt dat elk polynoom van graad n ten minste één complexe wortel heeft. Hieruit volgt dat elke polynoom van graad n precies n complexe wortels heeft, rekening houdend met hun veelvoud. Deze stelling is een zeer belangrijk resultaat in de wiskunde en wordt veel toegepast. Een eenvoudig gevolg van deze stelling is dat er precies n verschillende n-graden eenheidswortels zijn.

Belangrijkste soorten taken

In deze sectie worden de belangrijkste soorten eenvoudige complexe getalproblemen besproken. Conventioneel kunnen problemen met complexe getallen worden onderverdeeld in de volgende categorieën.

• Eenvoudige rekenkundige bewerkingen uitvoeren op complexe getallen.
• De wortels van veeltermen vinden in complexe getallen.
• Complexe getallen tot een macht verheffen.
• Extractie van wortels uit complexe getallen.
• Toepassing van complexe getallen om andere problemen op te lossen.

Overweeg nu de algemene methoden om deze problemen op te lossen.

De eenvoudigste rekenkundige bewerkingen met complexe getallen worden uitgevoerd volgens de regels die in de eerste sectie zijn beschreven, maar als complexe getallen worden gepresenteerd in trigonometrische of exponentiële vormen, kunnen ze in dit geval worden omgezet in algebraïsche vorm en bewerkingen uitvoeren volgens bekende regels.

Het vinden van de wortels van veeltermen komt meestal neer op het vinden van de wortels van een kwadratische vergelijking. Stel dat we een kwadratische vergelijking hebben, als de discriminant niet-negatief is, dan zijn de wortels reëel en worden ze gevonden volgens een bekende formule. Als de discriminant negatief is, dan: D = -1∙a 2, waar a is een bepaald getal, dan kunnen we de discriminant in de vorm weergeven D = (ia) 2, Vandaar √D = i|a|, en dan kun je de al bekende formule gebruiken voor de wortels van de kwadratische vergelijking.

Voorbeeld. Laten we terugkeren naar de bovengenoemde kwadratische vergelijking x 2 + x + 1 = 0.
discriminerend - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Nu kunnen we gemakkelijk de wortels vinden:

Complexe getallen tot een macht verheffen kan op verschillende manieren. Als je een complex getal in algebraïsche vorm wilt verheffen tot een kleine macht (2 of 3), dan kan dat door directe vermenigvuldiging, maar als de graad groter is (bij problemen vaak veel groter), dan moet je schrijf dit getal in trigonometrische of exponentiële vormen en gebruik reeds bekende methoden.

Voorbeeld. Beschouw z = 1 + i en verhoog tot de tiende macht.
We schrijven z in exponentiële vorm: z = √2 e iπ/4 .
Dan z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Laten we terugkeren naar de algebraïsche vorm: z 10 = -32i.

Het extraheren van wortels uit complexe getallen is de inverse bewerking met betrekking tot machtsverheffing, dus het wordt op een vergelijkbare manier gedaan. Om de wortels te extraheren, wordt vaak de exponentiële vorm van het schrijven van een getal gebruikt.

Voorbeeld. Vind alle wortels van graad 3 van eenheid. Om dit te doen, zoeken we alle wortels van de vergelijking z 3 = 1, we zoeken de wortels in exponentiële vorm.
Vervang in de vergelijking: r 3 e 3iφ = 1 of r 3 e 3iφ = e 0 .
Dus: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, dus φ = 2πk/3.
Verschillende wortels worden verkregen bij φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Vandaar dat 1 , e i2π/3 , e i4π/3 wortels zijn.
Of in algebraïsche vorm:

Het laatste type problemen omvat een grote verscheidenheid aan problemen en er zijn geen algemene methoden om ze op te lossen. Hier is een eenvoudig voorbeeld van zo'n taak:

Vind het bedrag sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Hoewel de formulering van dit probleem niet verwijst naar complexe getallen, maar met hun hulp kan het gemakkelijk worden opgelost. Om het op te lossen, worden de volgende representaties gebruikt:


Als we nu deze representatie in de som substitueren, dan wordt het probleem teruggebracht tot de sommatie van de gebruikelijke meetkundige progressie.

Conclusie

Complexe getallen worden veel gebruikt in de wiskunde, dit overzichtsartikel besprak de basisbewerkingen op complexe getallen, beschreef verschillende soorten standaardproblemen en beschreef kort algemene methoden om ze op te lossen. Voor een meer gedetailleerde studie van de mogelijkheden van complexe getallen wordt aanbevolen om gespecialiseerde literatuur gebruiken.

Literatuur

Service voor het online oplossen van vergelijkingen helpt u bij het oplossen van elke vergelijking. Als u onze site gebruikt, krijgt u niet alleen het antwoord op de vergelijking, maar ziet u ook een gedetailleerde oplossing, dat wil zeggen een stapsgewijze weergave van het proces om het resultaat te verkrijgen. Onze service zal nuttig zijn voor middelbare scholieren en hun ouders. Studenten kunnen zich voorbereiden op tests, examens, hun kennis testen en ouders kunnen de oplossing van wiskundige vergelijkingen door hun kinderen beheersen. Het vermogen om vergelijkingen op te lossen is een verplichte vereiste voor studenten. De service helpt u bij het zelfleren en verbeteren van uw kennis op het gebied van wiskundige vergelijkingen. Hiermee kunt u elke vergelijking oplossen: kwadratisch, kubisch, irrationeel, trigonometrisch, enz. Het voordeel van de online service is van onschatbare waarde, omdat u naast het juiste antwoord een gedetailleerde oplossing voor elke vergelijking krijgt. Voordelen van het online oplossen van vergelijkingen. U kunt elke vergelijking online op onze website helemaal gratis oplossen. De service is volledig automatisch, u hoeft niets op uw computer te installeren, u hoeft alleen de gegevens in te voeren en het programma geeft een oplossing. Eventuele rekenfouten of typfouten zijn uitgesloten. Het is heel gemakkelijk om elke vergelijking online bij ons op te lossen, dus zorg ervoor dat u onze site gebruikt om alle soorten vergelijkingen op te lossen. U hoeft alleen de gegevens in te voeren en de berekening is binnen enkele seconden voltooid. Het programma werkt zelfstandig, zonder menselijke tussenkomst, en je krijgt een accuraat en gedetailleerd antwoord. Oplossing van de vergelijking in algemene vorm. In zo'n vergelijking zijn de variabele coëfficiënten en de gewenste wortels met elkaar verbonden. De hoogste macht van een variabele bepaalt de volgorde van een dergelijke vergelijking. Op basis hiervan worden verschillende methoden en stellingen gebruikt om vergelijkingen op te lossen. Het oplossen van dit soort vergelijkingen betekent het vinden van de gewenste wortels in een algemene vorm. Met onze service kunt u zelfs de meest complexe algebraïsche vergelijking online oplossen. U kunt zowel de algemene oplossing van de vergelijking als de privéoplossing krijgen voor de numerieke waarden van de coëfficiënten die u hebt opgegeven. Om een ​​algebraïsche vergelijking op de site op te lossen, volstaat het om slechts twee velden correct in te vullen: het linker- en rechtergedeelte van de gegeven vergelijking. Algebraïsche vergelijkingen met variabele coëfficiënten hebben een oneindig aantal oplossingen, en door bepaalde voorwaarden in te stellen, worden bepaalde uit de reeks oplossingen gekozen. Kwadratische vergelijking. De kwadratische vergelijking heeft de vorm ax^2+bx+c=0 voor a>0. De oplossing van vergelijkingen van een vierkante vorm impliceert het vinden van de waarden van x, waarbij wordt voldaan aan de gelijkheid ax ^ 2 + bx + c \u003d 0. Om dit te doen, wordt de waarde van de discriminant gevonden met de formule D=b^2-4ac. Als de discriminant kleiner is dan nul, dan heeft de vergelijking geen echte wortels (de wortels komen uit het veld van complexe getallen), als het nul is, heeft de vergelijking één echte wortel, en als de discriminant groter is dan nul, dan de vergelijking heeft twee echte wortels, die worden gevonden door de formule: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Om een ​​kwadratische vergelijking online op te lossen, hoeft u alleen maar de coëfficiënten van een dergelijke vergelijking in te voeren (hele getallen, breuken of decimale waarden). Als er aftrektekens in de vergelijking staan, moet u een minteken voor de overeenkomstige termen van de vergelijking plaatsen. U kunt een kwadratische vergelijking ook online oplossen, afhankelijk van de parameter, dat wil zeggen de variabelen in de coëfficiënten van de vergelijking. Onze online service voor het vinden van gemeenschappelijke oplossingen kan deze taak perfect aan. Lineaire vergelijkingen. Om lineaire vergelijkingen (of stelsels van vergelijkingen) op te lossen, worden in de praktijk vier hoofdmethoden gebruikt. Laten we elke methode in detail beschrijven. Vervangingsmethode. Het oplossen van vergelijkingen met behulp van de substitutiemethode vereist het uitdrukken van één variabele in termen van de andere. Daarna wordt de uitdrukking vervangen door andere vergelijkingen van het systeem. Vandaar de naam van de oplossingsmethode, dat wil zeggen, in plaats van een variabele, wordt de uitdrukking ervan door de rest van de variabelen vervangen. In de praktijk vereist de methode complexe berekeningen, hoewel het gemakkelijk te begrijpen is, dus het online oplossen van een dergelijke vergelijking bespaart tijd en maakt berekeningen gemakkelijker. U hoeft alleen het aantal onbekenden in de vergelijking op te geven en de gegevens van lineaire vergelijkingen in te vullen, waarna de service de berekening maakt. Gauss-methode. De methode is gebaseerd op de eenvoudigste transformaties van het systeem om tot een equivalent driehoekig systeem te komen. De onbekenden worden er één voor één uit bepaald. In de praktijk moet je zo'n vergelijking online oplossen met een gedetailleerde beschrijving, waardoor je de Gauss-methode goed leert voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. Noteer het stelsel lineaire vergelijkingen in het juiste formaat en houd rekening met het aantal onbekenden om het stelsel correct op te lossen. Cramers methode. Deze methode lost stelsels van vergelijkingen op in gevallen waarin het systeem een ​​unieke oplossing heeft. De belangrijkste wiskundige bewerking hier is de berekening van matrixdeterminanten. De oplossing van vergelijkingen door de Cramer-methode wordt online uitgevoerd, u krijgt direct het resultaat met een volledige en gedetailleerde beschrijving. Het is voldoende om het systeem met coëfficiënten te vullen en het aantal onbekende variabelen te kiezen. matrix methode. Deze methode bestaat uit het verzamelen van de coëfficiënten van de onbekenden in matrix A, de onbekenden in kolom X en de vrije termen in kolom B. Zo wordt het stelsel lineaire vergelijkingen gereduceerd tot een matrixvergelijking van de vorm AxX=B. Deze vergelijking heeft alleen een unieke oplossing als de determinant van de matrix A niet nul is, anders heeft het systeem geen oplossingen of een oneindig aantal oplossingen. De oplossing van vergelijkingen met de matrixmethode is om de inverse matrix A te vinden.

Het gebruik van vergelijkingen is wijdverbreid in ons leven. Ze worden gebruikt in veel berekeningen, constructie van constructies en zelfs sport. Vergelijkingen worden al sinds de oudheid door de mens gebruikt en sindsdien is het gebruik ervan alleen maar toegenomen. Laten we voor de duidelijkheid het volgende probleem oplossen:

Bereken \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] als \

Laten we allereerst letten op het feit dat het ene getal in algebraïsche vorm wordt weergegeven, het andere in trigonometrische vorm. Het moet worden vereenvoudigd en in de volgende vorm worden gebracht:

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

De uitdrukking \ zegt dat we allereerst vermenigvuldigen en verheffen tot de 10e macht volgens de Moivre-formule. Deze formule is geformuleerd voor de trigonometrische vorm van een complex getal. We krijgen:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Als we ons houden aan de regels voor het vermenigvuldigen van complexe getallen in trigonometrische vorm, zullen we het volgende doen:

In ons geval:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Als we de breuk \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] correct maken, concluderen we dat het mogelijk is om 4 windingen \[(8\pi rad.):\ te "draaien" ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Antwoord: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Deze vergelijking kan op een andere manier worden opgelost, wat neerkomt op het 2e getal in algebraïsche vorm brengen, vervolgens vermenigvuldigen in algebraïsche vorm, het resultaat vertalen in trigonometrische vorm en de Moivre-formule toepassen:

Waar kan ik een stelsel vergelijkingen met complexe getallen online oplossen?

U kunt het stelsel vergelijkingen oplossen op onze website https: // site. Met de gratis online oplosser kunt u binnen enkele seconden een online vergelijking van elke complexiteit oplossen. Het enige dat u hoeft te doen, is uw gegevens in de oplosser in te voeren. Je kunt ook de video-instructie bekijken en leren hoe je de vergelijking oplost op onze website. En als je vragen hebt, kun je ze stellen in onze Vkontakte-groep http://vk.com/pocketteacher. Word lid van onze groep, we zijn altijd blij om je te helpen.