Introduksjon. Bearbeiding av måleresultater i fysisk praksis Målinger og målefeil Analyse av direkte måleresultater

Tilfeldige feil har følgende egenskaper.

Ved et stort antall målinger oppstår feil av samme størrelse, men motsatt i fortegn like ofte.

Det er mindre sannsynlig at store feil oppstår enn små. Fra relasjoner (1), omskrive dem i skjemaet

X \u003d x 1 + x 1

X = x 2 + x 2

X = x n + x n

og ved å legge sammen i en kolonne kan du bestemme den sanne verdien av den målte verdien som følger:

eller
.

(2)

de. den sanne verdien av den målte størrelsen er lik det aritmetiske gjennomsnittet av måleresultatene, hvis det er et uendelig antall av dem. Med et begrenset, og enda mer med et lite antall målinger, som vi vanligvis behandler i praksis, er likhet (2) omtrentlig.

La følgende verdier av målt mengde X oppnås som et resultat av flere målinger: 13.4; 13,2; 13,3; 13,4; 13,3; 13,2; 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13.1. La oss bygge et diagram over fordelingen av disse resultatene, og plotte instrumentavlesningene langs abscisseaksen i stigende rekkefølge. Avstandene mellom tilstøtende punkter langs abscisseaksen er lik to ganger maksimal lesefeil på instrumentet. I vårt tilfelle er nedtellingen gjort opp til 0,1. Dette er lik en divisjon av skalaen markert på x-aksen. På ordinataksen plotter vi verdier proporsjonale med det relative antallet resultater som tilsvarer en bestemt avlesning av enheten. Det relative tallet, eller den relative frekvensen av resultater lik x k, vil bli betegnet med W(x k). I vårt tilfelle

Vi tildeler hver x til

(3)

hvor A er proporsjonalitetskoeffisienten.

Diagrammet, som kalles et histogram, skiller seg fra den vanlige grafen ved at punktene ikke er forbundet med en jevn buet linje, men trinn trekkes gjennom dem. Det er åpenbart at arealet av trinnet over en verdi av x k er proporsjonal med den relative frekvensen av forekomst av dette resultatet. Ved å velge proporsjonalitetskoeffisienten i uttrykk (3) på en hensiktsmessig måte kan dette arealet gjøres lik den relative frekvensen av resultatet x k. Deretter summen av arealene til alle trinnene, som summen av de relative frekvensene av alle resultater, skal være lik én

Herfra finner vi A=10. Tilstand (4) kalles normaliseringsbetingelsen for funksjon (3).

Hvis du gjør en serie målinger med n målinger i hver serie, så med en liten n kan de relative frekvensene med samme verdi x k funnet fra forskjellige serier avvike betydelig fra hverandre. Etter hvert som antall målinger i serien øker, avtar svingningene i verdiene til W(x k) og disse verdiene nærmer seg et visst konstant tall, som kalles sannsynligheten for resultatet x k og er betegnet med P (x k). ).

La oss anta at når vi gjør et eksperiment, teller vi ikke resultatet til hele inndelinger av skalaen eller deres andeler, men vi kan fikse punktet der pilen stoppet. Deretter, for et uendelig stort antall målinger, vil pilen besøke hvert punkt på skalaen. Fordelingen av måleresultater får i dette tilfellet en kontinuerlig karakter og beskrives med en kontinuerlig kurve y=f(x) i stedet for et trinnvis histogram. Basert på egenskapene til tilfeldige feil, kan det konkluderes med at kurven må være symmetrisk, og derfor faller dens maksimum på det aritmetiske gjennomsnittet av måleresultatene, som er lik den sanne verdien av den målte mengden. Ved en kontinuerlig fordeling av måleresultater er det nei

det er fornuftig å snakke om sannsynligheten for noen av verdiene deres, fordi det er verdier som er vilkårlig nær den som vurderes. Nå bør vi allerede ta opp spørsmålet om sannsynligheten for å møte resultatet under målinger i et visst intervall rundt verdien av x k, lik
,
. Akkurat som på histogrammet den relative frekvensen av resultatet x tilsvarer arealet av trinnet bygget over dette resultatet, på grafen for en kontinuerlig fordeling er sannsynligheten for å finne resultatet i intervallet (
,
) er lik arealet til den krumlinjede trapesen konstruert over dette intervallet og avgrenset av kurven f(x). Den matematiske notasjonen til dette resultatet er

hvis
lite, dvs. arealet til den skraverte kurvelinjeformede trapesen erstattes av det omtrentlige arealet til et rektangel med samme base og en høyde lik f(xk). Funksjonen f(x) kalles sannsynlighetstettheten for fordelingen av måleresultater. Sannsynligheten for å finne x i et eller annet intervall er lik sannsynlighetstettheten for det gitte intervallet multiplisert med lengden.

Fordelingskurven for måleresultatene oppnådd eksperimentelt for en viss del av instrumentskalaen, hvis den fortsettes, asymptotisk tilnærmet abscisseaksen fra venstre og høyre, er analytisk godt beskrevet av en funksjon av formen

(5)

Akkurat som det totale arealet av alle trinnene på histogrammet var lik ett, hele området mellom f (x)-kurven og abscisse-aksen, som har betydningen av sannsynligheten for å møte minst en verdi av x i løpet av mål, er også lik en. Fordelingen beskrevet av denne funksjonen kalles normalfordelingen. Hovedparameteren for normalfordelingen er variansen  2 . Den omtrentlige verdien av dispersjonen kan finnes fra måleresultatene ved å bruke formelen

(6)

Denne formelen gir en spredning nær den reelle verdien bare for et stort antall målinger. For eksempel kan σ 2 funnet fra resultatene av 100 målinger ha et avvik fra den faktiske verdien på 15 %, funnet fra 10 målinger allerede 40 %. Variansen bestemmer formen på normalfordelingskurven. Når de tilfeldige feilene er små, er spredningen, som følger av (6), liten. Kurven f(x) er i dette tilfellet smalere og skarpere nær den sanne verdien av X og har en tendens til null raskere når man beveger seg bort fra den enn ved store feil. Følgende figur vil vise hvordan formen til kurven f(x) for en normalfordeling endres avhengig av σ.

I sannsynlighetsteori er det bevist at hvis vi ikke vurderer fordelingen av måleresultater, men fordelingen av aritmetiske middelverdier funnet fra en serie på n målinger i hver serie, så følger den også normalloven, men med en spredning som er n ganger mindre.

Sannsynligheten for å finne måleresultatet i et visst intervall (
) nær den sanne verdien av den målte verdien er lik arealet til den krumlinjede trapesen bygget over dette intervallet og avgrenset ovenfra av kurven f(x). Intervallverdi
vanligvis målt i enheter proporsjonale med kvadratroten av variansen
Avhengig av verdien av k per intervall
det er en krumlinjet trapes av et større eller mindre område, dvs.

hvor F(k) er en funksjon av k. Beregninger viser at for

k=1,

k=2,

k=3,

Dette viser at i intervallet
utgjør omtrent 95 % av arealet under kurven f(x). Dette faktum er i full overensstemmelse med den andre egenskapen til tilfeldige feil, som sier at store feil er usannsynlige. Feil større enn
, oppstår med en sannsynlighet på mindre enn 5 %. Uttrykket (7) omskrevet for fordelingen av det aritmetiske gjennomsnittet av n målinger har formen

(8)

Verdi i (7) og (8) kan bestemmes på grunnlag av måleresultater bare tilnærmet ved formel (6)

Erstatter denne verdien i uttrykk (8), vil vi til høyre ikke få F (k), men en ny funksjon, ikke bare avhengig av størrelsen på det betraktede intervallet med verdier X, men også av antall målinger som er gjort
Og

fordi kun for et svært stort antall målinger blir formel (6) tilstrekkelig nøyaktig.

Etter å ha løst systemet med to ulikheter i parentes på venstre side av dette uttrykket med hensyn til den sanne verdien av X, kan vi omskrive det i formen

Uttrykk (9) bestemmer sannsynligheten for at den sanne verdien av X er i et visst lengdeintervall om verdi . Denne sannsynligheten i feilteorien kalles reliabilitet, og intervallet som tilsvarer den for den sanne verdien kalles konfidensintervallet. Funksjon
beregnet avhengig av t n og n og det er satt sammen en detaljert tabell for det. Tabellen har 2 innganger: pt n og n. Med dens hjelp, for et gitt antall målinger n, er det mulig å finne, gitt en viss verdi av pålitelighet Р, verdien av t n , kalt studentens koeffisient.

En analyse av tabellen viser at for et visst antall målinger med krav om økende pålitelighet får vi voksende verdier på t n , dvs. en økning i konfidensintervallet. En pålitelighet lik én vil tilsvare et konfidensintervall lik uendelig. Gitt en viss pålitelighet, kan vi gjøre konfidensintervallet for den sanne verdien smalere ved å øke antall målinger, siden S n ikke endrer seg mye, og reduseres både ved å redusere telleren og ved å øke nevneren. Etter å ha utført et tilstrekkelig antall eksperimenter, er det mulig å lage et konfidensintervall med en hvilken som helst liten verdi. Men for stor n reduserer en ytterligere økning i antall eksperimenter veldig sakte konfidensintervallet, og mengden beregningsarbeid øker mye. Noen ganger i praktisk arbeid er det praktisk å bruke en omtrentlig regel: for å redusere konfidensintervallet funnet fra et lite antall målinger med flere ganger, er det nødvendig å øke antall målinger med samme faktor.

EKSEMPEL PÅ DIREKTE BEHANDLING AV MÅLERESULTATER

La oss ta som eksperimentelle data de tre første resultatene av 12, i henhold til hvilke histogrammet X ble bygget: 13,4; 13,2; 13.3.

La oss spørre oss selv påliteligheten, som vanligvis aksepteres i det pedagogiske laboratoriet, P = 95%. Fra tabellen for P = 0,95 og n = 3 finner vi t n = 4,3.

eller

med 95 % pålitelighet. Det siste resultatet skrives vanligvis som en likhet

Hvis konfidensintervallet til en slik verdi ikke passer (for eksempel i tilfellet når instrumentfeilen er 0,1), og vi ønsker å halvere det, bør vi doble antall målinger.

Hvis vi for eksempel tar de siste 6 verdiene av de samme 12 resultatene (for de første seks foreslås det å gjøre beregningen selv)

X: 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13.1,

deretter

Verdien av koeffisienten t n er funnet fra tabellen for Р = 0,95 og n = 6; tn = 2,6.

I dette tilfellet
La oss plotte konfidensintervallet for den sanne verdien i det første og andre tilfellet på den numeriske aksen.

Intervallet regnet ut fra 6 målinger er som forventet innenfor intervallet funnet fra tre målinger.

Den instrumentelle feilen introduserer en systematisk feil i resultatene, som utvider konfidensintervallene avbildet på aksen med 0,1. Derfor har resultatene skrevet under hensyntagen til den instrumentelle feilen formen

1)
2)

I det generelle tilfellet er prosedyren for å behandle resultatene av direkte målinger som følger (det antas at det ikke er noen systematiske feil).

Sak 1 Antall målinger er mindre enn fem.

1) I henhold til formel (6) er gjennomsnittsresultatet funnet x, definert som det aritmetiske gjennomsnittet av resultatene av alle målinger, dvs.

2) I henhold til formelen (12) beregnes de absolutte feilene for individuelle målinger

.

3) I henhold til formelen (14) bestemmes den gjennomsnittlige absolutte feilen

.

4) I henhold til formel (15) beregnes gjennomsnittlig relativ feil på måleresultatet

.

5) Registrer det endelige resultatet i følgende skjema:

, kl
.

Tilfelle 2. Antall målinger er over fem.

1) I henhold til formel (6) er gjennomsnittsresultatet funnet

.

2) I henhold til formelen (12) bestemmes de absolutte feilene for individuelle målinger

.

3) I henhold til formelen (7) beregnes gjennomsnittlig kvadratfeil for en enkelt måling

.

4) Beregn standardavviket for gjennomsnittsverdien til den målte verdien ved hjelp av formelen (9).

.

5) Det endelige resultatet registreres i følgende skjema

.

Noen ganger kan tilfeldige målefeil vise seg å være mindre enn verdien som måleapparatet (instrumentet) klarer å registrere. I dette tilfellet, for et hvilket som helst antall målinger, oppnås det samme resultatet. I slike tilfeller, som gjennomsnittlig absolutt feil
ta halve skaladelingen til instrumentet (verktøyet). Denne verdien kalles noen ganger den begrensende eller instrumentelle feilen og betegnes
(for vernier-instrumenter og stoppeklokke
lik nøyaktigheten til instrumentet).

Vurdering av påliteligheten til måleresultater

I ethvert eksperiment er antallet målinger av en fysisk mengde alltid begrenset av en eller annen grunn. Forfall med dette kan være oppgaven med å vurdere påliteligheten til resultatet. Med andre ord, avgjør med hvilken sannsynlighet det kan hevdes at feilen som er gjort i dette tilfellet ikke overstiger den forhåndsbestemte verdien ε. Denne sannsynligheten kalles konfidenssannsynligheten. La oss betegne det med en bokstav.

Et omvendt problem kan også stilles: å bestemme grensene for intervallet
slik at med en gitt sannsynlighet det kan hevdes at den sanne verdien av målingene av mengden vil ikke gå utover det angitte, såkalte konfidensintervallet.

Konfidensintervallet karakteriserer nøyaktigheten av det oppnådde resultatet, og konfidensintervallet karakteriserer dets pålitelighet. Metoder for å løse disse to problemgruppene er tilgjengelige og er utviklet spesielt i detalj for tilfellet når målefeilene er fordelt etter normalloven. Sannsynlighetsteori gir også metoder for å bestemme antall eksperimenter (gjentatte målinger) som gir en gitt nøyaktighet og pålitelighet av det forventede resultatet. I dette arbeidet blir disse metodene ikke vurdert (vi begrenser oss til å nevne dem), siden slike oppgaver vanligvis ikke stilles når man utfører laboratoriearbeid.

Av spesiell interesse er imidlertid tilfellet med å vurdere påliteligheten av resultatet av målinger av fysiske størrelser med et svært lite antall gjentatte målinger. For eksempel,
. Dette er akkurat det tilfellet vi ofte møter i utførelsen av laboratoriearbeid i fysikk. Ved løsning av denne typen problemer anbefales det å bruke metoden basert på Students fordeling (lov).

For praktisk bruk av metoden under vurdering, er det tabeller som du kan bruke til å bestemme konfidensintervallet
tilsvarende et gitt konfidensnivå eller løse det omvendte problemet.

Nedenfor er de delene av de nevnte tabellene som kan være nødvendige ved evaluering av resultater av målinger i laboratorieklasser.

La for eksempel produsert like (under samme forhold) målinger av en fysisk mengde og beregnet gjennomsnittsverdien . Det kreves for å finne konfidensintervallet tilsvarende det gitte konfidensnivået . Problemet løses vanligvis på følgende måte.

I henhold til formelen, ta hensyn til (7), beregne

Deretter for gitte verdier n og finn verdien i henhold til tabellen (tabell 2). . Verdien du leter etter beregnes basert på formelen

(16)

Ved løsning av det inverse problemet beregnes parameteren først ved hjelp av formel (16). Ønsket verdi av konfidenssannsynligheten er hentet fra tabellen (tabell 3) for et gitt tall og beregnet parameter .

Tabell 2. Parameterverdi for et gitt antall eksperimenter

og selvtillitsnivå

Tabell 3 Verdien av konfidenssannsynligheten for et gitt antall eksperimenter n og parameter ε

Hovedbestemmelsene til metodene for å behandle resultatene av direkte målinger med flere observasjoner er definert i GOST 8.207-76.

Ta som måleresultat gjennomsnitt data n observasjoner, hvor systematiske feil er utelukket. Det antas at resultatene av observasjoner etter utelukkelse av systematiske feil fra dem tilhører normalfordelingen. For å beregne resultatet av målingen, er det nødvendig å ekskludere den systematiske feilen fra hver observasjon og som et resultat få det korrigerte resultatet Jeg-te observasjon. Det aritmetiske gjennomsnittet av disse korrigerte resultatene beregnes deretter og tas som måleresultat. Det aritmetiske gjennomsnittet er et konsistent, objektivt og effektivt estimat av en måling under en normalfordeling av observasjonsdata.

Det bør bemerkes at noen ganger i litteraturen, i stedet for begrepet observasjonsresultat begrepet brukes noen ganger enkelt måleresultat, som systematiske feil er utelukket fra. Samtidig forstås den aritmetiske middelverdien som måleresultatet i denne serien med flere målinger. Dette endrer ikke essensen av resultatbehandlingsprosedyrene presentert nedenfor.

Ved statistisk behandling av grupper av observasjonsresultater, bør følgende utføres: operasjoner :

1. Eliminer den kjente systematiske feilen fra hver observasjon og få det korrigerte resultatet av den enkelte observasjonen x.

2. Beregn det aritmetiske gjennomsnittet av de korrigerte observasjonsresultatene, tatt som måleresultatet:

3. Beregn anslaget for standardavviket

observasjonsgrupper:

Sjekk tilgjengelighet grove feil – er det noen verdier som går utover ±3 S. Med en normalfordelingslov med en sannsynlighet praktisk talt lik 1 (0,997), bør ingen av verdiene for denne forskjellen gå utover de angitte grensene. Hvis de er det, bør de tilsvarende verdiene utelukkes fra vurdering, og beregningene og evalueringen bør gjentas igjen. S.

4. Beregn RMS-estimatet for måleresultatet (gjennomsnitt

aritmetikk)

5. Test hypotesen om normalfordelingen av resultatene av observasjoner.

Det finnes ulike omtrentlige metoder for å kontrollere normaliteten til fordelingen av observasjonsresultater. Noen av dem er gitt i GOST 8.207-76. Hvis antallet observasjoner er mindre enn 15, i samsvar med denne GOST, kontrolleres ikke deres tilhørighet til normalfordelingen. Konfidensgrensene for den tilfeldige feilen bestemmes kun dersom det er kjent på forhånd at resultatene av observasjonene tilhører denne fordelingen. Omtrent kan fordelingens art bedømmes ved å konstruere et histogram av resultatene av observasjoner. Matematiske metoder for å kontrollere normaliteten til en fordeling er omtalt i den spesialiserte litteraturen.

6. Beregn konfidensgrensene e for den tilfeldige feilen (tilfeldig komponent av feilen) til måleresultatet

hvor t q- Elevens koeffisient, avhengig av antall observasjoner og konfidensnivå. For eksempel når n= 14, P= 0,95 t q= 2,16. Verdiene til denne koeffisienten er gitt i vedlegget til den angitte standarden.

7. Beregn grensene for den totale ikke-ekskluderte systematiske feilen (TSE) for måleresultatet Q (i henhold til formlene i avsnitt 4.6).

8. Analyser forholdet mellom Q og :

Hvis , blir NSP neglisjert i sammenligning med tilfeldige feil, og feilgrensen for resultatet D=e.. Hvis > 8, kan den tilfeldige feilen neglisjeres og feilgrensen for resultatet D=Θ . Hvis begge ulikhetene ikke er oppfylt, finner man feilmarginen til resultatet ved å konstruere en sammensetning av fordelinger av tilfeldige feil og NSP i henhold til formelen: , hvor Til– koeffisient avhengig av forholdet mellom tilfeldig feil og NSP; S e- vurdering av det totale standardavviket til måleresultatet. Estimatet for det totale standardavviket beregnes med formelen:

.

Koeffisienten K beregnes med den empiriske formelen:

.

Konfidensnivået for beregning og må være det samme.

Feilen fra å bruke den siste formelen for sammensetningen av uniform (for NSP) og normal (for tilfeldig feil) fordelinger når 12 % ved et konfidensnivå på 0,99.

9. Registrer måleresultatet. Det er to alternativer for å skrive måleresultatet, siden det er nødvendig å skille mellom målinger, når oppnåelse av verdien av den målte mengden er det endelige målet, og målinger, hvis resultater vil bli brukt til videre beregninger eller analyser.

I det første tilfellet er det nok å vite den totale feilen til måleresultatet, og med en symmetrisk konfidensfeil presenteres måleresultatene i formen: , hvor

hvor er måleresultatet.

I det andre tilfellet bør egenskapene til komponentene i målefeilen være kjent - estimatet av standardavviket til måleresultatet , grensene til NSP , antall observasjoner som er gjort. I mangel av data om formen for distribusjonsfunksjoner til feilkomponentene i resultatet og behovet for videre behandling av resultatene eller analyse av feil, presenteres måleresultatene i formen:

Hvis grensene til NSP beregnes i samsvar med paragraf 4.6, så indikeres også konfidenssannsynligheten P.

Estimater og deriverte av deres verdi kan uttrykkes både i absolutt form, det vil si i enheter av den målte mengden, og relative, det vil si som forholdet mellom den absolutte verdien av en gitt mengde og måleresultatet. I dette tilfellet bør beregninger i henhold til formlene i denne delen utføres ved å bruke mengder uttrykt bare i absolutt eller relativ form.

Fysikk er en eksperimentell vitenskap, som betyr at fysiske lover etableres og testes ved å samle og sammenligne eksperimentelle data. Målet med det fysiske verkstedet er at studentene skal oppleve de grunnleggende fysiske fenomenene, lære å måle tallverdiene til fysiske mengder korrekt og sammenligne dem med teoretiske formler.

Alle målinger kan deles inn i to typer - rett og indirekte.

På direkte Ved målinger hentes verdien av ønsket mengde direkte fra avlesningene til måleinstrumentet. Så for eksempel måles lengde med en linjal, klokkeslett, osv.

Hvis ønsket fysisk mengde ikke kan måles direkte av enheten, men uttrykkes gjennom de målte mengdene ved hjelp av en formel, kalles slike målinger indirekte.

Måling av enhver mengde gir ikke en absolutt nøyaktig verdi av denne mengden. Hver måling inneholder alltid en eller annen feil (feil). Feilen er forskjellen mellom den målte verdien og den sanne verdien.

Feil er delt inn i systematisk og tilfeldig.

Systematisk kalles feilen som forblir konstant gjennom hele måleserien. Slike feil skyldes ufullkommenhet i måleverktøyet (for eksempel nullforskyvning av enheten) eller målemetoden og kan i prinsippet utelukkes fra sluttresultatet ved å innføre en passende korreksjon.

Systematiske feil omfatter også feil ved måleinstrumenter. Nøyaktigheten til enhver enhet er begrenset og er preget av dens nøyaktighetsklasse, som vanligvis er angitt på måleskalaen.

Tilfeldig kalt feil, som varierer i forskjellige eksperimenter og kan være både positive og negative. Tilfeldige feil skyldes årsaker som avhenger både av måleapparatet (friksjon, hull osv.) og av ytre forhold (vibrasjoner, spenningssvingninger i nettet osv.).

Tilfeldige feil kan ikke utelukkes empirisk, men deres innflytelse på resultatet kan reduseres ved gjentatte målinger.

Beregning av feilen i direkte målinger, gjennomsnittsverdien og gjennomsnittlig absolutt feil.

Anta at vi gjør en serie målinger av X. På grunn av tilstedeværelsen av tilfeldige feil får vi n forskjellige betydninger:

X 1, X 2, X 3 ... X n

Som et måleresultat tas vanligvis gjennomsnittsverdien

Forskjellen mellom gjennomsnitt og resultat Jeg- målingen kalles den absolutte feilen til denne målingen

Som et mål på feilen til middelverdien kan man ta middelverdien av den absolutte feilen til en enkelt måling

(2)

Verdi
kalles aritmetisk gjennomsnitt (eller gjennomsnittlig absolutt) feil.

Deretter skal måleresultatet skrives i skjemaet

(3)

For å karakterisere nøyaktigheten av målinger brukes den relative feilen, som vanligvis uttrykkes i prosent

(4)

I det generelle tilfellet er prosedyren for å behandle resultatene av direkte målinger som følger (det antas at det ikke er noen systematiske feil).

Sak 1 Antall målinger er mindre enn fem.

x, definert som det aritmetiske gjennomsnittet av resultatene av alle målinger, dvs.

2) I henhold til formelen (12) beregnes de absolutte feilene for individuelle målinger

3) I henhold til formelen (14) bestemmes den gjennomsnittlige absolutte feilen

.

4) I henhold til formel (15) beregnes gjennomsnittlig relativ feil på måleresultatet

5) Registrer det endelige resultatet i følgende skjema:

Sak 2. Antall målinger er over fem.

1) I henhold til formel (6) er gjennomsnittsresultatet funnet

2) I henhold til formelen (12) bestemmes de absolutte feilene for individuelle målinger

3) I henhold til formelen (7) beregnes gjennomsnittlig kvadratfeil for en enkelt måling

.

4) Beregn standardavviket for gjennomsnittsverdien til den målte verdien ved hjelp av formelen (9).

5) Det endelige resultatet registreres i følgende skjema

Noen ganger kan tilfeldige målefeil vise seg å være mindre enn verdien som måleapparatet (instrumentet) klarer å registrere. I dette tilfellet, for et hvilket som helst antall målinger, oppnås det samme resultatet. I slike tilfeller tas halve divisjonsverdien til skalaen til enheten (verktøyet) som gjennomsnittlig absolutt feil. Denne verdien kalles noen ganger den begrensende eller instrumentelle feilen og betegnes (for vernier-instrumenter og en stoppeklokke er den lik instrumentets nøyaktighet).

Vurdering av påliteligheten til måleresultater

I ethvert eksperiment er antallet målinger av en fysisk mengde alltid begrenset av en eller annen grunn. I denne forbindelse kan oppgaven settes til å vurdere påliteligheten til resultatet. Med andre ord, avgjør med hvilken sannsynlighet det kan hevdes at feilen som er gjort i dette tilfellet ikke overstiger den forhåndsbestemte verdien ε. Denne sannsynligheten kalles konfidenssannsynligheten. La oss betegne det med en bokstav.

Et omvendt problem kan også settes: å bestemme grensene for intervallet , slik at det med en gitt sannsynlighet kan argumenteres for at den sanne verdien av målingene av mengden ikke vil gå utover det spesifiserte, såkalte konfidensintervallet.

Konfidensintervallet karakteriserer nøyaktigheten av det oppnådde resultatet, og konfidensintervallet karakteriserer dets pålitelighet. Metoder for å løse disse to problemgruppene er tilgjengelige og er utviklet spesielt i detalj for tilfellet når målefeilene er fordelt etter normalloven. Sannsynlighetsteori gir også metoder for å bestemme antall eksperimenter (gjentatte målinger) som gir en gitt nøyaktighet og pålitelighet av det forventede resultatet. I dette arbeidet blir disse metodene ikke vurdert (vi begrenser oss til å nevne dem), siden slike oppgaver vanligvis ikke stilles når man utfører laboratoriearbeid.

Av spesiell interesse er imidlertid tilfellet med å vurdere påliteligheten av resultatet av målinger av fysiske størrelser med et svært lite antall gjentatte målinger. For eksempel, . Dette er akkurat det tilfellet vi ofte møter i utførelsen av laboratoriearbeid i fysikk. Ved løsning av denne typen problemer anbefales det å bruke metoden basert på Students fordeling (lov).

For å lette den praktiske anvendelsen av metoden som vurderes, er det tabeller som du kan bruke til å bestemme konfidensintervallet som tilsvarer en gitt konfidenssannsynlighet eller løse det inverse problemet.

Nedenfor er de delene av de nevnte tabellene som kan være nødvendige ved evaluering av resultater av målinger i laboratorieklasser.

La for eksempel like nøyaktige (under samme forhold) målinger av en viss fysisk mengde gjøres og dens gjennomsnittsverdi beregnes. Det kreves å finne et konfidensintervall som tilsvarer et gitt konfidensnivå. Problemet løses vanligvis på følgende måte.

I henhold til formelen, ta hensyn til (7), beregne

Deretter for gitte verdier n og finn verdien i henhold til tabellen (tabell 2). Verdien du leter etter beregnes basert på formelen

Ved løsning av det inverse problemet beregnes parameteren først ved formel (16). Ønsket verdi av konfidenssannsynligheten er hentet fra tabellen (tabell 3) for et gitt tall og en beregnet parameter .

Tabell 2. Parameterverdi for et gitt antall eksperimenter

og selvtillitsnivå

n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

Tabell 3 Verdien av konfidenssannsynligheten for et gitt antall eksperimenter n og parameter ε

n		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
b	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Bearbeide resultater av indirekte målinger

Svært sjelden reduseres innholdet i et laboratoriearbeid eller et vitenskapelig eksperiment til å oppnå resultatet av en direkte måling. For det meste er ønsket mengde en funksjon av flere andre mengder.

Oppgaven med å behandle eksperimenter med indirekte målinger er å beregne den mest sannsynlige verdien av ønsket verdi og estimere feilen til indirekte målinger basert på resultatene av direkte målinger av visse mengder (argumenter) knyttet til ønsket verdi ved en viss funksjonell avhengighet.

Det er flere måter å håndtere indirekte målinger på. Vurder følgende to metoder.

La noen fysiske mengder bestemmes ved metoden for indirekte målinger.

Resultatene av direkte målinger av argumentene x, y, z er gitt i tabell. 4.

Tabell 4

Erfaringsnummer	x	y	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
n				…

Den første måten å behandle resultatene på er som følger. Ved å bruke den beregnede (17) formelen beregnes ønsket verdi basert på resultatene fra hvert eksperiment

(17)

Den beskrevne metoden for å behandle resultatene er i prinsippet anvendelig i alle tilfeller av indirekte målinger uten unntak. Det er imidlertid mest hensiktsmessig å bruke det når antallet gjentatte målinger av argumentene er lite, og beregningsformelen for den indirekte målte verdien er relativt enkel.

I den andre metoden for å behandle resultatene av eksperimenter, først ved å bruke resultatene av direkte målinger (tabell 4), beregnes først de aritmetiske gjennomsnittsverdiene for hvert av argumentene, så vel som feilene i målingen deres. Erstatter , , ,... inn i beregningsformelen (17), bestem den mest sannsynlige verdien av den målte mengden

(17*)