У завданні №7 профільного рівня ЄДІз математики необхідно продемонструвати знання функції похідної та первісної. Найчастіше досить просто визначення понять і розуміння значень похідної.

Розбір типових варіантів завдань №7 ЄДІ з математики профільного рівня

Перший варіант завдання (демонстраційний варіант 2018)

На малюнку зображено графік функції, що диференціюється y = f(x). На осі абсцис відзначені дев'ять точок: x 1 x 2 … x 9 . Серед цих точок знайдіть усі точки, у яких похідна функції y = f(x) є негативною. У відповіді вкажіть кількість знайдених точок.

Алгоритм рішення:

1. Розглядаємо графік функції.
2. Шукаємо точки, у яких функція зменшується.
3. Підраховуємо їхню кількість.
4. Записуємо відповідь.

Рішення:

1. На графіку функція періодично зростає, періодично зменшується.

2. У тих інтелвалах, де функція зменшується, похідна має від'ємні значення.

3. У цих інтервалах лежать крапки x 3 , x 4 , x 5 , x 9 . Таких точок 4.

Другий варіант завдання (з Ященка, №4)

На малюнку зображено графік функції у = f(x). На осі абсцис зазначені точки -2, -1, 2, 4. У якій із цих точок значення похідної найбільше? У відповіді вкажіть цю точку.

Алгоритм рішення:

1. Розглядаємо графік функції.
2. Розглядаємо поведінку функції у кожній із точок та знак похідної в них.
3. Знаходимо точки у найбільшим значенням похідної.
4. Записуємо відповідь.

Рішення:

1. Функція має кілька проміжків спадання та зростання.

2. Там, де функція зменшується. Похідна має мінус. Такі точки є серед вказаних. Але на графіку є точки, у яких функція зростає. Вони похідна позитивна. Це крапки з абсцисами -2 та 2.

3. Розглянемо графік у точках з х=-2 та х=2. У точці х = 2 функція крутіше йде вгору, отже, дотична в цій точці має більший кутовий коефіцієнт. Отже, у точці з абсцисою 2. Похідна має найбільше значення.

Третій варіант завдання (з Ященка, №21)

Пряма є дотичною до графіка функції . Знайдіть а.

Алгоритм рішення:

1. Прирівняємо рівняння дотичної та функції.
2. Спрощуємо отриману рівність.
3. Знаходимо дискримінант.
4. Визначаємо параметр а, При якому рішення єдине.
5. Записуємо відповідь.

Рішення:

1. Координати точки дотику задовольняють обох рівнянь: дотичної та функції. Тому ми можемо зрівняти рівняння. Отримаємо:

2. Спрощуємо рівність, перенісши всі складові в один бік:

3. У точці дотику має бути одне рішення, тому дискримінант отриманого рівняння має дорівнювати нулю. Така умова єдиності кореня квадратного рівняння.

4. Отримуємо:

На ЄДІ з математики профільного рівня у 2019 р. жодних змін немає – програму іспиту, як і в минулі роки, складено з матеріалів основних математичних дисциплін. У квитках будуть присутні і математичні, і геометричні, і завдання алгебри.

Змін в КІМ ЄДІ 2019 з математики профільного рівня немає.

Особливості завдань ЄДІ з математики-2019

• Здійснюючи підготовку до ЄДІ з математики (профільної), зверніть увагу на основні вимоги екзаменаційної програми. Вона покликана перевірити знання поглибленої програми: векторні та математичні моделі, функції та логарифми, алгебраїчні рівняннята нерівності.
• Окремо потренуйтеся вирішувати завдання з .
• Важливо виявити нестандартність мислення.

Структура іспиту

Завдання ЄДІпрофільної математикирозділені на два блоки.

1. Частина - короткі відповіді, включає 8 завдань, що перевіряють базову математичну підготовку та вміння застосовувати знання з математики у повсякденності.
2. Частина -короткі та розгорнуті відповіді. Складається з 11 завдань, 4 з яких вимагають короткої відповіді, та 7 – розгорнутої з аргументацією виконаних дій.

• Підвищеної складності- Завдання 9-17 другої частини КІМу.
• Високого рівня складності- Завдання 18-19 -. Ця частина екзаменаційних завданьперевіряє не лише рівень математичних знань, а й наявність чи відсутність творчого підходудо вирішення сухих «циферних» завдань, а також ефективність уміння використовувати знання та навички як професійний інструмент.

Важливо!Тому при підготовці до ЄДІ теоріюз математики завжди підкріплюйте рішенням практичних завдань.

Як розподілятимуть бали

Завдання частини першої КІМів з математики близькі до тестам ЄДІ базового рівнятому високого балуна них набрати неможливо.

Бали за кожне завдання з математики профільного рівня розподілилися так:

• за правильні відповіді завдання №1-12 – по 1 балу;
• №13-15 – по 2;
• №16-17 – по 3;
• №18-19 – по 4.

Тривалість іспиту та правила поведінки на ЄДІ

Для виконання екзаменаційної роботи -2019 учневі відведено 3 години 55 хвилин(235 хвилин).

У цей час учень не винен:

• вести себе галасливо;
• використовувати гаджети та інші технічні кошти;
• списувати;
• намагатися допомагати іншим або просити допомоги для себе.

За подібні дії того, хто екзаменується, можуть видворити з аудиторії.

на державний іспитпо математиці дозволено приноситиіз собою лише лінійку, решту матеріалів видадуть безпосередньо перед ЄДІ. видаються дома.

Ефективна підготовка- це рішення онлайн тестівз математики 2019. Вибирай та отримуй максимальний бал!

Вчитеся помічати граматичні помилки. Якщо ви навчитеся впевнено розпізнавати їх у завданні, то не втратите бали у творі. (Критерій 9 – «Дотримання мовних норм».) Крім того, завдання, за яке ви можете отримати 5 балів, потребує особливого відношення!

Завдання 7 ЄДІ з російської мови

Формулювання завдання:Встановіть відповідність між граматичними помилками та пропозиціями, в яких вони допущені: до кожної позиції першого стовпця підберіть відповідну позицію другого стовпця.

Граматичні помилки

пропозиції

А) порушення у побудові пропозиції з причетним оборотомБ) помилка у побудові складної пропозиції В) порушення у побудові пропозиції з неузгодженим додатком Г) порушення зв'язку між підлягаючим і присудком Д) порушення видо-часової співвіднесеності дієслівних форм

1) І.С. Тургенєв піддає Базарова найскладнішого випробування – «випробування любов'ю» – і цим розкрив справжню сутність свого героя.2) Усі, хто побував у Криму, повіз із собою після розставання з ним яскраві враженняпро море, гори, південні трави і квіти. 3) В основі твору «Повісті про справжню людину» лежать реальні події, що відбулися з Олексієм Маресьєвим 4) С. Міхалков стверджував, що світ купецького Замоскворіччя можна побачити на сцені Малого театру завдяки чудовій грі акторів. 5) У 1885 році В.Д. Поленов експонував на пересувній виставці дев'яносто сім етюдів, які привезли з поїздки на Схід. 6) Теорія красномовства всім пологів поетичних творівнаписана А.І. Галичем, який викладав російську та латинську словесність у Царськосельському ліцеї. 7) У пейзажі І. Машкова «Вигляд Москви» є відчуття дзвінкої барвисті міської вулиці. 8) Щасливі ті, хто після довгої дорогиз її холодом та сльотою бачить знайомий будинок і чує голоси рідних людей. 9) Читаючи класичну літературу, Зауважуєш, що наскільки по-різному «град Петров» зображений у творах А.С. Пушкіна, Н.В. Гоголя, Ф.М. Достоєвського.

Запишіть у таблиці вибрані цифри під відповідними літерами.

Як виконувати таке завдання?Доцільніше розпочинати з лівої частини. Назване синтаксичне явище (причетний оборот, що підлягають і присудок тощо) знаходите в реченнях праворуч і перевіряєте, чи немає граматичної помилки. Починайте з тих, що легше знайти та визначити.

Розберемо типові граматичні помилки у такому порядку, в якому їх слід перевіряти на іспиті.

Неузгоджений додаток

Неузгоджена програма – це назва книги, журналу, фільму, картини і т. д., укладена в лапки.

У реченні змінюється за відмінками родовеслово, а неузгоджений додатокстоїть у початковій форміі не змінюється: в романі"Війна і мир"; картинуЛевітана «Золота осінь», на станціїметро "Тверська".

Якщо родового слова в реченні немає, змінюється за відмінками сама програма: герої «Війни та миру»; дивлюся на « Золота осінь» Левітана, зустрінемося на «Тверській».

Граматична помилка : у романі «Війні та світі»; на картині "Золотої осені", на станції метро "Тверський".

У завданні така помилка зустрілася у реченні 3.

Пряме і непряме мовлення.

Пропозиція з непрямою мовоює складнопідрядною пропозицією. Порівняйте:

Провідник сказав: "Я принесу вам чай" - Провідник сказав, що він принесе нам чай.Граматична помилка: Провідник сказав, що я принесу вам чай.(Особистий займенник має змінитися.)

Пасажир запитав: "Я можу відкрити вікно" - Пасажир запитав, чи може він відкрити вікно.Граматична помилка : Пасажир запитав, чи може він відкрити вікно(У пропозиції чи є у ролі союзу, союз ЩО неприпустимий у реченні.)

Дієприкметниковий зворот

Знаходимо пропозиції з причетним оборотом, дивимося, чи помилок у його побудові.

1. Всередину причетного оборотунеспроможна потрапити обумовлене (головне) слово, може стояти до чи після нього. Граматична помилка: що прийшли глядачіна зустріч із режисером.Правильно: глядачі, що прийшли на зустріч з режисеромабо глядачі, які прийшли на зустріч із режисером.

2. Причастя має узгоджуватися в роді, числі і відмінку з головним словом, яке визначається за змістом та з питання: жителі гір (які?), налякані ураганомабо жителі гір(яких?), зарослих ялинами.Граматична помилка: жителі гір, наляканих ураганомабо жителі гір, заросли ялинами.

Зверніть увагу: одна з подій, що сталася минулого літа(узгоджуємо причастя зі словом ОДНЕ – мова йдепро одну подію). Згадується низка подій, що сталися минулого літа (задаємо питання від ПОДІЙ «яких?»).

3. У причастя є час ( учень, який запам'ятовує правило), минулий час ( учень, який запам'ятав правило), але немає майбутнього часу ( учень, який запам'ятовує правило- граматична помилка).

У завданні така помилка зустрілася у реченні 5.

Дієприслівниковий зворот

Запам'ятайте: Дієприслівник називає додаткову дію, а дієслово-присудок - основне Дієприслівник і дієслово-присудок повинні відноситися до однієї дійової особи!

Знаходимо в реченні підлягає і перевіряємо, чи виконує вона дію, названу дієприслівником. Йдучи на перший бал, у Наташі Ростової виникло природне хвилювання. Розмірковуємо: хвилювання виникло - Наташа Ростова йшла- Різні діючі лиця. Правильний варіант: Йдучи на перший бал, Наталя Ростова відчувала природне хвилювання.

У конкретно-особистому реченні легко відновити підлягає: Я, МИ, ТИ, ВИ: Складаючи пропозицію, враховуйте(ви) граматичне значенняслова. Розмірковуємо: ви враховуєте іви складаєте- Помилки немає.

Дієслово-присудок може бути виражений інфінітивом: Складаючи речення, треба враховувати граматичне значення слова.

Розмірковуємо: Прочитавши пропозицію, мені здається, що помилок немає.МЕНІ не може бути підлеглим, тому що стоїть не в початковій формі. Дана пропозиція з граматичною помилкою.

Граматичний зв'язок між підлеглим та присудком.

Помилка може ховатися в складнопідрядних пропозиціях, побудованих за моделлю «ТІ, ХТО…», «КОЖНИЙ, ХТО…», «ВСЕ, ХТО…», «НІХТО З ТИХ, ХТО…», «Багато З ТИХ, ХТО…», « ОДИН З ТИХ, ХТО…». В кожному простою пропозицієюу складі складнопідрядного буде своє підлягає, треба перевірити, чи узгоджуються вони зі своїми присудками. ХТО, КОЖНИЙ, НІХТО, ОДИН, поєднуються з присудками в однині; ТІ, ВСІ, БАГАТЬОВІ поєднуються зі своїми присудками у множині.

Аналізуємо пропозицію: Ніхто з тих, хто побував там улітку, не був розчарований.НІХТО НЕ БУЛИ – граматична помилка. Хто побував - помилки немає. Ті, хто не прийшли на відкриття виставки, про це пошкодували.ТІ ПОШКАЛИ – помилки немає. ХТО НЕ ПРИШЛИ – граматична помилка.

У завданні така помилка зустрілася у реченні 2.

Порушення видовременної співвіднесеності дієслівних форм.

Зверніть особливу увагуна дієслова-присудки: неправильне вживання часу дієслова веде до плутанини в послідовності дій. Я працюю неуважно, із зупинками, а в результаті зробив багато безглуздих помилок.Виправимо помилку: Я працюю неуважно, із зупинками, а в результаті роблю багато безглуздих помилок.(Обидва дієслова не досконалого виглядустоять зараз.) Я працював неуважно, із зупинками, а в результаті зробив багато безглуздих помилок.(Обидва дієслова стоять у минулому часі, перший дієслово - недосконалого виду - свідчить про процес, другий – досконалого образу – свідчить про результат.)

У завданні така помилка зустрілася у реченні 1: Тургенєв піддає та розкрив...

Однорідні члени речення

Граматичні помилки у пропозиціях із спілкою І.

1. спілка Іне може пов'язувати один із членів речення з цілою пропозицією. Я не люблю хворіти і коли отримую двійку. Москва місто, який був батьківщиною Пушкіната докладно описаний ним. Коли Онєгін повернувся до Петербургаі зустрівши Тетяну, він не впізнав її. Слухали лекцію про значення спорту та чому їм потрібно займатися. (Виправимо помилку: Слухали лекцію про значення спорту та користь спортивних занять. Або: Слухали лекцію про те, яке значення має спорті чому їм потрібно займатися .)
2. спілка Іне може пов'язувати однорідні члени, виражені повною і короткою формоюприкметників та дієприкметників: Він високий і худорлявий. Вона розумна та красива.
3. спілка Іне може пов'язувати інфінітив і іменник: Я люблю прати, готувати та читати книги. (Правильно: Я люблю прати, готувати та читати книги.)
4. Важко розпізнати помилку в такій синтаксичної конструкції: Декабристи любили та захоплювалися російським народом.У цій пропозиції доповнення НАРОДОМ відноситься до обох присудків, але граматично пов'язане тільки з одним з них: ВИКРАДЖУВАЛИСЯ (КИМ?) НАРОДОМ. Від дієслова ЛЮБИЛИ ставимо запитання КОГО? Обов'язково ставте питання від кожного дієслова-присудка до доповнення. Ось типові помилки: батьки піклуються та люблять дітей; я розумію і співчуваю тобі; він вивчив та користувався правилом; я люблю і пишаюся сином.Виправлення такої помилки вимагає введення різних доповнень, кожне узгоджуватиметься зі своїм дієсловом-присудком: Я люблю сина і пишаюся ним.

Використання складових спілок.

1. Вчіться розпізнавати у реченні такі спілки: «НЕ ТІЛЬКИ…, АЛЕ І»; "ЯК ТАК І". У цих спілках не можна пропускати окремі словаабо замінювати їх іншими: Не лише ми, але наші гості були здивовані. Атмосферу епохи у комедії створюють як дійові особи, а також внесценические персонажі. Як і вдень, так і вночі вирує робота.
2. Частини подвійного союзу повинні бути безпосередньо перед кожним з однорідних членів . Неправильний порядок слів веде до граматичної помилки: Ми оглянули не тільки давню частину міста, а й побували у нових районах.(Правильний порядок: Ми не лише оглянули…, а й побували…)У творі треба як про головних героїв, так і розповісти о художніх особливостях . (Правильний порядок: У творі треба розповісти як про головних героїв, так і про художні особливості. )

Узагальнюючі слова при однорідних членах

Узагальнююче слово і наступні його однорідні члени стоять у тому самому відмінку: Займайся двома видами спорту:(Чим?) лижами та плаванням.(Граматична помилка: Сильні людимають дві якості: доброта і скромність.)

Прийменники при однорідних членах

Прийменники перед однорідними членамиможна опускати тільки в тому випадку, якщо ці прийменники однакові: Він побував вГреції, Іспанії, Італії, наКіпрі.Граматична помилка: Він побував вГреції, Іспанії, Італії, Кіпру.

Складнопідрядне речення

Дуже поширені помилки, пов'язані з неправильним використанням спілок, спілкових слів, вказівних слів. Варіантів помилок може бути багато, розглянемо деякі з них.

Зайвий союз: Мене мучило питання, чи треба все розповісти батькові. Я не подумав, що я був далекий від істини.

Змішення творів і підпорядкових спілок: Коли Мурці набридло возитися з кошенятами, і вона йшла кудись поспати

Зайва частка Б: Потрібно, щоб він зайшов би до мене.

Відсутнє вказівне слово: Ваша помилка полягає, що ви занадто поспішайте.(Пропущено У ТОМ.)

Союзне слово ЯКИЙ відірвано від визначеного слова: Теплий дощик змочив землю, якого так потребували рослини.(Правильно: Теплий дощ, в якомупотребували рослини, змочив землю.)

У завданні така помилка допущена у реченні 9.

Неправильне вживання відмінкової формиіменника з прийменником

1. Прийменники ДЯКУЮ, ЗГОДНО, Всупереч, НАПЕРЕРЕЗ, НАПЕРЕКОР, ПОДІБНО + іменник у ДАЛЬНОМУ ПАДІЖІ: завдяки умінью , згідно з розкладомю , всупереч правиламам .

• Прийменник ПЗ можна використовувати у значенні «ПІСЛЯ». У цьому випадку іменник стоїть у прийменниковому відмінкуі має закінчення І: після закінчення школи (після закінчення), після приїзду до міста (після приїзду), після закінчення терміну (після закінчення терміну).

Запам'ятайте: після прибуття І, після закінчення І, після завершення І, після закінчення І, по приїзд Е, по приліт Е.

• Запам'ятовуємо особливості управління у наступних словосполученнях:

Доводити (що?) правоту

Дивуватися (чому?) терпінню

Навести приклад (чого?) помилки

Підбити підсумок (чому?) роботі

Зізнатися (у чому?) у злочині

Нудити, сумувати (за ким?) за вас

Приділяти увагу (чому?) дрібницям

Вказувати (на що?) на недоліки

Дорікати (у чому?) жадібності

Запам'ятовуємо пари:

Дбати про сина – тривожитися за сина

Вірити у перемогу – впевненість у перемозі

Питання про будівництво – проблеми з будівництвом

Отримувати дохід із оренди – отримувати дохід із оренди

Необізнаність у проблемі – незнайомство з проблемою

Образитися на недовіру – образити недовіру

Звертати увагу на здоров'я – приділяти увагу здоров'ю

Стурбованість справами – тривога про справи

Оплатити проїзд – заплатити за проїзд

Рецензія на твір |

Плата за послугу – оплата послуги

Перевага над ним – перевага перед ним

Застерегти від небезпеки – попередити про небезпеку

Розрізняти друзів та ворогів – відрізняти друзів від ворогів

Дивуватися терпінню – здивований терпінням

Характерно для нього – властиво йому

На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на проміжку [-5; 6]. Знайдіть кількість точок графіка f(x), у кожній з яких дотична, проведена до графіка функції, збігається або паралельна осі абсцис

На малюнку зображено графік похідної функції, що диференціюється y = f(х).

Знайдіть кількість точок графіка функції, що належать відрізку [–7; 7], у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої, заданої рівнянням у = –3х.

Матеріальна точкаМ починає рух з точки А і рухається прямою протягом 12 секунд. Графік показує, як змінювалася відстань від точки А до точки М з часом. На осі абсцис відкладається час t на секундах, на осі ординат - відстань s у метрах. Визначте, скільки разів за час руху швидкість точки М перетворювалася на нуль (початок і кінець руху не враховуйте).

На малюнку зображені ділянки графіка функції y = f (х) і дотичної до нього в точці з абсцисою х = 0. Відомо, що дана паралельна пряма, що проходить через точки графіка з абсцисами х = -2 і х = 3. Використовуючи це, знайдіть значення похідної f"(о).

На малюнку зображено графік y = f'(x) - похідної функції f(x), визначеної на відрізку (−11; 2). Знайдіть абсцис точки, в якій дотична до графіка функції y = f(x) паралельна осі абсцис або збігається з нею.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, де x - відстань від точки відліку в метрах, t - час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 2 м/с?

Матеріальна точка рухається вздовж прямої від початкового до кінцевого положення. На малюнку зображено графік її руху. На осі абсцис відкладається час у секундах, на осі ординат - відстань від початкового положення точки (в метрах). Знайдіть середню швидкістьруху точки. Відповідь дайте за метри за секунду.

Функція у = f(x) визначена на проміжку [-4; 4]. На малюнку наведено графік її похідної. Знайдіть кількість точок графіка функції у = f(x), дотична в яких утворює з позитивним напрямком осі Ох кут 45°.

Функція у = f(x) визначена на відрізку [-2; 4]. На малюнку дано графік її похідної. Знайдіть абсцис точки графіка функції у = f (x), в якій вона приймає найменше значенняна відрізку [-2; -0,001].

На малюнку зображено графік функції у = f(x) і дотичну до цього графіку, проведену в точці x0. Відносна задана рівнянням y = -2x + 15. Знайдіть значення похідної функції у = -(1/4)f(x) + 5 у точці x0.

На графіку диференційованої функції у = f(x) відзначено сім точок: х1,..,х7. Знайдіть усі зазначені точки, у яких похідна функції f(x) більше нуля. У відповіді вкажіть кількість цих точок.

На малюнку зображено графік y = f"(х) похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-10; 2). або збігається з нею.

На малюнку зображено графік y=f"(x)- похідної функції f(x). На осі абсцис зазначено дев'ять точок: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Скільки з цих точок належить проміжкам зменшення функції f(x) ?

На малюнку зображено графік функції у = f(x) і дотичну до цього графіка, проведену в точці х0. Дотична задана рівнянням у = 1,5 x + 3,5. Знайдіть значення похідної функції у = 2f(x) - 1 у точці x0.

На малюнку наведено графік y=F(x) однієї з первісних функцій f(x). На графіці відзначено шість точок з абсцисами x1, x2, ..., x6. У скільки з цих точок функція y=f(x) набуває негативних значень?

На малюнку показано графік руху автомобіля за маршрутом. На осі абсцис відкладається час (у годинах), на осі ординат - пройдений шлях (за кілометри). Знайдіть середню швидкість руху автомобіля на цьому маршруті. Відповідь дайте у км/год

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, де x - відстань від точки відліку (в метрах), t - час руху (у секундах). Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) в момент часу t=6 с

На малюнку зображено графік первісної у = F(x) деякої функції у = f(x), визначеної на інтервалі (-6; 7). Використовуючи малюнок, визначте кількість нулів функції f(x) на даному інтервалі.

На малюнку зображено графік y = F(x) однією з першорядних деякої функції f(x), визначеної на інтервалі (-7; 5). Користуючись малюнком, визначте кількість розв'язків рівняння f(x) = 0 на відрізку [-5; 2].

На малюнку зображено графік функції, що диференціюється y=f(x). На осі абсцис відзначено дев'ять точок: x1, x2, ... x9. Знайдіть усі зазначені точки, у яких похідна функції f(x) є негативною. У відповіді вкажіть кількість цих точок.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t)=12t^3−3t^2+2t, де x - відстань від точки відліку в метрах, t - час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) у час t=6 з.

На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотичну до цього графіку, проведену у точці x0. Рівняння дотичної показано малюнку. знайдіть значення похідної функції y=4*f(x)-3 у точці x0.

Середнє Загальна освіта

Лінія УМКГ. К. Муравіна. Алгебра та початки математичного аналізу(10-11) (поглиб.)

Лінія УМК Мерзляк. Алгебра та початки аналізу (10-11) (У)

Математика

Підготовка до ЄДІ з математики (профільний рівень): завдання, рішення та пояснення

Розбираємо завдання та вирішуємо приклади з учителем

Екзаменаційна роботапрофільного рівня триває 3 години 55 хвилин (235 хвилин).

Мінімальний поріг– 27 балів.

Екзаменаційна робота складається з двох частин, які різняться за змістом, складністю та кількістю завдань.

Визначальною ознакою кожної частини роботи є форма завдань:

• частина 1 містить 8 завдань (завдання 1-8) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу;
• частина 2 містить 4 завдання (завдання 9-12) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу та 7 завдань (завдання 13–19) з розгорнутою відповіддю (повний запис рішення з обґрунтуванням виконаних дій).

Панова Світлана Анатоліївна, учитель математики вищої категоріїшколи, стаж роботи 20 років:

«Для того, щоб отримати шкільний атестат, випускнику необхідно здати два обов'язкових іспитув формі ЄДІодин з яких математика. Відповідно до Концепції розвитку математичної освітив Російської ФедераціїЄДІ з математики поділено на два рівні: базовий та профільний. Сьогодні ми розглянемо варіанти профільного рівня.

Завдання №1- перевіряє в учасників ЄДІ уміння застосовувати навички, отримані в курсі 5 - 9 класів з елементарної математики, практичної діяльності. Учасник повинен володіти обчислювальними навичками, вміти працювати з раціональними числами, вміти округляти десяткові дроби, вміти переводити одні одиниці виміру до інших.

приклад 1.У квартирі, де мешкає Петро, ​​встановили прилад обліку витрати холодної води(лічильник). Першого травня лічильник показував витрати 172 куб. м води, а першого червня – 177 куб. м. Яку суму має заплатити Петро за холодну воду за травень, якщо ціна 1 куб. м холодної води становить 34 руб 17 коп. Відповідь дайте у рублях.

Рішення:

1) Знайдемо кількість витраченої води за місяць:

177 – 172 = 5 (куб м)

2) Знайдемо скільки грошей заплатять за витрачену воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Відповідь: 170,85.

Завдання №2-є одним із найпростіших завдань іспиту. З нею успішно справляється більшість випускників, що свідчить про володіння визначенням поняття функції. Тип завдання № 2 за кодифікатором вимог - це завдання на використання набутих знань та умінь у практичній діяльності та повсякденному житті. Завдання № 2 складається з опису за допомогою функцій різних реальних залежностей між величинами та інтерпретація їх графіків. Завдання № 2 перевіряє вміння отримувати інформацію, подану у таблицях, на діаграмах, графіках. Випускникам потрібно вміти визначати значення функції за значенням аргументу при різних способахзавдання функції та описувати поведінку та властивості функції за її графіком. Також необхідно вміти знаходити за графіком функції найбільше чи найменше значення та будувати графіки вивчених функцій. Допустимі помилки носять випадковий характеру читанні умови задачі, читанні діаграми.

#ADVERTISING_INSERT#

приклад 2.На малюнку показано зміну біржової вартості однієї акції видобувної компанії у першій половині квітня 2017 року. 7 квітня бізнесмен придбав 1000 акцій цієї компанії. 10 квітня він продав три чверті куплених акцій, а 13 квітня продав всі, що залишилися. Скільки втратив бізнесмен унаслідок цих операцій?

Рішення:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акцій) - становлять 3/4 від усіх куплених акцій.

6) 247500 + 77500 = 325000 (крб) – бізнесмен отримав після продажу 1000 акцій.

7) 340000 – 325000 = 15000 (крб) - втратив підприємець у всіх операцій.

Відповідь: 15000.

Завдання №3- є завданням базового рівня першої частини, перевіряє вміння виконувати дії геометричними фігурамиза змістом курсу "Планіметрія". У завданні 3 перевіряється вміння обчислювати площу фігури на папері, вміння обчислювати градусні заходикутів, обчислювати периметри тощо.

приклад 3.Знайдіть площу прямокутника, зображеного на картатому папері з розміром клітини 1 см на 1 см (див. рис.). Відповідь дайте у квадратних сантиметрах.

Рішення:Для обчислення площі цієї фігури можна скористатися формулою Піка:

Для обчислення площі даного прямокутника скористаємося формулою Піка:

S= В +	Г
	2

де В = 10, Г = 6, тому

S = 18 +	6
	2

Відповідь: 20.

Читайте також: ЄДІ з фізики: розв'язання задач про коливання

Завдання №4- завдання курсу «Теорія ймовірностей та статистика». Перевіряється вміння обчислювати ймовірність події у найпростішій ситуації.

приклад 4.На колі відзначено 5 червоних та 1 синю крапку. Визначте, яких багатокутників більше: тих, у яких усі вершини червоні, або тих, у яких одна з вершин синя. У відповіді вкажіть, скільки одних більше, ніж інших.

Рішення: 1) Скористаємося формулою числа поєднань з nелементів по k:

у яких усі вершини червоні.

3) Один п'ятикутник, який має всі вершини червоні.

4) 10 + 5 + 1 = 16 багатокутників, у яких усі вершини червоні.

у яких вершини червоні або з однією блакитною вершиною.

у яких вершини червоні або з однією блакитною вершиною.

8) Один шестикутник, у якого вершини червоні з однією синьою вершиною.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 багатокутники, у яких усі вершини червоні або з однією синьою вершиною.

10) 42 – 16 = 26 багатокутників, у яких використовується синя точка.

11) 26 - 16 = 10 багатокутників - на скільки багатокутників, у яких одна з вершин - синя точка, більше, ніж багатокутників, у яких всі вершини тільки червоні.

Відповідь: 10.

Завдання №5- базового рівня першої частини перевіряє вміння розв'язувати найпростіші рівняння (ірраціональні, показові, тригонометричні, логарифмічні).

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2 3 + x= 0,4 · 5 3 + x .

Рішення.Розділимо обидві частини даного рівнянняна 5 3+ х≠ 0, отримаємо

2 3 + x	= 0,4 або		2		3 + х	=	2	,
5 3 + х			5				5

звідки випливає, що 3 + x = 1, x = –2.

Відповідь: –2.

Завдання №6за планіметрією на знаходження геометричних величин (довжин, кутів, площ), моделювання реальних ситуаціймовою геометрії. Дослідження побудованих моделей із використанням геометричних понятьта теорем. Джерелом труднощів є, як правило, незнання чи неправильне застосування необхідних теорем планіметрії.

Площа трикутника ABCдорівнює 129. DE- Середня лінія, паралельна стороні AB. Знайдіть площу трапеції ABED.

Рішення.Трикутник CDEподібний до трикутника CABпо двох кутах, тому що кут при вершині Cзагальний, кут СDE дорівнює куту CABяк відповідні кути при DE || ABсічучої AC. Так як DE– середня лінія трикутника за умовою, то за якістю середньої лінії | DE = (1/2)AB. Отже, коефіцієнт подібності дорівнює 0,5. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тому

Отже, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Завдання №7- перевіряє застосування похідної для дослідження функції. Для успішного виконання необхідне змістовне, не формальне володіння поняттям похідної.

Приклад 7.До графіку функції y = f(x) у точці з абсцисою x 0 проведена дотична, яка перпендикулярна до прямої, що проходить через точки (4; 3) і (3; -1) цього графіка. Знайдіть f′( x 0).

Рішення. 1) Скористаємося рівнянням прямою, що проходить через дві задані точкиі знайдемо рівняння прямої, що проходить через точки (4; 3) та (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16 | · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x- 13, де k 1 = 4.

2) Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної k 2 , яка перпендикулярна до прямої y = 4x- 13, де k 1 = 4, за формулою:

3) Кутовий коефіцієнтдотичної – похідна функції у точці дотику. Значить, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Відповідь: –0,25.

Завдання №8- перевіряє в учасників іспиту знання з елементарної стереометрії, уміння застосовувати формули знаходження площ поверхонь та обсягів фігур, двогранних кутів, порівнювати обсяги подібних фігур, вміти виконувати дії з геометричними фігурами, координатами та векторами тощо.

Об'єм куба, описаного біля сфери, дорівнює 216. Знайдіть радіус сфери.

Рішення. 1) Vкуба = a 3 (де а- Довжина ребра куба), тому

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Так як сфера вписана в куб, значить, довжина діаметра сфери дорівнює довжині ребра куба, тому d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Завдання №9- вимагає від випускника навичок перетворення та спрощення алгебраїчних виразів. Завдання №9 підвищеного рівняскладнощі з короткою відповіддю. Завдання з розділу «Обчислення та перетворення» в ЄДІ поділяються на декілька видів:

перетворення числових раціональних виразів;

перетворення алгебраїчних виразів та дробів;

перетворення числових/літерних ірраціональних виразів;

дії зі ступенями;

перетворення логарифмічних виразів;

1. перетворення числових/літерних тригонометричних виразів.

Приклад 9.Обчисліть tgα, якщо відомо, що cos2α = 0,6 та

3π	< α < π.
4

Рішення. 1) Скористаємося формулою подвійного аргументу: cos2α = 2 cos 2 α – 1 та знайдемо

tg 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Отже, tg 2 α = ±0,5.

3) За умовою

3π	< α < π,
4

значить, α – кут II чверті та tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Відповідь: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Завдання №10- перевіряє в учнів вміння використовувати набуті раннє знання та вміння у практичній діяльності та повсякденному житті. Можна сказати, що це завдання з фізики, а не математики, але все необхідні формулита величини дано за умови. Завдання зводяться до розв'язання лінійного або квадратного рівняння, або лінійного або квадратної нерівності. Тому необхідно вміти вирішувати такі рівняння та нерівності та визначати відповідь. Відповідь має вийти у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу.

Два тіла масою m= 2 кг кожне рухаються з однаковою швидкістю v= 10 м/с під кутом 2 один до одного. Енергія (у джоулях), що виділяється при їх абсолютно непружному зіткненні визначається виразом Q = mv 2 sin 2 α. Під яким найменшим кутом 2α (у градусах) повинні рухатися тіла, щоб у результаті зіткнення виділилося не менше 50 джоулів?
Рішення.Для розв'язання задачі необхідно вирішити нерівність Q ≥ 50, на інтервалі 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2· 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Оскільки α ∈ (0°; 90°), то вирішуватимемо тільки

Зобразимо розв'язання нерівності графічно:

Оскільки за умовою α ∈ (0°; 90°), значить 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Завдання №11- є типовим, але виявляється непростим учнів. Головним джерелом труднощів є побудова математичної моделі (складання рівняння). Завдання №11 перевіряє вміння вирішувати текстові завдання.

Приклад 11.На весняних канікулах 11-класник Вася мав вирішити 560 тренувальних завдань для підготовки до ЄДІ. 18 березня в останній навчальний день Вася вирішив 5 завдань. Далі щодня він вирішував на те саме кількість завдань більше у порівнянні з попереднім днем. Визначте скільки завдань Вася вирішив 2 квітня в останній день канікул.

Рішення:Позначимо a 1 = 5 – кількість завдань, які Вася вирішив 18 березня, d– щоденна кількість завдань, які розв'язує Вася, n= 16 – кількість днів з 18 березня до 2 квітня включно, S 16 = 560 – Загальна кількістьзавдань, a 16 – кількість завдань, які Вася вирішив 2 квітня. Знаючи, що щодня Вася вирішував на одну і ту ж кількість завдань більше у порівнянні з попереднім днем, можна використовувати формули знаходження суми арифметичної прогресії:

560 = (5 + a 16) · 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Відповідь: 65.

Завдання №12- перевіряють в учнів вміння виконувати події з функціями, вміти застосовувати похідну до вивчення функції.

Знайти точку максимуму функції y= 10ln ( x + 9) – 10x + 1.

Рішення: 1) Знайдемо область визначення функції: x + 9 > 0, x> –9, тобто x ∈ (–9; ∞).

2) Знайдемо похідну функції:

4) Знайдена точка належить проміжку (–9; ∞). Визначимо знаки похідної функції та зобразимо на малюнку поведінку функції:

Шукана точка максимуму x = –8.

Скачати безкоштовно робочу програму з математики до лінії УМК Г.К. Муравіна, К.С. Муравіна, О.В. Муравиною 10-11 Скачати безкоштовно методичні посібники з алгебри

Завдання №13-Підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю, що перевіряє вміння вирішувати рівняння, що найбільш успішно розв'язується серед завдань з розгорнутою відповіддю підвищеного рівня складності.

а) Розв'яжіть рівняння 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку .

Рішення:а) Нехай log 3 (2cos x) = tтоді 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log 3 (2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ т.к. |cos x| ≤ 1,
	log 3 (2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

то cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

б) Знайдемо коріння, що лежить на відрізку.

З малюнка видно, що заданому відрізкуналежать коріння

11π	і	13π	.
6		6

Відповідь:а)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; б)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Завдання №14-Підвищеного рівня відноситься до завдань другої частини з розгорнутою відповіддю. Завдання перевіряє вміння виконувати події з геометричними фігурами. Завдання містить два пункти. У першому пункті завдання потрібно довести, а другому пункті обчислити.

Діаметр кола основи циліндра дорівнює 20, що утворює циліндра дорівнює 28. Площина перетинає його основи по хордах довжини 12 і 16. Відстань між хордами дорівнює 2√197.

а) Доведіть, що центри основ циліндра лежать по одну сторону від цієї площини.

б) Знайдіть кут між цією площиною та площиною основи циліндра.

Рішення:а) Хорда довжиною 12 знаходиться на відстані = 8 від центру кола основи, а хорда довжиною 16, аналогічно, – на відстані 6. Тому відстань між їх проекціями на площину, паралельну основам циліндрів, становить або 8 + 6 = 14, або 8 − 6 = 2.

Тоді відстань між хордами складає або

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

За умовою реалізувався другий випадок, у ньому проекції хорд лежать з одного боку від осі циліндра. Значить, вісь не перетинає цю площину в межах циліндра, тобто основи лежать по одну сторону від неї. Що потрібно було довести.

б) Позначимо центри підстав за О1 і О2. Проведемо з центру основи з хордою довжини 12 серединний перпендикулярдо цієї хорди (він має довжину 8, як зазначалося) і з центру іншого підстави - до іншої хорді. Вони лежать в одній площині, перпендикулярній цим хордам. Назвемо середину меншої хорди B, більшої A та проекцію A на другу основу – H (H ∈ β). Тоді AB,AH ∈ β і означає, AB,AH перпендикулярні хорді, тобто прямий перетин основи з даною площиною.

Отже, шуканий кут дорівнює

∠ABH = arctg	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Завдання №15- підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю, перевіряє вміння вирішувати нерівності, що найбільш успішно вирішується серед завдань з розгорнутою відповіддю підвищеного рівня складності.

приклад 15.Розв'яжіть нерівність | x 2 – 3x| · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Рішення:Областю визначення цієї нерівності є інтервал (–1; +∞). Розглянь окремо три випадки:

1) Нехай x 2 – 3x= 0, тобто. х= 0 або х= 3. У цьому випадку ця нерівність перетворюється на правильну, отже, ці значення входять у розв'язання.

2) Нехай тепер x 2 – 3x> 0, тобто. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При цьому цю нерівність можна переписати у вигляді ( x 2 – 3x) · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 і розділити на позитивний вираз x 2 – 3x. Отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 або x≤ -0,5. Враховуючи область визначення, маємо x ∈ (–1; –0,5].

3) Нарешті, розглянемо x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). При цьому вихідна нерівність перепишеться у вигляді (3 x – x 2) · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 . Після поділу на позитивний вираз 3 x – x 2 отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Враховуючи область, маємо x ∈ (0; 1].

Об'єднуючи отримані рішення, отримуємо x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Відповідь: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Завдання №16- підвищеного рівня відноситься до завдань другої частини з розгорнутою відповіддю. Завдання перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурами, координатами та векторами. Завдання містить два пункти. У першому пункті завдання потрібно довести, а другому пункті обчислити.

У рівнобедреному трикутнику ABC з кутом 120° при вершині A проведена бісектриса BD. У трикутник ABCвписано прямокутник DEFH так, що сторона FH лежить на відрізку BC, а вершина E – на відрізку AB. а) Доведіть, що FH = 2DH. б) Знайдіть площу прямокутника DEFH, якщо AB = 4.

Рішення:а)

1) ΔBEF – прямокутний, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тоді EF = BE за властивістю катета, що лежить проти кута 30°.

2) Нехай EF = DH = xтоді BE = 2 x, BF = x√3 за теоремою Піфагора.

3) Оскільки ΔABC рівнобедрений, значить, ∠B = ∠C = 30˚.

BD – бісектриса ∠B, значить ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Розглянемо ΔDBH – прямокутний, тому що. DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3) · 2(3 – √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

Відповідь: 24 – 12√3.

Завдання №17- завдання з розгорнутою відповіддю, це завдання перевіряє застосування знань та умінь у практичній діяльності та повсякденному житті, уміння будувати та досліджувати математичні моделі. Це завдання - текстове завданняз економічним змістом.

Приклад 17Вклад у розмірі 20 млн. рублів планується відкрити на чотири роки. Наприкінці кожного року банк збільшує внесок на 10%, порівняно з його розміром на початку року. Крім того, на початку третього та четвертого років вкладник щороку поповнює вклад на хмлн. рублів, де х - цілечисло. Знайдіть найбільше значення х, при якому банк за чотири роки нарахує на вклад менше 17 млн. рублів.

Рішення:Наприкінці першого року вклад складе 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублів, а наприкінці другого - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублів. На початку третього року вклад (у млн рублів) складе (24,2+) х), а наприкінці - (24,2+ х) + (24,2 + х)· 0,1 = (26,62 + 1,1 х). На початку четвертого року вклад складе (26,62 + 2,1 х), а наприкінці - (26,62 + 2,1 х) + (26,62 + 2,1х) · 0,1 = (29,282 + 2,31 х). За умовою, потрібно знайти найбільше ціле х, для якого виконано нерівність

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Найбільше вирішення цієї нерівності - число 24.

Відповідь: 24.

Завдання №18- Завдання підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю. Це завдання призначене для конкурсного відборудо вузів з підвищеними вимогами до математичної підготовки абітурієнтів. Завдання високого рівняскладності - це завдання не так на застосування одного методу рішення, але в комбінацію різних методів. Для успішного виконання завдання 18 необхідний, крім міцних математичних знань, також високий рівень математичної культури.

При яких aсистема нерівностей

	x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1
	y + a ≤ |x| – a

має рівно два рішення?

Рішення:Цю систему можна переписати у вигляді

	x 2 + (y– a) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – a

Якщо намалювати на площині безліч розв'язків першої нерівності, вийде начинка кола (з кордоном) радіуса 1 з центром у точці (0, а). Безліч рішень другої нерівності – частина площини, що лежить під графіком функції y = | x| – a, причому останній є графік функції
y = | x| , зрушений вниз на а. Рішення даної системи є перетинання безлічі рішень кожної з нерівностей.

Отже, два рішення дана системаматиме лише у випадку, зображеному на рис. 1.

Крапки торкання кола з прямими і будуть двома рішеннями системи. Кожна пряма нахилена до осей під кутом 45°. Отже, трикутник PQR- Прямокутний рівнобедрений. Крапка Qмає координати (0, а), а точка R– координати (0, – а). Крім того, відрізки PRі PQрівні радіусу кола, що дорівнює 1. Значить,

Qr= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Відповідь: a =	√2	.
	2

Завдання №19- Завдання підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю. Це завдання призначене для конкурсного відбору до вузів із підвищеними вимогами до математичної підготовки абітурієнтів. Завдання високого рівня складності - це завдання не так на застосування одного методу рішення, але в комбінацію різних методів. Для успішного виконання завдання 19 необхідно вміти здійснювати пошук рішення, вибираючи різні підходисеред відомих, модифікуючи вивчені методи.

Нехай Snсума пчленів арифметичної прогресії ( а п). Відомо що S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

а) Вкажіть формулу п-го члена цієї прогресії

б) Знайдіть найменшу за модулем суму S n.

в) Знайдіть найменше п, за якого S nбуде квадратом цілого числа.

Рішення: а) Очевидно, що a n = S n – S n- 1 . Використовуючи цю формулу, отримуємо:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

значить, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Б) Так як S n = 2n 2 – 25n, то розглянемо функцію S(x) = | 2x 2 – 25x|. Її графік можна побачити малюнку.

Очевидно, що найменше значення досягається в цілих точках, розташованих найбільш близько до нулів функції. Очевидно, що це точки х= 1, х= 12 і х= 13. Оскільки, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = | 2 · 144 - 25 · 12 | = 12, S(13) = |S 13 | = | 2 · 169 - 25 · 13 | = 13, то найменше значення дорівнює 12.

в) З попереднього пункту випливає, що Snпозитивно, починаючи з n= 13. Так як S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), то очевидний випадок, коли цей вираз є повним квадратом, реалізується при n = 2n- 25, тобто при п= 25.

Залишилось перевірити значення з 13 до 25:

S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.

Виходить, що при менших значеннях п повний квадратне досягається.

Відповідь:а) a n = 4n- 27; б) 12; в) 25.

________________

*З травня 2017 року об'єднана видавнича група «ДРОФА-ВЕНТАНА» входить до корпорації « Російський підручник». До корпорації також увійшли видавництво «Астрель» та цифрова освітня платформа"LECTA". Генеральним директоромпризначений Олександр Бричкін, випускник Фінансової академії при Уряді РФ, кандидат економічних наук, керівник інноваційних проектіввидавництва «ДРОФА» у сфері цифрової освіти(Електронні форми підручників, «Російська електронна школа», цифрова освітня платформа LECTA). До приходу у видавництво «ДРОФА» обіймав позицію віце-президента зі стратегічного розвитку та інвестицій видавничого холдингу «ЕКСМО-АСТ». Сьогодні видавнича корпорація «Російський підручник» має найбільший портфель підручників, включених до Федерального переліку - 485 найменувань (приблизно 40%, без урахування підручників для корекційної школи). Видавництвам корпорації належать найбільш затребувані російськими школамикомплекти підручників з фізики, креслення, біології, хімії, технології, географії, астрономії - галузей знань, які необхідні розвитку виробничого потенціалу країни. У портфель корпорації входять підручники та навчальні посібникидля початкової школи, удостоєні Премії Президента в галузі освіти Це підручники та посібники з предметним областям, які необхідні розвитку науково-технічного і виробничого потенціалу Росії.