Графік лінійної функції y ax b. Лінійна функція, її властивості та графік

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Поняття числової функції. Способи завдання функції. Властивості функцій.

Числова функція- функція, що діє з одного числового простору (множини) до іншого числового простору (множина).

Три основні методи завдання функції: аналітичний, табличний і графічний.

1. Аналітичний.

Спосіб завдання функції за допомогою формули називається аналітичним. Цей спосіб є основним у мат. аналізі, але практично не зручний.

2. Табличний метод завдання функції.

Функцію можна встановити за допомогою таблиці, що містить значення аргументу і відповідні їм значення функції.

3. Графічний спосібзавдання функції.

Функція у=f(х) називається заданою графічно, якщо побудовано її графік. Такий спосіб завдання функції дає можливість визначати значення функції лише приблизно, оскільки побудова графіка та знаходження на ньому значень функції пов'язане з похибками.

Властивості функції, які необхідно враховувати під час побудови її графіка:

1) Область визначення функції.

Область визначення функції,тобто ті значення, які може набувати аргументу х функції F = y (x).

2) Проміжки зростання та зменшення функції.

Функція називається зростаючоюна аналізованому проміжку, якщо більшого значення аргументу відповідає більше значення функції у(х). Це означає, що з проміжку взяті два довільних аргументи х 1 і х 2 , причому х 1 > х 2 , то у(х 1) > у(х 2).

Функція називається спадноюна аналізованому проміжку, якщо більшого значення аргументу відповідає менше значення функції у(х). Це означає, що якщо з проміжку, що розглядається, взяті два довільні аргументи х 1 і х 2 , причому х 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Нулі функції.

Точки, у яких функція F = y (x) перетинає вісь абсцис (вони виходять, якщо розв'язати рівняння у (х) = 0) і називаються нулями функції.

4)Парність та непарність функції.

Функція називається парною,якщо для всіх значень аргументу в галузі визначення

у(-х) = у(х).

Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.

Функція називається непарною, якщо для всіх значень аргументу в області визначення

у(-х) = -у(х).

Графік парної функції симетричний щодо початку координат.

Багато функцій не є ні парними, ні непарними.

5) Періодичність функції.

Функція називається періодичною,якщо існує така кількість Р, що для всіх значень аргументу з області визначення

у(х + Р) = у(х).

Лінійна функція, її властивості та графік.

Лінійною функцією називається функція виду y = kx + b, задана на багатьох дійсних чисел.

k – кутовий коефіцієнт(дійсне число)

b– вільний член (дійсне число)

x- Незалежна змінна.

· В окремому випадку, якщо k = 0, отримаємо постійну функцію y = b, графік якої є пряма, паралельна осі Ox, що проходить через точку з координатами (0; b).

· Якщо b = 0, то отримаємо функцію y = kx, яка є прямою пропорційністю.

o Геометричний сенс коефіцієнта b – довжина відрізка, який відсікає пряма по осі Oy, рахуючи від початку координат.

o Геометричний сенс коефіцієнта k – кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі Ox вважається проти годинникової стрілки.

Властивості лінійної функції:

1) Область визначення лінійної функції є вся речова вісь;

2) Якщо k ≠ 0, то область значень лінійної функції є вся речова вісь.

Якщо k = 0, то область значень лінійної функції складається з b;

3) парність і непарність лінійної функції залежить від значень коефіцієнтів k і b.

a) b ≠ 0, k = 0, отже, y = b – парна;

b) b = 0, k ≠ 0, отже y = kx – непарна;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, отже y = kx + b – функція загального вигляду;

d) b = 0, k = 0, отже y = 0 як парна, так і непарна функція.

4) Властивістю періодичності лінійна функція не має;

5) Точки перетину з осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, отже (-b/k; 0) - точка перетину з віссю абсцис.

Oy: y = 0k + b = b, отже (0; b) - точка перетину з віссю ординат.

Зауваження. Якщо b = 0 і k = 0, то функція y = 0 звертається в нуль за будь-якого значення змінної х. Якщо b ≠ 0 і k = 0, то функція y = b не звертається в нуль за жодних значень змінної х.

6) Проміжки знаковості залежать від коефіцієнта k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – позитивна при x з (-b/k; +∞),

y = kx + b – негативна при x із (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – позитивна при x з (-∞; -b/k),

y = kx + b – негативна при x із (-b/k; +∞).

c) k = 0, b> 0; y = kx + b позитивна по всій області визначення,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Проміжки монотонності лінійної функції залежить від коефіцієнта k.

k > 0, отже y = kx + b зростає по всій області визначення,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Функція у = ах 2 + bх + с, її властивості та графік.

Функція у = ах 2 + bх + с (а, b, с - постійні величини, а ≠ 0) називається квадратичні.У найпростішому випадку у = ах 2 (b = с = 0) графік є кривою лінією, що проходить через початок координат. Крива, що служить графіком функції у = ах 2 є парабола. Кожна парабола має вісь симетрії, яка називається віссю параболи.Крапка Про перетин параболи з її віссю називається вершиною параболи.

Графік можна будувати за такою схемою: 1) Знаходимо координати вершини параболи х0 = -b/2a; у 0 = у (x 0). 2) Будуємо ще кілька точок, що належать параболі, при побудові можна використовувати симетрії параболи щодо прямої х = -b/2a. 3) З'єднуємо позначені точки плавною лінією. приклад. Побудувати графік функції = х 2 + 2х - 3.Рішення. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані нагору. Абсцис вершини параболи х 0 = 2/(2 ∙1) = -1, її ординати y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Отже, вершина параболи – точка (-1; -4). Складемо таблицю значень для кількох точок, розміщених праворуч від осі симетрії параболи - прямий х = -1. Властивості функції.

Алгебра та початку аналізу.
1. Лінійна функція y = ax + b, її властивості та графік.
2. Квадратична функція y = ax2 + bx + c, її властивості та графік.
3. Функція y = k/x, її властивості та графік, графік дробово-лінійної функції(На конкретному прикладі).
4. Показова функція y = ax, її властивості та графік.
5. Логарифмічна функція y = loga x, її властивості та графік.
6. Функція y = sin(x), її властивості та графік.
7. Функція y = cos(x), її властивості та графік.
8. Функція y = tg(x), її властивості та графік.
9. Функція y = ctg(x), її властивості та графік.
10. Арифметична прогресія, сума перших n членів арифметичної прогресії.
11. Геометрична прогресія, сума перших n членів геометричної прогресії. Сума нескінченно спадної геометричної прогресії.
12. Розв'язання рівняння sin(x) = a, нерівностей sin(x) > a, sin(x)< a.
13. Розв'язання рівняння cos(x) = a, нерівностей cos(x) > a, cos(x)< a.
14. Розв'язання рівняння tg(x) = a, нерівностей tg(x) > a, tg(x)< a.
15. Формули наведення (з висновком).
16. Формули синуса та косинуса суми та різниці двох аргументів (з доказом).
17. Тригонометричні функції подвійного аргументу.
18. Тригонометричні функції половинного аргументу.
19. Формули суми та різниці синусів, косінусів (з доказом).
20. Висновок формули коріння квадратного рівняння, теорема Вієта.
21. Логарифм твору, ступеня, частки.
22. Поняття похідної, її геометричний змістта фізичний зміст.
23. Правила обчислення похідної.

1. Функція задана формулою y = kx + b, де k і b – деякі числа, називається лінійною.
2. Областю визначення лінійної функції служить безліч Rвсіх дійсних чисел, т.к. вираз kx + b має сенс за будь-яких значеннях х.
3. Графік лінійної функції y = kx + b є прямою. Для побудови графіка, мабуть, досить двох точок, якщо k 0.
4. Коефіцієнт k характеризує кут, який утворює пряма y = kx з позитивним напрямом осі Ох тому k називається кутовим коефіцієнтом. Якщо k > 0, цей кут гострий; якщо k< 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
5. Графік функції y = kx + b може бути постпоен за допомогою паралельного перенесення графіка функції y = kx.

Відповідь №2. Опр. Квадратичною функцією називається функція, яку можна задати формулою виду y = ax2 + bx + c де х - незалежна змінна, а, b і с - деякі числа, причому а 0.

Графіком квадратичні функціїє парабола.

Властивості функції y = ax2 (поодинокий випадок) при а > 0.

2. Якщо х 0, то y > 0. Графік функції розташований у верхній півплощині.

4. Функція зменшується у проміжку (- ; 0] і збільшується у проміжку .
5. Найменше значенняфункція приймає при х = 0. Область значень функції (-; 0].

І так графік функції y = ax2 + bx + c є парабола, вершиною якої є точка (m; n), де m = , n= . Осю симетрії параболи служить пряма х = m, паралельна до осі y. При а > 0 гілки параболи спрямовані нагору, при a< 0 - вниз.

Якщо змінна у зворотному пропорційна змінної х, то ця залежність виражається формулою, де - коефіцієнт зворотної пропорційності.

1. Область визначення функції - є безліч всіх чисел, відмінних від нуля, тобто.
2. Графіком зворотної пропорційності у=k/x є крива, що складається з двох гілок, симетричних щодо початку координат. Така крива називається гіперболою. Якщо k>0, то гілки гіпербол розташовані в I і III координатних чвертях; якщо ж k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
3. Зауважимо, що гіпербола не має спільних точок з осями координат, а лише скільки завгодно близько до них наближається.

№4. Опр.Функція, задана формулою y = ax де а - деяке додатне число, не рівну одиниці, називається показовою.

1. Функція y = ax при а>1


в) функція зростає;

д) якщо х> 0, то ax> 1;
е) якщо х< 0, то 0< ax <1;

2. Функція y = ax за 0< а <1
а)
б) безліч значень – безліч усіх позитивних чисел;
в) функція зменшується;
г) при х = 0 значення функції дорівнює 1;
д) якщо х > 0, то 0< ax <1;
е) якщо х< 0, то ax > 1.

№5.Опр. Функцію, задану формулою y = loga x називають логарифмічною функцією з основою а.
Властивості функції y = loga x при a>1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функція зростає;

д) якщо 0 е) якщо x > 1, то loga x > 0.
Властивості функції y = loga x при 0 а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функція зменшується;
г) якщо x = 1, то loga x = 0;
д) якщо 0< x < 1, то loga x > 0;
е) якщо x > 1, то loga x< 0.

№6. Опр. Відношення катета прямокутного трикутника, що протилежить гострому куту, до гіпотенузи називається синусом цього кута (позначається sin).

1. область визначення - множина всіх дійсних чисел;
2. безліч значень - [-1; 1];
3. функція непарна: sin(-x) = -sin(x) всім;
4. sin(x) = 0 при x =;
5. sin(x) > 0 всім;
6. sin(x)< 0 для всех;
7. функція зростає;
8. функція зменшується на.

№ 7.Опр. Відношення катета прямокутного трикутника, що прилягає до гострого кута, до гіпотенузи називається косинус цього кута (позначається cos)

1. область визначення - множина всіх дійсних чисел;
2. безліч значень - [-1; 1];
3. функція парна: cos(-x) = cos(x) для всіх;
4. функція періодична з найменшим позитивним періодом;
5. cos(x) = 0 при;
6. cos(x) > 0 всім;
7. cos(x) > 0 всім;
8. функція зростає;
9. функція зменшується на

№8.Опр. Відношення катета, що протилежить гострому куту прямокутного трикутника, до катета, що прилягає до цього кута, називається тангенсом (позначається tg).

1. функція непарна: tg(-x) = -tg(x) для всіх х з області визначення;
2. функція періодична з найменшим позитивним періодом;
3. tg(x) = 0 при х =;
4. tg(x) > 0 всім;
5. tg(x)< 0 для всех;
6. функція зростає.

№9.Опр. Відношення катета, що прилягає до гострого кута прямокутного трикутника, до катета, що протилежить до цього кута, називається котангенсом (позначається ctg)

1. область визначення - множина всіх дійсних чисел, крім чисел виду;
2. безліч значень – вся числова пряма;
3. функція непарна: ctg(-x) = -ctg(x) для всіх х з області визначення;
4. функція періодична з найменшим позитивним періодом;
5. ctg(x) = 0 при x =;
6. ctg(x) > 0 всім;
7. ctg(x)< 0 для всех;
8. функція зменшується на.

Відповідь №10

1. Числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з тим самим числом, називається арифметичною прогресією.
2. З визначення арифметичної прогресії випливає, що різницю між будь-яким її членом і йому попереднім дорівнює одному й тому ж числу, тобто а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = .... Це число називається різницею арифметичної прогресії і зазвичай позначається буквою d.
3. Для того, щоб задати арифметичну прогресію (аn), достатньо знати її перший член а1 і різницю d.
4. Якщо різниця арифметичної прогресії – позитивне число, то така прогресія є зростаючою; якщо від'ємне число, то спадної. Якщо різниця арифметичної прогресії дорівнює нулю, всі її члени рівні між собою і прогресія є постійною послідовністю.
5. Характеристична властивістьарифметичній прогресії. Послідовність (аn) є арифметичною прогресією тоді і лише тоді, коли будь-який її член, починаючи з другого, є середнім арифметичним попереднього та наступного членів, тобто (1)
6. Формула n-го члена арифметичної прогресії має вигляд: an = a1 + d(n-1). (2)
7. Формула суми n перших членів арифметичної прогресії має вигляд: (3)
8. Якщо формулу (3) підставити замість аn його вираз за формулою (2), отримаємо співвідношення
9. З визначення різниці арифметичної прогресії слід, що a1 + an = a2 + an-1 = ..., т. е. сума членів, рівновіддалених від кінців прогресії, є постійна величина.

Відповідь №11

1. Числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме не рівне нулю число, називається геометричною прогресією.
2. З визначення геометричної прогресії випливає, що ставлення будь-якого її члена до попереднього дорівнює одному й тому числу, тобто. b2 :b1 = b3 :b2 =… = bn :bn-1 = bn+1 :bn=…. Це число називається знаменником геометричної прогресії і зазвичай позначається буквою q .
3. Для того, щоб задати геометричну прогресію ( bn), достатньо знати її перший член b1і знаменник q .
4. Якщо q> 0 (), то прогресія є монотонною послідовністю. Нехай, наприклад, b1 = -2, q= 3, тоді геометрична прогресія -2, -6, -18, ... є монотонно спадна послідовність. Якщо q= 1, всі члени прогресії рівні між собою. І тут прогресія є постійної послідовністю.
5. Характеристична властивість геометричної прогресії. Послідовність ( bn) є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли кожен її член, починаючи з другого, є середнім геометричним сусіднім з ним членом, тобто (1)
6. Формула n-го члена геометричної прогресії має вигляд: (2)
7. Формула суми п перших членів геометричної прогресії має вигляд: , (3)
8. Якщо формулу (3) підставити замість bn його вираз за формулою (2), то вийде співвідношення. , (4)
9. З визначення знаменника геометричної прогресії слід, що b1 bn = b2 bn-1 = …, тобто. твір членів, рівновіддалених від кінців прогресії, є постійна величина.

Сума нескінченної геометричної прогресії при

1. Нехай (xn) – геометрична прогресія зі знаменником q, де і. Сумою нескінченної геометричної прогресії, знаменник якої задовольняє умові, називається межа суми nперших її членів при.
2. Позначимо суму нескінченної геометричної прогресії через S. Тоді правильна формула.

Розв'язання тригонометричних рівнянь виду sin(x) = a

1. формула для коренів рівняння sin(x) = a, де має вигляд:
   Приватні випадки:
2. sin(x) = 0, x =
3. sin(x) = 1, x =
4. sin(x) = -1, x =
5. формула для коренів рівняння sin2 (x) = a, де має вигляд: x=

Рішення тригонометричних нерівностейвиду sin(x) > a, sin(x)< a

1. Нерівності, що містять змінну лише під знаком тригонометричної функції, називаються тригонометричними.
2. При розв'язанні тригонометричних нерівностей використовують властивість монотонності тригонометричних функцій, а також проміжки їхньої знакопостійності.
3. Для вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей виду sin(x) > a(sin(x)< а) используют одиничне колочи графік функції y = sin(x).
   sin(x) = 0 якщо х = ;
   sin(x) = -1, якщо x = >;
   sin(x) > 0, якщо;
   sin(x)< 0, если.

Відповідь №13

Рішення тригонометричного рівняння cos(x) = a

1. Формула для коренів рівняння cos(x) = a, де має вигляд: .
2. Приватні випадки:
   cos(x) = 1, x =;
   cos(x) = 0, ;
   cos(x) = -1, x =
3. Формула для коренів рівняння cos2 (x) = a, де має вигляд: .

Розв'язання тригонометричних нерівностей виду cos(x) > a, cos(x)< a

1. Для вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей виду cos(x) > a, cos(x)< a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
2. Важливим моментомє знання, що:
   cos(x) = 0, якщо;
   cos(x) = -1, якщо x =;
   cos(x) = 1, якщо x =;
   cos(x) > 0, якщо;
   cos(x) > 0, якщо.

Розв'язання тригонометричного рівняння tg(x) = a

1. Формула для коренів рівняння tg(x) = a має вигляд: .
2. Приватні випадки:
   tg(x) = 0, x =;
   tg(x) = 1,;
   tg(x) = -1, .
3. Формула для коренів рівняння tg2(x) = a, де має вигляд:

Розв'язання тригонометричних нерівностей виду tg(x) > a, tg(x)< a

1. Для вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей виду tg(x) > a, tg(x)< a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
2. Важливо знати, що:
   tg(x) > 0, якщо;
   tg(x)< 0, если;
   Тангенс не існує, якщо.

1. Формулами приведення називаються співвідношення, за допомогою яких значення тригонометричних функційаргументів, що виражаються через значення sin, cos , tg та ctg .
2. Усі формули наведення можна звести до наступної таблиці:

	Аргумент

1. Для полегшення запам'ятовування наведених формул слід використовувати такі правила:
   a) при переході від функцій кутів до функцій кута назву функції змінюють: синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки;
   при переході від функцій кутів, до функцій кута назву функції зберігають;
   б) вважаючи гострим кутом (т. е.), перед функцією кута ставлять такий знак, який має функція кутів, що наводиться, .

Всі наведені вище формули можна отримати, користуючись наступним правилом:
Будь-яка тригонометрична функція кута 90°n + абсолютної величинидорівнює тій самій функції кута, якщо число n - парне, і додаткової функціїякщо число n - непарне. При цьому якщо функція кута 90°n + . позитивна, коли - гострий кут, то знаки обох функцій однакові, якщо негативні, то різні.

1. Формули косинуса суми та різниці двох аргументів:

   Рис.1 Рис.2
   Повернемо радіус ОА, рівний R, біля точки на кут і на кут (рис.1). Отримаємо радіуси ОВ та ОС. Знайдемо скалярне твір векторів та. Нехай координати точки рівні х1 і y1, координати точки С рівні х2 і y2. Ці координати мають відповідно і вектори в. За визначенням скалярного твору векторів:
   = х1 х2 + y1 y2. (1)
   Виразимо скалярний добуток через тригонометричні функції кутів і. З визначення косинуса та синуса випливає, що
   х1 = R cos, y1 = R sin, х2 = R cos, y2 = R sin.
   Підставивши значення х1, х2, y1, y2 праву частинурівності (1), отримаємо:
   = R2 coscos + R2 sinsin = R2 (coscos + sinsin).
   З іншого боку, по теоремі про скалярному творівекторовимієм:
   = BOC = R2 cos BOC.
   Кут ВОС між векторами і може дорівнювати - (рис.1), - (-) (рис.2) або може відрізнятися від цих значень на ціле число оборотів. У кожному з цих випадків cos BOC = cos(-). Тому
   = R2 cos(-).
   Т.к. так само R2 (coscos+ sinsin), то
   cos(-) = coscos+ sinsin.

   Cos(+) = cos(-(-)) = coscos(-) + sinsin(-) = coscos - sinsin.
   Значить,
   cos(+) = coscos - sinsin.

2. Формули синуса суми та різниці двох аргументів:

   Sin(+) = cos(/2 - (+)) = cos((/2 -) -) = cos(/2 -) cos+ sin(/2 -) sin= sincos+ cossin.
   Значить,
   sin(+) = sincos+ cossin.

   Sin(-) = sin(+(-)) = sincos(-) + cossin(-) = sincos - cossin.
   Значить,
   sin(-) = sincos - cossin.

Формули подвійних кутів

Формули додавання дозволяють виразити sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2через тригонометричні функції кута.
Покладемо у формулах
sin(+) = sincos+ cossin,
cos(+) = coscos - sinsin,
,
.
рівним. Отримаємо тотожності:

sin 2 = 2 sin cos;
cos 2 = cos2 - sin2 = 1 - sin2 = 2 cos2 - 1;
; .

Формули половинного аргументу

1. Виразивши праву частину формули cos 2= ​​cos2 - sin2 через одну тригонометричну функцію (синус або косинус), прийдемо до співвідношень
   cos 2 = 1 - sin2, cos 2 = 2 cos2 - 1.
   Якщо даних співвідношеннях покласти = /2, то отримаємо:
   cos = 1 - 2 sin2 / 2, cos 2 = 2 cos2 / 2 - 1. (1)
2. З формул (1) випливає, що
   (2), (3).
3. Розділивши почленно рівність (2) на рівність (3), отримаємо
   (4).
4. У формулах (2), (3) та (4) знак перед радикалом залежить від того, в якій координатної чвертізнаходиться кут /2.
5. Корисно знати таку формулу:
   .

Формули суми та різниці синусів, косинусів

Суму та різницю синусів або косінусів можна подати у вигляді добутку тригонометричних функцій. Формули, на яких ґрунтується таке перетворення, можуть бути отримані з формул додавання.
Щоб подати у вигляді твору суму sin+ sin, покладемо = x + y і = x - y і скористаємося формулами синуса суми та синуса різниці. Отримаємо:
sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
Розв'язавши тепер систему рівнянь = x + y, = x - y щодо x та y, отримаємо х = , y = .
Отже,
sin + sin = 2 sincos.
Аналогічним чином виводять формули:
sin-sin = 2 cossin;
cos + cos = 2 coscos;
cos + cos = -2 sinsin.

Щоб знайти рішення наведеного квадратного рівняння x2 + p x + q= 0, де достатньо перенести вільний член у праву частину і до обох частин рівності додати. Тоді ліва частина стане повним квадратом, і ми отримуємо рівносильне рівняння = - q.
Воно відрізняється від найпростішого рівняння x2 = m лише зовнішнім виглядом: стоїть замість xі - q- замість m. Знаходимо =. Звідси х = -. Ця формула показує, що будь-яке квадратне рівняння має два корені. Але це коріння може бути й уявним, якщо< q. Може також виявитися, що обидва корені квадратного рівняння рівні між собою, якщо = q. Повертаємось до звичайного вигляду.
1. Сума коренів наведеного квадратного рівняння x2+ p x + q= 0 дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену, тобто. х1 + х2 = - р, а х1 х2 = q .
2. Теорема, зворотна теоремаВієта. Якщо р, q, х1, х2 такі, що х1 + х2 = - рта х1 х2 = q, то х1 та х2 - коріння рівняння x2 + p x + q = 0.

Опр. Логарифмом числа b на підставі а називається показник ступеня, в який потрібно звести основу а, щоб отримати число b.
Формулу (де b > 0, a > 0 та a 1) називають основною логарифмічною тотожністю.
Властивості логарифмів:

1. Логарифм твору дорівнює сумілогарифмів співмножників:
   .
   Для доказу скористаємося основною логарифмічною тотожністю:
   x = , y = .
   Перемножимо почленно ці рівності, отримуємо:
   xy = =.
   Отже, визначення логарифму (п.3) доведено.
2. Логарифм приватного дорівнює логарифмуділимого без логарифму дільника:
   .
   Хід доказу аналогічний доказу п.3
3. Логарифм ступеня дорівнює творупоказника ступеня на логарифм її основи:
   .
   За доказом, також необхідно скористатися основною логарифмічною тотожністю.

1. Похідної функції f(x) у точці х0називається межа відношення збільшення функції у точці х0к прирощенню аргументу, коли останнє прагне до нуля. Це можна записати так: .
2. З визначення похідної слід, що функція може мати похідну в точці х0тільки в тому випадку, якщо вона визначена в околиці точки х0, включаючи цю точку.
3. Необхідною умовоюіснування похідної функції у цій точці є безперервність функції у цій точці.
4. Існування похідної функції f у точці х0еквівалентне існуванню (невертикальній) дотичної в точці (х0; f(х0)) графіка, при цьому кутовий коефіцієнт дотичноїдорівнює. У цьому полягає геометричний зміст похідної.
5. Механічний сенспохідної f "(x) функції у = f(x) - це швидкість зміни функції в точці х. Тому при вирішенні прикладних завдань слід пам'ятати, що який би процес не описувався функцією, що вивчається у = f(x) похідну з фізичної точки зору можна уявити як швидкість, з якою протікає процес.

1. Похідна сума дорівнює сумі похідних, якщо вони існують:
   .
2. Якщо функція uі vдиференційовані в точці х0то їх похідні диференційовані в цій точці
   .
3. Якщо функція uі vдиференційовані у точці х0, а З- постійна, то функція Cuдиференційована в цій точці та
   .
4. Якщо функція uі vдиференційовані в точці х0і функція vне дорівнює нулю в цій точці, то окреме двох функцій теж диференційовано в точці х0і
   .

У цій статті ми розглянемо лінійну функцію, графік лінійної функції та його властивості. І, як завжди, вирішимо кілька завдань на цю тему.

Лінійною функцієюназивається функція виду

У рівнянні функції число , яке ми множимо називається коефіцієнтом нахилу.

Наприклад, у рівнянні функції ;

у рівнянні функції;

у рівнянні функції;

у рівнянні функції.

Графік лінійної функції є пряма лінія.

1 . Щоб побудувати графік функціїнам потрібні координати двох точок, що належать графіку функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити їх на рівняння функції, і за ними обчислити відповідні значення y.

Наприклад, щоб побудувати графік функції зручно взяти і , тоді ординати цих точок будуть рівні і .

Отримаємо точки А(0;2) та В(3;3). З'єднаємо їх і отримаємо графік функції:

2 . У рівнянні функції коефіцієнт відповідає за нахил графіка функції:

Title="(!LANG:k>0">!}

Коефіцієнт відповідає за зсув графіка вздовж осі:

Title="(!LANG:b>0">!}

На малюнку нижче зображені графіки функцій; ;

Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт більше нуля праворуч. Причому чим більше значення, тим крутіше йде пряма.

У всіх функціях - і бачимо, що це графіки перетинають вісь OY у точці (0;3)

Тепер розглянемо графіки функцій; ;

На цей раз у всіх функціях коефіцієнт меньше нуля, і всі графіки функцій нахилені вліво.

Зауважимо, що більше |k|, тим крутіше йде пряма. Коефіцієнт b той же, b=3, і графіки також як у попередньому випадку перетинають вісь OY у точці (0;3)

Розглянемо графіки функцій; ;

Тепер у всіх рівняннях функції коефіцієнти рівні. І ми отримали три паралельні прямі.

Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY у різних точках:

Графік функції (b=3) перетинає вісь OY у точці (0;3)

Графік функції (b=0) перетинає вісь OY у точці (0;0) - початку координат.

Графік функції (b=-2) перетинає вісь OY у точці (0;-2)

Отже, якщо ми знаємо знаки коефіцієнтів k і b, можемо відразу уявити, як виглядає графік функції .

Якщо k<0 и b>0 , то графік функції має вигляд:

Якщо k>0 і b>0 ,то графік функції має вигляд:

Якщо k>0 та b<0 , то графік функції має вигляд:

Якщо k<0 и b<0 , то графік функції має вигляд:

Якщо k=0 ,то функція перетворюється на функцію і її графік має вигляд:

Ординати всіх точок графіка функції дорівнюють

Якщо b=0, то графік функції проходить через початок координат:

Це графік прямої пропорційності.

3 . Окремо відзначу графік рівняння. Графік цього рівняння є прямою лінією, паралельну осі всі точки якої мають абсцису .

Наприклад, графік рівняння виглядає так:

Увага!Рівняння перестав бути функцією, оскільки різним значенням аргументу відповідає одне й те значення функції, що відповідає .

4 . Умова паралельності двох прямих:

Графік функції паралельний графіку функції, якщо

5. Умова перпендикулярності двох прямих:

Графік функції перпендикулярний графіку функції, якщо або

6 . Точки перетину графіка функції з осями координат.

З віссю ОY.Абсцис будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y=b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).

З віссю ОХ:Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ, дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ, потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0=kx+b. Звідси. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (; 0):

Розглянемо розв'язання задач.

1 . Побудуйте графік функції, якщо відомо, що він проходить через точку А(-3;2) і паралельний прямий y=-4x.

У рівнянні функції два невідомі параметри: k та b. Тому в тексті завдання мають бути дві умови, що характеризують графік функції.

а) З того, що графік функції паралельний прямий y=-4x, випливає, що k=-4. Тобто рівняння функції має вигляд

б) Нам лишилося знайти b. Відомо, що графік функції проходить через точку А(-3; 2). Якщо точка належить графіку функції, то при підстановці її координат до рівняння функції ми отримаємо правильну рівність:

звідси b=-10

Таким чином, нам треба побудувати графік функції

Точка А(-3;2) нам відома, візьмемо точку B(0;-10)

Поставимо ці точки в координатній площині і з'єднаємо їх прямою:

2. Написати рівняння прямої, що проходить через точки A(1; 1); B(2;4).

Якщо пряма проходить через точки із заданими координатами, отже, координати точок задовольняють рівняння прямої . Тобто, якщо ми координати точок підставимо в рівняння прямий, то отримаємо правильну рівність.

Підставимо координати кожної точки в рівняння та отримаємо систему лінійних рівнянь.

Віднімемо з другого рівняння системи перше, і отримаємо . Підставимо значення k перше рівняння системи, і отримаємо b=-2.

Отже, рівняння прямої.

3 . Побудуйте графік рівняння

Щоб знайти, при яких значеннях невідомого добуток кількох множників дорівнює нулю, потрібно кожен множник прирівняти до нуля та врахувати кожного множника.

Це рівняння немає обмежень на ОДЗ. Розкладемо на множники другу дужку та прирівняємо кожен множник до нуля. Отримаємо сукупність рівнянь:

Збудуємо графіки всіх рівнянь сукупності в одній коорднатній площині. Це і є графік рівняння :

4 . Побудуйте графік функції , якщо він перпендикулярний до прямої і проходить через точку М(-1;2)

Ми не будуватимемо графік, тільки знайдемо рівняння прямої.

а) Оскільки графік функції, якщо він перпендикулярний прямий, отже, звідси. Тобто рівняння функції має вигляд

б) Ми знаємо, що графік функції проходить через точку М(-1; 2). Підставимо її координати до рівняння функції. Отримаємо:

Звідси.

Отже, наша функція має вигляд: .

5 . Побудуйте графік функції

Спростимо вираз, що стоїть у правій частині рівняння функції.

Важливо!Перш ніж спрощувати вираз, знайдемо його ОДЗ.

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю, тому title="(!LANG:x1">, title="x-1">.!}

Тоді наша функція набуває вигляду:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

Тобто нам треба побудувати графік функції та виколоти на ньому дві точки: з абсцисами x=1 та x=-1:

Завдання на характеристики і графіки квадратичної функції викликають, як показує практика, серйозні труднощі. Це досить дивно, бо квадратичну функцію проходять у 8 класі, а потім усю першу чверть 9-го класу "вимучують" властивості параболи та будують її графіки для різних параметрів.

Це з тим, що змушуючи учнів будувати параболи, мало приділяють часу на " читання " графіків, тобто практикують осмислення інформації, отриманої з картинки. Очевидно, передбачається, що, побудувавши зо два десятки графіків, кмітливий школяр сам виявить і сформулює зв'язок коефіцієнтів у формулі і зовнішній виглядграфіка. На практиці так не виходить. Для такого узагальнення необхідний серйозний досвідматематичних міні досліджень, яким більшість дев'ятикласників, звичайно, не має. А тим часом, у ДПА пропонують саме за графіком визначити знаки коефіцієнтів.

Не вимагатимемо від школярів неможливого і просто запропонуємо один із алгоритмів вирішення подібних завдань.

Отже, функція виду y = ax 2 + bx + cназивається квадратичною, графіком її є парабола. Як випливає з назви, головним доданком є ax 2. Тобто ане повинно дорівнювати нулю, інші коефіцієнти ( bі з) нулю дорівнювати можуть.

Подивимося, як впливають зовнішній вигляд параболи знаки її коефіцієнтів.

Найпростіша залежність для коефіцієнта а. Більшість школярів впевнено відповідає: а> 0, то гілки параболи спрямовані вгору, і якщо а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

У даному випадку а = 0,5

А тепер для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В даному випадку а = - 0,5

Вплив коефіцієнта зтеж досить просто простежити. Уявімо, що ми хочемо знайти значення функції у точці х= 0. Підставимо нуль у формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Виходить що у = с. Тобто з- це ордината точки перетину параболи з віссю. Як правило, цю точку легко знайти на графіку. І визначити вище за нуль вона лежить або нижче. Тобто з> 0 або з < 0.

з > 0:

y = x 2 + 4x + 3

з < 0

y = x 2 + 4x - 3

Відповідно, якщо з= 0, то парабола обов'язково проходитиме через початок координат:

y = x 2 + 4x

Складніше з параметром b. Точка, за якою ми його знаходитимемо, залежить не тільки від bале й від а. Це вершина параболи. Її абсцисса (координата з осі х) знаходиться за формулою х в = - b/(2а). Таким чином, b = - 2ах. Тобто, діємо наступним чином: на графіку знаходимо вершину параболи, визначаємо знак її абсциси, тобто дивимося правіше за нуль ( х в> 0) або лівіше ( х в < 0) она лежит.

Однак, це не все. Потрібно ще звернути увагу на знак коефіцієнта а. Тобто подивитися, куди спрямовані гілки параболи. І лише після цього за формулою b = - 2ахвизначити знак b.

Розглянемо приклад:

Гілки спрямовані вгору, отже а> 0, парабола перетинає вісь унижче за нуль, значить з < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в> 0. Значить b = - 2ах = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, з < 0.