Вивчення алгебраїчного матеріалу у початковій школі. Алгебраїчний матеріал у початковому курсі математики

В «Обов'язковому мінімумі змісту початкової освіти» за освітньої галузі«Математика» вивчення алгебраїчного матеріалу, як це було раніше, не виділено в якості окремої дидактичної одиниці, що підлягає обов'язковому вивченню. У цій частині документа коротко зазначено, що необхідно «дати знання про числові і буквені вирази, їх значення та відмінності між цими виразами». У «Вимогах до якості підготовки випускників» можна лише знайти коротку фразуневизначеного сенсу «навчити обчислювати невідомий компонент арифметичної дії». Питання, як навчити «обчислювати невідомий компонент» має вирішувати автор програми чи технології навчання.

Розглянемо, як характеризуються поняття «вираз», «рівність», «нерівність», «рівняння» та яка методика їх вивчення у різних методичних системах навчання

7.1. Вирази та їх види …
в курсі математики

початкової школи

Виразомназивають математичний запис, що складається з чисел, позначених літерами або цифрами, з'єднаними знаками арифметичних дій. Окремо взяте число є вираз. Вираз, у якому всі числа позначені цифрами, називають числовим виразом.

Якщо у числовому виразі виконати зазначені дії, то отримаємо число, яке називають значенням виразу.

Вирази можна класифікувати за кількістю арифметичних дій, що використовуються при записі виразів, та за способом позначення чисел. По першій підставі вирази розбиваються на групи: елементарних (що не містять знака арифметичної дії), простих (один знак арифметичної дії) та складових (більше одного знака арифметичних дій) виразів. По другому підставі розрізняють числові (числа записані цифрами) і буквені (хоча одне число чи всі числа позначені буквами) висловлювання.

Математичну запис, яку в математиці прийнято називати виразом, необхідно відрізняти від інших видів записів.

Прикладом чи обчислювальною вправоюназивають запис висловлювання разом із вимогою до його обчислення.

5+3 вираз, 8 його значення

5+3= обчислювальна вправа (приклад),

8- результат обчислювальної вправи (прикладу)

Залежно від знака арифметичної дії, який використовується в записі простого виразу, прості вирази розбивають на групи виразів зі знаком "+,", "-", "", ":". Ці вирази мають особливі назви (2 + 3 - сума; 7 - 4 - різницю; 7 × 2 - твір; 6: 3 - приватна) і загальноприйняті способи читання, з якими знайомляться учні початкової школи.

Способи читання виразів зі знаком «+»:

25+17 – 25 плюс 17

25+17 – до 25 додати 17

25+17 - 25 і 17

25+17 – 25 та ще 17.

25+17 – сума чисел двадцять п'ять та сімнадцять (сума 25-ти та 17-ти)

25+17 – 25 збільшити на 17

25+17 – 1-ий доданок 25, 2-ий доданок 17

Із записом простих виразівдіти знайомляться у міру того, як запроваджується відповідна математична дія. Наприклад, знайомство з дією додавання супроводжується записом виразу на додавання 2 + 1, тут же даються зразки перших форм читання цих виразів: «До двох додати один», «два і один», «два та один», «два плюс один». Інші формулювання вводяться з знайомства дітей із відповідними поняттями. Вивчаючи назву компонентів дій та їх результатів, діти вчаться читати вираз, використовуючи ці назви (перше доданок 25, друге 17 або сума 25-ти та 17-ти). Знайомство з поняттями «збільшити на…», «зменшити на…» дозволяє ввести нове формулювання для читання виразів на додавання та віднімання з цими термінами «двадцять п'ять збільшити на сімнадцять», «двадцять п'ять зменшити на сімнадцять». Так само роблять з іншими видами простих виразів.

З поняттями «вираз», «значення висловлювання» у низці освітніх систем («Школа Росії» і «Гармонія») діти знайомляться трохи пізніше, ніж навчаться їх записувати, обчислювати і читати не всіма, але багатьма формулюваннями. В інших програмах і системах навчання (система Л.В. Занкова, "Школа 2000 ...", "Школа 2100") ці математичні записи відразу називають виразами і використовують це слово в обчислювальних завданнях.

Навчаючи дітей читати вирази різними формулюваннями, ми вводимо їх у світ математичних термінів, даємо можливість пізнати математичну мову, відпрацьовуємо сенс математичних відносин, що, безперечно, підвищує математичну культуру учня, сприяє усвідомленому засвоєннюбагатьох математичних понять.

Ø Прийом «роби як я». Правильне мовленнявчителі, за яким діти повторюють формулювання, - основа грамотної математичної мовишколярів. Значний ефект дає використання прийому порівняння формулювань, які вимовляють діти із заданим зразком. Корисно використовувати прийом, коли вчитель спеціально припускає мовні помилки, А діти його виправляють.

Ø Дати кілька виразів і запропонувати прочитати ці вирази різними способами. Один учень читає вираз, інші перевіряють. Корисно давати стільки виразів, скільки формулювань знають діти на той час.

Ø Вчитель диктує висловлювання у різний спосіб, а діти записують самі висловлювання, не обчислюючи їх значення. Такі завдання спрямовані на те, щоб перевірити знання дітьми математичної термінології, а саме: уміння записувати вирази чи обчислювальні вправи, прочитані різними математичними формулюваннями.

Якщо ставиться завдання, що передбачає перевірку сформованості обчислювальної навички, корисно читати вирази або обчислювальні вправи лише тими формулюваннями, які добре засвоєні, не переймаючись їх різноманітністю, а дітям запропонувати записувати лише результати обчислень, самі вирази можна не записувати.

Вираз, що складається з кількох простих, називають складовим.

Отже, суттєвою ознакою складового виразу є його складеність із простих виразів. Знайомство зі складовим виразом можна здійснити за таким планом:

1. Дати простий вираз та обчислити його значення

(7 + 2 = 9), назвати його першим чи даним.

2. Скласти друге вираз так, щоб значення першого стало компонентом другого (9 - 3), назвати цей вираз продовженням для першого. Обчислити значення другого виразу (9 - 3 = 6).

3. Проілюструвати процес злиття першого та другого виразів, спираючись на посібник.

Посібник є прямокутним аркушем паперу, який розділений на 5 частин і складений у вигляді гармошки. На кожній частині посібника є певні записи:

7 + 2

— 3

= 6

Приховуючи другу і третю частини цього посібника (з першого висловлювання приховуємо вимогу до його обчислення та його значення, а у другому приховуємо відповідь на запитання першого), отримуємо складовий вираз та його значення (7 + 2 -3 = 6). Даємо йому назву - складову (складено з інших).

Ілюструємо процес злиття інших пар виразів чи обчислювальних вправ, підкреслюючи:

ü об'єднати у складове можна лише таку пару виразів, коли значення одного з них є компонентом іншого;

ü значення виразу продовження збігається зі значенням складеного виразу.

Закріплюючи поняття складеного виразу корисно виконувати завдання двох видів.

1 вигляд. Дана сукупність простих виразів, необхідно виділити їх пари, котрим правильне ставлення «значення однієї з них є компонентом іншого». Скласти з кожної пари простих виразів один складовий вираз.

2 вид. Дано складовий вираз. Необхідно записати прості вирази, у тому числі воно складено.

Описаний прийом корисно використовувати з кількох причин:

§ за аналогією можна запровадити поняття складового завдання;

§ яскравіше виділяється суттєва ознака складового виразу;

§ попереджаються помилки при обчисленні значень складових виразів;

§ даний прийом дозволяє проілюструвати роль дужок у складових виразах.

Складові вирази, що містять знаки "+", "-" та дужки, вивчаються з першого класу. У деяких системах навчання ("Школа Росії", "Гармонія", "Школа 2000") не передбачається вивчення дужок у першому класі. Їх вводять у другому класі щодо властивостей арифметичних процесів (сполучна властивість суми). Дужки вводяться як знаки, за допомогою яких у математиці можна показати порядок виконання дій у виразах, що містять більше однієї дії. Надалі діти знайомляться зі складовими виразами, що містять дії першого та другого ступенів зі дужками і без них. Вивчення складових виразів супроводжується вивченням правил порядку дій у цих виразах та способів читання складових виразів.

Значна увага у всіх програмах приділяється перетворенню виразів, які здійснюються на підставі комбінаційної властивості суми та твору, правил віднімання числа з суми та суми з числа, множення суми на число та поділу суми на число. На наш погляд, в окремих програмах недостатньо вправ спрямованих на формування вміння читати складові висловлювання, що, природно, пізніше позначається на вмінні вирішувати рівняння другим способом (див. нижче). У останніх виданнях навчально-методичних комплексівз математики для початкових класівза всіма програмами велика увагаприділяється завданням на складання програм та алгоритмів обчислень для складових виразів у три-дев'ять дій.

Вирази, в яких одне число або всі числа позначені літерами, називають буквеними (а+ 6; (а+в)× з- Буквені вирази). Пропедевтикою до введення буквених виразів є вирази, де одне із чисел замінюється крапками або порожнім квадратом. Називають цей запис виразом «з віконцем» (+4 – вираз з віконцем).

Типовими завданнями, що містять буквені вирази, є завдання знаходження значень виразів за умови, що буква приймає різні значенняіз заданого переліку значень. (Вирахуй значення виразів а+ ві а— в, якщо а= 42, в= 90 або а = 100, в= 230). Для обчислення значень буквених виразів задані значення змінних по черзі підставляють вирази і далі працюють як з числовими виразами.

Літерні вирази можуть використовуватися для введення узагальнених записів властивостей арифметичних дій, формують уявлення про можливість змінних значень компонентів дій та дозволяють підвести дітей до центрального математичного поняття «змінна величина». Крім того, за допомогою літерних виразів діти усвідомлюють властивості існування значень суми, різниці, твору, часткового на безлічі цілих невід'ємних чисел. Так, у виразі а+ вза будь-яких значень змінних аі вможна обчислити значення суми, а значення виразу а— в, на зазначеній множині можна обчислити тільки в тому випадку, якщо вменше або дорівнює а. Аналізуючи завдання, створені задля встановлення можливих обмежень для значень аі ву виразах а ві а: в, Діти встановлюють властивості існування значення твору та значення частки в адаптованому до віку вигляді.

Буквена символіка використовується як засіб узагальнення знань та уявлень дітей про кількісні характеристикиоб'єктів навколишнього світу та про властивості арифметичних дій. Узагальнююча роль буквеної символіки робить її дуже сильним апаратом для формування узагальнених уявлень та способів дій з математичним змістом, що, безсумнівно, підвищує можливості математики у розвитку та формуванні абстрактних форммислення.

7.2. Вивчення рівностей та нерівностей у курсі

математики початкових класів

Порівняння чисел та/або виразів призводить до появи нових математичних понять «рівність» та «нерівність».

Рівністюназивають запис, що містить два вирази з'єднані знаком «=» - одно (3 = 1 + 2; 8 + 2 = 7 + 3 - рівності).

Нерівністюназивають запис, що містить два вирази і знак порівняння, що вказує на відносини «більше» або «менше» між даними виразами

(3 < 5; 2+4 >2+3 - нерівності).

Рівності та нерівності бувають вірними та невірними. Якщо значення виразів, які у лівої і правої частини рівності, збігаються, то рівність вважається вірним, якщо ні, то рівність буде неправильним. Відповідно: якщо в записі нерівності знак порівняння правильно вказує на відносини між числами (елементарними виразами) або значеннями виразів, то нерівність вірна, інакше нерівність невірна.

Більшість завдань у математиці пов'язані з обчисленням значень выражений. Якщо значення виразу знайдено, то вираз та його значення можна поєднати знаком «рівно», що записано у вигляді рівності: 3+1=4. Якщо значення виразу обчислили правильно, то рівність називають вірною, якщо неправильно, то записану рівність вважають неправильною.

З рівностями діти знайомляться у першому класі одночасно з поняттям «вираз» у темі «Числа першого десятка». Освоюючи символічну модель освіти наступного та попереднього числа, Діти записують рівності 2 + 1 = 3 і 4 - 1 = 3. Надалі рівності активно використовуються при вивченні складу однозначних чисел і далі з цим поняттям пов'язане вивчення практично кожної теми в курсі математики початкової школи.

Питання запровадження понять «вірне» і «неправильне» рівності у різних програмах вирішується неоднозначно. У системі «Школа 2000…» це поняття вводять одночасно із записом рівності, у системі «Школа Росії» — щодо теми «Склад однозначних чисел» у записах рівностей «з віконцем» (+3 = 5; 3 + = 5). Підбираючи число, що можна вставити у віконце, діти переконуються у цьому, що у одних випадках виходять вірні, а інших неправильні рівності. Слід зауважити, що дані математичні записи з одного боку дозволяють закріпити склад чисел чи інший обчислювальний матеріал на тему уроку, з іншого, формують уявлення про змінну величину і є підготовкою до засвоєння поняття «рівняння».

У всіх програмах найчастіше використовуються два види завдань, пов'язаних з поняттями рівності та нерівності, вірні та невірні рівності та нерівності:

· Дані числа або вирази, потрібно між ними поставити знак так, щоб запис був вірним. Наприклад, «Постав знаки: «<», «>», «=» 7-5 … 7-3; 6+4...6+3».

· Дані записи зі знаком порівняння, треба підставити замість віконця такі числа, щоб вийшла правильна рівність чи нерівність. Наприклад, «Підбери числа так, щоб записи були вірними: > ; або +2< +3».

Якщо порівнюються два числа, то вибір знака діти доводять, спираючись на принцип побудови ряду натуральних чисел, Значність числа або його склад. Порівнюючи два числові вирази або вирази з числом, діти обчислюють значення виразів, а потім порівнюють їх значення, тобто зводять порівняння виразів до порівняння чисел. У освітній системі"Школа Росії" цей спосіб дається у вигляді правила: "Порівняти два вирази - значить, порівняти їх значення". Той самий набір дій діти виконують перевірки правильності виконаного порівняння. «Перевір, чи вірні нерівності:

42 + 6> 47; 47 - 5> 47 - 4».

Найбільший ефект, що розвиває, мають завдання, що вимагають поставити знак порівняння (або перевірити чи правильно поставлено знак порівняння) не обчислюючи значень виразів даних у лівій і правій частинахнерівності (рівності). І тут діти повинні поставити знак порівняння, спираючись на виявлені математичні закономірності.

Форма пред'явлення завдання та способи оформлення його виконання варіюється як у межах однієї програми, і у різних програмах.

Традиційно під час вирішення нерівностей зі змінноювикористовувалося два способи: спосіб підбору та спосіб зведення до рівності.

Перший спосібназивають способом підбору, що цілком відображає дії, що виробляються дитиною при його використанні. При цьому способі значення не відомого числапідбирається або з довільної множини чисел, або із заданої їх сукупності. Після кожного вибору значення змінної ( невідомого числа) здійснюється перевірка правильності вибору. Для цього в задану нерівність замість невідомого числа підставляється знайдене значення. Обчислюється значення лівої та правої частини нерівності (значення однієї з частин може бути елементарним виразом, тобто числом), а потім порівнюється значення лівої та правої частини отриманої нерівності. Всі ці дії можуть виконуватися усно або із записом проміжних обчислень.

Другий спосібполягає в тому, що в записі нерівності замість знака<» или «>ставлять знак рівності і вирішують рівність відомим дітям способом. Потім проводяться міркування, при яких використовуються знання дітей про зміну результату дії залежно від зміни одного з його компонентів та визначаються допустимі значеннязмінної.

Наприклад, «Визнач, які значення може набувати ау нерівності 12 - а < 7». Решение и образец рассуждений:

· Знайдемо значення а, якщо 12 – а= 7

· Обчислюю, застосовуючи правило знаходження невідомого віднімається: а= 12 — 7, а= 5.

· Уточнюю відповідь: при арівному 5-ти («корінь рівняння дорівнює 5-ти» в системі Занкова і «Школа 2000 ...») значення виразу 12 - 5 дорівнює 7, а нам потрібно знайти такі значення цього виразу, які були б менше 7-ми, значить треба з 12 віднімати числа великі п'яти. Це можуть бути числа 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. більша кількістьми віднімаємо з одного і того ж числа, тим менше значеннярізниці). Значить, а= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Значення великі 12-ти змінна априймати не може, тому що більшу кількість з меншої віднімати не можна (ми не вміємо, якщо не вводяться негативні числа).

Приклад такого завдання з підручника 3 класу (1-4), автори: І.І. Аргінська, Є.І. Іванівська:

№ 224. «Розв'яжи нерівності, використовуючи розв'язання відповідних рівнянь:

до— 37 < 29, 75 — з > 48, а+ 44 < 91.

Перевір свої рішення: підстав у кожну нерівність кілька чисел, більших і менших кореня відповідного рівняння.

Склади свої нерівності з невідомими числами, розв'яжи їх і перевір знайдені рішення.

Запропонуй своє продовження завдання».

Слід зазначити, що низка технологій та програм навчання, посилюючи логічну складову та значно перевищуючи стандартні вимоги до змісту математичної освітив початкових класах, вводять поняття:

Ø змінна величина, значення змінної;

Ø поняття «висловлювання» (вірні та невірні твердження називають висловлюванням (М3П)), «справжні та хибні висловлювання»;

Ø розглядають системи рівнянь (І.І. Аргінська, Є.І. Іванівська).

7.3. Вивчення рівнянь у курсі математики

початкових класів

Рівність, що містить змінну величину, називають рівнянням.Вирішити рівняння — отже, знайти таке значення змінної величини (невідомого числа), у якому рівняння перетворюється на правильне числове рівність. Значення змінної, у якому рівняння перетворюється на правильну рівність, називають коренем рівняння.

У деяких освітніх системах («Школа Росії» та «Гармонія») запровадження поняття «змінної» не передбачається. Вони рівняння трактується як рівність, що містить невідоме число. І далі, вирішити рівняння, значить, знайти таке число, при підстановці якого замість невідомого виходить вірна рівність. Це число називають значенням невідомого чи рішенням рівняння. Таким чином, термін «вирішення рівняння» використовується у двох сенсах: як число (корінь), при підстановці якого замість невідомого числа рівняння звертається до правильної рівності, і як сам процес розв'язання рівняння.

У більшості програм та систем навчання у початковій школі розглядають два способи розв'язання рівнянь.

1. У задане рівняннязамість невідомої кількості підставляється знайдене значення.

2. Обчислюється значення лівої та правої частини рівняння (значення однієї з частин може бути елементарним виразом, тобто числом).

3. Порівнюється значення лівої та правої частини отриманої рівності.

4. Робиться висновок про вірність чи невірність отриманої рівності і далі, чи є знайдене число рішенням (коренем) рівняння.

Спочатку виконується тільки перша дія, а інші промовляються. Цей алгоритм перевірки зберігається кожного способу розв'язання рівняння.

Ряд систем навчання («Школа 2000», система навчання Д.Б. Ельконіна – В.В. Давидова) для вирішення простих рівняньвикористовують залежність між частиною та цілим.

8 + х=10; 8 та х -частини; 10 – ціле. Щоб знайти частину можна відняти відому частину: х= 10 — 8; х= 2.

У цих системах навчання, ще на етапі розв'язання рівнянь способом підбору в мовну практику вводиться поняття «корінь рівняння» і сам спосіб розв'язання називають рішенням рівняння за допомогою «підбору коренів».

Другий спосібрішення рівняння спирається на залежність між результатом та компонентами дії. З цієї залежності випливає правило перебування одного з компонентів. Наприклад, залежність між значенням суми та одним із доданків звучить так: «якщо від значення суми двох доданків відняти одне з них, то вийде інше доданок». З цієї залежності випливає правило знаходження одного із доданків: «щоб знайти невідомий доданок, Треба від значення суми відняти відомий доданок ». Вирішуючи рівняння, діти міркують так:

Завдання: Розв'яжи рівняння 8 + х= 11.

У цьому рівнянні невідомо другий доданок. Ми знаємо, щоб знайти другий доданок потрібно від значення суми відняти перший доданок. Отже, треба від 11 відняти 8. Записую: х= 11 – 8. Обчислюю, 11 мінус 8 і 3, пишу х= 3.

Повний запис рішення з перевіркою матиме такий вигляд:

8 + х = 11

х = 11 — 8

х = 3

Названим вище способом вирішуються рівняння з двома та більше діями з дужками і без них. У цьому випадку потрібно визначити порядок дій у складовому виразі і, називаючи компоненти у складовому виразі за останньою дією, слід виділити невідоме, яке у свою чергу може бути виразом на додавання, віднімання, множення або поділ (виражено сумою, різницею, твором чи приватним) . Потім застосовують правило для знаходження невідомого компонента, вираженого сумою, різницею, добутком або приватним, враховуючи назви компонентів за останньою дією у складовому виразі. Виконавши обчислення відповідно до цього правила, отримують просте рівняння (або знову складене, якщо спочатку у виразі було три або більше символів дій). Його рішення проводиться за вже описаним вище алгоритмом. Розглянемо таке завдання.

Розв'яжи рівняння ( х + 2) : 3 = 8.

У цьому рівнянні невідомо ділене, виражене сумою чисел хі 2. (Відповідно до правил порядку дій у виразі, дію поділу виконують останнім).

Щоб знайти невідоме ділене, значення приватного можна помножити на дільник: х+ 2 = 8 × 3

Обчислюємо значення виразу праворуч від знака рівності, отримуємо: х+ 2 = 24.

Повний запис має вигляд: ( х+ 2) : 3 = 8

х+ 2 = 8 × 3

х+ 2 = 24

х = 24 — 2

Перевірка: (22 + 2): 3 = 8

У освітній системі «Школа 2000…» у зв'язку з широким використанням алгоритмів та його видів дається алгоритм (блок – схема) розв'язання таких рівнянь (див. схему 3).

Другий спосіб вирішення рівнянь досить громіздкий, особливо для складових рівнянь, де правило взаємозв'язку між компонентами та результатом дії застосовується багаторазово. У зв'язку з цим багато авторів програм (системи «Школа Росії», «Гармонія») зовсім не включають у програму початкових класів знайомство з рівняннями складної структуриабо вводять їх наприкінці четвертого класу.

У цих системах переважно обмежуються вивченням рівнянь наступних видів:

х+ 2 = 6; 5 + х= 8 - рівняння на знаходження невідомого доданку;

х – 2 = 6; 5 – х= 3 - рівняння на знаходження невідомого зменшуваного і віднімається відповідно;

х× 5 = 20, 5 × х= 35 - Рівняння на знаходження невідомого множника;

х: 3 = 8, 6: х= 2 - рівняння на знаходження невідомого дільника та дільника відповідно.

х× 3 = 45 - 21; х× (63 - 58) = 20; (58 - 40): х= (2 × 3) — рівняння, де одне або два числа, що входять до рівняння, представлено числовим виразом. Спосіб розв'язання цих рівнянь зводиться до обчислення значень цих виразів, після чого рівняння набуває вигляду одного з простих рівнянь вище зазначених видів.

Ряд програм навчання математики в початкових класах (освітня система Л.В. Занкова та «Школа 2000…») практикують знайомство дітей з більш складними рівняннями, де правило взаємозв'язку між компонентами та результатом дії доводиться застосовувати багаторазово і, нерідко, вимагають виконання дій щодо перетворення однієї з частин рівняння на основі властивостей математичних дій. Наприклад, у цих програмах учням у третьому класі для вирішення пропонуються такі рівняння:

3× х — (20 + х) = 70 або 2 × х- 8 + 5 × х= 97.

У математиці існує і третій спосібвирішення рівнянь, що спирається на теореми про рівносильність рівнянь та наслідки з них. Наприклад, одна з теорем про рівносильність рівнянь у спрощеному формулюванні читається так: «Якщо до обох частин рівняння з областю визначення хдодати одне й те саме вираз зі змінною, певне на тому ж множині, то отримаємо нове рівняння, рівносильне даному».

З цієї теореми випливають наслідки, які використовуються під час вирішення рівнянь.

Наслідок 1. Якщо до обох частин рівняння додати те саме число, то отримаємо нове рівняння рівносильне даному.

Наслідок 2. Якщо в рівнянні один із доданків (числовий вираз або вираз зі змінною) перенести з однієї частини в іншу, помінявши знак доданку на протилежний, то отримаємо рівносильне рівняння даному.

Таким чином, процес розв'язування рівняння зводиться до заміни даного рівняння, рівносильним, причому ця заміна (перетворення) може здійснюватися лише з урахуванням теорем про рівносильність рівнянь чи наслідків їх.

Цей спосіб розв'язання рівнянь є універсальним, із нею дітей знайомлять у системі навчання Л.В. Занкова та у старших класах.

У методиці роботи над рівняннями накопичено велике число творчих завдань :

· На вибір рівнянь за заданою ознакою з ряду запропонованих;

· На порівняння рівнянь і способів їх рішень;

· На складання рівнянь за заданими числами;

· На зміну в рівнянні одного з відомих чисел так, щоб значення змінної стало більше (менше), ніж спочатку знайдене значення;

· На підбір відомого числа в рівнянні;

· Складання алгоритмів рішення з опорою на блок-схеми рішення рівнянь або без них;

· Складання рівнянь за текстами завдань.

Слід зазначити, що у сучасних підручникахспостерігається тенденція до запровадження матеріалу на понятійному рівні. Наприклад, кожному з названих понять дається розгорнуте визначення, що відбиває його суттєві ознаки. Однак не всі визначення, що зустрічаються, відповідають вимогам принципу науковості. Наприклад, поняття «вираження» в одному з підручників математики для початкових класів трактується так: «Математичний запис з арифметичних дій, що не містить знаків більше, менше або одно називається виразом» (освітня система «Школа 2000»). Зауважимо, що в даному випадкувизначення складено неправильно, оскільки у ньому описано те, що у запису немає, але невідомо, що є. Це досить типова неточність, яку допускають у визначенні.

Зауважимо, що визначення поняттям даються не відразу, тобто. не при первинному знайомстві, а у відстроченому часі, після того, як діти познайомилися з відповідним математичним записом і навчилися нею оперувати. Визначення даються найчастіше у неявному вигляді, описово.

Для довідки: У математиці зустрічаються як явні, так і неявнівизначення понять. Серед явнихвизначень найпоширеніші визначення через найближчий рід та видову відмінність. (Рівняння – це рівність, що містить змінну величину.). Неявні визначенняможна розділити на два види: контекстуальні та остенсивні. У контекстуальних визначеннях зміст нового поняття розкривається через уривок тексту, через аналіз конкретної ситуації.

Наприклад: 3+ х= 9. х- Невідоме число, яке треба знайти.

Остенсивні визначення використовуються для запровадження термінів шляхом демонстрації об'єктів, які цими термінами позначаються. Тому це визначення ще називають визначеннями шляхом показу. Наприклад, у такий спосіб визначаються у початкових класах поняття рівності та нерівності.

2 + 7 > 2 + 6 9 + 3 = 12

78 — 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

нерівності рівності

7.4. Порядок виконання дій у виразах

Наші спостереження та аналіз учнівських робітпоказує, що вивчення даної змістовної лінії супроводжується наступними видамипомилок школярів:

· не можуть правильно застосувати правило порядку дій;

· Неправильно відбирають числа для виконання дії.

Наприклад, у виразі 62 + 30: (18 - 3) виконують дії в наступному порядку:

62 + 30 = 92 або так: 18 - 3 = 15

18 — 3 = 15 30: 15 = 2

30: 15 = 2 62 + 30 = 92

Маючи дані про типових помилках, що виникають у школярів можна виділити дві основні дії, які слід формувати у процесі вивчення даної змістовної лінії:

1) дію щодо визначення порядку виконання арифметичних дій у числовому вираженні;

2) дію щодо відбору чисел для обчислення значень проміжних математичних дій.

У курсі математики початкових класів зазвичай правила порядку дій формулюються у вигляді.

Правило 1. У виразах без дужок, що містять тільки додавання та віднімання або множення та поділ, дії виконуються в тому порядку, як вони записані: зліва направо.

Правило 2У виразах без дужок спочатку виконуються по порядку зліва направо множення або поділ, а потім додавання або віднімання.

Правило 3. У виразах з дужками спочатку обчислюють значення виразів у дужках. Потім по порядку зліва направо виконуються множення або поділ, а потім додавання або віднімання.

Кожне з цих правил орієнтоване на певний вид виразів:

1) вирази без дужок, що містять тільки дії одного ступеня;

2) вирази без дужок, що містять дії першого та другого ступеня;

3) вирази з дужками, що містять дії, як першого, так і другого ступеня.

За такої логіки введення правил та послідовності їх вивчення вищеназвані дії складаються з нижчеперелічених операцій, оволодіння якими та забезпечує засвоєння даного матеріалу:

§ розпізнати структуру вираження та назвати, до якого типу воно відноситься;

§ співвіднести даний вираз із правилом, яким треба керуватися при обчисленні його значення;

§ встановити порядок дій відповідно до правила;

§ правильно відібрати числа для виконання чергової дії;

§ виконати обчислення.

Дані правила вводяться у третьому класі як узагальнення визначення порядку дій у висловлюваннях різної структури. Потрібно зауважити, що до знайомства з цими правилами діти вже зустрічалися з дужками. У першому і другому класах щодо властивостей арифметичних процесів (поєднувальна властивість додавання, розподільна властивість множення і розподілу), вміють обчислювати значення виразів, містять дії однієї щаблі, тобто. їм знайоме правило № 1. Оскільки вводиться три правила, що відбивають порядок дій у виразах трьох видів, необхідно, передусім, навчити дітей виділяти різні висловлювання з погляду тих ознак, куди орієнтоване кожне правило.

В освітній системі «Гармоніяосновну роль у вивченні цієї теми відіграє система доцільно підібраних вправ, через виконання яких діти засвоюють загальний спосібвизначення порядку дій у виразах різної структури. Слід зазначити, автор програми з математики у цій системі дуже логічно вибудовує методику запровадження правил порядку дій, послідовно пропонує дітям вправи для відпрацювання операцій, які входять до складу вище названих дій. Найчастіше зустрічаються завдання:

ü на порівняння виразів та подальше виявлення в них ознак подібності та відмінності (ознака подібності відображає тип виразу, з точки зору його орієнтації на правило);

ü на класифікацію виразів за заданою ознакою;

ü на вибір виразів із заданими характеристиками;

ü на конструювання виразів за заданим правилом (умовою);

ü на застосування правила у різних моделях виразів (символічної, схематичної, графічної);

ü на складання плану чи блок-схеми порядку виконання дій;

ü на постановку дужок у виразі при заданому його значенні;

ü визначення порядку дій у вираженні при обчисленому його значенні.

У системах «Школа 2000…»і « початкова школаХХI століття»пропонується дещо інший підхід до вивчення порядку дій у складових виразах. У цьому підході основна увага приділяється розумінню учнями структури висловлювання. Найважливішим навчальною дієюпри цьому є виділення у складовому виразі кількох частин (розбиття виразу на частини). У процесі обчислення значень складових виразів учні користуються робочими правилами:

1. Якщо вираз містить дужки, його розбивають на частини так, щоб одна частина з іншою були з'єднані діями першого ступеня (знаками «плюс» і «мінус»), не укладеними в дужки, знаходять значення кожної частини, а потім дії першого ступеня виконують по порядку – зліва направо.

2. Якщо у виразі немає дій першого ступеня, не укладених у дужки, але є дії множення та поділу, які не укладені у дужки, то вираз розбивають на частини, орієнтуючись на ці знаки.

Ці правила дозволяють проводити обчислення значень виразів, що містять велику кількість арифметичних дій.

Розглянемо приклад.

Знаками плюс і мінус, не укладеними в дужки, розіб'ємо вираз на частини: від початку до першого знака (мінус), не укладеного в дужки, потім від цього до наступного (плюс) і від знака плюс до кінця.

3 · 40 - 20 · (60 - 55) + 81: (36: 4)

Вийшло три частини:

1 частина - 3 40

2 частина - 20 · (60 - 55)

та 3 частина 81: (36: 4).

Знаходимо значення кожної частини:

1) 3 · 40 = 120 2) 60 — 55 = 5 3) 36: 4 = 9 4) 120 -100 = 20

20 · 5 = 100 81: 9 = 9 20 + 9 = 29

Відповідь: значення виразу 29.

Ціль семінарівпо даній змістовній лінії

· реферувати та рецензувати статті (допомоги) дидактичного, педагогічного та психологічного змісту;

· Складати картотеку до доповіді, для вивчення конкретної теми;

· Виконувати логіко-дидактичний аналіз шкільних підручників, навчальних комплектів, і навіть аналіз реалізації у підручниках певної математичної ідеї, лінії;

· Підбирати завдання для навчання поняттям, обґрунтування математичних тверджень, формування правила або побудови алгоритму.

Завдання для самопідготовки

Тема заняття. Характеристика понять «вираз», «рівність», «нерівність», «рівняння» та методика їх вивчення у різних методичних

Лекція 8. Методика вивчення матеріалу алгебри.

Лекція 7. Поняття периметра багатокутника

1. Методика розгляду елементів алгебри.

2. Числові рівності та нерівності.

3. Підготовка до ознайомлення зі змінною. Елементи буквене позначення символіки.

4. Нерівності зі змінною.

5. Рівняння

1. Введення елементів алгебри в початковий курс математики дозволяє від початку навчання вести планомірну роботу спрямовану формування у дітей таких найважливіших математичних понять як: вираз, рівність, нерівність, рівняння. Ознайомлення з використанням літери як символу, що позначає будь-яке число з відомої дітям області чисел, створює умови для узагальнення багатьох початковому курсіпитань арифметичної теорії, є гарною підготовкою до ознайомлення дітей надалі з поняттями в змінної функцій. Більш раннє ознайомлення з використанням способу розв'язання алгебри дозволяє задачі внести серйозніше вдосконалення на всю систему навчання дітей вирішенню різноманітних текстових завдань.

Завдання: 1.Сформувати в учнів уміння читати, записувати і порівнювати числові вирази.2. Познайомити учнів з правилами виконання порядку дій у числових виразах та виробити вміння обчислювати значення виразів відповідно до цих правил. Сформувати в учнів уміння читати, записувати буквені висловлювання і обчислювати їх значення за даних значеннях букв.4. Познайомити учнів з рівняннями 1-го ступеня, що містить події першого і другого ступеня, сформувати вміння вирішувати їх методом підбору, а також на основі знання взаємозв'язку між компонентами і результатом арифметичних процесів.

Програмою початкових класів передбачається знайомство учнів з використанням буквеної символіки, рішень елементарних рівняньпершого ступеня з одним невідомим та застосування їх до завдань в одну дію. Ці питання вивчаються в тісного зв'язкуз арифметичним матеріалом, що сприяє формуванню числа та арифметичних дій.

З перших днів навчання розпочинається робота з формування у учнів понять рівності. Спочатку діти вчаться порівнювати безліч предметів зрівнювати нерівні групи, перетворювати рівні групи на нерівні. Вже щодо десятка чисел вводяться вправи порівняння. Спочатку вони виконуються із опори на предмети.

Поняття про вираз формується у молодших школяріву тісному зв'язку з поняттями про арифметичні дії. У методиці роботи над виразами передбачається два етапи. На 1-формується поняття про найпростіші вирази (сума, різницю, твір, приватне двох чисел), а на 2- про складні (сума твору та числа, різницю двох приватних і т. п.). Вводяться терміни «математичний вираз» та «значення математичного виразу» (без визначень). Після запису кількох прикладів на одну дію вчитель повідомляє, що ці приклади інакше називаються метаматематичними виразами. Під час вивчення арифметичних процесів включаються вправи порівняння висловів, їх ділять на 3 групи. Вивчення правил порядку действий. Ціль на даному етапі- спираючись на практичні вміння учнів, звернути увагу на порядок виконання дій у таких висловлюваннях і сформулювати відповідне правило. Учні самостійно вирішують підібрані вчителем приклади і пояснюють, в якому порядку виконували дії в кожному прикладі. Далі формулюють самі чи читають за підручником висновок. Тотожне перетворення висловлювання - це заміна даного виразу іншим, значення якого дорівнює значенню заданого виразу. Учні виконують такі перетворення висловів, спираючись на властивості арифметичних процесів і наслідки, які з них (як додати суму до числа, як відняти число з суми, як помножити число на твір та інших.). При вивченні кожної властивості учні переконуються в тому, що у виразах певного виду можна виконувати дії по-різному, але значення вираження при цьому не змінюється.

2. Числові вирази від початку розглядаються в нерозривному зв'язку з числовими рівними і нерівними. Числові рівності і нерівності діляться на «вірні» та «невірні». Завдання: порівнювати числа, порівнювати арифметичні вирази, вирішувати найпростіші нерівності з одним невідомим, переходити від нерівності до рівності та від рівності до нерівності

1. Вправа, спрямоване на уточнення знань учнів про арифметичні дії та їх застосування. При ознайомленні учнів з арифметичними діями порівнюються вирази 5+3 і 5-3; 8*2 та 8/2. Спочатку вирази порівнюються шляхом знаходження значень кожного та порівняння отриманих чисел. Надалі завдання виконується на основі того, що сума двох чисел більша від їх різниці, а добуток - більший за їх приватний; обчислення використовується лише для перевірки результату. Порівняння виразів виду 7+7+7 та 7*3 проводиться для закріплення знань учнів про зв'язок додавання та множення.

У процесі порівняння учні знайомляться з порядком виконання арифметичних процесів. Спочатку розглядаються вирази, зміст дужки, виду 16 – (1+6).

2. Після цього розглядається порядок дій у виразах без дужок, що містять дії одного і двох ступенів. Ці значення учні засвоюють у процесі виконання прикладів. Спочатку розглядаються порядок дій у виразах, що містять дії одного ступеня, наприклад: 23 + 7 - 4 , 70: 7 * 3. При цьому діти повинні засвоїти, що якщо виразів є тільки додавання і віднімання або тільки множення та поділ, то вони виконуються в тому порядку, в якому записані. Далі вводяться вирази, що містять дії обох щаблів. Учням повідомляється, що в таких виразах потрібно спочатку виконати по порядку дії множення та поділу, а потім додавання та віднімання, наприклад: 21/3+4*2=7+8=15; 16 +5 * 4 = 16 +20 = 36. Щоб переконати учнів у вкрай важливості дотримання порядку дій, корисно виконати їх в одному і тому ж вираженні в іншій послідовності та порівняти отримані результати.

3. Вправи, при виконанні яких учні засвоюють та закріплюють знання щодо співвідношення між компонентами та результатами арифметичних дій. Вони включаються вже при вивченні чисел десятка.

У цій групі вправ учні знайомляться з випадками зміни результатів дій з зміни одного з компонентів. Порівнюються вирази, у яких змінюється одне із доданків (6+3 і 6+4) чи зменшуване 8-2 і 9-2 тощо. Подібні завдання включаються також при вивченні табличного множення та поділу та виконуються за допомогою обчислень (5*3 та 6*3, 16:2 та 18:2) тощо. Надалі можна порівнювати ці висловлювання без опори на обчислення.

Розглянуті вправи тісно пов'язані з програмним матеріалом та сприяє його засвоєнню. Поряд з цим у процесі порівняння чисел та виразів учні отримують перші уявлення про рівність та нерівність.

Так, в 1 класі, де ще терміни «рівність» і «нерівність» не використовуються, вчитель може при перевірці правильності виконаних дітьми обчислень ставити питання в такій формі: «Коля додав до шести вісім і отримав 15. Вірне це рішення чи неправильне?», або пропонувати дітям вправи у яких потрібно перевірити рішення даних прикладів, знайти правильні записи тощо. Аналогічно під час розгляду числових нерівностейвиду 5<6,8>4 і більш складних вчитель може ставити питання в такій формі: «Чи вірні ці записи?», а після введення нерівності – «Чи вірні ці нерівності?».

Починаючи з 1 класу, діти знайомляться і з перетвореннями числових виразів, Виконуване на основі застосування вивчених елементів арифметичної теорії (нумерації, сенсу дій та інше). Наприклад, з урахуванням знання нумерації, розрядного складу чисел учні можуть уявити будь-яке число як суми його розрядних доданків. Це вміння використовується при розгляді перетворення висловлювань у зв'язку з вираженням багатьох обчислювальних прийомів.

У зв'язку з подібними перетвореннями вже в I класі діти зустрічаються з «ланцюжком» рівностей.

Лекція 8. Методика вивчення матеріалу алгебри. - Поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Лекція 8. Методика вивчення алгебраїчного матеріалу." 2017, 2018.

1.1. Загальні питанняметодики вивчення алгебраїчного матеріалу

1.2. Методика вивчення числових виразів.

1.3. Вивчення літерних виразів.

1.4. Вивчення числових рівностей та нерівностей.

1.5. Методика вивчення рівнянь.

1.6. Рішення простих арифметичних завданьза допомогою складання рівнянь.

1.1. Загальні питання методики вивчення алгебраїчного матеріалу

Введення алгебраїчного матеріалу в початковий курс математики дозволяє підготувати учнів до вивчення основних понять сучасної математики (змінна, рівняння, рівність, нерівність та ін), сприяє узагальненню арифметичних знань, формуванню у дітей функціонального мислення.

Учні початкових класів повинні отримати початкові відомості про математичні вирази, числові рівність і нерівності, навчитися вирішувати рівняння, передбачені навчальною програмоюта прості арифметичні задачі за допомогою складання рівняння ( теоретична основавибору арифметичної дії в яких зв'язок між компонентами та результатом відповідної арифметичної дії0.

Вивчення алгебраїчного матеріалу ведеться у зв'язку з арифметичним матеріалом.

1.2. Методика вивчення числових виразів

У математиці під виразом розуміють побудовану за певними правилами послідовність математичних символів, що позначають числа та дії з них.

Вирази виду: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - числові вирази; виду: 8-а; 30:в; 5+(3+с) - літерні вирази (вирази зі змінною).

Завдання вивчення теми

2) Ознайомити учнів із правилами порядку виконання арифметичних действий.

3) Навчити знаходити числові значеннявиразів.

4) Ознайомити з тотожними перетвореннями виразів з урахуванням властивостей арифметичних процесів.

Вирішення поставлених завдань здійснюється протягом усіх років навчання у початкових класах, починаючи з перших днів перебування дитини в школі.

У методиці роботи над числовими виразами передбачається три етапи: на першому етапі - формування понять про найпростіші вирази (сума, різницю, твір, приватне двох чисел); на другому етапі - про вирази, що містять два і більше арифметичні дії одного ступеня; на третьому етапі - про вирази, що містять два і більше арифметичні дії різних ступенів.

З найпростішими висловлюваннями - сумою та різницею - учнів знайомлять у першому класі (за програмою 1-4) з твором та приватним - у другому класі (з терміном «твір» - у 2 класі, з терміном «приватне» - у третьому класі).

Розглянемо методику вивчення числових виразів.

Виконуючи операції над множинами, діти, перш за все, засвоюють конкретний зміст додавання та віднімання, тому в записах виду 3+2, 7-1 знаки дій усвідомлюються ними як коротке позначенняслів «додати», «відняти» (до 3 додати 2). Надалі поняття про дії поглиблюються: учні дізнаються, що, додаючи (віднімаючи) кілька одиниць, ми збільшуємо (зменшуємо) число стільки ж одиниць (читання: 3 збільшити на 2), потім діти дізнаються назву знаків дій «плюс» (читання: 3 плюс 2), "мінус".

У темі «Складання та віднімання в межах 20» дітей знайомлять з поняттями «сума», «різниця» як назвами математичних виразів та як назвою результату арифметичних дій додавання та віднімання.

Розглянемо фрагмент уроку (2 кл.).

На дошку за допомогою води прикріпити 4 червоні та 3 жовті кола:

ТОВ ТОВ

Скільки червоних кіл? (Записати число 4)

Скільки жовтих кіл? (Записати число 3)

Яку дію над записаними числами 3 та 4 потрібно виконати, щоб дізнатися, скільки червоних та скільки жовтих кіл разом? (з'являється запис: 4+3).

Скажіть, крім, скільки всього кіл?

Такий вираз у математиці, коли між числами стоїть знак «+», називають сумою (Скажемо разом: сума) і читають так: сума чотирьох та трьох.

А тепер дізнаємося, чому дорівнює сума чисел 4 і 3 (даємо повну відповідь).

Аналогічно для різниці.

При вивченні додавання та віднімання в межах 10 включаються вирази, що складаються з 3 і більше чисел, з'єднаних однаковими і різними знакамиарифметичних дій: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 тощо. Розкриваючи зміст таких виразів, вчитель показує спосіб їхнього читання. Обчислюючи значення цих виразів, діти практично опановують правило про порядок арифметичних дій у висловлюваннях без дужок, хоч і не формулюють його: 10-3+2=7+2=9. Такі записи є першим кроком у виконанні тотожних перетворень.

Методика ознайомлення з виразами з дужками може бути різною (описати у зошит фрагмент уроку, підготуватися до проведення на практичних заняттях).

Уміння складати і знаходити значення виразу використовується дітьми при вирішенні арифметичних завдань, водночас тут відбувається подальше оволодіння поняттям «вираз», засвоюється конкретний зміст виразів у записах розв'язання задач.

Цікавим є вид роботи, запропонований латвійським методистом Я.Я. Менцисом.

Надається текст, наприклад, такий: «Хлопчик мав 24 р., тістечко коштує 6 р., цукерку 2 р.», пропонується:

а) скласти всі види виразів у цьому тексті і пояснити, що вони показують;

б) пояснити, що показують вирази:

2 кл. 3 кл.

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

У 3 класі поряд з виразами, розглянутими раніше, включають вирази, що складаються з двох простих виразів (37+6)-(42+1), а також що складаються з числа та твору або окремого двох чисел. Наприклад: 75-50:25+2. Там, де порядок виконання дій не збігається з порядком їхнього запису, використовують дужки: 16-6:(8-5). Діти повинні навчитися правильно читати та записувати ці висловлювання, знаходити їх значення.

Терміни «вираз», «значення висловлювання» запроваджуються без визначень. Для того, щоб дітям полегшити роботу з читання та знаходження значення складних виразів, методисти рекомендують використовувати схему, яка складається колективно та використовується при читанні виразів:

1) Встановлю, яка дія виконується останнім.

2) Подумаю, як називаються числа при виконанні цієї дії.

3) Прочитаю, чим виражені ці цифри.

Правила порядку виконання дій у складних висловлюваннях вивчаються у 3 класі, але практично деякі з них діти використовують у першому та другому класах.

Першим розглядається правило про порядок виконання дій у виразах без дужок, коли над числами виробляють або тільки додавання та віднімання, або множення та поділ (3 кл.). Мета роботи цьому етапі - спираючись на практичні вміння учнів, придбані раніше, звернути увагу до порядок виконання дій у таких висловлюваннях і сформулювати правило.

Підведення дітей до формулювання правила, усвідомлення його може бути різним. Головна опора на наявний досвід, максимально можлива самостійність, створення пошуку та відкриття, доказовості.

Можно використовувати методичний прийомШ.А. Амонашвілі «помилка вчителя».

Наприклад. Вчитель повідомляє, що при знаходженні значення наступних виразів у нього вийшли відповіді, у правильності яких він упевнений (відповіді закриті).

36:2 6 = 6 і т.д.

Пропонує дітям самим знайти значення виразів, а потім зіставити відповіді з відповідями, отриманими вчителем (на цей момент результати арифметичних дій відкриваються). Діти доводять, що вчителем допущені помилки та на основі вивчення приватних фактів формулюють правило (див. підручник математики, 3 кл.).

Аналогічно можна ввести решту правил порядку виконання дій: коли у виразах без дужок містяться дії 1 і 2 ступені, у виразах з дужками. Важливо, щоб діти усвідомили, що зміна порядку виконання арифметичних дій призводить до зміни результату, у зв'язку з чим математики вирішили домовитися і сформулювали правила, які необхідно дотримуватися.

Перетворення виразу - заміна даного виразу іншим із тим самим числовим значенням.Учні виконують такі перетворення висловлювань, спираючись на властивості арифметичних процесів і наслідки їх (,с.249-250).

При вивченні кожної властивості учні переконуються у тому, що у виразах певного видуможна виконувати дії по-різному, але значення вираження при цьому не змінюється. Надалі знання властивостей дій учні застосовують для перетворення заданих виразів на тотожні вирази. Наприклад, пропонуються завдання виду: продовжити запис так, щоб знак «=» зберігся:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

Виконуючи перше завдання, учні розмірковують так: зліва з 76 віднімають суму чисел 20 і 4 , праворуч з 76 відняли 20; щоб праворуч вийшло стільки ж, скільки ліворуч, треба праворуч ще відняти 4. Аналогічно перетворюються інші вирази, тобто, прочитавши вираз, учень згадує відповідне правило. І, виконуючи дії за правилом, отримує перетворений вираз. Щоб переконатися у правильності перетворення, діти обчислюють значення заданого та перетвореного виразів та порівнюють їх.

Застосовуючи знання властивостей дій для обґрунтування прийомів обчислень, учні I-IVкласів виконують перетворення виразів виду:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 18  30 = 18  (3  10) = (18  3)  10 = 540

Тут також необхідно, щоб учні як пояснювали, основі чого отримують кожне наступне вираз, а й розуміли, що це висловлювання з'єднані знаком « = », оскільки мають однакові значення. Для цього зрідка слід пропонувати дітям обчислювати значення виразів і порівняти їх. Це попереджає помилки виду: 75 - 30 = 70 - 30 = 40 +5 = 45, 24 12 = (10 + 2) = 24 10 +24 2 = 288.

Учні II-IV класів виконують перетворення виразів як на основі властивостей дії, а й у основі їх конкретного сенсу. Наприклад, суму однакових доданків замінюють добутком: (6+ 6 + 6 = 6 3, і навпаки: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Маючи також сенс дії множення, перетворять складніші висловлювання: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7=7 5.

На основі обчислень та аналізу спеціально підібраних виразів учнів IV класу підводять до висновку про те, що якщо у виразах з дужками дужки не впливають на порядок дій, то їх можна не ставити. Надалі, використовуючи вивчені властивості дій та правила порядку дій, учні вправляються у перетворенні виразів із дужками у тотожні їм висловлювання без дужок. Наприклад, пропонується записати дані вирази без дужок так, щоб їх значення не змінилися:

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Так, перше із заданих виразів діти замінюють виразами: 65 + 30-20, 65-20 +30, пояснюючи порядок виконання дій у них. Отже, учні переконуються, що значення висловлювання не змінюється за зміни порядку дій у тому разі, якщо у своїй застосовуються властивості дій.

Лекція 7. Поняття периметра багатокутника

1. Методика розгляду елементів алгебри.

2. Числові рівності та нерівності.

3. Підготовка до ознайомлення зі змінною. Елементи буквене позначення символіки.

4. Нерівності зі змінною.

5. Рівняння

1. Введення елементів алгебри в початковий курс математики дозволяє від початку навчання вести планомірну роботу спрямовану формування у дітей таких найважливіших математичних понять як: вираз, рівність, нерівність, рівняння. Ознайомлення з використанням літери як символу, що позначає будь-яке число з відомої дітям області чисел, створює умови для узагальнення багатьох на початковому курсі питань арифметичної теорії, є гарною підготовкою до ознайомлення дітей надалі з поняттями змінної функцій. Більш раннє ознайомлення з використанням способу розв'язання алгебри дозволяє задачі внести серйозніше вдосконалення на всю систему навчання дітей вирішенню різноманітних текстових завдань.

Завдання: 1.Сформувати в учнів уміння читати, записувати і порівнювати числові вирази.2. Познайомити учнів з правилами виконання порядку дій у числових виразах та виробити вміння обчислювати значення виразів відповідно до цих правил. Сформувати в учнів уміння читати, записувати буквені висловлювання і обчислювати їх значення за даних значеннях букв.4. Познайомити учнів з рівняннями 1-го ступеня, що містить дії першого і другого ступеня, сформувати вміння вирішувати їх способом підбору, а також на основі знання взаємозв'язку між компонентами та результатом арифметичних дій.

Програмою початкових класів передбачається знайомство учнів з використанням літерної символіки, розв'язування елементарних рівнянь першого ступеня з одним невідомим та застосування їх до завдань в одну дію. Ці питання вивчаються у зв'язку з арифметичним матеріалом, що сприяє формуванню числа та арифметичних дій.

Поняття про вираз формується у молодших школярів у зв'язку з поняттями про арифметичні дії. У методиці роботи над виразами передбачається два етапи. На 1-формується поняття про найпростіші вирази (сума, різницю, твір, приватне двох чисел), а на 2- про складні (сума твору та числа, різницю двох приватних і т. п.). Вводяться терміни «математичний вираз» та «значення математичного виразу» (без визначень). Після запису кількох прикладів на одну дію вчитель повідомляє, що ці приклади інакше називаються метаматематичними виразами. Під час вивчення арифметичних процесів включаються вправи порівняння висловів, їх ділять на 3 групи. Вивчення правил порядку действий. Мета цьому етапі - спираючись на практичні вміння учнів, звернути їх увагу порядок виконання дій у таких висловлюваннях і сформулювати відповідне правило. Учні самостійно вирішують підібрані вчителем приклади і пояснюють, у порядку виконували дії кожному прикладі. Потім формулюють самі чи читають за підручником висновок. Тотожне перетворення висловлювання - це заміна даного виразу іншим, значення якого дорівнює значенню заданого виразу. Учні виконують такі перетворення висловів, спираючись на властивості арифметичних процесів і наслідки, які з них (як додати суму до числа, як відняти число з суми, як помножити число на твір та інших.). При вивченні кожної якості учні переконуються у цьому, що у висловлюваннях певного виду можна виконувати по-різному, але значення висловлювання у своїй не змінюється.

2. Числові вирази від початку розглядаються в нерозривному зв'язку з числовими рівними і нерівними. Числові рівності та нерівності діляться на «вірні» та «невірні». Завдання: порівнювати числа, порівнювати арифметичні вирази, вирішувати найпростіші нерівності з одним невідомим, переходити від нерівності до рівності та від рівності до нерівності

2. Після цього розглядається порядок дій у виразах без дужок, що містять дії одного і двох ступенів. Ці значення учні засвоюють у процесі виконання прикладів. Спочатку розглядаються порядок дій у виразах, що містять дії одного ступеня, наприклад: 23 + 7 - 4 , 70: 7 * 3. При цьому діти повинні засвоїти, що якщо виразів є тільки додавання та віднімання або тільки множення та поділ, то вони виконуються в тому порядку у якому записані. Потім вводяться вирази, що містять дії обох щаблів. Учням повідомляється, що в таких виразах треба спочатку виконати по порядку дії множення та поділу, а потім додавання та віднімання, наприклад: 21/3+4*2=7+8=15; 16 +5 * 4 = 16 +20 = 36. Щоб переконати учнів у необхідності дотримання порядку дій, корисно виконати їх в одному і тому ж вираженні в іншій послідовності та порівняти отримані результати.

3. Вправи, при виконанні яких учні засвоюють та закріплюють знання щодо співвідношення між компонентами та результатами арифметичних дій. Вони включаються вже за вивчення чисел десятка.

У цій групі вправ учні знайомляться з випадками зміни результатів дій у залежність від зміни однієї з компонентів. Порівнюються вирази, у яких змінюється одне із доданків (6+3 і 6+4) чи зменшуване 8-2 і 9-2 тощо. Подібні завдання включаються також при вивченні табличного множення та поділу та виконуються за допомогою обчислень (5*3 та 6*3, 16:2 та 18:2) тощо. Надалі можна порівнювати ці висловлювання без опори на обчислення.

Так, у 1 класі, де ще терміни «рівність» і «нерівність» не використовуються, вчитель може при перевірці правильності виконаних дітьми обчислень ставити запитання у такій формі: «Коля додав до шести вісім і отримав 15. Чи вірне це рішення чи неправильне?» , або пропонувати дітям вправи у яких потрібно перевірити рішення даних прикладів, знайти правильні записи тощо. Аналогічно під час розгляду числових нерівностей виду 5<6,8>4 і більш складних вчитель може ставити запитання у такій формі: «Чи вірні ці записи?», а після введення нерівності – «Чи вірні ці нерівності?».

Починаючи з 1 класу діти знайомляться і з перетвореннями числових виразів, яке виконується на основі застосування вивчених елементів арифметичної теорії (нумерації, сенсу дій та інше). Наприклад, на основі знання нумерації, розрядного складу чисел учні можуть подати будь-яке число у вигляді суми його розрядних доданків. Це вміння використовується при розгляді перетворення висловлювань у зв'язку з вираженням багатьох обчислювальних прийомів.

У зв'язку з подібними перетвореннями вже в I класі діти зустрічаються з «ланцюжком» рівностей.

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Методика вивчення алгебраїчного матеріалу

Лекція 1. Математичні вирази

1.1 Вивчення поняття "математичний вираз"

Алгебраїчний матеріал вивчається, починаючи з 1 класу в тісному зв'язку з арифметичним та геометричним. Введення елементів алгебри сприяє спілкуванню понять про кількість, арифметичні дії, математичні відносини і водночас готує дітей до вивчення алгебри в наступних класах.

Основними алгебраїчними поняттямикурсу є "рівність", "нерівність", "вираз", рівняння". Визначень даних понять у курсі математики початкових класів немає. Учні усвідомлюють ці поняття на рівні уявлень у процесі виконання спеціально підібраних вправ.

Програмою з математики в 1-4 класах передбачається навчити дітей читати та записувати магматичні висловлювання: ознайомити з правилами порядком виконання дій та навчити ними користуватися при обчисленнях, ознайомити учнів із тотожними перетвореннями виразів.

p align="justify"> При формуванні у дітей поняття математичного вираження необхідно враховувати, що знак дії, поставлений між числами має двоякий зміст; з одного боку, він позначає дію, яку треба виконати над числами (наприклад, 6+4 – додати 4); з іншого боку, знак дії служить позначення виразу (6+4 - це сума чисел 6 і 4).

У методиці роботи над виразами передбачається два етапи. На першому з них формується поняття про найпростіші вирази (сума, різницю, твір, приватне двох чисел), а на другому - про складні (сума про, зведення та числа, різницю двох приватних і т.д.).

Знайомство з першим виразом – сумою двох; чисел відбувається в 1 класі при вивченні додавання до віднімання в межах 10. Виконуючи операції над множинами, діти, перш за все, засвоюють конкретний зміст додавання та віднімання, тому в записах виду 5+1, 6-2 знаки дій усвідомлюються ними як коротке позначення слів "додати", "відняти". Це знаходить відображення в читанні (до 5 додати 1 і 6, з 6 відняти 2 і 4). Надалі поняття про ці дії поглиблюються. Учні дізнаються, що, додаючи кілька одиниць, збільшуємо число стільки ж одиниць, а віднімаючи - зменшуємо його стільки ж одиниць. Це також знаходить відображення у новій формічитання записів (4 збільшити на 2 і 6, 7 зменшити на 2 і 5), Потім діти дізнаються назви знаків дій: "плюс", "мінус" і читають приклади, називаючи знаки дій (4+2=6, 7-3 = 4),

Ознайомившись із назвами компонентів та результатом дії додавання, учні використовують термін "сума" для позначення числа, що є результатом додавання. Спираючись на знання дітей про назви чисел при додаванні, вчитель пояснює, що в прикладах додавання запис, що складається з двох чисел, з'єднаних знаком "плюс", називається так само, як і число, що стоїть по інший бік від знака "рівно" (9 сума" 6+3 - теж сума). Наочно зображується це так:

Щоб діти засвоїли нове значення терміна "сума" як назва виразу, даються такі вправи: "Запишіть суму чисел 7 і 2; обчисліть, чому дорівнює сума чисел 3 і 4; прочитайте запис (6+3), скажіть, чому дорівнює сума; замініть число сумою чисел (9= ?+?); порівняйте суми чисел (6+3 і 6+2), скажіть, яка їх більше, запишіть зі знаком " більше " і прочитайте запис " . У процесі таких вправ учні поступово усвідомлюють подвійний зміст терміна "сума": щоб записати суму чисел, треба їх поєднати знаком "плюс"; Щоб знайти значення суми, треба скласти задані числа.

Приблизно в такому ж плані йде роботанад наступними виразами: різницею, добутком та приватним двох чисел. Однак тепер кожен з цих термінів вводиться відразу як назва виразу, і як назва результату дії. Вміння читати і записувати висловлювання, знаходити їх значення з допомогою відповідної дії виробляється у процесі багаторазових вправ, аналогічних вправ із сумою.

При вивченні додавання та віднімання в межах 10 включаються вирази, що складаються з трьох і більше чисел, з'єднаних однаковими або різними знакамипроцесів виду: 3 +1 +1, 4-1-1, 2 +2 +2. Обчислюючи значення цих виразів, діти у висловлюваннях опановують правило про порядок виконання Дій у виразах без дужок, хоч і не формулюють його. Дещо пізніше дітей вчать перетворювати вирази в процесі обчислень: наприклад: 7+5=3+5=8. Такі записи є першим кроком у виконанні тотожних перетворень.

Знайомство першокласників із виразами виду: 10 - (6+2), (7-4)+5 тощо. готує їх до вивчення правил додавання числа до суми, віднімання числа із суми та ін, до запису розв'язання складових завдань, а також сприяють глибшому засвоєнню поняття виразу.

Методика ознайомлення учнів із вираженням виду: 10+(6-2), (7+4)+5 тощо. готує їх до вивчення правил додавання числа до суми, віднімання числа із суми та ін, до запису розв'язання складових завдань, а також сприяють глибшому засвоєнню поняття виразу.

Методика ознайомлення учнів із виразом виду: 10+(6-2), (5+3) -1 то, можливо різною. Можна відразу вчити читати готові висловлювання за аналогією із зразком і обчислювати значення виразів, пояснюючи послідовність дій. Можливий і інший шлях ознайомлення дітей з виразами даного виду - складання цих виразів учнями із заданого числа та найпростішого виразу.

Уміння складати і знаходити значення виразів використовується учнями під час вирішення складових завдань, водночас тут відбувається подальше оволодіння поняттям висловлювання, засвоюється конкретний зміст виразів у записах рішень задач. Корисна в цьому плані вправа: дається умова завдання, наприклад, "Хлопчик мав 24 рублі. Морозиво коштує 12 рублів, а цукерка - 6 рублів". Діти повинні пояснити, що в цьому випадку показують такі вирази:

У другому класі вводяться терміни "математичний вираз" та "значення виразу" (без визначення). Після запису кількох прикладів на одну дію вчитель повідомляє, що ці приклади інакше називаються математичними виразами.

За завданням вчителя діти самі складають різні вирази. Вчитель пропонує обчислити результати та пояснює, що результати інакше називають значеннями математичних виразів. Потім розглядаються і складніші математичні висловлювання.

Надалі при виконанні різних вправспочатку вчитель, та був і діти вживають нові терміни (запишіть висловлювання, знайдіть значення висловлювання, порівняйте висловлювання тощо.).

У складних виразах знаки дій, що з'єднують найпростіші висловлювання, також мають подвійний зміст, що поступово розкривається учнями. Наприклад, у виразі 20+(34-8) знак "+" означає дію, яку треба виконати над числом 20 і різницею чисел 34 і 8 (до 20 додати різницю чисел 34 і 8). Крім того, знак "плюс" служить для позначення суми - це вираз є сума, в якій перший доданок 20, а другий доданок виражено різницею чисел 34 і 8.

Після того, як діти ознайомляться у другому класі з порядком виконання дій у складних висловлюваннях, приступають до формування понять суми, різниці, твору, приватного, в яких окремі елементи задані виразами.

Надалі, в процесі багаторазових вправ у читанні, складанні та записі виразів, учні поступово опановують уміння встановлювати вид складного виразу (у 2-3 дії).

Значно полегшує дітям роботу схема, яка складається колективно та використовується при читанні виразів:

встановити, яка дія виконується останнім;

згадати, як називаються числа під час виконання цієї дії;

Вправи у читанні та записі складних дій, Найпростішими висловлюваннями, допомагають дітям засвоїти правила порядку дій.

1.2 Вивчення правил порядку дій

Правила порядку виконання дій у складних висловлюваннях вивчаються у 2 класі, але деякі з них діти використовують ще 1 класі.

Спочатку розглядається правило про порядок виконання дій у виразах без дужок, коли над числами виробляють або тільки додавання та віднімання, або тільки множення та поділ. Необхідність введення виразів, що містять два і більше арифметичних дій одного ступеня, виникає при знайомстві учнів з обчислювальними прийомами додавання та віднімання в межах 10, а саме:

Аналогічно: 6 – 1 – 1, 6 – 2 – 1, 6 – 2 – 2.

Так як для знаходження значень цих виразів школярі звертаються до предметних дій, які виконуються в певному порядку, то вони легко засвоюють той факт, що арифметичні дії (додавання та віднімання), які мають місце у виразах, виконуються послідовно зліва направо.

З числовими виразами, що містять дії додавання та віднімання, а також дужки, учні вперше зустрічаються в темі "Складання та віднімання в межах 10". Коли діти зустрічаються з такими виразами в 1 класі, наприклад: 7 – 2 + 4, 9 – 3 – 1, 4 +3 – 2; у 2 класі, наприклад: 70 – 36 +10, 80 – 10 – 15, 32+18 – 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, вчитель показує, як читають та записують такі вирази і як знаходять їх значення (наприклад, 4*10:5 читають: 4 помножити на 10 та отриманий результат розділити на 5). На момент вивчення у 2 класі об'єкта "Порядок дій" учні вміють шукати значення виразів цього виду. Мета роботи на даному етапі - спираючись на практичні вміння учнів, звернути їхню увагу на порядок виконання дій у таких виразах та сформулювати відповідне правило. Учні самостійно вирішують підібрані вчителем приклади та пояснюють, у якому порядку виконували; дії у кожному прикладі. Потім формулюють самі чи читають за підручником висновок: якщо у виразі без дужок зазначені лише дії додавання та віднімання (або тільки дії множення та поділу), то їх виконують у тому порядку, в якому вони записані (тобто зліва направо).

Незважаючи на те, що у виразах виду а+в+с, а+(в+с) та (а+в)+с наявність дужок не впливає на порядок виконання дій у силу поєднаного закону складання, на цьому етапі учнів доцільніше зорієнтувати на те, що спочатку виконується дія у дужках. Це з тим, що з висловлювань виду а - (в+с) і а - (в - с) таке узагальнення неприйнятно і учням на початковому етапіДосить важко буде зорієнтуватися у призначенні дужок для різних числових виразів. Використання дужок у числових виразах, що містять дії складання та віднімання, надалі отримує свій розвиток, який пов'язаний з вивченням таких правил, як додавання суми до числа, числа до суми, віднімання суми з числа та числа з суми. Але при першому знайомстві з дужками важливо націлити учнів те що, що спочатку виконується дію в дужках.

Вчитель звертає увагу дітей на те, як важливо дотримуватися цього правила при обчисленнях, інакше можна отримати неправильну рівність. Наприклад, учні пояснюють, яким чином, отримані значення виразів: 70 - 36 +10 = 24, 60:10 - 3 = 2, чому вони неправильні, які значення насправді мають ці вирази. Аналогічно вивчають порядок дій у виразах з дужками виду: 65 – (26 – 14), 50: (30 – 20), 90: (2 * 5). З такими висловлюваннями учні також знайомі та вміють їх читати, записувати та обчислювати їх значення. Пояснивши порядок виконання дій у кількох таких висловлюваннях, діти формулюють висновок: у виразах із дужками першим виконується дія над числами, записаними у дужках. Розглядаючи ці висловлювання неважко показати, що у них виконуються над порядку, у якому записаны; щоб показати інший порядок їх виконання, та використані дужки.

Наступним вводиться правило порядку виконання дій у виразах без дужок, коли в них містяться дії першого та другого ступеня. Оскільки правила порядку дій прийняті за домовленістю, вчитель повідомляє їх дітям або ж учні знайомляться з ними за підручником. Щоб учні засвоїли введені правила, поряд із тренувальними вправамивключають рішення прикладів із поясненням порядку виконання їхніх дій. Ефективними є також вправи в поясненні помилок на порядок виконання дій. Наприклад, з заданих парприкладів пропонується виписати лише ті, де обчислення виконано за правилами порядку дій:

Після пояснення помилок можна дати завдання: використовуючи дужки, змінити порядок дій те щоб вираз мало задане значення. Наприклад, щоб перше з наведених виразів мало значення, що дорівнює 10, треба записати його так: (20+30):5=10.

Особливо корисні вправи обчислення значення висловлювання, коли учневі доводиться застосовувати все вивчені правила. Наприклад, на дошці чи зошитах записується вираз 36:6+3*2. Учні обчислюють його значення. Потім за завданням вчителя діти змінюють за допомогою дужок порядок дій у виразі:

Цікавою, але важчою є зворотна вправа: розставити дужки так, щоб вираз мав задане значення:

Також цікавими є вправи такого виду:

1. Розставте дужки так, щоб рівності були вірними:

25-17:4=2 3*6-4=6

2. Поставте замість зірочок знаки "+" або "-" так, щоб вийшли вірні рівності:

3. Поставте замість зірочок знаки арифметичних дій так, щоб рівності були вірними:

Виконуючи такі вправи, учні переконуються у цьому, що значення висловлювання може змінитися, якщо змінюється порядок действий.

Для засвоєння правил порядку дій необхідно в 3 і 4 класах включати дедалі більш ускладнюються вирази, при обчисленні значень яких учень застосовував би щоразу не одне, а два або три правила порядку виконання дій, наприклад:

90*8- (240+170)+190,

469148-148*9+(30 100 - 26909).

У цьому числа слід підбирати те щоб вони допускали виконання дій у порядку, що створює умови для свідомого застосування вивчених правил.

1.3 Ознайомлення із перетворенням виразів

Перетворення виразу - це заміна даного виразу іншим, значення якого дорівнює значенню цього виразу. Учні виконують такі освіти висловлювань, спираючись на властивості арифметичних дій і наслідки, які з них.

Під час вивчення кожного правила учні переконуються у цьому, що у висловлюваннях певного виду можна виконувати по-різному, але значення висловлювання у своїй не змінюється. Надалі знання властивостей дій учні застосовують перетворення заданих висловів на рівні їм висловлювання. Наприклад, пропонуються завдання виду: продовжити запис так, щоб знак "=" зберігся:

56- (20+1)=56-20...

(10+5) * 4=10*4...

60:(2*10)=60:10...

Виконуючи перше завдання, учні розмірковують так: зліва з 56 віднімають суму чисел 20 і 1, праворуч з 56 відняли 20; щоб праворуч вийшло стільки ж, скільки ліворуч, треба праворуч ще відняти 1. Аналогічно перетворюються інші вирази, тобто, прочитавши вираз, учень згадує відповідне правило і, виконуючи дії за правилом, отримує перетворений вираз. Щоб переконатися у правильності перетворення, діти обчислюють значення заданого та перетвореного виразів та порівнюють їх. Застосовуючи знання властивостей дій для обґрунтування прийомів обчислень, учні 2-4 класів виконують перетворення виразів виду:

54+30=(50+4)+20=(50+20)+4=70+4=74

72:3=(60+12):3=60:3+12:3=24

16 * 40=16 * (3 * 10)=(16 * 3) * 10=540

Тут також необхідно, щоб учні як пояснювали, основі чого отримують кожне наступне вираз, а й розуміли, що це висловлювання з'єднані знаком " = " , оскільки мають однакові значення. Для цього іноді слід пропонувати дітям обчислювати значення виразів та порівнювати їх. Це попереджає помилки виду:

75-30=70-30=40+5=45,

24*12=(10+2)=24*10 +24*2=288.

Учні 2 - 3 класів виконують перетворення виразів як на основі властивостей дії, а й основі визначень дій. Наприклад, суму однакових доданків замінюють добутком: 6+6+6=6*3, і навпаки: 9*4=9+9+9+9. Спираючись також на сенс дії множення, перетворять більше складні вирази: 8 * 4+8=8 * 5, 7 * 6 - 7 =7 * 5.

На основі обчислень та аналізу спеціально підібраних виразів учнів 3 класу підводять до висновку про те, що якщо у виразах з дужками дужки не впливають на порядок дій, то їх можна не ставити: (30+20)+10=30+20+10, (10-6): 4 = 10-6: 4 і т.д. Надалі, використовуючи вивчені властивості дій та правила порядку дій, учні вправляються у перетворенні виразів із дужками у тотожні їм висловлювання без дужок. Наприклад, пропонується записати дані вирази без дужок так, щоб їх значення не змінилися: (65+30) - 20 (20+4) * 3

Пояснюючи рішення першого із заданих виразів на основі правила віднімання числа із суми, діти замінюють його виразами: 65+30 - 20, 65 - 20+30, 30 - 20+65, пояснюючи порядок виконання дій у них. Виконуючи такі вправи, учні переконуються, що значення висловлювання не змінюється за зміни порядку дій у тому разі, якщо у своїй застосовуються властивості дій.

Таким чином, знайомство школярів початкових класів з поняттям виразтісно пов'язане з формуванням обчислювальних умінь та навичок. У той самий час запровадження поняття висловлювання дозволяє організувати відповідну роботу з розвитку математичної мови учнів.

Лекція 2. Буквена символіка, рівності, нерівності, рівняння

2.1 Методика ознайомлення з літерною символікою

Відповідно до програми з математики буквена символіка вводиться у 3 класі.

Тут учні знайомляться з літерою а як символом для позначення невідомого числа або одного з компонентів виразу при вирішенні виразів виду: запиши замість "віконця" літеру а. Знайти значення суми а+6 якщо а=8, а=7. Потім на наступних уроках знайомляться з деякими буквами латинського алфавіту, що позначають один із компонентів у виразі. З літерою х як символом для позначення невідомого числа при розв'язанні рівнянь виду: а+х=в, х - с =в - знайомляться в 4 чверті в 3 класі.

Введення літери як символу для позначення змінної дозволяє вже у початкових класах розпочати роботу над формуванням поняття змінної, раніше долучити дітей до математичної мовисимволів.

Підготовча робота до розкриття сенсу літери як символу для позначення змінної проводиться на початку навчального рокуу 3 класі. У цьому першому етапі діти знайомляться з деякими літерами латинського алфавіту (а, в, з, d, k) позначення змінної, тобто. одного з компонентів у виразі.

При введенні літерної символіки для позначення числової змінної важливу рольу системі вправ грає вміле комбінування індуктивного та дедуктивного методів. Відповідно до цього вправи передбачають переходи від числових виразів до літерних і, навпаки, від літерних виразів до числових. Наприклад, на дошку вивішується плакат з трьома кишенями, на яких написано: "1 доданок", "2 доданок", "сума".

У процесі розмови з учнями вчитель заповнює кишені плаката картками із записаними на них числами та математичними виразами:

Далі з'ясовується, чи можна ще скласти вирази, скільки таких виразів можна скласти. Діти становлять інші висловлювання і знаходять у яких загальне: однакову дію - додавання і різне - різні доданки. Вчитель пояснює, що замість того, щоб записувати різні числа, можна позначити будь-яке число, яке може бути доданком, якоюсь літерою, наприклад, а, будь-яке число, яке може бути другим доданком, наприклад, в. Тоді суму можна позначити так: а+ (відповідні картки виставляються в кишені плаката).

Вчитель пояснює, що а+в також математичне вираз, тільки в ньому доданки позначені літерами кожна з літер позначає будь-які числа. Ці числа називаються значеннями літер.

Аналогічно вводиться різниця чисел як узагальнений запис числових виразів. Щоб учні усвідомили, що літери, що входять у вираз, наприклад, в+с, можуть набувати безліч числових значень, а сам літерний вираз є узагальненим записом числових виразів, передбачаються вправи на перехід від літерних виразів до числових.

Учні переконуються, що, надаючи буквам особисті числові значення, можна отримати багато скільки завгодно числових виразів. У такому ж плані проводиться робота з конкретизації буквеного виразу – різниця чисел.

Далі у з роботою над висловлюваннями розкривається поняття постійної величини. З цією метою розглядаються вирази, в яких постійна величинафіксується за допомогою числа, наприклад: ±12, 8±с. Тут, як і першому етапі, передбачаються вправи перехід від числових виразів до виразів, записаним з допомогою букв і цифр, і назад.

З цією метою спочатку використовуються плакат з трьома кишенями.

Заповнюючи кишені плаката картками із записаними ними числами та математичними висловлюваннями, учні помічають, що значення першого доданка змінюються, а другого - не змінюються.

Вчитель пояснює, що другий доданок можна записати за допомогою чисел, тоді суму чисел можна записати так: т + 8, і картки вставляються у відповідні кишені плаката.

Аналогічним чином можна отримати математичні вирази виду: 17±а, ±30, а пізніше - вирази виду: 7 * в, с * 4, а: 8, 48: ст.

У 4 класі проводяться вправи виду: Знайди значення виразу а:в, якщо

а=3 400 і=2;

а = 2800 і = 7.

Коли учні усвідомлюють сенс буквеної символіки, можна використовувати літери як засіб узагальнення знань, що формуються у них.

Конкретною базою для використання літерної символіки як інструменту узагальнення є знання про арифметичні дії і ті знання, які формуються на їх основі.

До них відносяться поняття про арифметичні дії, їх властивості, про зв'язки між компонентами та результатами дій, про зміну результатів арифметичних дій залежно від зміни одного з компонентів тощо.

Таким чином, використання буквеної символіки сприяє підвищенню рівня узагальнення знань, які набувають учні початкових класів, і готує їх до вивчення систематичного курсу алгебри в наступних класах.

2.2 Числові рівності, нерівності

Поняття про рівність, нерівності та рівняння розкривається у взаємозв'язку. p align="justify"> Робота над ними ведеться з 1 класу, органічно поєднуючись з вивченням арифметичного матеріалу.

за новій програміставиться завдання навчити дітей виконувати порівняння чисел, а також порівняння виразів з метою встановлення відносин "більше", "менше", "рівно"; навчити записувати результати порівняння за допомогою знаків ">", "<", "=" и читать полученные равенства и неравенства.

Числові рівності та нерівності учні одержують на основі порівняння заданих чисел або арифметичних виразів. Спочатку у молодших Школярів формуються поняття лише про вірні Рівності та нерівності (5>4, 6<7, 8=8).

Згодом, коли учні накопичать досвід роботи над висловлюваннями та нерівностями зі змінною, після розгляду понять істинного та хибного (вірного та невірного) висловлювання переходять до такого визначення понять рівності та нерівності, за якими будь-які два числа, два вирази, поєднані одним із знаків “більше ", "менше" називається нерівністю. При цьому розрізняють вірні та невірні рівності та нерівності. У 3 класі пропонуються такі вправи: перевір, чи правильні дані рівності (4 чверть): 760 - 400 = 90 * 4; 630:7 = 640:8.

Але цих вправ мало. У 4 класі пропонуються аналогічні вправи та інші види: перевір, чи правильні нерівності: 478*24<478* (3*9); 356*10*6>356*16.

Ознайомлення з рівностями та нерівностями у початкових класах безпосередньо пов'язується з вивченням нумерації та арифметичних дій. математичний алгебра рівняння

Порівняння чисел здійснюється спочатку з урахуванням порівняння множин, яке виконується, як відомо, з допомогою встановлення взаємно-однозначного відповідності. Цьому способу порівняння множин навчають дітей у підготовчий період та на початку вивчення нумерації чисел першого десятка. Попутно виконується рахунок елементів множин та порівняння отриманих чисел. Надалі у порівнянні чисел учні спираються з їхньої місце у натуральному ряду: 9<10, потому что при счете число 9 называют перед числом 10, и т.д.

Встановлені відносини записуються за допомогою знаків ">", "<", "=", учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначны: чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда.

Порівняння іменованих чисел спочатку виконується з опорою на порівняння самих значень величин, а потім здійснюється на основі порівняння абстрактних чисел, для чого задані іменовані числа виражаються в однакових одиницях виміру.

Порівняння іменованих чисел викликає великі труднощі у учнів, тому, щоб навчити цієї операції, треба систематично у 2-4 класах пропонувати різноманітні вправи:

1 дм*1 см, 2 дм*2 см

Замініть рівним числом: 7 км 500 м = _____ м

3) Підберіть числа таким чином, щоб запис був вірний: ____ год< ____ мин, ___ см=__ дм и т.д.

4) Перевірити вірні чи невірні рівності дані, виправте знак, якщо рівності невірні:

4 т 8 ц = 480 кг, 100 хв. = 1 год, 2 м 5 см = 250 см.

Перехід до порівняння виразів здійснюється поступово. Спочатку у процесі вивчення складання і. віднімання в межах 10 діти тривалий час вправляються у порівнянні виразу та числа. Перші нерівності виду 3+1>3, 3 - 1<3 полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. В дальнейшем выражение и число учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами: находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:

Після знайомства з назвами виразів учні читають рівності та нерівності так: сума чисел 5 та 3 більша, ніж 5.

Маючи операції над множинами і порівняння множин, учні практично засвоюють важливі властивості рівностей і нерівностей (якщо а=в, то в=а). Порівняти два вирази - отже, порівняти їх значення. Порівняння чисел і виразів вперше включається щодо чисел не більше 20, та був щодо дій у всіх концентрах ці вправи систематично пропонуються дітям.

При вивченні дій в інших концентрах вправи на порівняння виразів ускладнюються: більш складними стають вирази, учням пропонуються завдання вставити до одного з виразів відповідне число те щоб отримати правильні рівності мулу нерівності, скласти з даних виразів правильні рівності чи правильні нерівності.

Таким чином, при вивченні всіх концентрів вправи на порівняння чисел і виразів, з одного боку, сприяють формуванню понять про рівність і нерівності, а з іншого боку, засвоєнню знань про нумерацію та арифметичні дії, а також вироблення обчислювальних навичок.

2.3 Методика ознайомлення з нерівностями зі змінною

Нерівності зі змінною вигляду: х+3< 7, 10 - х >5 вводяться у 3 класі. Спочатку змінна позначається не буквою, а "віконцем", потім позначається буквою.

Терміни "вирішити нерівність", "вирішення нерівності" не вводяться в початкових класах, оскільки в багатьох випадках обмежуються підбором лише кількох значень змінної, при якому виходить правильна нерівність. Вправи виконуються під керівництвом вчителя.

Вправи з нерівностями закріплюють обчислювальні навички, а також допомагають засвоєнню арифметичних знань. Підбираючи значення літери в нерівностях та рівностях виду: 5 + х = 5, 5 - х = 5 10 * х = 10, 10 * х<10, учащиеся закрепляют знания особых случаев действий. Но самым важным является то, что работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенств в 5 классе. В соответствии с программой в 1-4 классах рассматриваются упражнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х* (17 - 10)=70.

Вправи у початкових класах розглядаються як правильні рівності, рішення рівняння зводиться до пошуку того значення букви (невідомого числа), у якому даний вираз має зазначене значення. Знаходження невідомого числа у таких рівностях виконується на основі знання зв'язку між результатом та компонентами арифметичних дій. Ці вимоги програми визначають методику роботи над рівняннями,

2.4 Методика вивчення рівнянь

На підготовчому етапі до запровадження перших рівнянь щодо складення і віднімання не більше 10 учні засвоюють зв'язок між сумою і доданками. Крім того, до цього часу діти опановують вміння порівнювати вираз і число і отримують перші уявлення про числові рівність виду: 8 = 5 +3, 6 + 4 = 40. Велике значення в плані підготовки до введення рівнянь мають вправи на підбір пропущеного числа в рівності виду: 4+*=6, 5- *=2, У процесі виконання таких вправ діти звикають до думки, що невідомим може бути не тільки сума чи різниця, але й один із доданків.

Поняття про рівняння вводиться у 3 класі. Вирішуються рівняння усно, методом підбору, тобто. дітям пропонують прості рівняння виду: x + 3 = 5. Для вирішення таких рівнянь діти згадують склад чисел не більше 10, у разі склад числа 5 (3 і 2), отже, х=2.

У 4 класі вчитель показує запис рішення рівняння, спираючись на знання дітей про зв'язки між компонентами та результатом арифметичних дій. Наприклад, 6+х=15. Нам невідомо другий доданок, Щоб отримати другий доданок треба від суми відняти перший доданок.

Запис рішення:

Перевірка:

Учням треба пояснити, що коли проводимо перевірку, треба обов'язково після підстановки замість х отриманого числа знайти значення отриманого виразу.

Пізніше, наступному етапі, рівняння вирішуються з урахуванням знання правил знаходження невідомого компонента.

На кожен випадок приділяється окремий урок.

Розміщено на Allbest.ru

...

Подібні документи

Поняття нерівності, її сутність та особливості, класифікація та різновиди. Основні властивості числових нерівностей. Методика графічного розв'язання нерівностей другого ступеня. Системи нерівностей із двома змінними, із змінною під знаком модуля.

реферат, доданий 31.01.2009

Тригонометричні рівняння та нерівності у шкільному курсі математики. Аналіз матеріалу з тригонометрії у різних підручниках. Види тригонометричних рівнянь та методи їх вирішення. Формування навичок розв'язання тригонометричних рівнянь та нерівностей.

дипломна робота , доданий 06.05.2010

Теоретичні відомості на тему "Ознаки рівності трикутників". Методика вивчення теми "Ознаки рівності трикутників". Тема уроку "Трикутник. Види трикутників". "Властивості рівнобедреного та рівностороннього трикутників".

курсова робота , доданий 11.01.2004

Типи рівнянь, що допускають зниження порядку. Лінійне диференціальне рівняння вищого ладу. Теореми про властивості часткових розв'язків. Визначник Вронського та його застосування. Використання формули Ейлера. Знаходження коріння алгебраїчного рівняння.

презентація , доданий 29.03.2016

Поняття та математичний опис елементів диференціального рівняння як рівняння, що пов'язує потрібну функцію однієї або декількох змінних. Склад неповного та лінійного диференціального рівняння першого ладу, їх застосування в економіці.

реферат, доданий 06.08.2013

Метод аналітичного рішення (у радикалах) рівняння алгебри n-ого ступеня з поверненням до коренів вихідного рівняння. Власні значення знаходження функцій від матриць. Стійкість розв'язків лінійних диференціальних та різницевих рівнянь.

наукова робота, доданий 05.05.2010

Вигляд рівняння Ріккаті при довільному дробово-лінійному перетворенні залежної змінної. Властивості функції, що відбиває, її побудова для нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку. Формулювання та докази леми для ОФ рівняння Ріккаті.

курсова робота , доданий 22.11.2014

Основні напрямки розгортання лінії рівнянь та нерівностей у шкільному курсі математики, її зв'язок із числовою та функціональною системою. Особливості вивчення, аналітичний та графічний методи вирішення рівнянь та нерівностей, що містять параметри.

курсова робота , доданий 01.02.2015

Систематизація відомостей про лінійні та квадратичні залежності та пов'язані з ними рівняння та нерівності. Виділення повного квадрата як метод вирішення деяких нестандартних завдань. Характеристики функції |х|. Рівняння та нерівності, що містять модулі.

дипломна робота , доданий 25.06.2010

Аналіз особливостей розробки обчислювальної програми. Загальна характеристика методу найпростіших ітерацій. Знайомство з основними способами розв'язання нелінійного рівняння алгебри. Розгляд етапів розв'язання рівняння шляхом половинного поділу.