Як швидко розв'язувати логарифмічні рівняння. Вчимося вирішувати найпростіші логарифмічні рівняння

Логарифмічні рівняння. Продовжуємо розглядати завдання з частини В ЄДІ з математики. Ми з вами вже розглянули рішення деяких рівнянь у статтях "", "". У цій статті розглянемо логарифмічні рівняння. Відразу скажу, що жодних складних перетвореньпри розв'язанні таких рівнянь на ЄДІ не буде. Вони прості.

Достатньо знати та розуміти основне логарифмічне тотожністьзнати властивості логарифму. Після рішення ОБОВ'ЯЗКО необхідно зробити перевірку - підставити отримане значення у вихідне рівняння і обчислити, в результаті повинна вийти правильна рівність.

Визначення:

Логарифмом числа a на підставі b називається показник ступеня,до якого потрібно звести b, щоб отримати a.

Наприклад:

Log 3 9 = 2, оскільки 3 2 = 9

Властивості логарифмів:

Приватні випадки логарифмів:

Розв'яжемо завдання. У першому прикладі ми перевіримо. У наступних перевірку зробіть самостійно.

Знайдіть корінь рівняння: log 3 (4-x) = 4

Оскільки log b a = x b x = a, то

3 4 = 4 - x

x = 4 - 81

x = - 77

Перевірка:

log 3 (4-(-77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Правильно.

Відповідь: – 77

Вирішіть самостійно:

Знайдіть корінь рівняння: log 2 (4 – x) = 7

Знайдіть корінь рівняння log 5(4 + x) = 2

Використовуємо основну логарифмічну тотожність.

Оскільки log a b = x b x = a, то

5 2 = 4 + x

x = 5 2 - 4

x = 21

Перевірка:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Правильно.

Відповідь: 21

Знайдіть корінь рівняння log 3 (14 – x) = log 3 5.

Має місце наступна властивість, сенс його такий: якщо у лівій та правій частинах рівняння маємо логарифми з однаковою основою, то можемо прирівняти вирази, що стоять під знаками логарифмів.

14 - x = 5

x = 9

Зробіть перевірку.

Відповідь: 9

Вирішіть самостійно:

Знайдіть корінь рівняння log 5 (5 – x) = log 5 3.

Знайдіть корінь рівняння: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Якщо log c a = log c b, то a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x = 6

Зробіть перевірку.

Відповідь: 6

Знайдіть корінь рівняння log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 = 13 - x

x = 13 - 64

x = - 51

Зробіть перевірку.

Невеликий додаток – тут використовується властивість

ступеня ().

Відповідь: – 51

Вирішіть самостійно:

Знайдіть корінь рівняння: log 1/7 (7 – x) = – 2

Знайдіть корінь рівняння log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Перетворюємо праву частину. скористаємось властивістю:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Якщо log c a = log c b, то a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = - 21

Зробіть перевірку.

Відповідь: – 21

Вирішіть самостійно:

Знайдіть корінь рівняння: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Розв'яжіть рівняння log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Якщо log c a = log c b, то a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Зробіть перевірку.

Відповідь: 2,75

Вирішіть самостійно:

Знайдіть корінь рівняння log 5 (x2 + x) = log 5 (x2 + 10).

Розв'яжіть рівняння log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Необхідно з правого боку рівняння отримати вираз виду:

log 2 (......)

Представляємо 1 як логарифм із основою 2:

1 = log 2 2

log з (ab) = log з a + log з b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Отримуємо:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Якщо log c a = log c b, то a = b, отже

2 - x = 4 - 6x

5x = 2

x = 0,4

Зробіть перевірку.

Відповідь: 0,4

Вирішіть самостійно: Далі необхідно вирішити квадратне рівняння. До речі,

коріння дорівнює 6 і - 4.

Корінь "-4" не є рішенням, так як підстава логарифму має бути більше нуля, а при "– 4" воно дорівнює « – 5». Рішенням є корінь 6.Зробіть перевірку.

Відповідь: 6.

Р їжте самостійно:

Розв'яжіть рівняння log x –5 49 = 2. Якщо рівняння має більше одного кореня, у відповіді вкажіть менший з них.

Як ви переконалися, жодних складних перетворень із логарифмічними рівняннямині. Достатньо знати властивості логарифму та вміти застосовувати їх. У задачах ЄДІ, пов'язаних з перетворенням логарифмічних виразів, виконуються більш серйозні перетворення і потрібні глибші навички у вирішенні. Такі приклади ми розглянемо, не пропустіть!Успіхів вам!!!

З повагою Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

З рівняннями ми всі знайомі з початкових класів. Ще там ми вчилися вирішувати найпростіші приклади, і треба визнати, що вони знаходять своє застосування навіть у вищої математики. З рівняннями все просто, в тому числі з квадратними. Якщо у вас проблеми з цією темою, рекомендуємо вам повторити її.

Логарифми ви, мабуть, теж уже пройшли. Тим не менш, вважаємо за важливе розповісти, що це для тих, хто ще не знає. Логарифм прирівнюється до ступеня, в який потрібно звести основу, щоб вийшло число, яке стоїть праворуч від знака логарифму. Наведемо приклад, виходячи з якого вам все стане ясно.

Якщо ви зведете 3 в четвертий ступінь вийде 81. Тепер підставте за аналогією числа, і остаточно зрозумієте, як вирішуються логарифми. Тепер залишилося лише поєднати два розглянуті поняття. Спочатку ситуація видається надзвичайно складною, але при найближчому розгляді ваги стає на свої місця. Ми впевнені, що після цієї короткої статті у вас не буде проблем у цій частині ЄДІ.

Сьогодні виділяють безліч способів вирішення подібних конструкцій. Ми розповімо про найпростіші, ефективніші та найбільш застосовні у разі завдань ЄДІ. Рішення логарифмічних рівнянь має починатися з самого простого прикладу. Найпростіші логарифмічні рівняння складаються з функції та однієї змінної у ній.

Важливо врахувати, що x є всередині аргументу. A та b повинні бути числами. У такому разі ви можете просто висловити функцію через число в мірі. Виглядає це в такий спосіб.

Зрозуміло, рішення логарифмічного рівняння таким методом призведе до правильної відповіді. Ніг проблема переважної більшості учнів у тому випадку полягає в тому, що вони не розуміють, що і звідки береться. В результаті доводиться миритися з помилками та не отримувати бажаних балів. Найприкрішою помилкою буде, якщо ви переплутаєте літери місцями. Щоб розв'язати рівняння у такий спосіб, треба зазубрити цю стандартну шкільну формулу, бо зрозуміти її складно.

Щоб було простіше, можна вдатися до іншого способу – канонічної форми. Ідея вкрай проста. Знову зверніть увагу на завдання. Пам'ятайте, що a – число, а не функція або змінна. А не одно одному і більше нуля. На b жодних обмежень діє. Тепер із усіх формул згадуємо одну. B можна виразити в такий спосіб.

З цього випливає, що всі вихідні рівняння з логарифмами можна подати у вигляді:

Тепер ми можемо відкинути логарифми. Вийде проста конструкція, яку ми вже бачили раніше.

Зручність цієї формули полягає в тому, що її можна застосовувати в самих різних випадках, а не тільки для найпростіших конструкцій.

Не хвилюйтеся щодо ООФ!

Багато досвідчені математики помітять, що ми не приділили уваги області визначення. Зводиться правило до того, що F(x) обов'язково більше 0. Ні, ми не пропустили цей момент. Зараз ми говоримо про ще одну серйозну перевагу канонічної форми.

Зайвого коріння тут не виникне. Якщо змінна зустрічатиметься лише одному місці, то область визначення перестав бути необхідністю. Вона виконується автоматично. Щоб переконатися в цій думці, займіться розв'язанням кількох простих прикладів.

Як вирішувати логарифмічні рівняння з різними підставами

Це вже складні логарифмічні рівняння, і підхід до їх вирішення має бути особливим. Тут рідко виходить обмежитися горезвісною канонічною формою. Почнемо наш докладна розповідь. Ми маємо таку конструкцію.

Зверніть увагу на дріб. У ній є логарифм. Якщо ви побачите таке завдання, варто згадати один цікавий прийом.

Що це означає? Кожен логарифм можна подати у вигляді приватного двох логарифмів зі зручною основою. І дана формула має окремий випадок, який застосовується з цим прикладом (маємо на увазі, якщо c = b).

Саме такий дріб ми й бачимо у нашому прикладі. Таким чином.

По суті, перевернули дріб і набули більш зручного виразу. Запам'ятайте цей алгоритм!

Тепер потрібно, що логарифмічне рівняння не мало різних підстав. Уявімо основу дробом.

У математиці є правило, виходячи з якого, можна винести ступінь із основи. Виходить така конструкція.

Здавалося б, що заважає тепер перетворити наш вираз на канонічну формуі просто вирішити її? Не все так просто. Дробів перед логарифмом не повинно бути. Виправляємо цю ситуацію! Дріб дозволяється виносити як ступінь.

Відповідно.

Якщо підстави однакові, ми можемо усунути логарифми і прирівняти самі вирази. Так ситуація стане у рази простішою, ніж була. Залишиться елементарне рівняння, яке кожен із нас умів вирішувати ще у 8 чи навіть у 7 класі. Розрахунки ви зможете зробити самі.

Ми отримали єдино правильне коріння цього логарифмічного рівняння. Приклади розв'язання логарифмічного рівняння досить прості, чи не так? Тепер і у вас вийде самостійно розібратися навіть із самими складними завданнямидля підготовки та здачі ЄДІ.

Що зрештою?

У випадку з будь-якими логарифмічними рівняннями ми виходимо з одного дуже важливого правила. Необхідно діяти так, щоб привести вираз до максимального простому вигляду. У такому разі у вас буде більше шансів не просто вирішити завдання правильно, але ще й зробити це максимально простим та логічним шляхом. Саме так завжди діють математики.

Настійно не рекомендуємо вам шукати складних шляхівособливо в цьому випадку. Запам'ятайте кілька простих правил, які дозволять перетворити будь-який вираз. Наприклад, привести два або три логарифми до однієї основи або вивести ступінь із основи і виграти на цьому.

Також варто пам'ятати, що у вирішенні логарифмічних рівнянь необхідно постійно тренуватися. Поступово ви переходите до все більш складних конструкцій, а це призведе вас до впевненого вирішення всіх варіантів завдань на ЄДІ. Готуйтеся до іспитів завчасно, та й удачі вам!

на даному уроціми повторимо основні теоретичні факти про логарифми та розглянемо рішення найпростіших логарифмічних рівнянь.

Нагадаємо центральне визначення – визначення логарифму. Воно пов'язане з рішенням показового рівняння. Дане рівняння має єдиний корінь, його називають логарифмом b на підставі а:

Визначення:

Логарифмом числа b на підставі а називається такий показник ступеня, в який потрібно звести основу а, щоб отримати число b.

Нагадаємо основне логарифмічне тотожність.

Вираз (вираз 1) є коренем рівняння (вираз 2). Підставимо значення х із виразу 1 замість х у вираз 2 і отримаємо основну логарифмічну тотожність:

Отже бачимо, що кожному значенню ставиться у відповідність значення . Позначимо b за х (), з за у, і таким чином отримуємо логарифмічну функцію:

Наприклад:

Згадаймо основні властивості логарифмічної функції.

Ще раз звернемо увагу, тут, тому що під логарифмом може стояти суворо позитивний вираз, як основа логарифму.

Рис. 1. Графік логарифмічної функції за різних підстав

Графік функції зображено чорним кольором. Рис. 1. Якщо аргумент зростає від нуля до нескінченності, функція зростає від мінус до плюс нескінченності.

Графік функції зображений червоним кольором. Рис. 1.

Властивості цієї функції:

Область визначення: ;

Область значень: ;

Функція монотонна по всій своїй області визначення. При монотонно (строго) зростає, більшого значенняаргумент відповідає більшого значення функції. При монотонно (строго) зменшується, більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Властивості логарифмічної функції є ключем до розв'язання різноманітних логарифмічних рівнянь.

Розглянемо найпростіше логарифмическое рівняння, й інші логарифмічні рівняння, зазвичай, зводяться до такого виду.

Оскільки рівні основи логарифмів і самі логарифми, рівні функції, що стоять під логарифмом, але ми повинні не прогаяти область визначення. Під логарифмом може стояти лише додатне число, маємо:

Ми з'ясували, що функції f і g рівні, тому достатньо вибрати одну будь-яку нерівність щоб дотриматися ОДЗ.

Таким чином, ми отримали змішану систему, в якій є рівняння та нерівність:

Нерівність, як правило, вирішувати необов'язково, достатньо вирішити рівняння і знайдене коріння підставити в нерівність, таким чином виконати перевірку.

Сформулюємо метод розв'язання найпростіших логарифмічних рівнянь:

Зрівняти основи логарифмів;

Прирівняти підлогарифмічні функції;

Виконати перевірку.

Розглянемо конкретні приклади.

Приклад 1 - розв'язати рівняння:

Підстави логарифмів спочатку рівні, маємо право прирівняти підлогарифмічні вирази, не забуваємо про ОДЗ, виберемо для складання нерівності перший логарифм:

Приклад 2 - розв'язати рівняння:

Дане рівняння відрізняється від попереднього тим, що підстави логарифмів менше одиниці, але це ніяк не впливає на розв'язання:

Знайдемо корінь і підставимо його в нерівність:

Отримали неправильну нерівність, отже, знайдений корінь не задовольняє ОДЗ.

Приклад 3 - розв'язати рівняння:

Підстави логарифмів спочатку рівні, маємо право прирівняти підлогарифмічні вирази, не забуваємо про ОДЗ, виберемо для складання нерівності другий логарифм:

Знайдемо корінь і підставимо його в нерівність:

Очевидно, що лише перший корінь задовольняє ОДЗ.

Підготовка до підсумкового тестування з математики включає важливий розділ - «Логарифми». Завдання з цієї теми обов'язково містяться у ЄДІ. Досвід минулих років показує, що логарифмічні рівняння викликали складнощі у багатьох школярів. Тому розуміти, як знайти правильну відповідь, та оперативно справлятися з ними мають учні з різним рівнем підготовки.

Здайте атестаційне випробування успішно за допомогою освітнього порталу «Школкове»!

Підготовка до єдиного державному екзаменувипускникам старших класів потрібне достовірне джерело, що надає максимально повну та точну інформаціюдля успішного вирішеннятестових завдань. Однак підручник не завжди під рукою, а пошук необхідних правил і формул в Інтернеті часто вимагає часу.

Освітній портал «Школкове» дозволяє займатися підготовкою до ЄДІ у будь-якому місці у будь-який час. На нашому сайті пропонується найбільш зручний підхід до повторення та засвоєння великої кількості інформації з логарифмів, а також з одним і кількома невідомими. Почніть із легких рівнянь. Якщо ви впоралися з ними легко, переходьте до складніших. Якщо у вас виникли проблеми з вирішенням певної нерівності, ви можете додати її до «Вибраного», щоб повернутися до неї пізніше.

Знайти необхідні формулиДля виконання завдання, повторити окремі випадки та способи обчислення кореня стандартного логарифмічного рівняння ви можете, заглянувши у розділ «Теоретична довідка». Викладачі «Школково» зібрали, систематизували та виклали всі необхідні для успішної здачіматеріали у максимально простій та зрозумілій формі.

Щоб без проблем справлятися із завданнями будь-якої складності, на нашому порталі ви можете ознайомитися з вирішенням деяких типових логарифмічних рівнянь. Для цього перейдіть до розділу «Каталоги». У нас представлено велика кількістьприкладів, у тому числі з рівняннями профільного рівняЄДІ з математики.

Скористатися нашим порталом можуть учні зі шкіл у всій Росії. Для початку занять просто зареєструйтесь у системі та приступайте до вирішення рівнянь. Для закріплення результатів радимо повертатись на сайт «Школкове» щодня.

Інструкція

Запишіть задане логарифмічний вираз. Якщо у виразі використовується логарифм 10, його запис коротшає і виглядає так: lg b - це десятковий логарифм. Якщо ж логарифм має у вигляді основи число е, записують вираз: ln b – натуральний логарифм. Мається на увазі, що результатом будь-якого є ступінь, в який треба звести число основи, щоб вийшло число b.

При знаходженні від суми двох функцій необхідно просто їх по черзі продиференціювати, а результати скласти: (u+v)" = u"+v";

При знаходженні похідної від добутку двох функцій необхідно похідну від першої функції помножити на другу і додати похідну другої функції, помножену на першу функцію: (u*v)" = u"*v+v"*u;

Для того, щоб знайти похідну від частки двох функцій необхідно, з твору похідної ділимого, помноженої на функцію дільника, відняти твір похідної дільника, помноженої на функцію ділимого, і все це розділити на функцію дільника зведену в квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Якщо дана складна функціянеобхідно перемножити похідну від внутрішньої функції і похідну від зовнішньої. Нехай y=u(v(x)), тоді y"(x)=y"(u)*v"(x).

Використовуючи отримані вище, можна продиференціювати практично будь-яку функцію. Отже, розглянемо кілька прикладів:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Також зустрічаються завдання на обчислення похідної у точці. Нехай задана функція y=e^(x^2+6x+5), необхідно визначити значення функції у точці х=1.
1) Знайдіть похідну функції: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Обчисліть значення функції в заданій точці y"(1)=8*e^0=8

Відео на тему

Корисна порада

Вивчіть таблицю елементарних похідних. Це помітно заощадить час.

Джерела:

• похідна константи

Отже, чим відрізняється ір раціональне рівняннявід раціонального? Якщо невідома змінна знаходиться під знаком квадратного кореня, то рівняння вважається ірраціональним.

Інструкція

Основний метод розв'язання таких рівнянь – метод зведення обох частин рівнянняу квадрат. Втім. це природно, насамперед необхідно позбутися знака. Технічно цей метод не складний, але іноді це може спричинити неприємності. Наприклад, рівняння v(2х-5) = v(4х-7). Звівши обидві його сторони квадрат, ви отримаєте 2х-5=4х-7. Таке рівняння вирішити не складе труднощів; х = 1. Але число 1 не буде цього рівняння. Чому? Підставте одиницю в рівняння замість значення х. Таке значення не припустимо квадратного кореня. Тому 1 - сторонній корінь, і отже дане рівнянняне має коріння.

Отже, ірраціональне рівняння вирішується за допомогою методу зведення у квадрат обох його частин. І вирішивши рівняння, необхідно обов'язково щоб відсікти стороннє коріння. Для цього підставте знайдене коріння в оригінальне рівняння.

Розгляньте ще один.
2х+vх-3=0
Звичайно ж, це рівняння можна вирішити за тим самим, що й попереднє. Перенести складові рівняння, що не мають квадратного кореня, в праву частину і далі використовувати метод зведення в квадрат. вирішити отримане раціональне рівняння та коріння. Але й інший, більш витончений. Введіть нову змінну; vх = y. Відповідно, ви отримаєте рівняння виду 2y2+y-3=0. Тобто звичайне квадратне рівняння. Знайдіть його коріння; y1=1 та y2=-3/2. Далі вирішіть два рівняння vх = 1; vх = -3/2. Друге рівняння коренів немає, з першого знаходимо, що х=1. Не забудьте про необхідність перевірки коренів.

Вирішувати тотожності досить просто. Для цього потрібно здійснювати тотожні перетворення, Поки поставленої мети не буде досягнуто. Таким чином, за допомогою найпростіших арифметичних дійпоставлене завдання буде вирішено.

Вам знадобиться

• - папір;
• - Ручка.

Інструкція

Найпростіший таких перетворень – алгебраїчні скороченого множення (такі як квадрат суми (різниці), різниця квадратів, сума (різниця), куб суми (різниці)). Крім того існує безліч і тригонометричних формул, які за своєю суттю тими самими тотожностями.

Справді, квадрат суми двох доданків дорівнює квадрату першого плюс подвоєний твірпершого на друге та плюс квадрат другого, тобто (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab+b^2 .

Спростіть обох

Загальні засади рішення

Повторіть за підручником з математичного аналізуабо вищої математики, що являє собою певний інтеграл. Як відомо, рішення певного інтегралує функція, похідна якої дасть підінтегральний вираз. Ця функціяназивається первісною. За цим принципом і будується основних інтегралів.
Визначте за видом підінтегральної функції, який із табличних інтегралів підходить у даному випадку. Не завжди вдається це визначити одразу ж. Часто, табличний вигляд стає помітним лише після кількох перетворень зі спрощення підінтегральної функції.

Метод заміни змінних

Якщо підінтегральною функцією є тригонометрична функція, в аргументі якої є певний багаточлен, то спробуйте використовувати метод заміни змінних. Для того, щоб це зробити, замініть багаточлен, що стоїть в аргументі підінтегральної функції, на деяку нову змінну. За співвідношенням між новою та старою змінною визначте нові межі інтегрування. Диференціюванням даного виразу знайдіть новий диференціал у . Таким чином, ви отримаєте новий видколишнього інтеграла, близький або навіть відповідний будь-якому табличному.

Рішення інтегралів другого роду

Якщо інтеграл є інтегралом другого роду, векторний вид підінтегральної функції, то вам буде потрібно скористатися правилами переходу від даних інтегралів до скалярних. Одним із таких правил є співвідношення Остроградського-Гаусса. Цей закондозволяє перейти від потоку ротора деякою векторної функціїдо потрійного інтеграла дивергенції даного векторного поля.

Підстановка меж інтегрування

Після знаходження первинної необхідно підставити межі інтегрування. Спочатку підставте значення верхньої межіу вираз для первісної. Ви отримаєте кілька. Далі відніміть з отриманого числа інше число, отримане нижньої межі первісну. Якщо одна з меж інтегрування є нескінченністю, то при підстановці її в первісну функціюнеобхідно перейти до межі і знайти, чого прагне вираз.
Якщо інтеграл є двовимірним або тривимірним, то вам доведеться зображувати геометричні межі інтегрування, щоб розуміти, як розраховувати інтеграл. Адже у випадку, скажімо, тривимірного інтеграла межами інтегрування можуть бути цілі площини, що обмежують обсяг, що інтегрується.