Як через точку провести 2 паралельні лобачівські. Практичні застосування геометрії лобачевського

Геометрія Лобачевського

Вступ

Глава I. Історія виникнення неевклідової геометрії

Розділ II. Геометрія Лобачевського

2.1 Основні поняття

2.2 Несуперечність геометрії Лобачевського

2.3 Моделі геометрії Лобачевського

2.4 Дефект трикутника та багатокутника

2.5 Абсолютна одиниця довжини у геометрії Лобачевського

2.6 Визначення паралельної прямої. Функція П(х)

2.7 Модель Пуанкаре

Практична частина

1. Сума кутів трикутника

2. Питання існування подібних фігур

3. Основна властивість паралелізму

4. Властивості функції П(х)

Висновок. Висновки

Програми

Список використаної літератури

Вступ

Ця робота показує подібність і розходження двох геометрій з прикладу докази однієї з постулатів Евкліда і продовження цих понять у геометрії Лобачевського з урахуванням досягнень науки на той момент.

Будь-яка теорія сучасної науки вважається правильною, доки створена така. Це своєрідна аксіома розвитку науки. Цей факт багаторазово підтверджувався.

Фізика Ньютона переросла в релятивістську, а та - квантову. Теорія флогістону стала хімією. Такою є доля всіх наук. Участь ця не оминула геометрію. Традиційна геометрія Евкліда переросла у геометрії. Лобачевського. Саме цьому розділу науки присвячено цю роботу.

Мета цієї роботи: розглянути відмінність геометрії Лобачевського від геометрії Евкліда.

Завдання цієї роботи: порівняти теореми геометрії Евкліда з аналогічними теоремами геометрії Лобачевського;

у вигляді вирішення завдань вивести положення геометрії Лобачевського.

Висновки: 1. Геометрія Лобачевського побудована відмови від п'ятого постулату Евкліда.

2. У геометрії Лобачевського:

не існує таких трикутників, які не рівні;

два трикутники рівні, якщо їх кути рівні;

сума кутів трикутника не дорівнює 180 0, а менше (сума кутів трикутника залежить від його розмірів: чим більша площа, тим сильніше відрізняється сума від 180 0; і навпаки, чим менша площа, тим ближче сума його кутів до 180 0);

через точку поза прямою можна провести більше однієї прямої, паралельної даній.

Глава 1. Історія виникнення неевклідової геометрії

1.1 V постулат Евкліда, спроби його доказу

Евклід – автор першої строгої логічної побудови геометрії, що дійшла до нас. У ньому виклад настільки бездоганно для свого часу, що протягом двох тисяч років з моменту появи його праці «Початку» воно було єдиним керівництвом для тих, хто вивчає геометрію.

«Початки» складаються з 13 книг, присвячених геометрії та арифметиці у геометричному викладі.

Кожна книга "Початок" починається визначенням понять, що зустрічаються вперше. Слідом за визначеннями Евклід наводить постулати та аксіоми, тобто твердження, що приймаються без доказу.

V постулат Евкліда говорить: і щоб кожен раз, коли пряма при перетині з двома іншими прямими утворює з ними односторонні внутрішні кути, сума яких менша за дві прямі, ці прямі перетиналися з того боку, з якої ця сума менша за дві прямі.

Найважливішим недоліком системи евклідових аксіом, включаючи і його постулати, є її неповнота, тобто недостатність їх для строго логічного побудови геометрії, при якому кожне речення, якщо воно не фігурує в списку аксіом, має бути логічно виведене їх останнім. Тому Евклід за доказом теорем який завжди грунтувався на аксіомах, а вдавалися до інтуїції, до наочності і «чуттєвим» сприйняттям. Наприклад, поняття «між» він приписував суто наочний характер; він мовчазно припускав, що пряма, що проходить через внутрішню точку кола, неодмінно повинна перетнути її у двох торках. При цьому він ґрунтувався лише на наочності, а не на логіці; докази цього факту він ніде не дав, і дати не міг, тому що у нього були відсутні аксіоми безперервності. Немає в нього і деяких інших аксіом, без яких суворо логічний доказ теорем не можливий.

Але ніхто не сумнівався в істинності постулатів Евкліда, що стосується і V постулату. Тим часом вже в давнину саме постулат про паралельні привернув до себе особливу увагу низки геометрів, які вважали неприродним приміщення його серед постулатів. Ймовірно, це було пов'язано з відносно меншою очевидністю і наочністю V постулату: у неявному вигляді він передбачає досяжність будь-яких, як завгодно далеких частин площини, висловлюючи властивість, що виявляється лише за нескінченному продовженні прямих.

Сам Евклід і багато вчених намагалися довести постулат про паралельні. Одні намагалися довести постулат про паралельні, застосовуючи лише інші постулати і ті теореми, які можна вивести з останніх, не використовуючи сам V постулат. Усі такі спроби виявилися невдалими. Їх загальний недолік у тому, що в доказі неявно застосовувалося якесь припущення, рівносильне постулату, що доводиться. Інші пропонували по-новому визначити паралельні прямі або замінити V постулат будь-якою, на їхню думку, більш очевидною пропозицією.

Але багатовікові спроби доказу п'ятого постулату Евкліда призвели врешті-решт до появи нової геометрії, яка відрізняється тим, що в ній V постулат не виконується. Ця геометрія тепер називається неевклідовою, а Росії носить ім'я Лобачевського, який вперше опублікував роботу з її викладом.

І однією з передумов геометричних відкриттів Н.І Лобачевського (1792-1856) був саме його матеріалістичний підхід до проблем пізнання. Лобачевський він був твердо впевнений в об'єктивному і незалежному від людської свідомості існуванні матеріального світу та можливості його пізнання. У промові «Про найважливіші предмети виховання» (Казань, 1828) Лобачевський співчутливо наводить слова Ф.Бекона: «залиште працювати даремно, намагаючись витягти їх одного розуму всю мудрість; питайте природу, вона зберігає всі істини і на всі ваші запитання буде відповідати вам неодмінно і задовільно». У своєму творі «Про засади геометрії», що є першою публікацією відкритої ним геометрії, Лобачевський писав: «перші поняття, з яких починається якась наука, мають бути зрозумілими і приведені до найменшого числа. Тоді тільки вони можуть бути міцною і достатньою основою вчення. Такі поняття набувають почуттів; уродженим – не повинно вірити».

Перші спроби Лобачевського довести п'ятий постулат належать до 1823 року. До 1826 він прийшов до переконання в тому, що V постулат не залежить від інших аксіом геометрії Евкліда і 11 (23) лютого 1826 зробив на засіданні факультету казанського університету доповідь «Стисле виклад почав геометрії зі суворим доказом теореми про паралельні», в були викладені початку відкритої ним «уявної геометрії», як він називав систему, що пізніше отримала назву неевклідової геометрії. Доповідь 1826 р. увійшла до складу першої публікації Лобачевського з неевклідової геометрії – статті «Про засади геометрії», надрукованої в журналі Казанського університету «Казанський вісник» у 1829-1830рр. подальшого розвитку та додатків відкритої ним геометрії були присвячені мемуари «Уявна геометрія», «застосування уявної геометрії до деяких інтегралів» та «Нові початки геометрії з повною теорією паралельних», опубліковані в «Вчених записках» відповідно в 1835 8 . Перероблений текст «Уявної геометрії» виник французькому перекладі у Берліні, там-таки в 1840г. вийшли окремою книгою німецькою мовою «Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній» Лобачевського. Нарешті, у 1855 та 1856 рр. він видав у Казані російською та французькою мовами «Пангеометрію». Високо оцінив «Геометричні дослідження» Гаус, який провів Лобачевського (1842) у члени-кореспонденти Геттінгенського вченого товариства, що було по суті Академією наук ганноверського королівства. Проте у пресі з оцінкою нової геометричної системи Гаус не виступив.

1.2 Постулати паралельності Евкліда та Лобачевського

Основним пунктом, звідки починається поділ геометрії на звичайну евклідову (вживану) та неевклідову (уявну геометрію або «пангеометрію») є, як відомо, постулат про паралельні лінії.

В основі звичайної геометрії лежить припущення, що через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести в площині, що визначається цією точкою і прямою, не більше однієї прямої, що не перетинає цю пряму. Той факт, що через точку, що не лежить на даній прямій, проходить принаймні одна пряма, що не перетинає цю пряму, належить до «абсолютної геометрії», тобто. може бути доведений без допомоги постулату про паралельні лінії.

Пряма ВР, що проходить через Р під прямим кутом до перпендикуляра РQ, опущеному на АА 1 не перетинає прямий АА 1 ; ця пряма в евклідовій геометрії називається паралельною АА 1 .

На противагу постулату Евкліда, Лобачевський бере в основу побудови теорії паралельних ліній таку аксіому:

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести в площині, що визначається цією точкою і прямою, більше однієї прямої, що не перетинає цю пряму.

Звідси безпосередньо випливає існування нескінченно безлічі прямих, що проходять через ту саму точку і не перетинають цю пряму. Нехай пряма СС 1 не перетинає АА 1; тоді всі прямі, що проходять усередині двох вертикальних кутів ВРС і В 1 РС 1 також не перетинаються з прямою АА 1 .

Розділ 2. Геометрія Лобачевського.

2.1 Основні поняття

У мемуарах «Про засади геометрії» (1829) Лобачевський насамперед відтворив свою доповідь 1826р.

7 лютого 1832 року Микола Лобачевський представив на суд колег свою першу працю з неевклідової геометрії. Цей день став початком перевороту в математиці, а робота Лобачевського – першим кроком до теорії відносності Ейнштейна. Сьогодні "РГ" зібрала п'ятірку найпоширеніших помилок про теорію Лобачевського, які існують серед далеких від математичної науки людей

Міф перший. Геометрія Лобачевського немає нічого спільного з Евклидовой.

Насправді геометрія Лобачевського не дуже відрізняється від звичної нам Евклідової. Справа в тому, що з п'яти постулатів Евкліда чотири перші Лобачевський залишив без зміни. Тобто він згоден з Евклідом у тому, що між двома будь-якими точками можна провести пряму, що її завжди можна продовжити до нескінченності, що з будь-якого центру можна провести коло з будь-яким радіусом, і всі прямі кути рівні між собою. Не погодився Лобачевський лише з п'ятим, найбільш сумнівним з його погляду постулатом Евкліда. Звучить його формулювання надзвичайно хитромудро, але якщо перекладати її на зрозумілу простій людині мову, то виходить, що, на думку Евкліда, дві непаралельні прямі обов'язково перетнуться. Лобачевський зумів довести помилковість цього посилу.

Міф другий. Теоретично Лобачевського паралельні прямі перетинаються

Це не так. Насправді п'ятий постулат Лобачевського звучить так: "На площині через точку, що не лежить на даній прямій, проходить більш ніж одна пряма, що не перетинає цю". Іншими словами, для однієї прямої можна провести як мінімум дві прямі через одну точку, які її не перетинатимуть. Тобто в цьому постулаті Лобачевського мови про паралельні прямі взагалі не йдеться! Йдеться лише про існування кількох прямих, що не перетинаються, на одній площині. Таким чином, припущення про перетин паралельних прямих народилося через банальне незнання суті теорії великого російського математика.

Міф третій. Геометрія Лобачевського – єдина неевклідова геометрія

Неевклідова геометрія - це цілий пласт теорій в математиці, де основою є відмінний від Евклідова п'ятий постулат. Лобачевський, на відміну Евкліда, наприклад, визначає гіперболічний простір. Існує ще теорія, що описує сферичний простір – це геометрія Рімана. Ось у ній якраз паралельні прямі перетинаються. Класичний приклад з шкільної програми - меридіани на глобусі. Якщо подивитися на лекало глобуса, то виявиться, що всі меридіани є паралельними. Між тим, варто завдати лекало на сферу, як ми бачимо, що раніше паралельні меридіани сходяться у двох точках - біля полюсів. Водночас теорії Евкліда, Лобачевського та Рімана називають "три великі геометрії".

Міф четвертий. Геометрія Лобачевського не застосовна у реальному житті

Навпаки, сучасна наука приходить до розуміння, що Евклідова геометрія - лише окремий випадок геометрії Лобачевського, і що реальний світ точніше описується саме формулами російського вченого. Найсильнішим поштовхом до подальшого розвитку геометрії Лобачевського стала теорія відносності Альберта Ейнштейна, яка показала, що сам простір нашого Всесвіту не є лінійним, а є гіперболічною сферою. Тим часом сам Лобачевський, незважаючи на те, що все життя працював над розвитком своєї теорії, називав її "уявною геометрією".

Міф п'ятий. Лобачевський першим створив неевклідову геометрію

Це не зовсім так. Паралельно з ним і незалежно від нього до подібних висновків дійшли угорський математик Янош Бойяї та знаменитий німецький учений Карл Фрідріх Гаус. Однак праці Яноша не були помічені широкою публікою, а Карл Гаус і зовсім не видав. Тому саме наш учений вважається першопрохідцем у цій теорії. Однак існує дещо парадоксальна думка, що першим неевклідову геометрію вигадав сам Евклід. Справа в тому, що він самокритично вважав свій п'ятий постулат не очевидним, тому більшу частину своїх теорем він довів, не вдаючись до нього.

теореми геометрії Лобачевського

1. Основні поняття геометрії Лобачевського

В евклідовій геометрії згідно з п'ятим постулатом на площині через точку Р,що лежить поза прямою А"А,проходить лише одна пряма В,не перетинає А"А.Пряма В"Вназивається паралеллю до А"А.При цьому достатньо зажадати, щоб таких прямих проходило не більше однієї, тому що існування прямої, що не перетинає, може бути доведено шляхом послідовного проведення прямих PQA"Aі PBPQ.У геометрії Лобачевського аксіома паралельності вимагає, щоб через точку Рпроходило більше однієї прямої, що не перетинає А „А.

Непересічні прямі заповнюють частину пучка з вершиною Р,лежачу всередині пари вертикальних кутів TPUі U"PT", розташованих симетрично щодо перпендикуляра PQ.Прямі, що утворюють сторони вертикальних кутів, відокремлюють прямі, що перетинають, від неперетинальних і самі є теж непересічними. Ці граничні прямі називаються паралелями в точці Р до прямої А"Авідповідно у двох її напрямках: T"Тпаралельно А "Ав напрямку A"A, a UU"паралельно А "Ав напрямку А А".Інші неперетинальні прямі називаються розбіжними прямими з А "А.

Кут , 0< Рутворює з перпендикуляром PQ, QPT = QPU "=,називається кутом паралельності відрізка PQ=aі позначається через . При а=0кут =/2; при збільшенні акут зменшується так, що для кожного заданого 0<а.Ця залежність називається функцією Лобачевського :

П (a) = 2arctg (),

де до- Деяка константа, що визначає фіксований за величиною відрізок. Вона отримала назву радіусу кривизни простору Лобачевського. Подібно до сферичної геометрії існує безліч просторів Лобачевського, що відрізняються величиною до.

Дві різні прямі площині утворюють пару однієї з трьох типів.

Пересічні прямі . Відстань від точок однієї прямої до іншої прямої необмежено збільшується при віддаленні точки від перетину прямих. Якщо прямі не перпендикулярні, кожна проектується ортогонально на іншу у відкритий відрізок кінцевої величини.

Паралельні прямі . На площині через цю точку проходить єдина пряма, паралельна даній прямій заданому на останньому напрямку. Паралель у точці Рзберігає в кожній своїй точці властивість бути паралеллю тієї ж прямої в тому самому напрямку. Паралелізм має взаємність (якщо а||bу певному напрямку, то й b||ау відповідному напрямку) та транзитивністю (якщо а||bта з|| bв одному напрямку, то а||су відповідному напрямку). У напрямі паралельності паралельні необмежено зближуються, у протилежному напрямку - необмежено віддаляються (у сенсі відстані від точки, що переміщається, однієї прямої до іншої прямої). Ортогональна проекція однієї прямої на іншу є відкритою напівпрямою.

Розбіжні прямі . Вони мають один загальний перпендикуляр, відрізок якого дає мінімальну відстань. По обидва боки від перпендикуляра прямі необмежено розходяться. Кожна пряма проектується на іншу у відкритий відрізок кінцевої величини.

Три типи прямих відповідають на площині три типи пучків прямих, кожен з яких покриває всю площину: пучок 1-го роду - безліч всіх прямих, що проходять через одну точку ( центрпучка); пучок 2-го роду - безліч всіх прямих, перпендикулярних до однієї прямої ( базіпучка); пучок 3-го роду - безліч всіх прямих, паралельних однієї прямої в заданому напрямку, що включає і цю пряму.

Ортогональні траєкторії прямих цих пучків утворюють аналоги кола евклідової площини: колоу власному значенні; еквідистанта , або лінія рівних відстаней (якщо не розглядати базу), яка увігнута у бік бази; гранична лінія , або орицикл, її можна розглядати як коло з нескінченно віддаленим центром. Граничні лінії конгруентні. Вони не замкнені і увігнуті у бік паралельності. Дві граничні лінії, породжені одним пучком,-- концентричні (висікають на прямих пучках рівні відрізки). Відношення довжин концентричних дуг, укладених між двома прямими пучками, зменшується у бік паралельності як показова функція відстані хміж дугами:

s" / s = e.

Кожен із аналогів кола може ковзати по собі, що породжує три типи однопараметричних рухів площини: обертання навколо власного центру; обертання навколо ідеального центру (одна траєкторія – база, інші – еквідистанти); обертання навколо нескінченно віддаленого центру (всі траєкторії – граничні лінії).

Обертання аналогів кіл навколо прямої пучка, що породжує, призводить до аналогів сфери: власне сфері, поверхні рівних відстаней та орисфері, або граничною поверхні .

На сфері геометрія великих кіл - звичайна сферична геометрія; на поверхні рівних відстаней - геометрія еквідистант, що є планіметрією Лобачевського, але з великим значенням до;на граничній поверхні - евклідова геометрія граничних ліній.

Зв'язок між довжинами дуг і хорд граничних ліній та евклідові тригонометричні співвідношення на граничній поверхні дозволяють вивести тригонометричні співвідношення на площині, тобто тригонометричні формули для прямолінійних трикутників.

2. Деякі теореми геометрії Лобачевського

Теорема 1. Сума кутів будь-якого трикутника менша за 2d.

Розглянемо спочатку прямокутний трикутник ABC (рис. 2). Його сторони а, b, сзображені відповідно у вигляді відрізка евклідова перпендикуляра до прямої і, дуги евклідового кола з центром Мта дуги евклідового кола з центром N. Кут З- Прямий. Кут Адорівнює куту між дотичними до кола bі зу точці А, або, що те саме, розі між радіусами NAі МАцих кіл. Зрештою, B = BNМ.

Побудуємо на відрізку BNяк на діаметрі евклідове коло q;вона має з колом злише загальну точку В, так як її діаметр є радіусом кола з. Тому точка Алежить поза коло, обмеженого коло q,отже,

А = MAN< MBN.

Звідси через рівність MBN+В = dмаємо:

А +В< d; (1)

тому A+B+C< 2d, что и требовалось доказать.

Зауважимо, що за допомогою належного гіперболічного руху будь-який прямокутний трикутник можна розташувати так, щоб один із його катетів лежав на евклідовому перпендикулярі до прямої та;отже, використаний нами метод виведення нерівності (1) застосовуємо до будь-якого прямокутного трикутника.

Якщо дано косокутний трикутник, то розбиваємо його однією з висот на два прямокутні трикутники. Сума гострих кутів цих прямокутних трикутників дорівнює сумі кутів даного косокутного трикутника. Звідси, беручи до уваги нерівність (1) укладаємо, що теорема справедлива для будь-якого трикутника.

Теорема 2 . Сума кутів чотирикутника менша за 4d.

Для підтвердження достатньо розбити чотирикутник діагоналлю на два трикутники.

Теорема 3 . Дві прямі, що розходяться, мають один і тільки один загальний перпендикуляр.

Нехай одна з даних прямих, що розходяться, зображується на карті у вигляді евклідова перпендикуляра рдо прямої іу точці М, інша - у вигляді евклідового півкола qз центром на і, причому рі qнемає загальних точок (рис. 3). Таке розташування двох розбіжних прямих гіперболічних на карті завжди може бути досягнуто за допомогою належного гіперболічного руху.

Проведемо з Мевклідову дотичну MNдо qта опишемо з центру Мрадіусом MNевклідову півколо m. Зрозуміло, що m--гіперболічна пряма, що перетинає і рі qпід прямим кутом. Отже, mзображує на карті шуканий загальний перпендикуляр даних прямих, що розходяться.

Дві прямі, що розходяться, не можуть мати двох загальних перпендикулярів, так як у цьому випадку існував би чотирикутник з чотирма прямими кутами, що суперечить теоремі 2.

. Теорема 4. Прямокутна проекція сторони гострого кута на інший бік є відрізок(а не напівпряма, як у геометрії Евкліда).

Справедливість теореми очевидна з рис. 4, де відрізок АВє прямокутна проекція сторони АВгострого кута ВАСна його бік АС.

На тому ж малюнку дуга DEевклідового кола з центром Мє перпендикуляр до гіперболічної прямої АС. Цей перпендикуляр не перетинається з похилою АВ.Отже, припущення, що перпендикуляр і похила до однієї і тієї ж прямої завжди перетинаються, суперечить аксіомі паралельності Лобачевського; воно рівносильне аксіомі паралельності Евкліда.

Теорема 5. Якщо три кути трикутника ABC рівні відповідно до трьох кутів трикутника А"В"С", то ці трикутники рівні.

Допустимо зворотне і відкладемо відповідно на променях АВі АСвідрізки АВ = А"В", АС = А"С".Очевидно, трикутники АВСі А"В"С"рівні з обох боків і укладеному між ними кутку. Крапка Bне збігається з В, крапка Cне збігається з З, Оскільки у кожному з цих випадків мало місце рівність цих трикутників, що суперечить припущенню.

Розглянемо такі можливості.

а) Точка В лежить між Аі В, крапка З- між Аі З(Рис. 5); на цьому та наступному малюнку гіперболічні прямі зображені умовно у вигляді евклідових прямих). Неважко переконатися, що сума кутів чотирикутника ВССВдорівнює 4dщо неможливо через теорему 2.

6) Крапка Влежить між Аі В, крапка З- між Аі З(Рис. 6). Позначимо через Dточку перетину відрізків НДі BCТак як C = C"і C" = С,то C=З , що неможливо, оскільки кут З - зовнішній щодо трикутника CCD.

Аналогічно трактуються та інші можливі випадки.

Теорема доведена, оскільки зроблене припущення призвело до суперечності.

З теореми 5 випливає, що у геометрії Лобачевського немає трикутника, подібного даному трикутнику, але з рівного йому.

Ми звикли думати, що геометрія спостережуваного світу евклідова, тобто. у ньому виконуються закони тієї геометрії, що вивчається у шкільництві. Насправді, це не зовсім так. У цій статті ми розглянемо прояви насправді геометрії Лобачевського, яка, на перший погляд, є абстрактною.

Геометрія Лобачевського відрізняється від звичної евклідової тим, що в ній через точку, що не лежить на даній прямій, проходять принаймні дві прямі, що лежать із даною прямою в одній площині і не перетинають її. Її також називають гіперболічною геометрією.

1. Евклідова геометрія – через білу точку проходить лише одна пряма, яка не перетинає жовту пряму
2. Геометрія Рімана - будь-які дві прямі перетинаються (не існує паралельних прямих)
3. Геометрія Лобачевського - існує нескінченно багато прямих, що не перетинають жовту лінію і проходять через білу точку.

Для того, щоб читач міг це наочно уявити, коротко опишемо модель Клейна. У цій моделі площина Лобачевського реалізується як нутро кола радіуса один, де точками площини є точки цього кола, а прямими — хорди. Хорда - пряма, що сполучає дві точки кола. Відстань між двома точками визначається досить складно, але вона нам не знадобиться. З малюнка вище стає зрозуміло, що через точку Р проходить нескінченно багато прямих, що не перетинають пряму а. У стандартній Евклідовій геометрії існує лише одна пряма проходить через точку Р і не перетинає пряму а. Ця пряма є паралельною.

Тепер перейдемо до головного — практичного застосування геометрії Лобачевського.

Супутникові навігаційні системи (GPS та ГЛОНАСС) складаються з двох частин: орбітальне угруповання з 24-29 супутників, рівномірно розташованих навколо Землі, та управлінський сегмент на Землі, що забезпечує синхронізацію часу на супутниках та використання ними єдиної системи координат. На супутниках встановлені дуже точні атомні годинники, а в приймачах (GPS-навігаторах) звичайні, кварцові. У приймачах також є інформація про координати всіх супутників у будь-який момент часу. Супутники з невеликими інтервалами передають сигнал, що містить дані про час початку передачі. Отримавши сигнал від не менше чотирьох супутників, приймач може скоригувати свій годинник і обчислити відстані до цих супутників за формулою ((час відправлення сигналу супутником) - (час прийому сигналу від супутника)) х (швидкість світла) = (відстань до супутника). Обчислені відстані також коригуються за вбудованим у приймач формулами. Далі приймач знаходить координати точки перетину сфер з центрами в супутниках і радіусами, рівними обчислених відстаней до них. Очевидно, це будуть координати приймача.

Читачеві напевно відомо, що завдяки ефекту в Спеціальній теорії відносності, через велику швидкість супутника час на орбіті йде відмінно від часу на Землі. Але ще є подібний ефект у Загальній теорії відносності, пов'язаний саме з неевклідовою геометрією простору-часу. Знову ж таки не вдаватимемося в математичні подробиці оскільки вони досить-таки абстрактні. Але, якщо перестати зважати на ці ефекти, то вже за добу роботи у показаннях навігаційної системи накопичиться помилка близько 10 км.

Формули геометрії Лобачевського також використовують у фізиці високих енергій, саме, у розрахунках прискорювачів заряджених частинок. Гіперболічні простори (тобто простори, в яких діють закони гіперболічної геометрії) зустрічаються і в самій природі. Наведемо більше прикладів:

Геометрія Лобачевського проглядається у структурах коралів, в організації клітинних структур у рослині, в архітектурі, у деяких квіток тощо. До речі, якщо ви пам'ятаєте в минулому випуску, ми розповідали про шестикутники в природі, тож у гіперболічній природі альтернативою є семикутники, які також широко поширені.

Voted Thanks!

Можливо, Вам буде цікаво:

• 
  

LV 1 . (Аксіома паралельності Лобачевського). У будь-якій площині існує пряма а 0 і точка А 0 , яка не належить цій прямій, такі, що через цю точку проходить принаймні дві прямі, що не перетинають а 0 .

Безліч точок, прямих і площин, що задовольняють аксіомам приналежності, порядку, конгруентності, безперервності та аксіомі паралельності Лобачевського називатимемо тривимірним простором Лобачевського і позначатимемо через Л 3 . Більшість геометричних властивостей фігур розглядатимуться на площині простору Л 3 , тобто. на площині Лобачевського. Звернемо увагу на те, що формальне логічне заперечення аксіоми V 1 , аксіоми паралельності евклідової геометрії має саме те формулювання, яке ми привели в якості аксіоми LV 1 . На площині існує принаймні одна точка і одна пряма, для яких не виконано затвердження аксіоми паралельності евклідової геометрії. Доведемо теорему, з якої випливає, що затвердження аксіоми паралельності Лобачевського справедливе для будь-якої точки та будь-якої прямої площини Лобачевського.

Теорема 13.1.Нехай а – довільна пряма, А – точка, що не лежить на цій прямій. Тоді в площині, яка визначається точкою А і прямою а, існує принаймні дві прямі, що проходять через А і не перетинають пряму а.

Доведення.Доказ проведемо методом «від неприємного», при цьому скористаємося теоремою 11.1 (див. § 11). Нехай у просторі Лобачевського існує така точка А і пряма а, що у площині, що визначається цією точкою та прямою, через точку А проходить єдина пряма, що не перетинає а. Опустимо і точки А перпендикуляр АВ на пряму а та в точці А відновимо перпендикуляр h до прямої АВ (рис. 50). Як випливає з теореми 4.2 (див. § 4) прямі h і а не перетинаються. Пряма h, з припущення, - єдина пряма, що проходить через А і не перетинає а. Виберемо на пряму а довільну точку С. Відкладемо від променя АС у півплощині з кордоном АВ, що не містить точку В, кут САМ, рівний АСВ. Тоді, як випливає з тієї ж теореми 4.2, пряма АМ не перетинає а. З нашого припущення випливає, що вона збігається з h. Тому точка М належить прямої h. Трикутник АВС – прямокутний, . Обчислимо суму кутів трикутника АВС: . З теореми 11.1 випливає, що виконано умову аксіоми паралельності евклідової геометрії. Тому в площині, що розглядається, не може існувати таких точки А 0 і прямий а 0 , що через цю точку проходить принаймні дві прямі, що не перетинають а 0 . Ми дійшли суперечності з умовою аксіоми паралельності Лобачевського. Теорему доведено.

Слід зазначити, що надалі ми користуватимемося твердженням саме теореми 13.1, по суті, замінюючи ним твердження аксіоми паралельності Лобачевського. До речі, у багатьох підручниках саме це твердження прийняте як аксіома паралельності геометрії Лобачевського.

З теореми 13.1 легко одержати таке слідство.

Наслідок 13.2. У площині Лобачевського через точку, що не лежить на цій прямій, проходить нескінченно багато прямих, що не перетинають цю.

Дійсно, нехай а дана пряма, а А - точка, що їй не належить, h 1 і h 2 - прямі, що проходять через А і не перетинають а (рис. 51). Очевидно, що всі прямі, які проходять через точку А і лежать в одному з кутів, утворених h1 і h2 (див. рис. 51), не перетинають пряму а.

У розділі 2 ми довели ряд тверджень, еквівалентних аксіомі паралельності евклідової геометрії. Їхні логічні заперечення характеризують властивості фігур на площині Лобачевського.

По-перше, на площині Лобачевського справедливе логічне заперечення п'ятого постулату Евкліда. У параграфі 9 нами було сформульовано сам постулат і доведено теорему про його еквівалентність аксіомі паралельності евклідової геометрії (див. теорему 9.1). Його ж логічне заперечення має вигляд:

Твердження 13.3.На площині Лобачевського існують дві прямі, що не перетинаються, які при перетині з третьою прямою утворюють внутрішні односторонні кути, сума яких менше двох прямих кутів.

У § 12 нами було сформульовано пропозицію Посідонія: на площині існують принаймні три колінеарні точки, розташовані в одній півплощині від даної прямої та рівновіддалені від неї.Також ми довели теорему 12.6: пропозиція Посидонія еквівалентна затвердженню аксіоми паралельності евклідової геометрії.Таким чином, на площині Лобачевського діє заперечення цього твердження.

Твердження 13.4. Безліч точок, рівновіддалених від прямої на площині Лобачевського та розташованих в одній півплощині щодо неї, у свою чергу не лежать на одній прямій.

На площині Лобачевського безліч точок, рівновіддалених від прямої і що належить одній півплощині щодо цієї прямої, утворюють криву лінію, так звану еквідистанту. Її характеристики будуть розглянуті нами пізніше.

Розглянемо тепер пропозицію Лежандра: Доведена нами теорема 11.6 (див. § 11) стверджує, що Звідси випливає, що на площині Лобачевського справедливе логічне заперечення цієї пропозиції.

Твердження 13.5. На боці будь-якого гострого кута існує така точка, що перпендикуляр до неї, відновлений у цій точці, не перетинає другий бік кута.

Зазначимо властивості трикутників та чотирикутників площини Лобачевського, які безпосередньо випливають із результатів параграфів 9 та 11. Насамперед, теорема 11.1. стверджує, що припущення про існування трикутника, сума кутів якого збігається із сумою двох прямих кутів, рівносильне аксіомі паралельності евклідової площини.Звідси і з першої теореми Лежандра (див. теорему 10.1, § 10) випливає таке твердження

Твердження 13.6. На площині Лобачевського сума кутів будь-якого трикутника менша за 2d.

Звідси безпосередньо випливає, що сума кутів будь-якого опуклого чотирикутника менша за 4d, а сума кутів будь-якого опуклого n – косинця менше 2(n-1)d.

Так як на евклідовій площині кути, що прилягають до верхньої основи чотирикутника Саккері рівні прямим кутам, що відповідно до теореми 12.3 (див. § 12) рівносильне аксіомі паралельності евклідової геометрії, то можна зробити наступний висновок.

Твердження 13.7. Кути, що прилягають до верхньої основи чотирикутника Саккері – гострі.

Нам лишилося розглянути ще дві властивості трикутників на площині Лобачевського. Перше з них пов'язане з пропозицією Валліса: на площині існує хоча б одна пара трикутників із відповідно рівними кутами, але не рівними сторонами.У параграфі 11 ми довели, що ця пропозиція еквівалентна аксіомі паралельності евклідової геометрії (див. теорему 11.5). Логічне заперечення цього твердження призводить до наступного висновку: на площині Лобачевського немає трикутників з рівними кутами, але з рівними сторонами. Таким чином, справедлива така пропозиція.

Твердження 13.8. (Четверта ознака рівності трикутників на площині Лобачевського).Будь-які два трикутники на площині Лобачевського, які мають рівні рівні кути, рівні між собою.

Розглянемо тепер таке запитання. Навколо будь-якого трикутника на площині Лобачевського можна описати коло? Відповідь на нього дає теорема 9.4 (див. § 9). Відповідно до цієї теореми, якщо навколо будь-якого трикутника на площині можна описати коло, то на площині виконано умову аксіоми паралельності евклідової геометрії. Тому логічне заперечення затвердження цієї теореми призводить до наступної пропозиції.

Твердження 13.9. На площині Лобачевського існує трикутник, довкола якого не можна описати коло.

Легко побудувати приклад такого трикутника. Виберемо деяку пряму а і точку А, яка їй не належить. Опустимо з точки А перпендикуляр на пряму а. В силу аксіоми паралельності Лобачевського існує пряма b, яка проходить через А і не перпендикулярна до h, яка не перетинає а (рис. 52). Як відомо, якщо навколо трикутника описано коло, то її центр лежить у точці перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника. Тому нам достатньо навести приклад такого трикутника, середні перпендикуляри якого не перетинаються. Виберемо точку М на прямій h, оскільки показано малюнку 52. Симетрично відобразимо її щодо прямих а і b, отримаємо точки N і P. Оскільки пряма b не перпендикулярна h, точка Р не належить h. Тому точки M, N та P складають вершини трикутника. Прямі а і b є побудовою його серединними перпендикулярами. Вони ж, як було зазначено вище, не перетинаються. Трикутник MNP – шуканий.

Легко побудувати приклад трикутника площини Лобачевського, довкола якого можна описати коло. Для цього достатньо взяти дві прямі, що перетинаються, вибрати точку, яка їм не належить, і відобразити її щодо цих прямих. Проведіть докладну побудову самостійно.

Визначення 14.1. Нехай дані дві направлені прямі і . Вони називаються паралельними, якщо виконані умови:

1. прямі а та b не перетинаються;

2. для довільних точок А та В прямих а та b будь-який внутрішній промінь h кута АВB 2 перетинає пряму а (рис. 52).

Позначати паралельні прямі будемо як і, як у шкільному курсі геометрії: a || b. Зауважимо, що це визначення задовольняють паралельні прямі на евклідовій площині.

Теорема 14.3. Нехай на площині Лобачевського дана спрямована пряма і точка, яка їй не належить. Тоді через цю точку проходить єдина пряма пряма така, що пряма а паралельна прямий b.

Доведення.Опустимо з точки В перпендикуляр ВА на пряму а і з точки В відновимо перпендикуляр р до прямої ВА (рис. 56 а). Пряма р, як неодноразово зазначалося, не перетинає цю пряму а. Виберемо на ній довільну точку С, розіб'ємо точки відрізка АС на два класи та . Першому класу належать такі точки S цього відрізка, для яких промінь BS перетинає промінь АА 2 , а другому класу належать такі точки T, для яких промінь ВТ не перетинає промінь АА 2 . Покажемо, що таке розбиття на класи робить дедекіндовий переріз відрізка АС. Відповідно до теорії 4.3 (див. § 4) нам слід перевірити, що:

2. і класи та містять точки, відмінні від А та С;

3. Будь-яка точка класу, відмінна від А, лежить між точкою А і будь-якою точкою класу.

Перша умова очевидно, всі точки відрізка належать одному або іншому класу, причому самі класи, виходячи з їх визначення, не мають спільних точок.

Друга умова також легко перевірити. Очевидно, що і . Клас містить точки, відмінні від А, для перевірки цього твердження достатньо вибрати якусь точку променя АА 2 і з'єднати її з точкою В. Цей промінь перетне відрізок ВС у точці першого класу. Клас також містить точки, відмінні від С, інакше ми дійдемо суперечності з аксіомою паралельності Лобачевського.

Доведемо третю умову. Нехай існує така точка першого класу, відмінна від А, і така точка Т другого класу, що точка Т лежить між А і S (див. рис 56 а). Оскільки , то промінь BS перетинає промінь АА 2 у певній точці R. Розглянемо промінь ВТ. Він перетинає сторону AS трикутника ASR у точці Т. Відповідно до аксіоми Паша цей промінь повинен перетнути або сторону AR, або сторону SR цього трикутника. Припустимо, що промінь ВТ перетинає сторону SR в деякій точці О. Тоді через точки В і О проходить дві різні прямі ВТ і BR, що суперечить аксіомі Гільберта. Таким чином, промінь ВТ перетинає сторону AR, звідки випливає, що точка Т не належить до класу К 2 . Отримана суперечність призводить до затвердження, точка S лежить між А та Т. Умова теореми 4.3 перевірена повністю.

Відповідно до висновку теореми 4.3 про дедекіндове переріз на відрізку АС існує така точка , для якої будь-яка точка, що лежить між А і належить класу , а будь-яка точка, що лежить між і С - належить класу . Покажемо, що пряма паралельна пряма . По суті, нам залишилося довести, що не перетинає пряму а, оскільки через вибір точок класу К 1 будь-який внутрішній промінь кута перетинає . Припустимо, що пряма перетинає пряму а деякій точці Н (рис 56 б). Виберемо довільну точку Р на промені НА2 і розглянемо промінь ВР. Тоді він перетинає відрізок М 0 З деякою точкою Q (доведіть це твердження самостійно). Але внутрішні точки відрізка М 0 З належать другому класу, промінь ВР не може мати загальних точок із прямою а. Таким чином, наше припущення про перетин прямих ВМ 0 і а є невірним.

Легко перевірити, що пряма єдина спрямована пряма, що проходить через точку і паралельна . Справді, нехай через точку проходить ще одна спрямована пряма , яка, як і , паралельна . При цьому вважатимемо, що М 1 – точка відрізка АС. Тоді, з визначення класу До 2 , . Тому, промінь ВМ 0 є внутрішнім променем кута , отже, через визначення 14.1 перетинає пряму . Ми дійшли суперечності з доведеним вище твердженням. Теорема 14.3 повністю доведена.

Розглянемо точку і спрямовану пряму , що її містить. Відповідно до доведеної теореми 14.3 через точку проходить спрямована пряма , паралельна а. Опустимо з точки В перпендикуляр BH на пряму а (рис. 57). Легко бачити, що кут HBB 2 – гострий. Дійсно, якщо припустити, що цей кут прямий, то з визначення 14.1 слід, що будь-яка пряма, що проходить через точку перетинає пряму а, що суперечить теоремі 13.1, тобто. аксіомі LV 1 паралельності Лобачевського (див. § 13). Легко бачити, що припущення про те, що цей кут тупий, також призводить до суперечності тепер уже з визначенням 14.1 і теоремою 4.2 (див. §4), так як внутрішній промінь кута HBB 2 перпендикулярний ВН не перетинає промінь АА 2 . Отже, справедливе таке твердження.

Теорема 14.4. Нехай спрямована пряма паралельна спрямованій прямій. Якщо з точки прямої опустити перпендикуляр ВН на пряму , то кут HBB 2 - гострий.

З цієї теореми очевидно випливає наступне слідство.

Наслідок.Якщо існує загальний перпендикуляр спрямованих прямих і, то пряма не паралельна прямій.

Введемо поняття паралельності для ненаправлених прямих. Вважатимемо, що дві ненаправлені прямі паралельні, якщо на них можна вибрати напрями так, щоб вони відповідали визначенню 14.1.Як відомо, пряма має два напрямки. Тому, з теореми 14.3 випливає, що через точку В, що не належить прямої, а проходить дві ненаправлені прямі, паралельні даній прямій. Очевидно, вони симетричні щодо перпендикуляра, опущеного з точки на пряму а. Ці дві прямі і є тими самими прикордонними прямими, що розділяють пучок прямих, що проходять через точку і перетинають а, від пучка прямих, що проходять через і не перетинають пряму а (рис. 57).

Теорема 15.2. (Властивість симетричності паралельних прямих на площині Лобачевського).Нехай спрямована пряма паралельна спрямованій прямій. Тоді спрямована пряма паралельна прямій.

Властивість симетричності поняття паралельності прямих на площині Лобачевського дозволяє не вказувати порядок спрямованих паралельних прямих, тобто. не уточнювати, яка пряма є першою, яка друга. Вочевидь, що властивість симетричності поняття паралельності прямих має місце і евклідовій площині. Воно безпосередньо випливає з визначення паралельних прямих евклідової геометрії. У евклідовій геометрії виконується також властивість транзитивності для паралельних прямих. Якщо пряма а паралельна до прямої b, а пряма b паралельна до прямої с. то прямі а і з також паралельні між собою. Аналогічна властивість справедлива й у спрямованих прямих площині Лобачевського.

Теорема 15.3. (Властивість транзитивності паралельних прямих на площині Лобачевського).Нехай дані три різні спрямовані прямі , . Якщо і , то .

Розглянемо спрямовану пряму, паралельну спрямованій прямій. Перетнемо їх прямий. Точки А і В відповідно до точки перетину прямих , і , (рис. 60). Справедлива наступна теорема.

Теорема 15.4. Кут більше кута.

Теорема 15.5. Зовнішній кут виродженого трикутника більший за внутрішній кут, не суміжний з ним.

Доказ безпосередньо випливає з теореми 15.4. Проведіть його самостійно.

Розглянемо довільний відрізок АВ. Через точку А проведемо пряму а, перпендикулярну до АВ, а через точку В пряму b, паралельну а (рис. 63). Як випливає з теореми 14.4 (див. § 14) пряма bне перпендикулярна до прямої АВ.

Визначення 16.1. Гострий кут, утворений прямими АВ та b називається кутом паралельності відрізка АВ.

Зрозуміло, кожному відрізку відповідає певний кут паралельності. Справедлива наступна теорема.

Теорема 16.2. Рівним відрізкам відповідають рівні кути паралельності.

Доведення.Нехай дано два рівні відрізки АВ і А¢В¢. Проведемо через точки А та А¢ спрямовані прямі та , перпендикулярні відповідно АВ та А¢В¢, а через точки В та В¢ спрямовані прямі та , паралельні відповідно та (рис. 64). Тоді і відповідно кути паралельності відрізків АВ та А¢В¢. Припустимо, що

Відкладемо від променя ВА у півплощині ВАА 2 кут a 2 (див. рис. 64). Через нерівність (1), промінь l – внутрішній промінь кута АВВ 2 . Оскільки ½½ , то l перетинає промінь АА 2 у деякій точці Р. Відкладемо на промені А¢А 2 від точки А¢ відрізок А¢Р¢, рівний АР. Розглянемо трикутники АВР та А¢В¢Р¢. Вони прямокутні, за умовою теореми мають рівні катети АВ та А¢В¢, за побудовою рівні між собою друга пара катетів АР та А¢Р¢. Таким чином, прямокутний трикутник АВР дорівнює трикутнику А¢В¢Р¢. Тому. З іншого боку, промінь В¢Р¢, перетинає промінь А¢А 2 ¢, а спрямована пряма В 1 ¢В 2 ¢ паралельна до прямої А 1 ¢А 2 ¢. Отже промінь В¢Р¢- внутрішній промінь кута А¢В¢В 2 ¢, . Отримана суперечність спростовує наше припущення, нерівність (1) – хибна. Аналогічно доводиться, що кут може бути менше кута . Теорему доведено.

Розглянемо тепер, як пов'язані між собою кути паралельності нерівних відрізків.

Теорема 16.3. Нехай відрізок АВ більший за відрізок А¢В¢, а кути і відповідно їх кути паралельності. Тоді.

Доведення.Доказ цієї теореми безпосередньо випливає з теореми 15.5 (див. § 15) про зовнішнє вугілля виродженого трикутника. Розглянь відрізок АВ. Проведемо через точку А спрямовану пряму, перпендикулярну АВ, а через точку В спрямовану пряму, паралельну (рис. 65). Відкладемо на промені АВ відрізок АР, що дорівнює А¢В¢. Оскільки , то Р – внутрішня точка відрізка АВ. Проведемо через Р спрямовану пряму З1С2, так само паралельну. Кут служить кутом паралельності відрізка АВВ, а кут - кутом паралельності відрізка АВ. З іншого боку, з теореми 15.2 про симетричність поняття паралельності прямих (див. § 15) випливає, що пряма З 1 З 2 паралельна до прямої . Тому трикутник РВС 2 А 2 - вироджений - зовнішній, а - його внутрішній кути. З теореми 15.5 випливає істинність твердження, що доводиться.

Легко довести протилежне твердження.

Теорема 16.4.Нехай і кути паралельності відрізків АВ та А¢В¢. Тоді якщо , то АВ > А¢В¢.

Доведення.Припустимо неприємне, . Тоді з теорем 16.2 та 16.3 випливає, що що суперечить умові теореми.

І так ми довели, що кожному відрізку відповідає свій кут паралельності, причому більшому відрізку відповідає менший кут паралельності. Розглянемо твердження, у якому доводиться, що з будь-якого гострого кута існує відрізок, котрій цей кут є кутом паралельності. Тим самим буде встановлено взаємно однозначну відповідність між відрізками та гострими кутами на площині Лобачевського.

Теорема 16.5. Для будь-якого гострого кута існує відрізок, котрого цей кут є кутом паралельності.

Доведення.Нехай дано гострий кут АВС (рис. 66). Будемо вважати, що всі точки, що розглядаються в подальшому, на променях ВА і ВС лежать між точками В і А і В і С. Назвемо промінь допустимим, якщо його початок належить стороні кута ВА, він перпендикулярний до прямої ВА і розташований у тій же півплощині щодо прямої ВА, що й сторона ВС даного кута.Звернемося до пропозиції Лежандра: п ерпендикуляр, проведений до сторони гострого кута у будь-якій точці цієї сторони, перетинає другий бік кута.Нами було доведено теорему 11.6 (див. § 11), у якій стверджується, що пропозиція Лежандра еквівалентна аксіомі паралельності евклідової геометрії.Звідси ми зробили висновок, що на площині Лобачевського справедливе логічне заперечення цього твердження, а саме, на боці будь-якого гострого кута існує така точка, що перпендикуляр до неї, відновлений у цій точці, не перетинає другий бік кута(Див. § 13). Таким чином, існує такий допустимий промінь m з початком у точці М, який не перетинає сторону ВС даного кута (див. рис. 66).

Розіб'ємо точки відрізка ВМ на два класи. Класу будуть належати ті точки цього відрізка, для яких допустимі промені з початками в цих точках перетинають бік ВС даного кута, а класу належать ті точки відрізка ПС, для яких допустимі промені з початками в цих точках сторону ПС не перетинають. Покажемо, що таке розбиття відрізка ВМ утворює дедекіндове розтин (див. теорему 4.3, § 4). Для цього слід перевірити, що

5. і класи і містять точки, відмінні від В та М;

6. Будь-яка точка класу, відмінна від, лежить між точкою В і будь-якою точкою класу.

Перше умова з очевидністю виконується. Будь - яка точка відрізка ВМ належить або класу К 1 або класу К 2 . У цьому точка, з визначення цих класів, неспроможна належати двом класам одночасно. Вочевидь, вважатимуться, що , точка М належить До 2 , оскільки допустимий промінь із початком у точці М перетинає ВС. Клас К 1 містить принаймні одну точку, відмінну від В. Для її побудови достатньо вибрати довільну точку P на стороні ВС і опустити з неї перпендикуляр PQ на промінь ВА. Якщо припустити, що точка Q лежить між точками М і А, то точки Р і Q лежать у різних напівплощинах щодо прямої, що містить промінь m (див. рис. 66). Тому відрізок РQ перетинає промінь m у певній точці R. Ми отримаємо, що з точки R на пряму ВА опущено два перпендикуляри, що суперечить теоремі 4.2 (див. § 4). Таким чином, точка Q належить відрізку ВМ, клас До 1 містить точки, відмінні від В. Легко пояснити, чому на промені ВА існує відрізок, що містить принаймні одну точку, що належить класу До 2 і відмінну від його кінця. Дійсно, якщо клас До 2 аналізованого відрізка ВМ містить єдину точку М, тоді виберемо довільну точку М¢ між М і А. Розглянемо допустимий промінь m¢ з початком у точці М¢. Він не перетинає промінь m, інакше з точки опущено два перпендикуляри на пряму АВ, тому m¢ не перетинає промінь ВС. Відрізок ВМ¢ шуканий і всі подальші міркування слід проводити для відрізка ВМ¢.

Перевіримо справедливість третьої умови теореми 4.3. Припустимо, що існують такі точки і що точка Р лежить між точкою U і М (рис. 67). Проведемо допустимі промені u і p з початками в точках U і P. Оскільки , то промінь р перетинає сторону ВС даного кута в деякій точці Q. Пряма, що містить промінь u, перетинає сторону ВР трикутника ВРQ, тому згідно з аксіомою аксіоматикою Гільберта (аксіома , Див. § 3) вона перетинає або сторону ВQ, або сторону PQ цього трикутника. Але, тому промінь u не перетинає сторону ВQ, отже, промені р і u перетинаються в деякій точці R. Ми знову прийшли до суперечності, так як побудували точку, з якої опущені два перпендикуляри на пряму АВ. Умова теореми 4.3 повністю виконана.

М. Звідси випливає, що . Ми отримали протиріччя, оскільки побудували точку класу К 1 , розташовану між точками і М. Нам залишилося показати, що будь-який внутрішній промінь кута перетинає промінь ВС. Розглянемо довільний внутрішній промінь h цього кута. Виберемо на ньому довільну точку К, що належить куту, і опустимо з неї перпендикуляр на пряму ВА (рис. 69). Підстава цього перпендикуляра, очевидно, належить відрізку ВМ 0 , тобто. класу К 1 (доведіть цей факт самостійно). Звідси випливає, що перпендикуляр KS перетинає сторону ВС даного кута у певній точці Т (див. рис. 69). Промінь h перетнув сторону ST трикутника BST у точці К, згідно з аксіомою (аксіомою Паша), він повинен перетнути або сторону BS, або сторону ВТ цього трикутника. Ясно, що h не перетинає відрізок BS, інакше через дві точки, і цю точку перетину проходять дві прямі h і ВА. Отже, h перетинає бік ВТ, тобто. промінь ВА. Теорему доведено повністю.

І так ми встановили, що кожному відрізку в геометрії Лобачевського можна поставити у відповідність гострий кут – його кут паралельності. Вважатимемо, що нами введено міру кутів і відрізків, зазначимо, що міра відрізків буде введена нами пізніше, у § . Ведемо таке визначення.

Визначення 16.6. Якщо під х розуміється довжина відрізка, а під j - величина кута, то залежність j = P(х), що ставить у відповідність довжині відрізка величину його кута паралельності, називається функцією Лобачевського.

Зрозуміло, що . Використовуючи властивості кута паралельності відрізка, доведені вище (див. теореми 16.3 та 16.4), можна зробити наступний висновок: функція Лобачевського є монотонно спадною.Миколою Івановичем Лобачевським було отримано таку чудову формулу:

,

де k - Деяке позитивне число. Воно має важливе значення в геометрії простору Лобачевського, і зветься його радіусом кривизни. Два простори Лобачевського, які мають той самий радіус кривизни, ізометричні. З наведеної формули, як неважко бачити, також випливає, що j = P(х) монотонно спадна безперервна функція, значення якої належать інтервалу .

На евклідовій площині зафіксуємо коло w з центром у певній точці O та радіусом, рівним одиниці, яку називатимемо абсолютом. Багато всіх точок кола, обмеженого колом w, позначимо через W¢, а безліч усіх внутрішніх точок цього кола - через W. Таким чином, . Крапки множини W називатимемо L-точкамиБезліч W всіх L-точок становить L-площина, на якій ми і будуватимемо модель Келі-Кляйну площини Лобачевського Будемо називати L-прямимидовільні хорди кола w. Вважатимемо, що L-точка X належить L-прямий x тоді і тільки тоді, коли точка X як точка евклідової площини належить хорді x абсолюту.

L-площини має місце аксіома паралельності Лобачевського:через L-точку B, що не лежить на L-прямій a проходять принаймні дві L-прямі b і c, що не мають спільних точок з L-прямою a. На малюнку 94 наведено ілюстрацію цього затвердження. Легко також зрозуміти, що собою представляють паралельні спрямовані прямі L-площини. Розглянемо рисунок 95. L-пряма b проходить через точку перетину L-прямої a з абсолютом. Тому спрямована L-пряма А 1 А 2 паралельна спрямованої L-прямий 1 А 2 . Справді, ці прямі не перетинаються, і, якщо вибрати довільні L-точки А і В, що належать відповідно до цих прямих, то будь-який внутрішній промінь h кута А 2 ВА перетинає пряму а. Таким чином, дві L-прямі паралельні, якщо вони мають загальну точку перетину з абсолютом. Зрозуміло, що виконується властивість симетричності та транзитивності поняття паралельності L-прямих. У параграфі 15 властивість симетричності нами було доведено, властивість ж транзитивності ілюструється малюнку 95. Пряма А 1 А 2 паралельна прямий В 1 А 2 , вони перетинають абсолют у точці А 2 . Прямі В 1 А 2 і 1 А 2 також паралельні, вони також перетинають абсолют у тій же точці А 2 . Тому прямі А 1 А 2 і 1 А 2 паралельні між собою.

Таким чином, певні вище основні поняття задовольняють вимогам аксіом I 1 -I 3 , II, III, IV груп аксіоматики Гільберта та аксіомі паралельності Лобачевського, отже є моделлю площини Лобачевського. Нами доведено змістовну несуперечність планиметрії Лобачевського. Сформулюємо це твердження як таку теорему.

Теорема 1. Геометрія Лобачевського змістовно несуперечлива.

Ми побудували модель площини Лобачевського, з побудовою просторової моделі, аналогічної розглянутій на площині, можна познайомитися в посібнику.

З теореми 1 випливає найважливіший висновок. Аксіома паралельності не є наслідком аксіом I – IV аксіоматики Гільберта. Оскільки п'ятий постулат Евкліда рівносильний аксіомі паралельності евклідової геометрії, цей постулат також залежить від інших аксіом Гільберта.