Які значення може набувати скалярна величина. Маса та щільність

 Вектор− чисто математичне поняття, яке лише застосовується у фізиці чи інших прикладних наукахта яке дозволяє спростити вирішення деяких складних завдань.
 Вектор− спрямований відрізок прямий.
В курсі елементарної фізикидоводиться оперувати двома категоріями величин - скалярними та векторними.
 Скалярнимивеличинами (скалярами) називають величини, що характеризуються числовим значеннямта знаком. Скалярами є довжина - l, маса − m, шлях − s, час - t, температура - T, електричний заряд − q, енергія - W, Координати і т.д.
До скалярних величин застосовуються всі алгебраїчні дії (додавання, віднімання, множення і т.д.).

 Приклад 1.
Визначити повний заряд системи, що складається із зарядів, що входять до неї, якщо q 1 = 2 нКл, q 2 = −7 нКл, q 3 = 3 нКл.
Повний заряд системи
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) нКл = −2 нКл = −2 × 10 −9 Кл.

 Приклад 2.
Для квадратного рівняннявиду
ax 2 + bx + с = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

 векторнівеличинами (векторами) називають величини, визначення яких необхідно вказати крім чисельного значення як і напрям. Вектори – швидкість v, сила F, імпульс p, напруженість електричного поля E, магнітна індукція Bта ін.
Чисельне значення вектора (модуль) позначають буквою без символу вектора або укладають вектор між вертикальними рисками r = | r |.
Графічно вектор зображують стрілкою (рис. 1),

Довжина якої в заданому масштабі дорівнює його модулю, а напрямок збігається з вектором.
Два вектори рівні, якщо збігаються їхні модулі та напрямки.
Векторні величини складаються геометрично (за правилом векторної алгебри).
Знаходження векторної суми за даними складових векторів називається додаванням векторів.
Додавання двох векторів виробляють за правилом паралелограма або трикутника. Сумарний вектор
с = a + b
дорівнює діагоналі паралелограма, побудованого на векторах aі b. Модуль його
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (рис. 2).


При α = 90°, з = √(a 2 + b 2 ) – теорема Піфагора.

Той самий вектор c можна отримати за правилом трикутника, якщо з кінця вектора aвідкласти вектор b. Замикаючий вектор c (з'єднує початок вектора aта кінець вектора b) є векторною сумою доданків (складових векторів aі b).
Результуючий вектор знаходять як замикає тієї ламаної лінії, ланками якої є вектори (рис. 3).


 Приклад 3.
Скласти дві сили F 1 = 3 Н та F 2 = 4 Н, вектори F 1і F 2складають з горизонтом кути α 1 = 10° та α 2 = 40°, відповідно
 F = F 1 + F 2(Рис. 4).

Результатом складання цих двох сил є сила, яка називається рівнодією. Вектор Fспрямований по діагоналі паралелограма, побудованого на векторах F 1і F 2, як сторони, так і за модулем дорівнює її довжині.
Модуль вектор Fзнаходимо за теоремою косінусів
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Якщо
(α 2 − α 1) = 90°, то F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

Кут, який вектор Fскладає з віссю Ox, знаходимо за формулою
α = arctg((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctg((3.0,17 + 4.0,64)/(3.0,98 + 4.0,77)) = arctg0,51, α ≈ 0,47 рад.

Проекція вектора a на вісь Ox (Oy) − скалярна величина, яка залежить від кута між напрямком вектора aта осі Ox (Oy). (рис. 5)


Вектор проекції aна осі Ox та Oy прямокутної системикоординат. (Рис. 6)


Щоб не допустити помилок щодо знака проекції вектора на вісь, корисно запам'ятати таке правило: якщо напрямок складової збігається з напрямком осі, то проекція вектора на цю вісь позитивна, якщо ж напрямок складової протилежно напрямку осі, то проекція вектора негативна. (Мал. 7)


Віднімання векторів - це додавання, при якому до першого вектора додається вектор, чисельно рівний другому, протилежно спрямований
a − b = a + (−b) = d(Рис. 8).

Нехай треба із вектора aвідняти вектор b, їхня різниця − d. Щоб знайти різницю двох векторів, треба до вектора aдодати вектор ( −b), тобто вектором d = a − bбуде вектор, спрямований від початку вектора aдо кінця вектора ( −b) (рис. 9).

У паралелограмі, побудованому на векторах aі bяк сторонах, одна діагональ cмає сенс суми, а інша d− різниці векторів aі b(Рис. 9).
Твір вектора aна скаляр k дорівнює вектору b= k aмодуль якого в k разів більше модуля вектора a, а напрямок збігається з напрямком aпри позитивному k та протилежно йому при негативному k.

 Приклад 4.
Визначити імпульс тіла масою 2 кг, що рухається зі швидкістю 5 м/с. (рис. 10)

Імпульс тіла p= m v; p = 2 кг.м/с = 10 кг.м/с і спрямований у бік швидкості v.

 Приклад 5.
Заряд q = -7,5 нКл поміщений в електричне поле з напруженістю E = 400 В/м. Знайти модуль та напрямок сили, що діє на заряд.

Сила дорівнює F= q E. Так як заряд негативний, то вектор сили спрямований у бік, протилежний вектору E. (рис. 11)


 Поділвектора aна скаляр k рівнозначно множенню aна 1/к.
 Скалярним творомвекторів aі bназивають скаляр «c», рівний добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними
(a.b) = (b.a) = c,
з = ab.cosα (рис. 12)


 Приклад 6.
Знайти роботу постійної сили F = 20 Н, якщо переміщення S = 7,5 м, а кут між силою і переміщенням α = 120°.

Робота сили дорівнює визначенню скалярному творусили та переміщення
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 м × cos120 ° = -150 × 1/2 = -75 Дж.

 Векторним творомвекторів aі bназивають вектор c, чисельно рівний добутку модулів векторів a і b, помножених на синус кута між ними:
с = a × b = ,
с = ab × sinα.
Вектор cперпендикулярний площині, в якій лежать вектори aі b, причому його напрямок пов'язаний із напрямком векторів aі bправилом правого гвинта (рис. 13).


 Приклад 7.
Визначити силу, що діє на провідник довжиною 0,2 м, поміщений у магнітному полі, індукція якого 5 Тл, якщо сила струму у провіднику 10 А і він утворює кут α = 30 ° з напрямком поля.

Сила Ампера
dF = I = Idl × B або F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 Тл × 10 А × 0,2 м × 1/2 = 5 Н.

 Розгляньте розв'язання задач.
1. Як спрямовані два вектори, модулі яких однакові та рівні a, якщо модуль їх суми дорівнює: а) 0; б) 2а; в) а; г) a√(2); д) a√(3)?

 Рішення.
а) Два вектори спрямовані вздовж однієї прямої протилежні сторони. Сума цих векторів дорівнює нулю.

б) Два вектори спрямовані вздовж однієї прямої в одному напрямку. Сума цих векторів дорівнює 2a.

в) Два вектори спрямовані під кутом 120 ° один до одного. Сума векторів дорівнює a. Результуючий вектор знаходимо за теоремою косінусів:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2
cosα = −1/2 та α = 120°.
г) Два вектори спрямовані під кутом 90° один до одного. Модуль суми дорівнює
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 та α = 90°.

д) Два вектори направлені під кутом 60° один до одного. Модуль суми дорівнює
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 та α = 60°.
 Відповідь: Кут між векторами дорівнює: а) 180°; б) 0; в) 120 °; г) 90 °; д) 60 °.

2. Якщо a = a 1 + a 2орієнтації векторів, те, що можна сказати про взаємну орієнтацію векторів a 1і a 2, якщо: а) a = a 1 + a 2; б) a 2 = a 1 2 + a 2 2; в) a 1 + a 2 = a 1 − a 2 ?

 Рішення.
а) Якщо сума векторів перебуває як сума модулів цих векторів, то вектори спрямовані вздовж однієї прямої, паралельно один до одного a 1 ||a 2.
б) Якщо вектори спрямовані під кутом один до одного, то їх сума знаходиться за теоремою косінусів для паралелограма
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 та α = 90°.
вектор перпендикулярний один одному a 1 ⊥ a 2.
в) Умова a 1 + a 2 = a 1 − a 2може виконатися, якщо a 2− нульовий вектор, тоді a 1 + a 2 = a 1 .
 Відповіді. а) a 1 ||a 2; б) a 1 ⊥ a 2; в) a 2− нульовий вектор.

3. Дві сили по 1,42 H кожна прикладена до однієї точки тіла під кутом 60° одна до одної. Під яким кутом треба прикласти до тієї ж точки тіла дві сили по 1,75 H кожна, щоб їхня дія врівноважувала дію перших двох сил?

Рішення.
За умовою задачі дві сили по 1,75 Н врівноважують дві сили по 1,42 Н. Це можливо, якщо дорівнюють модулі результуючих векторів пар сил. Результуючий вектор визначимо теорему косінусів для паралелограма. Для першої пари сил:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
для другої пари сил, відповідно
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Прирівнявши ліві частини рівнянь
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Знайдемо шуканий кут між векторами
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Після обчислень,
cosβ = (2.1,422 + 2.1,422.cos60° − 2.1,752)/(2.1,752) = −0,0124,
β ≈ 90,7°.

 Другий спосіб вирішення.
Розглянемо проекцію векторів на вісь координат ОХ (рис.).

Скориставшись співвідношенням між сторонами прямокутному трикутнику, отримаємо
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
звідки
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) та β ≈ 90,7°.

4. Вектор a = 3i − 4j. Яка має бути скалярна величина c, щоб |c a| = 7,5?
 Рішення.
c a= c ( 3i − 4j) = 7,5
Модуль вектор aдорівнюватиме
a 2 = 3 2 + 4 2 і a = ±5,
тоді з
c.(±5) = 7,5,
знайдемо, що
c = ±1,5.

5. Вектори a 1і a 2виходять із початку координат і мають декартові координатикінців (6, 0) та (1, 4), відповідно. Знайдіть вектор a 3такий, що: а) a 1 + a 2 + a 3= 0; б) a 1 − a 2 + a 3 = 0.

 Рішення.
Зобразимо вектори декартовій системікоординат (рис.)

а) Результуючий вектор уздовж осі Ox дорівнює
a x = 6 + 1 = 7.
Результуючий вектор уздовж осі Oy дорівнює
a y = 4 + 0 = 4.
Щоб сума векторів дорівнювала нулю, необхідно, щоб виконувалася умова
a 1 + a 2 = −a 3.
Вектор a 3по модулю дорівнюватиме сумарному вектору a 1 + a 2, Але спрямований у протилежний йому бік. Координата кінця вектора a 3дорівнює (−7, −4), а модуль
a 3 = √ (7 2 + 4 2) = 8,1.

Б) Результуючий вектор уздовж осі Ox дорівнює
a x = 6 − 1 = 5,
а результуючий вектор уздовж осі Oy
a y = 4 − 0 = 4.
При виконанні умови
a 1 − a 2 = −a 3,
вектор a 3матиме координати кінця вектора a x = –5 та a y = −4, а модуль його дорівнює
a 3 = √ (5 2 + 4 2) = 6,4.

6. Посильний проходить 30 м на північ, 25 м на схід, 12 м на південь, а потім у будівлі піднімається на ліфті на висоту 36 м. Чому рівні пройдений ним шлях L і переміщення S?

 Рішення.
Зобразимо ситуацію, описану задачі на площині у довільному масштабі (рис.).

Кінець вектора OAмає координати 25 м на схід, 18 м на північ і 36 нагору (25; 18; 36). Шлях, пройдений людиною дорівнює
L=30 м+25 м+12 м+36 м=103 м.
Модуль вектора переміщення знайдемо за формулою
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
де x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √ (25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (м).
 Відповідь: L = 103 м, S = 47,4 м.

7. Кут α між двома векторами aі bдорівнює 60 °. Визначте довжину вектора с = a + bта кут β між векторами aі c. Величини векторів дорівнюють a = 3,0 та b = 2,0.

 Рішення.
Довжина вектора, рівного сумівекторів aі bвизначимо скориставшись теоремою косінусів для паралелограма (рис.).

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Після підстановки
с = √ (3 2 + 2 2 + 2.3.2. cos60 °) = 4,4.
Для визначення кута β скористаємося теоремою синусів для трикутника ABC:
b/sinβ = a/sin(α−β).
При цьому слід знати, що
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ.
Вирішуючи просте тригонометричне рівняння, приходимо до виразу
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
отже,
β = arctg(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctg(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Зробимо перевірку, скориставшись теоремою косінусів для трикутника:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
звідки
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
і
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4,4)) = 23°.
 Відповідь: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.

 Розв'яжіть завдання.
8. Для векторів aі b, визначених у прикладі 7, знайдіть довжину вектора d = a − bкут γ між aі d.

9. Знайдіть векторну проекцію a = 4,0i + 7,0jна пряму, напрямок якої становить кут = 30° з віссю Ox. Вектор aі пряма лежить у площині xOy.

10. Вектор aстановить кут α = 30° із прямою АВ, a = 3,0. Під яким кутом β до прямої АВ потрібно направити вектор b(b = √(3)), щоб вектор с = a + bбув паралельний АВ? Знайдіть довжину вектора c.

11. Задано три вектори: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; з = i + 3j. Знайдіть а) a + b; б) a + c; в) (a, b); г) (a, c)b − (a, b)c.

12. Кут між векторами aі bдорівнює α = 60 °, a = 2,0, b = 1,0. Знайдіть довжини векторів з = (a, b)a + bі d = 2b − a/2.

13. Доведіть, що вектори aі bперпендикулярні, якщо a = (2, 1, −5) та b = (5, −5, 1).

14. Знайдіть кут α між векторами aі bякщо a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. Вектор aстановить із віссю Ox кут α = 30°, проекція цього вектора на вісь Oy дорівнює a y = 2,0. Вектор bперпендикулярний вектор aта b = 3,0 (див. рис.).

Вектор с = a + b. Знайдіть: a) проекції вектора bна осі Ox та Oy; б) величину c та кут β між вектором cта віссю Ox; в) (a, b); г) (a, c).

 Відповіді:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300 °; c = 3,5.
11. а) 5i + j; б) i + 3j - 2k; в) 15i – 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4 °.
15. а) b x = −1,5; b y = 2,6; б) з = 5; β ≈ 67°; в) 0; г) 16,0.
Вивчаючи фізику, Ви маєте великі можливостіпродовжити свою освіту в технічному ВНЗ. Для цього знадобиться паралельне поглиблення знань з математики, хімії, мови, рідше за інші предмети. Переможець республіканської олімпіади, Савич Єгор, закінчує один із факультетів МФТІ, на якому великі вимоги пред'являються до знань з хімії. Якщо потрібна допомога в ГІА з хімії, то звертайтеся до професіоналів, які Вам точно нададуть кваліфіковану та своєчасну допомогу.

 Дивіться ще:

Векторна величина

Векторна величина- фізична величина, що є вектором (тензором рангу 1). Протиставляється з одного боку скалярним (тензорам рангу 0), з іншого - тензорним величинам (строго кажучи - тензорам рангу 2 і більше). Також може протиставлятися тим чи іншим об'єктам зовсім іншої математичної природи.

Найчастіше термін вектор використовується у фізиці для позначення вектора у так званому «фізичному просторі», тобто. у звичайному тривимірному просторі в класичній фізиці або в чотиривимірному просторі-часі сучасної фізики(у останньому випадкупоняття вектора та векторної величини збігаються з поняттям 4-вектора та 4-векторної величини).

Вживання словосполучення "векторна величина" практично вичерпується цим. Що ж стосується вживання терміна "вектор", то воно, незважаючи на тяжіння за умовчанням до цього ж поля застосовності, велику кількістьвипадків все ж таки дуже далеко виходить за такі рамки. Про це див. нижче.

Вживання термінів векторі Векторна величинау фізиці

Загалом у фізиці поняття вектора практично повністю збігається з таким у математиці. Однак є термінологічна специфіка, пов'язана з тим, що в сучасній математиці це поняття дещо зайве абстрактне (стосовно потреб фізики).

У математиці, вимовляючи «вектор» розуміють швидше за вектор взагалі, тобто. будь-який вектор будь-якого абстрактного лінійного простору будь-якої розмірності і природи, що, якщо не докладати спеціальних зусиль, може призводити навіть до плутанини (не стільки, звичайно, по суті, скільки за зручністю слововживання). Якщо ж необхідно конкретизувати, в математичному стилі доводиться або говорити досить довго ("вектор такого-то і такого простору"), або мати на увазі явно описаним контекстом.

У фізиці ж практично завжди йдеться не про математичні об'єкти (що мають ті чи інші формальні властивості) взагалі, а про певну їх конкретну ("фізичну") прив'язку. Враховуючи ці міркування конкретності з міркуваннями стислості та зручності, можна зрозуміти, що термінологічна практика у фізиці помітно відрізняється від математичної. Однак вона не входить з останньої у явну суперечність. Цього вдається досягти кількома простими "прийомами". Насамперед до них належить угода про вживання терміна за умовчанням (коли контекст особливо не обговорюється). Так, у фізиці, на відміну від математики, під словом вектор без додаткових уточнень зазвичай розуміється не "якийсь вектор будь-якого лінійного простору взагалі", а насамперед вектор, пов'язаний із "звичайним фізичним простором" ( тривимірним простором класичної фізикиабо чотиривимірним простором-часом фізики релятивістської). Для векторів просторів, не пов'язаних прямо і безпосередньо з "фізичним простором" або "простором-часом", якраз застосовують спеціальні назви (іноді включають слово "вектор", але з уточненням). Якщо вектор деякого простору, не пов'язаного прямо і безпосередньо з "фізичним простором" або "простором-часом" (і який важко відразу якось виразно охарактеризувати), вводиться в теорії, він часто спеціально описується як "абстрактний вектор".

Все сказане ще в більшою мірою, ніж терміну " вектор", відноситься до терміну " векторна величина " . Умовчання в цьому випадку ще жорсткіше має на увазі прив'язку до "звичайного простору" або простору-часу, а вживання по відношенню до елементів абстрактних векторних просторівшвидше практично не зустрічається, принаймні таке застосування бачиться рідкісним винятком (якщо взагалі не застереженням).

У фізиці векторами найчастіше, а векторними величинами - практично завжди називають вектори двох подібних між собою класів:

Векторні приклади фізичних величин: швидкість , сила , потік тепла

Генезис векторних величин

Як фізичні " векторні величини " прив'язані до простору? Перш за все, впадає в око те, що розмірність векторних величин (у тому звичайному сенсі вживання цього терміна, який роз'яснений вище) збігається з розмірністю одного і того ж "фізичного" (і "геометричного") пространатсва, наприклад, простір тривимірно і вектор електричного поля тривимірний. Інтуїтивно можна помітити також, що будь-яка векторна фізична величина, який би туманний зв'язок вона не мала з звичайною просторовою протяжністю, проте має певний напрямок саме в цьому звичайному просторі.

Однак виявляється, що можна досягти і набагато більшого, прямо "звівши" весь набір векторних величин фізики до найпростіших "геометричних" векторів, вірніше навіть - до одного вектора - вектор елементарного переміщення, а правильніше було б сказати - зробивши їх усіх від нього.

Ця процедура має дві різні (хоча по суті, що детально повторюють один одного) реалізації для тривимірного випадку класичної фізики і для чотиривимірної просторово-часової формулювання, звичайної для сучасної фізики.

Класичний тривимірний випадок

Виходитимемо зі звичайного тривимірного "геометричного" простору, в якому ми живемо і можемо переміщатися.

Як вихідний і зразковий вектор візьмемо вектор нескінченно малого переміщення. Досить очевидно, що це звичайний "геометричний" вектор (як вектор кінцевого переміщення).

Відмітимо тепер відразу, що множення вектора на скаляр завжди дає новий вектор. Те саме можна сказати про суму і різницю векторів. У цьому розділі ми робитимемо різниці між полярними і аксіальними векторами , тому зауважимо, як і векторний добуток двох векторів дає новий вектор.

Також новий вектор дає диференціювання вектора за скаляром (оскільки така похідна є межа відношення різниці векторів до скаляра). Це можна сказати далі і про похідні всіх вищих порядків. Те ж саме по відношенню до інтегрування по скалярах (часу, обсягу).

Тепер зауважимо, що виходячи з радіус-вектора rабо з елементарного переміщення d r, ми легко розуміємо, що векторами є (оскільки час - скаляр) такі кінематичні величини, як

Зі швидкості та прискорення, множенням на скаляр (масу), з'являються

Оскільки нас зараз цікавлять і псевдовектори, зауважимо, що

• за допомогою формули сили Лоренца напруженість електричного поля та вектор магнітної індукції прив'язані до векторів сили та швидкості.

Продовжуючи цю процедуру, ми виявляємо, що всі відомі нам векторні величини тепер не тільки інтуїтивно, а й формально, прив'язані до вихідного простору. Саме вони у певному сенсі є його елементами, т.к. виражаються по суті як лінійні комбінації інших векторів (зі скалярними множниками, можливо, і розмірними, але скалярними, а тому формально цілком законними).

Сучасний чотиривимірний випадок

Ту ж процедуру можна виконати виходячи з чотиривимірного переміщення. Виявляється, що всі 4-векторні величини "походять" від 4-переміщення, будучи у певному сенсі такими ж векторами простору-часу, як і саме 4-переміщення.

Види векторів стосовно фізики

• Полярний або дійсний вектор - звичайний вектор.
• Аксіальний вектор (псевдовектор) - насправді не є справжнім вектором, проте формально майже не відрізняється від останнього, за винятком того, що змінює напрямок на протилежний при зміні орієнтації системи координат (наприклад, при дзеркальне відображеннясистеми координат). Приклади псевдовекторів: усі величини, які визначаються через векторний добуток двох полярних векторів.
• Для сил виділяється кілька різних класів еквівалентності.

Примітки

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Векторна величина" в інших словниках:

Векторна величина- - [Я.Н.Лугинський, М.С.Фезі Жилінська, Ю.С.Кабіров. Англо-російський словник з електротехніки та електроенергетики, Москва, 1999 р.] Тематики електротехніка, основні поняття EN vector quantity … Довідник технічного перекладача

Векторна величина- vektorinis dydis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. vector quantity; vectorial quantity vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. Векторна величина, f pranc. grandeur vectorielle, f … Automatikos terminų žodynas

Векторна величина- vektorinis dydis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vector quantity; vectorial quantity vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. Векторна величина, f pranc. grandeur vectorielle, f … Fizikos terminų žodynas

Графічне зображення змінюються згідно із законом синуса (косинусу) величин і співвідношень між ними за допомогою спрямованих відрізків векторів. Векторні діаграмишироко застосовуються в електротехніці, акустиці, оптиці, теорії коливань і так далі.

Запит "сила" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Сила Розмірність LMT-2 Одиниці виміру СІ … Вікіпедія

Ця стаття чи розділ потребує переробки. Будь ласка, покращіть статтю відповідно до правил написання статей. … Вікіпедія

Це величина, яка приймає в результаті досвіду одне з безлічі значень, причому поява того чи іншого значення цієї величини до її виміру не можна точно передбачити. Формальне математичне визначеннянаступне: нехай імовірнісне… … Вікіпедія

Векторна та скалярна ф ції координат та часу, що є харками електро магнітного поля. Векторним П. е. зв. Векторна величина А, ротор до рій дорівнює векторуУ магнітній індукції поля; rotA Ст Скалярним П. е. зв. скалярна величина ф, … Великий енциклопедичний політехнічний словник

Розмір, що характеризує обертають. ефект сили при дії на тб. тіло. Розрізняють М. с. щодо центру (точки) та щодо осн. М. с. щодо центру О (рис. а) векторна величина чисельно рівна добуткумодуля сили F на… … Природознавство. Енциклопедичний словник

Векторна величина, що характеризує швидкість зміни швидкості точки за її чисельним значенням та за напрямом. При прямолінійному русіточки, коли її швидкість υ зростає (або зменшується) рівномірно, чисельно У. за часом: … … Велика Радянська Енциклопедія

Фізика та математика не обходяться без поняття «векторна величина». Її необхідно знати та впізнавати, а також вміти з нею оперувати. Цьому обов'язково варто навчитися, щоб не плутатися і не допускати дурних помилок.

Як відрізнити скалярну величину від векторної?

Перша завжди має лише одну характеристику. Це її числове значення. Більшість скалярних величин можуть приймати як позитивні, і негативні значення. Їх прикладами може бути електричний заряд, робота чи температура. Але є такі скаляри, які можуть бути негативними, наприклад, довжина і маса.

Векторна величина, крім числової величини, яка завжди береться за модулем, характеризується ще й напрямком. Тому вона може бути зображена графічно, тобто у вигляді стрілки, довжина якої дорівнює модулю величини, спрямованої у певну сторону.

Під час листа кожна векторна величина позначається знаком стрілки на літерою. Якщо йде мовапро числове значення, то стрілка не пишеться або її беруть за модулем.

Які дії найчастіше виконуються із векторами?

Спочатку – порівняння. Вони можуть бути рівними чи ні. У першому випадку їх модулі однакові. Але це не єдина умова. У них мають бути ще однакові чи протилежні напрямки. У першому випадку їх слід називати рівними векторами. У другому вони виявляються протилежними. Якщо не виконується хоча б одна із зазначених умов, то вектори не рівні.

Потім іде додавання. Його можна зробити за двома правилами: трикутника чи паралелограма. Перше наказує відкладати спочатку один вектор, потім від кінця другого. Результатом додавання буде той, який потрібно провести від початку першого до кінця другого.

Правило паралелограма можна використати, коли потрібно скласти векторні величини у фізиці. На відміну від першого правила, їх слід відкладати від однієї точки. Потім добудувати їх до паралелограма. Результатом дії слід вважати діагональ паралелограма, проведену з тієї ж точки.

Якщо векторна величина віднімається з іншого, вони знову відкладаються з однієї точки. Тільки результатом буде вектор, який збігається з тим, що відкладено від кінця другого до кінця першого.

Які вектори вивчають у фізиці?

Їх так само багато, як скалярів. Можна просто запам'ятати те, які векторні величини у фізиці існують. Або знати ознаки, якими їх можна обчислити. Тим, хто надає перевагу першому варіанту, стане в нагоді така таблиця. У ній наведено основні векторні фізичні величини.

Тепер трохи докладніше про деякі з цих величин.

Перша величина – швидкість

З неї варто почати наводити приклади векторних величин. Це зумовлено тим, що її вивчають у числі перших.

Швидкість визначається як характеристика руху тіла у просторі. Нею задається числове значення та напрямок. Тому швидкість є векторною величиною. До того ж, її прийнято розділяти на види. Перший є лінійною швидкістю. Її вводять під час розгляду прямолінійного рівномірного руху. При цьому вона виявляється рівною відношенню шляху, пройденого тілом, на час руху.

Цю ж формулу можна використовувати при нерівномірному русі. Тільки тоді вона буде середньою. Причому інтервал часу, який необхідно обирати, обов'язково має бути якнайменше. При прагненні проміжку часу до нуля значення швидкості є миттєвим.

Якщо розглядається довільний рух, то завжди швидкість - векторна величина. Адже її доводиться розкладати на складові, спрямовані вздовж кожного вектора, що спрямовує координатні прямі. До того ж визначається як похідна радіус-вектора, взята за часом.

Друга величина – сила

Вона визначає міру інтенсивності впливу, що виявляється на тіло з боку інших тіл чи полів. Оскільки сила - векторна величина, вона обов'язково має значення по модулю і напрям. Оскільки вона діє тіло, то важливим є ще й точка, до якої докладена сила. Щоб отримати наочне уявленняпро вектори сил можна звернутися до наступної таблиці.

Також векторною величиною є рівнодіюча сила. Вона визначається як сума всіх, хто діє на тіло механічних сил. Для її визначення необхідно виконати додавання за принципом правила трикутника. Тільки відкладати вектори потрібно по черзі від кінця попереднього. Результатом виявиться той, який поєднує початок першого з кінцем останнього.

Третя величина – переміщення

Під час руху тіло описує певну лінію. Вона називається траєкторією. Ця лінія може бути зовсім різною. Найважливіше виявляється не її зовнішній вигляд, А точки початку та кінця руху. Вони поєднуються відрізком, який називається переміщенням. Це також векторна величина. Причому воно завжди спрямоване від початку переміщення до точки, де рух було припинено. Позначати його прийнято латинською літерою r.

Тут може постати таке питання: «Шлях – векторна величина?». У загальному випадкуце твердження не є вірним. Шлях дорівнює довжинітраєкторії та не має певного напрямку. Винятком вважається ситуація, коли розглядається прямолінійний рух щодо одного напрямі. Тоді модуль вектора переміщення збігається за значенням шляхом, і напрямок у них виявляється однаковим. Тому при розгляді руху вздовж прямої без зміни напряму переміщення шлях можна включити до прикладів векторних величин.

Четверта величина – прискорення

Воно є характеристикою швидкості зміни швидкості. Причому прискорення може мати як позитивне, так і негативне значення. При прямолінійному русі воно спрямоване у бік більшої швидкості. Якщо переміщення відбувається по криволінійної траєкторіївектор його прискорення розкладається на дві складові, одна з яких спрямована до центру кривизни по радіусу.

Виділяють середнє та миттєве значення прискорення. Перше слід розраховувати як відношення зміни швидкості протягом певного проміжку часу до цього часу. При прагненні розглянутого інтервалу часу до нуля говорять про миттєве прискорення.

П'ята величина – імпульс

Інакше його ще називають кількістю руху. Імпульс векторною величиною є тому, що безпосередньо пов'язаний зі швидкістю і силою, прикладеною до тіла. Обидві мають напрям і задають його імпульсу.

За визначенням останній дорівнює творумаси тіла на швидкість. Використовуючи поняття імпульсу тіла, можна інакше записати відомий закон Ньютона. Виходить, що зміна імпульсу дорівнює добутку сили на проміжок часу.

У фізиці важливу рольмає закон збереження імпульсу, який стверджує, що у замкнутій системі тіл її сумарний імпульс є постійним.

Ми дуже стисло перерахували, які величини (векторні) вивчаються в курсі фізики.

Завдання про непружний удар

Умови. На рейках стоїть нерухома платформа. До неї наближається вагон із швидкістю 4 м/с. Маси платформи та вагона – 10 і 40 тонн відповідно. Вагон ударяється об платформу, відбувається автозчеплення. Необхідно обчислити швидкість системи "вагон-платформа" після удару.

Рішення. Спочатку потрібно ввести позначення: швидкість вагона до удару – v1, вагона з платформою після зчіпки – v, маса вагона m1, платформи – m2. За умовою завдання необхідно дізнатись значення швидкості v.

Правила вирішення подібних завдань вимагають схематичного зображення системи до та після взаємодії. Ось OX розумно направити вздовж рейок у той бік, куди рухається вагон.

У цих умовах систему вагонів вважатимуться замкненою. Це визначається тим, що зовнішніми силамиможна знехтувати. Сила тяжкості та реакція опори врівноважені, а тертя про рейки не враховується.

Відповідно до закону збереження імпульсу, їх векторна сума до взаємодії вагона та платформи дорівнює загальному для зчеплення після удару. Спочатку платформа не рухалася, тому її імпульс дорівнював нулю. Переміщався лише вагон, його імпульс - добуток m1 та v1.

Так як удар був непружний, тобто вагон зчепився з платформою, і далі він почали котитися разом у той самий бік, то імпульс системи не змінив напряму. Але його значення стало іншим. А саме добутком суми маси вагона з платформою та шуканою швидкістю.

Можна записати таку рівність: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Воно буде вірним для проекції векторів імпульсів на вибрану вісь. З нього легко вивести рівність, яка буде потрібна для обчислення шуканої швидкості: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

За правилами слід перевести значення маси з тонн на кілограми. Тому за підстановці в формулу слід спочатку помножити відомі величини на тисячу. Прості розрахунки дають кількість 0,75 м/с.

Відповідь. Швидкість вагона із платформою дорівнює 0,75 м/с.

Завдання з поділом тіла на частини

Умови. Швидкість гранати, що летить, 20 м/с. Вона розривається на два уламки. Маса першого – 1,8 кг. Він продовжує рухатися у напрямку, у якому летіла граната, зі швидкістю 50 м/с. Другий уламок має масу 1,2 кг. Яка його швидкість?

Рішення. Нехай маси осколків позначені літерами m1 та m2. Їх швидкості відповідно будуть v1 та v2. Початкова швидкістьгранати – v. У завданні потрібно обчислити значення v2.

Щоб більший уламок продовжував рухатися у тому напрямі, як і вся граната, другий повинен полетіти в зворотний бік. Якщо вибрати за напрямок осі той, який був у початкового імпульсу, то після розриву великий уламок летить по осі, а маленький - проти осі.

У цьому вся задачі дозволено скористатися законом збереження імпульсу через те, що розрив гранати відбувається миттєво. Тому, незважаючи на те, що на гранату та її частини діє сила тяжіння, вона не встигає подіяти і змінити напрям вектора імпульсу з його значенням по модулю.

Сума векторних величин імпульсу після розриву гранати дорівнює тому, що був до нього. Якщо записати закон збереження імпульсу тіла в проекції на вісь OX, він виглядатиме так: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. З нього просто висловити потрібну швидкість. Вона визначиться за формулою: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Після підстановки числових значень та розрахунків виходить 25 м/с.

Відповідь. Швидкість маленького уламка дорівнює 25 м/с.

Завдання про постріл під кутом

Умови. На платформі масою M встановлено зброю. З нього робиться постріл снарядом масою m. Він вилітає під кутом α до горизонту зі швидкістю v (даної щодо землі). Потрібно дізнатися значення швидкості платформи після пострілу.

Рішення. У цьому вся задачі можна використовувати закон збереження імпульсу в проекції на вісь OX. Але тільки в тому випадку, коли проекція зовнішніх рівнодіючих сил дорівнює нулю.

За напрямок осі OX потрібно вибрати той бік, куди полетить снаряд, і паралельно горизонтальній лінії. У цьому випадку проекції сил тяжкості та реакції опори на OX дорівнюватимуть нулю.

Завдання буде вирішено у загальному виглядітому що немає конкретних даних для відомих величин. Відповіддю у ній є формула.

Імпульс системи до пострілу дорівнював нулю, оскільки платформа і снаряд були нерухомі. Нехай швидкість платформи, що шукається, буде позначена латинською літерою u. Тоді її імпульс після пострілу визначиться як добуток маси на проекцію швидкості. Оскільки платформа відкотиться назад (проти напрямку осі OX), то значення імпульсу буде зі знаком мінус.

Імпульс снаряда - добуток його маси на проекцію швидкості на вісь OX. Через те, що швидкість спрямована під кутом до горизонту, її проекція дорівнює швидкості, помноженої на косинус кута. У літерній рівності це виглядатиме так: 0 = Mu + mv * cos α. З неї шляхом нескладних перетворень виходить формула-відповідь: u = (mv * cos α)/M.

Відповідь. Швидкість платформи визначається за формулою u=(mv*cosα)/M.

Завдання про переправу через річку

Умови. Ширина річки по всій її довжині однакова і дорівнює l, її береги є паралельними. Відома швидкість течії води в річці v1 та власна швидкість катера v2. 1). При переправі ніс катера спрямований до протилежного берега. На яку відстань його знесе вниз за течією? 2). Під яким кутом α потрібно направити ніс катера, щоб він досягнув протилежного берега строго перпендикулярно до точки відправлення? Скільки часу t потрібно таку переправу?

Рішення. 1). Повна швидкість катера є векторною сумою двох величин. Перша з них течія річки, яка спрямована вздовж берегів. Друга – власна швидкість катера, перпендикулярна берегам. На кресленні виходить два подібних трикутника. Перший утворений шириною річки та відстанню, на яку зносить катер. Другий – векторами швидкостей.

З них випливає такий запис: s/l = v1/v2. Після перетворення виходить формула для шуканої величини: s = l*(v1/v2).

2). У цьому варіанті завдання вектор повної швидкості перпендикулярний берегам. Він дорівнює векторній сумі v1 та v2. Синус кута, який повинен відхилятися вектор власної швидкості, дорівнює відношенню модулів v1 і v2. Для розрахунку часу руху потрібно розділити ширину річки на повну швидкість. Значення останньої обчислюється за теоремою Піфагора.

v = √(v22 – v12), тоді t = l / (√(v22 – v12)).

Відповідь. 1). s = l*(v1/v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√ (v22 - v12)).

При вивченні різних розділів фізики, механіки та технічних наукзустрічаються величини, які повністю визначаються завданням їх числових значень, точніше, які повністю визначаються за допомогою числа, отриманого в результаті їх виміру однорідною величиноюприйнятої за одиницю. Такі величини називаються скалярнимичи, коротше, скалярами. Скалярними величинами, наприклад, є довжина, площа, об'єм, час, маса, температура тіла, щільність, робота, електроємність та ін. Оскільки скалярна величина визначається числом (позитивним або негативним), то її можна відкладати на відповідній координатної осі. Так, наприклад, часто будують вісь часу, температури, довжини (пройденого шляху) та інші.

Крім скалярних величин, у різних завданнях зустрічаються величини, визначення яких, крім числового значення, необхідно знати також їх напрям у просторі. Такі величини називаються векторними. Фізичними прикладами векторних величин можуть бути зміщення матеріальної точки, що рухається в просторі, швидкість і прискорення цієї точки, а також сила, що діє на неї, напруженість електричного або магнітного поля. Векторні величини використовуються, наприклад, і кліматології. Розглянемо простий приклад із кліматології. Якщо ми скажемо, що вітер дме зі швидкістю 10 м/с, то введемо скалярну величину швидкості вітру, але якщо ми скажемо, що дме північний вітер зі швидкістю 10 м/с, то в цьому випадку швидкість вітру буде вже векторною величиною.

Векторні величини відображаються за допомогою векторів.

Для геометричного зображення векторних величин служать спрямовані відрізки, тобто відрізки, що мають фіксований напрямок у просторі. При цьому довжина відрізка дорівнює числовому значенню векторної величини, яке напрямок збігається з напрямком векторної величини. Спрямований відрізок, що характеризує цю векторну величину, називають геометричним векторомабо просто вектор.

Поняття вектора відіграє велику роль як у математиці, так і в багатьох галузях фізики та механіки. Багато фізичних величин можуть бути представлені за допомогою векторів, і це уявлення дуже часто сприяє узагальнення та спрощення формул та результатів. Часто векторні величини та вектори, що їх зображають, ототожнюються один з одним: наприклад, кажуть, що сила (або швидкість) є вектор.

Елементи векторної алгебри застосовують у таких дисциплінах як: 1) електричні машини; 2) автоматизований електропривод; 3) електроосвітлення та опромінення; 4) нерозважені ланцюги змінного струму; 5) прикладна механіка; 6) теоретична механіка; 7) фізика; 8) гідравліка: 9) деталі машин; 10) сопромат; 11) управління; 12) хімія; 13) кінематика; 14) статика та ін.

2. Визначення вектора.Відрізок прямої визначається двома рівноправними точками -його кінцями. Але можна розглядати спрямований відрізок, який визначається упорядкованою парою точок. Про ці точки відомо, яка з них перша (початок), а яка друга (кінець).

Під спрямованим відрізком розуміють упорядковану пару точок, перша з яких – точка А – називається його початком, а друга – В – його кінцем.

Тоді під векторомрозуміється у найпростішому випадку сам спрямований відрізок, а інших випадках різні вектори - це різні класиеквівалентності спрямованих відрізків, зумовлені якимось конкретним ставленням еквівалентності. Причому відношення еквівалентності може бути різним, визначаючи тип вектора (вільний, фіксований і т.д.). Простіше кажучи, всередині класу еквівалентності всі відрізки, що входять до нього, розглядаються як абсолютно рівні, і кожен може одно представляти весь клас.

Велику роль грають вектори до вивчення нескінченно малих трансформацій простору.

Визначення 1.Спрямований відрізок (або, що те саме, впорядковану пару точок) ми називатимемо вектором. Напрямок на відрізку прийнято відзначати стрілкою. Над буквеним позначенням вектора при листі ставиться стрілка, наприклад: (при цьому буква, що відповідає початку вектора, обов'язково ставиться попереду). У книгах часто літери, що позначають вектор, набираються жирним шрифтом, наприклад: а.

До векторів відноситимемо і так званий нульовий вектор, у якого початок і кінець збігаються.

Вектор, початок якого збігається з його кінцем, називають нульовим. Нульовий вектор позначається або 0.

Відстань між початком та кінцем вектора називається його довжиною(а також модулемта абсолютною величиною). Довжина вектора позначається | | чи | |. Довжиною вектора або модулем вектора називають довжину відповідного спрямованого відрізка: | | =.

Вектори називаються колінеарнимиякщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих, коротше кажучи, якщо існує пряма, якою вони паралельні.

Вектори називаються компланарнимиякщо існує площина, якою вони паралельні, їх можна зобразити векторами, що лежать на одній площині. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору, тому що він не має певного напрямку. Довжина його, зрозуміло, дорівнює нулю. Очевидно, будь-які два вектори компланарні; але, звичайно, не кожні три вектори у просторі компланарні. Так як вектори, паралельні один одному, паралельні до однієї і тієї ж площини, то колінеарні векторидавно компланарні. Зрозуміло, протилежне неправильно: компланарні вектори можуть бути не колінеарними. У силу прийнятого вище умови нульовий вектор колінеарен з будь-яким вектором і компланарен з будь-якою парою векторів, тобто. якщо серед трьох векторівхоча б один нульовий, то вони є компланарними.

2) Слово "компланарні" означає по суті: "мають загальну площину", тобто "розташовані в одній площині". Але так як мова тут йде про вільні вектори, які можна переносити (не змінюючи довжини та напрямки) довільним чином, ми повинні називати компланарними вектори, паралельні одній і тій же площині, бо в цьому випадку їх можна перенести так, щоб вони виявилися розташованими в однієї площини.

Для скорочення промови умовимося в одному терміні: якщо кілька вільних векторів паралельні до однієї й тієї ж площини, то ми говоритимемо, що вони компланарні. Зокрема, два вектори завжди є компланарними; щоб у цьому переконатись, достатньо відкласти їх від однієї й тієї ж точки. Зрозуміло, далі, що напрямок площини, в якій паралельні два векторні дані, цілком визначено, якщо ці два вектори не паралельні між собою. Будь-яку площину, якою паралельні дані компланарні вектори, ми називатимемо просто площиною даних векторів.

Визначення 2.Два вектори називаються рівнимиякщо вони колінеарні, однаково спрямовані і мають рівні довжини.

Необхідно завжди пам'ятати, що рівність довжин двох векторів ще означає рівності цих векторів.

За змістом визначення, два вектори, порізно рівні третьому, рівні між собою. Очевидно, що всі нульові вектори рівні між собою.

З цього визначення безпосередньо випливає, що, обравши будь-яку точку А", ми можемо побудувати (і до того ж тільки один) вектор А" В", рівний деякому заданому вектору, або, як то кажуть, перенести вектор у точку А" .

Зауваження. Для векторів немає понять «більше» чи «менше», тобто. вони рівні чи не рівні.

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничнимвектором та позначається через е. Одиничний вектор, напрямок якого збігається з напрямком вектора, називається ортомвектора і позначається а.

3. Про інше визначення вектора. Зауважимо, що поняття рівності векторів суттєво відрізняється від поняття рівності, наприклад, чисел. Кожне число одно тільки самому собі, інакше кажучи, два рівні числа за всіх обставин можуть розглядатися як одне і те ж число. З векторами, як бачимо, справа по-іншому: з визначення існують різні, але рівні між собою вектори. Хоча в більшості випадків у нас не буде необхідності розрізняти їх між собою, цілком може виявитися, що в якийсь момент нас цікавитиме саме вектор , а не інший, рівний вектор А "В".

Щоб спростити поняття рівності векторів (і зняти деякі пов'язані з ним труднощі), іноді йдуть на ускладнення визначення вектора. Ми не користуватимемося цим ускладненим визначенням, але сформулюємо його. Щоб не плутати, ми писатимемо «Вектор» (з великої літери) для позначення визначеного нижче поняття.

Визначення 3. Нехай дано направлений відрізок. Багато всіх спрямованих відрізків, рівних даному в сенсі визначення 2, називається Вектор.

Таким чином, кожен спрямований відрізок визначає вектор. Легко помітити, що два спрямованих відрізка визначають один і той же вектор тоді і тільки тоді, коли вони рівні. Для векторів, як і для чисел, рівність означає збіг: два вектори рівні в тому і тільки в тому випадку, коли це один і той же вектор.

При паралельному перенесенні простору точка та її образ становлять упорядковану пару точок і визначають спрямований відрізок, причому всі такі спрямовані відрізки рівні в сенсі визначення 2. Тому паралельне перенесення простору можна ототожнити з Вектором, складеним із усіх цих спрямованих відрізків.

З початкового курсуФізики добре відомо, що сила може бути зображена спрямованим відрізком. Але вона може бути зображена Вектором, оскільки сили, зображувані рівними спрямованими відрізками, роблять, взагалі кажучи, різні дії. (Якщо сила діє пружне тіло, то зображує її спрямований відрізок може бути перенесений навіть уздовж тієї прямий, де він лежить.)

Це лише одна з причин, через які поряд з Векторами, тобто множинами (або, як кажуть, класами) рівних спрямованих відрізків, доводиться розглядати і окремих представників цих класів. За цих обставин застосування визначення 3 ускладнюється більшим числомзастережень. Ми дотримуватимемося визначення 1, причому за загальним змістом завжди буде ясно, чи йдеться про цілком певний вектор, чи на його місце може бути підставлений будь-який, йому рівний.

У зв'язку з визначенням вектора варто роз'яснити значення деяких слів, які у літературі.

У фізиці існує кілька категорій величин: векторні та скалярні.

Що таке векторний розмір?

Векторна величина має дві основні характеристики: напрямок та модуль. Два вектори будуть однаковими, якщо їх значення по модулю та напрямок збігаються. Для позначення векторної величини найчастіше використовують літери, над якими відображається стрілочка. Як приклад векторної величини можна навести силу, швидкість чи прискорення.

Щоб зрозуміти сутність векторної величини, слід розглянути її з геометричної точкизору. Вектор є відрізок, що має напрямок. Довжина такого відрізка співвідноситься із значенням його модуля. Фізичним прикладомвекторної величини є зміщення матеріальної точки, що переміщається у просторі. Такі параметри, як прискорення цієї точки, швидкість і сили, що діють на неї, електромагнітного поля теж будуть відображатися векторними величинами.

Якщо розглядати векторну величину незалежно від напрямку, такий відрізок можна виміряти. Однак, отриманий результат буде відображати лише часткові характеристики величини. Для повного виміру слід доповнити величину іншими параметрами спрямованого відрізка.

У векторної алгебриіснує поняття нульового вектора. Під цим поняттям мається на увазі точка. Що ж до напрямку нульового вектора, воно вважається невизначеним. Для позначення нульового вектора використовується арифметичний нуль, набраний жирним шрифтом.

Якщо проаналізувати все вищесказане, можна дійти невтішного висновку, що це спрямовані відрізки визначають вектора. Два відрізки визначатимуть один вектор лише в тому випадку, якщо вони є рівними. У порівнянні векторів діє теж правило, як і в порівнянні скалярних величин. Рівність означає повний збіг за всіма параметрами.

Що таке скалярна величина?

На відміну від вектора, скалярна величина має лише один параметр – це її чисельне значення. Варто зазначити, що аналізована величина може мати як позитивне чисельне значення, і негативне.

Як приклад можна навести масу, напругу, частоту чи температуру. З такими величинами можна виконувати різні арифметичні дії: додавання, розподіл, віднімання, множення. Для скалярної величини така характеристика, як напрямок, не властива.

Скалярна величина вимірюється числовим значенням, тому її можна відображати на координатній осі. Наприклад, дуже часто будують вісь пройденого шляху, температури чи часу.

Основні відмінності між скалярними та векторними величинами

З описів, наведених вище, видно, що головна відмінність векторних величин від скалярних полягає в їх характеристиках. У векторної величини є напрямок і модуль, а скалярна тільки чисельне значення. Безумовно, векторну величину, як і скалярну, можна виміряти, але така характеристика не буде повною, оскільки відсутня напрямок.

Для того, щоб чіткіше уявити відмінність скалярної величини від векторної, слід навести приклад. Для цього візьмемо таку галузь знань, як кліматологія. Якщо сказати, що вітер дме зі швидкістю 8 метрів за секунду, буде введено скалярну величину. Але, якщо сказати, що північний вітер дме зі швидкістю 8 метрів за секунду, то мова підепро векторне значення.

Вектори грають величезну рольу сучасній математиці, а також у багатьох сферах механіки та фізики. Більшість фізичних величин може бути представлена ​​у вигляді векторів. Це дозволяє узагальнити і суттєво спростити використовувані формули та результати. Часто векторні значення та вектори ототожнюються один з одним. Наприклад, у фізиці можна почути, що швидкість чи сила є вектором.