Для того, щоб вирішити геометричну задачу методом координат, необхідна точка перетину, координати якої використовуються під час вирішення. Виникає ситуація, коли потрібно шукати координати перетину двох прямих на площині або визначити координати тих самих прямих у просторі. Ця статтярозглядає випадки знаходження координат точок, де перетинаються задані прямі.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Необхідно дати визначення точок перетину двох прямих.

Розділ взаємного розташування прямих на площині показує, що вони можуть збігатися, бути паралельними, перетинатися в одній спільній точці або схрещуються. Дві прямі, що знаходяться в просторі, називають перетинаються, якщо вони мають одну загальну точку.

Визначення точки перетину прямих звучить так:

Визначення 1

Крапка, в якій перетинаються дві прямі, називають їх точкою перетину. Інакше кажучи, що точка прямих, що перетинаються, і є точка перетину.

Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Перед знаходженням координат точки перетину двох прямих, необхідно розглянути наведений нижче приклад.

Якщо площині є система координат О х у, то задаються дві прямі a і b . Прямий a відповідає загальне рівняннявиду A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 для прямий b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тоді M 0 (x 0 , y 0) є деякою точкою площини необхідно виявити, чи точка М 0 буде точкою перетину цих прямих.

Щоб вирішити поставлене завдання, необхідно дотримуватись визначення. Тоді прямі повинні перетинатися в точці, координати якої є розв'язуванням заданих рівнянь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Отже, координати точки перетину підставляються у всі задані рівняння. Якщо вони при підстановці дають правильне тотожність, тоді M 0 (x 0 y 0) вважається їх точкою перетину.

Приклад 1

Дані дві прямі, що перетинаються 5 x - 2 y - 16 = 0 і 2 x - 5 y - 19 = 0 . Чи точка М 0 з координатами (2 - 3) бути точкою перетину.

Рішення

Щоб перетин прямих був дійсним, необхідно, щоб координати точки М 0 задовольняли рівнянь прямих. Це перевіряється за допомогою їхньої підстановки. Отримуємо, що

5 · 2 - 2 · (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 · 2 - 5 · (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Обидві рівності вірні, отже М 0 (2 - 3) є точкою перетину заданих прямих.

Зобразимо дане рішенняна координатному прямому рисунку, наведеному нижче.

Відповідь:задана точказ координатами (2 , - 3) буде точкою перетину заданих прямих.

Приклад 2

Чи перетнуться прямі 5 x + 3 y - 1 = 0 і 7 x - 2 y + 11 = 0 у точці M 0 (2 , - 3) ?

Рішення

Для вирішення задачі необхідно підставити координати точки на всі рівняння. Отримаємо, що

5 · 2 + 3 · (-3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 · 2 - 2 · (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Друге рівність перестав бути вірним, отже, що задана точка належить прямий 7 x - 2 y + 11 = 0 . Звідси маємо, що точка М0 не точка перетину прямих.

Креслення наочно показує, що М 0 - це точка перетину прямих. Вони мають спільну точку з координатами (-1, 2).

Відповідь:точка з координатами (2 - 3) не є точкою перетину заданих прямих.

Переходимо до знаходження координат точок перетину двох прямих за допомогою заданих рівнянь на площині.

Задаються дві прямі, що перетинаються, a і b рівняннями виду A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 , розташованих в О х у. При позначенні точки перетину М 0 отримаємо, що слід продовжити пошук координат за рівняннями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

З визначення очевидно, що М0 є загальною точкою перетину прямих. У цьому випадку її координати повинні задовольняти рівнянням A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 та A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Іншими словами, це і є рішення отриманої системи A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Отже, для знаходження координат точки перетину, необхідно всі рівняння додати до системи та розв'язати її.

Приклад 3

Задано дві прямі x - 9 y + 14 = 0 і 5 x - 2 y - 16 = 0 на площині. необхідно знайти їх перетин.

Рішення

Дані за умовою рівняння необхідно зібрати в систему, після чого отримаємо x - 9 y + 14 = 05 x - 2 y - 16 = 0 . Щоб вирішити його, дозволяється перше рівняння щодо x, підставляється вираз у друге:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 · 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 · 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Числа є координатами, які необхідно було знайти.

Відповідь: M 0 (4 2) є точкою перетину прямих x - 9 y + 14 = 0 і 5 x - 2 y - 16 = 0 .

Пошук координат зводиться до розв'язання системи лінійних рівнянь. Якщо за умовою дано інший вид рівняння, слід привести його до нормального вигляду.

Приклад 4

Визначити координати точок перетину прямих x - 5 = y - 4 - 3 та x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Рішення

Спочатку необхідно привести рівняння до загального вигляду. Тоді отримуємо, що x = 4 + 9 · y = 2 + λ , λ ∈ R перетворюється таким чином:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Після чого беремося за рівняння канонічного вигляду x – 5 = y – 4 – 3 і перетворимо. Отримуємо, що

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 · x = - 5 · y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Звідси маємо, що координати – точка перетину

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Застосуємо метод Крамера для знаходження координат:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Відповідь: M 0 (- 5, 1).

Є ще спосіб знаходження координат точки перетину прямих, що є на площині. Він застосовується, коли одна з прямих задається параметричними рівняннями, що мають вигляд x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Тоді замість значення x підставляється x = x 1 + a x ? 0 .

Приклад 5

Визначити координати точки перетину прямої x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R та x - 5 = y - 4 - 3 .

Рішення

Необхідно виконати підстановку в x - 5 = y - 4 - 3 виразом x = 4 + 9 · λ , y = 2 + λ тоді отримаємо:

4 + 9 · λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

При рішенні отримуємо, що = - 1 . Звідси випливає, що є точка перетину між прямими x = 4 + 9 · y = 2 + λ , ∈ R і x - 5 = y - 4 - 3 . Для обчислення координат необхідно підставити вираз λ = - 1 параметричне рівняння. Тоді отримуємо, що x = 4 + 9 · (-1) y = 2 + (-1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

Відповідь: M 0 (- 5, 1).

Для повного розуміння теми необхідно знати деякі нюанси.

Попередньо необхідно зрозуміти розташування прямих. При їхньому перетині ми знайдемо координати, в інших випадках рішення існувати не буде. Щоб не робити цю перевірку, можна складати систему виду A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 За наявності рішення робимо висновок про те, що прямі перетинаються. Якщо рішення відсутнє, то вони паралельні. Коли система має нескінченна безлічрішень, тоді кажуть, що вони збігаються.

Приклад 6

Дано прямі x 3 + y - 4 = 1 і y = 4 3 x - 4 . Визначити, чи мають вони спільну точку.

Рішення

Спрощуючи задані рівняння, отримуємо 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 і 43 x - y - 4 = 0 .

Слід зібрати рівняння до системи для наступного рішення:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Звідси видно, що рівняння виражаються один через одного, тоді отримаємо безліч рішень. Тоді рівняння x 3 + y - 4 = 1 і y = 4 3 x - 4 визначають одну й ту саму пряму. Тому немає точок перетину.

Відповідь:задані рівняння визначають одну й ту саму пряму.

Приклад 7

Знайти координати точки прямих, що перетинаються 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 і 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Рішення

За умовою можливо таке, що прямі не будуть перетинатися. Необхідно скласти систему рівнянь та вирішувати. Для вирішення необхідно використовувати метод Гаусса, оскільки за його допомогою можна перевірити рівняння на сумісність. Отримуємо систему виду:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Здобули неправильну рівність, отже система не має рішень. Робимо висновок, що прямі є паралельними. Точок перетину немає.

Другий спосіб розв'язання.

Спочатку необхідно визначити наявність перетину прямих.

n 1 → = (2 , 2 - 3) є нормальним вектором прямої 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 тоді вектор n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - нормальний вектордля прямої 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Необхідно виконати перевірку колінеарності векторів n 1 → = (2 , 2 - 3) та n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . Отримаємо рівність виду 22 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Воно правильне, оскільки 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Звідси випливає, що вектори колінеарні. Значить, прямі є паралельними і немає точок перетину.

Відповідь:точок перетину немає, прямі паралельні.

Приклад 8

Знайти координати перетину заданих прямих 2 x - 1 = 0 та y = 5 4 x - 2 .

Рішення

Для вирішення складаємо систему рівнянь. Отримуємо

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Знайдемо визначник основної матриці. Для цього 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Оскільки він не дорівнює нулю, система має одне рішення. Звідси випливає, що прямі перетинаються. Вирішимо систему для знаходження координат точок перетину:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 · 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Отримали, що точка перетину заданих прямих має координати M 0 (1 2 - 11 8) .

Відповідь: M 0 (1 2 - 11 8) .

Знаходження координат точки перетину двох прямих у просторі

Так само знаходяться точки перетину прямих простору.

Коли задані прямі a і b координатної площиниО х у z рівняннями площин, що перетинаються, то є пряма a , яка може бути визначена за допомогою заданої системи A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 а пряма b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

Коли точка М 0 є точкою перетину прямих, її координати повинні бути рішеннями обох рівнянь. Отримаємо лінійні рівняння у системі:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Розглянемо такі завдання на прикладах.

Приклад 9

Знайти координати точки перетину заданих прямих x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 та 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Рішення

Складаємо систему x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 і розв'яжемо її. Щоб знайти координати, потрібно вирішувати через матрицю. Тоді отримаємо основну матрицю виду A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 і розширену T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Визначаємо ранг матриці за Гаусом.

Отримуємо, що

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Звідси випливає, що ранг розширеної матриці має значення 3 . Тоді система рівнянь x – 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x – 27 – 4 = 0 у результаті дає лише одне рішення.

Базисний мінор має визначник 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 тоді останнє рівняння не підходить. Отримаємо, що x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y -3. Розв'язання системи x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 · 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Отже, маємо, що точка перетину x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 і 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 має координати (1, - 3, 0).

Відповідь: (1 , - 3 , 0) .

Система виду A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 має лише одне рішення. Значить, прямі a та b перетинаються.

В інших випадках рівняння не має рішення, тобто і загальних точоктеж. Тобто неможливо знайти точку з координатами, оскільки її немає.

Тому система виду A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 вирішується методом Гаусса. За її несумісності прямі перетинаються. Якщо рішень безліч, то вони збігаються.

Можна зробити рішення за допомогою обчислення основного та розширеного рангу матриці, після чого застосувати теорему Кронекера-Капеллі. Отримаємо одну, множину або повну відсутність рішень.

Приклад 10

Задані рівняння прямих x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 і x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Знайти точку перетину.

Рішення

Для початку складемо систему рівнянь. Отримаємо, що x + 2 y – 3 z – 4 = 0 2 x – y + 5 = 0 x – 3 z = 0 3 x – 2 y + 2 z – 1 = 0 . вирішуємо її методом Гауса:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Вочевидь, що система немає рішень, отже прямі не перетинаються. Крапки перетину немає.

Відповідь:немає точки перетину.

Якщо прямі задані за допомогою кононічних або параметричних рівнянь, потрібно привести до вигляду рівнянь площин, що перетинаються, після чого знайти координати.

Приклад 11

Задано дві прямі x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R та x 2 = y - 3 0 = z 5 в О х у z . Знайти точку перетину.

Рішення

Задаємо прямі рівняннями двох площин, що перетинаються. Отримуємо, що

x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Знаходимо координати 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 для цього порахуємо ранги матриці. Ранг матриці дорівнює 3 а базисний мінор 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0 , означає, що із системи необхідно виключити останнє рівняння. Отримуємо, що

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Вирішимо систему методом Крамер. Отримуємо, що x = – 2 y = 3 z = – 5 . Звідси отримуємо, що перетин заданих прямих дає точку з координатами (- 2, 3, - 5).

Відповідь: (- 2 , 3 , - 5) .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

О-о-о-о-о… ну і жерсть, наче вам сам собі вирок зачитав =) Втім, потім релаксація допоможе, тим більше сьогодні купив відповідні аксесуари. Тому приступимо до першого розділу, сподіваюся, до кінця статті збережу бадьорий настрій.

Взаємне розташування двох прямих

Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:

1) збігатися;

2) бути паралельними: ;

3) чи перетинатися у єдиній точці: .

Довідка для чайників : будь ласка, запам'ятайте математичний знакПеретин, він буде зустрічатися дуже часто. Запис позначає, що пряма перетинається із прямою в точці .

Як визначити взаємне розташування двох прямих?

Почнемо з першого випадку:

Дві прямі збігаються, тоді й лише тоді, коли їхні відповідні коефіцієнти пропорційнітобто існує така кількість «лямбда», що виконуються рівності

Розглянемо прямі та складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів: . З кожного рівняння випливає, що отже дані прямі збігаються.

Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на -1 (змінити знаки), і всі коефіцієнти рівняння скоротити на 2, то вийде те саме рівняння: .

Другий випадок, коли прямі паралельні:

Дві прямі паралельні тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: , але.

Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних:

Однак цілком очевидно, що .

І третій випадок, коли прямі перетинаються:

Дві прямі перетинаються, тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних не пропорційнітобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувались рівності

Так, для прямих складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , а з другого рівняння: , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, коефіцієнти за змінних не пропорційні.

Висновок: прямі перетинаються

У практичних завданнях можна використати щойно розглянуту схему рішення. Вона, до речі, дуже нагадує алгоритм перевірки векторів на колінеарність, що ми розглядали на уроці. Концепція лінійної (не) залежності векторів. Базис векторів. Але існує більш цивілізована упаковка:

Приклад 1

З'ясувати взаємне розташуванняпрямих:

Рішеннязасноване на дослідженні напрямних векторів прямих:

а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: .

Отже, вектори не колінеарні і прямі перетинаються.

Про всяк випадок поставлю на роздоріжжі камінь із покажчиками:

Інші перестрибують камінь і йдуть далі, прямо до Кащі Безсмертного =)

б) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Прямі мають той самий напрямний вектор, отже, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник рахувати не треба.

Вочевидь, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, у своїй .

З'ясуємо, чи справедлива рівність:

Таким чином,

в) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Обчислимо визначник, складений координат даних векторів:
отже, напрямні вектори колінеарні. Прямі або паралельні або збігаються.

Коефіцієнт пропорційності «лямбда» неважко побачити прямо із співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, його можна знайти і через коефіцієнти самих рівнянь: .

Тепер з'ясуємо, чи справедлива рівність. Обидва вільні члени нульові, тому:

Отримане значення задовольняє даному рівнянню(Йому задовольняє взагалі будь-яке число).

Отже, прямі збігаються.

Відповідь:

Дуже скоро ви навчитеся (або навіть вже навчилися) вирішувати розглянуте завдання усно буквально за лічені секунди. У зв'язку з цим не бачу сенсу пропонувати щось для самостійного рішення, краще закладемо ще одну важливу цеглу в геометричний фундамент:

Як побудувати пряму, паралельну даній?

За незнання цієї найпростішого завданнясуворо карає Соловей-Розбійник.

Приклад 2

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку .

Рішення: Позначимо невідому пряму буквою . Що про неї сказано за умови? Пряма проходить через крапку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що напрямний вектор прямий це підійде і для побудови прямої де.

Витягуємо напрямний вектор із рівняння:

Відповідь:

Геометрія прикладу виглядає невигадливо:

Аналітична ж перевірка полягає у наступних кроках:

1) Перевіряємо, що у прямих той самий напрямний вектор (якщо рівняння прямої не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).

2) Перевіряємо, чи точка задовольняє отриманому рівнянню .

Аналітичну перевірку здебільшого легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначить паралельність прямих без будь-якого креслення.

Приклади для самостійного вирішення сьогодні будуть творчими. Тому що вам ще доведеться тягатися з Бабою-Ягою, а вона, знаєте, любителька всяких загадок.

Приклад 3

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну до прямої, якщо

Існує раціональний і дуже раціональний спосіб рішення. Найкоротший шлях – наприкінці уроку.

З паралельними прямими трохи попрацювали і до них повернемося. Випадок прямих, що збігаються, малоцікавий, тому розглянемо завдання, яке добре знайоме вам з шкільної програми:

Як знайти точку перетину двох прямих?

Якщо прямі перетинаються в точці , її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний змістсистеми двох лінійних рівнянь із двома невідомими– це дві перетинаються (найчастіше) прямі на площині.

Приклад 4

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Існують два способи рішення – графічний та аналітичний

Графічний спосібполягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися про точку перетину безпосередньо з креслення:

Ось наша точка: . Для перевірки слід підставити її координати у кожне рівняння прямої, вони мають підійти і там, і там. Інакше кажучи, координати точки є рішенням системи . По суті ми розглянули графічний спосіб рішення системи лінійних рівняньіз двома рівняннями, двома невідомими.

Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але є помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і точний креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так просто, та й сама точка перетину може знаходитися десь у тридесятому царстві за межами зошитового листа.

Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему:

Для вирішення системи використано метод почленного складання рівнянь. Щоб напрацювати відповідні навички, відвідайте урок Як розв'язати систему рівнянь?

Відповідь:

Перевірка тривіальна – координати точки перетину мають задовольняти кожному рівнянню системи.

Приклад 5

Знайти точку перетину прямих у разі, якщо вони перетинаються.

Це приклад самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних завдань, і я на цьому неодноразово загострюватиму увагу.

Повне рішенняі відповідь наприкінці уроку:

Ще не стоптана і пара черевиків, як ми підібралися до другого розділу уроку:

Перпендикулярні до прямих. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими

Почнемо з типової та дуже важливого завдання. У першій частині ми дізналися, як побудувати пряму, паралельну даній, а зараз хатинка на курячих ніжках розгорнеться на 90 градусів:

Як побудувати пряму, перпендикулярну даній?

Приклад 6

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.

Рішення: За умовою відомо, що . Непогано знайти напрямний вектор прямий . Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:

З рівняння «знімаємо» вектор нормалі: , який і буде напрямним вектором прямий .

Рівняння прямої складемо по точці і напрямному вектору:

Відповідь:

Розгорнемо геометричний етюд:

М-да… Помаранчеве небо, помаранчеве море, помаранчевий верблюд.

Аналітична перевіркарішення:

1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори та за допомогою скалярного твору векторівприходимо до висновку, що прямі справді перпендикулярні: .

До речі, можна використовувати вектори нормалі, це простіше.

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння .

Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.

Приклад 7

Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння і крапка .

Це приклад самостійного рішення. У завданні кілька дій, тому рішення зручно оформити за пунктами.

Наше захоплююча подорожпродовжується:

Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух перпендикуляром. Тобто відстань від точки до прямої – це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою "ро", наприклад: - Відстань від точки "ем" до прямої "де".

Відстань від точки до прямої виражається формулою

Приклад 8

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: все, що потрібно, це акуратно підставити числа в формулу і провести обчислення:

Відповідь:

Виконаємо креслення:

Знайдена відстань від точки до прямої – це точно довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатому папері в масштабі 1 од. = 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайною лінійкою.

Розглянемо ще одне завдання з цього ж креслення:

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки , яка симетрична точці щодо прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення з проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна до прямої.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидві дії детально розібрані в рамках цього уроку.

3) Крапка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини та одного з кінців. за формулам координат середини відрізказнаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань також дорівнює 2,2 одиницям.

Труднощі тут можуть виникнути у обчисленнях, але у вежі чудово рятує мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу й знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

Приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це ще один приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут безліч способів вирішення. Розбір польотів наприкінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, гадаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що ні кут, то косяк:


У геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не вважається кутом між прямими, що перетинаються. А вважається таким його «зелений» сусід чи протилежно орієнтований"малиновий" кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який із 4 кутів.

Чим відрізняються кути? орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокручування» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком мінус, наприклад, якщо .

Навіщо це я розповів? Начебто можна обійтися і звичайним поняттям кута. Справа в тому, що у формулах, за якими ми знаходитимемо кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірший і має цілком конкретний геометричний зміст. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими?Існують дві робочі формули:

Приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішенняі Спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннямив загальному вигляді:

Якщо прямі не перпендикулярні, то орієнтованийкут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Саме пильну увагузвернемо на знаменник – це точно скалярний твірнапрямних векторів прямих:

Якщо , то знаменник формули перетворюється на нуль, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярність прямих у формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити у два кроки:

1) Обчислимо скалярний твірнапрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотної функціїлегко знайти й сам кут. У цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки та властивості елементарних функцій):

Відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене (бажано і в градусах, і в радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, то мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтацією, адже за умови завдання першим номером йде пряма і «відкрутка» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , а коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати потрібно з прямої .

Перетин на осі абсцис необхідно вирішити рівняння y₁=y₂, тобто k₁x+b₁=k₂x+b₂.

Перетворіть цю нерівність, отримавши k₁x-k₂x=b₂-b₁. Тепер виразіть x: x=(b₂-b₁)/(k₁-k₂). Таким чином, ви знайдете точку перетину графіків, яка знаходиться по осі OX. Знайдіть точку перетину на осі ординат. Просто підставте в якусь із функцій значення x, яке ви знайшли раніше.

Попередній варіант підходить для графіків. Якщо ж функція, скористайтесь наступними інструкціями. У такий же спосіб, як і з лінійною функцією, знайдіть значення x. Для цього розв'яжіть квадратне рівняння. У рівнянні 2x² + 2x - 4=0 знайдіть (рівняння дано для прикладу). І тому використовуйте формулу: D= b² – 4ac, де b – значення перед X, а c – це числове значення.

Підставивши числові значення, Отримайте вираз виду D = 4 + 4 * 4 = 4 + 16 = 20. Від значення дискримінанта залежать рівняння. Тепер до значення змінної b зі знаком «-» додайте або відніміть (по черзі) корінь з отриманого дискримінанта і поділіть на подвоєний твіркоефіцієнта a. Так ви знайдете коріння рівняння, тобто координати точок перетину.

Графіки функції мають особливість: вісь OX перетинатиметься двічі, тобто ви знайдете дві координати осі абсцис. Якщо ви отримаєте періодичне значенняЗалежно X від Y, тоді знайте, що графік перетинається в нескінченній кількості точок з віссю абсцис. Перевірте, чи знайшли точки перетину. Для цього підставте значення X рівняння f(x)=0.

Джерела:

• Знаходження точок перетину прямих

Якщо ви знаєте значення а, то ви можете сказати, що вирішили квадратне рівняння, тому що його коріння буде знайдено дуже легко.

Вам знадобиться

• -формула дискримінанта квадратного рівняння;
• -знання таблиці множення

Інструкція

Відео на тему

Корисна порада

Дискримінант квадртаного рівняння може бути позитивним, негативним, або дорівнювати 0.

Джерела:

• Рішення квадратних рівнянь
• дискримінант парний

Порада 3: Як знайти координати точок перетину графіка функції

Графік функції y = f(х) - це безліч усіх точок площини, координати х, які задовольняють співвідношенню y = f(x). Графік функції наочно ілюструє поведінку та властивості функції. Для побудови графіка зазвичай вибирається кілька значень аргументу x для них обчислюються відповідні значення функції y=f(x). Для більш точного та наочного побудови графіка корисно знайти його точки перетину з осями координат.

Інструкція

При перетині осі абсцис (осі Х) значення функції дорівнює 0, тобто. y=f(x)=0. Для обчислення x необхідно розв'язати рівняння f(x)=0. У разі функції отримуємо рівняння ax+b=0 і знаходимо x=-b/a.

Таким чином, вісь Х перетинається у точці (-b/a,0).

У більш складних випадкахнаприклад, у разі квадратичної залежності y від х, рівняння f(x)=0 має два корені, отже, вісь абсцис перетинається двічі. У залежності від х, наприклад y=sin(x), має нескінченну кількість точок перетину з віссю Х.

Для перевірки правильності знаходження координат точок перетину графіка функції з віссю Х необхідно підставити знайдені значення x(x). Значення виразу при будь-якому з обчислених х має дорівнювати 0.

Інструкція

Спочатку необхідно обговорити вибір зручної на вирішення завдання системи координат. Зазвичай, у завданнях такого роду одну з трикутника поміщають на осі 0Х так, щоб одна точка збігалася з початком координат. Тому не варто відходити від загальноприйнятих канонів рішення та зробити також (див. рис. 1). Спосіб завдання самого трикутника не відіграє принципової ролі, тому що завжди можна перейти від одного з них до (у чому ви надалі зможете переконатися).

Нехай шуканий трикутник заданий двома векторами його сторін АС і АВ a(x1, y1) та b(x2, y2), відповідно. Понад те, по побудові y1=0. Третя сторона ВС відповідає c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2) згідно з даною ілюстрацією. Точка А вміщена на початок координат, тобто її координатиА(0, 0). Легко також помітити, що координати(x2, y2), a C (x1, 0). Звідси можна дійти невтішного висновку, що завдання трикутника двома векторами автоматично збіглося з його завданням трьома точками.

Далі слід добудувати шуканий трикутник до відповідного за розмірами паралелограма ABDC. При цьому, що в точці перетинуДіагонал паралелограма вони діляться так, що АQ медіана трикутника АВС, опускається з А на сторону ВС. Вектор діагоналі s містить цю і є, за правилом паралелограма, геометричною сумою a та b. Тоді s = a + b, яке координати s(x1+x2, y1+y2) = s(x1+x2, y2). Такі ж координатибудуть і біля точки D(x1+x2, y2).

Тепер можна переходити до складання рівняння прямої, що містить s, медіану AQ і, найголовніше, шукану точку перетинумедіан H. Оскільки сам вектор s є напрямним для даної прямої, а також відома точка А(0, 0), що належить їй, то найпростіше – це використовувати рівняння плоскої прямої в канонічному вигляді:(x-x0)/m =(y-y0)/n.Тут (x0, y0) координати довільної точкипрямий (точка А(0, 0)), а (m, n) - координати s (вектор (x1+x2, y2)) І так, шукана пряма l1 матиме вигляд: x/(x1+x2)=y/ y2.

Самий спосіб знаходження – її у перетині. Тому слід знайти ще одну пряму, що містить т. зв. для цього на рис. 1 побудова ще одного паралелограма АPBC, діагональ якого g = a + c = g (2x1-x2, -y2) містить другу медіану CW, опущену З на бік АВ. Це діагональ містить точку С(x1, 0), координатиякої будуть відігравати роль (x0, y0), а напрямний вектор тут буде g(m, n) = g(2x1-x2, -y2). Звідси l2 визначається рівнянням: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

У минулі часия захоплювався комп'ютерною графікою, як 2х так і 3х мірною, зокрема математичними візуалізаціями. Що називається just for fun, будучи студентом, написав програму, що візуалізує N-вимірні фігури, що обертаються в будь-яких вимірах, хоча практично мене вистачило лише на визначення точок для 4-D гіперкуба. Але це лише приказка. Любов до геометрії залишилася у мене з того часу і до цього дня, і я досі люблю вирішувати цікаві завданняцікавими способами.
Одне з таких завдань трапилося мені у 2010 році. Саме завдання досить тривіальне: необхідно знайти, чи перетинаються два 2-D відрізки, і якщо перетинаються - знайти точку їх перетину. Цікавіше рішення, яке, я вважаю, вийшло досить елегантним і яке я хочу запропонувати на суд читача. На оригінальність алгоритму не претендую (хоча й хотілося б), але у мережі подібних рішень знайти не зміг.

Завдання

Дано два відрізки, кожен з яких заданий двома точками: (v11, v12), (v21, v22). Необхідно визначити, чи вони перетинаються, і якщо перетинаються, знайти точку їх перетину.

Рішення

Спочатку необхідно визначити, чи перетинаються відрізки. Необхідне та достатня умоваперетину, яке має бути дотримано для обох відрізків наступне: кінцеві точки одного з відрізків повинні лежати в різних напівплощинах, якщо розділити площину лінією, де лежить другий з відрізків. Продемонструємо це малюнком.

На лівому малюнку (1) показано два відрізки, для обох з яких умова дотримана, і відрізки перетинаються. На правому (2) малюнку умова дотримана для відрізка b, але для відрізка a вона не дотримується, відповідно відрізки не перетинаються.
Може здатися, що визначити, з якого боку від лінії лежить точка – нетривіальне завдання, але у страху очі великі, і все не так складно. Ми знаємо, що векторне множення двох векторів дає нам третій вектор, напрям якого залежить від того, позитивний або негативний кут між першим і другим вектором, відповідно, така операція антикомутативна. А так як всі вектори лежать на площині X-Y, їх векторне твір (яке має бути перпендикулярним перемножуваним векторам) матиме ненульової лише компоненту Z, відповідно і відмінність творів векторів буде лише у цій компоненті. Причому при зміні порядку перемноження векторів (читай: кута між векторами, що перемножуються) полягати воно буде виключно в зміні знака цієї компоненти.
Тому ми можемо помножити попарно-векторно вектор відрізка, що розділяє, на вектори спрямовані від початку розділяючого відрізка до обох точок відрізка, що перевіряється.

Якщо компоненти Z обох творів матиме різний знак, означає один з кутів менше 0 але більше -180, а другий більше 0 і менше 180 відповідно точки лежать по різні сторонивід прямої. Якщо компоненти Z обох творів мають однаковий знак, отже, і лежать вони по одну сторону від прямої.
Якщо один з компонентів Z є нулем, значить ми маємо прикордонний випадок, коли точка лежить акурат на прямій, що перевіряється. Залишимо користувачеві визначати, чи хоче він вважати це перетином.
Потім нам необхідно повторити операцію для іншого відрізка і прямий, і переконатися, що розташування його кінцевих точок також задовольняє умові.
Отже, якщо все добре і обидва відрізки задовольняють умову, значить перетин існує. Давайте знайдемо його, і в цьому також допоможе векторний твір.
Оскільки у векторному творі ми маємо ненульовий лише компоненту Z, його модуль (довжина вектора) буде чисельно дорівнює саме цій компоненті. Давайте подивимося, як знайти точку перетину.

Довжина векторного добутку векторів a і b (як ми з'ясували, чисельно дорівнює його компоненту Z) дорівнює добутку модулів цих векторів на синус кута між ними (|a| |b|sin(ab)). Відповідно, зміни на малюнку ми маємо таке: |AB x AC| = | AB | | AC | sin (α), і | AB x AD | = | AB | | AD | sin(β). AC|sin(α) є перпендикуляром, опущеним з точки C на відрізок AB, а |AD|sin(β) є перпендикуляром, опущеним з точки D на відрізок AB (катетом ADD"). Так як кути γ і δ - вертикальні кути, то вони рівні, а значить трикутники PCC "і PDD" подібні, а відповідно і довжини всіх сторін пропорційні в рівному відношенні.
Маючи Z1 (AB x AC, отже |AB||AC|sin(α)) і Z2 (AB x AD, отже |AB||AD|sin(β)), ми можемо розрахувати CC"/DD" ( яка дорівнюватиме Z1/Z2), а також знаючи що CC"/DD" = CP/DP легко можна вирахувати місце розташування точки P. Особисто я роблю це наступним чином:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

От і все. Мені здається, що це дійсно дуже просто, і елегантно. Насамкінець хочу навести код функції, що реалізує даний алгоритм. У функції використано саморобний шаблон який є шаблоном вектора розмірністю int з компонентами типу typename. Охочі легко можуть підігнати функцію до своїх типів векторів.

1 template 2 bool are_crossing(vector const &v11, vector const &v12, vector const &v21, vector const &v22, vector *crossing) 3 ( 4 vector cut1(v12-v11), cut2(v22-v21); 5 vector prod1, prod2; 6 7 prod1 = cross (cut1 * (v21-v11)); 8 prod2 = cross (cut1 * (v22-v11)); 9 10 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Відсікаємо також і прикордонні випадки 11 return false; 12 13 prod1 = cross (cut2 * (v11-v21)); 14 prod2 = cross (cut2 * (v12-v21)); 15 16 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Відсікаємо також і прикордонні випадки 17 return false; 18 19 if(crossing) ( // Перевіряємо, чи треба визначати місце перетину 20 (*crossing)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]- prod1[Z]), 21 (*crossing)[Y] = v11[Y] + cut1[Y]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]); 22 ) 23 24 return true; 25 )

Урок із серії «Геометричні алгоритми»

Здрастуйте, дорогий читачу!

Продовжимо знайомитися з геометричними алгоритмами. На минулому уроці ми виявили рівняння прямої лінії за координатами двох точок. У нас вийшло рівняння виду:

Сьогодні ми напишемо функцію, яка за рівняннями двох прямих ліній знаходитиме координати їхньої точки перетину (якщо така є). Для перевірки рівності дійсних чисел будемо використовувати спеціальну функцію RealEq().

Крапки на площині описуються парою дійсних чисел. При використанні речового типу операції порівняння краще оформити спеціальними функціями.

Причина відома: на типі Real у системі програмування Паскаль немає відношення порядку, тому записи виду a = b, де a і b речові числакраще не використовувати.
Сьогодні ми введемо у вжиток функцію RealEq() для реалізації операції “=” (суворо одно):

Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (Строго одно) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Завдання. Встановлено рівняння двох прямих: і . Знайти точку їхнього перетину.

Рішення. Очевидне рішення полягає в тому, щоб розв'язати систему рівнянь прямих: Давайте перепишемо цю систему дещо інакше:
(1)

Введемо позначення: , , . Тут D - визначник системи, а - визначники, що виходять в результаті заміни стовпця коефіцієнтів за відповідним невідомим стовпцем вільних членів. Якщо , то система (1) є певною, тобто має єдине рішення. Це рішення можна знайти за такими формулами: , , які називаються формулами Крамера. Нагадаю, як обчислюється визначник другого порядку. У визначнику розрізняють дві діагоналі: головну та побічну. Головна діагональ складається з елементів, взятих у напрямку від лівого верхнього кута визначника в нижній правий кут. Побічна діагональ – з правого верхнього до нижнього лівого. Визначник другого порядку дорівнює добутку елементів головної діагоналі мінус добуток елементів побічної діагоналі.

У програмному коді для перевірки перевірки рівності використовується функція RealEq(). Обчислення над речовими числами виробляються з точністю до _Eps = 1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real = 1e-7; (точність обчислень) var a1, b1, c1, a2, b2, c2, x, y, d, dx, dy: Real; Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (Строго одно) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Ми склали програму, за допомогою якої можна, знаючи рівняння ліній, знайти координати їхньої точки перетину.