Від довільної точки відкласти вектор, що дорівнює цьому. Вектори Вектори Історична довідка Поняття вектора Рівність векторів Відкладення вектора від цієї точки Сума двох векторів Закони складання Віднімання

1. Дати визначення рівності геометричних векторів.

Два геометричні векторназивають рівними, якщо:

вони колінеарні та односпрямовані;

їх довжини збігаються.

2. Дати визначення суми векторів та множення вектора на число.

Сумою a + b двох векторів і b називають вектор c, побудований за наступним правилом трикутника. Сумісний початок вектора b з кінцем вектора a. Тоді сумою цих векторів буде вектор з початок якого збігається з початком a, а кінець - з кінцем b.

Поряд із правилом трикутника існує правило паралелограма. Вибравши для векторів a та b загальний початокбудуємо на цих векторах паралелограм. Тоді діагональ паралелограма, що виходить із загального початку векторів, визначає їхню суму.

При множенні вектора на число напрям вектора не змінюється, а довжина вектора множиться на число.

3. Дати визначення колінеарних та компланарних векторів.

Два геометричні вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Три геометричні вектори називають компланарними, якщо ці вектори лежать на прямих, паралельних до деякої площини.

4. Дати визначення лінійно залежної та лінійно незалежної системивекторів.

Вектори a 1 , … , a n називають лінійно залежними, якщо існує такий набір коефіцієнтів α 1 , . . . , n , що 1 a 1 + . . . + α n a n = 0 і при цьому хоча б один із цих коефіцієнтів ненульовий.

Якщо зазначеного набору коефіцієнтів немає, то вектори називають лінійно незалежними.

5. Сформулювати геометричні критерії лінійної залежності 2-х та 3-х векторів.

Два вектори лінійно залежні тоді й лише тоді, коли вони колінеарні.

6. Дати визначення базису та координат вектора.

Базис-множина таких векторів в векторному просторіщо будь-який вектор цього простору може бути єдиним чином представлений у вигляді лінійної комбінації векторів з цієї множини - базисних векторів.

Координати вектора - коефіцієнти єдино можливої лінійної комбінації базисних векторів у вибраній системі координат, що дорівнює даному вектору.

7. Сформулювати теорему про розкладання вектора за базисом.

Будь-який вектор векторного простору можна розкласти за його базисом і єдиним способом.

Якщо = (̅		- Базис, ̅		= (1, 2, 3) , то існує набір чисел (	…) такий, що

	̅ + + ̅̅, де (		…) – координати вектора у базисі.

8. Дати визначення ортогональної скалярної проекції вектора на напрямок.

Ортогональної проекції вектор на напрям вектор називається скалярна величинаПр = | | cos() де кут – кут між векторами.

9. Дати визначення скалярного добутку векторів.

Скалярним твором двох векторів і називають число, що дорівнює cos -

добутку довжин | | та| | цих векторів на косинус кута між ними.

10. Сформулювати властивість лінійності скалярного твору.

λ(̅ ̅ ).

= ̅ с̅+ ̅ с̅.

11. Записати формулу для обчислення скалярного добутку двох векторів, заданих в базісі ортонормованого.

̅ = { , }, ̅ = { , }

̅ ̅ = + +

12. Записати формулу для косинуса кута між векторами, заданими в ортонормованому базисі.

̅ ̅ cos =̅ |̅|| |

13. Дати визначення правої та лівої трійки векторів.

Упорядковану трійку некомпланарних векторів a, b, c називають правою, якщо напрям вектораa поєднується з напрямом вектораb за допомогою найкоротшого повороту вектораa у площині цих векторів, який з боку векторас здійснюється проти ходу годинникової стрілки. В іншому випадку (поворот по ходу годинникової стрілки) цю трійку називають лівою.

14. Дати визначення векторного добутку векторів.

Векторним творомнеколлінеарних векторів і називають такий векторс, який задовольняє наступним трьом умовам:

вектор з ортогональним векторами і b ;

довжина вектора дорівнює |с̅ | = | | |̅ |sin ϕ, де ϕ - кут між векторами̅ і̅;

упорядкована трійка векторів ̅ ,̅ ,с̅ є правою.

15. Сформулювати властивість комутативності (симетричності) скалярного твору та властивість антикомутативності (антисиметричності) векторного твору.

Скалярний твір комутативно: ̅ ̅ =̅ ̅ .

Векторний твір антикоммутативно: x x = = x x .

16. Сформулювати властивість лінійності векторного добутку векторів.

властивість асоціативності спільно з множенням на число (? ?) ×? = ? (? ×?);

властивість дистрибутивності щодо складання (? +?) xс = = x x + + x x .

Властивості асоціативності та дистрибутивності векторного твору поєднують, аналогічно випадку скалярного твору, властивість лінійності векторного твору

щодо першого співмножника. З огляду на властивості антикомутативності векторного твору векторний твір лінійно і щодо другого співмножника:

̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )

̅×(̅+̅с) = −(̅+̅с)×̅ = −(̅×̅+̅с×̅) =̅×̅+̅×̅с.

17. Записати формулу для обчислення векторного добутку у правому ортонормованому базисі.

̅ = { , }, ̅ = { , }.

18. Дати визначення змішаного добутку векторів.

Змішаним творомтрьох векторів̅ ,̅ ,с̅ називають число, що дорівнює (̅ ×̅ )с̅ - скалярному твору векторного твору перших двох векторів та третього вектора.

19. Сформулювати властивість перестановки (кососиметричності) змішаного твору.

Для змішаного твору діє правило циклічної перестановки:


	̅ с̅ = с̅ ̅		= ̅с ̅= − ̅ с̅	= − с̅ ̅= − ̅ ̅с.
20. Сформулювати властивість лінійності змішаного твору.
Для змішаного твору виконується властивість асоціативності щодо

	множення векторів на число: (λ ̅ )с̅				= λ(̅ с̅ ).

	Для змішаного твору виконується властивість дистрибутивності: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅					= ̅̅̅

	̅с + ̅̅̅
	̅с + ̅̅̅	̅с.

Ці властивості змішаного твору сформульовані для першого співмножника. Однак за допомогою циклічної перестановки можна довести аналогічні

затвердження й у другого й у третього співмножників, тобто. вірні рівності

̅ (λ̅ )̅с = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ ̅ (λ̅с ) = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ (̅̅̅ 1 +̅̅̅ 2 )̅с =̅ ̅̅ 1 ̅ 1 +̅ 2 ) =̅ ̅ ̅ 1 +̅ ̅ ̅ 2 ,

і в результаті маємо властивість лінійності змішаного твору по кожному співмножнику.

21. Записати формулу для обчислення змішаного твору у правому ортонормованому базисі.

̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }

22. Записати загальне рівнянняплощині та рівняння "у відрізках". Пояснити геометричний змістпараметрів, що входять до цих рівнянь.

Рівняння Ax + By + Cz + D = 0 називають загальним рівнянням площини. Коефіцієнти A, B, C при невідомих у цьому рівнянні мають наочний геометричний зміст: вектор n = (A; B; C) перпендикулярний площині. Його називають нормальним векторомплощині. Він, як і загальне рівняння площини, визначається з точністю до (ненульового) числового множника.

Рівняння + + = 1 називають рівнянням площини у відрізках, де a, b, c –

відповідні координати точок лежачих на осях OX, OY та OZ відповідно.

23. Записати рівняння площини, що проходить через 3 дані.

Нехай 1 (1, 1, 1), 2 (2, 2, 2), 3 (3, 3, 3) – задані точки, а точка M(x, y, z) – точка, що належить площині, утвореної точками1, 2 і 3 тоді рівняння площини має

− 1	− 1	− 1
\| 2 −1	2 − 1	2 −1 \| = 0
3 − 1	3 − 1	3 − 1

24. Сформулювати умови паралельності та перпендикулярності двох площин.

Дві площини перпендикулярні, якщо їх нормальні вектори ортогональні .

Дві площини паралельні, якщо їх нормальні вектори колінеарні.

25. Записати формулу на відстані від точки до площини, заданої загальним рівнянням.

Для знаходження відстані від точки 0 (0, 0, 0) до площини

: + + + = 0 використовується формула:(,) = | 0+0+0+ |

√ 2 +2 +2

26. Записати канонічні та параметричні рівнянняпрямий у просторі. Пояснити геометричний зміст параметрів, що входять до цих рівнянь.

Рівняння ( = 0 + , де (l; m; n) - координати напрямного вектора прямий L і

(0 ;0 ;

– координати точки 0 Lв прямо вугільній системі координат, називають

параметричними рівняннями прямої у просторі.

Рівняння

− 0

називають канонічними рівняннямипрямойв

просторі.

27. Записати рівняння прямої, що проходить через дві дані точки у просторі.

Рівняння

− 1

називають рівняннями прямою, що проходить через дві точки

1 (1,1,1) і 2 (2,2,2).

28. Записати умову приналежності двох прямих однієї площини.

Нехай а і b - напрямні вектори цих прямих, а точки M1 і M2 належать відповідно до прямих il 1 іl 2 . Тоді дві прямі належать до однієї площини, якщо змішаний добуток (a, b, M1 M2 ) дорівнює 0.

29. Записати формулу для відстані від точки до прямої у просторі.

Відстань від точки 1 до прямої L може бути обчислена за формулою:

30. Записати формулу для відстані між прямими, що схрещуються.

Відстань між схрещувальними прямими 1 і 2 може бути обчислена за формулою:

що належать прямим.

1. Довести геометричний критерій лінійної залежності трьох векторів.

Три вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони є компланарними.

Доведення:

Якщо три вектори ̅ ,̅ ,̅ лінійно залежні, то, згідно з теоремою 2.1 (про лінійну залежність векторів), один з них, наприклад, є лінійною комбінацією інших: ̅ = β̅ + γ̅ . Сумісний початок векторів̅ і̅ у точці A. Тоді вектори β̅ , γ̅ матимуть загальний початок у точці A і з правилу паралелограма їх сума, тобто. вектор , буде вектор з початком A і кінцем, що є вершиною паралелограма, побудованого на векторах доданих. Отже, всі вектори лежать у одній площині, тобто. компланарні.

Нехай вектори ̅ ,̅ ,̅ компланарні. Якщо один із цих векторів є нульовим, то очевидно, що він буде лінійною комбінацією інших. Достатньо всі коефіцієнти лінійної комбінації взяти рівними нулю. Тому можна вважати, що всі три вектори не є нульовими. Сумісний початок цих векторів в спільній точці O. Нехай їх кінцями будуть відповідно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведемо прямі, паралельні прямим, що проходить через пари точок O, A та O, B. Позначивши точки перетину через A' та B', отримаємо


паралелограм OA'CB', отже = ′ + ′ . Вектор і ненульовий вектор
колінеарні, а тому перший з них може бути отриманий множенням другого на

дійсне число α: ′ = . Аналогічно = , β R. В результаті отримуємо, що
	̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
= '+', тобто. вектор є лінійною комбінацією векторів і. Відповідно до теореми
		? є лінійно залежними.
2.1 (про лінійну залежність векторів), вектори ,		? є лінійно залежними.

2. Довести теорему про розкладання вектора за базисом.
Теорема про розкладання вектора за базисом. Якщо = (̅			- Базис, ̅		= (1, 2, 3), то

існує набір чисел (	...) такий, що = = ̅̅̅	̅ + + ̅ ̅, де (		…) – координати

вектор в базис.

Доказ: (для i = 2)

(̅1, ̅2) – базис 2, ̅2

За визначенням простору V2: x, e1, e2 – компланарні => (критерій лінійної залежності 3-х векторів) => ̅ ,̅ 1 , ̅ 2 лінійно залежні =>0 , 1 , 2 .

0 ̅+1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅ ,0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0

1 випадок: 0 = 0 , тоді1 1 + 2 2 = 0 ,1 2 + 2 2 0 , значить1, 2 - лінійно залежні (1, 2) - лін. завис. ̅ 1 та ̅ 2 колінеарні.

2 випадок: 0 ≠ 0

̅= (−1) ̅1 + (−2) ̅2 0 0

Довели існування.

Нехай існує 2 уявлення:

̅= 1 ̅1 +2 ̅2

Різниця:

0 ̅ = ̅− ̅= 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 − 1 ̅ 1 − 2 ̅ 2 = (1 − 1 )̅ 1 + (2 − 2 )̅ 2 => лінійно залежні, а це суперечить визначенню базису.

3. Довести властивість лінійності скалярного добутку.

Спільно з множенням на число операція скалярного множення асоціативна: (λ ) =

λ(̅ ̅ ).

Скалярне множення та додавання векторів пов'язані властивістю дистрибутивності: (̅ +̅ )с̅

= ̅ с̅+ ̅ с̅.

Що і потрібно було довести.

4. Вивести формулу для обчислення скалярного добутку векторів, що задані в ортонормованому базисі.

Висновок формули для обчислення скалярного добутку векторів, заданих ортонормированном базисі.

Нехай вектори ̅ и̅ из3 задані своїми координатами в ортонормованому базисі,̅ ,̅ ̅ :̅ = ( ; ; ),̅ = ( ; ; ). Це означає, що є розкладання = = + + + + ,

̅ =̅ +̅ +̅ . Використовуючи їх та властивості скалярного твору, обчислимо

̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )

= + + + + + .

Остаточну відповідь отримано з урахуванням того, що ортонормованість базису, ,

̅ означає виконання рівностей̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅= 2 ̅= 2 = 1 . Таким чином,

̅ ̅ = + +

5. Вивести формулу для обчислення векторного добутку векторів, заданих у правому ортонормованому базисі.

Висновок формули для обчислення векторного добутку векторів, заданих у ортонормованому базисі.

Розглянемо два вектори

та, заданих своїми координатами у правому ортонормованому базисі

̅ = {

). Тоді мають місце розкладання цих векторів = = + +

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

Виходячи з цих

уявлень

алгебраїчних

векторного множення,

отримуємо

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

Щоб спростити отриману формулу, зауважимо, що вона схожа на формулу розкладання визначника третього порядку по 1 рядку, тільки замість числових коефіцієнтів стоять вектори. Тому можна записати цю формулу як визначник, який обчислюється за звичайними правилами. Два рядки цього визначника складатимуться з чисел, а один - із векторів. Отже, формулу обчислення векторного твору в правому ортонормованому базисі, , , можна записати у вигляді:

6. Довести властивість лінійності змішаного твору.

Використовуючи властивості змішаного твору, можна довести лінійність векторного.

твори за першим множником:

(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅

Для цього знайдемо скалярний твірвектора в лівій частині рівності та одиничного вектора стандартного базису. Враховуючи лінійність змішаного твору по другому множнику,

отримуємо

тобто. абсциса вектора, що стоїть у лівій частині рівності, що доводиться дорівнює абсцисі вектора в правій його частині. Аналогічно доводимо, що ординати, а також аплікати, векторів в обох частинах рівності відповідно рівні. Отже, це рівні вектори, оскільки їх координати щодо стандартного базису збігаються.

7. Вивести формулу для обчислення змішаного твори трьохвекторів у правому ортонормованому базисі.

Висновок формули для обчислення змішаного добутку трьох векторів у правому ортонормованому базисі.

Нехай вектори a, b, c задані своїми координатами у правому ортонормованому базисі: = ( ;

), = ( ; ; ), ? = ( ; ; ). Щоб знайти їх змішаний твір,

скористаємося формулами для обчислення скалярного та векторного творів:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

8. Вивести формулу для відстані від точки до площини, заданої загальним рівнянням.

Висновок формули відстані від точки до площині, заданої загальним рівнянням.

Розглянемо у просторі деяку площину π і довільну точку 0 . Виберемо

для площини одиничний нормальний вектор n з початком в деякій точці 1 π і нехай ρ(0 ,

оскільки | ̅ | = 1.

Якщо площина π задана в прямокутної системикоординат своїм загальним рівнянням
Ax + By + Cz + D = 0, її нормальним вектором є вектор з координатами (A; B; C).
Нехай (0, 0, 0) і (1, 1, 1) - координати точок0				та 1 . Тоді виконано рівність
A 1 +B1 +C1 +D = 0, оскільки точка M1 належить площині, і можна знайти координати
̅̅̅̅̅̅̅̅		̅̅̅̅̅̅̅̅					̅̅̅̅̅̅̅̅
Вектор 1 0 :		1 0 = (0 - 1; 0 - 1; 0 - 1). Записуючи скалярний твір 1 0
координатної форми та перетворюючи (5.8), отримуємо
	\| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )\|				\| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )\|

			2 + 2+ 2			2 + 2+ 2

= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2

оскільки 1 + 1 + 1 = −. Отже, щоб обчислити відстань від точки до площини потрібно підставити координати точки в загальне рівняння площини, а потім абсолютну величину результату розділити на множник, що нормує, рівний довжинівідповідного вектора.

9. Вивести формулу для відстані від точки до прямої у просторі.

Висновок формули для відстані від точки до прямої у просторі.

Відстань від точки 1 (1 , 1 , 1 ) до прямої L, заданої канонічними рівняннями L:− 0 = − 0 = − 0 може бути обчислена за допомогою векторного добутку. Справді,

канонічні рівняння прямої дають нам точку 0 (0, 0, 0) на прямій

і напрямний вектор ? = (l; m; n) цієї прямої. Побудуємо паралелограм на векторах ̅ і̅̅̅̅̅̅̅̅̅ .

Тоді відстань від точки 1 до прямої L дорівнюватиме висоті h паралелограма (рис. 6.6).

Отже, потрібна відстань може бути обчислена за формулою

	̅̅̅̅̅̅̅̅
(1 ,) =	\| 0 1 × \|

10. Вивести формулу для відстані між прямими, що схрещуються.

Висновок формули для відстані між прямими, що схрещуються.

Відстань між схрещувальними прямими можна знаходити, використовуючи змішане

твір. Нехай прямі 1	і 2		канонічними рівняннями. Так як вони
			̅̅̅̅̅̅̅̅

схрещуються, їх напрямні вектори 1 ,2 і вектор1 2 з'єднує точки на прямих, некомпланарні. Тому на них можна побудувати паралелепіпед (рис. 6.7).

Тоді відстань між прямими дорівнює висоті h цього паралелепіпеда. У свою чергу, висоту паралелепіпеда можна обчислити як відношення обсягу паралелепіпеда до площі його основи. Об'єм паралелепіпеда дорівнює модулюзмішаного твору трьох зазначених векторіва площа паралелограма в основі паралелепіпеда дорівнює модулю векторного твору напрямних векторів прямих. В результаті одержуємо формулу для відстані

(1 , 2 ) між прямими:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

Знання та навички, отримані на даному уроці, знадобляться тим, хто навчається не тільки на уроках геометрії, але і на заняттях з інших наук. Під час уроку школярі навчаться відкладати вектор від заданої точки. Це може бути звичайний урок геометрії, а також позакласне або факультативне заняттяпо математиці. Ця розробкадопоможе вчителю заощадити свій час на підготовку до уроку на тему «Відкладання вектора від цієї точки». Йому достатньо відтворити відеоурок на занятті, а потім закріпити матеріал власною добіркою вправ.

Урок за тривалістю займаємо лише 1:44 хвилини. Але цього достатньо, щоби навчити школярів відкладати вектор від заданої точки.

Урок починається з демонстрації вектора, початок якого знаходиться у певній точці. Говорять, що вектор від неї відкладений. Потім автор пропонує довести разом з ним твердження, згідно з яким від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному і єдиний. У результаті докази автор докладно розглядає кожен випадок. По-перше, він бере ситуацію, коли цей вектор нульовий, по-друге, коли вектор - ненульовий. Під час доказу використовуються ілюстрації у вигляді малюнків та побудови, математичний запис, які формують у школярів математичну грамотність. Автор розповідає, не поспішаючи, що дозволяє учням вести записи паралельно, доки йде коментування. Побудова, яку вів автор під час доказу раніше сформульованого твердження, показує, як з певної точки можна побудувати вектор, рівний даному.

Якщо учні уважно дивитися урок і паралельно вести записи, вони легко засвоять матеріал. Тим більше, що автор розповідає докладно, розмірено та досить повно. Якщо з якихось причин щось не почули, можна повернутися і подивитися урок ще раз.

Після перегляду відеоуроку бажано розпочати закріплення матеріалу. Вчителю рекомендується підібрати завдання на цю тему, щоб відпрацювати навичку відкладання вектора від цієї точки.

Цей урок можна використовувати для самостійного вивченнятеми школярів. Але для закріплення необхідно звернутися до вчителя, щоб він підібрав відповідні завдання. Адже без закріплення матеріалу складно досягти позитивного результату у навчанні.

ов, спочатку необхідно розібратися у такому понятті, як відкладання вектора від цієї точки.

Визначення 1

Якщо точка $A$ почала якогось вектора $\overrightarrow(a)$, то кажуть, що вектор $\overrightarrow(a)$ відкладено від точки $A$ (рис. 1).

Малюнок 1. $\overrightarrow(a)$ відкладений від точки $A$

Введемо таку теорему:

Теорема 1

Від будь-якої точки $K$ можна відкласти вектор $\overrightarrow(a)$ і лише один.

Доведення.

Існування:Тут потрібно розглянути два випадки:

Вектор $\overrightarrow(a)$ - нульовий.

В цьому випадку, очевидно, що вектор, що шукається - вектор $ \ overrightarrow (KK) $.

Вектор $\overrightarrow(a)$ - ненульовий.

Позначимо точкою $A$ - початок вектора $\overrightarrow(a)$, а точкою $B$ - кінець вектора $\overrightarrow(a)$. Проведемо через точку $K$ пряму $b$ паралельну вектору $\overrightarrow(a)$. Відкладемо на цій прямій відрізки $\left|KLright|=|AB|$ і $\left|KMright|=|AB|$. Розглянемо вектори $\overrightarrow(KL)$ і $\overrightarrow(KM)$. З цих двох векторів шуканим буде той, який буде направлений із вектором $\overrightarrow(a)$ (рис. 2)

Рисунок 2. Ілюстрація теореми 1

Єдиність:єдиність відразу випливає з побудови, проведеної у пункті «існування».

Теорему доведено.

Віднімання векторів. Правило перше

Нехай нам дано вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$.

Визначення 2

Різницею двох векторів $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ називається такий вектор $\overrightarrow(c)$, який при складанні з вектором $\overrightarrow(b)$ дає вектор $\overrightarrow(a)$ , тобто

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]

Позначення:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

Побудову різниці двох векторів розглянемо за допомогою завдання.

Приклад 1

Нехай дані вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$. Побудувати вектор $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.

Рішення.

Побудуємо довільну точку $O$ і відкладемо від неї вектори $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$. Поєднавши точку $B$ з точкою $A$, отримаємо вектор $overrightarrow(BA)$ (рис. 3).

Рисунок 3. Різниця двох векторів

За правилом трикутника для побудови суми двох векторів бачимо, що

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]

З визначення 2 отримуємо, що

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

Відповідь:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

З цього завдання отримуємо таке правило для знаходження різниці двох векторів. Щоб знайти різницю $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ потрібно від довільної точки $O$ відкласти вектори $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b )$ і з'єднати кінець другого вектора з кінцем першого вектора.

Віднімання векторів. Правило друге

Згадаймо таке необхідне нам поняття.

Визначення 3

Вектор $\overrightarrow(a_1)$ називається довільним для вектора $\overrightarrow(a)$, якщо ці вектори протилежно спрямовані та мають рівну довжину.

Позначення:Вектор $(-\overrightarrow(a))$ протилежний для вектора $\overrightarrow(a)$.

Для того щоб ввести друге правило для різниці двох векторів, нам необхідно спочатку ввести і довести наступну теорему.

Теорема 2

Для будь-яких двох векторів $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ справедлива наступна рівність:

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

Доведення.

За визначенням 2, маємо

Додамо до обох частин вектор $\left(-\overrightarrow(b)\right)$, отримаємо

Оскільки вектори $\overrightarrow(b)$ і $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ протилежні, то $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\overrightarrow (0) $. Маємо

Теорему доведено.

З цієї теореми отримуємо наступне правило для різниці двох векторів: Щоб знайти різницю $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ потрібно від довільної точки $O$ відкласти вектор $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$, потім від отриманої точки $A$ відкласти вектор $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ і з'єднати початок першого вектора з кінцем другого вектора.

Приклад завдання поняття різниці векторів

Приклад 2

Нехай дано паралелограм $ADCD$, діагоналі якого перетинаються у точці $O$. $ \ overrightarrow (AB) = \ overrightarrow (a) $, $ \ overrightarrow (AD) = \ overrightarrow (b) $ (рис. 4). Виразити через вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ наступні вектори:

а) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$

б) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

Малюнок 4. Паралелограм

Рішення.

а) Зробимо додавання за правилом трикутника, отримаємо

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

З першого правила різниці двох векторів, отримуємо

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

б) Так як $ \ overrightarrow (OC) = \ overrightarrow (AO) $, отримаємо

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

По теоремі 2, маємо

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

Використовуючи правило трикутника, маємо остаточно

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

Вектором називається спрямований відрізок прямої евклідового простору, у якого один кінець (точка A) називається початком вектора, а інший кінець (точка B) кінцем вектора (Рис. 1). Вектори позначаються:

Якщо початок і кінець вектора збігаються, то вектор називається нульовим векторомі позначається 0 .

приклад. Нехай у двомірному просторі початок вектора має координати. A(12,6) , а кінець вектора - координати B(12,6). Тоді вектор є нульовим вектором.

Довжина відрізка ABназивається модулем (довжиною, нормою) вектора та позначається | a|. Вектор довжина, рівної одиниці, називається одиничним вектором . Крім модуля вектор характеризується напрямком: вектор має напрямок від Aдо B. Вектор називається вектор, протилежнимвектору.

Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Рис. 3 червоні вектори колінеарні, т.к. вони лажать однією прямий, а сині вектори коллинеарны, т.к. вони лежать на паралельних прямих. Два колінеарні векторназиваються однаково спрямованимиякщо їх кінці лежать по одну сторону від прямої, що з'єднує їх початку. Два колінеарних вектори називаються протилежно спрямованимиякщо їх кінці лежать по різні сторонивід прямої, що з'єднує їх початку. Якщо два колінеарні вектори лежать на одній прямій, то вони називаються однаково спрямованими, якщо один з променів, утвореним одним вектором повністю містить промінь, утвореним іншим вектором. В іншому випадку вектори називаються протилежно спрямованими. На малюнку Рис.3 сині вектори однаково спрямовані, а червоні вектори спрямовані протилежно.

Два вектори називаються рівнимиякщо вони мають рівні модулі та однаково спрямовані. На малюнку Рис.2 Вектори рівні т.к. їх модулі рівні та мають однаковий напрямок.

Вектори називаються компланарнимиякщо вони лежать на одній площині або в паралельних площинах.

У nмірному векторному просторі розглянемо багато всіх векторів, початкова точка яких збігається з початком координат. Тоді вектор можна записати у такому вигляді:

(1)

де x 1 , x 2 , ..., x nкоординати кінцевої точки вектора x.

Вектор, записаний у вигляді (1) називається вектор-рядок, а вектор, записаний у вигляді

(2)

називається вектор-стовпчик.

Число nназивається розмірністю (порядком) вектор. Якщо то вектор називається нульовим вектором(т.к. початкова точка вектора ). Два вектори xі yрівні тоді і лише тоді, коли рівні відповідні їх елементи.

Вектор – одне із основних геометричних понять. Вектор характеризується числом (довжиною) та напрямком. Наочно його можна уявити у вигляді спрямованого відрізка, хоча, говорячи про вектор, правильніше мати на увазі цілий клас спрямованих відрізків, які всі паралельні між собою, мають однакову довжину та однаковий напрямок (рис. 1). Прикладами фізичних величин, які мають векторний характер, можуть бути швидкість (що поступово рухається тіла), прискорення, сила та ін.

Поняття вектора з'явилося у працях німецького математика ХІХ ст. Г. Грассмана та ірландського математика У. Гамільтона; потім воно було охоче сприйняте багатьма математиками та фізиками. У сучасній математиці та її додатках це поняття грає найважливішу роль. Вектори застосовуються в класичній механіці Галілея-Ньютона. сучасному викладі), в теорії відносності, квантової фізики, математичної економікита багатьох інших розділах природознавства, не кажучи вже про застосування векторів у різних галузях математики.

Кожен із спрямованих відрізків, що становлять вектор (рис. 1), можна назвати представником цього вектора. Вектор, представником якого є спрямований відрізок, що йде від точки до точки, позначається через . На рис. 1 маємо, тобто. і - це один і той же вектор (представниками якого є обидва спрямовані відрізки, виділені на рис. 1). Іноді вектор позначають малою літерою зі стрілкою: , .

Вектор, що зображується спрямованим відрізком, у якого початок і кінець збігаються, називається нульовим; він позначається через , тобто. . Два паралельних вектор, Що мають однакові довжини, але протилежні напрямки, називаються протилежними. Якщо вектор позначений через , то протилежний вектор позначається через .

Назвемо основні операції, пов'язані із векторами.

I. Відкладення вектора від точки. Нехай - деякий вектор та - точка. Серед спрямованих відрізків, які є представниками вектора є спрямований відрізок, що починається в точці . Кінець цього спрямованого відрізка називається точкою, що утворюється в результаті відкладання вектора від точки (рис. 2). Ця операція має наступну властивість:

I1. Для будь-якої точки та будь-якого вектора існує, і до того ж тільки одна, точка , для якої .

Складання векторів. Нехай і – два вектори. Візьмемо довільну точку і відкладемо вектор від точки, тобто. знайдемо таку точку, що (рис. 3). Потім від крапки відкладемо вектор, тобто знайдемо таку точку, що. Вектор називається сумою векторів і позначається через . Можна довести, що сума залежить від вибору точки , тобто. якщо замінити іншою точкою, то вийде вектор, рівний (рис. 3). З визначення суми векторів випливає, що для будь-яких трьох точок справедлива рівність

I2:

(«Правило трьох точок»). Якщо ненульові вектори і паралельні, їх суму зручно знаходити з допомогою правила паралелограмма (рис. 4).

ІІ. Основні властивості суми векторів виражають наступні 4 рівності (справедливі для будь-яких векторів , , ):

II2. .

Зауважимо ще, що кілька векторів перебуває послідовним знаходженням суми двох із них. Наприклад: .

При цьому, в якому б порядку ми не складали задані вектори, Результат (як це випливає з властивостей, названих у пунктах II1, і II2) завжди буде одним і тим же. Наприклад:

Далі геометрично сума кількох векторів може бути отримана наступним чином: треба спрямовані відрізки, які є представниками цих векторів, послідовно відкласти один за одним (тобто так, щоб початок другого спрямованого відрізка збігався з кінцем першого, початок третього - з кінцем другого і тощо); тоді вектор матиме своїм представником «замикаючий» спрямований відрізок, що йде від початку першого до кінця останнього (рис. 5). (Зауважимо, що якщо при такому послідовному відкладанні виходить «замкнена векторна ламана», то .)

ІІІ. Умноження вектора на число. Нехай – ненульовий вектор і – відмінне від нуля число. Через позначається вектор, який визначається наступними двома умовами: а) довжина вектора дорівнює ; б) вектор паралельний вектору , причому його напрямок збігається з напрямком вектора і протилежно йому при (рис. 6). Якщо справедлива хоча б одна з рівностей, то твір вважається рівним. Таким чином, твір визначено для будь-якого вектора та будь-якого числа .

Наступні 4 рівності (справедливі для будь-яких векторів і будь-яких чисел ) виражають основні властивості операції множення вектора на число:

III2. .

III3. .

З цих властивостей випливає ряд подальших фактів, пов'язаних із розглянутими операціями над векторами. Зазначимо деякі з них, які часто застосовуються при вирішенні завдань.

а) Якщо - така точка відрізка , що , то для будь-якої точки справедлива рівність , зокрема якщо - середина відрізка, то .

б) Якщо - точка перетину медіан трикутника, то ; крім того, для будь-якої точки справедлива рівність (Зворотні теореми також справедливі).

в) Нехай - точка прямий і - ненульовий вектор, паралельний цій прямій. Крапка в тому і тільки в тому випадку належить прямий, якщо (де - деяке число).

г) Нехай - точка площини і - ненульові і непаралельні між собою вектори, паралельні цій площині. Крапка у цьому і лише тому випадку належить площині , якщо вектор виражається через і , тобто. .

Зрештою, відзначимо ще властивість розмірності, що виражає той факт, що простір тривимірний.

IV. У просторі існують такі три вектори , , що жоден з них не виражається через два інших; будь-який четвертий вектор виражається через ці три вектори: . визначається рівністю: позначено скалярний добуток вектора (і тоді кут між ними не визначається).

Наведені вище властивості векторних операцій багато в чому схожі на властивості додавання та множення чисел. У той самий час вектор – геометричний об'єкт, й у визначенні векторних операцій використовуються такі геометричні поняттяяк довжина і кут; цим і пояснюється користь векторів для геометрії (і її додатків до фізики та інших галузей знання). Однак для вирішення геометричних завданьза допомогою векторів необхідно насамперед навчитися «перекладати» умову геометричного завдання на векторну «мову». Після такого перекладу здійснюються алгебраїчні обчислення з векторами, а потім отримане векторне рішення знову перекладається на геометричну мову. У цьому полягає векторне рішення геометричних завдань.

При викладі курсу геометрії у школі вектор дається як поняття (див. Визначення), і тому прийнята в шкільному підручнику аксіоматика геометрії нічого не говорить про властивості векторів, тобто. всі ці властивості мають доводитися як теореми.

Існує, однак, і інший шлях викладу геометрії, при якому початковими (невизначуваними) поняттями вважаються вектор і точка, а зазначені вище властивості I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 приймаються за аксіоми. Такий шлях побудови геометрії було запропоновано у 1917 р. німецьким математиком Г. Вейлем. Тут прямі та площини є визначеними поняттями. Перевага такої побудови в його стислості та в органічного зв'язкуіз сучасним розумінням геометрії як у самій математиці, так і в інших галузях знання. Зокрема, аксіоми II1-II4, III1-III4 вводять так званий векторний простір, що використовується в сучасній математиці, фізиці, математичній економіці і т.д.