Правильні опуклі багатогранники. Багатогранники

Багатогранники не тільки займають чільне місце в геометрії, але й зустрічаються в повсякденному життікожної людини. Не кажучи вже про штучно створені предмети побуту у вигляді різних багатокутників, починаючи з сірникової коробкиі закінчуючи архітектурними елементами, у природі також зустрічаються кристали у формі куба (сіль), призми (кришталь), піраміди (шеєліт), октаедра (алмаз) тощо.

Поняття багатогранника, види багатогранників у геометрії

Геометрія як наука містить розділ стереометрію, що вивчає характеристики та властивості об'ємних тіла, сторони яких тривимірному просторіутворені обмеженими площинами (гранями), звуться "багатогранники". Види багатогранників налічують не один десяток представників, що відрізняються кількістю та формою граней.

Проте у всіх багатогранників є спільні властивості:

1. Всі вони мають 3 невід'ємні компоненти: грань (поверхня багатокутника), вершина (кути, що утворилися в місцях з'єднання граней), ребро (сторона фігури або відрізок, утворений у місці стику двох граней).
2. Кожне ребро багатокутника з'єднує дві, і лише дві грані, які один до одного є суміжними.
3. Випуклість означає, що тіло повністю розташоване лише з одного боку площині, де лежить одна з граней. Правило застосовується до всіх меж багатогранника. Такі геометричні фігури у стереометрії називають терміном опуклі багатогранники. Виняток становлять зірчасті багатогранники, які є похідними правильних багатогранних геометричних тіл.

Багатогранники можна умовно поділити на:

1. Види опуклих багатогранників, які з наступних класів: звичайні чи класичні (призму, піраміда, паралелепіпед), правильні (також звані Платоновими тілами), напівправильні (друга назва - Архімедові тіла).
2. Невипуклі багатогранники (зіркові).

Призма та її властивості

Стереометрія як розділ геометрії вивчає властивості тривимірних фігур, види багатогранників (призму у тому числі). Призмою називають геометричне тіло, яке має обов'язково дві абсолютно однакові грані (їх також називають основами), що лежать у паралельних площинахі n-е число бічних граней у вигляді паралелограмів. У свою чергу, призма має також кілька різновидів, серед яких такі види багатогранників, як:

1. Паралелепіпед - утворюється, якщо в основі лежить паралелограм - багатокутник з 2 парами рівних протилежних кутів та двома парами конгруентних протилежних сторін.
2. Пряма призма має перпендикулярні до основи ребра.
3. характеризується наявністю непрямих кутів (відмінних від 90) між гранями та основою.
4. Правильна призма характеризується основами у вигляді рівними бічними гранями.

Основні властивості призми:

• Конгруентні основи.
• Усі ребра призми рівні та паралельні по відношенню один до одного.
• всі бічні гранімають форму паралелограма.

Піраміда

Пірамідою називають геометричне тіло, яке складається з однієї основи та з n-го числа трикутних граней, що з'єднуються в одній точці - вершині. Слід зазначити, що якщо бічні грані піраміди представлені обов'язково трикутниками, то в основі може бути як трикутний багатокутник, так і чотирикутник і п'ятикутник, і так до нескінченності. При цьому назва піраміди буде відповідати багатокутнику в основі. Наприклад, якщо в основі піраміди лежить трикутник - це , чотирикутник - чотирикутна, і т.д.

Піраміди – це конусоподібні багатогранники. Види багатогранників цієї групи, крім перелічених вище, включають також наступних представників:

1. Правильна піраміда має в основі правильний багатокутник, і висота її проектується в центр кола, вписаного в основу або описаного навколо нього.
2. Прямокутна піраміда утворюється тоді, коли одна з бічних ребер перетинається з основою під прямим кутом. У такому випадку це ребро можна назвати висотою піраміди.

Властивості піраміди:

• Якщо всі бічні ребра піраміди конгруентні ( однакової висоти), то всі вони перетинаються з основою під одним кутом, а навколо основи можна прокреслити коло з центром, що збігається з проекцією вершини піраміди.
• Якщо в основі піраміди лежить правильний багатокутник, то всі бічні ребра є конгруентними, а грані є рівнобедреними трикутниками.

Правильний багатогранник: види та властивості багатогранників

У стереометрії особливе місцезаймають геометричні тіла з абсолютно рівними між собою гранями, у вершинах яких з'єднується однакова кількість ребер. Ці тіла отримали назву Платонові тіла, чи правильні багатогранники. Види багатогранників з такими властивостями налічують лише п'ять фігур:

1. Тетраедр.
2. Гексаедр.
3. Октаедр.
4. Додекаедр.
5. Ікосаедр.

Своєю назвою правильні багатогранники завдячують давньогрецькому філософу Платону, який описав ці геометричні тіла у своїх працях і зв'язав їх із природними стихіями: землі, води, вогню, повітря. П'ятій фігурі присуджували схожість із будовою Всесвіту. На його думку, атоми природних стихій формою нагадують види правильних багатогранників. Завдяки своїй захоплюючій властивості - симетричності, ці геометричні тіла представляли великий інтересне тільки для давніх математиків та філософів, але й для архітекторів, художників та скульпторів усіх часів. Наявність лише 5 видів багатогранників з абсолютною симетрією вважалося фундаментальною знахідкою, їм навіть присуджували зв'язок з божественним початком.

Гексаедр та його властивості

У формі шестигранника наступники Платона припускали схожість із будовою атомів землі. Звичайно ж, на даний час ця гіпотеза повністю спростована, що, однак, не заважає фігурам і в сучасності залучати уми відомих діячівсвоєю естетичністю.

У геометрії гексаедр, він же куб, вважається окремим випадком паралелепіпеда, який, у свою чергу, є різновидом призми. Відповідно і властивості куба пов'язані з тією лише різницею, що всі грані та кути куба рівні між собою. З цього випливають такі характеристики:

1. Всі ребра куба конгруентні і лежать у паралельних площинах один до одного.
2. Всі грані - конгруентні квадрати (всього в кубі їх 6), кожен з яких може бути прийнятий за основу.
3. Усі міжгранні кути дорівнюють 90.
4. З кожної вершини виходить рівну кількість ребер, саме 3.
5. Куб має 9 які всі перетинаються в точці перетину діагоналей гексаедра, що називається центром симетрії.

Тетраедр

Тетраедр – це чотиригранник з рівними гранями у формі трикутників, кожна з вершин яких є точкою з'єднання трьох граней.

Властивості правильного тетраедра:

1. Усі грані тетраеду - це з чого випливає, що всі грані чотиригранника конгруентні.
2. Оскільки основа представлена ​​правильною геометричною фігурою, тобто має рівні сторони, то й грані тетраедра сходяться під однаковим кутом, тобто усі кути рівні.
3. Сума плоских кутів при кожній з вершин дорівнює 180, тому що всі кути рівні, будь-який кут правильного чотиригранника становить 60.
4. Кожна з вершин проектується на точку перетину висот протилежної (ортоцентр) грані.

Октаедр та його властивості

Описуючи види правильних багатогранників, не можна не відзначити такий об'єкт, як октаедр, який візуально можна подати у вигляді двох склеєних основ чотирикутних правильних пірамід.

Властивості октаедра:

1. Сама назва геометричного тіла нагадує кількість його граней. Восьмигранник складається з 8 конгруентних рівносторонніх трикутників, у кожній з вершин якого сходиться рівна кількість граней, а саме 4.
2. Так як усі грані октаедра рівні, рівні та його міжгранні кути, кожен з яких дорівнює 60, а сума плоских кутів будь-якої з вершин становить, таким чином, 240.

Додекаедр

Якщо уявити, що всі грані геометричного тіла є правильним п'ятикутником, то вийде додекаедр - фігура з 12 багатокутників.

Властивості додекаедру:

1. У кожній вершині перетинаються три грані.
2. Усі грані рівні та мають однакову довжинуребер, а також рівну площу.
3. У додекаедра 15 осей та площин симетрії, причому кожна з них проходить через вершину грані та середину протилежного їй ребра.

Ікосаедр

Не менш цікава, ніж додекаедр, фігура ікосаедр є об'ємним геометричним тілом з 20 рівними гранями. Серед властивостей правильного двадцятигранника можна відзначити такі:

1. Всі грані ікосаедра - рівнобедрені трикутники.
2. У кожній вершині багатогранника сходиться п'ять граней і сума суміжних кутіввершини складає 300.
3. Ікосаедр має так само, як і додекаедр, 15 осей та площин симетрії, що проходять через середини протилежних граней.

Напівправильні багатокутники

Крім Платонових тіл, до групи опуклих багатогранників входять також Архімедові тіла, які є усіченими правильними багатогранниками. Види багатогранників цієї групи мають такі властивості:

1. Геометричні тіла мають попарно рівні грані кількох типів, наприклад, усічений тетраедр має так само, як і правильний тетраедр, 8 граней, але у випадку Архімедова тіла 4 грані будуть трикутною форми і 4 - шестикутною.
2. Усі кути однієї вершини конгруентні.

Зірчасті багатогранники

Представники необ'ємних видів геометричних тіл – зірчасті багатогранники, грані яких перетинаються один з одним. Вони можуть бути утворені шляхом злиття двох правильних тривимірних тіл або в результаті їх продовження граней.

Таким чином, відомі такі зірчасті багатогранники, як: зірчасті форми октаедра, додекаедра, ікосаедра, кубооктаедра, ікосододекаедра.

Правильними називають опуклі багатогранники, всі грані яких є однаковими правильні багатокутники, і в кожній вершині сходиться однакова кількість граней. Такі багатогранники називають платоновими тілами.

Існує лише п'ять правильних багатогранників:

Зображення	Тип правильного багатогранника	Число сторін у межі	Число ребер, що примикають до вершини	Загальна кількість вершин	Загальна кількість ребер	Загальна кількість граней
Тетраедр
Гексаедр чи куб
Додекаедр
Ікосаедр

Назва кожного багатогранника походить від грецької назвикількості його граней та слова "грань".

Тетраедр

Тетраедр (грец. фефсбедспн - чотиригранник) - багатогранник з чотирма трикутними гранями, у кожній з вершин якого сходяться по 3 грані. У тетраедра 4 грані, 4 вершини та 6 ребер.

Властивості тетраедра

Паралельні площини, що проходять через пари ребер тетраедра, що схрещуються, визначають описаний біля тетраедра паралелепіпед.

Відрізок, що з'єднує вершину тетраедра з точкою перетину медіан протилежної грані, називається медіаною, опущеної з даної вершини.

Відрізок, що з'єднує середини ребра тетраедра, що схрещуються, називається його бімедіаною, що з'єднує дані ребра.

Відрізок, що з'єднує вершину з протилежною точкою грані і перпендикулярний цієї грані, називається його висотою, опущеною з даної вершини.

Теорема.Усі медіани та бімедіани тетраедра перетинаються в одній точці. Ця точка ділить медіани щодо 3:1, рахуючи від вершини. Ця точка ділить бімедіани навпіл.

Виділяють:

• · рівногранний тетраедр, у якого всі грані – рівні між собою трикутники;
• · Ортоцентричний тетраедр, у якого всі висоти, опущені з вершин на протилежні грані, перетинаються в одній точці;
• · Прямокутний тетраедр, у якого всі ребра, прилеглі до однієї з вершин, перпендикулярні між собою;
• · правильний тетраедр, у якого всі грані – рівносторонні трикутники;
• · Каркасний тетраедр - тетраедр, що відповідає будь-якій з умов:
• · Існує сфера, що стосується всіх ребер.
• · Суми довжин ребер, що схрещуються, рівні.
• · Суми двогранних кутів при протилежних ребрах рівні.
• · Кола, вписані в грані, попарно торкаються.
• · Усі чотирикутники, що виходять на розгортці тетраедра, - описані.
• · Перпендикуляри, відновлені до граней із центрів вписаних у них кіл, перетинаються лише у точці.
• · Пропорційний тетраедр, всі бивисоти якого рівні;
• · Інцентричний тетраедр, у якого відрізки, що з'єднують вершини тетраедра з центрами кіл, вписаних у протилежні грані, перетинаються в одній точці.

Куб або правильний гексаедр - правильний багатогранник, кожна грань якого є квадратом. Окремий випадокпаралелепіпеда та призми.

Властивості куба

• · Чотири перерізи куба є правильними шестикутниками – ці перерізи проходять через центр куба перпендикулярно чотирьом його головним діагоналям.
• · У куб можна вписати тетраедр двома способами. В обох випадках чотири вершини тетраедра будуть поєднані з чотирма вершинами куба і всі шість ребер тетраедра належать граням куба. У першому випадку всі вершини тетраедра належать граням тригранного кута, вершина якого збігається з однією з вершин куба. У другому випадку ребра тетраедра, що попарно схрещуються, належать попарно протилежним граням куба. Такий тетраедр є правильним.
• · У куб можна вписати октаедр, причому всі шість вершин октаедра будуть поєднані з центрами шести граней куба.
• · Куб можна вписати в октаедр, причому всі вісім вершин куба будуть розташовані в центрах восьми граней октаедра.
• · У куб можна вписати ікосаедр, при цьому шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра - всередині куба. Усі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба.

Діагоналлю куба називають відрізок, що з'єднує дві вершини, симетричні щодо центру куба. Діагональ куба знаходиться за формулою

багатогранник ікосаедр октаедр додекаедр

де d - діагональ, а - ребро куба.

Октаедр

Октаедр (грец. пкфЬєдспн, від грец. пкфю, «вісім» і грец. Едсб – «основа») – один з п'яти опуклих правильних багатогранників, так званих Платонових тіл.

Октаедр має 8 трикутних граней, 12 ребер, 6 вершин, у кожній його вершині сходяться 4 ребра.

Якщо довжина ребра октаедра дорівнює а, то площа його повної поверхні(S) та обсяг октаедра (V) обчислюються за формулами:

Радіус сфери, описаної навколо октаедра, дорівнює:

радіус вписаної в октаедр сфери може бути обчислений за формулою:

Правильний октаедр має симетрію Oh, що збігається із симетрією куба.

Октаедр має одну зірчасту форму. Октаедр був відкритий Леонардо да Вінчі, потім майже через 100 років перекритий Йоганном Кеплером, і названий ним Stella octangula - зірка восьмикутна. Звідси ця форма має й другу назву "stella octangula Кеплера".

По суті, вона є з'єднанням двох тетраедрів.

Додекаедр

Додекаедр (від грец. Дюдекб - дванадцять і едспн - грань), дванадцятигранник - правильний багатогранник, складений з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників.

Таким чином, додекаедр має 12 граней (п'ятикутних), 30 ребер та 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Сума плоских кутів при кожній із 20 вершин дорівнює 324°.

Додекаедр має 3 зірчасті форми: малий зірчастий додекаедр, великий додекаедр, великий зірчастий додекаедр (зірковий великий додекаедр, завершальна форма). Перші з них були відкриті Кеплером (1619), третя - Пуансо (1809). На відміну від октаедра, будь-яка з зірчастих форм додекаедра не є з'єднанням платонових тіл, а утворює новий багатогранник.

Усі 3 зірчасті форми додекаедра, разом із великим ікосаедром утворюють сімейство тіл Кеплера-Пуансо, тобто правильних невипуклих (зірчастих) багатогранників.

У великого додекаедра гранями є п'ятикутники, які сходяться по п'ять у кожній з вершин. У малого зіркового і великого зіркового додекаедрів грані - п'ятикутні зірки(Пентаграми), які в першому випадку сходяться по 5, а в другому по 3. Вершини великого зіркового додекаедра збігаються з вершинами описаного додекаедра. У кожної вершини поєднуються три грані.

Основні формули:

Якщо за довжину ребра прийняти a, то площа поверхні додекаедра:

Об'єм додекаедра:

Радіус описаної сфери:

Радіус вписаної сфери:

Елементи симетрії додекаедра:

· Додекаедр має центр симетрії та 15 осей симетрії.

Кожна осі проходить через середини протилежних паралельних ребер.

· Додекаедр має 15 площин симетрії. Будь-яка з площин симетрії проходить у кожній грані через вершину та середину протилежного ребра.

Ікосаедр

Ікосаедр (від грец. ейкпуЬт - двадцять; -едспн - грань, обличчя, основа) - правильний опуклий багатогранник, двадцятигранник, одне з Платонових тіл. Кожна з 20 граней є рівносторонній трикутник. Число ребер дорівнює 30, число вершин - 12.

Площа S, обсяг V ікосаедра з довжиною ребра a, а також радіуси вписаної та описаної сфер обчислюються за формулами:

радіус вписаної сфери:

радіус описаної сфери:

Властивості

• · Ікосаедр можна вписати в куб, при цьому, шість взаємно перпендикулярних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра всередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра будуть лежати на шести гранях куба.
• · В ікосаедр може бути вписаний тетраедр, причому чотири вершини тетраедра будуть поєднані з чотирма вершинами ікосаедра.
• · Ікосаедр можна вписати в додекаедр, при цьому вершини ікосаедра будуть поєднані з центрами граней додекаедра.
• · В ікосаедр можна вписати додекаедр із суміщенням вершин додекаедра та центрів граней ікосаедра.
• · Усічений ікосаедр може бути отриманий зрізанням 12 вершин з утворенням граней у вигляді правильних п'ятикутників. У цьому число вершин нового багатогранника збільшується 5 раз (12?5=60), 20 трикутних граней перетворюються на правильні шестикутники (всього граней стає 20+12=32), а число ребер зростає до 30+12?5=90.

Ікосаедр має 59 зірчастих форм, з яких 32 мають повну, а 27 неповну ікосаедральну симетрію. Одна з цих зірчастих форм (20-я, мод. 41 за Веннінджером), звана великим ікосаедром, є одним з чотирьох правильнихзірчастих багатогранників Кеплера-Пуансо. Його гранями є правильні трикутники, які сходяться у кожній вершині по п'ять; ця властивість є у великого ікосаедра загальним з ікосаедром.

Серед зірчастих форм також є: з'єднання п'яти октаедрів, з'єднання п'яти тетраедрів, з'єднання десяти тетраедрів.

Геометрія прекрасна тим, що на відміну від алгебри, де не завжди зрозуміло, що і навіщо вважаєш, дає наочність об'єкта. Цей дивовижний світ різних тілприкрашають собою правильні багатогранники.

Загальні відомості про правильні багатогранники

На думку багатьох, правильні багатогранники, або як їх ще називають Платонові тіла, мають неповторні властивості. З цими об'єктами пов'язано декілька наукових гіпотез. Коли починаєш вивчати дані геометричні тіла, розумієш, що практично нічого не знаєш про таке поняття, як правильні багатогранники. Презентація цих об'єктів у школі не завжди проходить цікаво, тому багато хто навіть і не пам'ятає, як вони називаються. У пам'яті більшості людей залишається лише куб. Жодні тіла в геометрії не мають такої досконалості, як правильні багатогранники. Усі назви цих геометричних тіл походять з Стародавню Грецію. Вони означають кількість граней: тетраедр – чотиригранний, гексаедр – шестигранний, октаедр – восьмигранний, додекаедр – дванадцятигранний, ікосаедр – двадцятигранний. Усі ці геометричні тіла займали найважливіше місцеу концепції Платона про світобудову. Чотири з них уособлювали стихії чи сутності: тетраедр – вогонь, ікосаедр – воду, куб – землю, октаедр – повітря. Додекаедр втілював усе, що було. Він вважався головним, оскільки був символом світобудови.

Узагальнення поняття багатогранника

Багатогранником є ​​сукупність кінцевого числабагатокутників така, що:

• кожна зі сторін будь-якого багатокутника є одночасно і стороною тільки одного іншого багатокутника по тій же стороні;
• від кожного з багатокутників можна дійти до інших, переходячи по суміжних з ним багатокутниках.

Багатокутники, що становлять багатогранник, є його грані, а їх сторони - ребра. Вершинами багатогранників є вершини багатокутників. Якщо під поняттям багатокутник розуміють плоскі замкнуті ламані, то приходять до одного визначення багатогранника. У тому випадку, коли під цим поняттям мають на увазі частину площини, що обмежена ламаними лініямислід розуміти поверхню, що складається з багатокутних шматочків. називають тіло, що лежить по один бік площини, що прилягає до його грані.

Інше визначення багатогранника та його елементів

Багатогранником називають поверхню, що складається з багатокутників, яка обмежує геометричне тіло. Вони бувають:

• невипуклими;
• опуклими (правильні та неправильні).

Правильний багатогранник – це опуклий багатогранник із максимальною симетрією. Елементи правильних багатогранників:

• тетраедр: 6 ребер, 4 грані, 5 вершин;
• гексаедр (куб): 12, 6, 8;
• додекаедр: 30, 12, 20;
• октаедр: 12, 8, 6;
• ікосаедр: 30, 20, 12.

Теорема Ейлера

Вона встановлює зв'язок між числом ребер, вершин і граней, топологічно еквівалентних сфері. Складаючи кількість вершин і граней (В + Г) у різних правильних багатогранників і порівнюючи їх з кількістю ребер, можна встановити одну закономірність: сума кількості граней і вершин дорівнює кількості ребер (Р), збільшеному на 2. Можна вивести просту формулу:

• У + Р = Р + 2.

Ця формула вірна всім опуклих багатогранників.

Основні визначення

Поняття правильного багатогранника неможливо описати однією пропозицією. Воно більш багатозначне та об'ємне. Щоб тіло було визнано таким, необхідно, щоб воно відповідало низці визначень. Так, геометричне тіло буде правильним багатогранником при виконанні таких умов:

• воно опукле;
• однакова кількість ребер сходиться у кожній з його вершин;
• усі грані його – правильні багатокутники, рівні один одному;
• усі його рівні.

Властивості правильних багатогранників

Існує 5 різних типівправильних багатогранників:

1. Куб (гексаедр) – у нього плоский кут при вершині становить 90°. Він має 3-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини становить 270 °.
2. Тетраедр – плоский кут при вершині – 60°. Він має 3-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини – 180°.
3. Октаедр – плоский кут при вершині – 60°. Він має 4-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини – 240°.
4. Додекаедр – плоский кут при вершині 108 °. Він має 3-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини – 324°.
5. Ікосаедр – у нього плоский кут при вершині – 60°. Він має 5-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини становить 300 °.

Площа поверхні цих геометричних тіл (S) обчислюється як площа правильного багатокутника, помножена на кількість його граней (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg π/p.

Об'єм правильного багатогранника

Ця величина обчислюється шляхом множення обсягу правильної піраміди, В основі якої знаходиться правильний багатокутник, на число граней, а висота її є радіусом вписаної сфери (r):

• V = 1: 3rS.

Об'єми правильних багатогранників

Як і будь-яке інше геометричне тіло, правильні багатогранники мають різні обсяги. Нижче представлені формули, якими можна їх обчислити:

• тетраедр: α х 3√2: 12;
• октаедр: α х 3√2: 3;
• ікосаедр; α х 3;
• гексаедр (куб): 5 х α х 3 х (3 + √5): 12;
• додекаедр: α х 3 (15 + 7√5): 4.

Гексаедр та октаедр є дуальними геометричними тілами. Іншими словами, вони можуть вийти один з одного в тому випадку, якщо центр тяжкості грані одного приймається за вершину іншого і навпаки. Також дуальними є ікосаедр та додекаедр. Сам собі дуальний лише тетраедр. За способом Евкліда можна отримати додекаедр із гексаедра за допомогою побудови «дахів» на гранях куба. Вершинами тетраедра будуть будь-які 4 вершини куба, які не суміжні попарно по ребру. З гексаедра (куба) можна отримати інші правильні багатогранники. Незважаючи на те, що є безліч, правильних багатогранників існує лише 5.

Радіуси правильних багатокутників

З кожним із цих геометричних тіл пов'язані 3 концентричні сфери:

• описана, що проходить через його вершини;
• вписана, що стосується кожної його межі в її центрі;
• серединна, що стосується всіх ребер у середині.

Радіус сфери описаної розраховується за такою формулою:

• R = a: 2 x tg π/g x tg θ: 2.

Радіус сфери вписаної обчислюється за такою формулою:

• R = a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,

де θ - Двогранний кут, який знаходиться між суміжними гранями.

Радіус сфери серединної можна обчислити за такою формулою:

• ρ = a cos π/p: 2 sin π/h,

де h величина = 4,6, 6,10 або 10. Відношення описаних і вписаних радіусів симетрично щодо p і q. Воно розраховується за такою формулою:

• R/r = tg π/p х tg π/q.

Симетрія багатогранників

Симетрія правильних багатогранників викликає основний інтерес до цих геометричних тіл. Під нею розуміють такий рух тіла у просторі, що залишає те саме кількість вершин, граней і ребер. Іншими словами, під впливом перетворення симетрії ребро, вершина, грань або зберігає своє початкове положення, або переміщається у вихідне положення іншого ребра, іншої вершини або грані.

Елементи симетрії правильних багатогранників притаманні всім видам таких геометричних тіл. Тут мова йде про тотожне перетворення, яке залишає будь-яку з точок у вихідному положенні. Так, при повороті багатокутної призми можна одержати кілька симетрій. Кожна з них може бути представлена ​​як твір відбитків. Симетрію, яка є твором парної кількості відбитків, називають прямою. Якщо вона є твором непарного кількості відбитків, її називають зворотної. Таким чином, всі повороти навколо прямої є прямою симетрією. Будь-яке відображення багатогранника – це зворотна симетрія.

Щоб краще розібратися в елементах симетрії правильних багатогранників можна взяти приклад тетраедра. Будь-яка пряма, яка проходитиме через одну з вершин та центр цієї геометричної фігури, проходитиме і через центр грані, протилежної їй. Кожен із поворотів на 120 і 240° навколо прямої належить до множинісиметрій тетраедра. Оскільки в нього по 4 вершини та грані, то виходить всього вісім прямих симетрій. Будь-яка з прямих, що проходять через середину ребра та центр цього тіла, проходить через середину його протилежного ребра. Будь-який поворот на 180 °, званий напівоборотом, навколо прямої є симетрією. Оскільки тетраедр має три пари ребер, то вийде ще три прямі симетрії. Виходячи з вищевикладеного, можна дійти невтішного висновку, що загальне числопрямих симетрій, у тому числі тотожне перетворення, Доходитиме до дванадцяти. Інших прямих симетрій у тетраедра немає, але при цьому він має 12 зворотних симетрій. Отже, тетраедр характеризується лише 24 симетріями. Для наочності можна побудувати модель правильного тетраедра з картону і переконатися, що це геометричне тіло має всього 24 симетрії.

Додекаедр та ікосаедр – найбільш близькі до сфери тіла. Ікосаедр має найбільшим числомграней, найбільшим і найщільніше може притиснутися до вписаної сфери. Додекаедр має найменший кутовий дефект, найбільший тілесний кут при вершині. Він може максимально заповнити описану сферу.

Розгортки багатогранників

Правильні, яких ми всі склеювали в дитинстві, мають багато понять. Якщо є сукупність багатокутників, кожна сторона яких ототожнена з однією стороною багатогранника, то ототожнення сторін має відповідати двом умовам:

• від кожного багатокутника можна перейти багатокутниками, що мають ототожнену сторону;
• ототожнювані сторони повинні мати однакову довжину.

Саме сукупність багатокутників, які задовольняють ці умови, і називається розгорткою багатогранника. Кожне з цих тіл має їх кілька. Приміром, у куба їх налічується 11 штук.

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Багатогранники. Вершини, ребра, грані багатогранника. ТЕОРЕМА ЕЙЛЕРА. 10 клас Виконала: Кайгородова С.В.

Правильним називається багатогранник, у якого всі грані є правильними багатокутниками і всі багатогранні кути при вершинах рівні.

З давніх-давен людині відомі п'ять дивовижних багатогранників

За кількістю граней їх називають правильний тетраедр

гексаедр (шестигранник) або куб

октаедр (восьмигранник)

додекаедр (дванадцятигранник)

ікосаедр (двадцятигранник)

Розгортки правильних багатогранників

Історична довідка Чотири сутності природи були відомі людству: вогонь, вода, земля та повітря. На думку Платона, їх атоми мали вигляд правильних багатогранників Великий давньогрецький філософ Платон, який жив у IV – V ст. до нашої ери вважав, що ці тіла уособлюють сутність природи.

атом вогню мав вигляд тетраедра, землі – гексаедра (куба) повітря – октаедра води – ікосаедра

Але залишався додекаедр, якому був відповідності Платон припустив, що є ще одна(п'ята) сутність. Він назвав її світовим ефіром. Атоми цієї п'ятої сутності мали вигляд додекаедра. Платон та його учні у своїх роботах велика увагаприділяли перерахованим багатогранникам. Тому ці багатогранники називають платоновими тілами.

Для будь-якого опуклого багатогранника справедливе співвідношення: Г+В-Р=2, де Г -число граней, -число вершин, Р - число ребер даного багатогранника. Грані + Вершини – Ребра = 2. Теорема Ейлера

Характеристики правильних багатогранників Багатогранник Число сторін грані Число граней, що сходяться в кожній вершині Число граней (Г) Число ребер (Р) Число вершин (В) Тетраедр 3 3 4 6 4 Гексаедр 4 3 6 12 8 Октаедр 3 4 8 12 6 20 30 12 Додекаедр 5 3 12 30 20

Подвійність правильних багатогранників Гексаедр (куб) і октаедр утворюють подвійну пару багатогранників. Число граней одного багатогранника дорівнює числу вершин іншого і навпаки.

Візьмемо будь-який куб і розглянемо багатогранник із вершинами у центрах його граней. Як неважко переконатися, отримаємо октаедр.

Центри граней октаедра є вершинами куба.

Суворий сірчанокислий натрій - тетраедра. Багатогранники в природі, хімії та біології Кристали деяких знайомих нам речовин мають форму правильних багатогранників. Кристал піриту – природна модель додекаедр. Кристали кухонної соліпередають форму куб. Монокристал алюмінієво-калієвих галунів має форму октаедра. Кришталь (призму) Ікосаедр опинився в центрі уваги біологів у їх суперечках щодо форми вірусів. Вірус може бути зовсім круглим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні багатогранники, спрямовували ними світло під тими самими кутами, як і потік атомів на вірус. Виявилося, що тільки один багатогранник дає таку ж тінь - ікосаедр. У процесі поділу яйцеклітини спочатку утворюється тетраедр із чотирьох клітин, потім октаедр, куб і, нарешті, додекаедро-ікосаедрична структура гаструли. І нарешті, найголовніше – структура ДНК генетичного кодужиття - являє собою чотиривимірну розгортку (по осі часу) додекаедра, що обертається! У молекулі метану має форму правильного тетраедра.

Багатогранники в мистецтві "Портрет Монни Лізи" Композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, що є частинами правильного п'ятикутника. гравюра «Меланхолія» На передньому плані картини зображено додекаедр. «Таємна Вечеря» Христос зі своїми учнями зображений на тлі величезного прозорого додекаедру.

Багатогранники в архітектурі Музеї Плодів у Яманаші створено за допомогою тривимірного моделювання. Чотириярусна Спаська вежа з церквою Спаса Нерукотворного – головний в'їзд у Казанський кремль. Зведена у XVI столітті псковськими архітекторами Іваном Ширяєм та Постником Яковлєвим за прозванням «Барма». Чотири яруси вежі являють собою куб, багатогранники та піраміду. Спаська башта Кремля. Олександрійський маяк Піраміди Музеї Плодів

Визначення. Багатогранник називається правильним, якщо: 1) він опуклий; 2) усі його грані – рівні один одному правильні багатокутники; 3) у кожній його вершині сходиться однакове числоребер; 4) усі його двогранні рівні.

Прикладом правильного багатогранника є куб: він є опуклим багатогранником, усі його грані – рівні квадрати, у кожній вершині сходяться три ребра, і всі двогранні кути куба прямі. Правильний тетраедр також є правильним багатогранником.

Виникає питання: скільки існує різних типівправильних багатогранників?

П'ять типів правильних багатогранників:

Розглянемо довільний правильний багатогранник М , У якого В вершин, Р ребер і Г граней. По теоремі Ейлера цього багатогранника виконується рівність:

В – Р + Г = 2. (1)

Нехай кожна грань цього багатогранника містить mребер (сторон), і в кожній вершині сходяться nребер. Очевидно,

Так як у багатогранника В вершин і кожної з яких сходяться n ребер, то отримуємо n ребер. Але будь-яке ребро з'єднує дві вершини багатогранника, тому до твір n кожне ребро увійде двічі. Значить у багатогранника є різнихребер. Тоді

З (1), (3), (4) отримуємо - Р + = 2, звідки

+ = + > . (5)

Таким чином, маємо

З нерівностей 3 і 3 випливає, що гранями правильного багатогранника можуть бути правильні трикутники, або правильні чотирикутники, або правильні п'ятикутники. Причому у випадках m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 приходимо до суперечності з умовою. Тому є можливими п'ять випадків: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. Розглянемо кожен із цих випадків, використовуючи співвідношення (5), (4) та (3).

1) m = n = 3(Кожна грань багатогранника - правильний трикутник. Це - відомий нам правильний тетраедр (« тетраедр» означає чотиригранник).

2) m = 4, n = 3(Кожна грань квадрат, і в кожній вершині сходяться три ребра). Маємо

Р = 12; В = 8; Р = 6.

Отримуємо правильний шестигранник, у якого кожна грань – квадрат. Цей багатогранник називається правильним гексаедром і є кубом (« гексаедр»- шестигранник), будь-який паралелепіпед - гексаедр.

3) m = 3, n = 4(Кожна грань -правильний трикутник, у кожній вершині сходяться чотири ребра). Маємо

Р = 12; У = =6; Г = =8.

Отримуємо правильний восьмигранник, у якого кожна грань – правильний трикутник. Цей багатогранник називається правильним октаедром («октаедр»восьмигранник).

4) m = 5, n = 3(Кожна грань - правильний п'ятикутник, у кожній вершині сходяться три ребра). Маємо:

Р = 30; В = = 20; Г = = 12.

Отримуємо правильний дванадцятигранник, у якого кожна грань – правильний п'ятикутник. Цей багатогранник називається правильним додекаедром (« додекаедр» - Дванадцятигранник).

5) m = 3, n = 5(Кожна грань - правильний трикутник, у кожній вершині сходяться п'ять ребер). Маємо

Р = 30; У = =12; Р = = 20.

Отримуємо правильний двадцятигранник. Цей багатогранник називається правильним ікосаедром (« ікосаедр»- двадцятигранник).

Таким чином ми отримали наступну теорему.

Теорема. Існує п'ять різних (з точністю до подоби) типів правильних багатогранників: правильний тетраедр, правильний гексаедр (куб), правильний октаедр, правильний додекаедр та правильний ікосаедр.

До цього висновку можна дійти дещо інакше.

Дійсно, якщо грань правильного багатогранника – правильний трикутник, і в одній вершині сходяться kребер, тобто. всі плоскі кути опуклого k-Гранного кута рівні, то. Отже, натуральне число kможе набувати значень: 3;4;5. у своїй Г = , Р = . На підставі теореми Ейлера маємо:

В+-= 2 або В (6 - k) = 12.

Тоді при k= 3 отримуємо: В = 4, Г = 4, Р = 6 (правильний тетраедр);

при k = 4 отримуємо: В = 6, Г = 8, Р = 12 (правильний октаедр);

при k = 5 отримуємо: В = 12, Г = 20, Р = 30 (правильний ікосаедр).

Якщо грань правильного багатогранника – правильний чотирикутник, то. Цій умові відповідає єдине натуральне число k= 3. Тоді: Г = , Р =; У + - = 2 чи. Значить, В = 8, Г = 6, Р = 12 – ми отримуємо куб (правильний гексаедр).

Якщо гранню правильного багатогранника є правильний п'ятикутник, то. Цій умові відповідає теж тільки k= 3 і Г =; Р = . Аналогічно попереднім обчисленнямотримуємо: В = 20, Г = 12, Р = 30 (правильний додекаедр).

Починаючи з правильних шестикутників, що імовірно є гранями правильного багатогранника, плоскі кути стають не менше, і вже k= 3 їхня сума стає не меншою, що неможливо. Отже, є лише п'ять видів правильних багатогранників.

На малюнках зображені розкладки кожного з п'яти правильних багатогранників.

Правильний тетраедр

Правильний октаедр

Правильний гексаедр

Правильний ікосаедр

Правильний додекаедр

Деякі властивості правильних багатогранників наведені у таблиці.

Вид грані	Плоский кут при вершині	Вид багатогранного кута при вершині	Сума плоских кутів при вершині				Назва багатогранника
Правильний трикутник	3-гранний				Правильний тетраедр
Правильний трикутник	4-гранний				Правильний октаедр
Правильний трикутник	5-гранний				Правильний ікосаедр
	3-гранний				Правильний гексаедр (куб)
Правильний п'ятикутник	3-гранний					Правильний додекаедр

У кожного з правильних багатогранників, окрім уже вказаних, нас найчастіше цікавитимуть:

• 1. Розмір його двогранного кутапри ребрі (при довжині ребра a).
• 2. Площа повної поверхні (при довжині ребра a).
• 3. Його обсяг (при довжині ребра a).
• 4. Радіус описаної біля нього сфери (при довжині ребра a).
• 5. Радіус вписаної в нього сфери (при довжині ребра a).
• 6. Радіус сфери, що стосуються всіх ребер (при довжині ребра a).

Найпростіше вирішується питання про обчисленні площі повної поверхні правильного багатогранника; вона дорівнює Р, де Р - кількість граней правильного багатогранника, а - площа однієї грані.

Нагадаємо, sin = , що дає можливість записати в радикалах: ctg =. Враховуючи це, складаємо таблиці:

а) для площі грані правильного багатогранника

б) для площі повної поверхні правильного багатогранника

Тепер перейдемо до обчислення величини двогранного кута правильного багатогранника при його ребрі. Для правильного тетраедра та куба ви легко знайдете величину цього кута.

У правильному додекаедрі всі плоскі кути його граней рівні, тому, застосувавши теорему косінусів для тригранних кутів до будь-якого тригранного кута даного додекаедра при його вершині, отримаємо: cos, звідки

На зображеному правильному октаедрі ABCDMF можна переконатися, що двогранний кут при ребре октаедра дорівнює 2arctg.

Для знаходження величини двогранного кута при ребрі правильного ікосаедра можна розглянути тригранний кут ABCD при вершині А: його плоскі кути ВАС і CAD рівний, а третій плоский кут BAD, проти якого лежить двогранний кут B(AC)D = , дорівнює (BCDMF - правильний п'ятикутник ). По теоремі косинусів для тригранного кута ABCD маємо: . З огляду на те, що, отримуємо, звідки. Таким чином, двогранний кут при ребрі ікосаедра дорівнює.

Отже, отримуємо наступну таблицю величин двогранних кутів при ребрах правильних багатогранників.

Перш ніж знаходити обсяг того чи іншого правильного багатогранника, спочатку проведемо міркування про те, як можна знайти обсяг правильних багатогранників у загальному вигляді.

Спробуйте спочатку довести, що якщо центр кожної грані будь-якого правильного багатогранника провести пряму, перпендикулярну площиніцієї грані, то всі проведені прямі перетнуться в деякій одній точці Про, віддаленої від усіх граней даного багатогранника на одну і ту ж відстань, яку позначимо r. Крапка Провиявиться центром сфери, вписаної в даний багатогранник, а r- її радіусом. З'єднавши отриману точку Проз усіма вершинами даного багатогранника, ми розіб'ємо його на Г рівних між собою пірамід (Г - число граней правильного багатогранника): основами утворених пірамід рівні r. Тоді обсяг цього багатогранника дорівнює суміобсяги всіх цих пірамід. Оскільки багатогранник правильний, його обсяг Vможна знайти за формулою:

Залишається знайти довжину радіусу r.

Для цього, з'єднавши точку Проз серединою Доребра багатогранника, спробуйте переконатися, що похила КОдо грані багатогранника, що містить ребро, становить з площиною цієї грані кут, що дорівнює половині величини двогранного кута при цьому ребре багатогранника; проекція ж похилої КОна площину цієї грані належить її апофемі і дорівнює радіусу вписаного в неї кола. Тоді

де p-напівпериметр грані. Тоді з (1) та (2) отримуємо загальну для всіх правильних багатогранників формулу обчислення їх обсягів:

Ця формула зовсім не потрібна для знаходження об'ємів куба, правильних тетраедра та октаедра, але дозволяє досить легко знаходити об'єми правильних ікосаедра та додекаедра.