Điểm toán học là đồ sộ. Điểm tới hạn (toán học)

Thuật ngữ này có ý nghĩa khác, xem điểm. Một tập hợp các điểm trên một mặt phẳng

chấm- một đối tượng trừu tượng trong không gian không có bất kỳ đặc điểm nào có thể đo lường được (đối tượng không chiều). Điểm là một trong những khái niệm cơ bản trong toán học.

Điểm trong hình học Euclid

Euclid đã định nghĩa một điểm là "một đối tượng không có các bộ phận". Trong các tiên đề hiện đại của hình học Euclid, một điểm là một khái niệm cơ bản, chỉ được đưa ra bởi một danh sách các thuộc tính của nó - các tiên đề.

Trong hệ tọa độ đã chọn, bất kỳ điểm nào trong không gian Euclide hai chiều đều có thể được biểu diễn dưới dạng một cặp có thứ tự ( x; y) số thực. Tương tự, điểm N không gian Euclide -chiều (cũng như vectơ hoặc không gian ái lực) có thể được biểu diễn dưới dạng một bộ ( một 1 , một 2 , … , một N) từ N con số.

liên kết

• điểm(tiếng Anh) trên trang web PlanetMath.
• Weistein, Eric W.Điểm trên trang web Wolfram MathWorld.

Vấn đề là:

chấm chấm danh từ, và., sử dụng Thường Hình thái: (không) cái gì? dấu chấm, Gì? dấu chấm, (nhìn cái gì? dấu chấm, thế nào? dấu chấm, về cái gì? về điểm; làm ơn gì? dấu chấm, (không gì? điểm, Gì? điểm, (nhìn cái gì? dấu chấm, thế nào? dấu chấm, về cái gì? về điểm 1. chấm- đây là một đốm tròn nhỏ, dấu vết do va chạm với vật sắc nhọn hoặc chữ viết.

Họa tiết chấm bi. | Điểm thủng. | Thành phố trên bản đồ được biểu thị bằng một chấm nhỏ và người ta chỉ có thể đoán về sự hiện diện của một con đường vòng.

2. chấm- đây là một cái gì đó rất nhỏ, khó nhìn thấy do ở xa hoặc vì lý do khác.

Điểm trên đường chân trời. | Khi quả bóng tiếp cận đường chân trời ở phần phía tây của bầu trời, nó bắt đầu giảm dần kích thước cho đến khi biến thành một chấm.

3. chấm- dấu chấm câu đặt cuối câu hoặc khi viết tắt các từ.

Đặt một điểm. | Đừng quên đặt dấu chấm ở cuối câu

4. Trong toán học, hình học và vật lý dấu chấm là đơn vị có vị trí trong không gian, là ranh giới của một đoạn thẳng.

Điểm toán.

5. dấu chấmđặt tên cho một địa điểm nào đó trong không gian, trên mặt đất hoặc trên bề mặt của một vật nào đó.

điểm bố trí. | Điểm đau.

6. dấu chấmđặt tên cho nơi đặt hoặc thực hiện một thứ gì đó, một nút nhất định trong hệ thống hoặc mạng của bất kỳ điểm nào.

Mỗi cửa hàng phải có biển báo riêng.

7. dấu chấm họ gọi là giới hạn phát triển của một cái gì đó, một mức độ hoặc thời điểm nhất định trong sự phát triển.

Nai điểm cao nhất. | điểm trong quá trình phát triển. | Tình hình đã đạt đến một điểm quan trọng. | Đây là đỉnh cao biểu hiện sức mạnh tinh thần của con người.

8. dấu chấm gọi là giới hạn nhiệt độ tại đó sự biến đổi của một chất từ ​​một chất trạng thái tổng hợp thành cái khác.

Điểm sôi. | Điểm đóng băng. | Độ nóng chảy. | Làm sao chiều cao hơn nhiệt độ sôi của nước càng thấp.

9. Dấu chấm phẩy (;) gọi là dấu câu dùng để ngăn cách thông thường, hơn bộ phận độc lập câu ghép.

TẠI ngôn ngữ tiếng anh thực tế các dấu chấm câu giống nhau được sử dụng như trong tiếng Nga: dấu chấm, dấu phẩy, dấu chấm phẩy, dấu gạch ngang, dấu nháy đơn, dấu ngoặc, dấu chấm lửng, câu nghi vấn và dấu chấm than, gạch nối.

10. Khi họ nói về quan điểm, ý nói quan điểm của ai đó về một vấn đề nào đó, một cái nhìn về sự việc.

Ít phổ biến hơn hiện nay là một quan điểm khác, trước đây hầu như được công nhận rộng rãi. | Không ai chia sẻ quan điểm này ngày hôm nay.

11. Nếu mọi người được cho là có Điểm tiếp xúc vì vậy họ có lợi ích chung.

Chúng ta có thể tìm thấy tiếng nói chung.

12. Nếu điều gì đó được nói ra chấm để chấm, có nghĩa là một đối sánh hoàn toàn chính xác.

Chấm để chấm vào nơi nó được chỉ định, có một chiếc ô tô màu cà phê.

13. Nếu một người được cho là đạt đến điểm, có nghĩa là anh ta đã đạt đến giới hạn cực độ trong biểu hiện của một số phẩm chất tiêu cực.

Chúng tôi đã đạt đến điểm! Anh không thể sống như thế này được nữa! | Bạn không thể nói với anh ấy rằng các dịch vụ bí mật đã đạt đến điểm dưới sự lãnh đạo khôn ngoan của anh ấy.

14. Nếu ai đó chấm dứt trong một số doanh nghiệp, điều đó có nghĩa là anh ta dừng nó lại.

Sau đó, anh trở về sau cuộc di cư về quê hương, đến Nga, đến Liên Xô, và điều này đặt dấu chấm hết cho mọi tìm kiếm và suy nghĩ của anh ấy.

15. Nếu ai đó dấu chấm "và"(hoặc hơn tôi), có nghĩa là anh ta đưa vấn đề đến kết luận hợp lý của nó, không để lại điều gì chưa nói.

Hãy chấm tôi. Tôi không biết gì về sáng kiến ​​​​của bạn.

16. Nếu ai đó chạm vào một điểm, có nghĩa là anh ta tập trung mọi lực lượng của mình để đạt được một mục tiêu.

Đó là lý do tại sao hình ảnh của anh ấy rất khác biệt; anh ấy luôn nhấn mạnh vào một điểm, không bao giờ bị cuốn theo những tiểu tiết. | Anh ấy hiểu rất rõ nhiệm vụ kinh doanh của mình là gì và cố tình đạt được một điểm.

17. Nếu ai đó đánh vào vị trí, nghĩa là anh ta nói hay làm đúng những gì cần thiết, đoán mò.

Ngay bức thư đầu tiên lọt vào vòng tiếp theo của cuộc thi đã khiến các biên tập viên ngạc nhiên một cách thú vị - độc giả của chúng tôi ngay lập tức đạt được mục tiêu trong một trong các lựa chọn được liệt kê!

điểm tính từ.

bấm huyệt.

Từ điển giải thích của ngôn ngữ Nga Dmitriev. D.V.Dmitriev. 2003.

chấm

chấm Có thể có nghĩa là:

Wiktionary có một bài viết "chấm"

• Một điểm là một đối tượng trừu tượng trong không gian không có bất kỳ đặc điểm đo lường nào ngoài tọa độ.
• Dấu chấm là một dấu phụ có thể được đặt bên trên, bên dưới hoặc ở giữa một chữ cái.
• Điểm - một đơn vị đo khoảng cách bằng tiếng Nga và hệ thống tiếng anhđo.
• Dấu chấm là một trong những biểu diễn của dấu phân cách thập phân.
• Dấu chấm (công nghệ mạng) - chỉ định tên miền gốc trong hệ thống phân cấp của các miền mạng toàn cầu.
• Tochka - chuỗi cửa hàng điện máy và giải trí
• Tochka - album của nhóm "Leningrad"
• Point - Phim Nga năm 2006 dựa trên câu chuyện cùng tên của Grigory Ryazhsky
• Dot là album phòng thu thứ hai của rapper Sten.
• Tochka là hệ thống tên lửa cấp sư đoàn.
• Tochka - Tạp chí Thanh niên và Tiểu văn hóa Krasnoyarsk.
• Tochka là một câu lạc bộ và địa điểm tổ chức buổi hòa nhạc ở Moscow.
• Dấu chấm là một trong những ký tự trong mã Morse.
• Điểm là nơi làm nhiệm vụ chiến đấu.
• Điểm (xử lý) - quy trình gia công, tiện, mài.
• ĐIỂM - Chương trình thông tin và phân tích trên NTV.
• Tochka là một ban nhạc rock đến từ thành phố Norilsk, được thành lập vào năm 2012.

địa danh

Ca-dắc-xtan

• chấm- cho đến năm 1992, tên của làng Bayash Utepov ở quận Ulan của khu vực Đông Kazakhstan.

Nga

• Tochka là một ngôi làng thuộc quận Sheksninsky của vùng Vologda.
• Tochka là một ngôi làng thuộc quận Volotovsky của vùng Novgorod.
• Tochka là một ngôi làng thuộc quận Lopatinsky của vùng Penza.

Bạn có thể đưa ra định nghĩa về các khái niệm như điểm và đường thẳng không?

Các trường phổ thông và đại học của chúng tôi không có những định nghĩa này, mặc dù theo tôi thì chúng rất quan trọng (tôi không biết điều này ở các nước khác như thế nào). Chúng ta có thể định nghĩa những khái niệm này là "thành công và không thành công" và xem xét liệu điều này có hữu ích cho sự phát triển tư duy hay không.

đô vật

Lạ thật, nhưng chúng tôi đã được đưa ra định nghĩa về một điểm. Đây là một đối tượng trừu tượng (quy ước) nằm trong không gian, không có kích thước. Đây là điều đầu tiên xuất hiện trong đầu chúng ta ở trường - một điểm không có thứ nguyên, nó là một vật thể "không chiều". Một khái niệm có điều kiện, giống như mọi thứ khác trong hình học.

Đường thẳng thậm chí còn khó khăn hơn. Trước hết, đó là một dòng. Thứ hai, nó là một tập hợp các điểm nằm trong không gian theo một cách nhất định. Chớm ban đầu định nghĩa đơn giản nó là một đường được xác định bởi hai điểm mà nó đi qua.

Medivh

Một điểm là một số loại đối tượng trừu tượng. Một điểm có tọa độ nhưng không có khối lượng hoặc kích thước. Trong hình học, mọi thứ bắt đầu chính xác từ một điểm, đây là điểm bắt đầu của tất cả các hình khác (Nhân tiện, trong văn bản cũng vậy, không có điểm thì sẽ không có điểm bắt đầu của một từ). Một đường thẳng là khoảng cách giữa hai điểm.

Leonid Kutny

Bạn có thể định nghĩa bất cứ điều gì và bất cứ điều gì. Nhưng có một câu hỏi: định nghĩa này sẽ "hoạt động" trong một ngành khoa học cụ thể? Dựa trên những gì chúng ta có, thật vô nghĩa khi xác định một điểm, một đường thẳng và một mặt phẳng. Tôi rất thích nhận xét của Arthur Tôi muốn nói thêm rằng một điểm có nhiều tính chất: nó không có chiều dài, chiều rộng, chiều cao, không có khối lượng và trọng lượng, v.v.. Nhưng tính chất chính của một điểm là nó chỉ rõ vị trí của một vật thể, một vật thể trên mặt phẳng, trong không gian. Đó là lý do tại sao chúng ta cần một điểm, nhưng một người đọc thông minh sẽ nói rằng một cuốn sách, một cái ghế, một chiếc đồng hồ và những thứ khác có thể được coi là một điểm. Hoàn toàn đúng! Do đó, thật vô nghĩa khi xác định một điểm. Trân trọng, LA Kutniy

Đường thẳng là một trong những khái niệm cơ bản của hình học.

Dấu chấm là dấu chấm câu trong văn bản của nhiều ngôn ngữ.

Ngoài ra, dấu chấm là một trong những ký hiệu của mã Morse

Nhiều định nghĩa quá :D

Các định nghĩa về điểm, đường thẳng, mặt phẳng được tôi đưa ra từ cuối những năm 80, đầu những năm 90 của thế kỷ 20. Tôi đưa ra một liên kết:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

Bộ sách dày 328 trang mô tả ở một khía cạnh hoàn toàn mới bản chất nhận thức của các khái niệm này, được giải thích trên cơ sở thế giới quan vật chất hiện thực và ý thức về cái Tôi tồn tại, nghĩa là “Tôi” tồn tại, cũng như chính Vũ trụ mà nó tồn tại. Tôi thuộc về tồn tại.

Tất cả mọi thứ được viết trong công việc nàyđược khẳng định bởi kiến ​​thức của nhân loại về tự nhiên và các đặc tính của nó đã được phát hiện từ lâu và vẫn đang được nghiên cứu trên thời điểm này thời gian. Toán học đã trở nên quá phức tạp để hiểu và lĩnh hội nhằm áp dụng những hình ảnh trừu tượng của nó vào thực tiễn của những đột phá công nghệ. Đã tiết lộ các Nền tảng, đó là các nguyên tắc cơ bản, có thể giải thích ngay cả với một sinh viên trường tiểu học nguyên nhân làm cơ sở cho sự tồn tại của vũ trụ. Hãy đọc và đến gần hơn với Sự thật. Dare, thế giới mà chúng ta tồn tại mở ra trước mắt bạn trong một ánh sáng mới.

Có một định nghĩa về khái niệm "điểm" trong toán học, hình học.

Mikhail Levin

"khái niệm không thể xác định" là một định nghĩa?

Trên thực tế, chính sự không chắc chắn của các khái niệm giúp cho việc áp dụng toán học vào các đối tượng khác nhau trở nên khả thi.

Một nhà toán học thậm chí có thể nói "theo điểm tôi muốn nói đến mặt phẳng Euclide, theo mặt phẳng - điểm Euclide" - kiểm tra tất cả các tiên đề và nhận được một hình học mới hoặc các định lý mới.

Vấn đề là để xác định thuật ngữ A, bạn cần sử dụng thuật ngữ B. Để xác định B, bạn cần thuật ngữ C. Và cứ như vậy đến vô tận. Và để được cứu khỏi sự vô hạn này, người ta phải chấp nhận một số thuật ngữ không có định nghĩa và xây dựng định nghĩa của những thuật ngữ khác trên chúng. ©

Grigory Piven

Trong toán học Piven Grigory, một điểm là một phần của không gian trừu tượng (được nhân đôi) được coi là đoạn có độ dài nhỏ nhất bằng 1, được dùng để đo các phần khác của không gian. Do đó, một người chọn thang đo của một điểm để thuận tiện, cho quá trình đo lường hiệu quả: 1mm, 1cm, 1m, 1km, 1a. e., 1 St. năm. vân vân.

TRƯỜNG VỆ SINH MKOOST - TRƯỜNG NỘI TRÚ

điểm và hình học không gian.

công việc nghiên cứu toán học.

Hoàn thành bởi: Anatoly Vasiliev, học sinh lớp 3

Người quản lý công việc:

Dubovaya Natalya Leonidovna,

giáo viên tiểu học.

Tommot, 2013

1. Chú thích ngắn gọn. .................................................... . ...................2
2. Chú thích. .................................................... . ................................3
3. Bài báo nghiên cứu. .................................................... . .....................6
4. Sự kết luận................................................. ................................................7

Thư mục.

Chú thích ngắn gọn.

Bài viết thảo luận về điểm và các hình hình học: đường thẳng, tia, đoạn thẳng, góc, tam giác, tứ giác, đường tròn và đường tròn, cũng như vai trò của điểm trong bố cục và cấu tạo của các hình này.

Chú thích.

Mục đích nghiên cứu:tìm hiểu ý nghĩa của khái niệm điểm và các hình hình học bao gồm: đường thẳng, tia, góc, tứ giác, tam giác, hình tròn.

Đối tượng nghiên cứu:điểm và định nghĩa các hình hình học: đoạn thẳng, tia, góc, tứ giác, tam giác, hình tròn.

Đề tài nghiên cứu:điểm và các hình hình học: đoạn thẳng, tia, góc, tứ giác, tam giác, hình tròn.

Giả thuyết nghiên cứu:điểm - hình hình học duy nhất và tất cả phần còn lại bao gồm nhiều điểm.

Mục tiêu nghiên cứu:

1. nghiên cứu tài liệu về chủ đề: “Điểm và các hình hình học: đoạn thẳng, tia, góc, tứ giác, tam giác, đường tròn.”;
2. tìm các định nghĩa của một điểm, một đoạn thẳng, một tứ giác, một tam giác, một góc, một tia, một đường tròn;
3. trình bày phân tích và phản ánh của họ về chủ đề;
4. trình bày một bài thuyết trình dựa trên bài nghiên cứu này.

Phương pháp nghiên cứu:nghiên cứu văn học, làm việc với từ điển, phân tích nghiên cứu, kết luận.

Bài báo nghiên cứu.

Toán học ra đời từ xa xưa từ nhu cầu thiết thực của con người. Sẽ không ai tranh luận về sự cổ xưa của toán học, nhưng có một ý kiến ​​​​khác về điều gì đã thúc đẩy mọi người làm điều đó. Theo ông, toán học, cũng như thơ ca, hội họa, âm nhạc, sân khấu và nghệ thuật nói chung, được đưa vào cuộc sống bởi nhu cầu tinh thần của con người, khao khát kiến ​​​​thức và cái đẹp, có lẽ chưa được thực hiện đầy đủ.

Bạn đã bao giờ nghĩ về điểm là gì và hình dạng hình học bao gồm những gì chưa?

Thoạt nhìn, mọi thứ đều rõ ràng ở đây: một điểm là một điểm, một đường thẳng là một đường thẳng, điều gì có thể khó hiểu ở đây? Chà, tất cả đều giống nhau, làm thế nào để giải thích điều này với một người hoàn toàn không biết điều này và hơn nữa, hiểu mọi thứ theo nghĩa đen? Nó có đơn giản không? Hóa ra không hề!

Trong các bài học lao động, khi chúng tôi nghiên cứu kỹ thuật isothread, tôi đã có một giả định rằng tất cả các hình dạng hình học đều bao gồm các điểm. Đó là chủ đề này mà tôi quyết định cống hiến công việc nghiên cứu của tôi.

“Tôi biết rằng tôi không biết gì cả,” Socrates nói, và cố gắng tìm hiểu chính xác những gì anh ta biết thông qua đối thoại với người đối thoại. Do đó, trước tiên tôi quyết định tìm hiểu những gì tôi biết về các hình dạng hình học.

Vì vậy, chúng ta hãy xem các định nghĩa về hình dạng hình học được chỉ định bởi chủ đề công việc nghiên cứu của tôi.

1. chấm - đây là dấu vết, dấu vết do va chạm, vết chích bằng vật sắc nhọn; đốm tròn nhỏ, đốm; một cái gì đó rất nhỏ, hầu như không nhìn thấy được. Một điểm là một hình hình học cơ bản

1. Hàng- đó là rất nhiều điểm. Nếu cơ sở để xây dựng hình học là khái niệm khoảng cách giữa các điểm trong không gian thì có thể định nghĩa đường thẳng là đường thẳng mà khoảng cách giữa hai điểm là ngắn nhất. Thẳng thắn - có một đường thẳng cách đều mọi điểm của nó. Thuật ngữ "dây" có nguồn gốc từ tiếng Latin linum - "vải lanh, sợi lanh".

_________________________________________________

1. cá đuối là một đoạn thẳng gồm tất cả các điểm của đoạn thẳng này nằm về một phía của điểm đã cho của nó.

1. Đoạn đường là một phần của đường thẳng bao gồm tất cả các điểm của đường thẳng này nằm giữa hai điểm đã cho trên nó.

1. Góc- đây là một hình gồm một đỉnh của một góc và hai nửa đường thẳng khác nhau hạ từ điểm này, các cạnh của góc.

1. Tứ giác- đây là một hình bao gồm bốn điểm và bốn đoạn nối chúng thành chuỗi.

1. Tam giác - hình gồm ba điểm không thẳng hàng nối với nhau bằng các đoạn thẳng.

1. Một vòng tròn -

Vòng tròn là hình gồm tất cả các điểm của mặt phẳng cách đều một điểm cho trước. dòng kín xung quanh vòng tròn.

PHẦN KẾT LUẬN.

Các khái niệm về một điểm và một đường thẳng được tìm thấy trong cuộc sống của chúng ta ở mọi nơi và mọi nơi. Ví dụ: nếu bạn nhìn vào ngôn ngữ tiếng Nga, thì dấu chấm là dấu chấm câu (.) Phân tách một câu hoàn chỉnh. Ngoài ra trong tiếng Nga còn có các dấu câu như dấu chấm phẩy, dấu hai chấm, dấu chấm lửng.

Trong vật lý, điểm - giá trị nhất định số lượng.

Trong địa lý, một điểm được coi là một vị trí cụ thể trong không gian.

Trong sinh học, đây là điểm phát triển của thực vật.

Trong hóa học - điểm đóng băng, điểm sôi, điểm nóng chảy.

Trong âm nhạc, dấu chấm là một dấu là một trong những yếu tố cơ bản của ký hiệu âm nhạc.

Trong toán học, một điểm là một hình hình học cơ bản; giao điểm của hai đường thẳng, ranh giới của một đoạn thẳng, điểm bắt đầu của một tia, v.v.

Để xây dựng bất kỳ con số nào, chúng ta cần một điểm. Dựa vào định nghĩa đường thẳngMỘT ĐƯỜNG LÀ RẤT NHIỀU ĐIỂMvà từ các định nghĩa, chúng ta biết rằng bất kỳ hình nào cũng được dựng bằng một điểm và một đường thẳng, do đó tất cả các hình đều bao gồm các điểm.

Trong cuộc sống của chúng ta, một dấu chấm là một huy hiệu tiêm chích, một đốm nhỏ.

Công việc nghiên cứu của tôi dẫn đến kết luận rằng điểm là hình hình học duy nhất. Mọi thứ bắt đầu với một điểm và kết thúc với nó, và vẫn chưa biết nó sẽ đóng vai trò là phần mở đầu nào.

Văn chương:

1 .Aksenova M.D. Bách khoa toàn thư cho trẻ em. T.11. - Toán học, M.: Avanta +, 1999. Tr. 575.

2 .Atanasyan L.S., hình học, 7-9: sách giáo khoa cho cơ sở giáo dục/ tái bản lần thứ 12. - M.: Giác Ngộ, 2002. Tr. 5, 146, 177,178.

3. Atanasyan L.S., hình học, 10-11: sách giáo khoa cho các tổ chức giáo dục / tái bản lần thứ 15, bổ sung. - M.: Giáo dục, 2006. Tr.5-7.

4 .Vinogradov I.M., bách khoa toàn thư toán học / M.: bách khoa toàn thư Liên Xô. trang 410, 722.

5 .Evgenyeva A.P. Từ điển tiếng Nga. - M.: Giác ngộ, 1984.

6 .Kabardin O.F. Vật lý: những tài liệu tham khảo. - M.: Giáo dục, 1991.

7 .Kramer G. Các phương pháp thống kê toán học, dịch từ tiếng Anh, tái bản lần 2, M., 1975.

8 .Lapatukhin M.S. Trường học từ điển Ngôn ngữ Nga. - M.: Giáo dục, 1981.

9 .Prokhorov A.M. Từ điển bách khoa lớn. - M.: Giáo dục, 1998.

10. Prokhorov Yu.V. Từ điển bách khoa toán học. - M.: Giáo dục, 1998.

11 .Savin A.P. từ điển bách khoa nhà toán học trẻ. - M.: ĐHSP, 1985, tr.69.

12 .Sharygin I.F. hình học thị giác. - M.: Giáo dục, 1995.

Khái niệm điểm tới hạn có thể được khái quát hóa cho trường hợp các ánh xạ khả vi và cho trường hợp các ánh xạ khả vi của các đa tạp tùy ý f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). Trong trường hợp này, định nghĩa của điểm tới hạn là hạng của ma trận Jacobian của ánh xạ f (\displaystyle f) nó nhỏ hơn giá trị lớn nhất có thể bằng .

Điểm quan trọng của chức năng và ánh xạ chơi vai trò quan trọng trong các lĩnh vực toán học như phương trình vi phân, phép tính biến thiên, lý thuyết ổn định, và trong cơ học và vật lý. Việc nghiên cứu các điểm tới hạn của ánh xạ trơn là một trong những câu hỏi chính trong lý thuyết tai biến. Khái niệm điểm tới hạn cũng được khái quát hóa cho trường hợp hàm xác định trên không gian hàm vô hạn chiều. Việc tìm kiếm các điểm quan trọng của các chức năng như vậy là phần quan trọng phép tính biến thiên. Các điểm tới hạn của các hàm (mà lần lượt là các hàm) được gọi là cực trị.

định nghĩa chính thức

phê bình(hoặc đặc biệt hoặc đứng im) một điểm của ánh xạ khả vi liên tục f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) một điểm được gọi là vi phân của ánh xạ này f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x))) Là thoái hóa Chuyển đổi tuyến tính không gian tiếp tuyến tương ứng T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) và T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), nghĩa là kích thước của hình ảnh chuyển đổi f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0)))ít hơn tối thiểu ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). Trong ký hiệu tọa độ cho n = m (\displaystyle n=m)điều này có nghĩa là jacobian là yếu tố quyết định ma trận jacobi của ánh xạ f (\displaystyle f), bao gồm tất cả các đạo hàm riêng ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- biến mất tại một điểm. Không gian và R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m)) trong định nghĩa này có thể được thay thế bằng giống N n (\displaystyle N^(n)) và M m (\displaystyle M^(m)) cùng kích thước.

định lý Sard

Giá trị hiển thị tại điểm tới hạn được gọi là phê bình. Theo định lý Sard, tập giá trị tới hạn của mọi ánh xạ đủ trơn f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) có độ đo Lebesgue bằng 0 (mặc dù có thể có bất kỳ số điểm tới hạn nào, ví dụ, đối với ánh xạ giống hệt nhau, bất kỳ điểm nào cũng là tới hạn).

Ánh xạ xếp hạng không đổi

Nếu ở lân cận của điểm x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) hạng của một ánh xạ khả vi liên tục f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) bằng cùng một số r (\displaystyle r), thì trong vùng lân cận của điểm này x 0 (\displaystyle x_(0)) có tọa độ cục bộ tập trung tại x 0 (\displaystyle x_(0)), và lân cận ảnh của nó - điểm y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- có tọa độ cục bộ (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m))) tập trung vào f (\displaystyle f)được cho bởi các quan hệ:

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)

Đặc biệt, nếu r = n = m (\displaystyle r=n=m), sau đó có tọa độ địa phương (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n))) tập trung vào x 0 (\displaystyle x_(0)) và tọa độ cục bộ (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n))) tập trung vào y 0 (\displaystyle y_(0)), sao cho chúng hiển thị f (\displaystyle f) giống nhau.

Đang xảy ra tôi = 1

Khi nào định nghĩa này có nghĩa là độ dốc ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n)))) biến mất vào thời điểm này.

Giả sử rằng hàm f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ) có một lớp mịn ít nhất C 3 (\displaystyle C^(3)). Điểm quan trọng chức năng f gọi là không suy biến, nếu nó chứa Hessian | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |)) khác không. Trong lân cận của điểm tới hạn không suy biến, tồn tại các tọa độ mà hàm số f có dạng chuẩn tắc bậc hai (bổ đề Morse).

Một tổng quát hóa tự nhiên của bổ đề Morse cho các điểm tới hạn suy biến là Định lý Toujron: trong lân cận của điểm tới hạn suy biến của hàm f, khả vi vô hạn lần ( ) của bội hữu hạn µ (\displaystyle \mu ) có một hệ tọa độ trong đó Chức năng mịn có dạng là một đa thức bậc μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(như P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x)) người ta có thể lấy đa thức Taylor của hàm f (x) (\displaystyle f(x)) tại một điểm thuộc tọa độ gốc).

Tại m = 1 (\displaystyle m=1) thật hợp lý khi hỏi về cực đại và cực tiểu của một hàm. Theo câu nói nổi tiếng phân tích toán học, một hàm khả vi liên tục f (\displaystyle f), được xác định trong toàn bộ không gian R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) hoặc trong tập con mở của nó, có thể đạt tới tối đa địa phương(tối thiểu) chỉ tại các điểm tới hạn và nếu điểm không suy biến, thì ma trận (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,) phải xác định phủ định (tích cực) trong đó. Sau này cũng là đủ điều kiện tối đa cục bộ (tương ứng, tối thiểu).

Đang xảy ra N = tôi = 2

Khi nào n=m=2 chúng tôi có một bản đồ f mặt phẳng này lên một mặt phẳng (hoặc đa tạp hai chiều lên một đa tạp hai chiều khác). Giả sử rằng màn hình f khả vi vô số lần ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). Trong trường hợp này, các điểm quan trọng điển hình của ánh xạ f là những định thức trong ma trận Jacobian bằng 0, nhưng hạng của nó bằng 1, và do đó là vi phân của ánh xạ f có hạt nhân một chiều tại những điểm như vậy. Điều kiện thứ hai của tính điển hình là trong vùng lân cận của điểm đang xét trên mặt phẳng ảnh nghịch đảo, tập hợp các điểm tới hạn tạo thành một đường cong đều. S, và tại hầu hết các điểm của đường cong S nhân tế bào ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) không quan tâm S, trong khi các điểm không xảy ra trường hợp này bị cô lập và tiếp tuyến tại chúng là bậc nhất. Điểm tới hạn của loại đầu tiên được gọi là điểm nhăn, và loại thứ hai điểm tập hợp. Các nếp gấp và nếp gấp là các loại điểm kỳ dị duy nhất của ánh xạ từ mặt phẳng đến mặt phẳng ổn định đối với các nhiễu loạn nhỏ: dưới một nhiễu loạn nhỏ, các điểm gấp khúc và nếp gấp chỉ di chuyển một chút cùng với sự biến dạng của đường cong S, nhưng không biến mất, không suy biến và không tan rã thành các điểm kỳ dị khác.

Xem thêm: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

Trong hai thiên niên kỷ rưỡi, toán học đã sử dụng sự trừu tượng của một điểm không thứ nguyên, điều này không chỉ mâu thuẫn với ý thức chung mà còn là kiến ​​thức về thế giới xung quanh, thu được từ các ngành khoa học như vật lý, hóa học, cơ lượng tử và tin học.

Không giống như các khái niệm trừu tượng khác, sự trừu tượng hóa của một điểm toán học không có thứ nguyên không lý tưởng hóa thực tế, đơn giản hóa nhận thức của nó, mà cố tình bóp méo nó, mang lại cho nó một ý nghĩa ngược lại, đặc biệt, về cơ bản, không thể hiểu và nghiên cứu các không gian có chiều cao hơn!

Việc sử dụng sự trừu tượng của một điểm không thứ nguyên trong toán học có thể được so sánh với việc sử dụng cơ bản Đơn vị tiền tệ với chi phí bằng không. May mắn thay, nền kinh tế đã không nghĩ về điều này.

Hãy để chúng tôi chứng minh sự vô lý của sự trừu tượng của một điểm không thứ nguyên.

định lý. Điểm toán học là đồ sộ.

Bằng chứng.

Vì trong toán học

Kích thước điểm = 0,

Đối với một đoạn có độ dài hữu hạn (khác không), chúng ta có

Segment_size = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

Kích thước bằng 0 thu được của đoạn, như một chuỗi các điểm cấu thành của nó, mâu thuẫn với điều kiện về độ dài hữu hạn của đoạn. Ngoài ra, kích thước điểm 0 vô lý ở chỗ tổng các số 0 không phụ thuộc vào số hạng, nghĩa là số điểm "không" trong đoạn không ảnh hưởng đến kích thước của đoạn.

Do đó, giả định ban đầu về kích thước bằng 0 của một điểm toán học là SAI.

Do đó, có thể lập luận rằng một điểm toán học có kích thước khác không (hữu hạn). Vì điểm không chỉ thuộc về đoạn thẳng mà còn thuộc về không gian chứa đoạn thẳng nên nó có chiều không gian, nghĩa là điểm toán học có thể tích. Q.E.D.

Hậu quả.

Chứng minh trên, được thực hiện với sự trợ giúp của bộ máy toán học nhóm đàn em Mẫu giáo thấm nhuần niềm tự hào về trí tuệ vô biên của các linh mục và các bậc thầy của "nữ hoàng của tất cả các ngành khoa học", người đã cố gắng vượt qua hàng thiên niên kỷ và bảo tồn cho hậu thế ở dạng nguyên bản ảo tưởng cổ xưa của nhân loại.

Nhận xét

Alexander thân mến! Tôi không giỏi toán, nhưng có lẽ BẠN có thể cho tôi biết ở đâu và bởi ai đã tuyên bố rằng điểm bằng không? Một điều nữa là nó có một giá trị vô cùng nhỏ, theo quy ước, nhưng không phải bằng không. Do đó, bất kỳ phân khúc nào cũng có thể được coi là 0, vì có một phân khúc khác chứa bộ vô hạn phân khúc ban đầu, đại khái nói. Có lẽ chúng ta không nên nhầm lẫn giữa toán học và vật lý. Toán học là khoa học về sự tồn tại, vật lý là về sự tồn tại. Trân trọng.

Tôi đã đề cập chi tiết đến Achilles hai lần và nhiều lần lướt qua:
"Tại sao Achilles không đuổi kịp rùa"
"Achilles và con rùa - một nghịch lý trong một khối lập phương"

Có lẽ một giải pháp cho nghịch lý của Zeno là không gian rời rạc và thời gian là liên tục. Anh ấy xem xét, nếu bạn có thể, rằng cả hai đều rời rạc. Cơ thể có thể vẫn còn tại một số điểm trong không gian trong một thời gian. Nhưng nó không thể ở những nơi khác nhau cùng một lúc. Tất nhiên, đây là tất cả sự nghiệp dư, giống như toàn bộ cuộc đối thoại của chúng ta. Trân trọng.
Nhân tiện, nếu một điểm là 3D, thì kích thước của nó là bao nhiêu?

Ví dụ, sự rời rạc của thời gian xuất phát từ aporia "Mũi tên". “Đồng thời ở những nơi khác nhau” chỉ có thể là một electron trong số các nhà vật lý, những người về nguyên tắc không hiểu và không chấp nhận cấu trúc của ether hoặc cấu trúc của 4 chiều không gian. Tôi không biết bất kỳ ví dụ nào khác về hiện tượng này. Tôi thấy không có "sự nghiệp dư" trong cuộc trò chuyện của chúng tôi. Ngược lại, mọi thứ cực kỳ đơn giản: một điểm hoặc là không có thứ nguyên hoặc có kích thước; tính liên tục và tính vô hạn tồn tại hoặc không. Thứ ba không được đưa ra - TRUE hoặc FALSE! Nguyên tắc cơ bản Thật không may, các nhà toán học được xây dựng trên những giáo điều sai lầm, được chấp nhận từ sự thiếu hiểu biết cách đây 2500 năm.

Kích thước điểm phụ thuộc vào điều kiện của vấn đề đang được giải quyết và độ chính xác cần thiết. Ví dụ, nếu một thiết bị được thiết kế cho đồng hồ đeo tay, thì độ chính xác có thể bị giới hạn bởi kích thước của nguyên tử, nghĩa là tám chữ số thập phân. Bản thân nguyên tử ở đây sẽ là chất tương tự vật lý của điểm toán học. Bạn có thể cần độ chính xác 16 ký tự ở đâu đó; sau đó vai trò của một điểm sẽ được đóng bởi một hạt ether. Lưu ý rằng cuộc nói chuyện về độ chính xác được cho là "vô hạn" trong thực tế biến thành vô nghĩa, hay nói một cách nhẹ nhàng là vô lý.

Tôi vẫn không hiểu: điểm có tồn tại không? Nếu nó tồn tại một cách khách quan, do đó nó có một giá trị vật chất nhất định, nếu nó tồn tại một cách chủ quan, dưới dạng một sự trừu tượng của tâm trí chúng ta, thì nó có một giá trị toán học. Số không KHÔNG CÓ GÌ, nó không tồn tại, đây là định nghĩa trừu tượng về Không tồn tại trong toán học hay tính không trong vật lý. Điểm không tồn tại bởi chính nó bên ngoài mối quan hệ. Ngay khi điểm thứ hai xuất hiện, một phân đoạn xuất hiện - Cái gì đó, v.v. Chủ đề này có thể được phát triển vô tận. với tia cực tím

Dường như với tôi rằng tôi đã mang ví dụ tốt, nhưng có lẽ không đủ chi tiết. Về mặt khách quan, có một Thế giới mà khoa học nhận thức, và hiện nay chủ yếu nhận thức phương pháp toán học. Toán học nhận thức thế giới bằng cách xây dựng mô hình toán học. Để xây dựng các mô hình này, cụ thể là các khái niệm trừu tượng toán học cơ bản, chẳng hạn như: điểm, đường thẳng, tính liên tục, vô cực. Những khái niệm trừu tượng này là cơ bản vì không thể chia nhỏ và đơn giản hóa chúng nữa. Mỗi sự trừu tượng hóa cơ bản có thể là đầy đủ Thực tế khách quan(đúng) hay không (sai). Tất cả những điều trừu tượng trên ban đầu đều sai, bởi vì chúng mâu thuẫn với kiến ​​thức mới nhất về thế giới thực. Do đó, những điều trừu tượng này cản trở sự hiểu đúng thế giới thực. Người ta bằng cách nào đó có thể chịu đựng được điều này trong khi khoa học đang nghiên cứu thế giới 3 chiều. Tuy nhiên, sự trừu tượng của một điểm không có thứ nguyên và tính liên tục làm cho tất cả các thế giới có chiều cao hơn về nguyên tắc là không thể biết được!

Viên gạch của vũ trụ - một điểm - không thể là một khoảng trống. Mọi người đều biết rằng không có gì đến từ sự trống rỗng. Các nhà vật lý, tuyên bố ether không tồn tại, lấp đầy thế giới với sự trống rỗng. Tôi tin rằng toán học với điểm trống rỗng của nó đã đẩy họ đến sự ngu ngốc này. Tôi không nói về các điểm nguyên tử của thế giới có chiều cao hơn 4D. Vì vậy, đối với mỗi chiều, vai trò của một điểm toán học (có điều kiện) không thể chia được (có điều kiện) nguyên tử không thể chia cắt của thế giới này (không gian, vật chất). Đối với 3D - nguyên tử vật lý, đối với 4D - hạt ether, đối với 5D - nguyên tử trung gian, đối với 6D - nguyên tử tinh thần, v.v. Trân trọng,

Vì vậy, tuy nhiên, viên gạch của vũ trụ có một số giá trị tuyệt đối? Và theo ý kiến ​​​​của bạn, nó đại diện cho điều gì trong thế giới thanh tao hoặc tinh thần. Tôi sợ hỏi về bản thân các thế giới. Với sự quan tâm...

Các hạt ether (đây không phải là nguyên tử!) là các cặp electron-positron, trong đó các hạt tự quay tương đối với nhau với tốc độ ánh sáng. Điều này giải thích đầy đủ cấu trúc của tất cả các nucleon, sự lan truyền của các dao động điện từ và tất cả các hiệu ứng của cái gọi là chân không vật lý. Cấu trúc của nguyên tử tư duy không ai biết. Chỉ có bằng chứng rằng TẤT CẢ hầu hết thế giới cao hơn vật chất, nghĩa là chúng có các nguyên tử riêng. Cho đến vấn đề của Tuyệt đối. Bạn đang mỉa mai, mặc dù. Là lỗ sâu đục và tiếng nổ lớn Bạn có thấy nó đáng tin hơn không?

Điều trớ trêu ở đây là gì, chỉ hơi sửng sốt sau một loạt thông tin như vậy. Tôi, không giống như bạn, không phải là dân chuyên nghiệp và tôi cảm thấy khó nói bất cứ điều gì về không gian năm hoặc sáu chiều. Tôi hoàn toàn ủng hộ quan điểm lâu dài của chúng ta ... Theo như tôi hiểu, bạn chống lại tính liên tục của vật chất, và vấn đề là bạn có một nguyên tử "dân chủ" thực sự tồn tại. "Viên gạch của vũ trụ". Có thể tôi đã không chú ý, nhưng vẫn không ngần ngại lặp lại cấu trúc, thông số vật lý, kích thước, v.v. của nó.
Và cũng trả lời, liệu đơn vị có tồn tại trong chính nó, như vậy, bên ngoài bất kỳ mối quan hệ nào không? Cảm ơn bạn.