Vectơ chỉ phương của đường thẳng l bất kỳ vectơ khác không ( tôi, N) song song với đường thẳng này.

hãy để điểm m 1 (x 1 , y 1) và vectơ chỉ phương ( tôi, N) thì phương trình đường thẳng đi qua điểm m 1 theo phương của vectơ có dạng: . Phương trình này được gọi là phương trình chính tắc dài.

Thí dụ. Tìm phương trình của đường thẳng có vectơ chỉ phương (1, -1) và đi qua điểm A(1, 2).

Chúng ta sẽ tìm phương trình của đường thẳng mong muốn ở dạng: Ax+By+C= 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng , biến đổi nó. Lấy x + y - 3 = 0

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Cho hai điểm trên mặt phẳng m 1 (x 1 , y 1) và m 2 (x 2, y 2) thì phương trình đường thẳng đi qua các điểm này có dạng: . Nếu bất kỳ mẫu số nào bằng 0, thì tử số tương ứng phải được đặt bằng 0.

Thí dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1, 2) và B(3, 4).

Áp dụng công thức trên, ta được:

Phương trình của một đường thẳng từ một điểm và hệ số góc

Nếu phương trình tổng quát của đường thẳng À + Ngô + C= 0 đưa về dạng: và kí hiệu , khi đó phương trình thu được gọi là phương trình của đường thẳng với yếu tố độ dốc k.

Phương trình của một đường thẳng trong các đoạn

Nếu trong phương trình tổng quát đường thẳng À + Ngô + C= 0 hệ số TỪ¹ 0 thì chia cho C ta được: hoặc , ở đâu

Ý nghĩa hình học của các hệ số là hệ số một là tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục Ồ, một b- tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục OU.

Thí dụ. Phương trình tổng quát của một đường thẳng đã cho X – tại+ 1 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng này trong đoạn thẳng. A = -1, B = 1, C = 1, thì một = -1, b= 1. Phương trình của một đoạn thẳng trong các đoạn sẽ có dạng .

Thí dụ. Cho các đỉnh của tam giác A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Tìm phương trình đường cao vẽ từ đỉnh C.

Ta tìm được phương trình cạnh AB: ;

4x = 6y– 6; 2x – 3y + 3 = 0;

Phương trình chiều cao mong muốn có dạng: Ax+By+C= 0 hoặc y = kx + b.

k= . sau đó y= . Tại vì chiều cao đi qua điểm C thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình này: ở đâu b= 17. Tổng: .

Trả lời: 3 x + 2y – 34 = 0.

Bài thực hành №7

Tên lớp: Các đường cong bậc hai.

Mục đích của bài học: Tìm hiểu cách tạo các đường cong bậc 2, xây dựng chúng.

Chuẩn bị cho bài học: Nói lại tài liệu lý thuyết về chủ đề "Đường cong bậc 2"

Văn chương:

1. Dadayan A.A. "Toán học", 2004

Nhiệm vụ của bài học:

Thứ tự của bài học:

1. Xin phép làm việc
2. Hoàn thành nhiệm vụ
3. Trả lời các câu hỏi bảo mật.

1. Tên, mục đích của bài học, nhiệm vụ;
2. Hoàn thành nhiệm vụ;
3. Câu trả lời cho câu hỏi kiểm soát.

Kiểm soát câu hỏi cho offset:

1. Xác định các đường cong bậc hai (hình tròn, hình elip, hyperbola, parabola), viết các phương trình chính tắc của chúng.
2. Độ lệch tâm của một hình elip hoặc hyperbola được gọi là gì? Làm thế nào để tìm thấy nó?
3. Viết phương trình của một hyperbol đều

RUỘT THỪA

đường tròn là tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng cách đều một điểm gọi là tâm.

Cho tâm đường tròn là một điểm Ô(một; b), và khoảng cách đến bất kỳ điểm nào m(x;y) hình tròn bằng r. Sau đó ( x-a) 2 + (yb) 2 = r 2 – phương trình chính tắc của đường tròn có tâm Ô(một; b) và bán kính r.

Thí dụ. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn biết phương trình của nó là: 2 x 2 + 2y 2 - 8x + 5 y – 4 = 0.

Để tìm tọa độ của tâm và bán kính của đường tròn, phương trình này phải được rút gọn về dạng chính tắc. Để làm điều này, chọn hình vuông đầy đủ:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Từ đây ta tìm được tọa độ tâm Ô(2;-5/4); bán kính r = 11/4.

hình elip một tập hợp các điểm trong một mặt phẳng được gọi là tổng khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai điểm đã cho (gọi là tiêu điểm) là một giá trị không đổi lớn hơn khoảng cách giữa các tiêu điểm.

Tiêu điểm được biểu thị bằng các chữ cái F 1 , F Với, tổng khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của hình elip đến tiêu điểm là 2 một (2một > 2c), một- bán trục lớn; b- bán trục nhỏ.

Phương trình chính tắc của hình elip là: , trong đó một, b và c liên hệ với nhau bình đẳng: a 2 - b 2 \u003d c 2 (hoặc b 2 - a 2 \u003d c 2).

Hình dạng của hình elip được xác định bởi một đặc tính là tỷ lệ giữa độ dài tiêu cự với độ dài của trục chính và được gọi là độ lệch tâm. hoặc .

Tại vì theo định nghĩa 2 một> 2c, thì độ lệch tâm luôn được biểu thị phần thích hợp, I E. .

Thí dụ. Viết phương trình của một elip có các tiêu điểm là F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), trục lớn bằng 2.

Phương trình elip có dạng: .

Khoảng cách giữa các tiêu điểm: 2 c= , do đó, một 2 – b 2 = c 2 = . Theo điều kiện 2 một= 2, vậy một = 1, b= Phương trình mong muốn của hình elip sẽ có dạng: .

cường điệu gọi là tập hợp các điểm trong mặt phẳng, hiệu khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai điểm đã cho, gọi là tiêu điểm, là một giá trị không đổi, nhỏ hơn khoảng cách giữa các tiêu điểm.

Phương trình chính tắc của một hyperbola có dạng: hoặc , trong đó một, b và cđược liên kết bởi sự bình đẳng a 2 + b 2 = c 2 . Hyperbola đối xứng với giữa đoạn nối các tiêu điểm và đối với các trục tọa độ. Tiêu điểm được biểu thị bằng các chữ cái F 1 , F 2 , khoảng cách giữa các tiêu điểm - 2 Với, sự khác biệt về khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của hyperbola đến tiêu điểm là 2 một (2một < 2c). trục 2 mộtđược gọi là trục thực của hyperbola, trục 2 b là trục ảo của hyperbol. Một hyperbola có hai tiệm cận có phương trình là

Độ lệch tâm của một hyperbola là tỷ lệ giữa khoảng cách giữa các tiêu điểm với chiều dài của trục thực: hoặc. Tại vì theo định nghĩa 2 một < 2c, thì độ lệch tâm của hyperbola luôn được biểu thị bằng phân số không đúng, I E. .

Nếu độ dài của trục thực bằng độ dài của trục ảo, tức là một = b, ε = , khi đó hypebol được gọi là bằng nhau.

Thí dụ. Viết phương trình chính tắc của một hyperbol nếu độ lệch tâm của nó bằng 2 và các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của elip có phương trình

Tìm tiêu cự c 2 = 25 – 9 = 16.

Đối với cường điệu: c 2 = một 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2một; c 2 = 4một 2 ; một 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Sau đó - phương trình mong muốn của hyperbola.

hình parabol là tập hợp các điểm trong mặt phẳng cách đều điểm đã cho, được gọi là tiêu điểm, và một đường thẳng cho trước, được gọi là đường chuẩn.

Tiêu điểm của một parabol được kí hiệu bằng chữ F, giám đốc - đ, khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là r.

Phương trình chính tắc của một parabol có tiêu điểm nằm trên trục x là:

y 2 = 2px hoặc y 2 = -2px

x = -P/2, x = P/2

Phương trình chính tắc của một parabol có tiêu điểm nằm trên trục y là:

X 2 = 2py hoặc X 2 = -2py

phương trình Directrix, tương ứng tại = -P/2, tại = P/2

Thí dụ. Trên một parabol tại 2 = 8X tìm một điểm có khoảng cách từ directrix là 4.

Từ phương trình parabol, chúng ta có được rằng r = 4. r=x + P/2 = 4; Do đó:

x = 2; y 2 = 16; y= ±4. Điểm tìm kiếm: m 1 (2; 4), m 2 (2; -4).

Thực hành số 8

Tên lớp: Hành động kết thúc số phứcở dạng đại số. Giải thích hình học của số phức.

Mục đích của bài học: Tìm hiểu cách hoạt động trên các số phức.

Chuẩn bị cho bài học:Ôn tập tài liệu lý thuyết về chủ đề “Số phức”.

Văn chương:

1. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. "yếu tố toán học cao hơn”, 2008

Nhiệm vụ của bài học:

1. Tính toán:

1) tôi 145 + tôi 147 + tôi 264 + tôi 345 + tôi 117 ;

2) (tôi 64 + tôi 17 + tôi 13 + tôi 82)( tôi 72 – tôi 34);

Điều gì là bình thường? Nói một cách đơn giản, pháp tuyến là vuông góc. Tức là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. Rõ ràng là bất kỳ đường thẳng nào cũng có vô số chúng (cũng như các vectơ chỉ hướng) và tất cả các vectơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ thẳng hàng (đồng hướng hay không - không quan trọng).

Xử lý chúng thậm chí còn dễ dàng hơn so với các vectơ chỉ hướng:

Nếu đường thẳng được cho bởi phương trình tổng quát trong hệ chữ nhật tọa độ thì vectơ là vectơ pháp tuyến của đoạn thẳng đã cho.

Nếu tọa độ của vectơ chỉ phương phải được “rút ra” một cách cẩn thận khỏi phương trình, thì tọa độ của vectơ pháp tuyến chỉ đơn giản là được “loại bỏ”.

Vectơ pháp tuyến luôn vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng. Chúng tôi sẽ xác minh tính trực giao của các vectơ này bằng cách sử dụng sản phẩm chấm:

Tôi sẽ đưa ra các ví dụ với các phương trình tương tự như đối với vectơ chỉ phương:

Có thể viết phương trình đường thẳng biết một điểm và một vectơ pháp tuyến không? Nếu biết vectơ pháp tuyến, thì hướng của đường thẳng nhất cũng được xác định duy nhất - đây là một "cấu trúc cứng nhắc" với góc 90 độ.

Làm thế nào để viết phương trình của một đường thẳng cho một điểm và một vectơ pháp tuyến?

Nếu biết một số điểm thuộc đường thẳng và vectơ pháp tuyến của đường thẳng này thì phương trình của đường thẳng này được biểu diễn bằng công thức:

Lập phương trình đường thẳng cho một điểm và một vectơ pháp tuyến. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Giải: Sử dụng công thức:

Phương trình tổng quát của đường thẳng thu được, hãy kiểm tra:

1) "Xóa" tọa độ của vectơ pháp tuyến khỏi phương trình: - vâng, thực sự, vectơ ban đầu được lấy từ điều kiện (hoặc vectơ phải thẳng hàng với vectơ ban đầu).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình không:

Bình đẳng thực sự.

Sau khi chúng tôi tin rằng phương trình là chính xác, chúng tôi sẽ hoàn thành phần thứ hai, dễ dàng hơn của nhiệm vụ. Ta rút ra vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Câu trả lời:

Trong bản vẽ, tình huống như sau:

Đối với mục đích đào tạo, một nhiệm vụ tương tự cho quyết định độc lập:

Viết phương trình đường thẳng cho trước một điểm và Vector bình thường. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Phần cuối cùng của bài học sẽ được dành cho những điều ít phổ biến hơn, nhưng cũng loài quan trọng phương trình đường thẳng trên mặt phẳng

Phương trình của một đoạn thẳng trong các đoạn.
Phương trình đường thẳng dạng tham số

Phương trình của một đường thẳng trong các đoạn có dạng , trong đó là các hằng số khác không. Một số loại phương trình không thể được biểu diễn ở dạng này, chẳng hạn như tỷ lệ thuận trực tiếp (vì số hạng tự do bằng 0 và không có cách nào để đưa một số hạng ở vế phải).

Nói theo nghĩa bóng, đây là một loại phương trình "kỹ thuật". Nhiệm vụ thông thường là biểu diễn phương trình tổng quát của một đường thẳng dưới dạng phương trình của một đoạn thẳng. Tại sao nó thuận tiện? Phương trình của một đường thẳng trong các đoạn cho phép bạn nhanh chóng tìm thấy các giao điểm của một đường thẳng với trục tọa độ, điều này rất quan trọng trong một số vấn đề của toán học cao hơn.

Tìm giao điểm của đường thẳng với trục. Chúng tôi đặt lại "y" và phương trình có dạng . Điểm mong muốn được lấy tự động: .

Tương tự với trục là giao điểm của đường thẳng với trục y.

Các hành động mà tôi vừa giải thích chi tiết được thực hiện bằng lời nói.

Cho một đường thẳng. Lập phương trình đường thẳng chia đoạn và xác định giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

Lời giải: Hãy đưa phương trình về dạng . Đầu tiên chúng ta chuyển số hạng tự do sang bên phải:

Để có được một đơn vị ở bên phải, chúng ta chia mỗi số hạng của phương trình cho -11:

Chúng tôi tạo các phân số ba tầng:

Các giao điểm của đường thẳng với các trục tọa độ đã cho là:

Câu trả lời:

Nó vẫn còn để gắn thước kẻ và vẽ một đường thẳng.

Dễ dàng nhận thấy rằng đường thẳng này được xác định duy nhất bởi các đoạn màu đỏ và màu xanh lá cây, do đó có tên - “phương trình của một đoạn thẳng trong các đoạn”.

Tất nhiên, các điểm không quá khó để tìm ra từ phương trình, nhưng vấn đề vẫn hữu ích. Thuật toán được xem xét sẽ được yêu cầu để tìm các giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ, đưa phương trình đường thẳng cấp hai về dạng chính tắc và trong một số bài toán khác. Do đó, một vài đường thẳng cho một giải pháp độc lập:

Viết phương trình của một đoạn thẳng và xác định các giao điểm của nó với các trục tọa độ.

Giải pháp và câu trả lời ở cuối. Đừng quên rằng nếu bạn muốn, bạn có thể vẽ mọi thứ.

Cách viết phương trình tham số của một đường thẳng?

Các phương trình tham số của một đường thẳng phù hợp hơn với các đường thẳng trong không gian, nhưng nếu không có chúng, phần tóm tắt của chúng ta sẽ trở nên mồ côi.

Nếu biết một số điểm thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng này thì phương trình tham số của đường thẳng này được cho bởi hệ:

Lập phương trình tham số của đường thẳng tạo bởi một điểm và một vectơ chỉ phương

Giải pháp đã kết thúc trước khi nó có thể bắt đầu:

Tham số "te" có thể lấy bất kỳ giá trị nào từ "âm vô cực" đến "cộng vô cực" và mỗi giá trị tham số tương ứng với một điểm cụ thể của mặt phẳng. Ví dụ: nếu , thì chúng tôi nhận được một điểm .

Bài toán nghịch đảo: làm thế nào để kiểm tra xem điểm điều kiện có thuộc một đường cho trước hay không?

Hãy để chúng tôi thay thế các tọa độ của điểm vào các phương trình tham số thu được:

Từ cả hai phương trình suy ra , tức là hệ thống nhất quán và có nghiệm duy nhất.

Hãy xem xét các nhiệm vụ có ý nghĩa hơn:

Lập phương trình tham số của đường thẳng

Giải: Theo điều kiện, đường thẳng đã cho có dạng tổng quát. Để lập phương trình tham số của một đường thẳng, bạn cần biết vectơ chỉ phương của nó và một số điểm thuộc đường thẳng này.

Hãy tìm vectơ chỉ phương:

Bây giờ bạn cần tìm một số điểm thuộc đường thẳng (bất kỳ điểm nào cũng được), vì mục đích này, thật thuận tiện khi viết lại phương trình tổng quát dưới dạng phương trình có hệ số góc:

Tất nhiên, nó đòi hỏi quan điểm

Ta lập phương trình tham số của đường thẳng:

Và cuối cùng, một nhỏ nhiệm vụ sáng tạo cho một giải pháp độc lập.

Lập phương trình tham số của một đường thẳng khi biết điểm thuộc nó và vectơ pháp tuyến

Nhiệm vụ có thể được hoàn thành cách duy nhất. Một trong những phiên bản của giải pháp và câu trả lời ở cuối.

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2: Lời giải: Tìm hệ số góc:

Chúng tôi soạn phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và hệ số góc:

Câu trả lời:

Ví dụ 4: Cách giải: Ta sẽ lập phương trình đường thẳng theo công thức:

Câu trả lời:

Ví dụ 6: Giải: Sử dụng công thức:

Câu trả lời: (trục y)

Ví dụ 8: Dung dịch: Hãy lập phương trình đường thẳng qua hai điểm:

Nhân cả hai vế với -4:

Và chia cho 5:

Câu trả lời:

Ví dụ 10: Dung dịch: Sử dụng công thức:

Chúng tôi giảm -2:

Véc tơ chỉ phương:
Câu trả lời:

Ví dụ 12:
một) Dung dịch: Hãy biến đổi phương trình:

Theo cách này:

Câu trả lời:

b) Dung dịch: Hãy biến đổi phương trình:

Theo cách này:

Câu trả lời:

Ví dụ 15: Dung dịch: Đầu tiên ta viết phương trình tổng quát của đường thẳng cho trước một điểm và véc tơ pháp tuyến :

Nhân với 12:

Chúng tôi nhân thêm 2 để sau khi mở dấu ngoặc thứ hai, loại bỏ phân số:

Véc tơ chỉ phương:
Ta lập phương trình tham số của đường thẳng qua điểm và véc tơ chỉ phương :
Câu trả lời:

Các bài toán đơn giản nhất về đường thẳng trên mặt phẳng.
Sự sắp xếp lẫn nhau của các dòng. Góc giữa các dòng

Ta tiếp tục xét các đường vô-hữu này.

Làm thế nào để tìm khoảng cách từ một điểm đến một dòng?
Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song?
Làm thế nào để tìm góc giữa hai dòng?

Sự sắp xếp lẫn nhau của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng cho bởi phương trình ở dạng tổng quát:

Trường hợp hội trường hát theo điệp khúc. Hai dòng có thể:

1) trận đấu;

2) song song: ;

3) hoặc cắt nhau tại một điểm: .

Hãy nhớ dấu hiệu toán học ngã tư, nó sẽ xảy ra rất thường xuyên. Mục nhập có nghĩa là dòng cắt với dòng tại điểm.

Làm thế nào để xác định vị trí tương đối của hai đoạn thẳng?

Hãy bắt đầu với trường hợp đầu tiên:

Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi các hệ số tương ứng của chúng tỉ lệ với nhau, nghĩa là tồn tại một số "lambda" mà đẳng thức giữ nguyên

Hãy xem xét các đường thẳng và lập ba phương trình từ các hệ số tương ứng: . Do đó, từ mỗi phương trình, các đường này trùng nhau.

Thật vậy, nếu tất cả các hệ số của phương trình nhân với -1 (đổi dấu) và tất cả các hệ số của phương trình giảm đi 2, bạn sẽ có cùng một phương trình: .

Trường hợp thứ hai khi các đường thẳng song song:

Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hệ số của chúng tại các biến tỷ lệ thuận: , nhưng .

Ví dụ, xét hai đường thẳng. Ta kiểm tra tính tỷ lệ của các hệ số tương ứng đối với các biến:

Tuy nhiên, rõ ràng là .

Và trường hợp thứ ba, khi các đường giao nhau:

Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi hệ số của chúng tại các biến KHÔNG tỷ lệ thuận, nghĩa là KHÔNG có giá trị "lambda" nào thỏa mãn đẳng thức

Vì vậy, đối với các đường thẳng, chúng tôi sẽ soạn một hệ thống:

Từ phương trình thứ nhất suy ra , và từ phương trình thứ hai: , có nghĩa là hệ không nhất quán (không có nghiệm). Như vậy, các hệ số tại các biến không tỷ lệ thuận.

Kết luận: các đường thẳng cắt nhau

Trong các bài toán thực tế, sơ đồ giải pháp vừa được xem xét có thể được sử dụng. Nhân tiện, nó rất giống với thuật toán kiểm tra tính cộng tuyến của các vectơ. Nhưng có một gói văn minh hơn:

Tìm vị trí tương đối của các đường thẳng:

Lời giải dựa vào việc nghiên cứu vectơ chỉ phương của đường thẳng:

a) Từ phương trình ta tìm được vectơ chỉ phương của các đường thẳng: .

, do đó các vectơ không thẳng hàng và các đường thẳng cắt nhau.

b) Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Các đường thẳng có cùng vectơ chỉ phương, nghĩa là chúng song song hoặc trùng nhau. Ở đây yếu tố quyết định là không cần thiết.

Rõ ràng, các hệ số của các ẩn số là tỷ lệ thuận, trong khi .

Hãy tìm hiểu xem đẳng thức có đúng không:

Bằng cách này,

c) Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Hãy tính định thức, bao gồm các tọa độ của các vectơ này:
, do đó, các vectơ chỉ phương là thẳng hàng. Các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Hệ số tỷ lệ "lambda" có thể được tìm thấy trực tiếp bằng tỷ lệ của các vectơ chỉ hướng cộng tuyến. Tuy nhiên, cũng có thể thông qua các hệ số của chính các phương trình: .

Bây giờ hãy tìm hiểu xem đẳng thức có đúng không. Cả hai điều khoản miễn phí đều bằng không, vì vậy:

Giá trị kết quả thỏa mãn phương trình này (bất kỳ số nào thường thỏa mãn nó).

Do đó, các dòng trùng nhau.

Làm thế nào để vẽ một đường thẳng song song với một đường thẳng nhất định?

Đường thẳng được cho bởi phương trình . Viết phương trình đường thẳng song song đi qua điểm.

Lời giải: Kí hiệu đoạn thẳng chưa biết bằng chữ . Điều kiện nói gì về nó? Đường thẳng đi qua điểm. Và nếu các đường thẳng song song, thì rõ ràng là vectơ chỉ đạo của đường "ce" cũng phù hợp để xây dựng đường "te".

Chúng tôi lấy ra vectơ chỉ phương từ phương trình:

Hình học của ví dụ trông đơn giản:

Xác minh phân tích bao gồm các bước sau:

1) Ta kiểm tra xem các đường thẳng có cùng phương với vectơ không (nếu phương trình của đường thẳng không được rút gọn hợp lý thì các vectơ sẽ thẳng hàng).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình kết quả hay không.

Xác minh phân tích trong hầu hết các trường hợp đều dễ dàng thực hiện bằng lời nói. Nhìn vào hai phương trình và nhiều bạn sẽ nhanh chóng tìm ra cách các đường thẳng song song mà không cần bất kỳ hình vẽ nào.

Các ví dụ để tự giải quyết hôm nay sẽ là sáng tạo.

Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm song song với đường thẳng nếu

Con đường ngắn nhất là ở cuối.

Làm thế nào để tìm giao điểm của hai đường thẳng?

nếu thẳng cắt nhau tại điểm thì tọa độ của nó là nghiệm của hệ Các phương trình tuyến tính

Làm thế nào để tìm giao điểm của các đường thẳng? Giải quyết hệ thống.

Của bạn đây ý nghĩa hình học hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số là hai đường thẳng cắt nhau (thường gặp nhất) trong mặt phẳng.

Tìm giao điểm của các đường

Giải pháp: Có hai cách để giải quyết - đồ họa và phân tích.

cách đồ họa là chỉ cần vẽ các đường đã cho và tìm ra điểm giao nhau trực tiếp từ bản vẽ:

Đây là quan điểm của chúng tôi: . Để kiểm tra, bạn nên thay tọa độ của nó vào từng phương trình của một đường thẳng, chúng phải khớp cả chỗ đó và chỗ kia. Nói cách khác, tọa độ của một điểm là nghiệm của hệ. Trên thực tế, chúng ta đã xem xét một phương pháp đồ thị để giải một hệ phương trình tuyến tính với hai phương trình, hai ẩn số.

Tất nhiên, phương pháp đồ họa không tệ, nhưng có những nhược điểm đáng chú ý. Không, vấn đề không phải là học sinh lớp bảy quyết định theo cách này, vấn đề là sẽ mất thời gian để vẽ một bức vẽ CHÍNH XÁC và CHÍNH XÁC. Ngoài ra, một số đường không dễ dựng như vậy và bản thân giao điểm có thể ở đâu đó trong vương quốc thứ ba mươi bên ngoài tờ sổ ghi chép.

Do đó, sẽ tốt hơn nếu tìm kiếm điểm giao nhau bằng phương pháp phân tích. Hãy giải hệ thống:

Để giải hệ phương trình, phương pháp cộng các phương trình đã được sử dụng.

Việc xác minh là tầm thường - tọa độ của giao điểm phải thỏa mãn từng phương trình của hệ thống.

Tìm giao điểm của các đường thẳng nếu chúng cắt nhau.

Đây là một ví dụ tự làm. Thật thuận tiện để chia vấn đề thành nhiều giai đoạn. Phân tích các điều kiện cho thấy rằng nó là cần thiết:
1) Viết phương trình đường thẳng.
2) Viết phương trình đường thẳng.
3) Tìm vị trí tương đối của các đường thẳng.
4) Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì tìm giao điểm.

Sự phát triển của một thuật toán hành động là điển hình cho nhiều vấn đề hình học và tôi sẽ tập trung nhiều lần vào vấn đề này.

Giải pháp hoàn chỉnh và câu trả lời ở cuối:

Đường thẳng vuông góc. Khoảng cách từ một điểm đến một dòng.
Góc giữa các dòng

Làm thế nào để vẽ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước?

Đường thẳng được cho bởi phương trình . Viết phương trình đường vuông góc đi qua một điểm.

Giải pháp: Giả định rằng . Sẽ thật tuyệt nếu tìm được vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vì các đường thẳng vuông góc nên thủ thuật rất đơn giản:

Từ phương trình, chúng ta “loại bỏ” vectơ pháp tuyến: , đây sẽ là vectơ chỉ đạo của đường thẳng.

Chúng tôi soạn phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một vectơ chỉ đạo:

Câu trả lời:

Hãy mở bản phác thảo hình học:

xác minh phân tích các giải pháp:

1) Trích xuất các vectơ chỉ phương từ các phương trình và sử dụng tích vô hướng của các vectơ, chúng ta kết luận rằng các đường thẳng thực sự vuông góc: .

Nhân tiện, bạn có thể sử dụng các vectơ bình thường, nó thậm chí còn dễ dàng hơn.

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình kết quả không .

Một lần nữa, việc xác minh rất dễ thực hiện bằng lời nói.

Tìm giao điểm của các đường vuông góc nếu biết phương trình và dấu chấm.

Đây là một ví dụ tự làm. Có một số hành động trong nhiệm vụ, vì vậy sẽ thuận tiện khi sắp xếp giải pháp theo từng điểm.

Khoảng cách từ điểm đến đường

Khoảng cách trong hình học theo truyền thống được biểu thị bằng chữ Hy Lạp "p", ví dụ: - khoảng cách từ điểm "m" đến đường thẳng "d".

Khoảng cách từ điểm đến đường được biểu thị bằng công thức

Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Giải pháp: tất cả những gì bạn cần làm là cẩn thận điền các số vào công thức và thực hiện các phép tính:

Câu trả lời:

Hãy thực hiện bản vẽ:

Khoảng cách tìm được từ điểm đến đường thẳng bằng chính độ dài của đoạn màu đỏ. Nếu bạn vẽ trên giấy ca rô theo tỷ lệ 1 đơn vị. \u003d 1 cm (2 ô), thì khoảng cách có thể được đo bằng thước thông thường.

Hãy xem xét một nhiệm vụ khác theo cùng một bản vẽ:

Cách dựng một điểm đối xứng qua một đường thẳng?

Nhiệm vụ là tìm tọa độ của điểm đối xứng qua điểm đối với đường thẳng . Tôi đề xuất tự mình thực hiện các hành động, tuy nhiên, tôi sẽ chỉ định thuật toán giải pháp với kết quả trung gian:

1) Tìm đường thẳng vuông góc với một đường thẳng.

2) Tìm giao điểm của các đường thẳng: .

Trong hình học, góc giữa hai đường thẳng được coi là góc NHỎ HƠN, từ đó nó tự động suy ra không thể tù. Trong hình, góc được chỉ định bởi vòng cung màu đỏ không được coi là góc giữa các đường giao nhau. Và góc "xanh" của nó hoặc góc "mâm xôi" có hướng ngược lại được coi là như vậy.

Nếu các đường thẳng vuông góc với nhau thì bất kỳ góc nào trong 4 góc đều có thể coi là góc giữa chúng.

Các góc khác nhau như thế nào? Định hướng. Đầu tiên, hướng "cuộn" góc về cơ bản là quan trọng. Thứ hai, một góc định hướng tiêu cực được viết bằng dấu trừ, ví dụ: nếu .

Tại sao tôi nói điều này? Có vẻ như bạn có thể xoay sở với khái niệm thông thường về một góc. Thực tế là trong các công thức mà chúng ta sẽ tìm thấy các góc, nó có thể dễ dàng hóa ra kết quả âm tính và nó không nên làm bạn ngạc nhiên. Một góc có dấu trừ cũng không tệ hơn và có ý nghĩa hình học rất cụ thể. Trên bản vẽ cho góc âm hãy chắc chắn chỉ ra hướng của nó (theo chiều kim đồng hồ) bằng một mũi tên.

Dựa trên những điều đã nói ở trên, giải pháp được chính thức hóa một cách thuận tiện theo hai bước:

1) Tính tích vô hướng của các vectơ chỉ phương của các đường thẳng:
nên các đường thẳng không vuông góc.

2) Ta tìm góc giữa hai đường thẳng theo công thức:

Bằng cách sử dụng chức năng trái ngược dễ dàng tìm thấy góc của chính nó. Trong trường hợp này, chúng ta sử dụng độ lẻ của tiếp tuyến cung:

Câu trả lời:

Trong câu trả lời, chúng tôi chỉ ra giá trị chính xác, cũng như giá trị gần đúng (tốt nhất là cả về độ và radian), được tính bằng máy tính.

Thôi, trừ, nên trừ, không sao cả. Đây là một minh họa hình học:

Không có gì đáng ngạc nhiên khi góc hóa ra có hướng âm, bởi vì trong điều kiện của bài toán, số đầu tiên là một đường thẳng và "sự xoắn" của góc bắt đầu chính xác từ đó.

Ngoài ra còn có một giải pháp thứ ba. Ý tưởng là tính góc giữa các vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Ở đây chúng ta không nói về một góc định hướng, mà là “chỉ về một góc”, tức là kết quả chắc chắn sẽ khả quan. Điều hấp dẫn là nó có thể xảy ra góc tù(không phải cái bạn muốn). Trong trường hợp này, bạn sẽ phải đảm bảo rằng góc giữa các đường thẳng là một góc nhỏ hơn và trừ cung cosin thu được từ radian “pi” (180 độ).

Tìm góc giữa các đường thẳng.

Đây là một ví dụ tự làm. Cố gắng giải quyết nó theo hai cách.

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 3: Lời giải: Tìm vectơ chỉ phương của đoạn thẳng:

Chúng ta sẽ soạn phương trình của đường thẳng mong muốn bằng cách sử dụng điểm và vectơ chỉ phương

Lưu ý: ở đây phương trình đầu tiên của hệ thống được nhân với 5, sau đó phương trình thứ 2 được trừ theo số hạng từ phương trình thứ nhất.
Câu trả lời:

Nghề nghiệp 9 . Mặt phẳng và đường thẳng trong không gian.

9.1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. Vector bình thường.

9.3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Sự sắp xếp tương hỗ của hai mặt phẳng, một đường thẳng và mặt phẳng chứa hai đường thẳng trong không gian.

9.1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. Vector bình thường.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian có dạng
- hệ số,
- tọa độ điểm tùy ý máy bay.

Phương trình này thu được bằng cách giải bài toán sau.

Nhiệm vụ 1. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua một điểm cho trước
vuông góc với véc tơ
.

Dung dịch. Biểu thị mặt phẳng mong muốn thông qua
. Chúng tôi sử dụng chuỗi kết luận sau:

Chúng tôi lưu ý sự tương tự hoàn toàn giữa phương trình tổng quát của một đường thẳng trên một mặt phẳng
và phương trình tổng quát của một mặt phẳng trong không gian.

Từ lời giải của bài toán có thể thấy rằng từ phương trình tổng quát của mặt phẳng ta có thể tìm ngay được vectơ
vuông góc với mặt phẳng. Vectơ này được gọi là thông thường(hoặc Vector bình thường) lên máy bay. Chẳng hạn, từ phương trình tổng quát của mặt phẳng
(trong phương trình này) chúng ta có một vectơ pháp tuyến như vậy
. hệ số không có tải ngữ nghĩa đặc biệt; về nó, người ta chỉ có thể nói rằng khi
mặt phẳng đi qua gốc tọa độ
, và khi
không đi qua gốc tọa độ. Cũng cần lưu ý rằng phương trình
đặt trong không gian
mặt phẳng với bình thường
, chứng tỏ mặt phẳng đã cho song song với trục
. Đó là cùng một phương trình
trên bề mặt
xác định một dòng.

Tương tự, phương trình
trong không gian
biểu diễn phương trình tổng quát của mặt phẳng tọa độ
. Pháp tuyến của mặt phẳng này là vectơ
- vectơ đơn vị của hướng trục dương
.

Khi tìm phương trình của các mặt phẳng, người ta thường sử dụng điều kiện về sự trực giao của hai vectơ (như bài toán 1) và điều kiện về sự đồng phẳng của ba vectơ.

ví dụ 1. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm.

Dung dịch. Đầu tiên, hãy đảm bảo rằng ba điểm đã cho không nằm trên cùng một đường thẳng (nếu ba điểm này thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng chứa các điểm đã cho). Hãy tìm các vectơ . Tọa độ của chúng không tỉ lệ. Vì vậy các điểm
không nằm trên một đường thẳng và chỉ có một mặt phẳng đi qua chúng. Tìm mặt phẳng này, mà chúng tôi biểu thị
, hai lối.

1) - đồng phẳng
sản phẩm hỗn hợp của vectơ
số không

Phương trình tổng quát của mặt phẳng
.

2)
- véc tơ pháp tuyến với mặt phẳng
, tại vì theo định nghĩa của một sản phẩm chéo vuông góc với các vectơ
, song song
. Lý luận tiếp theo lặp lại giải pháp của Vấn đề 1.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng
.

ví dụ 2. Tìm phương trình của mặt phẳng
đi qua điểm
song song với mặt phẳng
:
.

Dung dịch.
: - véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Vectơ trùng phương làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Nó vẫn còn để lặp lại giải pháp của vấn đề 1.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng
.

ví dụ 3.Tìm thấy Góc nghiêng, theo đó các mặt phẳng cắt nhau
và
.

:
,
:
.

Dung dịch. Góc nghiêng ( tù hoặc nhọn) giữa các mặt phẳng bằng góc giữa các pháp tuyến của chúng.

:,
:.

- góc tù,

. Góc nhị diện cấp tính giữa
và
bằng
.

9.2. Đường thẳng trong không gian
:phương trình chính tắc, tham số.

một). thẳng trong không gian
có thể được định nghĩa là giao tuyến của hai mặt phẳng. Do đó, hệ phương trình hai mặt phẳng
,

(1)

xác định một dòng trong không gian
với điều kiện là các tiêu chuẩn
,
các mặt phẳng này không song song. Nếu một và
song song thì các mặt phẳng
,
song song hoặc giống nhau. Trong cả hai trường hợp, hệ (1) sẽ không còn là đường thẳng.

Bình luận. Đặt hệ thống trực tiếp (1) không thuận tiện lắm, vì không thể nhìn thấy hướng của đường thẳng cũng như bất kỳ điểm nào trên đường thẳng này. Thông tin này chỉ có thể được lấy từ hệ thống (1) thông qua các tính toán bổ sung.

Thích hợp hơn về mặt nhận xét được đưa ra là các phương trình chính tắc và tham số của đường thẳng trong
.

2). Phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian
trông giống như

. (2)

Nơi đây
- các số đã cho, chúng có ý nghĩa hình học như sau:
- tọa độ điểm cố định
trên một đường thẳng;

- tọa độ vectơ chỉ phương dài.

- tọa độ của một điểm tùy ý trên một đường thẳng.

Phương trình tham số của đường thẳng trong
trông giống như

(3)

Ý nghĩa hình học của các đại lượng
và số lượng
như trên.

Các phương trình (2), (3) thu được bằng cách giải biến thể không gian nhiệm vụ 2 từ bài 8.

Bình luận.Một đường thẳng trên mặt phẳng có pháp tuyến, giống như vectơ chỉ hướng của một đường thẳng, cho phép bạn đặt hướng của đường thẳng này. Đối với một đường thẳng trong không gian, vectơ pháp tuyến không có ý nghĩa, tại vì có vô số vectơ vuông góc với đường không gian với các hướng khác nhau và một vectơ đã cho vuông góc với đường thẳng này không đưa ra câu trả lời rõ ràng về hướng của nó.

Ví dụ 4. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng
, được định nghĩa là giao tuyến của hai mặt phẳng
:
và
:
.

hệ phương trình
định nghĩa một đường thẳng
trong không gian vì vectơ pháp tuyến với mặt phẳng
và
, và đây là các vectơ
và
không song song. Hãy tìm hai điểm cố định
trên một đường thẳng
.

1. Thay giá trị vào hệ thống
, chúng tôi nhận được

.

Cảm giác hình học của điểm
: đây là giao điểm của đường thẳng
với máy bay
.

2. Thay giá trị vào hệ thống
, chúng tôi nhận được

.

chấm
, là giao điểm của đường thẳng
với máy bay
.

3. - véc tơ chỉ phương thẳng
.

4. tọa độ véc tơ
tỷ lệ thuận

. Đây là phương trình chính tắc của đường thẳng
.

5. Nhận xét. Vectơ chỉ phương thẳng
có thể được tìm thấy bởi các vectơ
và
. Để làm điều này, bạn cần tính toán sản phẩm chéo.

véc tơ vuông góc với các vectơ và
đồng thời. Do đó, song song với một đường thẳng
và phục vụ người khác (so với véc tơ ) làm vectơ chỉ phương của đường thẳng này. Nhân tiện:
, cũng chỉ ra sự song song của vectơ dài
. Với cách tiếp cận này, phương trình chính tắc của đường thẳng
thu được sau khi thực hiện các điểm 1., 4. và 5. của quyết định trên. Chỉ có câu trả lời sẽ xuất hiện ở dạng
.

Ví dụ 5. Tìm phương trình tham số của một đường thẳng
đi qua điểm
vuông góc với mặt phẳng
:
.

Dung dịch.
- véc tơ pháp tuyến với mặt phẳng
. Vectơ này song song với đường thẳng
và, do đó, là vectơ chỉ đạo của nó. Do đó,

Ví dụ 6. Tìm phương trình chính tắc và tham số của một đường thẳng
đi qua điểm
song song với một đường thẳng
:
.

Dung dịch.
- véc tơ chỉ phương thẳng
. Vectơ đó là vectơ chỉ phương của đoạn thẳng mong muốn
. Do đó,

tọa độ véc tơ
tỷ lệ thuận

- phương trình chính tắc của dòng


- phương trình tham số của đường thẳng
.

9.3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Sự sắp xếp lẫn nhau của hai mặt phẳng, một đường thẳng và một mặt phẳng, hai đường thẳng trong không gian.

Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng được tìm thấy bởi công thức
.

Phần lớn thông tin hữu ích về vị trí tương đối của hai mặt phẳng, một đường thẳng và một mặt phẳng, hai đường thẳng trong không gian có thể được rút ra từ các vectơ chỉ phương của các đường thẳng và các pháp tuyến của các mặt phẳng.

Ví dụ 8. tìm khoảng cách từ điểm
lên máy bay
.

Dung dịch. .

Ví dụ 9. Tại giá trị nào của tham số chiếc máy bay
:
song song với mặt phẳng
:
?

Dung dịch. Các mặt phẳng song song khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng thẳng hàng
và
, I E. nên là
. Bình đẳng kép này không đúng cho bất kỳ , tại vì
. Do đó, các máy bay
và
không song song cho tất cả các giá trị tham số .

Ví dụ 10. Tại giá trị nào của các tham số
dài
:
nằm trong mặt phẳng
:
?

Theo phương trình chính tắc của đường thẳng
chúng tôi viết ra các phương trình tham số của nó

.

tất cả các điểm của dòng
thỏa mãn phương trình mặt phẳng

câu trả lời:
.

Bạn có thể giải quyết vấn đề này theo một cách khác.
- véc tơ chỉ phương thẳng
và
là một điểm cố định của đường thẳng này.
- véc tơ pháp tuyến với mặt phẳng
. Tiếp theo, chúng tôi xây dựng một chuỗi lập luận như vậy.

Ví dụ 11. Tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng

:
và
:
.

Dung dịch. Các đường thẳng trong không gian có thể cắt nhau, có thể cắt nhau tại một điểm, có thể song song, có thể trùng nhau. Hãy để chúng tôi tìm hiểu xem trường hợp nào trong số bốn trường hợp được chỉ định được thực hiện trong ví dụ này.

Từ phương trình
ta suy ra: và
.

Từ phương trình
đầu ra:
và
.

.

nếu thẳng
và
cắt nhau hoặc song song hoặc trùng nhau thì bộ ba vectơ
- đồng phẳng. Nếu thẳng thì sao
và
cắt nhau thì bộ ba của vectơ
-không đồng phẳng. Hãy tìm tích hỗn hợp của ba vectơ này.

troika
- không đồng phẳng

dài
và
giao phối với nhau.

Các ví dụ nêu trong bài 8, 9 thể hiện rõ sức mạnh của phương pháp véc tơ và vai trò đặc biệt của các điều kiện: sự thẳng hàng của hai véc tơ; trực giao của hai vectơ; sự đồng phẳng của ba vectơ trong việc tìm phương trình của đường thẳng và mặt phẳng.

Bài tập về nhà.

1. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm.

2. Tìm phương trình chính tắc và tham số của đường thẳng là giao tuyến của các mặt phẳng.

3. Tìm giao điểm của đường thẳng đi qua điểm
vuông góc với mặt phẳng
, với chiếc máy bay này.

Khái niệm vectơ chỉ phương của nó có quan hệ mật thiết với khái niệm đường thẳng. Thông thường, trong các vấn đề, sẽ thuận tiện hơn khi xem xét nó thay vì đường dây trực tiếp. Như là một phần của vật liệu này chúng tôi sẽ phân tích vectơ chỉ đạo của một đường thẳng trong không gian và trên một mặt phẳng là gì và cho bạn biết nó có thể được sử dụng để làm gì.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Trong đoạn đầu tiên, chúng tôi xây dựng định nghĩa và hiển thị các khái niệm cơ bản trong hình minh họa, bổ sung chúng ví dụ cụ thể véc tơ dẫn đường. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem cách các vectơ đường và hướng tương tác trong một hệ tọa độ hình chữ nhật và cách chúng ta có thể tính toán tọa độ của vectơ này nếu chúng ta biết phương trình của đường thẳng. Tất cả các quy tắc, như mọi khi, sẽ được minh họa bằng các ví dụ về giải pháp cho vấn đề.

Để hiểu chủ đề này, chúng ta cần có một ý tưởng tốt về thế nào là một đường thẳng nói chung và làm thế nào để nó có thể được đặt trong không gian và trên một mặt phẳng. Ngoài ra, điều quan trọng là phải nhớ lại khái niệm vectơ đã nghiên cứu trước đây. Chúng tôi đã viết về điều này trong một bài viết riêng. Nếu cần, hãy tìm và đọc lại những bài viết này.

Hãy hình dung thế nào là một vectơ chỉ phương.

định nghĩa 1

hướng dẫn véc tơ Một đường thẳng là bất kỳ vectơ khác 0 nào được đặt trên một đường thẳng nhất định hoặc trên một đường thẳng song song với nó.

Nó chỉ ra rằng mỗi dòng có bộ vô hạn vectơ dẫn đường. Hơn nữa, tất cả chúng sẽ thẳng hàng nhờ định nghĩa lồng tiếng, bởi vì chúng nằm trên một đường thẳng này hay đường thẳng khác song song với nó. Hóa ra nếu a → là vectơ chỉ phương của đường thẳng a , thì chúng ta có thể biểu thị vectơ chỉ phương khác là t · a → với bất kỳ giá trị nào của t tương ứng với một số thực.

Cũng từ định nghĩa trên, ta có thể kết luận rằng vectơ chỉ phương của hai đường thẳng song song sẽ trùng nhau: nếu hai đường thẳng a và a 1 song song thì vectơ a → sẽ là vectơ chỉ phương của cả a và a 1 .

Kết luận thứ ba rút ra từ định nghĩa: nếu chúng ta có một vectơ chỉ phương của đường thẳng a , thì nó sẽ vuông góc với bất kỳ vectơ pháp tuyến nào của cùng một đường thẳng.

Hãy cho một ví dụ về vectơ chỉ phương: trong một hệ tọa độ hình chữ nhật cho các trục O x , O y và O z các vectơ chỉ phương sẽ là i → , j → và k → .

Cách tính toạ độ vectơ chỉ phương từ phương trình đường thẳng

Giả sử rằng chúng ta có một số đường thẳng với các vectơ chỉ phương, nằm trong một hệ tọa độ hình chữ nhật. Đầu tiên chúng ta sẽ xem xét trường hợp với một căn hộ hệ Descartes O x y , và sau đó với hệ thống O x y z nằm trong không gian ba chiều.

1. Đường thẳng O x y có thể được mô tả bằng phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng. Trong trường hợp này, tọa độ của các vectơ chỉ phương sẽ tương ứng với các vectơ chỉ phương của đường gốc. Và nếu biết phương trình của một đường thẳng thì làm thế nào để tính tọa độ của vectơ chỉ phương của nó? Điều này rất dễ thực hiện nếu chúng ta đang xử lý một phương trình chính tắc hoặc tham số.

Giả sử chúng ta có trường hợp chính tắc của một phương trình giống như x - x 1 a x = y - y 1 a y . Với sự trợ giúp của nó, một đường thẳng có vectơ chỉ phương a → = (a x , a y) được đặt trên mặt phẳng.

Để tính tọa độ của vectơ chỉ phương, chúng ta cần lấy các số từ mẫu số của phương trình chính tắc của đường thẳng.

Hãy cho một ví dụ về một nhiệm vụ.

ví dụ 1

Trong một hệ tọa độ hình chữ nhật, một đường thẳng cho trước, có thể được mô tả bằng phương trình x - 1 4 = y + 1 2 - 3 . Tính tọa độ của một trong các vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Dung dịch

Từ phương trình ta có thể lấy ngay tọa độ của vectơ chỉ phương. Chúng tôi lấy các số ở mẫu số và viết ra: 4, - 3. Đây sẽ là câu trả lời chúng ta cần.

Câu trả lời: 4 , - 3 .

Nếu đường thẳng được mô tả bằng một phương trình thuộc loại tham số thì chúng ta cần xem xét các hệ số của tham số. Chúng sẽ tương ứng với tọa độ của vectơ chỉ phương mà chúng ta cần.

ví dụ 2

Chúng ta có một đường thẳng có thể được mô tả bằng hệ phương trình tham số x = - 1 y = 7 - 5 · λ , trong khi λ ∈ R . Tìm tọa độ của các vectơ chỉ phương.

Dung dịch

Đầu tiên, hãy viết lại các phương trình tham số này ở dạng x = - 1 + 0 · λ y = 7 - 5 · λ . Hãy nhìn vào các tỷ lệ. Họ sẽ cho chúng tôi biết tọa độ mong muốn vectơ chỉ phương – a → = (0 , 5) . Xét rằng tất cả các vectơ chỉ phương của một đường thẳng sẽ thẳng hàng, chúng ta có thể đặt chúng ở dạng t a → hoặc 0 , - 5 t , trong đó t có thể là bất kỳ số thực. Chúng tôi đã viết về cách thực hiện các thao tác với vectơ theo tọa độ trong một bài viết riêng.

Câu trả lời: 0 , - 5 t , t ∈ R , t ≠ 0

Bây giờ hãy xem trường hợp tìm tọa độ của một vectơ nếu đường thẳng được cho bởi một phương trình tổng quát có dạng A x + B y + C = 0 . Nếu A = 0 , thì phương trình ban đầu có thể được viết lại thành B y + C = 0 . Nó xác định một đường thẳng sẽ song song với trục x. Vì vậy, là vectơ chỉ phương của nó, chúng ta có thể lấy vectơ tọa độ i → = 1 , 0 .

Và nếu B \u003d 0, thì chúng ta có thể viết phương trình của một đường thẳng là A x + C \u003d 0. Đường thẳng được mô tả bởi nó sẽ song song với trục y, do đó vectơ tọa độ j → = 0 , 1 của nó cũng sẽ có hướng. Hãy xem xét một vấn đề cụ thể.

ví dụ 3

Ta có một đường thẳng cho bởi phương trình tổng quát x - 2 = 0 . Tìm tọa độ của một vectơ chỉ phương bất kỳ.

Dung dịch

Trong một hệ tọa độ hình chữ nhật, phương trình ban đầu sẽ tương ứng với một đường thẳng song song với trục y. Vì vậy, chúng ta có thể lấy vectơ tọa độ j → = (0 , 1) . Anh sẽ hướng dẫn cô.

Câu trả lời: (0 , 1)

Nhưng nếu không có hệ số nào trong A x + B y + C = 0 bằng 0 thì sao? Sau đó, chúng ta có thể sử dụng một số cách khác nhau.

1. Chúng ta có thể viết lại phương trình cơ bản để nó trở thành phương trình chính tắc. Sau đó, tọa độ của vectơ có thể được lấy từ các giá trị của nó.

2. Bạn có thể tính riêng điểm đầu và điểm cuối của vectơ chỉ phương. Để làm được điều này, cần lấy tọa độ của hai điểm không trùng nhau bất kỳ của đường thẳng ban đầu.

3. Cách thứ ba là tính tọa độ của một vectơ bất kỳ sẽ vuông góc với vectơ pháp tuyến của đường thẳng này n → = A , B .

Đơn giản nhất là cách tiếp cận đầu tiên. Hãy minh họa nó bằng một ví dụ về một vấn đề.

Ví dụ 4

Trên mặt phẳng có một đường thẳng được cho bởi phương trình 3 x + 2 y - 10 = 0 . Viết ra tọa độ của một vectơ chỉ phương bất kỳ.

Dung dịch

Hãy viết lại phương trình ban đầu ở dạng chính tắc. Đầu tiên, chúng ta chuyển tất cả các số hạng từ vế trái, trừ 3 x, sang vế phải với dấu hiệu ngược lại. Chúng ta sẽ có thể:

3x + 2y - 10 = 0 ⇔ 3x = - 2y + 10

Chúng tôi biến đổi đẳng thức kết quả và nhận được:

3 x = - 2 y + 10 ⇔ 3 x = - 2(y - 5) ⇔ x - 2 = y - 5 3

Từ đây, chúng ta đã có thể lấy được tọa độ của vectơ chỉ phương mà chúng ta cần: -2, 3

Trả lời: -2, 3

Đến nhìn chung có thể dễ dàng rút gọn các loại phương trình như phương trình đường thẳng có đoạn x a + y b \u003d 1 và phương trình đường thẳng có hệ số góc y \u003d k x + b, vì vậy nếu bạn gặp chúng trong bài toán tìm tọa độ của vectơ chỉ phương, thì bạn cũng có thể sử dụng phương pháp này.

định nghĩa 2

Vectơ a → = (a x , a y , a z) là phương của đường thẳng được biểu diễn bằng:

1) phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

2) phương trình tham sốđường thẳng trong không gian x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

Như vậy, để tính tọa độ của vectơ chỉ phương, bạn cần lấy số từ mẫu số hoặc hệ số của tham số trong phương trình tương ứng.

Hãy xem xét một vấn đề cụ thể.

Ví dụ 5

Một đường thẳng trong không gian được cho bởi một phương trình có dạng x - 1 4 = y + 1 2 0 = z - 3 . Chỉ định tọa độ của vectơ chỉ phương của dòng này sẽ có.

Dung dịch

Trong phương trình chính tắc, các số cần thiết có thể nhìn thấy ngay ở mẫu số. Hóa ra câu trả lời sẽ là một vectơ có tọa độ 4 , 0 , - 3 . Tọa độ của tất cả các vectơ chỉ phương của một đường thẳng đã cho có thể được viết dưới dạng 4 · t , 0 , - 3 · t với điều kiện t là một số thực.

Trả lời: 4 t , 0 , - 3 t , t ∈ R , t ≠ 0

Ví dụ 6

Tính toán tọa độ của bất kỳ vectơ chỉ phương nào đối với một đường thẳng được xác định trong không gian bằng cách sử dụng phương trình tham số x = 2 y = 1 + 2 · λ z = - 4 - λ .

Dung dịch

Hãy viết lại các phương trình này dưới dạng x = 2 + 0 · λ y = 1 + 2 · λ z = - 4 - 1 · λ .

Từ bản ghi này, chúng ta có thể cô lập tọa độ của vectơ mà chúng ta cần - chúng sẽ là các hệ số ở phía trước tham số.

Trả lời: 0, 2, - 1

Hãy xem xét một trường hợp nữa. Cách tính tọa độ cần thiết nếu đường thẳng được cho bởi một phương trình gồm hai mặt phẳng cắt nhau có dạng A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0?

Có hai cách. Bạn có thể viết phương trình này ở dạng tham số, trong đó tọa độ mong muốn sẽ hiển thị. Nhưng bạn có thể sử dụng một cách khác. Hãy giải thích nó.

Nhắc lại rằng một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng như vậy. Theo định nghĩa, nó sẽ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ban đầu. Điều này có nghĩa là bất kỳ vectơ chỉ phương nào của một đường thẳng nằm trong nó sẽ vuông góc với bất kỳ vectơ pháp tuyến nào của nó.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng tạo bởi giao tuyến của hai mặt phẳng A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 và A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 sẽ vuông góc với các vectơ pháp tuyến n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) và n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2 ) . Nghĩa là, với tư cách là một vectơ chỉ phương, ta có thể lấy tích của các vectơ n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1 ) và n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2 ) .

n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 - đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng mà các mặt phẳng ban đầu cắt nhau.

Hãy giải quyết một vấn đề sử dụng phương pháp này.

Ví dụ 7

Viết toạ độ vectơ chỉ phương của đường thẳng được biểu diễn bằng phương trình x + 2 y + 3 z - 1 = 0 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 .

Dung dịch

Lấy tích của hai vectơ pháp tuyến x + 2 y + 3 z - 1 = 0 và 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 . Chúng có các tọa độ sau: 1 , 2 , 3 và 2 , 4 , - 4 .

Chúng ta sẽ có thể:

n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4 - 4 = i → 2 (- 4) + j → 3 2 + k → 1 4 - - k → 2 2 - i → 3 4 - j → 1 (- 4) = - 20 i → + 10 j → + 0 k →

Hóa ra vectơ n 1 → × n 2 → = - 20 i → + 10 j → + 0 k → ⇔ n 1 → × n 2 → = - 20 , 10 , 0 - đây là vectơ chỉ phương mà chúng ta cần thẳng .

Câu trả lời: - 20 , 10 , 0

Ở cuối bài, chúng tôi lưu ý rằng khả năng tính toán vectơ chỉ phương rất hữu ích để giải quyết nhiều vấn đề, chẳng hạn như so sánh hai đường thẳng, chứng minh tính song song và vuông góc của chúng, tính góc giữa các đường thẳng cắt nhau, v.v.

Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong văn bản, hãy đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Phương trình của một đường thẳng trên một mặt phẳng.
Vectơ chỉ phương là đường thẳng. Vector bình thường

Một đường thẳng trên một mặt phẳng là một trong những cách đơn giản nhất hình dạng hình học, quen thuộc với bạn từ lớp dưới, và hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu cách xử lý nó bằng các phương pháp hình học giải tích. Để làm chủ vật liệu, cần có khả năng dựng một đường thẳng; biết phương trình nào xác định một đường thẳng, cụ thể là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và các đường thẳng song song với các trục tọa độ. Thông tin này có thể được tìm thấy trong hướng dẫn Đồ thị và tính chất của các hàm sơ cấp, tôi đã tạo nó cho matan, nhưng phần về hàm tuyến tính hóa ra là rất thành công và chi tiết. Do đó, ấm trà thân yêu, trước tiên hãy làm ấm ở đó. Ngoài ra, bạn cần phải có kiến thức cơ bản Về vectơ nếu không thì sự hiểu biết về tài liệu sẽ không đầy đủ.

trên bài học này chúng ta sẽ xem xét các cách viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng. Tôi khuyên bạn không nên bỏ qua các ví dụ thực tế (ngay cả khi nó có vẻ rất đơn giản), vì tôi sẽ cung cấp cho họ những kiến ​​thức cơ bản và cơ bản. sự thật quan trọng, kỹ thuật, sẽ được yêu cầu trong tương lai, bao gồm cả trong các phần khác của toán học cao hơn.

• Cách viết phương trình đường thẳng có hệ số góc?
• Làm sao ?
• Cách tìm vectơ chỉ phương bằng phương trình tổng quát của một đường thẳng?
• Làm thế nào để viết phương trình của một đường thẳng cho một điểm và một vectơ pháp tuyến?

và chúng tôi bắt đầu:

Phương trình đường thẳng với độ dốc

Dạng "trường học" nổi tiếng của phương trình đường thẳng được gọi là phương trình đường thẳng có hệ số góc. Ví dụ: nếu một đường thẳng được cho bởi phương trình, thì hệ số góc của nó: . Xem xét ý nghĩa hình học hệ số đã cho và giá trị của nó ảnh hưởng như thế nào đến vị trí của dòng:

Trong môn hình học người ta đã chứng minh được rằng hệ số góc của đường thẳng là tiếp tuyến của một góc giữa hướng trục dươngvà dòng đã cho: , và góc được "tháo vít" ngược chiều kim đồng hồ.

Để không làm lộn xộn bản vẽ, tôi chỉ vẽ các góc cho hai đường thẳng. Xét đường thẳng "màu đỏ" và hệ số góc của nó. Theo như trên: (góc "alpha" được biểu thị bằng một vòng cung màu xanh lá cây). Đối với đường thẳng "màu xanh" có độ dốc, đẳng thức là đúng (góc "beta" được biểu thị bằng cung màu nâu). Và nếu đã biết tang của góc, thì nếu cần, có thể dễ dàng tìm thấy và góc sử dụng hàm nghịch đảo - tiếp tuyến cung. Như họ nói, một bảng lượng giác hoặc một máy tính trong tay. Bằng cách này, hệ số góc đặc trưng cho mức độ nghiêng của đường thẳng đối với trục x.

Đồng thời, có thể các trường hợp sau:

1) Nếu độ dốc âm: , thì đường thẳng, nói một cách đại khái, đi từ trên xuống dưới. Ví dụ như các đường thẳng "xanh" và "đỏ thẫm" trong bản vẽ.

2) Nếu hệ số góc dương: , thì đường thẳng đi từ dưới lên trên. Ví dụ như các đường thẳng "đen" và "đỏ" trong bản vẽ.

3) Nếu hệ số góc bằng 0: , thì phương trình có dạng , và đường thẳng tương ứng song song với trục. Một ví dụ là dòng "màu vàng".

4) Đối với họ các đường thẳng song song với trục (không có ví dụ trong hình vẽ, ngoại trừ chính trục), hệ số góc không tồn tại (tiếp tuyến 90 độ không được xác định).

Độ dốc modulo càng lớn, đồ thị đường càng dốc.

Ví dụ, xét hai đường thẳng. Ở đây , do đó đường thẳng có độ dốc lớn hơn. Tôi nhắc bạn rằng mô-đun cho phép bạn bỏ qua dấu hiệu, chúng tôi chỉ quan tâm đến giá trị tuyệt đối các hệ số góc.

Đổi lại, một đường thẳng dốc hơn các đường thẳng. .

Ngược lại: modulo hệ số góc càng nhỏ thì đường thẳng càng phẳng.

Đối với đường thẳng bất đẳng thức là đúng, do đó, đường thẳng nhiều hơn một tán. Cầu trượt dành cho trẻ em để không làm vết bầm tím và vết sưng tấy.

tại sao nó cần thiết?

Kéo dài sự dằn vặt của bạn Biết được những sự thật trên cho phép bạn nhận ra ngay những sai lầm của mình, đặc biệt là những sai sót khi vẽ biểu đồ - nếu bản vẽ hóa ra “rõ ràng có gì đó không ổn”. Đó là mong muốn mà bạn đi thẳng rõ ràng là, ví dụ, một đường thẳng rất dốc và đi từ dưới lên trên, và một đường thẳng rất phẳng, gần trục và đi từ trên xuống dưới.

TẠI bài toán hình học thường xuất hiện một số đường thẳng, vì vậy thật thuận tiện khi biểu thị chúng bằng cách nào đó.

ký hiệu: đường thẳng được chỉ định bởi nhỏ với các chữ cái Latinh: . Một tùy chọn phổ biến là ký hiệu của cùng một chữ cái với các chỉ số tự nhiên. Ví dụ, năm dòng mà chúng ta vừa xem xét có thể được biểu thị bằng .

Vì bất kỳ đường thẳng nào được xác định duy nhất bởi hai điểm, nên nó có thể được biểu thị bằng các điểm sau: vân vân. Ký hiệu khá rõ ràng ngụ ý rằng các điểm thuộc về đường thẳng.

Đã đến lúc nới lỏng một chút:

Cách viết phương trình đường thẳng có hệ số góc?

Nếu một điểm được biết thuộc về một đường thẳng nhất định và hệ số góc của đường thẳng này, thì phương trình của đường thẳng này được biểu thị bằng công thức:

ví dụ 1

Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc nếu biết điểm thuộc đường thẳng này.

Dung dịch: Ta sẽ lập phương trình đường thẳng theo công thức . TẠI trường hợp này:

Câu trả lời:

Kiểm tra thực hiện một cách cơ bản. Đầu tiên, chúng tôi xem xét phương trình kết quả và đảm bảo rằng độ dốc của chúng tôi ở đúng vị trí của nó. Thứ hai, tọa độ của điểm phải thỏa mãn phương trình đã cho. Hãy cắm chúng vào phương trình:

Đẳng thức chính xác thu được, có nghĩa là điểm thỏa mãn phương trình kết quả.

Sự kết luận: Phương trình tìm được đúng.

Một ví dụ phức tạp hơn cho giải pháp tự làm:

ví dụ 2

Viết phương trình của một đường thẳng nếu biết góc nghiêng của nó so với chiều dương của trục trục là , và điểm thuộc đường thẳng này.

Nếu bạn gặp bất kỳ khó khăn nào, hãy đọc lại tài liệu lý thuyết. Chính xác hơn, thực tế hơn, tôi bỏ sót nhiều dẫn chứng.

vang lên cuộc gọi cuối, vũ hội đã tàn, và bên ngoài cổng trường học tại nhà trên thực tế, chúng ta đang chờ đợi hình học giải tích. Truyện cười đã hết... Có lẽ nó chỉ mới bắt đầu =)

Một cách hoài cổ, chúng tôi vẫy tay cầm để làm quen và làm quen với phương trình tổng quát của một đường thẳng. Vì trong hình học giải tích, chính xác cái này được sử dụng:

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: , đâu là một số con số. Đồng thời, các hệ số đồng thời không bằng 0, vì phương trình mất đi ý nghĩa của nó.

Hãy mặc một bộ vest và viết một phương trình có hệ số góc. Đầu tiên, chúng tôi di chuyển tất cả các điều khoản sang phía bên trái:

Thuật ngữ có "x" phải được đặt ở vị trí đầu tiên:

Về nguyên tắc, phương trình đã có dạng , nhưng theo các quy tắc của nghi thức toán học, hệ số của số hạng đầu tiên (trong trường hợp này là ) phải dương. Dấu hiệu thay đổi:

Hãy nhớ tính năng kỹ thuật này! Chúng tôi làm cho hệ số đầu tiên (thường xuyên nhất) dương!

Trong hình học giải tích, phương trình của một đường thẳng hầu như luôn luôn được đưa ra trong hình thức chung. Chà, nếu cần, có thể dễ dàng đưa nó về dạng “trường học” có độ dốc (ngoại trừ các đường thẳng song song với trục y).

chúng ta hãy tự hỏi những gì đầy đủ biết dựng đoạn thẳng? Hai điểm. Nhưng về sau này trường hợp thời thơ ấu, hiện tại dính mũi tên quy tắc. Mỗi đường thẳng có một độ dốc được xác định rõ ràng, dễ dàng "thích nghi" véc tơ.

Vectơ cùng phương song song với một đường thẳng gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.. Rõ ràng, bất kỳ đường thẳng nào cũng có vô số vectơ chỉ phương và tất cả chúng sẽ thẳng hàng (đồng hướng hay không - không quan trọng).

Tôi sẽ biểu thị vectơ chỉ phương như sau: .

Nhưng một vectơ không đủ để dựng một đường thẳng, vectơ tự do và không thuộc bất kỳ điểm nào của mặt phẳng. Do đó, cần phải biết thêm một số điểm thuộc về dòng.

Làm thế nào để viết phương trình của một đường thẳng cho một điểm và một vectơ chỉ phương?

Nếu một điểm nhất định thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng này được biết, thì phương trình của đường thẳng này có thể được biên soạn theo công thức:

Đôi khi nó được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng .

Phải làm gì khi một trong các tọa độ bằng không, chúng ta sẽ xem xét các ví dụ thực tế bên dưới. Nhân tiện, lưu ý - cả hai cùng một lúc tọa độ không thể bằng 0, vì vectơ 0 không chỉ định một hướng cụ thể.

ví dụ 3

Viết phương trình đường thẳng cho một điểm và một vectơ chỉ phương

Dung dịch: Ta sẽ lập phương trình đường thẳng theo công thức. Trong trường hợp này:

Sử dụng các thuộc tính của tỷ lệ, chúng ta loại bỏ các phân số:

Và ta đưa phương trình về dạng tổng quát:

Câu trả lời:

Vẽ trong các ví dụ như vậy, như một quy luật, là không cần thiết, nhưng để hiểu:

Trong bản vẽ, chúng ta thấy điểm bắt đầu, vectơ chỉ phương ban đầu (nó có thể được hoãn lại từ bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng) và đường được xây dựng. Nhân tiện, trong nhiều trường hợp, việc xây dựng một đường thẳng được thực hiện thuận tiện nhất bằng phương trình độ dốc. Phương trình của chúng ta dễ dàng chuyển đổi về dạng và không gặp bất kỳ trở ngại nào khi chọn thêm một điểm để dựng một đường thẳng.

Như đã lưu ý ở phần đầu, một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương và chúng thẳng hàng. Ví dụ, tôi đã vẽ ba vectơ như vậy: . Cho dù chúng ta chọn vectơ chỉ hướng nào, kết quả sẽ luôn là cùng một phương trình đường thẳng.

Hãy lập phương trình đường thẳng tạo bởi một điểm và một vectơ chỉ phương:

Chia tỷ lệ:

Chia cả hai vế cho -2 và được phương trình quen thuộc:

Những người muốn có thể kiểm tra các vectơ tương tự hoặc bất kỳ vectơ cộng tuyến nào khác.

Bây giờ chúng ta hãy quyết định bài toán ngược:

Cách tìm vectơ chỉ phương bằng phương trình tổng quát của một đường thẳng?

Rất đơn giản:

Nếu một đường thẳng được cho bởi một phương trình tổng quát trong một hệ tọa độ vuông góc thì vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng này.

Ví dụ tìm vectơ chỉ phương của đoạn thẳng:

Câu lệnh cho phép bạn chỉ tìm một vectơ chỉ phương từ vô số nhưng chúng tôi không cần nhiều hơn nữa. Mặc dù trong một số trường hợp, nên giảm tọa độ của các vectơ chỉ phương:

Vì vậy, phương trình chỉ định một đường thẳng song song với trục và tọa độ của vectơ lái kết quả được chia thuận tiện cho -2, lấy chính xác vectơ cơ sở làm vectơ lái. Một cách hợp lý.

Tương tự, phương trình xác định một đường thẳng song song với trục và chia tọa độ của vectơ cho 5, chúng ta nhận được ort là vectơ chỉ phương.

Bây giờ hãy thực hiện kiểm tra ví dụ 3. Ví dụ đã đi lên, vì vậy tôi nhắc bạn rằng trong đó chúng ta đã lập phương trình của một đường thẳng bằng cách sử dụng một điểm và một vectơ chỉ phương

Trước hết, theo phương trình của một đường thẳng, chúng tôi khôi phục vectơ chỉ đạo của nó: - mọi thứ đều ổn, chúng ta đã có vectơ gốc (trong một số trường hợp, nó có thể thẳng hàng với vectơ gốc và điều này thường dễ dàng nhận thấy bằng tỷ lệ của các tọa độ tương ứng).

thứ hai, tọa độ của điểm phải thỏa mãn phương trình . Chúng tôi thay thế chúng vào phương trình:

Sự bình đẳng chính xác đã thu được, mà chúng tôi rất hài lòng.

Sự kết luận: Công việc hoàn thành chính xác.

Ví dụ 4

Viết phương trình đường thẳng cho một điểm và một vectơ chỉ phương

Đây là một ví dụ tự làm. Lời giải và đáp án ở cuối bài. Rất mong muốn thực hiện kiểm tra theo thuật toán vừa được xem xét. Cố gắng luôn (nếu có thể) kiểm tra bản nháp. Thật ngu ngốc khi phạm sai lầm mà chúng có thể tránh được 100%.

Trong trường hợp một trong các tọa độ của vectơ chỉ phương bằng 0, thì rất đơn giản:

Ví dụ 5

Dung dịch: Công thức không hợp lệ vì mẫu số ở vế phải bằng 0. Có một lối ra! Sử dụng các thuộc tính của tỷ lệ, chúng tôi viết lại công thức ở dạng , và phần còn lại cuộn theo một đường mòn sâu:

Câu trả lời:

Kiểm tra:

1) Khôi phục vectơ chỉ phương của đường thẳng:
– vectơ kết quả thẳng hàng với vectơ chỉ phương ban đầu.

2) Thay tọa độ của điểm vào phương trình:

Đẳng thức đúng thu được

Sự kết luận: công việc được hoàn thành chính xác

Câu hỏi đặt ra, tại sao phải bận tâm với công thức nếu có một phiên bản phổ quát sẽ hoạt động? Có hai lý do. Đầu tiên, công thức phân số tốt hơn nhiều để nhớ. Và thứ hai, nhược điểm của công thức phổ quát là nguy cơ nhầm lẫn tăng rõ rệt khi thay thế tọa độ.

Ví dụ 6

Lập phương trình đường thẳng cho trước một điểm và một vectơ chỉ phương.

Đây là một ví dụ tự làm.

Hãy trở lại hai điểm phổ biến:

Làm thế nào để viết phương trình của một đường thẳng cho trước hai điểm?

Nếu biết hai điểm thì phương trình đường thẳng đi qua các điểm này có thể lập theo công thức:

Thực ra, đây là một loại công thức, và đây là lý do tại sao: nếu biết hai điểm, thì vectơ sẽ là vectơ chỉ phương của đường thẳng này. trong bài học Vectơ cho người giả chúng tôi coi nhiệm vụ đơn giản nhất– cách tìm tọa độ của một vectơ từ hai điểm. Theo bài toán này, tọa độ của vectơ chỉ phương:

Ghi chú : điểm có thể "hoán đổi" và sử dụng công thức . Một quyết định như vậy sẽ là bình đẳng.

Ví dụ 7

Viết phương trình đường thẳng kẻ từ hai điểm .

Dung dịch: Sử dụng công thức:

Chúng tôi lược các mẫu số:

Và xáo trộn bộ bài:

Bây giờ là lúc để thoát khỏi phân số. Trong trường hợp này, bạn cần nhân cả hai phần với 6:

Mở ngoặc và ghi nhớ phương trình:

Câu trả lời:

Kiểm tra là hiển nhiên - tọa độ của các điểm ban đầu phải thỏa mãn phương trình kết quả:

1) Thay tọa độ của điểm:

Bình đẳng thực sự.

2) Thay tọa độ của điểm:

Bình đẳng thực sự.

Sự kết luận: phương trình của đường thẳng đúng.

Nếu một ít nhất mộtđiểm không thỏa mãn phương trình, hãy tìm lỗi.

Điều đáng chú ý là việc xác minh đồ họa trong trường hợp này là khó khăn, bởi vì để xây dựng một đường thẳng và xem các điểm có thuộc về nó không , không dễ thế đâu.

Tôi sẽ lưu ý một vài điểm kỹ thuật của giải pháp. Có lẽ trong bài toán này dùng công thức nhân bản sẽ thuận lợi hơn và, cho những điểm giống nhau lập phương trình:

Có ít phân số hơn. Nếu bạn muốn, bạn có thể hoàn thành giải pháp đến cùng, kết quả phải là cùng một phương trình.

Điểm thứ hai là xem xét câu trả lời cuối cùng và xem liệu nó có thể được đơn giản hóa hơn nữa không? Ví dụ, nếu một phương trình thu được, thì nên giảm nó đi hai: - phương trình sẽ thiết lập cùng một đường thẳng. Tuy nhiên, đây đã là một chủ đề của cuộc trò chuyện về sự sắp xếp lẫn nhau của các đường thẳng.

Đã nhận được câu trả lời trong Ví dụ 7, để đề phòng, tôi đã kiểm tra xem TẤT CẢ các hệ số của phương trình có chia hết cho 2, 3 hay 7 hay không. Mặc dù vậy, hầu hết các phép rút gọn như vậy thường được thực hiện trong quá trình giải.

Ví dụ 8

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm .

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập, giải pháp này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn và tìm ra kỹ thuật tính toán.

Tương tự như đoạn trước: nếu trong công thức một trong các mẫu số (tọa độ vectơ chỉ phương) biến mất, sau đó chúng tôi viết lại thành . Và một lần nữa, hãy để ý xem cô ấy bắt đầu trông lúng túng và bối rối như thế nào. Tôi không thấy nhiều điểm trong việc mang lại ví dụ thực tế, vì chúng tôi đã thực sự giải quyết vấn đề như vậy (xem Số 5, 6).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng (vector pháp tuyến)

Điều gì là bình thường? Nói một cách đơn giản, pháp tuyến là một đường vuông góc. Tức là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. Rõ ràng là bất kỳ đường thẳng nào cũng có vô số chúng (cũng như các vectơ chỉ hướng) và tất cả các vectơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ thẳng hàng (đồng hướng hay không - không quan trọng).

Xử lý chúng thậm chí còn dễ dàng hơn so với các vectơ chỉ hướng:

Nếu một đường thẳng được cho bởi một phương trình tổng quát trong một hệ tọa độ vuông góc thì vectơ đó là vectơ pháp tuyến của đường thẳng này.

Nếu tọa độ của vectơ chỉ phương phải được “rút ra” một cách cẩn thận khỏi phương trình, thì tọa độ của vectơ pháp tuyến có thể được “loại bỏ” một cách đơn giản.

Vectơ pháp tuyến luôn vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng. Chúng tôi sẽ xác minh tính trực giao của các vectơ này bằng cách sử dụng sản phẩm chấm:

Tôi sẽ đưa ra các ví dụ với các phương trình tương tự như đối với vectơ chỉ phương:

Có thể viết phương trình đường thẳng biết một điểm và một vectơ pháp tuyến không? Nó cảm thấy như nó có thể. Nếu biết vectơ pháp tuyến, thì hướng của đường thẳng nhất cũng được xác định duy nhất - đây là một "cấu trúc cứng nhắc" với góc 90 độ.

Làm thế nào để viết phương trình của một đường thẳng cho một điểm và một vectơ pháp tuyến?

Nếu biết một số điểm thuộc đường thẳng và vectơ pháp tuyến của đường thẳng này thì phương trình của đường thẳng này được biểu diễn bằng công thức:

Ở đây mọi thứ diễn ra không có phân số và những bất ngờ khác. Đó là vectơ bình thường của chúng tôi. Yêu nó. Và tôn trọng =))

Ví dụ 9

Lập phương trình đường thẳng cho một điểm và một vectơ pháp tuyến. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Dung dịch: Sử dụng công thức:

Phương trình tổng quát của đường thẳng thu được, hãy kiểm tra:

1) "Xóa" tọa độ của vectơ pháp tuyến khỏi phương trình: - vâng, thực sự, vectơ ban đầu được lấy từ điều kiện (hoặc vectơ phải thẳng hàng với vectơ ban đầu).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình không:

Bình đẳng thực sự.

Sau khi chúng tôi tin rằng phương trình là chính xác, chúng tôi sẽ hoàn thành phần thứ hai, dễ dàng hơn của nhiệm vụ. Ta rút ra vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Câu trả lời:

Trong bản vẽ, tình huống như sau:

Đối với mục đích đào tạo, một nhiệm vụ tương tự cho một giải pháp độc lập:

Ví dụ 10

Lập phương trình đường thẳng cho một điểm và một vectơ pháp tuyến. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Phần cuối cùng của bài học sẽ dành cho các dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng ít phổ biến hơn nhưng cũng rất quan trọng.

Phương trình của một đoạn thẳng trong các đoạn.
Phương trình đường thẳng dạng tham số

Phương trình của một đường thẳng trong các đoạn có dạng , trong đó là các hằng số khác không. Một số loại phương trình không thể được biểu diễn ở dạng này, chẳng hạn như tỷ lệ thuận trực tiếp (vì số hạng tự do bằng 0 và không có cách nào để đưa một số hạng ở vế phải).

Nói theo nghĩa bóng, đây là một loại phương trình "kỹ thuật". Nhiệm vụ thông thường là biểu diễn phương trình tổng quát của một đường thẳng dưới dạng phương trình của một đoạn thẳng. Tại sao nó thuận tiện? Phương trình của một đường thẳng trong các đoạn cho phép bạn nhanh chóng tìm các giao điểm của một đường thẳng với các trục tọa độ, điều này rất quan trọng trong một số vấn đề của toán học cao hơn.

Tìm giao điểm của đường thẳng với trục. Chúng tôi đặt lại "y" và phương trình có dạng . Điểm mong muốn được lấy tự động: .

Tương tự với trục là giao điểm của đường thẳng với trục y.