Lý thuyết về giới hạn là một trong những phần phân tích toán học. Câu hỏi giải giới hạn khá rộng, vì có hàng tá phương pháp giải giới hạn nhiều loại. Có hàng tá sắc thái và thủ thuật cho phép bạn giải quyết giới hạn này hay giới hạn khác. Tuy nhiên, chúng tôi vẫn sẽ cố gắng hiểu các loại giới hạn chính thường gặp nhất trong thực tế.

Hãy bắt đầu với khái niệm giới hạn. Nhưng trước tiên, một nền tảng lịch sử ngắn gọn. Ngày xửa ngày xưa, có một người Pháp là Augustin Louis Cauchy vào thế kỷ 19, người đã đặt nền móng cho giải tích toán học và đưa ra các định nghĩa chặt chẽ, đặc biệt là định nghĩa về giới hạn. Phải nói rằng chính Cauchy này đã mơ, mơ và sẽ mơ trong ác mộng của tất cả sinh viên khoa vật lý và toán học, vì ông đã chứng minh được một số lượng lớn các định lý của giải tích toán học, và định lý này ghê tởm hơn định lý kia. Về vấn đề này, chúng tôi sẽ không xem xét một định nghĩa nghiêm ngặt về giới hạn, nhưng sẽ cố gắng thực hiện hai điều:

1. Hiểu giới hạn là gì.
2. Học cách giải các dạng giới hạn chính.

Tôi xin lỗi vì một số giải thích không khoa học, điều quan trọng là tài liệu phải dễ hiểu ngay cả với ấm trà, trên thực tế, đó là nhiệm vụ của dự án.

Vậy giới hạn là gì?

Và ngay lập tức một ví dụ về lý do tại sao để shag bà của bạn ....

Bất kỳ giới hạn bao gồm ba phần:

1) Biểu tượng giới hạn nổi tiếng.
2) Các mục bên dưới biểu tượng giới hạn, trong trường hợp này. Mục nhập có nội dung "x có xu hướng thống nhất." Thông thường nhất - chính xác, mặc dù thay vì "x" trong thực tế, có các biến khác. Trong các nhiệm vụ thực tế, ở vị trí của một đơn vị, hoàn toàn có thể có bất kỳ số nào, cũng như vô hạn ().
3) Hàm số dưới dấu giới hạn, trong trường hợp này là .

Bản thân kỷ lục đọc như sau: "giới hạn của hàm khi x có xu hướng đồng nhất."

Hãy cùng phân tích sau đây Câu hỏi quan trọng Biểu thức "X" có nghĩa là gì? tìm kiếmđể thống nhất? Và “phấn đấu” là gì?
Khái niệm về giới hạn là một khái niệm, có thể nói, năng động. Hãy xây dựng một dãy: đầu tiên , sau đó , , …, , ….
Đó là, biểu thức "x tìm kiếmđến một" nên được hiểu như sau - "x" luôn nhận các giá trị vô cùng gần với sự thống nhất và thực tế trùng khớp với nó.

Làm thế nào để giải quyết ví dụ trên? Dựa vào điều trên, bạn chỉ cần thay hàng đơn vị vào hàm dưới dấu giới hạn là được:

Vì vậy, quy tắc đầu tiên là: Khi đưa ra bất kỳ giới hạn nào, trước tiên chỉ cần thử cắm số vào chức năng.

chúng tôi đã xem xét giới hạn đơn giản nhất, nhưng những điều này cũng được tìm thấy trong thực tế, và không quá hiếm!

Ví dụ vô cực:

Hiểu nó là gì? Đây là trường hợp khi nó tăng vô tận, nghĩa là: đầu tiên, sau đó, sau đó, sau đó, v.v.

Và điều gì xảy ra với chức năng tại thời điểm này?
, , , …

Vì vậy: nếu , thì hàm có xu hướng âm vô cực:

Nói một cách đại khái, theo quy tắc đầu tiên của chúng tôi, chúng tôi thay thế vô cực vào hàm thay vì "x" và nhận được câu trả lời .

Một ví dụ khác với vô cực:

Một lần nữa, chúng tôi bắt đầu tăng dần đến vô cùng và xem xét hành vi của hàm:

Kết luận: với , hàm số tăng vô hạn:

Và một loạt ví dụ khác:

Hãy cố gắng tự mình phân tích trong đầu những điều sau đây và ghi nhớ các loại giới hạn đơn giản nhất:

, , , , , , , , ,
Nếu có bất kỳ nghi ngờ nào ở đâu đó, bạn có thể lấy một chiếc máy tính và thực hành một chút.
Trong trường hợp đó, hãy thử xây dựng trình tự , , . Nếu , thì , , .

Lưu ý: nói đúng ra, cách tiếp cận này với việc xây dựng các chuỗi số là không chính xác, nhưng nó khá phù hợp để hiểu các ví dụ đơn giản nhất.

Cũng chú ý đến điều sau đây. Ngay cả khi một giới hạn được đưa ra một số lượng lớnở trên cùng, thậm chí với một triệu: thì không thành vấn đề , bởi vì sớm hay muộn "x" sẽ nhận những giá trị khổng lồ đến mức một triệu so với chúng sẽ là một vi khuẩn thực sự.

Những gì nên được ghi nhớ và hiểu từ trên?

1) Khi đưa ra bất kỳ giới hạn nào, trước tiên, chúng ta chỉ cần thử thay thế một số vào hàm.

2) Bạn phải hiểu và giải ngay các giới hạn đơn giản nhất, chẳng hạn như , , vân vân.

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét nhóm các giới hạn, khi , và hàm là một phân số, trong đó tử số và mẫu số là đa thức

Ví dụ:

Tính giới hạn

Theo quy tắc của chúng tôi, chúng tôi sẽ cố gắng thay thế vô cực thành một chức năng. Chúng ta nhận được gì ở trên cùng? Vô cực. Và những gì xảy ra dưới đây? Cũng vô cùng. Vì vậy, chúng ta có cái gọi là tính không xác định của mẫu. Người ta có thể nghĩ rằng, và câu trả lời đã sẵn sàng, nhưng trong trường hợp chungđây hoàn toàn không phải là trường hợp, và một số giải pháp phải được áp dụng, mà bây giờ chúng ta sẽ xem xét.

Làm thế nào để giải quyết các giới hạn của loại này?

Đầu tiên chúng ta nhìn vào tử số và tìm lũy thừa cao nhất:

Sức mạnh cao nhất trong tử số là hai.

Bây giờ chúng tôi nhìn vào mẫu số và cũng tìm mức độ cao nhất:

Luỹ thừa cao nhất của mẫu số là hai.

Sau đó, chúng tôi chọn lũy thừa cao nhất của tử số và mẫu số: trong ví dụ này chúng trùng nhau và bằng hai.

Vì vậy, phương pháp giải như sau: để phát hiện ra độ không đảm bảo, cần phải chia tử số và mẫu số ở mức độ cao nhất.

Đây là, câu trả lời, và không phải là vô hạn.

Điều gì là cần thiết trong việc đưa ra quyết định?

Đầu tiên, chúng tôi chỉ ra sự không chắc chắn, nếu có.

Thứ hai, nên gián đoạn giải pháp cho các giải thích trung gian. Tôi thường sử dụng dấu hiệu, nó không mang bất kỳ ý nghĩa toán học nào, nhưng có nghĩa là giải pháp bị gián đoạn để giải thích trung gian.

Thứ ba, trong giới hạn, nên đánh dấu những gì và nơi nó có xu hướng. Khi tác phẩm được vẽ bằng tay, sẽ thuận tiện hơn khi làm như thế này:

Để ghi chú, tốt hơn là sử dụng bút chì đơn giản.

Tất nhiên, bạn không thể làm gì với điều này, nhưng sau đó, có lẽ, giáo viên sẽ ghi nhận những thiếu sót trong cách giải hoặc bắt đầu đặt thêm câu hỏi về bài tập. Và bạn có cần nó không?

ví dụ 2

Tìm giới hạn
Một lần nữa trong tử số và mẫu số, chúng tôi tìm thấy ở mức độ cao nhất:

Bậc lớn nhất ở tử số: 3
Bậc lớn nhất ở mẫu số: 4
Chọn vĩ đại nhất giá trị, trong trường hợp này là bốn.
Theo thuật toán của chúng tôi, để tìm ra độ không đảm bảo, chúng tôi chia tử số và mẫu số cho .
Một nhiệm vụ hoàn chỉnh có thể trông như thế này:

Chia tử số và mẫu số cho

ví dụ 3

Tìm giới hạn
Mức độ tối đa của "x" trong tử số: 2
Lũy thừa tối đa của "x" ở mẫu số: 1 (có thể viết là)
Để tìm ra độ không đảm bảo, cần phải chia tử số và mẫu số cho . Một giải pháp sạch có thể trông như thế này:

Chia tử số và mẫu số cho

Kỷ lục không có nghĩa là chia cho 0 (không thể chia cho 0), mà là chia cho một số nhỏ vô hạn.

Như vậy khi chứng minh tính bất định của mẫu ta được số giới hạn , không hoặc vô cùng.

Giới hạn với độ không đảm bảo loại và phương pháp giải quyết chúng

Nhóm các giới hạn tiếp theo hơi giống với các giới hạn vừa xem xét: có các đa thức ở tử số và mẫu số, nhưng “x” không còn có xu hướng tiến đến vô cùng nữa mà hướng đến số cuối cùng.

Ví dụ 4

Giải giới hạn
Đầu tiên, hãy thử thay thế -1 trong một phân số:

Trong trường hợp này, cái gọi là độ không đảm bảo thu được.

Nguyên tắc chung : nếu có đa thức ở tử số và mẫu số, và có dạng không chắc chắn , thì để tiết lộ nhân tử số và mẫu số.

Để làm được điều này, thường cần phải quyết định phương trình bậc hai và/hoặc sử dụng các công thức nhân rút gọn. Nếu những điều này bị lãng quên, thì hãy truy cập trang Công thức và bảng toán học và kiểm tra tài liệu phương pháp công thức nóng khóa học toán học. Nhân tiện, tốt nhất là in nó ra, nó được yêu cầu rất thường xuyên và thông tin từ giấy được hấp thụ tốt hơn.

Vì vậy, hãy giải quyết giới hạn của chúng tôi

Phân tích tử số và mẫu số

Để phân tích tử số thành nhân tử, bạn cần giải phương trình bậc hai:

Đầu tiên chúng tôi tìm thấy sự phân biệt đối xử:

Và căn bậc hai của nó: .

Nếu phân biệt lớn, ví dụ 361, chúng tôi sử dụng máy tính, hàm trích xuất căn bậc hai là trên máy tính đơn giản nhất.

! Nếu root không được giải nén hoàn toàn (hóa ra một phân số bằng dấu chấm phẩy), rất có khả năng phân biệt được tính toán không chính xác hoặc có lỗi đánh máy trong tác vụ.

Tiếp theo, chúng tôi tìm thấy gốc rễ:

Như vậy:

Tất cả. Tử số được chia thành thừa số.

Mẫu số. Mẫu số đã là nhân tử đơn giản nhất, không có cách nào đơn giản hóa nó.

Rõ ràng, nó có thể được rút ngắn thành:

Bây giờ chúng ta thay -1 vào biểu thức còn lại dưới dấu giới hạn:

Đương nhiên, trong một bài kiểm tra, một bài kiểm tra, một bài kiểm tra, cách giải không bao giờ được vẽ chi tiết như vậy. Trong phiên bản cuối cùng, thiết kế sẽ giống như thế này:

Hãy đưa ra thừa số cho tử số.

Ví dụ 5

Tính giới hạn

Đầu tiên, một giải pháp "sạch"

Hãy quy thành nhân tử và mẫu số.

Tử số:
Mẫu số:



,

Điều gì là quan trọng trong ví dụ này?
Đầu tiên, bạn phải hiểu rõ cách tử số được tiết lộ, đầu tiên chúng ta đặt dấu ngoặc 2, sau đó sử dụng công thức hiệu bình phương. Đây là công thức bạn cần biết và xem.

Hãy xem các ví dụ minh họa.

Cho x là số Biến đổi, X là diện tích thay đổi của nó. Nếu mỗi số x thuộc X được liên kết với một số y, thì người ta nói rằng một hàm được xác định trên tập X và viết y \u003d f (x).
Tập hợp X trong trường hợp này là một mặt phẳng gồm hai trục tọa độ– 0X và 0Y. Ví dụ: hãy vẽ hàm y \u003d x 2. Các trục 0X và 0Y tạo thành X - diện tích thay đổi của nó. Hình này cho thấy rõ chức năng này hoạt động như thế nào. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng hàm y \u003d x 2 được xác định trên tập X.

Tập Y gồm tất cả các giá trị riêng của một hàm được gọi là tập giá trị f(x). Nói cách khác, tập giá trị là khoảng dọc theo trục 0Y mà hàm được xác định. Hình parabol được mô tả cho thấy rõ ràng rằng f(x) > 0 , bởi vì x2 > 0. Do đó, phạm vi sẽ là . Chúng tôi nhìn vào tập hợp các giá trị bằng 0Y.

Tổng của tất cả x được gọi là tập xác định của f(x). Chúng tôi xem xét tập hợp các định nghĩa theo 0X và trong trường hợp của chúng tôi theo khu vực giá trị được phép là [-; +].

Điểm a (a thuộc hoặc X) được gọi là điểm giới hạn của tập hợp X nếu trong mọi lân cận của điểm a tồn tại các điểm thuộc tập hợp X khác a.

Đã đến lúc hiểu - giới hạn của hàm là gì?

Pure b, mà hàm có xu hướng khi x có xu hướng tới số a, được gọi là chức năng giới hạn. Nó được viết như sau:

Ví dụ: f (x) \u003d x 2. Chúng ta cần tìm hiểu hàm có xu hướng (không bằng) tại x 2. Đầu tiên, hãy viết giới hạn:

Hãy nhìn vào biểu đồ.

Vẽ đường thẳng song song với trục 0Y đi qua điểm 2 trên trục 0X. Nó sẽ cắt đồ thị của chúng ta tại điểm (2;4). Hãy thả một đường vuông góc từ điểm này đến trục 0Y - và chúng ta sẽ đến điểm 4. Đây là điều mà hàm của chúng ta cố gắng đạt được tại x 2. Nếu bây giờ chúng ta thay thế giá trị 2 trong hàm f (x), thì câu trả lời sẽ giống nhau.

Bây giờ trước khi chuyển sang tính toán giới hạn, chúng tôi giới thiệu các định nghĩa cơ bản.

giới thiệu nhà toán học Pháp Augustin Louis Cauchy vào thế kỷ 19.

Giả sử hàm f(x) được xác định trên một khoảng nào đó chứa điểm x = A, nhưng không nhất thiết giá trị của f(A) phải được xác định.

Khi đó, theo định nghĩa của Cauchy, chức năng giới hạn f(x) sẽ là một số B tại x hướng về A nếu với mỗi C > 0 tồn tại một số D > 0 sao cho

Những thứ kia. nếu hàm số f(x) tại x A bị giới hạn bởi giới hạn B, điều này được viết là

giới hạn trình tự một số A nhất định được gọi nếu với mọi số nhỏ tùy ý số dương Tại > 0, tồn tại số N sao cho mọi giá trị trong trường hợp n > N thỏa mãn bất phương trình

Giới hạn này trông giống như .

Dãy số có giới hạn gọi là hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ.

Như bạn đã nhận thấy, các giới hạn được biểu thị bằng dấu lim, theo đó một số điều kiện cho biến được viết, và sau đó bản thân hàm đã được viết. Tập hợp như vậy sẽ được đọc là "giới hạn của hàm số với điều kiện...". Ví dụ:

là giới hạn của hàm khi x tiến tới 1.

Biểu thức "tiến tới 1" có nghĩa là x liên tiếp nhận các giá trị tiệm cận vô hạn với 1.

Bây giờ rõ ràng là để tính giới hạn này, chỉ cần thay thế giá trị 1 thay vì x là đủ:

Ngoài cụ thể giá trị số x cũng có thể đi đến vô cùng. Ví dụ:

Biểu thức x có nghĩa là x không ngừng tăng và tiến dần đến vô cùng vô tận. Do đó, thay vô cực thay vì x, rõ ràng là hàm 1-x sẽ có xu hướng, nhưng ngược dấu:

Như vậy, tính toán giới hạnđi xuống để tìm giá trị cụ thể của nó hoặc một khu vực nhất định trong đó hàm giới hạn bởi giới hạn rơi vào.

Dựa trên những điều đã nói ở trên, có thể thấy rằng khi tính toán các giới hạn, điều quan trọng là phải sử dụng một số quy tắc:

nhận ra bản chất của giới hạn và các quy tắc cơ bản tính toán giới hạn, Bạn sẽ nhận được xem chính về cách giải quyết chúng. Nếu giới hạn nào sẽ gây khó khăn cho bạn, hãy viết trong phần bình luận và chúng tôi chắc chắn sẽ giúp bạn.

Lưu ý: Luật học là khoa học về luật, giúp giải quyết các xung đột và những khó khăn khác trong cuộc sống.

Cái này máy tính toán học trực tuyến sẽ giúp bạn nếu cần tính giới hạn hàm. Chương trình giải pháp giới hạn không chỉ đưa ra câu trả lời cho vấn đề, nó dẫn giải chi tiết với lời giải thích, I E. hiển thị tiến trình tính toán giới hạn.

Chương trình này có thể hữu ích cho học sinh trung học trường giáo dục phổ thông chuẩn bị cho Công việc kiểm soát và các kỳ thi, khi kiểm tra kiến ​​thức trước kỳ thi, phụ huynh kiểm soát được cách giải nhiều bài toán và đại số. Hoặc có thể quá đắt để bạn thuê một gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành nó càng sớm càng tốt? bài tập về nhà toán học hay đại số? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với một giải pháp chi tiết.

Vì vậy, bạn có thể thực hiện đào tạo riêng và/hoặc đào tạo họ em trai hoặc chị em, trong khi trình độ học vấn trong lĩnh vực nhiệm vụ được giải quyết tăng lên.

Nhập biểu thức hàm

Tính giới hạn

Người ta thấy rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết tác vụ này chưa được tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.

Bạn đã tắt JavaScript trong trình duyệt của mình.
JavaScript phải được bật để giải pháp xuất hiện.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.

Bởi vì Có rất nhiều người muốn giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn được xếp hàng đợi.
Sau vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Vui lòng chờ giây...

nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, sau đó bạn có thể viết về nó trong Biểu mẫu phản hồi .
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định những gì nhập vào các lĩnh vực.

Các trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:

Một chút lý thuyết.

Giới hạn của hàm số tại x->x 0

Cho hàm f(x) xác định trên tập X nào đó và đặt điểm \(x_0 \in X \) hoặc \(x_0 \notin X \)

Lấy từ X một dãy các điểm khác x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
hội tụ đến x*. Giá trị hàm số tại các điểm của dãy này cũng lập thành một dãy số
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
và người ta có thể đặt ra câu hỏi về sự tồn tại của giới hạn của nó.

Sự định nghĩa. Số A được gọi là giới hạn của hàm số f(x) tại điểm x \u003d x 0 (hoặc tại x -> x 0), nếu với bất kỳ dãy (1) giá trị nào của đối số x hội tụ đến x 0 khác x 0 thì dãy (2) giá trị tương ứng của hàm số hội tụ đến số A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Hàm số f(x) chỉ có một giới hạn tại điểm x 0. Điều này xuất phát từ thực tế là trình tự
(f(x n)) chỉ có một giới hạn.

Có một định nghĩa khác về giới hạn của hàm số.

Sự định nghĩa Số A được gọi là giới hạn của hàm số f(x) tại điểm x = x 0 nếu với mọi số \(\varepsilon > 0 \) tồn tại một số \(\delta > 0 \) sao cho với mọi \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) thỏa mãn bất đẳng thức \(|x-x_0| Sử dụng các ký hiệu logic, định nghĩa này có thể được viết dưới dạng
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Lưu ý rằng các bất đẳng thức \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Định nghĩa đầu tiên dựa trên khái niệm giới hạn dãy số, đó là lý do tại sao nó thường được gọi là định nghĩa "ngôn ngữ tuần tự". Định nghĩa thứ hai được gọi là định nghĩa "ngôn ngữ \(\varepsilon - \delta \)".
Hai định nghĩa về giới hạn của hàm số này là tương đương nhau và bạn có thể sử dụng một trong hai định nghĩa này, tùy theo định nghĩa nào thuận tiện hơn để giải một bài toán cụ thể.

Lưu ý rằng định nghĩa về giới hạn của hàm số "trong ngôn ngữ của dãy số" còn được gọi là định nghĩa về giới hạn của hàm số theo Heine và định nghĩa về giới hạn của hàm số "trong ngôn ngữ \(\varepsilon - \delta \)" còn được gọi là định nghĩa về giới hạn của hàm số theo Cauchy.

Giới hạn hàm tại x->x 0 - và tại x->x 0 +

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm về giới hạn một phía của hàm số, được định nghĩa như sau.

Sự định nghĩa Số A được gọi là giới hạn phải (trái) của hàm số f(x) tại điểm x 0 nếu với mọi dãy (1) hội tụ tại x 0 mà các phần tử x n lớn hơn (nhỏ hơn) x 0 thì dãy số tương ứng (2) hội tụ tại A.

Một cách tượng trưng nó được viết như thế này:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Người ta có thể đưa ra định nghĩa tương đương về giới hạn một phía của hàm "trong ngôn ngữ \(\varepsilon - \delta \)":

Sự định nghĩa số A được gọi là giới hạn phải (trái) của hàm số f(x) tại điểm x 0 nếu với mọi \(\varepsilon > 0 \) tồn tại \(\delta > 0 \) sao cho với mọi x thỏa mãn các bất đẳng thức \(x_0 Các mục tượng trưng:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Chủ đề 4.6 Tính giới hạn

Giới hạn của hàm số không phụ thuộc vào việc nó có được xác định tại điểm giới hạn hay không. Nhưng trong thực tế tính giới hạn của các hàm cơ bản, trường hợp này là cần thiết.

1. Nếu hàm số là sơ cấp và nếu giá trị giới hạn của đối số thuộc miền xác định của nó, thì phép tính giới hạn của hàm số được rút gọn thành phép thay thế đơn giản giá trị giới hạn của đối số, bởi vì giới hạn chức năng cơ bản f(x) x phấn đấuMỘT , được đưa vào miền xác định, bằng giá trị riêng của hàm tại x= MỘT, I E. lim f(x)=f( Một) .

2. Nếu x tiến đến vô cực hoặc đối số có xu hướng về một số không thuộc miền xác định của hàm số, thì trong mỗi trường hợp như vậy, việc tìm giới hạn của hàm số cần phải có một nghiên cứu đặc biệt.

Sau đây là các giới hạn đơn giản nhất, dựa trên các thuộc tính của giới hạn, có thể được sử dụng làm công thức:

Hơn ca khó Tìm giới hạn của hàm số:

mỗi cái được xem xét riêng.

Phần này sẽ trình bày những cách chính để công bố độ không đảm bảo.

1. Trường hợp khi x phấn đấuMỘT hàm f(x) đại diện cho tỷ số của hai đại lượng vô hạn

a) Trước tiên, bạn cần đảm bảo rằng không thể tìm thấy giới hạn của hàm bằng cách thay thế trực tiếp và với sự thay đổi được chỉ định trong đối số, nó biểu thị tỷ lệ của hai đại lượng vô cùng nhỏ. Các phép biến đổi được thực hiện để rút gọn phân số theo thừa số có xu hướng bằng 0. Theo định nghĩa về giới hạn của hàm số, đối số x có xu hướng tiến về giá trị giới hạn của nó, không bao giờ trùng với nó.

Nói chung, nếu tìm giới hạn của hàm số x phấn đấuMỘT , thì phải nhớ rằng x không nhận giá trị MỘT, I E. x không bằng a.

b) Áp dụng định lí Bezout. Nếu bạn đang tìm giới hạn của một phân số có tử số và mẫu số là các đa thức tiến tới 0 tại điểm giới hạn x \u003d MỘT, thì theo định lý trên, cả hai đa thức đều chia hết không dư cho x- MỘT.

c) Sự bất hợp lý ở tử số hoặc mẫu số bị triệt tiêu bằng cách nhân tử số hoặc mẫu số với liên hợp thành biểu hiện không hợp lý, thì sau khi đơn giản hóa, phân số sẽ được rút gọn.

d) 1 được sử dụng giới hạn tuyệt vời (4.1).

e) Ta sử dụng định lý tương đương vô cùng nhỏ và b.m. sau:

2. Trường hợp khi x phấn đấuMỘT hàm f(x) biểu thị tỉ số của hai đại lượng lớn vô hạn

a) Chia tử số và mẫu số của một phân số cho bằng cấp cao nhất không xác định.

b) Nói chung, bạn có thể sử dụng quy tắc

3. Trường hợp khi x phấn đấuMỘT hàm f(x) đại diện cho tích của một giá trị vô cùng nhỏ và một giá trị lớn vô hạn

Phân số được chuyển thành dạng mà tử số và mẫu số của nó đồng thời tiến về 0 hoặc về vô cùng, tức là trường hợp 3 giảm xuống trường hợp 1 hoặc trường hợp 2.

4. Trường hợp khi x phấn đấuMỘT hàm f(x) biểu thị hiệu của hai đại lượng dương vô cùng lớn

Trường hợp này được rút gọn thành loài 1 hoặc 2 theo một trong các cách sau:

a) rút gọn các phân số về mẫu số chung;

b) phép biến đổi hàm số về dạng phân số;

c) thoát khỏi sự phi lý.

5. Trường hợp khi x phấn đấuMỘT hàm f(x) đại diện cho một lũy thừa có cơ số tiến tới 1 và số mũ của nó tiến tới vô cùng.

Hàm được biến đổi sao cho sử dụng giới hạn đáng chú ý thứ 2 (4.2).

Ví dụ. Tìm thấy .

Bởi vì x có xu hướng 3, thì tử số của phân số hướng về số 3 2 +3 *3+4=22 và mẫu số hướng về số 3+8=11. Kể từ đây,

Ví dụ

Đây là tử số và mẫu số của phân số tại x hướng tới 2 tiến về 0 (dạng bất định), ta phân tích tử và mẫu thành thừa số, ta được lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Ví dụ

Ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp với tử số ta được

Mở ngoặc ở tử số, ta được

Ví dụ

Cấp độ 2 Ví dụ. Hãy nêu một ví dụ về ứng dụng khái niệm giới hạn của hàm số trong tính toán kinh tế. Hãy xem xét một giao dịch tài chính thông thường: cho vay một số tiền S 0 với điều kiện là sau một khoảng thời gian t số tiền sẽ được hoàn lại S T. Hãy xác định giá trị r tăng trưởng tương đối công thức

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Tăng trưởng tương đối có thể được biểu thị dưới dạng phần trăm bằng cách nhân giá trị kết quả r bằng 100.

Từ công thức (1) dễ dàng xác định được giá trị S T:

S T= S 0 (1 + r)

Khi giải quyết các khoản vay dài hạn bao gồm một số đầy đủ năm, sử dụng sơ đồ lãi kép. Nó bao gồm thực tế là nếu trong năm đầu tiên, số tiền S 0 tăng trong (1 + r) lần, sau đó là năm thứ hai trong (1 + r) lần tổng tăng S 1 = S 0 (1 + r), đó là S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Tương tự, hóa ra S 3 = S 0 (1 + r) 3 . Từ các ví dụ trên có thể suy ra công thức chungđể tính toán sự tăng trưởng của số tiền cho N năm khi tính theo sơ đồ lãi kép:

S n= S 0 (1 + r) N.

Trong tính toán tài chính, các chương trình được sử dụng khi lãi kép được tính nhiều lần trong năm. Đồng thời quy định tỷ lệ hàng năm r Và số lần thanh toán mỗi năm k. Theo quy định, các khoản tích lũy được thực hiện đều đặn, nghĩa là độ dài của mỗi khoảng thời gian T k là một phần của năm. Sau đó trong một khoảng thời gian t năm (ở đây t không nhất thiết phải là số nguyên) S T tính theo công thức

(2)

Ở đâu - Toàn bộ phần số khớp với chính số đó, ví dụ: t? số nguyên.

Hãy để tỷ lệ hàng năm là r và sản xuất N dồn tích mỗi năm theo các khoảng thời gian đều đặn. Sau đó trong năm số tiền S 0 được tăng đến giá trị được xác định bởi công thức

(3)

TRONG phân tích lý thuyết và trong thực tiễn hoạt động tài chính thường gặp khái niệm “lãi dồn tích liên tục”. Để chuyển sang tiền lãi cộng dồn liên tục, trong công thức (2) và (3) cần phải tăng vô hạn lần lượt các số k Và N(tức là nhắm k Và Nđến vô cùng) và tính toán các hàm sẽ có xu hướng tới giới hạn nào S T Và S 1 . Hãy áp dụng quy trình này cho công thức (3):

Lưu ý rằng giới hạn trong dấu ngoặc nhọn giống như giới hạn đáng chú ý thứ hai. Theo đó, với tỷ lệ hàng năm r với lãi suất tích lũy liên tục, số tiền S 0 trong 1 năm được tăng lên giá trị S 1 * , được xác định từ công thức

S 1 * = S 0 ơ (4)

Bây giờ hãy tính tổng S 0 được cho vay với lãi suất Nđịnh kỳ mỗi năm một lần. Chứng tỏ lại tỷ lệ hàng năm mà tại đó vào cuối năm số tiền S 0 được tăng lên một giá trị S 1* từ công thức (4). Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ nói rằng lại- Cái này lãi suất hàng năm N mỗi năm một lần, tương đương với tỷ lệ phần trăm hàng năm r với dồn tích liên tục. Từ công thức (3) chúng ta thu được

S* 1 \u003d S 0 (1 + r e / n) n

Cân bằng các phần bên phải của công thức cuối cùng và công thức (4), giả sử trong công thức cuối cùng t= 1, chúng ta có thể rút ra mối quan hệ giữa các đại lượng r Và lại:

Những công thức này được sử dụng rộng rãi trong tính toán tài chính.

Trong toán học có một thứ gọi là giới hạn của một hàm số. Để hiểu cách tìm giới hạn, các em cần nhớ định nghĩa về giới hạn của hàm số: hàm số f(x) có giới hạn L tại điểm x = a, nếu với mỗi dãy giá trị của x đồng quy về điểm a thì dãy giá trị của y tiến dần đến:

• L lim f(x) = L

Khái niệm và tính chất của giới hạn

Một giới hạn là gì có thể được hiểu từ một ví dụ. Giả sử chúng ta có hàm y=1/x. Nếu chúng ta liên tục tăng giá trị của x và xem y bằng bao nhiêu, chúng ta sẽ nhận được các giá trị ngày càng giảm: tại x=10000 y=1/10000; tại x=1000000 y=1/1000000. Những thứ kia. càng nhiều x, càng ít y. Nếu x = ∞, y sẽ nhỏ đến mức có thể coi là bằng 0. Do đó, giới hạn của hàm y \u003d 1 / x khi x có xu hướng ∞ là 0. Nó được viết như sau:

• lim1/х=0

Giới hạn của hàm số có một số tính chất mà bạn cần nhớ: điều này sẽ hỗ trợ rất nhiều cho việc giải các bài toán tìm giới hạn:

• Giới hạn số tiền bằng tổng giới hạn: lim(x+y)=lim x+lim y
• giới hạn sản phẩm bằng với sản phẩm giới hạn: lim(xy)=lim x*lim y
• Giới hạn của thương bằng thương của các giới hạn: lim(x/y)=lim x/lim y
• Hệ số không đổi được đưa ra ngoài dấu giới hạn: lim(Cx)=C lim x

Hàm số y=1 /x, trong đó x →∞, giới hạn bằng 0, khi x→0, giới hạn bằng ∞.

• lim (sin x)/x=1 x→0