Ứng dụng của thuộc tính giới hạn của một hàm. ứng dụng các tính chất của hàm số vào giải phương trình và bất phương trình, công việc được dành cho một trong những phương pháp phi tiêu chuẩn

Do một giáo viên toán biên soạn và thực hiện

MKOU "Trường trung học số 1", Povorino

Vùng Voronezh

Kartashova S. A.

2014

Chủ đề bài học:"Giải phương trình bằng phương pháp phi tiêu chuẩn sử dụng các tính chất của hàm số"

Hình thức bài giảng là bài giảng có phần củng cố. Được thiết kế cho 2 bài học

(Trang trình bày # 1)

Mục tiêu bài học:

Nhắc lại và tóm tắt kiến ​​thức về chủ đề: "Tính chất của hàm số"

Học áp dụng phương pháp hàm số để giải phương trình

Phát triển, xây dựng suy nghĩ logic, quan sát

Trau dồi hoạt động, tính chủ động sáng tạo.

(slide số 2)

Thiết bị: bảng tương tác, máy tính có trình chiếu.

Kế hoạch bài học:

Tổ chức thời gian.

Động lực hoạt động học tập(thông điệp của chủ đề, mục tiêu của bài học).

Thực tế hóa kiến ​​thức cơ bản (lặp lại các thuộc tính của các chức năng chính).

Học tài liệu mới (phương pháp hàm giải phương trình).

Củng cố kiến ​​thức (giải bài tập).

Tổng kết. Ước tính.

Trong các buổi học.

Giáo viên:

Để giải hầu hết các phương trình gặp trong các kỳ thi, chỉ cần biết khóa học ở trường toán học, nhưng đồng thời cần có khả năng giải không chỉ với sự trợ giúp của các kỹ thuật tiêu chuẩn được thiết kế cho các dạng phương trình khá cụ thể, mà còn bằng các phương pháp “phi tiêu chuẩn”, mà chúng ta sẽ nói đến hôm nay trong bài học. . Một trong những phương pháp như vậy để giải phương trình là hàm, dựa trên việc sử dụng các tính chất của hàm. không giống phương pháp đồ họa, kiến ​​thức về các tính chất của hàm số cho phép bạn tìm nghiệm gốc chính xác của phương trình mà không cần vẽ đồ thị hàm số. Sử dụng các tính chất của hàm số góp phần vào việc hợp lý hóa các nghiệm của phương trình.

(slide số 3)

Chúng tôi sẽ trả lời các câu hỏi:

Một phương trình là gì?

Căn bậc nhất của phương trình là gì?

Nó có nghĩa là gì để giải một phương trình?

Cái gì được gọi là một hàm?

Phạm vi của một chức năng là gì?

Phạm vi của một chức năng là gì?

(slide số 4)

Xem xét(slide số 5)

VÍ DỤ 1. Giải phương trình:

Giải pháp: ODZ:

Trả lời: Không có giải pháp nào.

(slide số 6)

VÍ DỤ 2. Giải phương trình:

Giải pháp: ODZ:

ODZ bao gồm một điểm x = 1. Việc kiểm tra xem x = 1 có phải là nghiệm nguyên của phương trình hay không. Thay vào đó ta thấy x = 1 là nghiệm nguyên của phương trình.

Đáp số: x = 1.

Giáo viên:

Đôi khi, việc xem xét không phải toàn bộ miền của một hàm là đủ, mà chỉ xem xét tập hợp con của nó, trên đó hàm nhận các giá trị thỏa mãn các điều kiện nhất định (ví dụ: chỉ các giá trị không âm)

(trượt số. 7 )

VÍ DỤ 3.

Dung dịch. Hãy tìm giao điểm của các miền định nghĩa của hàm trong phần bên phải và bên trái của phương trình:

D 1

Hãy giới hạn bộD, xem xét rằng vế trái của phương trình là không âm, và do đó, điều tương tự phải bên phảiĐể làm điều này, hãy xem xét giao điểm của tập hợpDvới nhiều giải pháp cho sự bất bình đẳng , nghĩa là, với nhiều . Do đó, chỉ cần xem xét phương trình trên tập .

Bằng cách thay thế, chúng tôi đảm bảo rằng cả hai yếu tố đều đóng vai trò là một nghiệm của phương trình.

Trả lời: -3; 2.

(trượt số. 8 )

VÍ DỤ 4.

Dung dịch.

Có tính đến thực tế rằng nghiệm nguyên của phương trình là x = 4.

Trả lời: 4.

Giáo viên:

Hãy chuyển sang giải phương trình bằng cách sử dụng khái niệm phạm vi của một hàm số.

(trang trình bày # 9- # 10)

(slide số 11)

VÍ DỤ 1.

Dung dịch. Tại vì thì phương trình vô nghiệm.

Trả lời: không có giải pháp.

VÍ DỤ 2.

Dung dịch. ODZ:

Trả lời: không có giải pháp.

Giáo viên:

Nếu chức năng f ( x ) trên khoảng X bị giới hạn từ phía trên, và hàm g ( x ) được giới hạn từ bên dưới, thì phương trình f ( x ) = g ( x ) tương đương với hệ thống

(slide số 12)

VÍ DỤ 3.

Dung dịch. Theo định nghĩa,

Bình đẳng đạt được nếu

Hãy giải phương trình đầu tiên của hệ thống:

arccos (x-1) = π, x-1 = -1, x = 0.

Tại x = 0, đẳng thức thứ hai chuyển thành đẳng thức số đúng.

Do đó, nghiệm của hệ và phương trình này là x = 0.

Trả lời: 0.

(trang trình bày №13-14)

VÍ DỤ 4.

Dung dịch.

Hãy tìm cực đại của hàm số này trên khoảng (2; 4) bằng cách sử dụng đạo hàm.

= 0,

g '+ -

g 2 3 4 x

Max

g (3) = 2.Chúng ta có

sau đó phương trình đã cho tương đương với một hệ thống

Giải phương trình thứ nhất của hệ ta được x = 3, bằng cách kiểm tra, thay vào phương trình thứ hai, ta sẽ chắc chắn rằng x = 3 là nghiệm của hệ và phương trình này.

Trả lời: 3.

(slide số 15)

Giáo viên:

Phương pháp này thường thấy trong đề thi môn toán. Phương pháp này bao gồm thực tế là một phần của phương trình được giới hạn từ phía trên bởi một số M nhất định, và phần khác của phương trình được giới hạn từ phía dưới bởi cùng một số M. Số M thường được gọi làbất khả kháng và phương pháp này làphương pháp bất khả kháng . Trong phương pháp majorant, như bạn có thể đã đoán, bạn cần hiểu rõ hàm là gì, có thể khám phá các thuộc tính của hàm.

(slide số 16)

Bài tập củng cố, phát triển kĩ năng và năng lực.

Lớp học được chia thành 2 nhóm theo các lựa chọn.

1 tùy chọn.

Chứng minh rằng phương trình vô nghiệm.

Giải phương trình: Trả lời: 2.6.

Trả lời: 2.

Giáo viên:

Hôm nay chúng ta đã xem xét một phương pháp phi tiêu chuẩn để giải phương trình bằng cách sử dụng các tính chất của hàm, phương pháp này cũng có thể áp dụng để giải bất phương trình, nhưng chúng ta sẽ nói về điều này trong một vài bài học tiếp theo.

Tổng kết, đánh giá.

(slide số 17)

Bài tập về nhà:

Phần I. Toán học và Vật lý

UDC 372,8 LBC 74.262,21

KHÔNG PHẢI. Lyakhova, A.I. Grishina, I.V. Yakovenko

SỬ DỤNG CÁC CHỨC NĂNG CÓ GIỚI HẠN TRONG KHÓA HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG

Chú thích. Bài báo trình bày một phương pháp nghiên cứu phương pháp giải hệ phương trình "phi tiêu chuẩn" của toán học sơ cấp bằng cách sử dụng giới hạn của hàm số.

Từ khóa: giải phương trình, sử dụng giới hạn của một hàm.

N.E. Lyakhova, A.I Grishina, I.V. Yakovenko

SỬ DỤNG GIỚI HẠN CÁC CHỨC NĂNG TRONG HỌC TẬP MÔN TOÁN HỌC.

trừu tượng. Bài báo trình bày phương pháp nghiên cứu phương pháp giải hệ phương trình “không chuẩn” của toán sơ cấp với hàm số giới hạn. Từ khóa: nghiệm của phương trình, sử dụng một hàm giới hạn.

Chức năng hạn chế cho phép bạn giải quyết nhiều phương trình phi tiêu chuẩn và các bất đẳng thức đồng thời chứa các hàm khác nhau, không cho phép áp dụng các phương pháp tiêu chuẩn để giải quyết vấn đề cho chúng loại nhất định. Sử dụng giới hạn của các hàm, các phương pháp giải phương trình và bất phương trình như phương pháp mini-max và hệ quả của nó được xây dựng. Tên của phương pháp - phương pháp mini-max - có lẽ còn gây tranh cãi, nhưng nó cho phép bạn nhanh chóng nhớ lại bản chất của phương pháp và dùng như một dấu hiệu tham chiếu cho học sinh. Cần lưu ý rằng việc nghiên cứu phương pháp này rất hữu ích cho một sinh viên tốt nghiệp ra trường theo quan điểm mở rộng khả năng giải quyết các vấn đề “phi tiêu chuẩn” và từ quan điểm phát triển các kỹ năng nghiên cứu một hàm số ( đặc biệt là bằng cách sử dụng các phương pháp toán học sơ cấp). Cả hai đều quan trọng để chuẩn bị tốt nghiệp cho Kỳ thi Trạng thái Thống nhất trong toán học, vì sự kiểm soát vật liệu đo lường theo truyền thống bao gồm các nhiệm vụ như vậy, trong khi trong sách giáo khoa nhà trường, chúng rõ ràng không được trình bày đầy đủ hoặc hoàn toàn không được trình bày.

Bản chất của phương thức mini-max là câu lệnh sau.

Khẳng định 1. Nếu trên miền X của phương trình

và chức năng

thì phương trình này tương đương với hệ

f (*) = a g (*) = a "

Thật vậy, trong những điều kiện này, sự bình đẳng

là khả thi nếu và chỉ khi các hàm f (*) và g (*) cho cùng một giá trị * nhận giá trị a. Trong trường hợp này, số a sẽ tương ứng với các hàm f (*) và g (*), các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên tập X. Lưu ý rằng nếu ít nhất một trong các hàm f (*) hoặc g (*) trên tập X không nhận giá trị a thì phương trình

không có rễ. Nhưng trong trường hợp này, hệ cũng không có nghiệm và do đó, tính tương đương của phương trình và hệ không bị vi phạm. Do đó, khi có được các ước lượng cần thiết, không cần xác định rằng a nằm trên tập X giá trị cao nhất hàm f (*) và giá trị nhỏ nhất các hàm g (*).

Sử dụng Câu lệnh 1 và các thuộc tính bất bình đẳng số, có thể dễ dàng chứng minh thêm hai khẳng định, đó là hệ quả của phương pháp mini-max.

Phát biểu 2. Gọi tập X là giao của các miền của hàm f (x) và g (x), và trên tập này xảy ra bất đẳng thức

thì sự bất bình đẳng

f (x) + g (x)> a + b,

tương đương với phương trình

f (x) + g (x) \ u003d a + b, tương đương với hệ thức:

/ (x) = a, e (x) = b.

Phát biểu 3. Gọi tập X là giao của các miền của hàm f (x) và e (x), và trên tập này xảy ra bất đẳng thức

0 < f (х) < а

yo (x)< Ь, где а >0, b> 0

thì sự bất bình đẳng

f (x) e (x)> a b

sẽ tương đương với phương trình

f (x) e (x) = a b, đến lượt nó, tương đương với hệ

/ (x) = a, e (x) = b.

Như có thể thấy từ việc xây dựng các câu lệnh, để thực hiện phương pháp mini-max (hoặc hệ quả của nó), cần phải ước lượng các hàm đưa vào phương trình hoặc bất phương trình. Trên thực tế, việc đánh giá các chức năng là hành động chính trong việc thực hiện phương pháp. Vì vậy, dạy học theo phương pháp phải được xây dựng trên cơ sở phát triển các kỹ năng đánh giá các chức năng khác nhau. Theo chúng tôi, các phương pháp đánh giá sau đây sẽ phù hợp nhất với học sinh.

1. Thủ thuật đơn giản nhất- ước lượng của một hàm có dạng f (x) = A ± a (x), trong đó a (x) là một số không âm.

5. Ước lượng của một hàm phức tạp.

Hãy để chúng tôi đi sâu vào từng kỹ thuật chi tiết hơn, minh họa nó bằng các ví dụ và đưa ra một bộ bài tập huấn luyệnđể phát triển các kỹ năng giải phương trình bằng kỹ thuật này.

1. Phương pháp ước lượng hàm đơn giản nhất. Cho a (x) là một số không âm, sau đó:

Nếu f (x) = A + a (x) thì f (x)> A;

Nếu f (x) \ u003d A - a (x) thì f (x)< А.

Chúng tôi gọi kỹ thuật đầu tiên là kỹ thuật đơn giản nhất, vì ước lượng trong trường hợp này thực tế là hiển nhiên, miễn là học sinh biết tập các hàm không âm: -x, arccosx, arc ^ x, ax, v.v. Ngoài ra, các giá trị không âm sẽ nhận chức năng phức tạp, là kết quả của thành phần của các hàm, nếu hàm thành phần cuối cùng là không âm. Do đó, danh sách các hàm không phủ định có thể

tổng quát: 2 ^ u (x), (u (x)) 2 ", (m (x)) - 2n, ageeo8u (x), arccrui (x), | u (x) |, | u (x) - u (x), a "(x), (u (x)) a (trong đó k).

Hãy để chúng tôi đưa ra các ví dụ về việc sử dụng phương pháp mini-max, trong giải pháp mà phương pháp ước tính được xem xét được sử dụng.

Ví dụ 1. Giải bất phương trình 2 + | x (x -1) | = 2 - ^ (x -1) (x + 2). Dung dịch. Chức năng

/ (x) \ u003d | x (x -1) |, I (x) \ u003d 7 (x -1) (x + 2)

không âm. Do đó, chúng ta có ước lượng sau cho vế trái và vế phải của phương trình

2 + | x (x -1) | > 2

2-y / (x-1) (x + 2)< 2 "

Khi đó, theo Phát biểu 1, phương trình ban đầu tương đương với hệ

Sau đó:

Nếu hàm f (u) tăng trên một đoạn thì bất đẳng thức là

f (a)< f (u(x)) < f (b);

Nếu hàm số f (u) giảm trên đoạn thì bất phương trình

f (b)< f (u(x)) < f (a) .

Ví dụ 7. Giải phương trình log2 (x2 - 6x + 11) = cos ((x - 3) sin x).

Dung dịch. Làm nổi bật hình vuông đầy đủ trong tam thức vuông dưới dấu của lôgarit, chúng ta thu được phương trình

log2 (2+ (x - 3) 2) = cos ((x - 3) sin x). Hãy để chúng tôi ước tính các chức năng ở bên trái và đúng bộ phận phương trình này.

f (x) = log2 (2+ (x - 3) 2)> 1. Thật vậy, 2 + (x - 3) 2> 2, hàm số log2 u đang tăng, do đó,

log2 (2+ (x - 3) 2)> log2 2 = 1. Hàm số đang tăng nghịch biến u2.

“Ứng dụng của phép liên tục” - Ý nghĩa của biểu thức. cảm giác hình học phát sinh. phương pháp khoảng thời gian. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị của một hàm số. Đồ thị gần với tiếp tuyến. Công thức. Hãy tính theo công thức. Tiếp tuyến của đường cong tại một điểm M cho trước là vị trí giới hạn của NM. Hyperbol.

“Cực trị của cơ năng” - Sự phụ thuộc của áp suất khí vào nhiệt độ. Chủ đề bài học: “Dấu hiệu tăng, giảm của hàm số. Bài kiểm tra. Sự thay đổi cường độ dòng điện khi mở mạch. Điều tra một chức năng đến mức cực đoan ”. Biến đổi Dòng điện xoay chiều. Phương án: Sự phụ thuộc của cường độ dòng điện vào hiệu điện thế. Sự phụ thuộc của áp suất khí vào thể tích. Đề bài: “Dấu hiệu tăng, giảm hàm số.

"Các hàm và thuộc tính của chúng" - Biến độc lập được gọi là - đối số. Tăng chức năng. Định nghĩa hàm. Chẵn và các tính năng kỳ lạ. Tính đơn điệu của hàm số. Các giá trị của biến phụ thuộc được gọi là giá trị của hàm. Tất cả các giá trị của biến độc lập tạo thành miền của hàm -D (f). 1. Giá trị của hàm là dương.

Tổng số trong chủ đề 23 bài thuyết trình

Đề tài: Phương pháp sử dụng hàm số giới hạn.
Cuộc sống tốt đẹp bởi vì nó bạn có thể làm toán. (Leonhard Euler)Bàn thắng: phát triển một tư duy vượt trội mới có thể được áp dụng thành công trong các lĩnh vực khác hoạt động của con người(điều khiển học, công nghệ máy tính, kinh tế, vật lý phóng xạ, hóa học, v.v.).
Nhiệm vụ: - đào tạo cách đánh giá mức độ khó khăn khách quan và chủ quan của các nhiệm vụ và sự lựa chọn hợp lý của các nhiệm vụ này trong kỳ thi;

Tạo ra một "con heo đất" của lý luận phi truyền thống và bất thường.

Trong các lớp học:

Tổ chức. khoảng khăc. Học sinh xây dựng chủ đề của bài học bằng cách hoàn thành các nhiệm vụ Kiểm tra trạng thái thống nhất của phần A và B và giải mã chủ đề theo thứ tự giảm dần của các câu trả lời nhận được. (Như mong đợi từ, mã hóa 12 thẻ được đánh số từ -2 đến 10) (Phụ lục 1 và 2)

hạn chế

2. Chia học sinh thành 2 nhóm, phát cho các em bộ “Lý thuyết + 10 nhiệm vụ” (Phụ lục 3 và 4), yêu cầu các em chọn những nhiệm vụ có thể hoàn thành trong phần lý thuyết này, nêu lựa chọn của mình.3. Cho học sinh: Noskova K., Dedevshin I., Veselov I thực hiện các công việc này trên bảng.4. Chia các nhiệm vụ trong thẻ thành 2 nhóm để giải quyết, sau đó tự kiểm tra trên phiếu. giải pháp làm sẵn. (Phụ lục 5)5. Phân phát phiếu cho các nhóm mô tả các phương pháp phi tiêu chuẩn mới để giải phương trình và bất phương trình để lựa chọn chủ đề tiếp theo(như một nhiệm vụ nhà để tìm trong các bộ sưu tập SỬ DỤNG các tác vụ, có thể được giải quyết bằng phương pháp này) (Phụ lục 6)6. Phản ánh của học sinh (điền vào đĩa) F.I. sinh viên

Phần đính kèm 1.
Giải quyết các nhiệm vụ này và sắp xếp các câu trả lời theo thứ tự giảm dần, thu thập chủ đề của bài học của chúng tôi theo các câu trả lời.

Tìm hoành độ của điểm thuộc đồ thị của hàm số y \ u003d 3x 2 -7x + 7, trong đó hoành độ của góc tiếp tuyến là -1.

Phụ lục 2
9 2 0 7 Suy ra hàm số với sự trợ giúp của đạo hàm. 10 5 1 -1 Phương pháp sử dụng hàm giới hạn. 4 -2 8 12 Giải bất phương trình bằng đồ thị.
3 11 6 Sự biến đổi của phương trình hàm.
Nghiên cứu

Phụ lục 3

Một trong phương pháp hiệu quả giải phương trình hoặc bất phương trình là một phương pháp dựa trên việc sử dụng các hàm giới hạn. Nổi tiếng nhất chức năng hạn chế bao gồm, ví dụ, một số lượng giác; đảo ngược hàm lượng giác; các hàm chứa modulus, độ, gốc c mức độ đồng đều và những người khác.

Các bất bình đẳng phổ biến nhất là:

│f (x) │≥ 0, -1 ≤ sinx ≤ 1, -1 ≤ cosx ≤ 1, -

-

, một f (x)> 0, (f (x) ± g (x)) 2n ≥ 0,
, một+ ≥ 2, b+ ≤ -2 và nhiều người khác. Nơi đây N -số tự nhiên, h (x) ≥ 0, một>0, b 0.

Ngoài những bất đẳng thức đơn giản ở trên, còn có những bất đẳng thức phức tạp hơn, cụ thể là bất đẳng thức lượng giác -,

,

và các bất đẳng thức với các mô-đun có dạng
.

ví dụ 1Giải phương trình:

Dung dịch: chọn hình vuông đầy đủ ở phía bên phải của phương trình, tức là . Do đó nó theo sau đó
. Kể từ cùng một lúc sin π x ≤ 1 thì ta được hệ phương trình

Giải phương trình thứ hai của hệ, ta được x =. Bằng cách thay thế vào phương trình đầu tiên, chúng ta chắc chắn rằng giá trị tìm được của x là một nghiệm của hệ, có nghĩa là nó là một nghiệm của phương trình ban đầu.

Câu trả lời: x =.

Ví dụ 2Giải phương trình:

Dung dịch: vì Tuy nhiên sin2 π x ≤ 1. Do đó, 5 + 4 sin2 π x ≤ 9. Như vậy, ta thu được hệ phương trình:

Từ đây ta được hệ phương trình
, từ phương trình đầu tiên, chúng tôi tìm thấy x \ u003d. Thay nó vào phương trình thứ hai của hệ và đảm bảo rằng x = là một nghiệm của hệ và do đó là một nghiệm của phương trình ban đầu.

Câu trả lời: x =

Phụ lục 4 Từ danh sách các nhiệm vụ được đề xuất, hãy chọn những nhiệm vụ có thể được giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp chức năng giới hạn. 1. Giải phương trình x 2 -4 x = (2-cos
2. Tìm số lượng nghiệm nguyên bất đẳng thức x 2ctg 2
3. Giải phương trình
4. Giải phương trình 3 - (5. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 16 x 2 ≥0 thỏa mãn điều kiện 3 tg 2
6. Giải phương trình
7. Giải phương trình -25x 2 + 40x-23 = ( cos
8. Tìm tích các nghiệm của phương trình x
9. Giải phương trình
10. Giải phương trình 3- cos 2

Phiếu tự kiểm tra. Phụ lục 5 1. giải phương trình Giải pháp: bởi vì , kể từ đó và sau đó
chúng tôi nhận được hệ thống phương trình

chúng ta giải phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được x =, chúng ta thay giá trị này vào phương trình thứ hai

2 . giải phương trình 3- cos 2 Lời giải: vì , kể từ đó và sau đó
chúng tôi nhận được hệ thống phương trình

chúng tôi giải phương trình thứ hai, chúng tôi nhận được x \ u003d, thay giá trị này vào phương trình đầu tiên

nên x = là nghiệm của phương trình ban đầu. Trả lời: x =
3. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình x 2 + 7х-8≤0 thỏa mãn điều kiện ctg 2 và sau đó, với bất kỳ giá trị có thể chấp nhận nào của x, chúng tôi tìm thấy các số không tam thức vuông Theo định lý Vieta Ta giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng
sau đó. Chúng ta biết rằng
các giá trị nguyên của x là số ta loại ra Đáp số: 8 nghiệm nguyên bốn. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 16 x 2 ≥0 thỏa mãn điều kiện 3 tg 2 và sau đó với bất kỳ giá trị chấp nhận nào của x Tìm các giá trị không của biểu thức, x = và x = Giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng
sau đó. Chúng ta biết rằng

các giá trị nguyên của x là số ta loại ra Đáp số: 7 nghiệm nguyên
Phụ lục 6

Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Khi giải một phương trình thuộc loại f (x) \ u003d g (x) trong một số trường hợp, một phương pháp hiệu quả là sử dụng tính đơn điệu của các hàm y \ u003d f (x) và y \ u003d g (x). Nếu hàm y \ u003d f (x ) liên tục và tăng (giảm) trong khoảng thời gian một≤ x ≤ b, và hàm số y \ u003d g (x) liên tục và giảm (tăng) trên cùng một đoạn thì phương trình f (x) \ u003d g (x) trên đoạn một≤ x ≤ b không thể có nhiều hơn một căn, khi đó cần phải cố gắng tìm một căn duy nhất của phương trình bằng cách chọn, hoặc chỉ ra rằng một căn như vậy không tồn tại. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả trong trường hợp cả hai phần của phương trình f (x) = g (x) đều "bất tiện" cho việc nghiên cứu chung của hàm. Bình luận: Nếu hàm y = f (x) đang tăng và hàm y = g (x) đang giảm đối với một≤ x ≤ b và trong đó f(a)>g(một), thì nghiệm nguyên của phương trình trong số một≤ x ≤ b không.

Thí dụ: giải phương trìnhDung dịch: diện tích giá trị cho phép các phương trình là x
. Dễ dàng nhận thấy rằng trên vùng này, vế trái của phương trình tăng lên, trong khi vế phải giảm, tức là. hàm sốf(x)=
đang tăng lên, và chức năngg(x)=
- đang giảm dần. Về phương diện này, phương trình ban đầu chỉ có thể có một nghiệm nguyên (nếu có). Bằng cách lựa chọn, chúng tôi tìm thấy căn này của phương trình x = 2.Câu trả lời: x = 2
Phương pháp giải phương trình hàm số. Trong số nhiều nhất nhiệm vụ đầy thử thách SỬ DỤNG bao gồm các nhiệm vụ có giải pháp được rút gọn thành việc xem xét các phương trình chức năng có dạng f (f (… .f (x)…)) = x hoặc f (g (x)) = f (h (x)), trong đó f (x), g (x), h (x) là một số hàm và n≥ 2
Các phương pháp giải các phương trình hàm số này dựa trên việc áp dụng nhiều định lý, chúng ta hãy xem xét một trong số chúng.
Định lý 1. Gốc phương trình f(x) = 0 là nghiệm nguyên của phương trình f (f (… .f (x)…)) = x
Thí dụ: Giải phương trình x =
, ở đâu Căn bậc haiđược lấyNlần vàN≥ 1 Dung dịch: Từ điều kiện của bài toán mà x> 0. Đểf(x)=
, thì phương trình của chúng ta có thể được biểu diễn dưới dạng một hàm f( f(…. f( x)…))= x. Kể từ khi x> 0 chức năngf(x)= tăng vàf(x) > 0 thì phương trình x = tương đương với phương trìnhf(x)= x, I E. \ u003d x, nghiệm dương là x \ u003d
Câu trả lời: x =